Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang
Transformasi dan Invers Laplace II-1
TRANFORMASI DAN INVERS LAPLACE
Didalam perancangan dan analisa sistem pengaturan akan banyak dijumpai persamaan-
persamaan diferensial dimana ia merupakan pemodelan dari suatu sistem. Untuk
mengetahui sifat-sifat dari suatu sistem, persamaan-persamaan tersebut harus
dipecahkan, dan salah satu teknik untuk memecahkan persamaan diferensial adalah
menggunakan metode transformasi Laplace.
Teknik pengalih bentuk yang menghubungkan fungsi-fungsi waktu ke fungsi-fungsi
tergantung frekuensi dari suatu variabel kompleks. Teknik ini disebut Transformasi
Laplace atau alih bentuk Laplace.
Dalam bab ini akan dibahas tentang metode transformasi Laplace, dan transformasi
baliknya.
Tujuan Instruksional khusus:
Mahasiswa mendapat pengetahuan tentang dasar matematis yang diperlukan dalam sistem kendali.
Mahasiswa dapat menggunakan metode transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan sistem kendali.
Mahasiswa dapat menggunakan tabel transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan sistem kendali.
Materi II
Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang
Transformasi dan Invers Laplace II-2
2.1. TRANSFORMASI LAPLACE Transformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat
digunakan secara mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier. Dengan menggunakan transformasi Laplace, dapat diubah beberapa fungsi umum seperti fungsi sinusoida, fungsi sinusoida teredam, dan fungsi eksponensial menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks s . Bila persamaan aljabar dalam s dipecahkan, maka penyelesaian dari persamaan diferensial (transformasi Laplace balik dari variabel tidak bebas) dapat diperoleh dengan menggunakan tabel transformasi Laplace.
Secara sederhana prosedur dasar pemecahan menggunakan metode transformasi Laplace adalah: Persamaan diferensial yang berada dalam kawasan waktu (t), ditransformasikan
ke kawasan frekuensi (s) dengan transformasi Laplace. Untuk mempermudah proses transformasi dapat digunakan Tabel 2-1.
Persamaan yang diperoleh dalam kawasan s tersebut adalah persamaan aljabar dari variabel s yang merupakan operator Laplace.
Penyelesaian yang diperoleh kemudian ditransformasi-balikkan ke dalam kawasan waktu.
Hasil transformasi balik ini menghasilkan penyelesaian persamaan dalam kawasan waktu.
Gambar 2.1 Prosedur penyelesaian persamaan diferensial
menggunakan metode transformasi Laplace.
Persamaan diferensial
variabel x(t). Penyelesaian x(t).
Persamaan Aljabar
operator s
Penyelesaian Aljabar
X(s)
Transformasi Laplace Transformasi Balik Laplace
Perhitungan Aljabar
Penyelesaian Langsung (analitik)
Kawasan waktu (t)
Kawasan frekuensi (s)
Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang
Transformasi dan Invers Laplace II-3
1. Definisi transformasi Laplace
L
0 0
)()]([)()]([ dtetftfdtesFtf stst (2-1)
)(tf = fungsi waktu t sedemikian rupa sehingga 0)( tf untuk 0t
s = variabel kompleks (operator Laplace) = + j (dengan j = satuan imajiner) L = simbol operasional yang menunjukkan bahwa besaran yang didahuluinya
ditransformasikan dengan integral Laplace
0dte st
)(sF = tranformasi Laplace dari )(tf
2.2. TRANSFORMASI LAPLACE BALIK (INVERS-LAPLACE)
Proses kebalikan dari penemuan fungsi waktu )(tf dari transformasi Laplace )(sF dinamakan transformasi balik Laplace. Notasi untuk transformasi balik Laplace adalah L-1. Jadi
L-1 )()]([ tfsF (2-2)
Pada bab ini tidak akan dibahas secara mendetail penyelesaian transformasi Laplace, akan tetapi di lebih ditekankan pada penggunaan tabel transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan fungsi yang sering ditemui dalam teknik kendali, untuk selanjutnya digunakan Tabel 2-1 untuk memperoleh pasangan transformasi Laplace.
Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang
Transformasi dan Invers Laplace II-4
Tabel 2-1 Transformasi Laplace
f(t)
F(s)
1. Impuls satuan δ(t) 1
2. Langkah satuan 1(t) s
1
3. t 2
1
s
4. )!1(
1
n
t n
( n = 1, 2, 3, . . . ) ns
1
5. tn ( n = 1, 2, 3, . . . ) 1
!ns
n
6. e-at
as
1
7. te-at 2)(
1
as
8. atn et
n
1
)!1(
1 ( n = 1, 2, 3, . . . )
nas )(
1
9. tne-at ( n = 1, 2, 3, . . . ) 1)(
! nas
n
10. sin ωt 22
s
11. cos ωt 22 s
s
12. sinh ωt 22
s
13. cosh ωt 22 s
s
14. )1(1 atea
)(
1
ass
15. )(1 btat ee
ab
))((
1
bsas
16. )(1 atbt aebe
ab
))(( bsas
s
17.
)(
11
1 btat aebebaab
))((
1
bsass
18. )1(1
2
atat ateea
2)(
1
ass
Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang
Transformasi dan Invers Laplace II-5
f(t)
F(s)
19. )1(1
2
ateata
)(
12 ass
20. te at sin 22)(
as
21. te at cos 22)(
as
as
22. te n
tn n 2
21sin
1
22
2
2 nn
n
ss
23.
)1sin(1
2
2
te n
tn n
2
1 1tan
22 2 nn ss
s
24.
)1sin(1
1 2
2
te n
tn n
2
1 1tan
)2( 22
2
nn
n
sss
25. 1 - cos ωt )( 22
2
ss
26. ωt - sin ωt )( 222
3
ss
27. sin ωt - ωt cos ωt 222
3
)(
2
s
28. tt
sin2
1 222 )( s
s
29. t cos ωt 222
22
)(
s
s
30. )cos(cos1
212
1
2
2
tt
)( 2
2
2
1 ))(( 2
2
22
1
2 ss
s
31. )cos(sin2
1ttt
222
2
)( s
s
Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang
Transformasi dan Invers Laplace II-6
Sekarang akan dibahas beberapa sifat dari transformasi Laplace Perkalian dengan konstanta
L
00
)()()( dtetfAdtetAftAf stst
)(sAF (2-3)
Penjumlahan dan pengurangan
L )()( 21 tftf
0 0
210
21 )()()]()([ dtetfdtetfdtetftf ststst
)()( 21 sFsF (2-4)
Diferensiasi
L
0
00
))((])([)()( dtsetfetfdtetfdt
dtf
dt
d ststst
)0()()()0(00
fssFdtetfsf st
(2-5)
Mirip dengan itu, untuk turunan ke-n dari )(tf diperoleh
L )0()0(...)0()0()()()1()2(.
21
nnnnn
n
n
ffsfsfssFstfdt
d
n
r
rrnn fssFs
1
)1(
)0()( (2-6)
Integrasi
L
0 00
)()(t
t
stt
tdtedfdf
0
1
0
1 ))(()()(0
dtetfedf st
s
st
s
t
t
0
10
1 )()(0
dtetfdf st
st s
0
11
0
)()(tss
dfsF (2-7)
Diferensiasi dan Integrasi pada kawasan s
)(sFds
d
00)()( dtetf
ds
ddtetf
ds
d stst
Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang
Transformasi dan Invers Laplace II-7
0
)( dtettf st = L[-t f(t)] = -L[tf(t)]
sdssF )(
s
stdtdsetf0
)(
0
)(s
stdsdtetf
s s
st
ts
st
tdtetfdtetf
0
11 )(0)( )(1 tfLt
(2-8)
Perubahan skala waktu
L dtet
ft
f st
0
(2-9)
Dengan mengganti 1/ tt ; sehingga 1tt , dan 1dtdt , diperoleh
L
0
11 )()( 11 tdetft
fts
011
11)( dtetfts
)( sF (2-10) Harga awal
)(lim)(lim
0ssFtf
st (2-11)
Untuk interval waktu t0 , jika s mendekati tak hingga, ste mendekati nol.
