7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
1/382
CURSO PROPEDUTICO2013
FISICO-MATEMTICA
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
2/382
UNIDADES
1. lgebra2. Geometra Plana3. Introduccin a la Fsica4. Sistema Internacional
5. Notacin Cientfica6. Grficas7. Trigonometra
8. Vectores9. Geometra Analtica
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3/382
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
4/382
LEYES DE LOS EXPONENTES
xphppxh
mnnm
n
nn
nnn
baba
aa
b
a
b
a
baab
aa
010
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5/382
LEYES DE LOS EXPONENTES
tst
s
xx
yxyx
hhh
eee
aaa
22
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6/382
LEYES DE LOS EXPONENTES
n
m
n m
u
u
u
u
bb
mm
mm
1
1
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
7/382
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
8/382
EJEMPLOS
nanan
a
ab
abbaba
baba
mnnmm
nm
21121
12
10
4
10
441037122
312
72
122
10101010
771
71
71
568
2
33
2
33
2
33
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9/382
EJEMPLOS
xx
bcbc
nn
xx
aa
933
842
632
22
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10/382
EJEMPLOS
393
3
3
3
11223
3
12
123
1291293343
2222
27
8
3
2
3
2
3
2
72999
25,05,05,0
cacacaca
ca
xxx
aaa
bbddbb
db
db
aaa
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
11/382
EJEMPLOS
babababa
nnn
xx
3333312
23
6
3 6
4
3
4 3
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
12/382
EJEMPLO
2363
33
3 633
222
1
6
6
6
12
6
3
6 6123
2424 1836936
nnnnnn
yxxyxxyxx
ayxyxayxayxa
xyyxxyx
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
13/382
PRODUCTOS NOTABLES
Cuadrado de la suma de un binomio. Cuadrado de la diferencia de un binomio.
Producto de la suma por la diferencia. Cubo de la suma de un binomio. Cubo de la diferencia de un binomio.
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14/382
Cuadrado de la suma de
un binomio.
222 2 bababa
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
15/382
PRCTICA
2
2
222
3
24
2
nca
bxxa
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
16/382
SOLUCIN
nnn ccaaca
xbbxaxabxxa
224
2
2
423224222
9
4
3
1616
3
24
442
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
17/382
Cuadrado de la diferencia
de un binomio
222 2 bababa
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
18/382
PRCTICA
2
22
3
4
3
23
yx
x
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
19/382
SOLUCIN
22
2
4222
9
1689
3
43
412923
yxyxyx
xxx
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
20/382
Producto de la suma por
la diferencia
22 axaxax
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
21/382
PRCTICA
22
41
32
41
32
88
yxyx
bb
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
22/382
SOLUCIN
4222
2
16
1
9
4
4
1
3
2
4
1
3
2
648888
yxyxyx
bbbbb
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
23/382
Producto de la forma
(x+a)(x+b)
abxbaxbxax 2
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
24/382
PRCTICA
92
84
76
53
yy
mm
aa
xx
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
25/382
SOLUCIN
18792
32484
421376
15853
2
2
2
2
yyyy
mmmm
aaaa
xxxx
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
26/382
Cubo de la suma de un
binomio
32233
33 babbaaba
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
27/382
PRCTICA
34
3
74
2
x
a
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
28/382
SOLUCIN
3435883366474
81262
481234
233
xxxx
aaaa
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
29/382
Cubo de la diferencia de
un binomio
32233
33 babbaaba
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
30/382
PRCTICA
34
3
74
2
x
a
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
31/382
SOLUCIN
3435883366474
81262
481234
233
xxxx
aaaa
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
32/382
FACTORIZACIN Factor Comn Monomio Factor Comn Polinomio Diferencia de Cuadrados Suma de Cubos Diferencia de Cubos Trinomio Cuadrado Perfecto Trinomio de la forma
Frmula General
cbxx 2
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
33/382
FACTOR COMN
MONOMIO
xmmxmxmxmxm
yxyx
dcbaxxdxcxbxa
2346121824
58408
222234
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
34/382
FACTOR COMN POLINOMIO
133333
111111
axxxaxxa
xaaaxaax
bayxyxbyxa
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
35/382
DIFERENCIA DE
CUADRADOS
bcabcacbacbacbacba
babababababa
bababa
22224224224448
22222244
22
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
36/382
SUMA DE CUBOS
222333
23
2233
46923827
25104521258
dabdbadabdba
aaaa
babababa
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
37/382
DIFERENCIA DE CUBOS
222333
23
2233
46923827
25104521258
dabdbadabdba
aaaa
babababa
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
38/382
TRINOMIO CUADRADO
PERFECTO
22224
222
222
3894864
2
2
babbaa
bababa
bababa
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
39/382
EJEMPLO ESPECIAL
xbaxbaxba
xbabaxbaba
22
222222
22
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
40/382
Trinomio de la forma
796316
35158
2
2
2
xxxx
xxxx
bxaxabxbax
cbxx 2
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
41/382
FRMULA GENERAL
a
acbbt
2
42
02 cbtat
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
42/382
PRCTICA
Determine los valores que satisfacen lasiguiente ecuacin, por frmula general:
2
02
9
09
029
01872
m
m
m
m
mm
mm
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
43/382
SOLUCIN
92
2
117
2
1217
2
72497
2
1814497
2
4
18710187
21
2
2
mm
m
m
a
acbb
m
cbamm
M d d l
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
44/382
Mtodo de Igualacin
Se despeja la misma incgnita en las dosecuaciones.
Se igualan las expresiones resultantes.
Se resuelve la ecuacin resultante, obteniendoel valor de una de las incgnitas. Se sustituye el valor encontrado en cualquiera
de las ecuaciones del sistema, para encontrar elvalor de la otra incgnita.
EJEMPLO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
45/382
EJEMPLO
23
41223
41232
3876
7638
7242018
4207218
1541236
615
4123
6
15156
4
1231234
yxy
y
yy
yy
yy
yyy
xyx
yxyx
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
46/382
Mtodo de Sustitucin
Se despeja una incgnita en una de lasecuaciones.
Se sustituye esta incgnita en la otra ecuacin. Se resuelve la ecuacin resultante, obteniendo
el valor de una de las incgnitas. Se sustituye el valor encontrado en cualquiera
de las ecuaciones del sistema, para encontrar elvalor de la otra incgnita.
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
47/382
EJEMPLO
236
3
122
34
3124
23
3857
5738
3602018
13
12456
3
124
156
3124
156
1234
xyx
x
xx
xx
xy
yx
xy
yx
yx
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
48/382
Mtodo de Reduccin
Se elimina una de las incgnitassumando miembro a miembro las dos
ecuaciones. Se despeja la incgnita que qued yse sustituye en cualquiera de las
ecuaciones originales para encontrarel valor de la otra incgnita.
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
49/382
EJEMPLO
1
33
9639323
923
3
571939156
1846
1352
923
3
2
1352
923
x
x
xx
yxLuego
y
yyx
yx
yx
yx
yx
yx
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
50/382
MTODO GAUSS-JORDAN
23
273
62
122
1
542
122
1
43
2
1
xyz
z
zy
zyx
zy
zy
zyx
zyx
zyx
zyx
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
51/382
LAS LNEAS
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
52/382
LAS LNEAS
Una lnea puede ser curva o recta.
LAS LNEAS
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
53/382
LAS LNEAS
Las lneas se extienden por ambos ladosindefinidamente. A veces se recuerda estocon flechas en ambos extremos, como semuestra enseguida con la recta m:
SEGMENTO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
54/382
SEGMENTO Un segmento es una porcin de lnea
recta que est limitada por dos puntosque son sus extremos. Por ejemplo, losextremos del siguiente segmento son los
puntos A y B:
SEGMENTOS CONGRUENTES
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
55/382
SEGMENTOS CONGRUENTES Como las lneas se extienden
indefinidamente, no se pueden medir. Lossegmentos s se pueden medir. Cuando dos segmentos tienen la misma
medida se dice que son congruentes. Porejemplo, los segmentos CD y EF soncongruentes
SEMI RECTAS
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
56/382
SEMI-RECTAS Tambin puede haber porciones de lnea
recta que slo estn limitadas en unextremo. En este caso se habla de semi-rectas.
Por ejemplo, la siguiente semi-recta estlimitada por el punto P y se extiendeindefinidamente hacia el otro lado.
RECTAS PARALELAS
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
57/382
RECTAS PARALELAS
Dos rectas que estn en el mismo plano ynunca se cruzan son paralelas.
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
58/382
RECTAS PERPENDICULARES
Son dos rectas que al cortarse formanngulos rectos.
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
59/382
NGULOS
Porcin de plano limitada por dossemi-rectas.
NGULO RECTO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
60/382
NGULO RECTO ngulo que mide 90. Al ngulo que forman entre s dos semi-
rectas perpendiculares se le llama ngulorecto; se suele denotar con un cuadrito
junto al vrtice.
NGULO LLANO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
61/382
NGULO LLANO
ngulo que mide 180. Consideremos ahora una recta y unpunto P en ella. El punto P se puedeconsiderar como el vrtice de un nguloentre dos semi-rectas, y al ngulo quese forma se le llama ngulo llano.
