北區跨縣市國中「促進學生主動思考的工作單設計與實踐」工作坊
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內外之間─三角形的內心與外心
臺北市國中數學輔導團/臺北市興雅國中 林壽福、吳如皓
高雄市國中數學輔導團/高雄市大仁國中 廖惠儀
在幾何知識的汲取和學習中,現實與抽象、文字與圖像、理解和轉譯的距離
經常使學生顛蹼在跌倒、匍匐與飛奔之間;但同時,表徵、溝通和操弄幾何元素
的能力,則可以探究學生在解題之外,對「數學物件本質」或「物件之間關係」
的了解與駕馭程度。
本文即依據上述的前提所設計之診斷式教學工作單,教學單元是三角形的內
心、外心與重心,經過教學實驗及工作坊教授與伙伴的建議,教學單元改為三角
形的內心與外心。教學對象為九年級學生 30 人。
【工作單設計-初稿】
在數學的世界裡,有三個人物,今天你們要根據這三個人物的性格,為他們編一
個短篇的故事。
第一個角色:
1. (1)請你在紙上畫一個點。
(2)請你畫一個圓,使這個點在圓上。
2. (1)請你在紙上畫兩個點。
(2)請你畫一個圓,使這兩個點同時在圓上。
(3)請你再畫一個圓,半徑和剛剛的圓不同,但那兩個點也要在圓上。
3. (1)請你在紙上畫三個不共線的點。
(2)請你畫一個圓,使這三個點都在圓上。
這一個圓的圓心,名字叫做「外心」,這是第一個角色。
第二個角色:
4. (1)請你在紙上畫一條線。
(2)請你畫一個圓,使圓和這條線相切。
5. (1)請你在紙上畫兩條不平行的線(這兩條線可以構成一個角)。
(2)請你畫一個圓,使圓和兩條線都相切。
6. (1)請你在紙上畫三條都不平行的線(這三條線可以構成一個三角形)。
(2)請你畫一個圓,使圓和這三條線都相切。
這一個圓的圓心,名字叫做「內心」,這是第二個角色。
第三個角色:
7. (1)請你在紙上畫一條線。
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(2)請你在線上找一個點,使這個點可以把線分成一樣長的兩半。
8. (1)請你在紙上畫一個三角形。
(2)請你畫一條線,使這條線可以將三角形的面積平分。
9. (1)畫出三角形的三條中線。
(2)這三條中線對三角形來說有什麼作用呢?
這三條中線的交點,名字叫做「重心」,這是第三個角色。
現在請你思考這三個主角的成長歷程,不同的成長歷程使這三個角色塑造著各自
獨特的個性,請你依據三位主角的個性,為他們編寫一則短篇的故事。
【學生作業整理】
學生的作品中,沒有空白的情況,因為在作答前向學生說明的評分標準是:
「有作答就有分數,若能盡你所能地以有道理的方式使用尺規作圖來完成題目的
要求,分數就越高。」因此無論正確與否,從學生作品中能看到他們努力使用不
多的武器盡力將思維具體化刻畫表達,閱讀、欣賞著這些作品,使平時假裝無血
無淚的老師也不禁流露出一些感動……
以下所擷取之學生作品,以錯誤類型為主,輔以部分有數學式樂趣、較特殊
或有創意的作圖。
第一個角色:
1. (1)請你在紙上畫一個點。
(2)請你畫一個圓,使這個點在圓上。
學生多能掌握到圓、圓心、半徑之間的關係。
2. (1)請你在紙上畫兩個點。
(2)請你畫一個圓,使這兩個點同時在圓上。
(3)請你再畫一個圓,半徑和剛剛的圓不同,但那兩個點也要在圓上。
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僅一位學生無法掌握題意(圖 1)。
圖 2 的作圖類型,則顯示可了解題意,並能轉譯文字為圖形,但未能運用中
垂線性質來支持題目的要求。
3. (1)請你在紙上畫三個不共線的點。
(2)請你畫一個圓,使這三個點都在圓上。
這一個圓的圓心,名字叫做「外心」,這是第一個角色。
學生均能理解題意,並轉化為圖形,只是未必能想到有用的策略。圖左的作
圖類型顯示部分學生未能將題目的要求和中垂線性質作聯結。
值得注意的是,理論上,題目 2 是題目 3 的前導性問題,圖 2 可說是完成圖
3 需具備的先備知識。然而,在這次的教學實驗中,能完成題目 2 的學生,僅有
一位未能正確完成外心的作圖;但有 5 位學生能正確完成外心的作圖,卻沒能畫
出題 2。
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第二個角色:
4. (1)請你在紙上畫一條線。
(2)請你畫一個圓,使圓和這條線相切。
圖左類型的學生已能理解題目的敘述與要求,但還無法挑選或運用有效的幾
何工具來解決問題。
有興趣的讀者可以猜想看看,您認為您任教的班級中,怎麼樣程度、有多少
學生會畫像圖右那樣的作圖呢?