0)0()(lim)0()(lim)(lim0
fssFssFdtetfdt
d
ss
st
s
atau
)0()(lim
fssFs
karena )(lim)0(
0tff
t maka
)(lim)(lim0
tfssFts
(2-12)
Harga akhir
)(lim)(lim
0ssFtf
st (2-13)
Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang
Transformasi dan Invers Laplace II-8
Untuk membuktikan teorema ini, ambil s mendekati nol pada persamaan transformasi Laplace untuk turunan fungsi )(tf atau
)0()(lim)(lim000
ssFdtetfdt
d
s
st
s (2-14)
Karena 1lim
0
st
se , diperoleh
)0()()()(00
fftfdttfdt
d
)0()(lim
0fssF
s
sehingga
)(lim)((lim)(0
ssFtffst
(2-15)
Translasi pada kawasan t
L dtettfttf st
0
00 )()( dimana 0)( tf untuk 0t , dan 00 t
misal 01 ttt , maka 01 ttt dan dt = dt1, maka
dtettf st
0
0 )( 1
)(
01
01)( dtetftts
10
110 )( dtetfe
stst
)(0 sFest
(2-16) Translasi pada kawasan s
L dtetfetfe statat
0)()(
dtetf tas )(
0)(
)( asF (2-17)
Konvolusi Tinjau transformasi Laplace berikut:
dftft
0
21 )()( (2-18)
Integrasi ini sering ditulis
Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang
Transformasi dan Invers Laplace II-9
)()( 21 tftf
Operasi matematik )()( 21 tftf disebut konvolusi. Jika dinyatakan t , maka
dtffdftft
t
0
210
21 )()()()(
dtfft
0
21 )()(
Oleh karena itu
)()( 21 tftf dftft
0
21 )()(
dtfft
0
21 )()(
)()( 12 tftf (2-19)
Bila )(1 tf dan )(2 tf adalah kontinyu sepotong-sepotong (piecewise) dan mempunyai orde eksponensial, maka
L )()()()( 210
21 sFsFdftft
(2-20)
Dengan
dtetfsF st
011 )()( L )(1 tf (2-21)
dtetfsF st
022 )()( L )(2 tf (2-22)
Untuk membuktikan persamaan (3-9), perhatikan bahwa 0)(1)(1 ttf untuk t . Oleh karena itu
dfttfdftft
0
210
21 )()(1)()()( (2-23)
Selanjutnya
L
dftf
t
021 )()( L
dfttf0
21 )()(1)(
Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang
Transformasi dan Invers Laplace II-10
dtdfttfe st
021
0)()(1)( (2-24)
Dengan substitusi t dalam persamaan terakhir ini dengan mengubah urutan integrasi, yang diperbolehkan dalam kasus ini karena )(1 tf dan )(2 tf dapat ditransformasi dengan integral Laplace, diperoleh
L
dftf
t
021 )()( dfdtettf st
0
20
1 )()(1)(
dfdef s
0
20
)(
1 )()(
defdef ss
0
20
1 )()(
)()( 21 sFsF (2-25)
Persamaan terakhir ini memberi transformasi Laplace dari integral konvolusi. Sebaliknya, jika transformasi Laplace dari suatu fungsi diberikan oleh perkalian dua fungsi transformasi Laplace, )()( 21 sFsF , maka fungsi waktu yang berkaitan (transformasi Laplace balik) diberikan oleh integral konvolusi
)()( 21 tftf .
Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang
Transformasi dan Invers Laplace II-11
Tabel 3-2. Sifat-sifat Transformasi Laplace
1. L [Af(t)] = AF(s)
2. L [f1(t) f2(t)] = F1(s) F2(s)
3. L )(tfdtd = sF(s) – f(0)
4. L )(2
2
tfdt
d = s2F(s) – sf (0) – f (0)
5. L )(tfn
n
dt
d = snF(s) – )0()1(
1
kn
k
kn fs dengan )()( 1
1)1(
tftf k
k
dt
dk
6. L dttf )( =
s
sF )( +
s
dttft 0
)(
7. L dtdttf )( =2
)(
s
sF +
2
0)(
s
dttft
+
s
dtdttft 0
)(
8. L ndttf )()(... =ns
sF )( +
n
kt
k
kndttf
s101
))((...1
9. L
t
dttf0
)( = s
sF )(
10.
0)( dttf = )(lim
0sF
s jika
0)( dttf ada
11. L )(tfe at = F(s + a)
12. L )(1)( ttf = e-s F(s) 0
13. L )(ttf = ds
sdF )(
14. L )(2 tft = )(2
2
sFds
d
15. L )(tft n = )()1( sFds
dn
nn n = 1, 2, 3, . . .
