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PROF. BENEDITO C. SILVA
Determinação de Vazões Extremas
Estimativas de vazões máximas
Usos: Dimensionamento de estruturas de drenagem Dimensionamento de vertedores Dimensionamento de proteções contra cheias Análises de risco de inundação Dimensionamento de ensecadeiras Dimensionamento de pontes Morfologia fluvial Questões ambientais: relação rio-planície
Tempos de retorno admitidos para algumas estruturas
Estrutura TR (anos)
Bueiros de estradas pouco movimentadas 5 a 10
Bueiros de estradas muito movimentadas 50 a 100
Pontes 50 a 100
Diques de proteção de cidades 50 a 200
Drenagem pluvial 2 a 10
Grandes barragens (vertedor) 10 mil
Pequenas barragens 100
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Vazões máximas a partir de séries de vazões medidas
Deve ser obtida uma série histórica de vazões máximas diárias, considerando:
i. Valores máximos diários de cada anoii. Um valor para cada ano hidrológicoiii. O ano hidrológico corresponde ao
período de 12 meses, começando no início do período chuvoso e terminando ao final da estação seca.
Para o Sudeste do Brasil, o ano hidrológico se inicia em outubro e termina em setembro do ano seguinte
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Seleção dos máximos anuaisVazões diárias em Morpará (Rio São Francisco)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
31/12/94 31/12/95 31/12/96 31/12/97
Vaz
ão (m
3 /s)
Ano civil
Ano hidrológico
Máx. de 1995
Máx. de 1996
Máx. de 1995/96
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xXPxF
Função distribuição de probabilidade acumulada
Probabilidade da variável X ser menor ou igual ao valor x
Probabilidade de não-excedência
Probabilidade da variável X ser maior ou igual ao valor x
Probabilidade de excedência
xFxXP 1
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Função de distribuição empírica
• Ajuste gráfico dos pontos da amostra, utilizando equações de posição de locação ou plotagem para estimativa da probabilidade de excedência. Exemplo:
1)(
nmqQP m
Onde m é ordem dos valores (decrescente) da amostran é o tamanho da amostra.
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Exemplo de ajuste empírico
Para o segundo valor:
Ordem Vazão Máxima
1 289.5 2 263.3 3 240.0 4 227.3 5 210.8 6 184.5 7 183.8 8 170.3 9 167.3
10 157.5 11 145.5 12 131.3 13 104.3
Ano Vazão Máxima
1983 145.5 1984 183.8 1985 289.5 1986 131.3 1987 227.3 1988 167.3 1989 104.3 1990 263.3 1991 157.5 1992 240 1993 170.3 1994 210.8 1995 184.5
Probabilidade empírica 0.0714 0.1429 0.2143 0.2857 0.3571 0.4286 0.5000 0.5714 0.6429 0.7143 0.7857 0.8571 0.9286
Tempo Retorno
14.0 7.0 4.7 3.5 2.8 2.3 2.0 1.8 1.6 1.4 1.3 1.2 1.1
0.71429.01
)(1
qQP
TR
1429.0113
21
nmqQP
9
Exemplo de ajuste empírico
0.0
50.0
100.0
150.0
200.0
250.0
300.0
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0
Tempo de retorno, TR (ano)
Vaz
ão m
áxim
a (m
3 /s)
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Distribuições teóricas de probabilidade
• Normal (simétrica e utilizada para vazões médias ou precipitações médias)
• Log-Normal (vazões máximas)• Gumbel (extremo tipo I) (vazões
máximas)• Extremo Tipo III ou Weibull (vazões
mínimas)• Log Pearson Tipo III (vazões máximas)
adotada em alguns países como padrão . Utiliza três parâmetros
Distribuições usuais em hidrologia
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Distribuições teóricas de probabilidade
12
Distribuições teóricas de probabilidade
13
Distribuição de Gumbel (Extremos I)
yeeqQP
A função densidade de probabilidade acumulada é
Ou, passando para probabilidade de excedência
yeeqQP 1
qy
Onde,
5772,0
78,0
x
ss - desvio padrão
da série de valores máximos - média da série de valores máximos
x
14
yeeqQP 1yee
TR11
TRe
ye 11
