Differentieer regels
De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie:
Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door te differentiëren. Je kent al een aantal differentieerregels:
Differentieerregel 1 (machtsregel):Als f(x) = cxn dan is f'(x) = ncxn – 1 voor elke c en voor gehele positieve n.
Differentieerregel 2 (constante-regel):Als f(x) = c dan is f'(x) = 0.
Differentieerregel 3 (somregel):Als f(x) = u(x) ± v(x) dan is f'(x) = u'(x) ± v'(x).
h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0
Voorkennis
f(x) = ax3
f’(x) = 3ax²g(x) = ax4
g’(x) = 4ax3
h(x) = ax5
h’(x) = 5ax4
algemeen geldt :k(x) = axn
k’(x) = n · axn-1
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)
12.1
Voorkenniswerkschema: het algebraïsch berekenen van extreme waarden
1 bereken f’(x).2 los algebraïsch op f’(x) = 0.3 voer de formule van f in op de GR plot en schets de grafiek kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt.4 bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … en min. is f(…) = …
raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0
12.1
De afgeleide functie
Bij een functie hoort een hellingfunctie.I.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt.notatie : f’ (f-accent)regels voor de afgeleide :f(x) = a geeft f’(x) = 0f(x) = ax geeft f’(x) = af(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax
7.1
voorbeeld
f(x) = (2x – 7)(8 + x)f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7xf(x) = 2x² + 9x – 56f’(x) = 2 · 2x + 9f’(x) = 4x + 9
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van differentiëren
Andere regels ?!?
De productfunctie van f en g is dan: p(x) = f(x) · g(x) = x3 · x2.
Je zou kunnen vermoeden dat de afgeleide van p gewoon het product is van f' en g': p'(x) = f'(x) ·g'(x) = 3x2 · 2x.
Maar dat is fout! Immers p(x) = x5 en dus moet p'(x) = 5x4 zijn.
Op dezelfde wijze kun je nagaan dat ook de quotiëntfunctie q(x) = f(x) / g(x) niet eenvoudig kan worden gedifferentieerd door de afgeleide van de teller f te delen door die van de noemer g.
De productregel
De quotiëntregel
7.1
De productregel:
)()()()( xgxfxgxf
h
xphxpxp
h
)()(lim)('
0
h
xghxgxfhxg
h
xfhxfhh
))()(()(lim)(
))()((lim
00
Als p(x) = f(x) · g(x) dan is p'(x) = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x).
Bewijs :Volgens de limietdefinitie van de afgeleide is:
h
xghxgxf
h
hxgxfhxfhh
))()(()(lim
)())()((lim
00
h
xghxgxfhxgxfhxfh
))()(()()())()((lim
0
h
xgxfhxgxfhxgxfhxghxfh
)()()()()()()()(lim
0
h
xgxfhxghxfh
)()()()(lim
0
v.b. productregel )32)(4()( 32 xxxxf
)23)(4()32(2)( 223 xxxxxxf
8665)( 24 xxxxf
12832 235 xxxx
128432 3235 xxxxx
81223642 22424 xxxxxx
opgave 5a
f (x) = (4x2 – 1)(3x + 2)f’ (x) = 8x · (3x + 2) + (4x2 – 1) · 3Stel k : y = ax + ba = f’ (-1) = 17k : y = 17x + byA = f (-1) = -3
dus A(-1, -3).
Dus k : y = 17x + 14.
y = 17x + b-3 = 17 · -1 + b14 = b
Opgave 7
Opgave 8
5)42
1()( 23 xxf
O(∆ABC) = ½ · AC · ABAC = OC – OA = 4 – pAB = yB = f (p) = p2 – 2p + 3
Dus O = ½(4 – p)(p2 – 2p + 3) O = (2 - ½p)(p2 – 2p + 3)
opgave 9a
opgave 9b
In de schets van de grafiek van O als functie van p is te zien dat O maximaal is voorp = 58
6 3
32,
De ABC-formule
ax2 + bx + c = 0
De discriminant D = b2 – 4ac
D < 0 geeft geen oplossingen.D = 0 geeft 1 oplossing.D > 0 geeft 2 oplossingen.
