Cuerpo de Profesores de Ensentildeanza Secundaria
Fiacutesica y Quiacutemica
Cinemaacutetica Elementos para la descripcioacuten del movimiento
Movimientos de especial intereacutes
Meacutetodos para el estudio experimental del movimiento
4
Queda expresamente prohibida la difusioacuten o transmisioacuten de los materiales puestos a disposicioacuten del opositora
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1
TEMA 4
CINEMAacuteTICA ELEMENTOS PARA LA DESCRIPCIOacuteN DEL
MOVIMIENTO MOVIMIENTOS DE ESPECIAL INTEREacuteS
MEacuteTODOS PARA EL ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MOVI-
MIENTO
Iacutendice
0 Introduccioacuten 3
1 Cinemaacutetica 3
2 Elementos para la descripcioacuten del movimiento 4
21 Sistemas de referencia 4
22 Vector de posicioacuten de un moacutevil 5
23 Vector velocidad 6
24 Vector aceleracioacuten 8
25 Componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten 9
26 Concepto de radio de curvatura 12
3 Movimientos de especial intereacutes 12
31 Movimiento uniforme 12
32 Movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado 13
33 Movimiento circular uniforme 15
34 Movimiento circular uniformemente acelerado 15
35 Movimiento armoacutenico simple 16
36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos 17
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos 23
41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica 24
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas 25
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2
44 Aplicaciones para moacutevil (apps) 26
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica 27
5 Conclusioacuten 28
Bibliografiacutea
bull Tipler P y Mosca G (2003) Fiacutesica para la Ciencia y Tecnologiacutea volumen 1A Mecaacutenica
(5ordm edicioacuten) Barcelona (Espantildea) Editorial Reverteacute
bull Tovar J y Hernaacutendez J (2012) Fundamentos de Fiacutesica Mecaacutenica (3ordm edicioacuten revisada y
aumentada) Jaeacuten (Espantildea) editorial Universidad de Jaeacuten coleccioacuten Ingenieriacutea y
Tecnologiacutea serie Techneacute
bull Serway A y Jewett J Jr (2008) Fiacutesica para ciencias e ingenieriacutea Meacutexico Editorial
Cengage Learning Latinoameacuterica
bull Alonso M y Finn E J (1970) Fiacutesica Vol 1 Mecaacutenica Meacutexico Addison-Wesley
Iberoamericana
bull Ortega Giroacuten M R (1989) Lecciones de Fiacutesica Mecaacutenica 1 Coacuterdoba (Espantildea)
Departamento de Fiacutesica Aplicada Universidad de Coacuterdoba
bull Eisberg R M y Lerner L S (1981) Fiacutesica Fundamentos y Aplicaciones Madrid (Es-
pantildea) McGraw-Hill
bull Guerra M Correa J Nuacutentildeez I y Scaron J M (1984) Fiacutesica Elementos Fundamenta-
les Mecaacutenica y Termodinaacutemica Claacutesica Tomo 1 Barcelona (Espantildea) Editorial Reverteacute
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0 Introduccioacuten
En el presente tema vamos a estudiar la parte de la fiacutesica que describe el movimiento de
un cuerpo Para ello debemos comenzar introduciendo las magnitudes fiacutesicas necesarias
como posicioacuten velocidad y aceleracioacuten definidas como vectores lo cual significa que
tienen tanto magnitud como direccioacuten y sentido Desarrollaremos ecuaciones sencillas
para la descripcioacuten de distintos tipos de movimientos y posteriormente estudiaremos su
aplicacioacuten en casos concretos como el tiro paraboacutelico o movimiento de proyectiles Por
uacuteltimo veremos diferentes meacutetodos para el estudio experimental del movimiento desde
los meacutetodos tradicionales hasta meacutetodos maacutes actuales
1 Cinemaacutetica
La mecaacutenica es la parte de la fiacutesica que estudia las relaciones entre fuerza materia y
movimiento y se divide en cinemaacutetica y dinaacutemica La cinemaacutetica describe el movimiento
de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen que son las fuerzas mien-
tras que la dinaacutemica incluye las fuerzas
El movimiento es el fenoacutemeno fiacutesico maacutes familiar y el maacutes frecuente y general de la Na-
turaleza Todos los fenoacutemenos baacutesicos que estudia la Fiacutesica estaacuten originados en su natura-
leza iacutentima por movimientos de determinadas entidades asiacute por ejemplo
- La electricidad constituye el movimiento de cargas en conductores
- El Magnetismo estaacute originado por el movimiento de cargas
- El Calor tiene su origen en el movimiento molecular
- La Luz como toda onda electromagneacutetica tiene su origen en el movimiento vibra-
torio de partiacuteculas cargadas
- El Sonido como toda onda mecaacutenica se origina por el movimiento oscilatorio de
partiacuteculas en un medio material
El estudio del movimiento tanto desde el punto de vista cinemaacutetico como del dinaacutemico
constituye la base fundamental de la Mecaacutenica y por consiguiente de toda la Fiacutesica
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2 Elementos para la descripcioacuten del movimiento
21 Sistemas de referencia
Para un estudio correcto del movimiento hemos de elegir en primer lugar un sistema de
referencia (generalmente establecido por un sistema de coordenadas) al cual referir la
posicioacuten de un punto material mediante unas coordenadas numeacutericas El punto estaraacute en
reposo cuando las coordenadas respecto al sistema de referencia no variacuteen con el tiempo y
estaraacute en movimiento cuando al menos una coordenada variacutee con el tiempo
Generalizando la definicioacuten a un cuerpo formado por muchos puntos materiales
diremos que estaacute en movimiento cuando al menos una coordenada de cualquiera de sus
puntos variacutea con el tiempo En esta definicioacuten de movimiento quedan englobados todos
los tipos de movimiento que un cuerpo pueda tener traslacioacuten rotacioacuten vibracioacuten de-
formacioacuten etc
Consideraremos en cinemaacutetica el movimiento del cuerpo maacutes sencillo el punto
material o partiacutecula material cuyas dimensiones pueden despreciarse al estudiar el
movimiento La aplicacioacuten del concepto del Punto Material a los sistemas reales de la
naturaleza depende de las condiciones especiacuteficas del problema asiacute por ejemplo los
planetas pueden considerarse puntos materiales cuando se estudian sus movimientos
alrededor del Sol referido a un sistema de referencia fijo en eacuteste pero no pueden
