Department of Mathematics

嘉应学院数学系

Department of Mathematics

第一章 复数与复变函数第二章 解析函数第三章 复变函数的积分

第四章 解析函数的幂级数表示法第五章 解析函数的罗朗展示与孤立奇点第六章 残数理论及其应用第七章 保形变换

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第一章 复数与复变函数第一节 复数第二节 复平面上的点集 第三节 复变函数第四节 复球面与无穷远点

第一节 复数

1 、复数域 （ 1 ）复数 形如 ，其中 x 和 y 是实数， i

是虚数单位 (-1 的平方根 ), 称为复数。其中 x 和 y分别称为复数 Z 的实部和虚部，分别记作：

两个复数相等是指它们的实部与虚部分别相等 如果 Imz=0 ，则 z 可以看成一个实数； 如果 Imz 不等于零，那么称 z 为一个虚数； 如果 Imz 不等于零，而 Rez=0 ，则称 z 为一个纯虚

数

zyzx Im,Re

iyxz

(2) 复数的四则运算

复数的四则运算定义为：

复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域 ( 对加、减、乘、除运算封闭），记为 C ，复数域可以看成实数域的扩张。

)()()()( 21212211 bbiaaibaiba

)()())(( 122121212211 babaibbaaibaiba

1 1 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( )

( )

a ib a a b b a b a bi

a ib a b a b

--- 相当于代数中多项运算

（ 3 ）共轭复数x iy x iy 复数 与 称为互为共轭复数,

,z z的共轭复数记为

z x iy x iy

( )z z

1 2 1 2 ,z z z z 1 2 1 2 ,z z z z1 1

2 2

( )z z

z z

2Re , 2 Imz z z z z i z

例 1: 试确定等式 (3 6 ) (5 9 ) 6 7i x i y i 的实数 , .x y

解 : 原式化简为(3 5 )x y (6 9 )x y i 6 7i

故 3 5 6,x y 6 9 7x y

解得1

, 13

x y

例 2: 设 , ( 0),z

a bi z x yiz

试证 2 2 1.a b

证明 : 由2

z za bi

z zz

2 2

2 2

x y

x y

2 2

2xyi

x y

得2 2

2 2,

x ya

x y

2 2

2xyb

x y

所以 2 2 1.a b

2 、复平面 复数域 C 也可以理解成平面 RxR ，我们称C为复平面 . 作映射：

则在复数集 C 与平面 RxR之建立了一个 1-1 对应（双射）。 平面上横坐标轴我们称为实轴，纵坐标轴

称为虚轴；复平面一般称为 z- 平面， w- 平面等。

),(:2 yxiyxzRC ),( yx

3 、复数的模与辐角 模 : 复数可以等同于平面中的向量 ( 从原点到 z=x+yi 所

引向量 oz ）。向量的长度称为复数的模，定义为：2 2| | 0z x y 即 2| |z zz

性质 :

| | 0 0z z

| | Re ; | | Im ;z z z z z z 11

1 2 1 22 2

;zz

z z z zz z

1 2 1 2 1 2 ;z z z z z z (三角不等式 )

推广1 2 1 2 ;n nz z z z z z

z x iy

1 2,z z复数 所表示的两个向量共线且同向,即

1 2 1 20, 0; , ( 0)z z z kz k

1 2,z z 两点的距离 1 2 1 2( , )d z z z z

例 3: 设1

2z , 试证 3 3

(1 ) .4

i z iz

证明 :3 2(1 ) (1 )i z iz z i z i

2(1 )z i z i

1 1( 2 1)

2 4

1 1 3( 1)

2 2 4

例 4: 求复数 1

1

z

z

的实部 , 虚部和模 .( 1)z

解 : 1

1

z

z

2

(1 )(1 )

1

z z

z

2

2

1 2 Im

1

z i z

z

2

2

1Re ,

1

z

z

2

2ImIm ,

1

z

z

2 1 1

1 1

z z

z z

2

2

1 2Re

1

z z

z

2

1 2Re

1

z z

z

例 5: 设 1z , 试证 1az b

bz a

证明 : 1, 1zz z

az b

bz a

a bz z

bz a

a bz

bz a

a bz

bz a

az bzz

bz a

1

例 设 、 是两个复数，求证：1z 2z),Re(2|||||| 21

22

21

221 zzzzzz

)(|| 21212

21 zzzzzz ）（证明：

））（ 2121 ( zzzz

21212211 zzzzzzzz

21212

22

1 |||| zzzzzz

)Re(2|||| 212

22

1 zzzz

2 , 0, 1, 2,Argz k k

注 :

辐角 :向量 z 与实轴正向之间的夹角称为复数 z 的辐角，定义为：

Argz辐角 的某一特定值 ------ 主值

arg ; argz z 记为 合条件-

arg 2 , 0, 1, 2,Argz z k k

主辐角 :

