Das Geheimnis der Zahl 5
Ingo [email protected]
Pizzaseminar in MathematikUniversität Augsburg
21. Oktober 2016
Gewidmet an Prof. Dr. Jost-Hinrich Eschenburg.
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 1 / 18
Gliederung
1 Ein Entwurfsmuster der Natur
2 KettenbrücheBeispieleBerechnung der KettenbruchentwicklungBestapproximationen durch die Kettenbruchentwicklung
3 Approximationen von π
4 Das Mandelbrot-Fraktal
5 Spiralen in der Natur
6 Die Ananas aus SpongeBob Schwammkopf
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 3 / 18
Ein Entwurfsmuster der Natur
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 4 / 18
Ein Entwurfsmuster der Natur
Fibonaccizahlen:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 4 / 18
Ein merkwürdiger Bruch
1 +1
2 +1
2 +1
2 + . . .
= ?
Entscheidende Beobachtung:Wenn wir
x := ?− 1 =1
2 +1
2 +1
2 + . . .setzen, gilt
12 + x
= x.
Multiplizieren mit dem Nennerliefert also müssen wir nur diequadratische Gleichung0 = x2 + 2x− 1 lösen, somit
x =−2 +
√8
2= −1+
√2 oder x =
−2−√8
2= −1−
√2.
Es ist die positive Möglichkeit.
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 5 / 18
Ein merkwürdiger Bruch
1 +1
2 +1
2 +1
2 +. . .
= ?
Entscheidende Beobachtung: Wenn wir
x := ?− 1 =1
2 +1
2 +1
2 +. . .
setzen, gilt1
2 + x= x.
Multiplizieren mit dem Nenner liefert also müssen wir nur diequadratische Gleichung 0 = x2 + 2x− 1 lösen, somit
x =−2 +
√8
2= −1 +
√2 oder x =
−2−√8
2= −1−
√2.
Es ist die positive Möglichkeit.
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 5 / 18
Ein merkwürdiger Bruch
1 +1
2 +1
2 +1
2 +. . .
= ?
Entscheidende Beobachtung: Wenn wir
x := ?− 1 =1
2 +1
2 +1
2 +. . .
setzen, gilt1
2 + x= x.
Multiplizieren mit dem Nenner liefert also müssen wir nur diequadratische Gleichung 0 = x2 + 2x− 1 lösen, somit
x =−2 +
√8
2= −1 +
√2 oder x =
−2−√8
2= −1−
√2.
Es ist die positive Möglichkeit.
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 5 / 18
Ein merkwürdiger Bruch
Entscheidende Beobachtung: Wenn wir
x := ?− 1 =1
2 +1
2 +. . .
setzen, gilt1
2 + x= x.
Multiplizieren mit dem Nenner liefert also müssen wir nur diequadratische Gleichung 0 = x2 + 2x− 1 lösen, somit
x =−2 +
√8
2= −1 +
√2 oder x =
−2−√8
2= −1−
√2.
Es ist die positive Möglichkeit.
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 5 / 18
Ein merkwürdiger Bruch
Entscheidende Beobachtung: Wenn wir
x := ?− 1 =1
2 +1
2 +. . .
setzen, gilt1
2 + x= x.
Multiplizieren mit dem Nenner liefert 1 = x · (2+ x),
also müssenwir nur die quadratische Gleichung 0 = x2 + 2x− 1 lösen, somit
x =−2 +
√8
2= −1 +
√2 oder x =
−2−√8
2= −1−
√2.
Es ist die positive Möglichkeit.
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 5 / 18
Ein merkwürdiger Bruch
Entscheidende Beobachtung: Wenn wir
x := ?− 1 =1
2 +1
2 +. . .
setzen, gilt1
2 + x= x.
Multiplizieren mit dem Nenner liefert 1 = 2x + x2,
also müssenwir nur die quadratische Gleichung 0 = x2 + 2x− 1 lösen, somit
x =−2 +
√8
2= −1 +
√2 oder x =
−2−√8
2= −1−
√2.
Es ist die positive Möglichkeit.
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 5 / 18
Ein merkwürdiger Bruch
Entscheidende Beobachtung: Wenn wir
x := ?− 1 =1
2 +1
2 +. . .
setzen, gilt1
2 + x= x.
Multiplizieren mit dem Nenner liefert 1 = 2x + x2, also müssenwir nur die quadratische Gleichung 0 = x2 + 2x− 1 lösen,
somit
x =−2 +
√8
2= −1 +
√2 oder x =
−2−√8
2= −1−
√2.
Es ist die positive Möglichkeit.
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 5 / 18
Ein merkwürdiger Bruch
Entscheidende Beobachtung: Wenn wir
x := ?− 1 =1
2 +1
2 +. . .
setzen, gilt1
2 + x= x.