16. L )(1 tft
=
0)( dssF
17. L )(atf = aF(as)
Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang
Transformasi dan Invers Laplace II-12
1. Metode ekspansi pecahan parsial untuk memperoleh transformasi Laplace balik
Masalah dalam analisis sistem kendali, )(sF , transformasi Laplace dari )(tf lebih sering dijumpai dalam bentuk
)(
)()(
sA
sBsF (2-26)
Dengan )(sA dan )(sB adalah polinomial dalam s dan derajat )(sB lebih kecil dari )(sA . Bila )(sF dipotong dalam komponen
)(...)()()( 21 sFsFsFsF n (2-27)
Dan bila transformasi Laplace balik dari )(),...,(),( 21 sFsFsF n memungkinkan, maka
L -1 )(sF L -1 )(1 sF L -1 )(2 sF . . . + L -1 )(sFn
)(...)()( 21 tftftf n (2-28)
Dengan )(),...,(),( 21 tftftf n adalah transformasi Laplace balik dari
)(),...,(),( 21 sFsFsF n . Transformasi Laplace balik )(sF diperoleh secara unik kecuali
mungkin pada titik-titik dengan fungsi waktu tak kontinyu. Apabila fungsi waktu kontinyu, maka fungsi waktu )(tf dan transformasi Laplace baliknya )(sF mempunyai hubungan korespondensi satu-satu. Keuntungan dari pendekatan ekspansi pecahan parsial adalah masing-masing suku dari )(sF akibat dari ekspansi dalam bentuk pecahan parsial, merupakan fungsi dalam s yang sangat sederhana, sehingga tidak diperlukan tabel transformasi Laplace lagi bila kita ingat beberapa pasangan transformasi Laplace sederhana. Harus diperhatikan bahwa menerapkan teknik ekspansi pecahan parsial dalam mencari transformasi Laplace balik dari )(/)()( sAsBsF akar dari penyebut polinomial )(sA harus diketahui. Jadi metode ini tidak dapat diterapkan bila polinomial penyebut telah difaktorkan. Dalam ekspansi )(/)()( sAsBsF ke dalam bentuk pecahan parsial, penting bahwa pangkat tertinggi s dalam )(sA lebih besar daripada pangkat tertinggi s dalam )(sB . Bila hal ini tidak dipenuhi maka pembilang )(sB harus dibagi penyebut )(sA untuk memperoleh polinomial dalam s ditambah sisa (yaitu rasio polinomial dalam s dengan pembilang mempunyai derajat yang lebih kecil daripada penyebutnya).
Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang
Transformasi dan Invers Laplace II-13
2. Ekspansi pecahan parsial bila )(sF hanya melibatkan kutub-kutub (pole). Perhatikan fungsi )(sF yang ditulis dalam bentuk faktor
))...()((
))...()((
)(
)()(
21
21
n
m
pspsps
zszszsK
sA
sBsF
)( nm (2-29)
Dengan p1, p2, . . ., pn dan z1, z2, . . ., zm masing-masing besaran real atau kompleks, tetapi untuk masing-masing bilangan kompleks p i atau zi mempunyai konjugat kompleks p i dan zi . Jika )(sF hanya terdiri dari kutub-kutub (pole) maka dapat diekspansikan dalam jumlah pecahan parsial sederhana sebagai berikut:
n
n
ps
a
ps
a
ps
a
sA
sBsF
...
)(
)()(
2
2
1
1 (2-30)
Dengan ka (k = 1, 2, . . .,n ) adalah konstanta, koefisien ka disebut residu
pada kutub di kps . Nilai ka dapat diperoleh dengan mengalikan kedua sisi
persamaan (2-30) dengan )( kps dan mengganti kps yang memberikan
)()()(
)()(
2
2
1
1kk
ps
k psps
aps
ps
a
sA
sBps
k
. . .
)( k
k
k psps
a. . .
kps
k
n
n psps
a
)(
= ak (2-31)
Dapat dilihat bahwa semua suku ekspansi dapat dihilangkan kecuali yang mengandung ak, sehingga residu ak diperoleh
kps
kksA
sBpsa
)(
)()( (2-32)
Perhatikan bahwa )(tf adalah fungsi real dari waktu, bila p1 dan p2 konjugat kompleks, maka residu a1 dan a2 juga konjugat kompleks. Hanya satu dari konjugat a1 atau a2 yang diperlukan karena yang lain dapat diketahui dengan sendirinya. Karena
L -1 tp
k
k
k keaps
a
Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang
Transformasi dan Invers Laplace II-14
)(tf Diperoleh sebagai
)(tf = L -1 tp
n
tptp neaeaeasF
...)( 21
21 )0( t (2-33)
Contoh Tentukan transformasi Laplace balik dari
F(s) = )2)(1(
3
ss
s
Ekspansi pecahan parsial dari F(s) adalah
F(s) = )2)(1(
3
ss
s =
21
21
s
a
s
a
Dengan a1 dan a2 diperoleh dari persamaan di atas
a1 = 22
3
)2)(1(
31
11
sss
s
ss
ss
a2 = 11
3
)2)(1(
31
22
sss
s
ss
ss
Jadi, f(t) = L -1[F(s)]
= L -1
1
2
s + L -1
2
1
s
= 2e-t – e-2t (t 0)