considerarse puntos materiales si se estudian los movimientos de rotacioacuten alrededor de
sus propios ejes
El movimiento es un concepto relativo pues debe referirse a un sistema particular de
referencia elegido arbitrariamente y considerado fijo Las observaciones hechas en la
Tierra estaacuten referidas a un sistema referencial situado en ella y por ende en movimiento
con la propia Tierra Los astroacutenomos prefieren referir el movimiento estelar a un sistema
de ldquoestrellas fijasrdquo aunque el sistema adolece del mismo defecto pues estos puntos con-
siderados fijos aunque poco variacutean sus posiciones con el tiempo
El sistema de referencia fijo absoluto no existe por imposibilidad de fijar dicho sistema
en el espacio ya que implicariacutea a su vez otra referencia fija por si misma de manera
absoluta
Normalmente debe elegirse el sistema de referencia que permita que las observaciones
medidas y anaacutelisis de los datos del sistema fiacutesico estudiado sean lo maacutes sencillos posible
El movimiento tiene el mismo caraacutecter tanto si estaacute referido a un hipoteacutetico sistema fijo
absoluto como si estaacute referido a unos sistemas animados con movimiento uniforme (v=cte)
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respecto de los primeros Por ello para referir un movimiento bastaraacute considerar como
sistema de referencia unos ejes que se desplacen con movimiento de traslacioacuten uniforme
que llamaremos sistemas referenciales inerciales o Galileanos
El movimiento referido a sistemas referenciales no-inerciales o sea con movimiento de
traslacioacuten no uniforme (con aceleracioacuten) o con movimiento de rotacioacuten es un tema de
considerable importancia cuyo estudio resuelve importantes problemas relacionados con
el movimiento de gran alcance como el de sateacutelites artificiales cohetes intercontinentales
caacutepsulas espaciales masas de aire corrientes marinas etc Pero no se trataraacute en este tema
22 Vector de posicioacuten de un moacutevil
La posicioacuten de un punto moacutevil en el espacio queda fijada por el vector de posicioacuten r
trazado desde el origen O de coordenadas hasta la posicioacuten del moacutevil P Las componentes
del vector r
(x y z) seraacuten las coordenadas del punto moacutevil en ese instante El moacutevil en su
movimiento describe una curva C llamada trayectoria del punto P
El movimiento de P queda totalmente especificado y determinado si se conocen las tres
coordenadas del vector como funciones del tiempo
)(txx = )(tyy = )(tzz =
llamadas ecuaciones parameacutetricas del movimiento En cada instante t los valores de x y z
corresponden a las coordenadas del punto ocupado por el moacutevil en dicho instante
Fiacutesicamente equivale a decir que todo movimiento puede considerarse descompuesto en
tres movimientos rectiliacuteneos sobre los tres ejes coordenados
De las ecuaciones parameacutetricas x = x(t) y = y(t) z = z(t) se deduce la ecuacioacuten de la
trayectoria del punto moacutevil con soacutelo eliminar entre ellas la variable independiente t
El vector de posicioacuten vendraacute dado por la expresioacuten vectorial
ktzjtyitxtrr
)middot()middot()middot()( ++==
expresioacuten que determina r
para cualquier instante t y se puede escribir de modo geneacuterico
como )(trr
= que es la ecuacioacuten vectorial del movimiento
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La distancia recorrida por el moacutevil es la suma de todas las longitudes recorridas en los
sucesivos intervalos de tiempo desde el instante inicial (to) al instante final (t) Esta
distancia constituye la trayectoria definida anteriormente y sobre ella el problema
cinemaacutetico consiste en determinar el camino recorrido en funcioacuten del tiempo es decir
s = s(t)
Vemos pues dos aspectos en el tratamiento de los problemas cinemaacuteticos El primero de
ellos y maacutes general partiendo del vector de posicioacuten )(trr
= del que se derivaraacuten todas las
ecuaciones vectoriales del movimiento vaacutelidas cualquiera que sea la trayectoria e
independiente del sistema de referencia Un segundo aspecto maacutes limitado determina
uacutenicamente el camino recorrido sobre la trayectoria mediante la expresioacuten s=s(t) de la que
se deducen las ecuaciones escalares del movimiento sobre la trayectoria para lo cual es
necesario fijar un punto inicial de origen en la trayectoria s=0 para referir a eacutel las
distancias recorridas y demaacutes variables cinemaacuteticas
23 Vector velocidad
Para el estudio del movimiento es necesario conocer la posicioacuten del moacutevil en cada
instante que vendraacute dada por el vector de posicioacuten y la variacioacuten de esta posicioacuten con el
tiempo que vendraacute dada por el vector velocidad
Si un moacutevil se encuentra en un instante dado en la posicioacuten P (dada por el vector de
posicioacuten r
) y un intervalo t despueacutes se encuentra en Q (dada por el vector de posicioacuten r
+ r
) el moacutevil ha sufrido un desplazamiento vectorial r
y ha recorrido un intervalo de
trayectoria s y son por definicioacuten diferentes y no coincidentes Soacutelo en el caso liacutemite de
que el intervalo de tiempo sea infinitesimal ambos conceptos seraacuten coincidentes en el
graacutefico y el moacutedulo de r
coincidiraacute con s
Se define el vector velocidad media mv
como el
cociente
t
rvm
=
que es un vector de direccioacuten y sentido ideacutentico al vector
desplazamiento r
pues el escalar t seraacute siempre
positivo La direccioacuten del vector desplazamiento y por ello
la del vector velocidad media es la direccioacuten de la cuerda
del arco PQ
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Anaacutelogamente se define la velocidad media en la trayectoria vm (magnitud escalar) al
cociente de la trayectoria recorrida en el tiempo empleado
t
svm
=
Ambas velocidades medias una vectorial y otra escalar no son generalmente de igual
moacutedulo pues sr
como puede apreciarse en la Fig2
Si reducimos el intervalo de tiempo t hasta valores muy pequentildeos que tiendan a cero
el vector velocidad quedaraacute referido a un intervalo infinitamente pequentildeo y se llamaraacute
vector velocidad instantaacutenea o simplemente vector velocidad
dt
rd
t
rlimvt
=
=
rarr 0 (a)
Anaacutelogamente se definiraacute la velocidad instantaacutenea sobre la trayectoria como
