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Les Actions Mécaniques
Définition : Une action mécanique est « invisible »
Il est peu commode de donner une définition non abstraite d'une action mécanique.Contrairement à d'autres grandeurs mécaniques, une action mécanique se définit par ses effets :
Maintenir un équilibre
Naissance d'un mouvement
Modification du mouvement
Déformation d'un système (gaz, solide déformable,...)
Echauffement
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Les Actions Mécaniques
Modélisations :
Une action mécanique peut être défini de différente manières:
Modèle locale : on associe un champ de forces linéique, surfacique, ou volumique
Densité surfacique de force=
Pression de contact P(M)
Densité volumique de force=
ρ.gρ masse volumique
ACTION de CONTACT ACTION à DISTANCE
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Les Actions Mécaniques
Modélisations :
Une action mécanique peut être défini de différente manières:
Modèle globale : on associe un torseur
Résultante des actions de pression au centre
de la surface de contact
ACTION de CONTACT ACTION à DISTANCE
F
Mo O
Résultante des actions de pesanteur au centre
de gravité
G
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Les Actions Mécaniques
Modélisations
Si le modèle locale est adapté à la mécanique des milieux déformables, ce n'est pas le cas du torseur qu'il faut réserver à la mécanique des solides.
Même Torseur mais pourtant des effets différents suivant l'endroit où s'applique l'action
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Le glisseur pour une action mécanique: c'est la représentation d'une FORCE.
=→→=→ 0)cordeskiper,A(M
)cordeskiper(RA
)cordeskiper(T
)cordeskiper(R
→
La force a pour support l'axe centrale du glisseur.La force ne crée aucun moment sur l'axe centrale. Par contre elle crée un moment non nul en dehors de l'axe centrale.
A
Les Actions Mécaniques
Axe centrale du glisseur
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Le glisseur pour une action mécanique: c'est la représentation d'une FORCE.
)cordeskiper(R
→
La notion de point d'application n'a pas de sens pour un torseur, en effet une force aura le même effet en mécanique du solide en tout point de son support.
A
Les Actions Mécaniques
Axe centrale du glisseur
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A'
A''Ces trois actions mécaniques sont identiques
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Le glisseur : ressentir le moment d'une FORCE.
Les Actions Mécaniques
Pas de torsion ressentie dans le poignet
On ressent une torsion dans le poignet
Ce sont les mêmes actions mécaniques
G
Action de la main sur la barre
Action de la barre sur la main
POIDS
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Moment d'une force:
AB
H
Winch
RZ
R est le bras de levier de la force F en B.
C'est la distancedu point B au support
de la force
La force F crée un moment en B que l'on calcul
FF
M(B)
z.RFABF)B(MF
B0F
AT cordeskiper
=∧==
=→
Les Actions Mécaniques
Corde
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Moment d'une force autour d'un axe:Des forces de normes identiques n'ont pas le même effet
1
3 2 6 4 5
O
u
d D Toutes les forces ont même
intensité sauf 6
Axe de rotationde la porte
P4 point du support de la force 4
Les Actions Mécaniques
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Moment d'une force autour d'un axe:Des forces de normes identiques n'ont pas le même effet
1
3 2 6 4 5
O
u
d D
Axe de rotationde la porte
P4 point du support de la force 4
Les Actions Mécaniques
Les force 1, 2 et 3sont innopérantes pourouvrir la porte
M1 ou M2
M3
Explication: Le momentcréé par ces forces en un pointde l'axe est perpendiculaireà l'axe. Ce sont les charnièresqui supportent ces moments.
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Moment d'une force autour d'un axe:Des forces de normes identiques n'ont pas le même effet
1
3 2 6 4 5
O
u
d D
Axe de rotationde la porte
P4 point du support de la force 4
Les Actions Mécaniques
Les force 4, 5 et 6sont plus ou moins efficaces.La 5 est la plus efficace.