Passando o logaritmo 2 vezes
TRy 11lnln
TR
q 11lnln
TRTRq 11lnln
Distribuição de Gumbel (Extremos I)
Cálculo da vazão máxima q, para o tempo de retorno TR
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Distribuição Log-Pearson Tipo III
Função densidade de probabilidade:
Fórmula alternativa:A vazão para um tempo de retorno TR é
calculada por,QTR KSQQ logloglog
QSlog= Desvio padrão dos logaritmos da
vazões
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Distribuição Log-Pearson Tipo III
O parâmetro K é calculado por:
11
662
3
1GGk
GK
Com,
32
2
1 001308,0189269,0432788,11010328,0802853,0515517,2
ttttttk
2lnt TR
G é o coeficiente de assimetria
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Exemplo de ajuste de função teórica
Distribuição Normal
Ano Vazão Máxima
1983 145.5 1984 183.8 1985 289.5 1986 131.3 1987 227.3 1988 167.3 1989 104.3 1990 263.3 1991 157.5 1992 240 1993 170.3 1994 210.8 1995 184.5
Média 190.4 m3/sDesvio padrão 53.5 m3/s
Tempo Probabilidade Vazão (m3/s)de retorno Distrib. Normal
100 0.010 314.990 0.011 312.880 0.013 310.470 0.014 307.660 0.017 304.350 0.020 300.340 0.025 295.330 0.033 288.620 0.050 278.514 0.071 268.810 0.100 259.09 0.111 255.78 0.125 252.07 0.143 247.56 0.167 242.25 0.200 235.44 0.250 226.53 0.333 213.42 0.500 190.4
1.01 0.990 65.6
18
0.0
50.0
100.0
150.0
200.0
250.0
300.0
350.0
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0
Tempo de retorno, TR (ano)
Vaz
ão m
áxim
a (m
3 /s)
EmpíricaNormal
Exemplo de ajuste de função teórica
Distribuição Normal
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Exemplo de ajuste de função teórica
Distribuição Gumbel
Ano Vazão Máxima
1983 145.5 1984 183.8 1985 289.5 1986 131.3 1987 227.3 1988 167.3 1989 104.3 1990 263.3 1991 157.5 1992 240 1993 170.3 1994 210.8 1995 184.5
Média 190.4 m3/sDesvio padrão 53.5 m3/s
Alfa 41.76223Mi 166.2795
Tempo Probabilidade Vazão (m3/s)de retorno Distrib. Gumbel
100 0.010 358.3990 0.011 353.9780 0.013 349.0270 0.014 343.4160 0.017 336.9250 0.020 329.2340 0.025 319.8130 0.033 307.6220 0.050 290.3214 0.071 274.9510 0.100 260.269 0.111 255.618 0.125 250.367 0.143 244.376 0.167 237.365 0.200 228.924 0.250 218.313 0.333 203.982 0.500 181.59
1.01 0.990 102.41
TRTRq 11lnln
20
Exemplo de ajuste de função teórica
Distribuição Gumbel
0.0
50.0
100.0
150.0
200.0
250.0
300.0
350.0
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0
Tempo de retorno, TR (ano)
Vaz
ão m
áxim
a (m
3 /s)
EmpíricaNormalGumbel
Exemplo rio Guaporé
Comparação de resultados
TR Normal Log Normal Log Pearson 3 Gumbel
2 754 678 685 696
5 1050 1010 1013 1007
10 1204 1245 1236 1212
25 1369 1554 1522 1472
50 1475 1794 1737 1665
100 1571 2041 1953 1856
Considerações finais
Vazões máximas não seguem distribuição normal.
Distribuição assimétrica.Estimativa de vazões máximas com
Log Normal Gumbel Log Pearson 3
Não há uma distribuição perfeitaLog Pearson 3 é recomendada oficialmente
nos EUA, mas não é adequada quando N é pequeno
Gumbel tem a vantagem de ser de simples aplicação
Incerteza da curva – chave.
Considerações finais
25
Vazão máxima para locais sem dados observados: método racional
Área < 2 km2
Qp=0,278 C I A
Qp: vazão máxima (m3/s)C: coeficiente de run-offI: intensidade em mm/hA: área em km2
26
27
Sequência de cálculo
• Delimitar a bacia hidrográfica;• Divisão de áreas quanto a cobertura da bacia (C1, C2, C3, etc.);• Cálculo do C (média ponderada)
• Determinação do comprimento do curso principal L e a sua declividade S (ou H, queé o desnível entre o ponto mais afastado dabacia e o exutório);
28
Sequência de cálculo
29
Exemplo
30
31
(C = 0,10)
(C = 0,85)
(C = 0,25)
(C = 0,20)
32
Solução
𝑪=𝟏 ,𝟎 𝒙𝟎 ,𝟏+𝟎 ,𝟖 𝒙 𝟎 ,𝟖𝟓+𝟎 ,𝟗 𝒙𝟎 ,𝟐𝟓+𝟐 ,𝟏 𝒙𝟎 ,𝟐𝟎
𝟒 ,𝟖 =𝟎 ,𝟑𝟎
33
Solução
0,309,88 m3/s
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