dt
ds
t
slimvt
=
=
rarr 0 (b)
Ambas expresiones estaacuten relacionadas entre siacute como demostraremos a continuacioacuten Si
consideramos el vector velocidad instantaacutenea
t
slim
s
rlim
s
s
t
rlimv
tst
=
=
rarrrarrrarr 000
El 1er liacutemite es un vector de moacutedulo 1 ya que r
y s tienden a ser iguales cuando
srarr0 pues el arco (s) y la cuerda ( r
) se confunden cuando se hacen infinitamente
pequentildeos y tiene direccioacuten tangente a la trayectoria La direccioacuten de r
(inicialmente
secante a la curva) tiende hacia una direccioacuten tangente cuando s se hace infinitamente
pequentildeo Por tanto el primer liacutemite representa un vector unitario tangente a la trayectoria
en el punto
t
su
ds
rd
s
rlim
==
rarr 0 (vector unitario tangente) pues 1=
rarr PQ
PQlim
QP
El 2ordm liacutemite es el que hemos definido como velocidad media en la trayectoria calculada
en un intervalo reducido que tiende a cero
vt
slimt
=
rarr 0 (velocidad instantaacutenea sobre la trayectoria)
Finalmente resultaraacute tuvv
middot= (c)
el vector velocidad instantaacutenea es un vector tangente a la trayectoria que tiene por
moacutedulo la velocidad instantaacutenea calculada sobre la trayectoria y que llamaremos
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simplemente celeridad (Recordemos que todo vector puede expresarse como el producto
de su moacutedulo por un vector unitario en la direccioacuten del vector)
Teniendo en cuenta la expresioacuten de
ktzjtyitxr
)middot()middot()middot( ++=
el vector velocidad tambieacuten puede expresarse en un sistema cartesiano mediante la deri-
vada del vector de posicioacuten
kdt
tdzj
dt
tdyi
dt
tdx
dt
rdv
)()()(
++==
y la celeridad o moacutedulo de la velocidad seraacute
21222
+
+
==
dt
dz
dt
dy
dt
dxvv
que seraacute una funcioacuten del tiempo como lo son las componentes dxdt dydt y dzdt
24 Vector aceleracioacuten
El movimiento de un punto material en su forma maacutes general tiene en cada punto de
la trayectoria un vector de posicioacuten y un vector velocidad diferentes lo que significa una
variacioacuten de la velocidad tanto en moacutedulo como en direccioacuten y sentido
En el instante t la velocidad del punto moacutevil
situado en P es v
y despueacutes de transcurrido un
intervalo de tiempo t es decir en el instante t+t
la velocidad del moacutevil situado en Q es v
+ v
Definimos el vector aceleracioacuten media al cociente
entre la variacioacuten del vector velocidad y el
intervalo de tiempo transcurrido Es un vector que
tiene la misma direccioacuten y sentido que v
t
vam
=
Considerando un intervalo de tiempo infinitamente pequentildeo que tienda a cero
podemos definir el vector aceleracioacuten instantaacutenea o simplemente el vector aceleracioacuten
como el valor en el liacutemite de la relacioacuten Vt cuando t tiende a cero es decir
2
2
0 dt
rd
dt
rd
dt
d
dt
vd
t
vlimat
=
==
=
rarr
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El vector aceleracioacuten tendraacute por componentes
kdt
zdj
dt
ydi
dt
xdk
dt
dvj
dt
dvi
dt
dva zyx
2
2
2
2
2
2
++=++=
y su moacutedulo seraacute
2
2
22
2
22
2
2
+
+
==
dt
zd
dt
yd
dt
xdaa
25 Componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
De la propia definicioacuten del vector aceleracioacuten a
se deduce que en general no es ni
tangente a la trayectoria (pues implicariacutea una direccioacuten constante en V
) ni perpendicular a
ella (pues implicariacutea un moacutedulo constante en V
) y por ello puede ser descompuesto en
dos componentes una tangente y otra perpendicular a la trayectoria que se llamaraacuten
componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten Dichas componentes estaacuten situadas en un
sistema de coordenadas intriacutenseco al moacutevil con ejes tangente y normal a la trayectoria e
independiente de cualquier sistema de referencia
Aplicando la definicioacuten de a
a la expresioacuten del vector velocidad resultaraacute
( )dt
udvu
dt
dvuv
dt
d
dt
vda t
tt
middotmiddotmiddot +=== (d)
como vemos a
tiene dos componentes vectoriales una de ellas es tangente a la
trayectoria de moacutedulo dvdt que llamaremos aceleracioacuten tangencial
El uacuteltimo teacutermino de la expresioacuten (d) dutdt se transforma en
vds
ud
dt
ds
ds
ud
dt
ud ttt
== (V=celeridad o moacutedulo de la velocidad) (e)
y el factor dsud t
es un vector que representa la deri-
vada del vector unitario tangente (de moacutedulo cons-
tante) con respecto al arco Se demuestra asiacute como tu
es un vector unitario su derivada dsud t
respecto a
un escalar es perpendicular a tu
Estos vectores estaacuten
en el llamado plano osculador determinado por dos
tangentes consecutivas a un punto y el vector dsud t
tiene la direccioacuten de la normal principal (perpendi-
cular a la trayectoria con-tenida en el plano osculador)
FIG4
ut ut
ut ut
ut
s
r
+
rr
r
+
C
QR
C
S
P
O
s=r
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y su sentido es el de la concavidad por consiguiente
n
tt uds
ud
ds
ud
middot= (f)
Calculemos ahora el moacutedulo de dsud t
Sean dos puntos P y Q de la curva de la fig 4
y sean tu
y tu
+ tu
los vectores unitarios tangentes sobre dichos puntos P y Q
respectivamente (Por Q se traza el equipolente a tu
En el plano osculador se trazan las
perpendiculares a la curva en P y Q Consideremos que P y Q son consecutivos por ello el
arco PQ=∆s se confunde con un arco de circunferencia de centro en O y radio r y se puede
escribir ∆s=r∆ϕ)
En el triaacutengulo QRS que es isoacutesceles por ser tt uuu
+= se cumple
2middotsen2
2middotsenmiddot2
=
= tt uu
pues 1=tu
dividiendo por ∆s resultaraacute
ssss
u t
=
=
=
middot
2
2sen
middot2middotsen2
2middotsen2
y pasando al liacutemite para ∆srarr0 resultaraacute
slim
s
ulim
s
t
s
=
rarrrarr
00
pues 1
2
2sen
0=
rarr
lim
y por ello ds
d
ds
ud t = y considerando que ∆s=r∆ϕ rarr ds=rdϕ
resultando rds
ud t 1= que es la inversa del radio de curvatura
Por tanto sustituyendo en (f) nt u
rds
ud
middot1
= y luego sustituyendo en (e)
nt u
r
v
dt
ud middot= y eacutesta finalmente en (c) resulta nt u
r
vu
dt
dva
2
+=
lo que demuestra que el vector aceleracioacuten a
no tiene ni direccioacuten
normal ni direccioacuten tangente a la trayectoria pues presenta dos
componentes en estas direcciones Uacutenicamente se puede asegurar
que el sentido de la componente normal es hacia el interior de la