3. Ekspansi pecahan parsial bila )(sF melibatkan banyak kutub.
Berikut ini ditampilkan contoh untuk menunjukkan bagaimana mendapatkan ekspansi pecahan parsial dari )(sF . Contoh : Perhatikan persamaan berikut:
3
2
)1(
32)(
s
sssF
Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang
Transformasi dan Invers Laplace II-15
Ekspansi pecahan parsial dari )(sF ini melibatkan 3 bagian,
1)1()1()(
)()( 1
2
2
3
3
s
b
s
b
s
b
sA
sBsF
Dengan b3, b2 dan b1 ditentukan sebagai berikut. Dengan mengalikan kedua sisi dari persamaan terakhir ini dengan (s + 1)3 , diperoleh
2
123
3 )1()1()(
)()1( sbsbb
sA
sBs
Dengan menjadikan s = –1 , persamaan menjadi
3
1
3
)(
)()1( b
sA
sBs
s
Juga, diferensiasi kedua sisi dan dengan mengacu pada s dihasilkan
)1(2)(
)()1( 12
3
sbb
sA
sBs
ds
d
Jika s = –1 , maka
2
1
3
)(
)()1( b
sA
sBs
ds
d
s
Dengan mendeferensiasi kedua sisi dan dengan mengacu pada s, hasilnya adalah
1
3
2
2
2)(
)()1( b
sA
sBs
ds
d
Dari analisis sebelum ini terlihat bahwa nilai b1, b2 dan b3 ditemukan secara sistem sebagai berikut
1
3
3)(
)()1(
ssA
sBsb
1
2 )32( sss
2
Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang
Transformasi dan Invers Laplace II-16
1
3
2)(
)()1(
ssA
sBs
ds
db
1
2 )32(
s
ssds
d
1)22( ss
0
1
3
2
2
1)(
)()1(
!2
1
ssA
sBs
ds
db
1
2
2
2
)32(!2
1
s
ssds
d
1)2(2
1
Selanjutnya, diperoleh
)(tf L -1 )(sF
= L -1
3)1(
2
s L -1
2)1(
0
s L -1
1
1
s
tt eet 02 tet )1( 2 )0( t
Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang
Transformasi dan Invers Laplace II-17
Transformasi Laplace menggunakan MATLAB • Transformasi Laplace F (s) dari suatu fungsi f (t) adalah cukup sederhana dalam
Matlab. Pertama perlu menentukan variabel simbolis t dan s menggunakan perintah
>> syms t s • Selanjutnya menentukan fungsi f (t) dengan perintah
>> F=laplace(f,t,s) Contoh : Untuk membuat ekspresi lebih enak dibaca menggunakan perintah, simplify dan pretty. di sini diberikan contoh untuk fungsi f (t), Invers Transformasi Laplace menggunakan Matlab
• Perintah Transformasi Laplace balik (invers) menggunakan perintah >> F=ilaplace(f,t,s) Contoh :
Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang
Transformasi dan Invers Laplace II-18
2.3. Ringkasan
Suatu kelebihan metode transformasi Laplace adalah bahwa metode ini
memungkinkan penggunaan teknik grafis untuk meramal kinerja sistem tanpa
menyelesaikan persamaan differensial sistem. Kelebihan lain metode
transformasi Laplace adalah diperbolehnya secara serentak baik komponen
transien maupun komponen keadaan tunak sebagai jawaban persamaan pada
waktu menyelesaikan persamaan differensial.
Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang
Transformasi dan Invers Laplace II-19
SOAL-SOAL
1. Dapatkan Transformasi Laplace fungsi yang didefinisikan oleh a. 0)(t 0)(1 tf
0)(t 455sin3)(1 )t(tf
b. 0)(t 0)(2 tf 0)(t 2cos103.0)(2 t)(tf
2. Bagaimana Transformasi Laplace, fungsi f(t) pada gambar berikut :
3. Tentukan Transformasi Laplace balik dari fungsi berikut:
a. 21
36)(
s
ssF
b. 22
)2)(1(
25)(
ss
ssF
4. Sederhanakan diagram blok yang ditunjukkan dalam gambar di bawah dan dapatkan fungsi alih loop tertutup C(s)/ R(s).
5. Andaikan sistem yang diberikan oleh
2
1
2
1
2
1
01
1
1
13
14
x
xy
ux
x
x
x
Dapatkan fungsi alih sistem
f(t)
b
0 a a + b t
G1
G2
G3
G4
+ _
+
+
_ +
R(s) C(s)
Top Related