NGULO DE GIRO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
62/382
NGULO DE GIRO
Es el ngulo de 360.
NGULOS
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
63/382
NGULOS ngulo agudo: es menor que un ngulo
recto, como el que tiene vrtice en elpunto A de la figura.
ngulo obtuso: es mayor que un ngulo
recto pero menor que un ngulo llano,como el que tiene vrtice en el punto Bde la figura.
RECTAS PARALELAS CORTADAS
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
64/382
RECTAS PARALELAS CORTADASPOR UNA TRANSVERSAL
1 2
3 4
5
7
6
8
Son ngulos opuestos por elvrtice: 1 y 4, 2 y 3, 5 y 8,6 y 7.
Son ngulos alternos internos:
3 y 6, 4 y 5.Son ngulos alternos externos:1 y 8, 2 y 7.
Son ngulos correspondientes:1 y 5, 3 y 7, 2 y 6, 4 y 8.
NGULOS
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
65/382
NGULOSCOMPLEMENTARIOS
Son aquellos cuya suma es igual a 90.
BA
A + B = 90
NGULOS SUPLEMENTARIOS
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
66/382
NGULOS SUPLEMENTARIOS
Son aquellos cuya suma es igual a 180. Tambin se les llama adyacentes.
AB
A + B = 180
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
67/382
BISECTRIZ DE UN NGULO
Es la recta que divide a un ngulo en dosngulos iguales.
2
2
CIRCUNFERENCIA Y CRCULO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
68/382
CIRCUNFERENCIA Y CRCULO
Una circunferencia es una lnea cerrada en laque todos los puntos estn a la mismadistancia de otro punto, que no pertenece aella.
A ese punto se le denomina centro de lacircunferencia. El interior de lacircunferencia recibe el nombre de crculo.
ELEMENTOS DE LA
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
69/382
ELEMENTOS DE LACIRCUNFERENCIA
Radio de una circunferencia es un segmento queva desde el centro hasta la circunferencia.
Cuerda es un segmento que va de un punto de lacircunferencia a otro.
Dimetro es un segmento que va de un punto de la
circunferencia a otro, pasando por el centro. Tangente a una circunferencia es una recta quetoca a la circunferencia en un solo punto.
LONGITUD DE
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
70/382
LONGITUD DECIRCUNFERENCIA
radior
rC
2
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
71/382
REA DE UN CRCULO
2
rA
REA DE UNA CORONA
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
72/382
REA DE UNA CORONACIRCULAR
22rRA
R
r
REA DE UN SECTOR
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
73/382
REA DE UN SECTORCIRCULAR DE NGULO
360
2r
A
LONGITUD DE UN ARCO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
74/382
LONGITUD DE UN ARCO
360
2 rl
POSICIONES RELATIVAS DE
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
75/382
POSICIONES RELATIVAS DENGULOS Y CIRCUNFERENCIAS
ngulo Central: Su vrtice est en elcentro del crculo y est limitado pordos radios.
NGULO INSCRITO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
76/382
NGULO INSCRITO
NGULO SEMI INSCRITO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
77/382
NGULO SEMI-INSCRITO
NGULO INTERIOR
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
78/382
NGULO INTERIOR
NGULO EXTERIOR
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
79/382
NGULO EXTERIOR
PROPIEDADES
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
80/382
PROPIEDADES Los ngulos inscritos que abarcan el
mismo arco son iguales.
PROPIEDADES
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
81/382
PROPIEDADES
Todos los tringulos inscritos en unasemicircunferencia son rectngulos.
PROPIEDADES
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
82/382
PROPIEDADES Un ngulo inscrito mide la mitad del arco que
abarca.
2
EL TRINGULO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
83/382
EL TRINGULO
Figura geomtrica de tres lados. Se clasifican de acuerdo a sus lados y
de acuerdo a sus ngulos.
CLASIFICACIN DE LOS TRINGULOS
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
84/382
DE ACUERDO A SUS LADOS
Tringulo Equiltero: todos sus lados soncongruentes. Tringulo Issceles: dos de los lados son
congruentes. Tringulo Escaleno: los tres lados son
diferentes entre s.
equiltero issceles escaleno
PROPIEDADES
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
85/382
PROPIEDADES
La suma de los ngulos internos de todotringulo es 180.
Todo tringulo equiltero es equingulo. El tringulo issceles tiene dos ngulosiguales.
CLASIFICACIN DE LOS TRINGULOS DE
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
86/382
L F DE L L DEACUERDO A SUS NGULOS
Tringulo Rectngulo: Tiene un ngulo de90. Tringulo Acutngulo: Sus tres ngulos
internos son agudos. Tringulo Obtusngulo: Tiene un ngulo
obtuso.
rectngulo acutngulo obtusngulo
TRINGULO RECTNGULO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
87/382
TRINGULO RECTNGULO Se caracteriza porque uno de sus ngulos
es recto. Los lados que forman el ngulorecto se denominan catetos y el tercero,que es siempre el ms grande, se denomina
hipotenusa. Un tringulo rectngulo puede ser
issceles o escaleno.
REA DE UN
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
88/382
REA DE UNTRINGULO
alturah
baseb
bhA
2
PERMETRO DE UN TRINGULO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
89/382
PERMETRO DE UN TRINGULO
El permetro de un tringulo es la suma de sustres lados.
cbaP
a c
b
RECTAS NOTABLES DE UN
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
90/382
E LE DETRINGULO
Mediatriz Bisectriz
Mediana Altura
MEDIATRIZ
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
91/382
MEDIATRIZ Es la perpendicular en el punto medio de cada lado. El punto de interseccin de las tres mediatrices de un
tringulo se llama circuncentro. El circuncentro es el centro de la circunferencia
circunscrita al tringulo.
BISECTRIZ
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
92/382
Es la recta que divide a un ngulo en dosngulos iguales.
El punto de interseccin de las tresbisectrices se llama incentro.
El incentro es el centro de lacircunferencia inscrita al tringulo.
MEDIANA
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
93/382
MEDIANA
Es el segmento trazado desde un vrticehasta el punto medio del lado opuesto. El punto de interseccin de las tres
medianas se llama baricentro. El baricentro dista dos tercios del vrtice
de la mediana correspondiente.
ALTURA
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
94/382
ALTURA
Es la perpendicular trazada desde unvrtice al lado opuesto o a suprolongacin.
El punto de interseccin de las tresalturas se llama ortocentro.
TEOREMA DE THALES
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
95/382
TEOREMA DE THALES Los segmentos determinados en un lado de un
ngulo por dos paralelas son proporcionales a lossegmentos determinadosen el otro lado.
CB
NM
A
NC
MB
AN
AM
TEOREMA DE THALES
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96/382
EOREMA DE HALES La razn (cociente) de dos segmentos situados en
uno de los lados es igual a la de loscorrespondientes en el otro.
CB
NM
A
ACAN
ABAM
yNC
AN
MB
AM
SEMEJANZA
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97/382
Las figuras semejantes son las quetienen la misma forma, pero distintotamao.
SEMEJANZA DE TRINGULOS
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98/382
SEMEJANZA DE TRINGULOS Los tringulos son semejantes cuando
tienen sus ngulos iguales y los ladosproporcionales.
Pero no hace falta comprobar todosestos requisitos para poder afirmar quedos tringulos son semejantes; basta
con que se cumpla alguna de lassiguientes condiciones.
SEMEJANZA DE TRINGULOS
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SEMEJANZA DE TRINGULOS1. Si dos tringulos estn en posicin de
Thales, son semejantes.
CB
NM
A
BC
MN
AC
AN
AB
AMalesproporcionsonladosLos
NC
MBAA
igualessonngulosLos
:
:
SEMEJANZA DE TRINGULOS
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100/382
SEMEJANZA DE TRINGULOS2. Si dos tringulos tienen dos ngulos iguales,
son semejantes.
'
'
':
CC
BB
AAigualessonngulosLos
SEMEJANZA DE TRINGULOS
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101/382
SEMEJANZA DE TRINGULOS3. Si dos tringulos tienen un ngulo igual y
los lados que lo forman son proporcionales,entonces son semejantes.
''
''
'
CA
BA
AC
AB
AA
SEMEJANZA DE TRINGULOS
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4. Si dos tringulos tienen los treslados proporcionales, son semejantes.
'''''' AC
CA
CB
BC
BA
AB
POLGONO
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POLGONO
De origen griego. Polys: mucho
Gona: ngulo Polgono: figura geomtrica de tres oms lados.
CLASIFICACIN DE LOSPOLGONOS
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POLGONOS
3 lados.............tringulo 4 lados.............cuadriltero 5 lados.............pentgono
6 lados.............hexgono 7 lados.............heptgono 8 lados.............octgono 9 lados.............enegono 10 lados...........decgono
CLASIFICACI N DELOS POLGONOS
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11 lados.................undecgono 12 lados................dodecgono
15 lados................pentadecgono 20 lados...............icosgono
LOS POLGONOS
POLGONOS REGULARES
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POLIEDROS IRREGULARES
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107/382
No todas sus caras son de la mismaforma ni del mismo tamao.