concavidad de la trayectoria Las componentes son FIG 5
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Aceleracioacuten tangencial tt u
dt
dva
= y su moacutedulo
dt
dv
Aceleracioacuten normal (centriacutepeta) nn ur
va
middot
2
= y su moacutedulo r
v2
La aceleracioacuten tangencial ta
puede ser positiva si estaacute dirigida en la direccioacuten de v
y
negativa si estaacute dirigida en sentido contrario a v
y la aceleracioacuten normal na
es siempre
positiva y dirigida hacia la concavidad de la curva El moacutedulo de la aceleracioacuten en funcioacuten
de sus componentes seraacute
222
22
+
=+==
r
v
dt
dvaaaa nt
y el aacutengulo que forma la aceleracioacuten con la tangente a la trayectoria vendraacute dado por
t
n
t
n
A
A
A
Aarctgtg ==
Las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten son de gran importancia en cinemaacutetica
pues nos da cada una de ellas un aspecto de la variacioacuten de la velocidad con el tiempo La
aceleracioacuten tangencial nos da la variacioacuten del moacutedulo de la velocidad con el tiempo y la
aceleracioacuten normal nos da la variacioacuten de la direccioacuten de la velocidad con el tiempo La
clasificacioacuten de los movimientos debe hacerse por los valores de dichas componentes y de
ellas se deducen sus ecuaciones
El caacutelculo de las componentes intriacutensecas tambieacuten se puede realizar mediante el si-
guiente mecanismo vectorial
Aceleracioacuten tangencial De la derivada del vector de posicioacuten se obtiene el vector
velocidad y derivando por segunda vez se obtiene el vector aceleracioacuten y a partir de
ambas se realiza su producto escalar
v
vaayavvava tt
bull
===bull cos
y la direccioacuten del vector unitario tangente seraacute v
vu
= luego ( )
2v
vvauaa ttt
bull
==
Aceleracioacuten normal A partir de los mismos vectores a
y v
realizamos su producto
vectorial
navvava sen ==
y v
vaan
=
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y la direccioacuten del vector unitario normal seraacute )(
)(
vav
vavun
=
como puede demostrarse faacutecilmente en la figura 3
26 Concepto de radio de curvatura
Si tomamos tres puntos muy proacuteximos sobre
una curva P P y P de las circunferencias tan-
gentes a la curva en P la que tiene en dicho punto
un contacto tal que P y P pertenezcan a ella
cuando eacutestos tienden a confundirse con P la
llamamos circunferencia o ciacuterculo osculador E1
radio de este ciacuterculo lo llamamos radio de
curvatura y al centro centro de curvatura El
ciacuterculo osculador pertenece al plano determi-
nado por dos tangentes sucesivas a la curva en P
y P por ejemplo cuando ambos puntos tienden a
confundirse uno sobre otro A este plano se le
denomina plano osculador
FIG6
3 Movimientos de especial intereacutes
31 Movimiento uniforme
El movimiento uniforme es aquel en el que las componentes intriacutensecas de la acele-
racioacuten son ambas nulas es decir 0=na
y 0=ta
De la primera se deduce
2van = y por ser v 0 rarr =
y el movimiento es de radio de curvatura infinito o sea movimiento rectiliacuteneo
De la segunda se deduce dt
dvat = = 0 o sea v = cte
y el movimiento tiene moacutedulo de velocidad constante es decir es uniforme
De ambas condiciones se deduce que el vector velocidad v
es constante en moacutedulo
direccioacuten y sentido ( ctev =
) y como estaacute definido por
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dt
rdv
= luego dtvrd
=
que integrando = dtvrd
rarr 00 rtvr
+=
donde 0r
es la constante de integracioacuten (vectorial) y
representa el vector de posicioacuten inicial para el instante
inicial t = 0 (Fig7) FIG 7
Si tomamos como origen de coordenadas un punto situado en la propia trayectoria C
del movimiento todoslos vectores implicados en la ecuacioacuten 0r
r
y 0v
tendraacuten la misma
direccioacuten y se podraacute escribir tvss o+= 0 donde 0s s y 0v seraacuten los moacutedulos de los
vectores correspondientes
32 Movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
Este movimiento se caracteriza por que sus componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
toman los valores an = 0 y at = cte ne 0
De la primera se deduce como en el caso anterior que el radio es infinito r = y por
consiguiente el movimiento tiene trayectoria rectiliacutenea
De la segunda se obtiene dvdt=at (constante) siendo eacutesta ademaacutes la aceleracioacuten total
(por ser la uacutenica) pues
ttnt aaaaa ==+= 222
y como la aceleracioacuten tangencial tiene direccioacuten tangente a la trayectoria igual que la
velocidad se podraacute escribir
aadtvd t
== o bien dtavd
= e integrando = dtavd
resulta
0 vtav
+=
siendo 0v
la constante de integracioacuten que corresponde con la velocidad inicial o velocidad
para t = 0
Si sustituimos esta expresioacuten en la ecuacioacuten de definicioacuten de v
resulta
tavdt
rdv 0
+== o bien dttadtvrd 0
+=
e integrando += dttadtvrd 0
rarr 2
00 2
1 tatvrr
++=
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donde 0r
es la constante de integracioacuten que representa el vector de posicioacuten en el instante
inicial t = 0
Si elegimos como origen de coordenadas un
punto situado en la propia trayectoria recta C del
movimiento resultaraacuten r
0r
0v
a
vectores
todos ellos de la misma direccioacuten y podraacuten
escribirse las ecuaciones anteriores soacutelo con sus
moacutedulos es decir FIG 8
2
00 2
1 tatvss ++= y tavv 0 +=
Entre ambas ecuaciones podemos eliminar el tiempo t para obtener una ecuacioacuten de la
velocidad en funcioacuten del espacio y la aceleracioacuten v=f(sa)
despejando t de la segunda ecuacioacuten a
vvt ominus
=
y sustituyendo en la ecuacioacuten del espacio resulta
2
2
2
1 0
2
0
22
00
0
2
00
00 =minus+
+minus
+=
minus+
minus+=
a
vvvv
a
vvvs
a
vva
a
vvvss
a
vvs
a
vvvvvvvs
22
222
2
0
2
0
0
2
0
22
00
0
minus+=
minus++minus+=
de donde a
vvss
2
2
0
2
0
minus=minus resultando )(2 0
2
0
2 ssavv minus+=
En el caso de que el origen de coordenadas sea arbitrario y esteacute fuera de la trayectoria
la expresioacuten vectorial anterior
2
002
1tatvrr
++= puede ponerse 2
002
1tatvrr
+=minus
resultando que los vectores 0rr
minus 0v
y a
tienen todos la misma direccioacuten como puede
apreciarse en la figura 8 y pueden escribirse por sus moacutedulos llamando 0rrs
minus=
resultando 2
02
1attvs +=
Si se trata de un movimiento uniformemente retardado (decelerado) la aceleracioacuten seraacute