5. (1)請你在紙上畫兩條不平行的線(這兩條線可以構成一個角)。
(2)請你畫一個圓,使圓和兩條線都相切。
圖左為正確的完成圖,圖右則只將題意畫出來,但這樣作圖類型的學生只有
兩位。
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左圖和右圖的思路十分類似,都是由題目 4 的作法延伸得來。但左圖的作法
稍有錯誤。
上圖是一個相當有趣的作圖,他用了一個特別的方法來作角平分線。首先他
造了一個等腰三角形,然後作底邊的中垂線,利用「等腰三角形底邊的中垂線會
平分頂角」性質來造角平分線。之後利用半圓的圓周角是直角,找到了所求圓的
半徑。您認為這是功課很好的學生甚至是資優生畫的嗎?
6. (1)請你在紙上畫三條都不平行的線(這三條線可以構成一個三角形)。
(2)請你畫一個圓,使圓和這三條線都相切。
這一個圓的圓心,名字叫做「內心」,這是第二個角色。
上面這三個圖,似乎學生並沒有掌握到切點、垂直的重要特質,或說在訊息
很多時,便忽略了那項特質。
上圖也顯示了一個有趣的現象,「知道要得到內心要畫角平分線」,但題目 5
卻不知如何著手……
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左圖實在難以解讀,以那個圓心,到底是如何畫出圓的呢??
右圖又是一個有趣的作圖。先從左下角來看,他先畫了一個弧後,分別以角
的兩邊(等長)作中垂線,於是根據三角形全等性質,可以得到兩條等長的垂直
線段,同時,在公共邊上的所有的點都得到了同樣的 VIP 待遇,然後他在上方作
了一樣的步驟,來得到內心。這個學生具體掌握到垂直及相等的特質,並把這個
特質當成他要解決的首要目標,依此目標去尋找他的工具。是不是很有歐基里德
的感覺呢?請容筆者再問一次同樣的問題,您認為這是功課很好的學生甚至是資
優生畫的嗎?或說,您對這位學生所具備的數學能力會給予如何的評價呢?
以下的題目 7、8、9,由於教學實驗時的時間掌控不良,因此僅要求學生使
用測量來迅速完成圖形。
第三個角色:
7. (1)請你在紙上畫一條線。
(2)請你在線上找一個點,使這個點可以把線分成一樣長的兩半。
8. (1)請你在紙上畫一個三角形。
(2)請你畫一條線,使這條線可以將三角形的面積平分。
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9. (1)畫出三角形的三條中線。
(2)這三條中線對三角形來說有什麼作用呢?
這三條中線的交點,名字叫做「重心」,這是第三個角色。
而短篇小說的部分由於不是本文討論的重點,因此僅挑選特別有創意的一份
作品收錄於附件一。
【評論者意見】
林福來教授:何不讓學生寫下他的作法與想法?
【對評論的回應】
非常贊同老師的建議!