Ejemplos: Pirmides, Prismas yparaleleppedo (prisma recto).
POLIEDROS IRREGULARES
PARALELEPPEDO O PRISMA RECTO
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PRISMA TRIANGULAR
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
109/382
PRISMA HEXAGONAL
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110/382
PIRMIDE TRIANGULAR
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
111/382
PIRMIDE CUADRANGULAR
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112/382
PIRMIDE PENTAGONAL
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
113/382
PIRMIDE HEXAGONAL
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
114/382
DE E
PIRMIDE OCTAGONAL
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
115/382
PIRMIDE TRUNCADA
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
116/382
POLIEDROS REGULARES
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117/382
POLIEDROS REGULARES
Los poliedros cuyas caras sonregiones poligonales regulares de lamisma forma y el mismo tamaoreciben el nombre de poliedrosregulares.
POLIEDROS REGULARES
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POLIEDROS REGULARES
TETRAEDRO HEXAEDRO
OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO
TETRAEDRO
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Tiene 4 caras en forma de tringulo
equiltero. Es una pirmide de base triangular.
HEXAEDRO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
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HEXAEDRO
O CUBO Tiene 6
caras en
forma decuadrados.
OCTAEDRO
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121/382
Tiene 8 caras en
forma detringuloequiltero.
Son dos pirmidesde base cuadradaunidas por dichabase.
DODECAEDRO12
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122/382
Tiene 12
caras enforma depentgonoregular
ICOSAEDRO
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123/382
Tiene 20caras enforma de
tringulosequilteros.
REA O SUPERFICIE DE UN CUBO
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Se reduce a calcular el rea de una cara
y luego multiplicar por 6, ya que el cubotiene 6 caras que son cuadrados.
26aA
REA DE LOS POLIEDROS REGULARES
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125/382
Para calcular el rea o superficie delos poliedros regulares, basta concalcular el rea de una de sus caras yluego multiplicarla por el nmero decaras del poliedro.
REA DE POLGONOS REGULARES
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
126/382
En cualquier polgono regular de n
lados podemos trazar desde el centron tringulos. El rea de un polgono regular es n
veces el rea de un tringulo.
REA DE POLGONOSREGULARES
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
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REGULARES
al
a = apotemaApotema = altura del
tringulol = longitud de cada lado.
REA DE POLGONOS
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
128/382
REGULARES
al 2
#2
2
1
PaA
nPPermetropero
ladosnan
A
aA
REA O SUPERFICIE DEUNA ESFERA
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
129/382
UNA ESFERA
24 rA
VOLUMEN DE LA ESFERA
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
130/382
VOLUMEN DE LA ESFERA
3
3
4rV
VOLUMEN
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
131/382
DEL CUBO
3aV
VOLUMEN DEL PARALELEPPEDO(ORTOEDRO)
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
132/382
bahV
VOLUMEN DEL CILINDRO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
133/382
hrV
hAV base2
E E
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
134/382
VOLUMEN DEL CONO
3
2hrV
VOLUMEN DE LA PIRMIDE
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
135/382
hnlaV
hAV base
231
3
1
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
136/382
INICIACIN AL MTODOCIENTFICO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
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CIENTFICO
El conocimiento cientfico secaracteriza por ser verificable.
Un hecho ser consideradoverdadero siempre que pueda serconfirmado con los procedimientosque establece el mtodo cientfico.
INICIACIN AL MTODOCIENTFICO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
138/382
Las ciencias pueden ser divididasen ciencias abstractas (ejm: la
Matemtica) y ciencias materiales(ejm: la Fsica). El criterio de la verdad de la
Matemtica es la lgica.
CIENTFICO
INICIACIN AL MTODOCIENTFICO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
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El criterio de veracidad de la Fsicanecesita de la lgica y la
experimentacin. Cuando un enunciado verificableposee un grado de generalidad se le
llama hiptesis cientfica.
CIENTFICO
INICIACIN AL MTODOCIENTFICO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
140/382
Cuando las hiptesis son comprobadasexperimentalmente se convierten en
leyes o en teoras cientficas.
CIENTFICO
INICIACIN AL MTODOCIENTFICO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
141/382
Cuando se aplique el mtodocientfico debemos: Observar hechos particulares.
Formular preguntas precisas. Recoger y analizar datossistemticamente de acuerdo a las
reglas de la estadstica.
CIENTFICO
INICIACIN AL MTODOCIENTFICO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
142/382
El mtodo cientfico establece unprocedimiento flexible (es decir
que no es riguroso).
CIENTFICO
INICIACI N AL M TODOCIENTFICO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
143/382
El mtodo cientfico est constituido por: Planteamiento del problema. Construccin de un modelo terico
(seleccin de las variables). Deduccin de consecuencias. Pruebas de las hiptesis.
Conclusiones.
INICIACIN AL MTODOCIENTFICO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
144/382
Una de las formas de estimular unpensamiento creativo es adquirirconocimientos de ramas diversas
del quehacer humano.
CIENTFICO
INICIACIN AL MTODOCIENTFICO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
145/382
El mtodo cientfico se aplica entodos los rdenes de la vida
excepto en el arte, la religin yen el amor.
CIENTFICO
APLICACIN DEL MTODOCIENTFICO EN FSICA
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
146/382
CIENTFICO EN FSICA
Existe una infinidad de casos queilustran la aplicacin del mtodocientfico para el desarrollo de
modelos que expliquen lanaturaleza.
APLICACIN DEL MTODOCIENTFICO EN FSICA
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
147/382
El mtodo cientfico es elinstrumento vlido cuandodeseamos determinar las leyes que
rigen los fenmenos naturales. Su aplicacin correcta implica unainteraccin permanente entre
teora y experimentacin.
NATURALEZA DE LA FSICA
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
148/382
La Fsica es la ciencia que estudialos fenmenos de la naturalezaque pueden ser modelados
matemticamente.
NATURALEZA DE LA FSICA
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
149/382
La Fsica utiliza el lenguaje de laMatemtica.
La Fsica puede ser dividida enFsica Experimental y Fsica
Terica.
NATURALEZA DE LA FSICA
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
150/382
La Fsica Experimental se basa enpruebas y experiencias para
descubrir nuevos fenmenos ycomprobar las leyes de la Fsica.
NATURALEZA DE LA FSICA
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
151/382
La Fsica terica enuncia las leyesque explican los fenmenosnaturales, a la vez que predicenuevos fenmenos.
L f i dbilNATURALEZA DE LA FSICA
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
152/382
La fuerza macroscpica ms dbiles la fuerza gravitatoria.
La fuerza gravitatoria es slo decarcter atractiva. Su efecto es
de largo alcance. Es la responsable de la existencia
de las estrellas, planetas y del
equilibrio csmico.
L f l t tiNATURALEZA DE LA FSICA
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
153/382
La fuerza electromagntica es
mayor que la gravitatoria.
La fuerza electromagntica puedeser atractiva o repulsiva.
HISTORIA DE LA FSICA
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
154/382
Entre los siglos V a.C. Y II d.C.Diferentes culturas hicieronaportes significativos al
conocimiento de la naturaleza.
HISTORIA DE LA FSICA
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
155/382
Los egipcios utilizaron el planoinclinado, la palanca y la polea. Los chinos estudiaron la inercia
de los cuerpos, la fuerzagravitatoria, los fundamentos dela ptica y utilizaron el
magnetismo de los cuerpos.
LOS INDIOS
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
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Los indios postularon ideasatomistas, estudiaron el
movimiento, el peso de loscuerpos, los fluidos, la viscosidad.
LOS GRIEGOS
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
157/382
Tales de Mileto: Observ algunas manifestaciones
de la electricidad y el magnetismo.
Predijo el eclipse de sol del ao565 a.C.
Demcrito:LOS GRIEGOS
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
158/382
Demcrito: Idea del tomo como
constituyente de la materia.
Ptolomeo: Desarrolla la Geometra en sus
inicios.
LOS GRIEGOS
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
159/382
Arqumedes: Postul la ley de las palancas.
Postul el principio de flotacin.
E lidLOS GRIEGOS
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
160/382
Euclides: Descubre las leyes de la
propagacin rectilnea, de la
reflexin y de la refraccin de laluz.
LOS GRIEGOS
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
161/382
Durante la Edad Media, algunos delos postulados de Aristtelesfueron acogidos como dogma por laIglesia, lo que produjo un freno enel desarrollo de la ciencia.
Aristteles compendi parte de los
conocimientos de su poca.
SIGLO XVIIGALILEO GALILEIS nt l s b s s d l Fsi m
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
162/382
Sent las bases de la Fsica como
ciencia. Es considerado el Padre de la Fsica. Introdujo la modelacin matemticay la experimentacin.
Establece la Ley de la Inercia.
Descubre que la cada libre de loscuerpos no depende de la masa.
GALILEO GALILEI - ITALIANOE
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
163/382
Estudi fenmenos astronmicos,pticos y trmicos.