negativa y si el movimiento se debe a la accioacuten gravitatoria en recorridos cortos muy
proacuteximos a la superficie de la Tierra la aceleracioacuten se puede considerar constante e igual a
a = g = 9rsquo8 ms2 = 980 cms2 y se denomina movimiento de caiacuteda libre
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33 Movimiento circular uniforme
Para este movimiento las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los si-
guientes valores an = cte ne 0 y at= 0
De la segunda condicioacuten at=dvdt=0 se deduce que v=cte y como la primera condicioacuten
implica an=v2=cte de todo ello se deduce que =cte y la trayectoria ha de ser circular de
radio La aceleracioacuten total del movimiento seraacute
nnt aaaa
=+=
y la velocidad seraacute constante en moacutedulo pero no en direccioacuten En consecuencia la
ecuacioacuten que nos daraacute el espacio recorrido por el moacutevil a lo largo de su trayectoria circular
es la misma que la correspondiente al movimiento uniforme y rectiliacuteneo midiendo los
espacios sobre la circunferencia tvss 0 +=
En este tipo de movimiento interesa conocer el aacutengulo girado por el radio-vector que
une el centro con el moacutevil Recordando que Arco(m)=Radio(m)Angulo(rad)
resulta S = ϕ y derivando respecto al tiempo resultaraacute
dt
d
dt
ds middot= es decir
dt
dv
=
Esta uacuteltima derivada representa la variacioacuten del aacutengulo girado por el vector de posicioacuten
en la unidad de tiempo a lo que se le llama velocidad angular y se representa por
=ddt resultando v= ( rarr rads)
Por convenio se representa la velocidad angular por un vector axial normal al plano de
la circunferencia (plano de r
y v
) de sentido el correspondiente a la regla del sacacorchos
(regla de Maxwell) y de moacutedulo proporcional a su valor por ello puede escribirse
=v
expresioacuten que tambieacuten puede escribirse asiacute
=minus= AOv
es decir la velocidad tangencial v
es el momento del
vector velocidad angular
con respecto al punto A
34 Movimiento circular uniformemente acelerado
En eacutel las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los siguientes valores
an=v2 cte t2 y at=dvdt=cte
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16
tendraacute como trayectoria una circunferencia de radio y sobre ella el movimiento vendraacute
descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado
2
002
1tatvss t++= tavv t+= 0 )(2 0
2
0
2 ssavv t minus+=
Como la velocidad no es constante tampoco lo seraacute la velocidad angular relacionada
con aquella mediante el radio v= y por ello derivando con respecto al tiempo
resultaraacute
( )
dt
d
dt
d
dt
dv== o sea a =
donde =ddt es la aceleracioacuten angular o variacioacuten de la velocidad angular con respecto
al tiempo Se mide en rads2 en el sistema Internacional (SI)
Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en funcioacuten de las magnitudes angula-res a
partir de = ddt y = ddt e integrando
= 0 + t 2 = 02 + 2
35 Movimiento armoacutenico simple
Llamamos movimiento perioacutedico a cualquier movimiento que se repite a intervalos
iguales de tiempo Por ejemplo el movimiento de una masa sujeta a un muelle el movi-
miento de un peacutendulo las vibraciones de los aacutetomos de una moleacutecula etc Cuando una
partiacutecula que realiza un movimiento perioacutedico se mueve alternativamente en un sentido y
otro sobre una misma trayectoria recibe el nombre de movimiento oscilatorio
El movimiento oscilatorio maacutes importante es el movimiento armoacutenico simple (MAS)
por ser el maacutes faacutecil de describir matemaacuteticamente y constituye un modelo exacto o
aproximado para muchos sistemas fiacutesicos
Decimos que una partiacutecula que se mueve a lo largo del eje X realiza un MAS centrado
en el origen O de dicho sistema coordenado cuando su desplazamiento X con respecto al
origen viene expresado en funcioacuten del tiempo en la forma
( ) += tAx sen
donde A y son constantes propias del movimiento armoacutenico
La distancia X que separa la partiacutecula del origen O recibe el nombre de elongacioacuten El
valor absoluto de la elongacioacuten maacutexima A se denomina amplitud La cantidad t+
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17
(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase
inicial para t=0
Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2 la partiacutecula completa una oscilacioacuten
luego el periodo es T=2 La frecuencia del movimiento es el nuacutemero de oscilaciones
que se completan en la unidad de tiempo [=1T (cicloss=herzios (Hz))]
La constante es la frecuencia angular o pulsacioacuten (=2=s-1)
La velocidad de la partiacutecula que realiza un Movimiento Armoacutenico Simple viene dada
por la derivada de la elongacioacuten respecto del tiempo
( )
++=+==
2sencos
tAtA
dt
dxv
La aceleracioacuten de la partiacutecula se determina haciendo la derivada de la velocidad
respecto del tiempo
( ) XtAdt
dva sen 22 minus=+minus==
Considerando a=Fm la fuerza que deberaacute actuar sobre una partiacutecula para que realice un
Movimiento Armoacutenico Simple debe ser tambieacuten proporcional a la elongacioacuten de la
partiacutecula y de signo contrario a eacutesta
F = ma = -m2x = -kx
donde k = m2 llamada constante armoacutenica
36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos
Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultaacuteneos independientes realiza
un movimiento compuesto que resulta de la combinacioacuten de aquellos La composicioacuten de
dos o maacutes movimientos se realiza calculando el vector de posicioacuten del movimiento
resultante como suma de los vectores de posicioacuten de los movimientos componentes
Esto se apoya en el ldquoPrincipio de Galileordquo o de independencia de los movimientos ldquoSi
un punto estaacute dotado por dos causas diferentes de dos movimientos simultaacuteneos su cambio de
posicioacuten es independiente de que los dos movimientos actuacuteen sucesiva o simultaacuteneamenterdquo
De lo anterior se deduce que el vector de posicioacuten r
es la suma de los vectores de
posicioacuten de los movimientos individuales
4321 ++++= rrrrr
y derivando 4321 ++++= vvvvv
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18
es decir la velocidad de un movimiento compuesto es en todo momento la suma
vectorial de las velocidades de los movimientos componentes