2 2
b D b Dx x
a a
12.2
Opgave 17
x
xxf
32)(
opgave 19
a
Stel k : y = ax + b
dus
Dus
2 214 4
( ) 4x x
f x x xx x x
22
4'( ) 1 4 1f x x
x
2
4 5'(3) 1
3 9a f
5:
9k y x b
23 4 13(3)
3 3f
13(3, )
3A
13 53
3 9b
8
3b
5 8:
9 3k y x
12.2
b rcraaklijn = -3, dus f’ (x) = -3
x2 = 1
x = -1 v x = 1
f(-1) = -5 en f(1) = 5
De raakpunten zijn (-1, -5) en (1, 5)
2
41 3
x
2
44
x
2
4 4
1x
opgave 19
c f’ (x) = 0geeft
x2 = 4 x = -2 v x = 2
max. is f(-2) = -4en
min. is f(2) = 4
2
41 0
x
2
41
x
opgave 19
d f’ (x) = 2geeft
x2 = -4Omdat een kwadraat niet negatief kan zijn,heeft de vergelijking x2 = -4 geen oplossingen.Dus er is geen raaklijn met rc = 2.
2
41 2
x
2
41
x
opgave 19
Opgave 23
3 2)( xxf
a
geeft
f’ (x) = 0 geeft
x = 4
f (4) = 4 · √4 – 3 · 4 = -4
Min. is f(4) = -4.
b rcraaklijn = f’ (0) = 1½ · √0 – 3 = -3
Raaklijn y = -3x
c rcraaklijn = 3 dus f’ (x) = 3
1½√x – 3 = 3
1½√x = 6
√x = 4 x = 16
f (16) = 16 dus A(16, 16)
raaklijn l : y = 3x + b
opgave 241
12( ) 3 3f x x x x x x
1
21 1
'( ) 1 3 1 32 2
f x x x
11 3 0
2x
11 3
2x
2x
16 = 3 · 16 + b
-32 = b l : y = 3x - 32
Als s(x) = f (g(x)) dan is s‘ (x) = f‘ (g(x)) · g‘ (x).
Bewijs :Volgens de limietdefinitie van de afgeleide:
Verder is g(x + h) ≈ g(x) + h · g'(x) (lineaire benadering van functie g).
En dus:
Als h naar 0 nadert, dan nadert ook h · g'(x) naar 0 (als g'(x) bestaat.)
En daarom vind je: s'(x)=f'(g(x)) g'(x)⋅ .
De kettingregel:
)(.)(.
))(())(.)((lim
))(())(.)((lim)('
0
0
xgxgh
xgfxghxgfh
xgfxghxgfxs
h
h
h
xgfhxgfxs
h
))(())((lim)('
0
dy
du
du
dy
dx
dy
v.b. kettingregel
xxxxf
xxx
xxxf
50304)(
2510
)5()(
23
234
22
xxx
xxx
dx
du
du
dy
dx
dy
udu
dy
xdx
du
uy
xxu
50304
)52()5(2
2
52
5
23
2
2
2
De kettingregel
Kettingregel:
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctiey = f (x) als volgt te werk.• Schrijf f als een ketting van twee functies.• Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide.• Druk het product van de afgeleide functies uit in x.
dy dy du
dx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van
de schakels
12.3
Opgave 29
uy
xustel
xxf
4
4)(2
2
3
24
324
2
)2()(
uy
xxustel
xxxf
xdx
du
udu
dy2
2
1
4)('
242
1
)('
2
2
x
xxf
xxdx
du
du
dydx
du
du
dy
dx
dyxf
xxxxxf
dx
du
du
dy
dx
dyxf
28)2(3)('
)('
3224
xxdx
duu
du
dy283 32
3
1
3
3 3
3
3)(
uy
xxustel
xxxf
2
2
12
)12()(
uy
xustel
xxf
33
33
1 2
3 23
x
dx
du
xxdu
dy
3 23
2
3
1)('
)('
xx
xxf
dx
du
du
dy
dx
dyxf
22 3
dx
duu
du
dy
3)12(
4)('
)('
xxf
dx
du
du
dy
dx
dyxf
opgave 31
a f (x) = (½x2 - 2x)3
b Stel y = (½x2 – 2x)3 = u3
met u = ½x2 – 2x en
f’ (x) = 3u2 · (x – 2) = 3(½x2 – 2x)2 · (x – 2)f’ (x) = 0 geeft 3(½x2 – 2x)2 · (x – 2) = 0
½x2 – 2x = 0 v x – 2 = 0 x(½x – 2) = 0 v x = 2 x = 0 v x = 4 v x = 2