Galileo entr en conflicto con la
Iglesia de su poca. Es considerado el primercientfico de la humanidad.
ISAAC NEWTON - INGLS
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164/382
En 1687 publica su libro PrincipiosMatemticos de la Filosofa Natural. Postula la Ley de la gravitacin
universal. Hace aportes en ptica,
termodinmica y mecnica de fluidos.
JAMES MAXWELL - ESCOCS
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
165/382
En 1873 public el libro Tratado deElectricidad y Magnetismo.
Redonde el estudio de laelectrodinmica clsica.
LA FSICA MODERNA
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
166/382
Al principio del siglo XX los fsicosintrodujeron el concepto de
probabilidad.
ALBERT EINSTEIN - ALEMNE 1905 l l Ef
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
167/382
En 1905 explic el EfectoFotoelctrico.
Introduce la hiptesis de lacuantizacin de la energa de Planck.
Por esto ltimo, se le concede elPremio Nbel de Fsica en 1921.
Desarrolla la Teora de la Relatividad.
EL TOMO En 1910 el estadounidense Robert
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
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Millikan aisl el electrn y determin elvalor de su carga elctrica. En 1911 el neocelands Ernest
Rutherford demostr que el tomoestaba constituido por un pequeoncleo con carga positiva, balanceadospor una nube de electrones.
EL TOMO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
169/382
En 1912 el dans Niels Bohrpresenta el primer modelo
predictivo del tomo.
MARIA CURIE
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
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Primera mujer en ganar un PremioNbel.
La nica en ganar 2 PremiosNbel en dos reas: en Fsica (laradiactividad) y en Qumica
(descubri el radio y el polonio).
RELACI N DE LA F SICA CONOTRAS CIENCIAS
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
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La palabra Fsica proviene del griegophsis que significa naturaleza.
La palabra Ciencia proviene del latnscire que significa conocer.
RELACIN DE LA FSICA CONOTRAS CIENCIAS
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Astrofsica: Fsica del cosmos. Biofsica: Fsica de los seres vivos. Fsica de la Atmsfera: Es el
estudio de los fenmenosmeteorolgicos y atmosfricos.
Geofsica: Fsica de la Tierra.
RELACI N DE LA F SICA CONOTRAS CIENCIAS
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
173/382
Fsica de los Materiales: Fsica delos metales, cermicos y Fsica delestado slido.
Fsica del Micromundo: Fsica
atmica y Fsica Nuclear.
RELACIN DE LA FSICA CONOTRAS CIENCIAS
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
174/382
La Fsica no slo es importante porel estudio de la naturaleza en s, sinoque contribuye con el progreso delas condiciones sociales del hombre.
LA FSICA EN EL DESARROLLODE PANAM
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
175/382
En 1855 el primer ferrocarriltransocenico: impulsado por lalocomotora de vapor, la cual se basa
en los trabajos de James Watt. El Dr. Justo Arosemena utilizaanalogas de fenmenos fsicos para
el estudio de fenmenos sociales.
LA F SICA EN EL DESARROLLODE PANAM
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
176/382
En 1935 se crea la Universidad dePanam. El Dr. Bernardo Lombardo es el
primer panameo en obtener unttulo universitario de Fsica. Fuenombrado Padre de la Fsica enPanam.
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
177/382
LAS UNIDADES HISTRICASDE MEDICIN EN PANAM
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
178/382
El sistema de unidades de base 10
se basa en el nmero de dedos delas manos.
LAS UNIDADES HISTRICAS DEMEDICIN EN PANAM
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
179/382
La Burrada: unidad de masa iguala la carga que puede transportarun burro.
LAS UNIDADES HISTRICAS DEMEDICIN EN PANAM
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
180/382
El puado: unidad de masa igual ala masa que puede agarrarse alcerrar el puo.
LAS UNIDADES HISTRICAS DEMEDICIN EN PANAM
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
181/382
La lata: unidad de volumen igual ala capacidad de una lata de aceite
de base cuadrada.
LAS UNIDADES HISTRICASDE MEDICIN EN PANAM
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
182/382
La Bangaa: unidad de volumenigual a la capacidad del recipientehecho de corteza del fruto detotumo o calabazo (esta unidades igual a la totuma).
LAS UNIDADES HISTRICAS DEMEDICIN EN PANAM
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
183/382
La Braza: unidad de longitud igual a ladistancia que resulta de extender losbrazos horizontalmente, agarrando yestirando lo que va a medir entre laspuntas de los dedos de cada mano.
LAS UNIDADES HISTRICAS DEMEDICIN EN PANAM
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
184/382
La Vara: Unidad de longitud igual a ladistancia que resulta de tomar lo quese vaya a medir con la punta del dedo
corazn y el pulgar, extendiendo elbrazo hasta la clavcula.
LAS UNIDADES HISTRICAS DEMEDICIN EN PANAM
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
185/382
La Sangradera: unidad de longitudigual a la distancia que va desde la
punta del dedo corazn hasta dondese une el brazo con el antebrazo.
LAS UNIDADES HISTRICASDE MEDICIN EN PANAM
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
186/382
La Cuarta: unidad de longitud iguala la distancia que va del dedomeique a la punta del dedo pulgaral extender la mano.
LAS UNIDADES HIST RICAS DEMEDICIN EN PANAM
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
187/382
El Jeme: Unidad de longitud igual ala distancia que va del dedo ndice ala punta del dedo pulgar alextender la mano sin forzarla.
LAS UNIDADES HISTRICAS DEMEDICIN EN PANAM
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
188/382
El Coco: Unidad de longitud igual ala distancia que resulta cuando secierra el puo y se extiende el dedo
pulgar, tomando el largo desde elpunto en que el dedo meique seune a la palma de la mano hasta la
punta del pulgar.
DESARROLLO DEL SI En la antigedad las unidades de
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
189/382
En la antigedad, las unidades de
medida se definan arbitrariamente. Primer intento por unificar el sistema
de unidades lo hizo: Carlomagno. El primer patrn de medida de
longitud lo estableci Enrique I de
Inglaterra.
Enrique I llam yarda a la distanciaDESARROLLO DEL SI
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
190/382
E q m y
desde su nariz hasta la punta de sudedo pulgar con la mano abierta y elbrazo extendido.
En 1770, Jorge III de Inglaterradecidi que el galn correspondera ala capacidad volumtrica de su orinal.
El 7 de abril de 1795 se decreta
DESARROLLO DEL SI
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
191/382
El 7 de abril de 1795 se decretaen la Revolucin Francesa, elSistema Mtrico Decimal.
Napolen Bonaparte hizoobligatoria la enseanza delSistema Mtrico en las escuelas.
En 1840 se declara ilegal el uso deDESARROLLO DEL SI
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
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En 1840 se declara ilegal el uso detoda unidad que no perteneciera alSistema Mtrico Decimal.
Desde el 3 de mayo de 1961 se usael SI en todos los pases del mundomenos en E.U.A. y sus satlites.
SISTEMA DE UNIDADES
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
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Un sistema de unidades es elconjunto de unidades formado deacuerdo a las reglas establecidas.
Sistemas de MedidasSistema Cgs o Sistema
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
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S st ma
Internacional
gs o
Gaussiano
S st ma
InglsLongitud metro (m) centmetro
(cm)pie (ft)
Masa kilogramo(kg)
gramo (g) slug
Tiempo segundo (s) segundo (s) segundo (s)
UNIDADES FUNDAMENTALES
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
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Son las unidades de magnitudesfsicas elegidas arbitrariamenteal construir un sistema.
UNIDADES FUNDAMENTALES
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
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El SI define 7 unidades fundamentales,de las cuales resultan ms de 100
unidades derivadas.
UNIDADES FUNDAMENTALESMAGNITUD UNIDAD SMBOLO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
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Longitud metro mMasa kilogramo kgTiempo segundo s
Temperatura kelvin KIntensidad de Corriente amperio AIntensidad Luminosa candela cd
Cantidad de Sustancia mol mol
Magnitudes Bsicas y suDimensin
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
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Longitud [L] Masa [M] Tiempo [T]
LONGITUD
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
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En 1983 el metro se redefini como ladistancia que la luz recorre en elvaco durante un intervalo de tiempo
de 1/299 792 458 de segundo.
MASA
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200/382
La unidad de masa en el SI, el kilogramo, sedefine como la masa de un cilindroespecfico de una aleacin de Platino (90%)
e Iridio (10%), cuyo dimetro y alto son 39mm, que se guarda en la OficinaInternacional de Pesos y Medidas de
Sevres, Francia.
Prototipo de Kilogramo
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p
TIEMPO
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En 1967 se redefine el segundo como9 192 631 700 veces el perodo de
oscilacin de la radiacin del tomode Cesio.
UN IDADES DERIVADAS
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Son las que relacionan unidades atravs de leyes fsicas.
UNIDADES DERIVADASMagnitud Relacin Unidades Smbolo
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Rapidez d/t m/sAceleracin v/t m/s2Fuerza ma kg m/s2 N (Newton)
Energa Fd kg m2
/s2
=N m J (Joule)Potencia W/t Kg m2/s3=J/s W(Watt)Cargaelctrica
It A s C (Coulomb)
Frecuencia 1/t s-1 Hz (Hertz)
CONVENCIONES DEL SI La separacin entre los enteros y
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los decimales se hace por mediode una coma.