361 Descripcioacuten de casos elementales
A) Un nadador que avanza en la direccioacuten y sentido de la corriente (dos movimientos
rectiliacuteneos y uniformes en la misma direccioacuten y sentido)
v = v1 + v2 a = 0
s = s1 + s2 = (v1 + v2)t
B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectiliacuteneos y
uniformes de la misma direccioacuten y de sentidos contrarios)
v = v1 - v2 a = 0
s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)
C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos
rec-tiliacuteneos y uniformes de direcciones perpendiculares)
2
2
2
121
2
2
2
1 ordm90middotcos2 vvvsivvvvv +==++=
el espacio recorrido seraacute
tvvssss middot2
2
2
1
2
2
2
1+=rarr+=
y el aacutengulo de direccioacuten resultante
1
2
1
2tgs
s
v
v==
D) Dos movimientos rectiliacuteneos uniformemente acelerados en la misma direccioacuten
++=
++=
2
202022
2
101011
2
1middot
2
1middot
tatvss
tatvss sumando
2
21201020121 )(2
1)()( taatvvsssss o +++++=+=
taavvdt
dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa
dt
dva +==
E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma
direccioacuten dados por
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19
middot
2
1middot
middot
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1)()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado
362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda
Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante
vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del
avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior
con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo
posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
minus=
=
El aacutengulo de v con la horizontal seraacute
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es
jgtivv x
minus=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r
resulta
jgtitvr x
2
1 2minus=
por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten
dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la
trayectoria
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20
)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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21
que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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22
=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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24
41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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25
donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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26
- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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27
aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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28
5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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1
TEMA 4
CINEMAacuteTICA ELEMENTOS PARA LA DESCRIPCIOacuteN DEL
MOVIMIENTO MOVIMIENTOS DE ESPECIAL INTEREacuteS
MEacuteTODOS PARA EL ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MOVI-
MIENTO
Iacutendice
0 Introduccioacuten 3
1 Cinemaacutetica 3
2 Elementos para la descripcioacuten del movimiento 4
21 Sistemas de referencia 4
22 Vector de posicioacuten de un moacutevil 5
23 Vector velocidad 6
24 Vector aceleracioacuten 8
25 Componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten 9
26 Concepto de radio de curvatura 12
3 Movimientos de especial intereacutes 12
31 Movimiento uniforme 12
32 Movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado 13
33 Movimiento circular uniforme 15
34 Movimiento circular uniformemente acelerado 15
35 Movimiento armoacutenico simple 16
36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos 17
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos 23
41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica 24
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas 25
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2
44 Aplicaciones para moacutevil (apps) 26
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica 27
5 Conclusioacuten 28
Bibliografiacutea
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(5ordm edicioacuten) Barcelona (Espantildea) Editorial Reverteacute
bull Tovar J y Hernaacutendez J (2012) Fundamentos de Fiacutesica Mecaacutenica (3ordm edicioacuten revisada y
aumentada) Jaeacuten (Espantildea) editorial Universidad de Jaeacuten coleccioacuten Ingenieriacutea y
Tecnologiacutea serie Techneacute
bull Serway A y Jewett J Jr (2008) Fiacutesica para ciencias e ingenieriacutea Meacutexico Editorial
Cengage Learning Latinoameacuterica
bull Alonso M y Finn E J (1970) Fiacutesica Vol 1 Mecaacutenica Meacutexico Addison-Wesley
Iberoamericana
bull Ortega Giroacuten M R (1989) Lecciones de Fiacutesica Mecaacutenica 1 Coacuterdoba (Espantildea)
Departamento de Fiacutesica Aplicada Universidad de Coacuterdoba
bull Eisberg R M y Lerner L S (1981) Fiacutesica Fundamentos y Aplicaciones Madrid (Es-
pantildea) McGraw-Hill
bull Guerra M Correa J Nuacutentildeez I y Scaron J M (1984) Fiacutesica Elementos Fundamenta-
les Mecaacutenica y Termodinaacutemica Claacutesica Tomo 1 Barcelona (Espantildea) Editorial Reverteacute
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3
0 Introduccioacuten
En el presente tema vamos a estudiar la parte de la fiacutesica que describe el movimiento de
un cuerpo Para ello debemos comenzar introduciendo las magnitudes fiacutesicas necesarias
como posicioacuten velocidad y aceleracioacuten definidas como vectores lo cual significa que
tienen tanto magnitud como direccioacuten y sentido Desarrollaremos ecuaciones sencillas
para la descripcioacuten de distintos tipos de movimientos y posteriormente estudiaremos su
aplicacioacuten en casos concretos como el tiro paraboacutelico o movimiento de proyectiles Por
uacuteltimo veremos diferentes meacutetodos para el estudio experimental del movimiento desde
los meacutetodos tradicionales hasta meacutetodos maacutes actuales
1 Cinemaacutetica
La mecaacutenica es la parte de la fiacutesica que estudia las relaciones entre fuerza materia y
movimiento y se divide en cinemaacutetica y dinaacutemica La cinemaacutetica describe el movimiento
de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen que son las fuerzas mien-