La 6 à une intensité plus grandemais mais n'est pas plus efficaceque la 5.
Explication: Le momentcréé par ces forces estsuivant l'axe de rotation.Le bras de levier de 4 estplus petit que celui de 6 quiest lui même plus petit que celui de 5.
M5 ou M6 M4
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Retenons:
Les Actions Mécaniques
( ) ( ) u.FOPu.FOP)F,P(Mu).F,O(M ∧=∧+=
Par définition le moment d’une force autour d’un axe est la projection suivant la direction de l’axe du moment de la force en un point de l’axe
Propriétés :
Ce moment est nul si le support de la force est // à l’axe ou coupe l’axe
Ce moment ne dépend pas du point O choisi sur l’axe
Il n'y a que la composante orthoradialequi créé un moment selon l'axe
O
u
d
Fu
Fv
Fw
F
wP
d.Fvu).F,O(M =
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Retenons:
Les Actions Mécaniques
Dans le cas d’un problème plan, ce moment autour de l’axe (O,u) peut aussi s’écrire :
où d(O,(P,F)) désigne la distancedu support de la force à l’axe (O,u).C’est le fameux BRAS DE LEVIER
Le signe est donné par l’orientation du vecteur u.
+ Si le moment de la force tend à faire tourner dans le sens positif - Si le moment de la force tend à faire tourner dans le sens négatif
( ) ( )),(,..).,( FPOdFuFOPuFOM
±=∧=
O
u
d
F
P
+
-
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Le bras de levier permet la multiplication de l'effort
Les Actions Mécaniques
Effort de l'utilisateur Effort de serrage
du = Bras de levier de l'utilisateur
ds = Bras de levier de l'effort de serrage
Fs
Fs
Fu
Fu
dsdu
FuFs =
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Le bras de levier permet la multiplication de l'effort
Les Actions Mécaniques
Effort de l'utilisateur
Effort de la corde
AB
H
Winch Fc
Corde
Fu
Rc
Ru
RcRu
FuFc =
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Exemples de glisseurs ou forcesAction de pesanteur : glisseur passant par G et de résultante verticale descendante
Action d'un fluide sur une coque de bateau : glisseur passant par le centre de poussée de résultante verticale ascendante égale au poids du volume d'eau déplacé (principe d'archimède)
Action d'un cable tendu : glisseur d'axe centrale le cable
Action dans un contact ponctuel avec frottement : glisseur passant par le point de contact
Action d'un ressort de traction : glisseur d'axe centrale l'axe du ressort
Les Actions MécaniquesS2I Lycée Corneille
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Le couple pour une action mécanique: c'est la représentation d'un COUPLE.
Considérons l'action mécanique créée par deux forces antagonistes de supports différents. Si l'on somme ces actions mécaniques (principe d'additivité des actions mécaniques), on trouve une résultante nulle.
L'action équivalente est un couple C.
F
F
AB O
Les Actions Mécaniques
C
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Le torseur couple
F
F
AB O
x
y
RC
=∧===
==
z.RFOAy.F)O(My.FF
O0y.FF
AT
AA
=∧−=−=−=
−=−=
z.RFOBy.F)O(My.FF
O0y.FF
BT
BB
==+ zRF2C0
OTT BA
Les Actions Mécaniques
Principe d'additivité des actions mécaniques
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Exemples de couples
Action du stator d'un moteur sur son rotor : couple dirigé selon l'axe du moteur
Action exercée sur le manche d'un tourne vis : couple dirigé selon l'axe du tourne vis
Action d'un ressort de torsion : couple dirigé selon l'axe du ressort (ressort en spirale, barre de torsion...)