Cuando se escribe un nmeromenor que 1 se coloca un ceroantes de la coma decimal.
Los miles se dividen en grupos de
CONVENCIONES DEL SI
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Los miles se dividen en grupos de3 dgitos, separados por unespacio. No se usa coma ni puntopara separarlos.
La parte decimal tambin sedivide en grupos de 3 dgitos
separados por un espacio.
Cuando se trata de un ao, losCONVENCIONES DEL SI
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miles no se separan. Los smbolos de las unidades nollevan punto al final, excepto que
estn al final de una frase. Los smbolos que se deriven denombres propios se escriben con la
primera letra mayscula.
Los smbolos de las unidades noCONVENCIONES DEL SI
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tienen plural. Entre el nmero y el smbolo debedejarse un espacio, excepto en las
medidas angulares. Los productos de unidades seexpresan dejando un espacio entre
los smbolos.
MLTIPLO
PREFIJO
ABREVIATURA
1024 Yotta Y
1021 Zetta Z
1018 Exa E
1015 Peta P
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1012 Tera T
109 Giga G
106 Mega M
103 Kilo k
102 Hecto h
10 Deca da
10-1 Deci d
10-2 Centi c
10-3 Mili m
10-6 Micro
10-9 Nano n
10-12 Pico p
10-15 Femto f
10-18 Atto a
10-21 Zepto z
10-24 Yocto y
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MEDICIN
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La medicin es una sucesin deoperaciones y de clculos realizadoscon el fin de determinar el valor de
cierta magnitud fsica quecaracteriza a un objeto o fenmenoespecfico.
MEDICIONES DIRECTAS
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Son una evaluacin de una magnitudcomparndola con otra de su mismaespecie, tomada como patrn.
MEDICIONES INDIRECTAS
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Son aquellas en las cuales el valorbuscado se determina a travs de unaecuacin matemtica que expresa la
dependencia entre las magnitudesdirectamente medidas.
CIFRASSIGNIFICATIVAS
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Son aquellas cifras, producto demediciones, que tienen significado
fsico. Comprenden las cifras ciertas y lacifra estimada.
CIFRAS SIGNIFICATIVAS Los ceros a la izquierda no son cifras
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significativas. Los ceros a la derecha s son cifrassignificativas.
Los ceros entre cifras diferentes decero s son cifras significativas. Los nmeros sin unidades poseen
infinitas cifras significativas.
REGLAS DE REDONDEO
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Los nmeros menores que 5 noredondean. Es decir, no alteran alnmero antecedente.
Ejemplo: Redondear a 2 cifrassignificativas 7,83 m Tendramos que 7,83 m = 7,8 m
REGLAS DE REDONDEO
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Los nmeros mayores que 5 sredondean. Es decir, aumentan unaunidad al nmero antecedente.
Ejemplo: Redondear a 3 cifrassignificativas 7,837 m Tendramos que 7,837 m = 7,84 m
REGLAS DE REDONDEO
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El 5 redondea si tiene a su derechanmeros distintos de cero. Ejemplo: Redondear a 3 cifras
significativas 3,46507 s Tendramos que 3,46507 s = 3,47 s
REGLAS DE REDONDEO Si el 5 tiene a su derecha ceros o no
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tiene nmeros, debemos determinarsi la cifra anterior es par o impar. Redondea a los impares. No redondea a los pares. Ejemplo: Redondear a 2 c.s.: 9,45 kg = 9,4 kg
8,35 kg = 8,4 kg
OPERACIONES CON CIFRASSIGNIFICATIVAS
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Al sumar o restar, se debe redondearlas cantidades al mismo nmero dedecimales del nmero que menos
decimales tenga.
OPERACIONES CON CIFRASSIGNIFICATIVAS
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Al realizar operaciones de multiplicacin,divisin, potenciacin y radicacin,primero se realiza la operacin y
posteriormente se redondea, de talmanera que el resultado tenga la mismacantidad de cifras significativas que el
nmero que menos tiene.
NOTACIN CIENTFICA
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La notacin cientfica sirve paraexpresar en forma cmoda aquellascantidades que son demasiado
grandes o demasiado pequeas.
NOTACIN CIENTFICA
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La notacin cientfica consiste enrepresentar un nmero real como elproducto de dos factores, uno de los
cuales es un nmero cuyo valorabsoluto es mayor o igual que 1 peromenor que 10, y el otro es una
potencia entera de base 10.
CANTIDADES MAYORES QUE 1
0101
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6
5
4
3
2
1
10000000110000100
1000010
100001
10100
1010
CANTIDADES MENORES QUE 1dcimo)(un100,1
-1
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o)millonsim(un100010,000
mo)cienmilsi(un10010,000mo)diezmilsi(un1010,000
milsimo)(un100,001
centsimo)(un100,01
6-
5-
4-
3-
2-
NOTACIN CIENTFICA
es un nmero escrito en71048,3 X
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notacin cientfica porque cumple ladefinicin, es decir:
3,48 es un nmero mayor que 1, peromenor que 10.
es una potencia entera de base 10.
,
710
DE NOTACIN CIENTFICA ADECIMAL
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Si el exponente es positivo, la coma decimalse corre hacia la derecha, tantos espacioscomo lo indique el exponente.
Si el exponente es negativo, la comadecimal se corre hacia la izquierda, tantosespacios como lo indique el exponente.
DE DECIMAL ANOTACIN CIENTFICA Si el nmero es igual o mayor que 10 la coma
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decimal se corre hacia la izquierda hastaque la parte entera del nmero quedecomprendida entre 1 y 9, y se indica con unexponente positivo el nmero de espacios
que se corri. Si el nmero es menor que 1 la coma decimal
se corre hacia la derecha hasta que la parteentera del nmero quede comprendidaentre 1 y 9, y se indica con un exponentenegativo el nmero de espacios que secorri la coma decimal.
TRANSFORMAR A NOTACINDECIMAL O A BASE DE DIEZ
0
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2
3
0
1
2
109,1019,0
10389,63896
1077
026,01026,0
57041070,45501050
X
X
X
X
XX
MULTIPLICACIN Se multiplican los nmeros
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correspondientes a la parte decimal. Se multiplican las potencias, es decir,se suman algebraicamente losexponentes.
Se reescribe el resultado en notacincientfica, tomando en cuenta las cifrassignificativas.
EJEMPLO34
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106,51048,3 XXa) Se multiplica 3,48 por 5,6 = 19,488.
b) Se multiplican las potencias 104 x 103 = 104+3 = 107.
c) El producto ser 19,488 x 107, pero al reescribir elresultado finalmente se expresar:
19,488 x 107
= 1,9488 x 107+1
= 1,9 x 108
.
DIVISIN Se divide la parte decimal.
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Se dividen las potencias; para lo cualse realiza una resta algebraica de losexponentes.
Se reescribe el resultado en notacincientfica, tomando en cuenta lascifras significativas.
EJEMPLO4106,8 X
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10646
4
10101010
6107,5 Xa) Se divide 8,6 entre 5,7 = 1,50b) Se dividen las potencias de base 10:
c) El cociente ser 1,5 x 1010.
SUMA Y RESTA Se igualan los exponentes.
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Se redondea de acuerdo a la regla decifras significativas. Se suma o resta (segn sea el caso) la
parte decimal. Se escribe la base 10 con el exponente
comn.
Se reescribe el resultado en notacincientfica, si es necesario.
EJEMPLO3,24 x 103 + 8,5 x 104
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= 0,324 x 103+1 + 8,5 x 104
= 0,3 x 104 + 8,5 x 104
= 8,8 x 104.
EJEMPLO8,3 x 10-3 + 54,3 x 10-1
-3+2 -1
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
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= 0,083 x 10 + 54,3 x 10 = 0,083 x 10-1 + 54,3 x 10-1= 0,1 x 10-1 + 54,3 x 10-1
= 54,4 x 10-1
= 5,44 x 10-1+1= 5,44 x 100
= 5,44.
POTENCIACIN Se eleva la parte decimal al exponente
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indicado. Se eleva la potencia al exponenteindicado (recuerda que se multiplicanalgebraicamente los exponentes).
Se reescribe el resultado en notacincientfica, tomando en cuenta lascifras significativas.
EJEMPLO
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238/382
7
16
6
23223
10x1,18
10x1,18
10x11,7649
)(10x(3,43))10x(3,43
EJEMPLO
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
239/382
10-
212-
12-
3-433-4
10x3,0
10x3,00763
10x300,763
)(10x(6,7))10x(6,7
RADICACIN Se extrae la raz a la parte decimal.
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Se extrae la raz a la potencia; paraesto se divide el exponente de lacantidad subradical entre el ndice de
la raz.
Se reescribe el resultado en notacincientfica, tomando en cuenta lascifras significativas.
