UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Mestrado Prossional em Matemática Aplicada e Computacional
PM007 - Modelos e Métodos Matemáticos
CURVAS PLANAS, ENVOLTÓRIA E TRAJETÓRIAS
ORTOGONAIS
EMERSON DUTRA
JHONE DE SOUZA PEREIRA
ODAIR JOSÉ TEIXEIRA DA FONSECA
CAMPINAS - SP
2015
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Mestrado Prossional em Matemática Aplicada e Computacional
PM007 - Modelos e Métodos Matemáticos
CURVAS PLANAS, ENVOLTÓRIA E TRAJETÓRIAS
ORTOGONAIS
Trabalho apresentado como atividade parcial
da disciplina PM007 - Modelos e Métodos
Matemáticos, do Mestrado Prossional em
Matemática Aplicada e Computacional, na
Universidade Estadual de Campinas. Sob
orientação do Prof. Dr. Ricardo Miranda
Martins
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Sumário
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1.1 Equações Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Famílias de Curvas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Envoltória de uma família de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Trajetórias Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
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Lista de Figuras
1.1 Família de Parábolas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Família de Parábolas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Envoltórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Trajetórias Ortogonais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Trajetórias Ortogonais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Trajetória Ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
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Introdução
1.1 Equações Exatas
Denição 1.1. Uma forma diferencial ω : Ω → (R2)∗ é exata se existir f : Ω → R tal
que ω = df .
Considere as equações diferenciais da forma
N(x, y)y′ +M(x, y) = 0 (1.1)
Onde M,N : Ω → R são funções denidas em um aberto conexo Ω do plano (x, y).
Suponhamos que M e N são funções de classe C1 e N(x, y) 6= 0, ∀ (x, y) ∈ Ω, a equação
(1.1) se reduz ao tipo y′ = f(x, y), que já conhecemos como resultado a existência e
unicidade de solução do problema de valor inicial.
Dizemos que (1.1) é uma equação exata se o campo vetorial (M,N) deriva de um
potencial V (x, y), ou seja, Vx = M e Vy = N . Disto, (1.1) pode ser escrito da seguinte
forma
Vy(x, y)y′ + Vx(x, y) = 0 (1.2)
Note que se y(x) for uma solução de (1.1), a partir de (1.2), obtemos:
d
dxV (x, y(x)) = 0,
E assim, temos que y(x) é solução da equação algébrica
V (x, y(x)) = c, (1.3)
onde c é uma constante, que pode ser obtida a partir de um ponto (x0, y0) por onde a
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solução y(x) passe. Ou seja, c = V (x0, y0). Isso signica que os grácos de soluções de
(1.1) traçados no plano (x, y) estão contidos nas curvas de nível da função V (x, y).
1.2 Famílias de Curvas Planas
As soluções y das equações exatas
N(x, y)y′ +M(x, y) = 0 (1.4)
obtidas implicitamente, são da forma
V (x, y(x)) = c, (1.5)
onde c é uma constante arbitrária. Para cada c obtemos uma curva no plano (x, y).
Particularmente, as soluções de yy′ + x = 0 são dadas por
x2 + y2 = c,
note que, para cada c > 0 temos um círculo centrado na origem de raio√c. Ainda mais,
para o mesmo valor de c podemos ter mais de uma solução y(x) dada por (1.5). Essa
expressão dene um família de curvas a um parâmetro . Em geral, uma família de curvas
a um parâmetro é denida por
f(x, y, λ) = 0 (1.6)
onde f : Ω× Λ→ R é uma função diferenciável, Ω é um aberto do plano (x, y) e Λ é um
intervalo da reta.
Agora, surge a questão: dada uma família de curvas (1.6) a um parâmetro, existe uma
equação diferencial para a qual essa família represente suas soluções?
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1. Família de parábolas:
f(x, y, λ) = y − 2λx2 − λ = 0 (1.7)
onde x, y, λ ∈ R. Derivando implicitamente temos5
y′ − 4λx = 0 (1.8)
da equação acima segue que λ =y′
4x. Agora, substituindo em (1.7) obtemos
(2x2 + 1)y′ − 4xy = 0
cujas soluções são dadas por (1.7).
Figura 1.1: Família de Parábolas
Exemplo 2. Famílias de círculos de raio 1 centrados no eixo-x
f(x, y, λ) = (x− λ)2 + y2 − 1 = 0. (1.9)
Derivando implicitamente, obtemos
2(x− λ) + 2yy′ = 0. (1.10)
Da expressão acima segue que λ = yy′ + x, substituindo em (1.9) obtemos
y2(1 + y′2)− 1 = 0 (1.11)
Cujas soluções soluções são dadas por (1.9). Note que existem soluções que não estão
incorporadas em (1.9), a saber, y(x) = 1 e y(x) = −1. Neste caso dizemos que (1.9) são
chamadas soluções regulares e y(x) = 1 e y(x) = −1 são chamadas soluções singulares.