Multiplizieren mit dem Nenner liefert 1 = 2x + x2, also müssenwir nur die quadratische Gleichung 0 = x2 + 2x− 1 lösen, somit
x =−2 +
√8
2= −1 +
√2 oder x =
−2−√8
2= −1−
√2.
Es ist die positive Möglichkeit.Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 5 / 18
Weitere Beispiele
[1; 2, 2, 2, . . .] =
1 +1
2 +1
2 +1
2 +. . .
=√2
[2; 4, 4, 4, . . .] =
2 +1
4 +1
4 +1
4 +. . .
=√5
[3; 6, 6, 6, . . .] =
3 +1
6 +1
6 +1
6 +. . .
=√10
1√2 = [1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, . . .]
2√5 = [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, . . .]
3√10 = [3; 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, . . .]
4√6 = [2; 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, . . .]
5√14 = [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, . . .]
6 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, . . .]= 2,718 281 8284 590 452 3536 . . .
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 6 / 18
Weitere Beispiele
[1; 2, 2, 2, . . .] = 1 +1
2 +1
2 +1
2 +. . .
=√2
[2; 4, 4, 4, . . .] = 2 +1
4 +1
4 +1
4 +. . .
=√5
[3; 6, 6, 6, . . .] = 3 +1
6 +1
6 +1
6 +. . .
=√10
1√2 = [1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, . . .]
2√5 = [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, . . .]
3√10 = [3; 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, . . .]
4√6 = [2; 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, . . .]
5√14 = [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, . . .]
6 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, . . .]= 2,718 281 8284 590 452 3536 . . .
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 6 / 18
Weitere Beispiele
1√2 = [1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, . . .]
2√5 = [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, . . .]
3√10 = [3; 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, . . .]
4√6 = [2; 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, . . .]
5√14 = [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, . . .]
6 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, . . .]= 2,718 281 8284 590 452 3536 . . .
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 6 / 18
Der euklidische Algorithmus
Zur Erinnerung:√2 = 1 +
1
2 +1
2 +1
2 +. . .
= 1,41421356 . . .
1,41421356 . . . = 1 · 1,00000000 . . .+ 0,41421356 . . .
1,00000000 . . . = 2 · 0,41421356 . . .+ 0,17157287 . . .
0,41421356 . . . = 2 · 0,17157287 . . .+ 0,07106781 . . .
0,17157287 . . . = 2 · 0,07106781 . . .+ 0,02943725 . . .
0,07106781 . . . = 2 · 0,02943725 . . .+ 0,01219330 . . .
0,02943725 . . . = 2 · 0,01219330 . . .+ 0,00505063 . . ....
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 7 / 18
Bestapproximationen durch Kettenbrüche
TheoremWenn man die Kettenbruchentwicklung einer Zahl x abschneidet,erhält man einen Bruch a/b, der unter allen Brüchen mitNenner ≤ b der Zahl x am nächsten liegt.
√2 = 1 +
1
2 +1
2 +1
2 +. . .
// 1 +1
2 +1
2 +12
=1712≈ 1,42
Bonus. Je größer der KoeXzient nach der Abschneidestelle ist,desto besser ist die Näherung a/b.
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 9 / 18
Bestapproximationen durch Kettenbrüche
TheoremWenn man die Kettenbruchentwicklung einer Zahl x abschneidet,erhält man einen Bruch a/b, der unter allen Brüchen mitNenner ≤ b der Zahl x am nächsten liegt.
√2 = 1 +
1
2 +1
2 +1
2 +. . .
// 1 +1
2 +1
2 +12
=1712≈ 1,42
Bonus. Je größer der KoeXzient nach der Abschneidestelle ist,desto besser ist die Näherung a/b.
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 9 / 18
Liebe istwichtig.
♥
Pi istwichtig.
π
Approximationen von π
π = 3,1415926535 . . . = 3 +1
7 +1
15 +1
1 +1
292 +. . .
1 3
2 [3; 7] = 22/7 = 3,1428571428 . . .
3 [3; 7, 15] = 333/106 = 3,1415094339 . . .
4 [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,1415929203 . . . (Milü)
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 12 / 18
Das Mandelbrot-Fraktal
Im Mandelbrot-Fraktal tauchen die Fibonaccizahlen auf.
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 13 / 18
Das Mandelbrot-Fraktal
Im Mandelbrot-Fraktal tauchen die Fibonaccizahlen auf.
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 13 / 18
Spiralen in der Natur
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 14 / 18
Die irrationalste aller Zahlen
Der optimale Winkel für aufeinanderfolgende Samen ist weder
90◦ =14· 360◦ noch 45◦ =
18· 360◦.