EJEMPLO
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241/382
4
28
88
10x2,06=
10x2,06=
10x4,25=4,25x10
EJEMPLO
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242/382
4
3
12
3 1233 -12
100,4
100,4
106464x10
x
x
x
ASIGNACIN # 11. Escriba los siguientes nmeros en
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notacin cientfica:a) 0,003 4b) 456 000
c) 3 570 000d) 0,399e) 3 456
ASIGNACIN # 12. Escriba los siguientes nmeros en
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notacin decimal:
2-
4
3
3-
5
10x6,4510x40,003
10x5,480
10x4,67
10x3,4
ASIGNACIN # 2
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1. Escribe en notacin cientfica lassiguientes longitudes expresadas enmetros:
a) El radio de Saturno: 60 300 000 mb) El tamao de una molcula orgnica:
0,000 000 000 7m
ASIGNACIN # 22. Expresa en notacin cientfica los
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siguientes intervalos de tiempo medidos ensegundos:a) Vida media del hombre: 1 000 000 000 s
b) Intervalo entre los latidos del corazn: 1 sc) Tiempo que tarda la Tierra en girar sobres misma: 86 400 s
ASIGNACIN # 23. Expresa en notacin cientfica las
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siguientes masas medidas en kilogramos
a) Masa del tomo:
0,000 000 000 000 000 000 000 1 kg
b) Masa de un toro: 420 kg
ASIGNACIN # 24. Escribe en notacin decimal:
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a) El dimetro de una clula humana:
b) La masa de Jpiter:c) La vida media del hombre: sx 9100,1
kgx
27
1096,1
cmx5
101,1
ASIGNACIN # 3
)10)(4 56710(53 8)
:cionesmultiplicasiguienteslasEfecta
36
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)10x)(710x(3,48f)
)10x)(2,910x(43,64e)
)10x)(8,6410x(2,18d)
)10x)(31,34510x(72,8c)
)10x)(4,3510x(5,0946b)
)10x)(4,56710x(53,8a)
5-5-
85-
4-8
4-8
7-5-
36-
ASIGNACIN # 4Realiza las siguientes divisiones:
54
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6-9
5-5-
37
5-4
10x6,87entre10x4,649d)
10x2,14entre10x2,54c)
10x8,765entre10x2,673b)
10x2,96entre10x32,45a)
ASIGNACIN # 5Efecta las siguientes operaciones:
55
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251/382
4-3-3-
5-6-
7-6-
43
56
55
10x5,07-10x4,8210x4,21f)
10x3,35-10x8,85e)
10x4,56-10x7,65d)
10x5,8610x6,23c)
10x3,6510x5,49b)
10x1,2110x6,46a)
ASIGNACIN # 61. Resuelva las siguientes operaciones:
)10(2 6) 24
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252/382
)10x(3,006c)
5x10b)
)10x(2,6a)
2-5-
39-
24
ASIGNACIN # 62. Resuelva las siguientes operaciones:
6
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253/382
0,27x10)
12,5x10)
100x10)
1075)
31-
3 10
4-
6
d
c
b
xa
ASIGNACIN # 71- Exprese en notacin cientfica y
realice la operacin indicada:
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a) 1 500 x 260b) 220 x 35 000
c) 40 : 20 000d) 82 800 : 0,12e)
0001728,0
28,17728,1 x
ASIGNACIN # 72- Realice la operacin indicada:
21002000016
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255/382
32000,0006,00002
2,1002,000016
025000,040014
3 43 7 1025,1107,2 xx
2532 102103 xx
321028 x
ORDEN DE MAGNITUD Cuando hablamos del orden de
magnitud de una cantidad nos
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referimos a la potencia de 10(positiva o negativa) que ms cercaest de dicha cantidad.
Para obtener el orden de magnitud deuna cantidad dada es necesarioexpresar la cantidad como unapotencia de 10.
ORDEN DE MAGNITUD
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Si en un nmero escrito en notacincientfica la parte decimal es menor oigual que 3,16 entonces el orden de
magnitud est dado directamente porel exponente que tenga la potencia.
ORDEN DE MAGNITUD
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Si en un nmero escrito en notacincientfica la parte decimal es mayorque 3,16 entonces para determinar el
orden de magnitud se le suma unaunidad al exponente.
ORDEN DE MAGNITUD
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CANTIDAD ORDEN MAGNITUD
sx2
1089,7
Ax5
1016,3
Jx3
1025,1
mx8
1057,2
kgx7
1019,4
m8
10s1
10
kg8
10A
510
J3
10
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Existen 4 formas bsicas de representar
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Existen 4 formas bsicas de representarlos datos de una experiencia:
A travs de una tabla de datos.
A travs de una representacin grfica.
A travs de un enunciado oral o escrito.
A travs de la ecuacin matemtica.
Es la forma ms simple de representar los
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Es la forma ms simple de representar losdatos de una experiencia para su anlisis.
Los datos deben estar ordenados paraque se puedan obtener ciertos resultadoscualitativos con relacin a la dependenciaentre las variables.
Se ha estudiado el movimiento de un
cuerpo en donde se ha medido la
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cuerpo, en donde se ha medido ladistancia recorrida por ste a medida queel tiempo transcurra:
Cuando el tiempo fue de 1,0 s el cuerpohaba recorrido 3,0 m; al cabo de 2,0 s elrecorrido fue de 6,0 m; luego de 3,0 s elrecorrido fue de 9,0 m; en 4,0 s el
recorrido fue de 12,0 m; y al cabo de 5,0 sel recorrido fue de 15,0 m.
Los datos de esta experiencia se puedenrepresentar de forma correcta en unatabla horizontal:
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t(s) 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
d(m) 3,0 6,0 9,0 12,0 15,0
Los datos tambin se puedenrepresentar en una tabla vertical:
t(s) d(m)
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1,0 3,0
2,0 6,0
3,0 9,0
4,0 12,0
5,0 15,0
Los pasos para construir una grfica son:
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Los pasos para construir una grfica son:1- Dibujar el plano cartesiano, trazando los
dos ejes, horizontal y vertical:
2- Colocar el nombre de la grfica en laparte superior centrado, colocando elsmbolo de la variable dependiente
versus el smbolo variablei d di t
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versus el smbolo variableindependiente:
d vs t
t (s)
d(m)
3- Coloca el smbolo de la variabledependiente en el eje vertical y el smbolode la variable independiente en el ejehorizontal; con sus respectivas unidadesent e pa ntesis
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entre parntesis.
4- Selecciona una escala apropiada paracada uno de los ejes, procurando que el
grfico abarque por lo menos el 75% delrea de la hoja.
5- Escribe debajo del ttulo del grfico la
escala utilizada en cada eje.
6- Marca los valores en los ejes, considerandoque deben estar equidistantes y llevar unorden secuencial.
7 Localiza de acuerdo a las escalas lasd d d d d
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7- Localiza, de acuerdo a las escalas, lascoordenadas para cada par de datos.
8- Une los puntos localizados en formacontinua. Si los puntos experimentalesparecen comportarse segn una recta pero noestn alineados perfectamente, debes trazaruna recta que sea equidistante a todos los
puntos, o sea una recta promedio.
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Proceso que nos permite encontrar un valor
que no est en la tabla de datos, pero que cae
dentro del rango de valores que hemos
medido.
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Proceso que nos permite encontrar un valor
que est fuera del rango de valores que
hemos medido. Se prolonga la grfica ms
all de los puntos experimentales.
d vs t
13
14
15
16
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
272/382
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0 1 2 3 4 5 6
t(s)
d
(m)
Ser i
Las grficas que dan como resultado unal i l d
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
273/382
Las grficas que dan como resultado unalnea recta, por convencin, se les dadenominaciones especiales:
1- Relacin Directamente Proporcional.
2- Relacin Lineal General o Funcin Lineal.
Representa una recta que pasa por el origen
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274/382
Representa una recta que pasa por el origen.
Su ecuacin es: y = mx
Donde y = ordenada
x = abscisa
m = pendiente de la recta.
Representa una recta que no pasa por el
origen
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275/382
origen.
Recta que corta al eje vertical en el punto b.
Su ecuacin es: y = mx+b
Donde y = ordenadax = abscisam = pendiente de la recta.b = intercepto con el eje vertical
XvsF
10
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276/382
02
468
10
0 2 4 6
F(N)
X
(cm)
Funcin
Lineal
Si b es positivo, la recta corta al eje verticalpor encima de cero.
b
y
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277/382
0
0
b
b
x
x
y
Si b es negativo, la recta corta al eje verticalpor debajo de cero.
y y
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278/382
x x
-b -b
0 0
Tanto en la ecuacin y=mx como en laecuacin y=mx+b la m representa la
pendiente
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279/382
pendiente.Si m es +
Si m es
Si m=0
Ejemplo:Determine la pendiente y el intercepto enlas siguientes ecuaciones:
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280/382
y=5x m=5 b=0
y=-4x m=-4 b=0
y=6x+4 m=6 b=4
y=-8x-1 m=-8 b=-1
y=(1/2)x-6 m=1/2 b=-6
Se eligen dos puntos cualesquiera de la recta
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281/382
Se eligen dos puntos cualesquiera de la recta. Dibujar el tringulo rectngulo que se formacon los dos puntos seleccionados.