c Stel l : y = ax + ba = f’ (6) = 3(½ · 62 – 2 · 6)2(6 – 2) = 432dus l : y = 432x + byA = f(6) = (½ · 62 – 2 · 6)3 = 216
dus A(6, 216)
23dy
udu
2du
xdx
216 = 432 · 6 + b216 = 2592 + b-2376 = b l : y = 432x - 2376
x
y
O
f
Opgave 35
xxxf 28)(
Opgave 32
xxxxf 59)( 22
Opgave 38
Sinus, cosinus en tangens
O (1,0)
y
xA
α
P (xP,yP)
1sin α = = = yP
cos α = = = xP
tan α = =
PQ
OP
yP
1OQ
OP
xP
1Q
∟
sos cas toa
xP
yP
1
PQ
OQ
yp
xp
12.4
De exacte-waarden-cirkel
12.4
opgave 43
Los op f (x) = 0 met domein [0, 2π].sin2(x) + sin(x) = 0sin(x)(sin(x) + 1) = 0sin(x) = 0 v sin(x) = -1x = k · π v x = 1½π + k · 2πOp domein [0, 2π] geeft dat de nulpuntenx = 0 v x = π v x = 2π v x = 1½π
f (x) ≤ 0 geeft x = 0 v π ≤ x ≤ 2π.
Ox
y
½π π 1½π 2π
f
∙ ∙ ∙ ∙
opgave 46a
O 1
y
xα
-1
1
-1
2 sin (½x) = 1sin (½x) = ½½x = π + k · 2π v ½x = π + k · 2π x = π + k · 4π v x = π + k · 4π
1
6
5
61
35
3
½ π1
6π5
6sinα = yP
De afgeleide van y = sin(x) en y = cos(x)
f (x) = sin(x) geeft f’ (x) = cos(x)g (x) = cos(x) geeft g’ (x) = -sin(x)
opgave 52af (x) = cos(2x)Stel f (x) = cos(2x) = cos(u) met u = 2xf’ (x) = f’ (x) = -sin(u) · 2f’ (x) = -sin(2x) · 2 = -2 sin(2x)
dy dy du
dx du dx
12.5
opgave 52b
g (x) = x cos(x)g’ (x) = [x · cos(x)]’g’ (x) = [x]’ · cos(x) + x · [cos(x)]’g’ (x) = 1 · cos(x) + x · - sin(x)g’ (x) = cos(x) – x sin(x)
g’
opgave 55b
g (x) = x2 sin(3x)g’ (x) = [x2 · sin(3x)]’g’ (x) = [x2]’ · sin(3x) + x2 · [sin(3x)]’g’ (x) = 2x · sin(3x) + x2 · 3 cos(3x)g’ (x) = 2x sin(3x) + 3x2 cos(3x)
g’
opgave 57d
j (x) = x + 3 sin2(x)j’ (x) = [x + 3 (sin(x))2]’j’ (x) = 1 + 3 · 2 sin(x) · cos(x)j’ (x) = 1 + 6 sin(x) · cos(x)
j’
12.5
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum.
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn:Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst ?Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken ?Bij welke route horen de laagste kosten ?
12.6
opgave 65a
Stel de hoogte is h dm.K = kosten bodem + kosten zijkanten
2
2
2 0,4 2 2 0,2 2 0,2
0,8 1,2
2 2
72
K x x x h x h
K x xh
I x x h x h
I
2
2
2 72
36
x h
hx
22
2
360,8 1,2
43,20,8
K x xx
K xx
72 dm3
opgave 65b 2 1
2
2
3
2
3
3
3
2
2
0,8 43,2
1,6 43,2
43,21,6
1,6 43,2
0
1,6 43,2 0
1,6 43,2
27
3
364
3
43,20,8 3
3
K x x
dKx x
dxdK
xdx x
dK x
dx xdK
dx
x
x
x
x
h
geeft
geeft
Dus K is minimaal bij de afmetingen 6 bij 3 bij 4 dm.De minimale kosten zijn
= 21,6 euro
geeft
opgave 67
De oppervlakte is x · y = 75
dus y =
De kosten van de afrastering zijn
K = 10x + 20(x + 2y) = 30x + 40y
K = 30x + 40 · = 30x +
= [30x + 3000x-1]’
= 30 – 3000x-2 = 30 –
= 0 geeft 30 =
30x2 = 3000
x2 = 100
x = 10 v x = -10
De kosten zijn minimaal bij de afmetingen 10 m en 7½ m.
