CUERPOS DE
REVOLUCIÓN
• TIPOS DE CUERPOS DE REVOLUCIÓN:
CILINDRO
CONO
TRONCO DE CONO
ESFERA
DEFINICIÓNUn cuerpo de revolución es un cuerpo generado cuando una figura plana gira alrededor de un eje fijo
C I L I N D R OEl cilindro es el cuerpo engendrado por un
rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.
ELEMENTOS DEL CILINDRO• Bases: dos círculos
iguales y paralelos.• Superficie lateral: la cara
lateral no plana, cuyo desarrollo es un rectángulo.
• Eje: el lado fijo del rectángulo que, al girar sobre sí mismo, engendra al cilindro.
• Radio: el radio de las bases.
• Altura: distancia entre las dos bases.
altura
r
CILINDRO OBLICUO
ÁREA DEL CILINDROAl desarrollar un cilindro se obtiene un
rectángulo y dos círculos iguales, que constituyen las bases:
Área lateral, : Es el área de un rectángulo cuya base es la
longitud de la circunferencia de la base, 2πr, y la altura, h, es la altura del cilindro o generatriz, g:
Área de las bases, : Es la suma de las áreas de las dos
bases. Como las bases son círculos, cada una
tendrá un área:
El área total de un cilindro es la suma del área lateral más el área de las dos bases:
VOLUMEN DE UN CILINDROUn cilindro y un prisma recto con la misma altura, bases
de igual área y secciones también de la misma área, según el principio de Cavalieri, tendrán igual volumen.
Si el radio del cilindro es r y la altura h, su volumen será:
CONOLlamamos cono al cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo al girar alrededor de uno de sus catetos
ELEMENTOS DEL CONO• Altura : la distancia desde el vértice al plano de la base
• Generatriz : la hipotenusa del triángulo rectángulo
• Radio : el radio de la base
• Eje : el cateto fijo del triángulo que al girar engendra el cono
• Superficie Lateral : la cara lateral no plana cuyo desarrollo es un sector circular
radio
CONO OBLICUO
ÁREA DEL CONO
El área total de un cono es la suma del área lateral más el área de la base:
ÁREA DEL CONOEl área lateral es el área de un sector circular de base r y de altura g:
El área de la base es el área de un círculo de radio r, por lo tanto:
2rgrAAAbaselateralcono
VOLUMEN DE UN CONO
Un cono y una pirámide de la misma altura e iguales áreas de la base y de las secciones, por el principio de Cavalieri, tendrán el mismo volumen
hralturaAVbasecono
2
31
31
r
TRONCO DE CONO
Un tronco de cono es el cuerpo de revolución engendrado por un trapecio rectángulo al girar sobre el lado perpendicular a sus bases
ÁREA DEL TRONCO DE CONO
menorbasemayorbaselateralconotroncoAAAA
ÁREA DEL TRONCO DE CONOEl área lateral es un sector de corona circular que podemos considerar como un trapecio curvilíneo, y aplicando la fórmula del área del trapecio:
2)( alturamenorbaselongitudmayorbaselongitud
Alateral
grRgrRgrR
Alateral
)(2)(2
2)22(
ÁREA DEL TRONCO DE CONO
menorbasemayorbaselateralconotroncoAAAA
22)( rRgrRAconotronco
VOLUMEN DEL TRONCO DE CONO
El volumen de un tronco de cono se calcula como la diferencia de los volúmenes de los dos conos asociados
menorconomayorconoconotroncoVVV
)(3
1 22 hrHRVtroncocono
ESFERALlamamos esfera al cuerpo de revolución engendrado por un semicírculo al girar sobre su diámetro
SUPERFICIE ESFÉRICA es la superficie que cubre la esfera
ELEMENTOS DE UNA ESFERA
•Radio: Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la superficie esférica
• Semiesfera: es una de las partes en la que queda cortada una esfera por un plano que pasa por su centro
• Hemisferio: es la porción de superficie esférica de una semiesfera
ELEMENTOS DE UNA ESFERA
Paralelos: Las circunferencias que se obtienen al cortar una esfera por planos perpendiculares a su eje
Meridianos: Las circunferencias máximas que pasan por los polos
ELEMENTOS DE UNA ESFERA
Segmento esférico – es la porción de esfera que obtenemos al cortar una esfera por un plano que no pasa por su centro
Casquete esférico – es la porción de superficie esférica delimitada por un segmento esférico
ELEMENTOS DE UNA ESFERA
CUÑA ESFÉRICA
ZONA ESFÉRICA
ÁREA Y VOLUMEN DE LA ESFERA
24 rAesfera
3
3
4rV
esfera
Top Related