0z Argz当 时,辐角 无意义 z

)

arg z

arg arctany

zx

主辐角 与 的关系

arctan ,y

x0x 当 时

0, 0x y 当 时,2

0, 0x y 当 时arctany

x

0, 0x y 当 时arctany

x

0, 0x y 当 时,2

,

,

例 6: 求 ( 2 2 )Arg i

解 : ( 2 2 )Arg i arg( 2 2 ) 2i k

2arctan

2

3

2 , 0, 1, 2,4

k k 2k

非零复数的三角形式与指数形式为：

z x iy | | (cos sin )z Argz i Argz

rg| | iA zz e----- 三角形式

------ 指数形式

------ 代数形式

1 21 1 2 2,i iz re z r e 对

1 2 1 2 1 2 1 2, ( 2 )z z r r k 或cos sin , (ie i 欧拉公式)

例 7: 把复数 2 2i 化为指数形式

由于

2 2i 2 2i 3

4ie

3

42 2i

e

例 8: 将复数 1- cos sinz i 化为指数形式

解 :

解 :

2 2 2(1 cos ) sinz 2(1 cos ) 24sin2

sinarg arctan

1 cosz

2

2sin cos2 2arctan

2sin2

arctan(cot )2

arctan(tan( ))

2 2

2 2

所以 1 cos sini ( )

2 222

isin e

利用复数的指数形式作乘除法：1 2

1 1 2 2,i iz re z r e 设

则 1 2( )1 2 1 2

iz z r r e 1 2( )1 1

2 2

iz re

z r

2121 )( ArgzArgzzzArg 11 2

2

( )z

Arg Argz Argzz

注 : 1 2 1 2 1( ) 2arg z z argz argz k

11 2 2

2

( ) 2z

arg argz argz kz

1 2,k k 为整数

2

2sin cos2 2arctan

2sin2

4 、复数的乘幂与方根

乘幂 iz re 设(cos sin )n n in nz r e r n i n 则

, rgnn nz z A z nArgz 从而

De Moivre公式(cos sin ) cos sinni n i n

[cos( ) sin( )]n nz r n i n

方根 ,

,

n

n

z n z

z

非零复数 的 次方根 是指满足 的

复数 的全体 记为

,i iz re e 设 n in ie re 则, 2n r n k 从而

2 2 2

0

k k ki i i i

n nn n n nk re re e e

iz re n因此 的 次方根为

2,n kr

n

从而

k=0,1,2,…,n-1

可以看到， k=0,1,2,…,n-1 时，可得 n 个不同的值，即 z 有 n 个 n 次方根，其模相同，辐角相差一个常数，均匀分布于一个圆上。

2

( 0,1, , 1) 1k

ine k n

为的n个n次方根.

0( ) knk kz 从而

1 0, 1n n 2且1+

211 , , , ( ).

in ne

2的n个n次方根通常记为1, ,

注 1:

注 2:

例 9 解方程

3 8 0z 3 8z 解： 1

3(8 )ie 2

32 ,k

ie

0,1,2k

0k 时 31 2 ,

iz e

2 2 2,iz e 5

3 32 2 2 ,

i iz e e

1k 时

2k 时

5 、复数在几何上的应用(1) 曲线的复数方程

1 2 3, ,z z z三点 共线的充要条件是

3 1

2 1

( )z z

t tz z

为非零实数

( , ) 0,XY F x y 平面上的曲线方程 其复数形式为1 1

( ( ), ( )) 02 2

F z z z zi

例 10   试用复数表示圆的方程 :

0)( 22 dcybxyxa

其中， a,b,c,d 是实常数。解：利用 2 2 ,zz x y

2 ,z z x 2z z yi

0 dzzzaz 得：

).(21

icb其中，

例 11   证明三角形内角和等于 .

(2) 利用复数证明几何问题

证明 设三角形三个顶点分别为 1 2 3, , ;z z z

对应的三个角分别为 , , ; 于是

2 1

3 1

arg ,z z

z z

3 2

1 2

arg ,z z

z z

1 3

2 3

arg ;z z

z z

由于 2 1

3 1

z z

z z

3 2

1 2

z z

z z

1 3

2 3

z z

z z

1

所以2 1

3 1

argz z

z z

3 2

1 2

argz z

z z

1 3

2 3

argz z

z z

arg( 2 1

3 1

z z

z z

3 2

1 2

z z

z z

1 3

2 3

)z z

z z

2k

arg( 1) 2k 2k 0 ,0 ,0 ;

0 3 ;

0,k 故必 . 故

作业

P42 习题 ( 一 )2,3,4,

P45 习题 ( 二 )1,2,

本节结束谢谢！

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