75 x
75 x
3000 x
dK dxdK dx
3000 x2
dK dx
3000 x2
€10
€20
€20
€20
x
y
x
y
10
opgave 68a
K = kosten langs het bos + kosten in het weilandK = y · 60 + (x + y) · 15K = 60y + 15x + 15yK = 15x + 75yO = xyO =1200
1200
1200
xy
yx
120015 75
9000015
K xx
K xx
opgave 68b 1
2
2
2
2
2
2
2
15 90000
15 90000
9000015
15 90000
0
15 90000 0
15 90000
6000
6000
77,5
120015,5
6000
9000015 6000
6000
K x x
dKx
dxdK
dx x
dK x
dx xdK
dx
x
x
x
x
x
y
geeft
geeft
geeft
Dus kosten zijn minimaal bij de afmetingen 77,5 bij 15,5 m.De minimale kosten zijn
≈ 2324 euro
opgave 68c
1
2
2500
9000015 2500
9000015
2500
52,6
120022,8
52,6
114,1
120010,5
114,1
K
xx
y xx
y
x
y
x
y
geeft
geeft
geeft
Voer in
De optie intersect geeft x ≈ 52,60 en x ≈ 114,1
Aangezien Wunderink de rechthoek minder lang en smal wil zal hij kiezenvoor de afmetingen 52,6 bij 22,8 m.
opgave 70
De inhoud is I = πr2h ,dus 500 = πr2h.dus h =
De materiaalkosten zijnK = πr2 · 1 + πr2 · 2 + 2πr · 1 · 2 + 2πrh · 1 = 3πr2 + 4πr + 2πrh .
K = 3πr2 + 4πr + 2πr = 3πr2 + 4πr +
Voer in y1 = 3πx2 + 4πx +
De optie minimum geeft x ≈ 3,5.De materiaalkosten zijn minimaal bij de afmetingenr ≈ 3,5 cm en h ≈ 12,6 cm.
500 πr2
500 πr2
1000 r
a
b 1000 x
r
K
3,5
445,1
onderkant bovenkant rand van deksel mantel
opgave 72
a AC + BC = 12 – xOmdat AC = BC isAC = = 6 - ½x
b Pythagoras in ∆ADC :CD 2 + AD 2 = AC 2
CD 2 = AC 2 – AD 2
CD 2 = (6 - ½x)2 – (½x)2
CD 2 = 36 – 6x + ¼x2 - ¼x2 = 36 – 6xCD = √(36 – 6x)
c O = ½ · AB · CDO = ½x √(36 – 6x)
12 - x 2
x
D
г
l l
Opgave 73
36002 x
360020122400
3600102)200(12
2
2
xxK
xxK
3600
2012'
)3600(22
12012'
)3600(20122400
2
2
12
2
12
x
xK
xxK
xxK
200-x
45
2025
1632400
25324009
536003
3600
2012
3600
20120
2
2
22
2
2
2
x
x
x
xx
xx
x
xx
x
Opgave 75a&b
68028€
3400003
2100340000
3
1150
3
1
K
K
ABCB
340000
90000250000
300500 22
AB
AB
AB
Opgave 75c&d
Opgave 75c&d
Opgave 76
01,0
1,0
2
22
xAP
xAP
2
2
22
8,02,0
04,08,016,0
2,0)4,0(
xxBP
xxBP
xBP
12
2,08,0
18
01,0
121822
xxxt
BPAPt
.sec129sec360003578,0
)03578,0;243,0(4260
5max0min5,0max0min
calcnd
YYXXGR
Opgave 77
xAF
xSA
10
42
126
54
4
112
10
4
4
124
2
2
xxt
xxt
AFSAt
12
1
44'
2
x
xt
22
12
1
84
94
34
1244
4412
1
12
1
440
0'
2
2
22
2
2
2
2
x
x
x
xx
xx
xx
x
xx
x
t
Opgave 79xAD
xPD
40400
20
3
26
20030
2020010
404002
1
40400
1040400
1040400
2
10
0'
x
x
xx
xx
xx
xx
O
xxO
PDADO
404002
12
1
x
xxO
xxxO
40400
1040400
2
1'
4040400
1
2
140400
2
1'
49,383
2640400
3
26
2
1
O
O
Top Related