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Figura 1.2: Família de Círculos de Raio 1
1.3 Envoltória de uma família de curvas
Seja a família de curvas Cλ dada por (1.6) suponhamos que, para cada λ a curva corres-
pondente tem tangente, o que quer dizer que o vetor normal
(fx(x, y, λ), fy(x, y, λ)) 6= 0 (1.12)
para todos (x, y, λ) tais que f(x, y, λ) = 0. Dene-se uma envoltória da família (1.6) como
sendo uma curva em coordenadas paramétricas (x(λ), y(λ)) tal que
f(x(λ), y(λ), λ) = 0 (1.13)
x(λ)fx(x(λ), y(λ), λ) + y(λ)fy(x(λ), y(λ), λ) = 0 (1.14)
onde x = dx/dλ. A condição (1.13) diz que para cada λ, o ponto (x(t), y(t)) pertence à
curva Cλ da família (1.6). A condição (1.14) diz que naquele ponto a envoltória e a curva
Cλ têm a mesma reta tangente. A condição a seguir garante a existência de envoltória da
família (1.6).
fxfλy − fyfλx 6= 0. (1.15)
De fato, considere o sistema
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f(x, y, λ) = 0
fλ(x, y, λ) = 0(1.16)
A condição (1.15) juntamente com o Teorema das Funções Implícitas garante que existe
uma solução (x(λ), y(λ)) do sistema (1.16). Assim, tais x(λ) e y(λ) satisfazem (1.13) que
derivando em relação a λ obtemos
x(λ)fx(x(λ), y(λ), λ) + y(λ)fy(x(λ), y(λ), λ) + fλ(x(λ), y(λ), λ) = 0 (1.17)
De (1.16) temos que o último termo em (1.17) é zero e portanto (1.17) implica (1.14), e
portanto, (x(λ), y(λ)) é, de fato, uma envoltória da família Cλ.
Exemplo 3. A família do exemplo 2
f(x, y, λ) = (x− λ)2 + y2 − 1 = 0
fλ(x, y, λ) = −2(x− λ) = 0(1.18)
Eliminando λ no sistema acima obtemos y2 = 1, e portanto, y(x) = 1 e y(x) = −1 são
duas envoltórias.
Figura 1.3: Família de Círculos e suas envoltórias
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1.4 Trajetórias Ortogonais
Duas curvas dadas por y = φ(x) e y = ψ(x) que se interseccionam no ponto (x0, y0) são
ortogonais se suas retas tangentes naquele ponto são perpendiculares, isto é,
φ′(x0)ψ′(x0) = −1, (1.19)
onde supomos que ψ′ e φ′ não se anulam. Se as curvas são dadas em coordenadas
paramétricas, isto é, α(t) = (α1(t), α2(t)) e β(t) = (β1(t), β2(t)) são curvas, então (1.19)
toma a forma
α′1(t0)β′1(t0) + α′2(t0)β
′2(t0) = 0.
Duas famílias de curvas
f(x, y, λ) = 0 e g(x, y, µ) = 0
são mutuamente ortogonais se cada λ-curva é ortogonal a toda µ-curva que ela inter-
secciona. Dada uma família de curvas
f(x, y, λ) = 0 (1.20)
um modo de obter um outra família a ela ortogonal é o seguinte. Pelos métodos anteriores,
obtenha inicialmente a equação diferencial para a qual essas curvas são funções:
F (x, y, y′) = 0 (1.21)
a seguir dena a função
G(x, y, p) = F
(x, y,−1
p
)(1.22)
e obtenha as soluções da equação diferencial:
G(x, y, y′) = 0. (1.23)
Essas soluções constituem uma família de curvas
G(x, y, µ) = 0. (1.24)
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que é ortogonal à família f. De fato, se y = φ(x) é uma µ-curva então
F
(x, φ(x),− 1
φ′(x)
)= 0
o que quer dizer que se y = ψ(x) é a λ-curva que passa pelo ponto (x, φ(x)), então
ψ′(x) = − 1
φ′(x)
ou seja (1.19) está satisfeita.
Exemplo 4. Considere a família de círculos
x2 + y2 − λ2 = 0. (1.25)
A equação diferencial cujas soluções são dadas por (1.25) é
yy′ + x = 0
Para obter a família ortogonal a (1.25) considere a equação
−y 1
y′+ x = 0
cujas soluções são y = µx. Portanto, as retas através da origem formam uma família
ortogonal à família de círculos (1.25).
Figura 1.4: Família Ortogonal à Família de Círculos
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Exemplo 5. Considere a família de parábolas
y − 2λx2 − λ = 0. (1.26)
A equação diferencial correspondente é
(2x2 + 1)y′ − 4xy = 0.
Para obter a família ortogonal a (1.26) considere a equação
−(2x2 + 1)1
y′− 4xy = 0,
cujas soluções são
2y2 − x2 − ln|x| = µ.
Essa é a família ortogonal a (1.26).
Figura 1.5: Família Ortogonal à Família de Parábolas
Exemplo 6. Potencial gerado por dois os Para determinar as linhas de força do campo
gerado por dois os se utiliza o fato que as linhas de força e as linhas equipotenciais são
ortogonais. O problema é achar a família ortogonal a:
(x− λ)2 + y2 = λ2 − 1. (1.27)
Derivando implicitamente obtemos;
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2(x− λ) + 2yy′ = 0
de onde segue que
λ = yy′ + x
substituindo em (1.27), obtemos
y′ =y2 − x2 + 1
2xy
Para obter a família ortogonal a (1.27) considere a equação
− 1
y′=y2 − x2 + 1
2xy⇔ y′ =
2xy
x2 − y2 − 1
Resolvendo a equação diferencial
y′ =2xy
x2 − y2 − 1
obtemos a solução.
x2 + (y + γ)2 = 1 + γ2 ; y 6= 0
Essa é a família ortogonal a (1.27).
Figura 1.6: Famílias de Curvas
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Referências Bibliográcas
[1] FIGUEIREDO, Djairo, G. NEVES, Aloisio, F. Equações Diferenciais Aplicadas. 2
ed. Rio de Janeiro, IMPA, 2005.
[2] BOYCE, Willian, E. DIPRIMA, Richard, C. Equações Diferenciais Elementares e
Problemas de Valores de Contorno. 9 ed. Rio Janeiro, LTC, 2010.
[3] DOERING, Claus, I. LOPES, Artur, O. Equações Diferenciais Ordinárias. 5 ed. Rio
Janeiro, IMPA, 2014.
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