tras que la dinaacutemica incluye las fuerzas
El movimiento es el fenoacutemeno fiacutesico maacutes familiar y el maacutes frecuente y general de la Na-
turaleza Todos los fenoacutemenos baacutesicos que estudia la Fiacutesica estaacuten originados en su natura-
leza iacutentima por movimientos de determinadas entidades asiacute por ejemplo
- La electricidad constituye el movimiento de cargas en conductores
- El Magnetismo estaacute originado por el movimiento de cargas
- El Calor tiene su origen en el movimiento molecular
- La Luz como toda onda electromagneacutetica tiene su origen en el movimiento vibra-
torio de partiacuteculas cargadas
- El Sonido como toda onda mecaacutenica se origina por el movimiento oscilatorio de
partiacuteculas en un medio material
El estudio del movimiento tanto desde el punto de vista cinemaacutetico como del dinaacutemico
constituye la base fundamental de la Mecaacutenica y por consiguiente de toda la Fiacutesica
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4
2 Elementos para la descripcioacuten del movimiento
21 Sistemas de referencia
Para un estudio correcto del movimiento hemos de elegir en primer lugar un sistema de
referencia (generalmente establecido por un sistema de coordenadas) al cual referir la
posicioacuten de un punto material mediante unas coordenadas numeacutericas El punto estaraacute en
reposo cuando las coordenadas respecto al sistema de referencia no variacuteen con el tiempo y
estaraacute en movimiento cuando al menos una coordenada variacutee con el tiempo
Generalizando la definicioacuten a un cuerpo formado por muchos puntos materiales
diremos que estaacute en movimiento cuando al menos una coordenada de cualquiera de sus
puntos variacutea con el tiempo En esta definicioacuten de movimiento quedan englobados todos
los tipos de movimiento que un cuerpo pueda tener traslacioacuten rotacioacuten vibracioacuten de-
formacioacuten etc
Consideraremos en cinemaacutetica el movimiento del cuerpo maacutes sencillo el punto
material o partiacutecula material cuyas dimensiones pueden despreciarse al estudiar el
movimiento La aplicacioacuten del concepto del Punto Material a los sistemas reales de la
naturaleza depende de las condiciones especiacuteficas del problema asiacute por ejemplo los
planetas pueden considerarse puntos materiales cuando se estudian sus movimientos
alrededor del Sol referido a un sistema de referencia fijo en eacuteste pero no pueden
considerarse puntos materiales si se estudian los movimientos de rotacioacuten alrededor de
sus propios ejes
El movimiento es un concepto relativo pues debe referirse a un sistema particular de
referencia elegido arbitrariamente y considerado fijo Las observaciones hechas en la
Tierra estaacuten referidas a un sistema referencial situado en ella y por ende en movimiento
con la propia Tierra Los astroacutenomos prefieren referir el movimiento estelar a un sistema
de ldquoestrellas fijasrdquo aunque el sistema adolece del mismo defecto pues estos puntos con-
siderados fijos aunque poco variacutean sus posiciones con el tiempo
El sistema de referencia fijo absoluto no existe por imposibilidad de fijar dicho sistema
en el espacio ya que implicariacutea a su vez otra referencia fija por si misma de manera
absoluta
Normalmente debe elegirse el sistema de referencia que permita que las observaciones
medidas y anaacutelisis de los datos del sistema fiacutesico estudiado sean lo maacutes sencillos posible
El movimiento tiene el mismo caraacutecter tanto si estaacute referido a un hipoteacutetico sistema fijo
absoluto como si estaacute referido a unos sistemas animados con movimiento uniforme (v=cte)
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respecto de los primeros Por ello para referir un movimiento bastaraacute considerar como
sistema de referencia unos ejes que se desplacen con movimiento de traslacioacuten uniforme
que llamaremos sistemas referenciales inerciales o Galileanos
El movimiento referido a sistemas referenciales no-inerciales o sea con movimiento de
traslacioacuten no uniforme (con aceleracioacuten) o con movimiento de rotacioacuten es un tema de
considerable importancia cuyo estudio resuelve importantes problemas relacionados con
el movimiento de gran alcance como el de sateacutelites artificiales cohetes intercontinentales
caacutepsulas espaciales masas de aire corrientes marinas etc Pero no se trataraacute en este tema
22 Vector de posicioacuten de un moacutevil
La posicioacuten de un punto moacutevil en el espacio queda fijada por el vector de posicioacuten r
trazado desde el origen O de coordenadas hasta la posicioacuten del moacutevil P Las componentes
del vector r
(x y z) seraacuten las coordenadas del punto moacutevil en ese instante El moacutevil en su
movimiento describe una curva C llamada trayectoria del punto P
El movimiento de P queda totalmente especificado y determinado si se conocen las tres
coordenadas del vector como funciones del tiempo
)(txx = )(tyy = )(tzz =
llamadas ecuaciones parameacutetricas del movimiento En cada instante t los valores de x y z
corresponden a las coordenadas del punto ocupado por el moacutevil en dicho instante
Fiacutesicamente equivale a decir que todo movimiento puede considerarse descompuesto en
tres movimientos rectiliacuteneos sobre los tres ejes coordenados
De las ecuaciones parameacutetricas x = x(t) y = y(t) z = z(t) se deduce la ecuacioacuten de la
trayectoria del punto moacutevil con soacutelo eliminar entre ellas la variable independiente t
El vector de posicioacuten vendraacute dado por la expresioacuten vectorial
ktzjtyitxtrr
)middot()middot()middot()( ++==
expresioacuten que determina r
para cualquier instante t y se puede escribir de modo geneacuterico
como )(trr
= que es la ecuacioacuten vectorial del movimiento
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La distancia recorrida por el moacutevil es la suma de todas las longitudes recorridas en los
sucesivos intervalos de tiempo desde el instante inicial (to) al instante final (t) Esta
distancia constituye la trayectoria definida anteriormente y sobre ella el problema
cinemaacutetico consiste en determinar el camino recorrido en funcioacuten del tiempo es decir
s = s(t)
Vemos pues dos aspectos en el tratamiento de los problemas cinemaacuteticos El primero de