Action de frottement : couple transmis par un embrayage
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Cas généraleUne action mécanique quelconque peut être représenté par un torseur
Les Actions Mécaniques
( )( )T S S
A
R R S SM M S SA A
( )1 21 2
1 2
→ == →= →
Résultante des actions mécaniques de S
1 sur S
2
Moment résultant des actions mécaniques de S
1 sur S
2
Vecteur ne dépendant pas du point
Vecteur dépendant du point
( ) ( ) ( ) M S S M S S BA R S SB A1 2 1 2 1 2→ = → + ∧ →On a la propriété du champ des moments d'un torseur :
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Champ des moments d'une force
Les Actions Mécaniques
Une action mécanique quelconque peut être décomposé en:
une force de support (∆)
un couple de direction (∆)
C'est une action mécanique de « VISSAGE ».
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Passage du modèle locale au modèle globale
Les Actions Mécaniques
Considérons une force élémentaire dF(1->2) qui s'exerce de 1 sur 2 au point Qà travers une surface élémentaire ds .
Cette force crée en O un moment élémentaire :
dF(1->2)
dS
Q
)21(FdOQ))21(Fd,Q(Md))21(Fd,O(Md →∧+→=→
Car l'action élémentaire est uneforce passant par Q
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Expression du torseur résultant
Les Actions Mécaniques
Par additivité des actions mécanique, l'action résultante de 1 sur 2 est la somme des actions de contact élémentaires,
dF(1->2)
dS
Q
→→
=∫ ∫
∫ ∫→
))21(Fd,O(Md)21(Fd
0T 21
→∧→
=∫ ∫
∫ ∫→
)21(FdOQ)21(Fd
0T 21
Ou encore
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Densité de force
Les Actions Mécaniques
L' actions de contact élémentaires dF, s'exprime en fonction d'une densité linéique, surfacique ou volumique de force.EXEMPLES:
dF(Q,1->2) = µ(x).dx
dSµ(x)
dx
Q
µ(x) =Densité linéique de force
Q
p(x)
dF(Q,1->2) = p(x).dS
P(x) =Densité surfacique de force
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Exemple de calcul dimensionnement d'un coussinet de guidage à la pression
Les Actions Mécaniques
Pression uniforme P
Hypothèses : on suppose une pression de contact uniforme s'exerçant sur un demi cylindre
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Paramétrage cylindrique
Les Actions Mécaniques
x
y
u
Q
R
x
z
Q
Z
u.dz.d.R.pu.dS.p)21,Q(Fd θ==→
12
dFθ
Ecriture de l'action élementaire en Q
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Écriture du torseur des actions mécaniques de 1->2
Les Actions Mécaniques
x
y
u
Q
R
x
z
Q
Z
12
dFθ
( )
−∧+=→∧−=→
=∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
→dS.u.pzZuR)21(FdOQ
dS.u.p)21(Fd
0T 21
O O
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Calcul de la résultante des actions mécaniques de 1->2
Les Actions Mécaniques
x
y
u
Q
R
x
z
Q
Z
12
dFθ
∫ ∫∫ ∫−
− −
−=−=→
2/
2/
2/L
2/L
ddZupRdZRdup)21(Rπ
π
θθ Intégration à θ constant
L
O O
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Calcul de la résultante des actions mécaniques de 1->2
Les Actions Mécaniques
x
y
u
Q
R
x
z
Q
Z
12
dFθ
( ) ( )∫∫−
−
−
−
+−=−=→2/
2/
2/
2/
dy.sinx.cospRLdupRL)21(Rπ
π
π
π
θθθθ
Attention, le vecteur u dépend du paramètre angulaire
Q'
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Calcul de la résultante de 1->2
Les Actions Mécaniques
x
y
u
Q
R
1
2
dFθ
( ) ( )∫∫−
−
−
−
+−=−=→2/
2/
2/
2/
dy.sinx.cospRLdupRL)21(Rπ
π
π
π
θθθθ
Q'
O
Par symétrie , on voit que les composantes sur y se compensent. Le calcul est inutile.