Stattdessen ist er der goldene Winkel Φ · 360◦ ≈ 582◦ (äqv.: 138◦):
Φ = goldener Schnitt =1 +√5
2= 1,6180339887 . . .
Theorem
Der goldene Schnitt Φ ist die irrationalste aller Zahlen.
Beweis. Φ = 1 +1
1 +1
1 +1
1 +. . .
.
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 15 / 18
Die irrationalste aller Zahlen
Der optimale Winkel für aufeinanderfolgende Samen ist weder
90◦ =14· 360◦ noch 45◦ =
18· 360◦.
Stattdessen ist er der goldene Winkel Φ · 360◦ ≈ 582◦ (äqv.: 138◦):
Φ = goldener Schnitt =1 +√5
2= 1,6180339887 . . .
Theorem
Der goldene Schnitt Φ ist die irrationalste aller Zahlen.
Beweis. Φ = 1 +1
1 +1
1 +1
1 +. . .
.
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 15 / 18
Die irrationalste aller Zahlen
Der optimale Winkel für aufeinanderfolgende Samen ist weder
90◦ =14· 360◦ noch 45◦ =
18· 360◦.
Stattdessen ist er der goldene Winkel Φ · 360◦ ≈ 582◦ (äqv.: 138◦):
Φ = goldener Schnitt =1 +√5
2= 1,6180339887 . . .
Theorem
Der goldene Schnitt Φ ist die irrationalste aller Zahlen.
Beweis. Φ = 1 +1
1 +1
1 +1
1 +. . .
.
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 15 / 18
(Nicht-)Verwendung des goldenen Winkels
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 16 / 18
Wieso die Fibonaccizahlen?
Φ = 1 +1
1 +1
1 +1
1 +. . .
1 1 = 1/12 [1; 1] = 2/13 [1; 1, 1]
= 3/24 [1; 1, 1, 1] = 5/35 [1; 1, 1, 1, 1] = 8/56 [1; 1, 1, 1, 1, 1] = 13/87 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 21/138 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 34/219 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 55/34
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 17 / 18
Wieso die Fibonaccizahlen?
Φ = 1 +1
1 +1
1 +1
1 +. . .
1 1 = 1/12 [1; 1] = 2/13 [1; 1, 1] = 3/24 [1; 1, 1, 1]
= 5/35 [1; 1, 1, 1, 1] = 8/56 [1; 1, 1, 1, 1, 1] = 13/87 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 21/138 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 34/219 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 55/34
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 17 / 18
Wieso die Fibonaccizahlen?
Φ = 1 +1
1 +1
1 +1
1 +. . .
1 1 = 1/12 [1; 1] = 2/13 [1; 1, 1] = 3/24 [1; 1, 1, 1] = 5/35 [1; 1, 1, 1, 1]
= 8/56 [1; 1, 1, 1, 1, 1] = 13/87 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 21/138 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 34/219 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 55/34
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 17 / 18
Wieso die Fibonaccizahlen?
Φ = 1 +1
1 +1
1 +1
1 +. . .
1 1 = 1/12 [1; 1] = 2/13 [1; 1, 1] = 3/24 [1; 1, 1, 1] = 5/35 [1; 1, 1, 1, 1] = 8/5
6 [1; 1, 1, 1, 1, 1] = 13/87 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 21/138 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 34/219 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 55/34
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 17 / 18
Wieso die Fibonaccizahlen?
Φ = 1 +1
1 +1
1 +1
1 +. . .
1 1 = 1/12 [1; 1] = 2/13 [1; 1, 1] = 3/24 [1; 1, 1, 1] = 5/35 [1; 1, 1, 1, 1] = 8/56 [1; 1, 1, 1, 1, 1] = 13/87 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 21/138 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 34/219 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] = 55/34
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 17 / 18
Die Ananas aus SpongeBob Schwammkopf
Von Vi Hart, Mathemusikerin.Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 18 / 18
Bildquellenhttps://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Vi_Hart.jpghttp://joachim-reichel.org/software/fraktal/mandelbrot_large.pnghttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bellis_perennis_white_(aka).jpghttp://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/coneflower.jpg (Tim Stone)http://www.bibliotecapleyades.net/imagenes_ciencia2/conscious_universe472_02.jpghttp://www.education.txstate.edu/ci/faculty/dickinson/PBI/PBIFall06/GeoNature/Content/Fibonacci_Lesson_files/image037.gifhttp://www.sciencedump.com/sites/default/files/styles/article_width/public/field/gallery/8247962.jpg
Pizzaseminar in Mathematik Das Geheimnis der Zahl 5 19 / 18
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