Determinar el incremento o variacin en el ejevertical:
if yyy
Determinar el incremento o variacin en el ejehorizontal:
if
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282/382
if xxx Calcular el cociente entre la variacin vertical y
la variacin horizontal.
if
if
xx
yy
x
y
m
Veamos el EJEMPLO anterior
d vs t
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283/382
036
91215
0 1 2 3 4 5
t(s)
d(cm)
P1
P2
md
mmd
9
312
st
sst
3
14
Al calcular la pendiente del grfico obtenemos:
ss
mm
tt
dd
t
d
m 14
31212
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
284/382
smm
smm
sstttm
3
39
1412
Luego la ecuacin que define a lagrfica es:
dvst
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285/382
td
mtd
tddvst
3
Ecuacin de proporcionalidad
Ecuacin algebraica
Ecuacin matemtica
S imxyy
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286/382
Su ecuacin es
Donde es la constante de proporcionalidad
(intercepto)
m = es la potencia de la funcin
(pendiente). Puede ser positiva,
negativa, entera o fraccionaria.
xyy 0
0y
GRFICA POTENCIALDependiendo del valor de la potencia m
tenemos 5 casos:
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
287/382
m Ecuacin Grfica
m=0 Y = KRecta paralela al eje x.
m=1 Y = kx Recta que parte del origen.
m>1 Y = kx2 Parbola que abre hacia arriba si k es+.
0
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288/382
En la siguiente tabla de datos aparece lavelocidad de un cuerpo de masa 1 kg y laenerga debida al movimiento que adquieredicho cuerpo.
V(m/s) 2 4 6 8 10 12
E(J) 2 8 18 32 50 72
1- Grafica E vs V (en hoja milimetrada)
2- Eleva al cuadrado los valores correspondientes
al eje horizontal (en este caso la velocidad).
3 Grafica (en hoja milimetrada)2
EvsV
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289/382
3- Grafica (en hoja milimetrada)
4- Calcula la pendiente de este grfico.
5- Escribe las ecuaciones:
a- De proporcionalidad.
b- Algebraica.
c- Matemtica.
EvsV
Grfico Potencial1
60
EvsV
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290/382
0
15
30
45
0 2 4 6 8 10 12
V(m/s)
E(J)
2- Elevar al cuadrado losvalores de la velocidad
4 16 36 64 100 1442
2 mV
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
291/382
4 16 36 64 100 144
E(J) 2 8 18 32 50 72
2
2
s
mV
3- Graficar 2EvsV
70
802
EvsV
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
292/382
0
10
20
30
40
50
60
0 20 40 60 80 100 120 140
E
(J)
2
2
2
s
mV
4- Clculo de la Pendiente
2
2
EEm
V
Em
if
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
293/382
2
2
2
2
2
2
22
2
1
44
22
100144
5072
sm
Jm
sm
Jm
sm
Jm
VVm
if
5- Ecuaciones
EvsV2
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294/382
matemticaecuacinVE
ebraicaaecuacinmVE
alidadproporciondeecuacinVE
2
2
2
2
1
lg
FUNCIN POTENCIAL
La funcin potencial involucra dos constantes:el exponente y el factor de proporcionalidad
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295/382
La funcin potencial involucra dos constantes:el exponente y el factor de proporcionalidad.
Para poder escribir la expresin matemticaque relaciona a las variables, se hace necesarioencontrar el valor de estas constantes.
mxyy0
Se le aplica logaritmo a ambos miembrosde la ecuacin:
0
0
)log()log()log(
)log()log(
xyy
xyy
xyy
m
m
m
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296/382
0
0
0
loglog)log(
)log()log()log(
)log()log()log(
yxmy
yxy
xyy
m
Como se observa en la ltima ecuacin lam representa la pendiente del grfico hechoen hoja doblemente logartmica yrepresenta el intercepto con el eje vertical.
0y
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297/382
ll
Tambin m puede ser calculada si setoman dos puntos de la tabla devalores y se determina:
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298/382
if
if
xx
yym
loglog
loglog
La constante de proporcionalidades el valor de y que correspondecuando x = 1. Es decir, es el
intercepto de la recta con el ejel
0y
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intercepto de la recta con el ejevertical.
Si este valor no es posiblelocalizarlo a travs del grfico,entonces lo buscamos por clculonumrico, de la siguiente forma:
mx
yy 0
Hoja doblementelogartmica Para confeccionar un grfico en unahoja doblemente logartmica se debe
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300/382
Para confeccionar un grfico en unahoja doblemente logartmica, se debeescoger una escala apropiada en
ambos ejes. Los ejes estn calibrados en ciclos
logartmicos de base 10.
Pasos para escoger la escalaen hoja log-log:
1. Identificar los valores mnimos y mximos delas variables.
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1. Identificar los valores mnimos y mximos delas variables.
2. Determina entre qu nmeros de base 10estn comprendidos los valores mnimos ymximos de las variables.
Pasos para escoger laescala en hoja log-log:
3 Divide el nmero mayor de base
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3. Divide el nmero mayor de basediez entre el nmero menor de basediez y expresa el resultado en
notacin cientfica. La potencia deeste cociente es el nmero de cicloslogartmicos que son necesarios para
confeccionar el grfico.
Su ecuacin esmx
eyy 0
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303/382
Su ecuac n es
Donde es la constante de proporcionalidad
(intercepto). m = Es la potencia de la funcin (pendiente). Puede ser positiva, negativa, entera o fraccionaria.
yy
0y
FUNCIN EXPONENCIAL Se utiliza para representar fenmenos
que en la naturaleza tienen un rpidocrecimiento o decrecimiento
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304/382
que en la naturaleza tienen un rpidocrecimiento o decrecimiento.
Para determinar la ecuacinmatemtica de una funcin exponencialse debe graficar en papelsemilogartmico.
PAPEL SEMILOGARTMICO Este papel tiene escala logartmica
slo en el eje vertical El eje horizontal empieza en cero
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slo en el eje vertical.El eje horizontal empieza en cero. El eje vertical empieza en una
potencia de 10. La pendiente no se puede calculargeomtricamente midiendo. Se debe
utilizar la siguiente ecuacin:
PENDIENTE DE FUNCINEXPONENCIAL
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if
if
xx
yy
m
lnln
EJEMPLO La carga elctrica de un capacitor vara conel tiempo de acuerdo a los siguientes datos.
Determine la ecuacin matemtica.t( ) 10 40 60 90 100 150
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t(s) 10 40 60 90 100 150
Q(mC) 74 30 16 7 5 1
SOLUCIN
t030
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308/382
teQ
03,0100
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309/382
TRIGONOMETRA
Ciencia que estudia las relacionesmtricas entre los lados y los ngulos
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Ciencia que estudia las relacionesmtricas entre los lados y los ngulosde un tringulo a travs de las
proporciones de sus lados.
FUNCIONESTRIGONOMTRICAS
hi topuestoladoSen
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311/382
adyacentelado
opuestoladoTan
hipotenusa
adyacentelado
Cos
hipotenusa
FUNCIONESTRIGONOMTRICAS
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312/382
FUNCIONESTRIGONOMTRICAS
adyacenteladoCot
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
313/382
opuestoladohipotenusaCsc
adyacenteladohipotenusaSec
opuestolado
yCot
NGULOS Los ngulos se pueden medir en grados o en
radianes.
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314/382
Para transformar de grados a radianesmultiplicamos por:
Para transformar de radianes a grados
multiplicamos por:
180
180
EQUIVALENCIAS
revrad
3601180
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
315/382
radrad
rad
rev
rad
rev
017,0180
1
3,57180
1
21
3602
3601
FUNCIONES DE 30
2
130 Sen
30
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
316/382
3
3
3
3
3
130
2
330
Tan
Cos
30
60
1
23
FUNCIONES DE 60
2360 Sen
30
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
317/382
3
1
360
2
1
60
2
Tan
Cos
30
60
1
2
3
FUNCIONES DE 45
2
2
2
2
2
1
45 Sen45
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
318/382
11
145
2
2
2
2
2
145
Tan
Cos
45
45
1
1
2
CUADRANTESY
I QII Q
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
319/382
III Q IV Q
RADIO VECTORy
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
320/382
Radio vector: r
y
x
x
SIGNOS DE LAS FUNCIONESTRIGONOMTRICAS
1. El radio vector es siempre positivo.2 La abscisa es positiva en el I y IV
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321/382
p p2. La abscisa es positiva en el I y IVcuadrante.
3. La ordenada es positiva en el I y IIcuadrante.
SIGNOS DE LAS FUNCIONESTRIGONOMTRICAS
Sen Cos Tan Cot Sec CscI + + + + + +
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322/382
I + + + + + +
II + - - - - +
III - - + + - -
IV - + - - + -
FUNCIONES DE 0 Y 360y
0
0
0 rr
y
Sen
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
323/382
(r,0)
x
00
0
10
rx
yTan
r
r
r
xCos
FUNCIONES DE 90
(0,r)
y
190 r
r
r
ySen
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324/382
x
090
00
90
r
x
yTan
rr
xCos
FUNCIONES DE 180y
00
180 rr
ySen
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
325/382
(-r,0)
x
00
180
1180
rx
yTan
r
r
r
xCos
FUNCIONES DE 270y
1270 r
r
r
ySen
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326/382
(0,-r)
x
0270
00
270
r
x
yTan
rr
xCos
EL TEOREMA DE PITGORAS Se utiliza para resolver tringulos rectngulos.