[ ] xS.pxLR2.pxpRL)21(R p2/
2/sin ==−=→ − −θ π
π
2RL
Surface projetée
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Remarque : ce résultat est valable pour tout champ de pression uniforme
Les Actions Mécaniques
Les forces se compensent sur une partie de la surface projetée
Sxp
x
Fx=p.Sxp
P
Résultante des forces de pressiondans la direction x
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Calcul du moment résultant des actions mécaniques de 1->2
Les Actions Mécaniques
x
y
u
Q
R
x
z
Q
Z
12
dFθ
O O
Il est claire que ce champ de pression ne tend pas à « faire tourner » autour de O.Les moments élémentaire se compensent par symétrie.Le calcul donnerait donc M(O,1->2)=0
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Conclusion
Les Actions Mécaniques
=→ 0
x.S.p0
T p21
Pression uniforme P
L'action de 1->2 est une force de supportla droite (O,x)
O
F
Il est maintenant possible de relier la charge radiale F supportée par le coussinet à la pression p
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Passage du modèle globale au modèle locale
Les Actions Mécaniques
x
yQ
R
1
2
Cette repartition de pression correspond au même torseur que celui calculé précédement. Il n'est pas possible de déterminer de manière unique la densité surfacique de force connaissant le torseur résultant.
P=Po.cos θ
θ
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Actions mécaniques de contact avec frottement
Les Actions Mécaniques
évolution du facteur de freinage μ en fonction du glissement relatif
Bogie de TGV
N
T
µ=|T|/|N|
=Roue bloquée
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Modélisation des actions de frottement
Les Actions Mécaniques
Bogie de TGVµ=|T|/|N| sans dimension
Vitesse de glissement
Coefficient d'adhérence
Coefficient de frottement
Modélisation des actions de frottementLOIS de COULOMB
Les Actions Mécaniques
Il n'y a pas de mouvement relatif Il y a mouvement relatif
µo coefficient d'adhérence µ coefficient de frottement
µo µ
Animation mécamédia
ou de frottementCône d'adhérence ou de frottement
L'action tangentielle s'oppose au mouvement
≥
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Modélisation des actions de frottement – Modèle locale
Les Actions Mécaniques
n
dF(1->2)
M
V(M,2/1)
dN(1->2)
dT(1->2)1
2
Cône de frottement
µ = tan ϕS'il y a mouvement relatif :
V(M,2/1) ≠ 0
dT(1->2).V(M,2/1) < 0l'action tangentielleest opposé à la vitessede glissementet
|dT|=µ.|dN|
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Modélisation des actions de frottement – Modèle locale
Les Actions Mécaniques
n
dF(1->2)
M
dN(1->2)
dT(1->2)1
2
S'il n'y a mouvement relatif :
V(M,2/1) = 0
pas d'information sur la direction et le sens de l'action tangentielle
mais
|dT|≤µο.|dN|
Cône d'adhérence
µο = tan ϕ
ο
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Quelques valeurs de coefficient de frottement de adhérence
Les Actions Mécaniques
Le coefficient de frottement dépend de certains paramètres : nature des matériaux en contact rugosité des surfaces lubrification (ou non ) des surfaces
Par contre, il est dans une grande mesure indépendant de la forme des surfaces, de la vitesse de glissement ou de la valeur de l’effort normal au contact.
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Modélisation des actions de contact sans frottement
Les Actions Mécaniques
n
dF(1->2)
M1
2
Si l'on peut négliger les frottements, l'action tangentielle est nulle
dT=0
l'action élémentaire dF est normalea la surface de contact
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torseur transmissibles dans une liaison parfaite
Les Actions Mécaniques
Intuitivement, quand il y a une translation relative possible d'un solide par rapport à l'autre, on ne peut pas transmettre de force dans la direction de la translation.
Inversement si une translation est bloquée, on peut transmettre une force.