【工作單設計-2 版】
請你依照你自己所畫的圖,以文字記錄你的觀察和想法。可以是你作圖的方法,
可以是你所觀察到的一些現象或性質,用文字盡可能清楚地描述你所作的、看到
的、想到的。
你所觀察到的越多、描述得越清楚、看到別人所沒有看到的(卓越的洞察力),
你的分數就越高。
【學生作業】
由於學生作品差異性十分大,因此本文在呈現學生作品上分成兩個部分。第
一部份選取一位學生完整的作業單,呈現學生作品的橫切面;第二部分則選取較
特別的片段,呈現學生作品的縱切面。並以 Skemp 新智力模式學習理論中之「建
築與檢驗」為工具來作分析。以下簡略介紹 Skemp 之「建築與檢驗的六種方式」。
Skemp 認為,有意義的學習是在建築(building)和檢驗(testing)有組織的
知識結構。比如說砌牆時,將磚塊與水泥疊起來是建築,利用鉛垂線測量是否平
整垂直是檢驗,兩者交互進行,牆才能砌得漂亮。建築與檢驗進行的方式各有三
種,一種建築方式對應一種檢驗方式,圖示如下:
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Schema 的建構
建築 檢驗
實際經驗
(experience) ←→
預測,實驗
(prediction experiment)
溝通
(communication) ←→
討論
(discussion)
創造
-探索、想像、直觀
(mental creativity)
←→ 內在的一致性
(internal consistency)
以實際經驗來建築,檢驗的方式則是依據事前的假設與預測進行實驗。利用
探索、想像、直觀來發想創造,所得的新想法必須與既有的知識取得一致,所以
要檢驗的是內在已有知識與新創概念間的一致性。
這一位學生,學科成績表現中等,上課態度積極認真,在課堂上也頗勇於表
達自己的想法,但自信心不足,總認為自己數學不好;他有著雙重國籍,是半個
希臘與半個台灣的混合體。
建築 1:實際經驗
檢驗 1:預測、實驗
建築 2:溝通
建築 3:創造
檢驗 1:預測、實驗
建築 3:創造
檢驗 3:內在一致性
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檢驗 1:預測、實驗
建築 1:實際經驗
建築 3:創造
檢驗 3:內在一致性
建築 3:創造
檢驗 3:內在一致性
建築 1:實際經驗
檢驗 1:預測、實驗
建築 2:溝通
建築 1:實際經驗
檢驗 1:預測、實驗
建築 3:創造
檢驗 3:內在一致性
建築 2:溝通
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這圖以造內心來看,方法上似乎並不正確。
但細看作圖的步驟,可發現他一開始便畫了
一個正三角形。
再想想題目:「請你在紙上畫三條都不平行
的線(這三條線可以構成一個三角形);請
你畫一個圓,使圓和這三條線都相切。」
似乎,也不能完全說這答案不正確呢……
由這位學生對幾何物件的觀察和描述中,可以發現,文字書寫能讓學生自然
而然地與知識作雙向的互動,他讀取,同時也創造。而記錄想法其實並沒有想像
中那樣容易,在素描思維的同時,他也正用更深邃的方式在「建築」與「檢驗」
自己獨樹一格的數學結構。化身為讀者的教師,則能藉由這些字句,得以一窺隱
身於分數背後,更彌足珍貴的學生數學王國的風貌。
以下選取幾則或為古典派、浪漫派、抽象派、印象派、野獸派的作品,有些
著實需要花些時間來解讀,筆者則效法後現代主義的精神,將解碼的樂趣留給和
愛因斯坦一樣「我沒有特殊天賦,我只是非常好奇」的讀者。
建築 1:實際經驗
檢驗 1:預測、實驗
建築 3:創造
檢驗 3:內在一致性
建築 1:實際經驗
檢驗 1:預測、實驗
建築 3:創造
檢驗 3:內在一致性
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建築 1:實際經驗
檢驗 1:預測、實驗
建築 3:創造
檢驗 3:內在一致性
建築 1:實際經驗
檢驗 1:預測、實驗
建築 3:創造
檢驗 3:內在一致性
建築 1:實際經驗
檢驗 1:預測、實驗
建築 3:創造
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建築 1:實際經驗
檢驗 1:預測、實驗
建築 3:創造
建築 1:實際經驗
檢驗 1:預測、實驗
建築 2:溝通
建築 1:實際經驗
檢驗 1:預測、實驗
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建築 3:創造
檢驗 3:內在一致性
建築 1:實際經驗
檢驗 1:預測、實驗
建築 2:溝通
建築 1:實際經驗
檢驗 1:預測、實驗
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數學是不是一個優雅而難以親近的存在?又或者是因為太過深刻因此難以
引起共鳴?然而,在卸下應付考試的左支右絀時,卻能看見學生與數學此起彼落
的恣縱嬉戲。很感謝林福來老師的指導啟發與伙伴們的呼應撞擊,使我在教學的
田園中,得以看見枝葉錯落間,嫩芽閃爍著光!
建築 1:實際經驗
檢驗 1:預測、實驗
建築 3:創造
檢驗 3:內在一致性
建築 1:實際經驗
檢驗 1:預測、實驗
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附件一
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