222 cba
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327/382
cba
a
b
c
1. DEMOSTRACIN DE PITGORAS (S. VI a.C.)Pitgoras haba viajado a la
antigua Babilonia y aEgipto donde posiblementeconoci la propiedad que
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328/382
conoci la propiedad queverifican los lados de un
tringulo rectngulo.
En una tablilla de arcillaprocedente de Babiloniaconocida por PLIMPTON 322y fechada en el 1900 a.C.aparecen, colocadas en
columnas, ternas de
nmeros que verifican elteorema de Pitgoras son
las llamadas "TERNASPITAGRICAS".
Un cuadrado de lado b+c se divide en dos cuadrados de ladosb y c y en cuatro tringulos rectngulos de catetos b y c ehipotenusa a.
Por tanto igualando las
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329/382
Por tanto igualando lasdos reas obtenemos:
LEY DEL SENO Se utiliza con los tringulos obtusngulos
SenCc
SenBb
SenAa
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330/382
SenCSenBSenA
Ab
c
C
aB
LEY DEL COSENO
acCosBcab
bcCosAcba
2
2
222
222
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331/382
abCosCbac 2222
Ab
c
C
aB
IDENTIDADESTRIGONOMTRICAS
22
1CosSen
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332/382
22
22
11
CscCotSecTan
RELACIONES IMPORTANTES
SecCos
CscSen
1
1
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333/382
Sen
CosCot
Cos
SenTan
Cot
Tan
Sec
1
FUNCIN PAR
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334/382
CosCos
FUNCIN IMPAR
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
335/382
SenSen
SUMA DE NGULOS
ysenxyxsenyxsen
coscoscos
coscos
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yx
yxyx
ysenxsenyxyx
tantan1
tantantan
coscoscos
NGULO DOBLE
cos2cos
cos22
22xsenxx
xsenxxsen
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337/382
2
2cos1
22cos1cos
2
2
xxsen
xx
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
338/382
MAGNITUDES ESCALARES Son aquellas que quedan determinadas
por su mdulo y su unidad.
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Ejemplos: distancia, tiempo, masa,densidad, rapidez, temperatura, energa,superficie, volumen, potencial elctrico,etc.
MAGNITUDES VECTORIALES
Son aquellas que quedan determinadaspor su mdulo (con su unidad), direcciny sentido
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y sentido.
Ejemplos: desplazamiento, velocidad,aceleracin, fuerza, peso, momento,campo elctrico, etc.
NOTACIN VECTORIAL Son representadas por una flecha. La longitud de la flecha es proporcional
a la magnitud del vector. La cabeza de la flecha representa la
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341/382
direccin. Se usa una flecha en la parte superior: Se usa la letra en negrita: A A
SENTIDO
NE
NO
N
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SESO
Al norte del este
Al sur del esteAl sur del oeste
Al norte del oeste
S
O E
PROPIEDAD DE LOS VECTORES Igualdad de dos vectores:
Dos vectores son iguales si ellos tienen la
misma magnitud y la misma direccin. Vectores Opuestos
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343/382
Vectores Opuestos Dos vectores son opuestos si ellos tienen la
misma magnitud pero direccin opuesta.A = -B Vector Resultante:
El vector resultante es la suma de los
vectores dados.
ADICIN DE VECTORES Cuando sumamos vectores, sus direcciones
deben ser tomadas en cuenta.
Las unidades deben ser las mismas.
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
344/382
Mtodos Grficos:
Polgono y Paralelogramo. Mtodos Analticos: Mtodo de las componentes rectangulares. Ley del Seno y Ley del Coseno.
MTODO DEL POLGONO Escoja una escala. Dibuje el primer vector con la apropiada
longitud y en la direccin especificada, conrespecto al sistema de coordenadas.
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
345/382
Dibuja el prximo vector con la apropiadalongitud y en la direccin especificada, conrespecto al sistema de coordenadas cuyoorigen es el final del vector A y paralelo al
sistema de coordenadas usado para A.
MTODO DEL TRINGULO Continuamos dibujando losvectores cabeza-cola
La resultante es dibujadadesde el origen de A hasta elfi l d l l i
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346/382
final del ltimo vector. Medimos la longitud de R y
su ngulo. Use el factor escala para
convertir la longitud a la actualmagnitud.
MTODO DEL POLGONO Cuando tienes
muchos vectores, se
repite el procesohasta incluirlos atodos
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
347/382
todos. La resultante es
dibujada desde elorigen del primervector hasta el finaldel ltimo vector.
MTODO DEL PARALELOGRAMO Cuando tienes slo
dos vectores, puedes
usar Mtodo delParalelogramo.
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
348/382
Todos los vectores,incluyendo laresultante, se dibujandesde el origencomn.
OBSERVACIONES Los Vectores
obedecen a la LeyConmutativa de laAdicin.
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
349/382
El orden en que sesumen los vectoresno afectan losresultados.
RESTA DE VECTORES Es un caso especial de
la suma de vectores
Si A B, entoncesusamos A+(-B)
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
350/382
Continuamos con elprocedimiento deadicin de vectores.
Multiplicacin o Divisin de un Vectorpor un escalar
El resultado de la multiplicacin o divisin es unvector.
Cuando la magnitud del vector es multiplicada odividida por el escalar:
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
351/382
dividida por el escalar:
Si el escalar es positivo, el sentido delresultado es el mismo que el del vector original. Si el escalar es negativo, el sentido del
resultado es opuesto al del vector original.
Trigonometra y vectores
F
Componentes de un vector Fuerza resultante
R
F
F
Adems:
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352/382
Fx = Fcos Fy = Fsen
Fy
Fx
Fy
Fx
Por el teorema de Pitgoras:
R F Fx y 2 2
x
y
F
F1
tan
COMPONENTES DE UN VECTOR Una componente es
una parte. Se usan
componentes
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353/382
prectangulares Estas son las
proyecciones delvector a lo largo delos ejes x, y.
COMPONENTES DE UN VECTOR La componente x de un vector es la proyeccin
a lo largo del eje x:
cosAxA
7/28/2019 CURSO PROPEDUTICO 2013
354/382
La componente y de un vector es la proyeccin
a lo largo del eje y:
Entonces,
AsenAy
x
y
yxAAyAAA 122 tan
Las ecuaciones anteriores son vlidas slosi es medido con respecto al eje x.
COMPONENTES DE UN VECTOR
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355/382
Si es medido con respecto al eje ylas
ecuaciones sern las siguientes:
AsenAx cosAAy
SUMA ANALTICA DE VECTORES Dibuja un sistema de coordenadas y
determina los vectores. Encuentra las componentes x-y det d l t
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todos los vectores.
Sume todas las componentes x As, xx vR
SUMA ANALTICA DE VECTORES Suma todas las componentes y
As Use el Teorema de Pitgoras para encontrar
la magnitud de la Resultante:
yy
vR
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la magnitud de la Resultante:
Use la funcin tangente inversa paraencontrar la direccin de R:
2
y
2
x RRR
x
y1
R
Rtan
REPRESENTACIN DE UN VECTOR
yVxVV
sentidoVV
yx
,,
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kVjViVV
zVyVxVV
y
zyx
zyx
yx
MDULO DE UN VECTOR
22
yx AAV
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222
zyxAAAV
PRODUCTO ESCALAR DE DOSVECTORES
2121 cosVVVV
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360/382
21
211
21
cosVVVV
VyVentrenguloeles
PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar tambin es llamadoproducto punto.
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El producto escalar de dos vectores esun escalar.
PRODUCTO ESCALAR DE DOS
VECTORES
zyxzyx
zyx
zyx
zByBxBzAyAxABA
zByBxBB
zAyAxAA
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222222
1cos
zyxzyx
zzyyxx
zzyyxx
BBBAAA
BABABA
BABABABA
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
2121 senVVVV
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363/382
21
211
21
VV
VVsen
VyVentrenguloeles
PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial tambin esllamado producto cruz.
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p
El producto vectorial de dos vectoreses un vector.
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS
VECTORES
zByBxBB
zAyAxAA
zyx
zyx
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zBABAyBABAxBABABA
BBB
AAA
zyx
BA
xyyxxzzxyzzy
zyx
zyx
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SISTEMA DE COORDENADASCARTESIANAS
Tambin llamado
sistema decoordenadasrectangulares
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rectangulares Ejes x - y Los puntos se
denominan (x,y)
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 212
2
12, yyxxBAd
y
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2
x1
xx
dA
B2y
1y
PENDIENTE DE UNA RECTA
12
12
xx
yym
y
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2
x1
xx
dA
B2y
1y
12 yy
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