X
Translationpossible
Translationbloquée
Pas de forcetransmissibleX
forcetransmissible
Liaison pivot glissant
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torseur transmissibles dans une liaison parfaite
Les Actions Mécaniques
De même, quand il y a une rotation relative possible d'un solide par rapport à l'autre, on ne peut pas transmettre de couple autour de l'axe de rotation.
Inversement si une rotation est bloquée, on peut transmettre un couple.
X
Rotationpossible
Rotationbloquée
Pas de coupletransmissible
Coupletransmissible
Liaison pivot glissantX
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torseur transmissibles dans une liaison parfaite
Les Actions Mécaniques
Attention à bien croiser! (rotation<->couple) (translation<->force)
Liaison pivot glissant
Ax
y
( )z,y,x00
V00
A)1/2(V yy
Ω=
( )z,y,xMyFy
00MxFx
A)21(T
=→
Cela revient à dire que la liaison ne dissipe pas d'énergie (liaison parfaite),voir complément à la fin de ce document.
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torseur transmissibles dans une liaison parfaite
Les Actions Mécaniques
On pourrait retrouver ce résultat à partir de la particularité de la densité surfacique de force en l'absence de frottement:
dF
A y
dF perpendiculaire à y
dF ne crée pas de moment selon l'axe (O,y)
( )z,y,xMzFz
00MxFx
A)21(FdAQ)21(Fd
AT 21
=
→∧→
=∫ ∫
∫ ∫→
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Torseur des AM transmissibles dans les liaison normalisées
Les Actions MécaniquesS2I Lycée Corneille
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Les Actions Mécaniques
Torseur des AM transmissibles dans les liaison normalisées
Complément : puissance dissipée dans une liaison
Les Actions Mécaniques
Q
1 2
dF(1->2)
V(Q,2/
1)
Exprimons la puissance développéepar les actions mécaniques de contact.
Ce sera la puissance dissipée dans la liaison 1-2.
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Les Actions Mécaniques
Q
1 2
dF(1->2)
V(Q,2/
1)la puissance élementaire en Q s'écrit
)1/2,Q(V).21(Fd)1/21dP(Q,
→=→
Sommons sur la surface de contact S:
Complément : puissance dissipée dans une liaison
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Complément : puissance dissipée dans une liaison
Les Actions Mécaniques
Q
1 2
dF(1->2)
V(Q,2/
1)
A
( )∫ ∫ ∧Ω+→=→S
AQ)1/2()1/2,A(V).21(Fd)1/21P(Q,
Grace au champ des vitesses, on fait apparaîtreun point A de 2
( )∫ ∫∫ ∫ ∧Ω→+→=SS
AQ)1/2().21(Fd)1/2,A(V).21(Fd
( )∫ ∫∫ ∫ →∧Ω+→=SS
)21(FdAQ).1/2()21(Fd).1/2,A(V
Moment dutorseur cinématique
Moment dutorseur d'AM
Résultante dutorseur d'AM
Résultante dutorseur
cinématique
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Résultat : Puissance dissipée dans une liaison
Les Actions Mécaniques
Q
1 2
dF(1->2)
V(Q,2/
1)
A
Grace au champ des vitesses, on fait apparaîtreun point A de 2
)21,(OM).1/2()21(R).1/2,A(V)1/21(P →Ω+→=→
Ω⊗
→→=⊗=→ →
)1/2,A(V)1/2(
A)21,A(M)21(R
AVT)1/21(P 1/221
C'est ce que l'on appelle le commoment de deux torseurs
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Résultat : Pour une liaison parfaite la puissance dissipée doit être nulle d'où
Les Actions Mécaniques
( ) ( )z,y,xMzFz
MyFyMxFx
Az,y,xVVV
A)21(T)1/2(V
zz
yy
xx
⊗
ΩΩΩ
=→⊗
0Mz.My.Mx.Fz.VFy.VFx.V zyxzyx =Ω+Ω+Ω+++=
Cette propriété est vérifiée pour toutes les liaisons normalisées
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