ellos y maacutes general partiendo del vector de posicioacuten )(trr
= del que se derivaraacuten todas las
ecuaciones vectoriales del movimiento vaacutelidas cualquiera que sea la trayectoria e
independiente del sistema de referencia Un segundo aspecto maacutes limitado determina
uacutenicamente el camino recorrido sobre la trayectoria mediante la expresioacuten s=s(t) de la que
se deducen las ecuaciones escalares del movimiento sobre la trayectoria para lo cual es
necesario fijar un punto inicial de origen en la trayectoria s=0 para referir a eacutel las
distancias recorridas y demaacutes variables cinemaacuteticas
23 Vector velocidad
Para el estudio del movimiento es necesario conocer la posicioacuten del moacutevil en cada
instante que vendraacute dada por el vector de posicioacuten y la variacioacuten de esta posicioacuten con el
tiempo que vendraacute dada por el vector velocidad
Si un moacutevil se encuentra en un instante dado en la posicioacuten P (dada por el vector de
posicioacuten r
) y un intervalo t despueacutes se encuentra en Q (dada por el vector de posicioacuten r
+ r
) el moacutevil ha sufrido un desplazamiento vectorial r
y ha recorrido un intervalo de
trayectoria s y son por definicioacuten diferentes y no coincidentes Soacutelo en el caso liacutemite de
que el intervalo de tiempo sea infinitesimal ambos conceptos seraacuten coincidentes en el
graacutefico y el moacutedulo de r
coincidiraacute con s
Se define el vector velocidad media mv
como el
cociente
t
rvm
=
que es un vector de direccioacuten y sentido ideacutentico al vector
desplazamiento r
pues el escalar t seraacute siempre
positivo La direccioacuten del vector desplazamiento y por ello
la del vector velocidad media es la direccioacuten de la cuerda
del arco PQ
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Anaacutelogamente se define la velocidad media en la trayectoria vm (magnitud escalar) al
cociente de la trayectoria recorrida en el tiempo empleado
t
svm
=
Ambas velocidades medias una vectorial y otra escalar no son generalmente de igual
moacutedulo pues sr
como puede apreciarse en la Fig2
Si reducimos el intervalo de tiempo t hasta valores muy pequentildeos que tiendan a cero
el vector velocidad quedaraacute referido a un intervalo infinitamente pequentildeo y se llamaraacute
vector velocidad instantaacutenea o simplemente vector velocidad
dt
rd
t
rlimvt
=
=
rarr 0 (a)
Anaacutelogamente se definiraacute la velocidad instantaacutenea sobre la trayectoria como
dt
ds
t
slimvt
=
=
rarr 0 (b)
Ambas expresiones estaacuten relacionadas entre siacute como demostraremos a continuacioacuten Si
consideramos el vector velocidad instantaacutenea
t
slim
s
rlim
s
s
t
rlimv
tst
=
=
rarrrarrrarr 000
El 1er liacutemite es un vector de moacutedulo 1 ya que r
y s tienden a ser iguales cuando
srarr0 pues el arco (s) y la cuerda ( r
) se confunden cuando se hacen infinitamente
pequentildeos y tiene direccioacuten tangente a la trayectoria La direccioacuten de r
(inicialmente
secante a la curva) tiende hacia una direccioacuten tangente cuando s se hace infinitamente
pequentildeo Por tanto el primer liacutemite representa un vector unitario tangente a la trayectoria
en el punto
t
su
ds
rd
s
rlim
==
rarr 0 (vector unitario tangente) pues 1=
rarr PQ
PQlim
QP
El 2ordm liacutemite es el que hemos definido como velocidad media en la trayectoria calculada
en un intervalo reducido que tiende a cero
vt
slimt
=
rarr 0 (velocidad instantaacutenea sobre la trayectoria)
Finalmente resultaraacute tuvv
middot= (c)
el vector velocidad instantaacutenea es un vector tangente a la trayectoria que tiene por
moacutedulo la velocidad instantaacutenea calculada sobre la trayectoria y que llamaremos
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simplemente celeridad (Recordemos que todo vector puede expresarse como el producto
de su moacutedulo por un vector unitario en la direccioacuten del vector)
Teniendo en cuenta la expresioacuten de
ktzjtyitxr
)middot()middot()middot( ++=
el vector velocidad tambieacuten puede expresarse en un sistema cartesiano mediante la deri-
vada del vector de posicioacuten
kdt
tdzj
dt
tdyi
dt
tdx
dt
rdv
)()()(
++==
y la celeridad o moacutedulo de la velocidad seraacute
21222
+
+
==
dt
dz
dt
dy
dt
dxvv
que seraacute una funcioacuten del tiempo como lo son las componentes dxdt dydt y dzdt
24 Vector aceleracioacuten
El movimiento de un punto material en su forma maacutes general tiene en cada punto de
la trayectoria un vector de posicioacuten y un vector velocidad diferentes lo que significa una
variacioacuten de la velocidad tanto en moacutedulo como en direccioacuten y sentido
En el instante t la velocidad del punto moacutevil
situado en P es v
y despueacutes de transcurrido un
intervalo de tiempo t es decir en el instante t+t
la velocidad del moacutevil situado en Q es v
+ v
Definimos el vector aceleracioacuten media al cociente
entre la variacioacuten del vector velocidad y el
intervalo de tiempo transcurrido Es un vector que
tiene la misma direccioacuten y sentido que v
t
vam
=
Considerando un intervalo de tiempo infinitamente pequentildeo que tienda a cero
podemos definir el vector aceleracioacuten instantaacutenea o simplemente el vector aceleracioacuten
como el valor en el liacutemite de la relacioacuten Vt cuando t tiende a cero es decir
2
2
0 dt
rd
dt
rd
dt
d
dt
vd
t
vlimat
=
==
=
rarr
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El vector aceleracioacuten tendraacute por componentes
kdt
zdj
dt
ydi
dt
xdk
dt
dvj
dt
dvi
dt
dva zyx
2
2
2
2
2
2
++=++=
y su moacutedulo seraacute
2
2
22
2
22
2
2
+
+
==
dt
zd
dt
yd
dt
xdaa
25 Componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
De la propia definicioacuten del vector aceleracioacuten a
se deduce que en general no es ni
tangente a la trayectoria (pues implicariacutea una direccioacuten constante en V
) ni perpendicular a
ella (pues implicariacutea un moacutedulo constante en V
) y por ello puede ser descompuesto en
dos componentes una tangente y otra perpendicular a la trayectoria que se llamaraacuten
componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten Dichas componentes estaacuten situadas en un
sistema de coordenadas intriacutenseco al moacutevil con ejes tangente y normal a la trayectoria e
independiente de cualquier sistema de referencia
Aplicando la definicioacuten de a
a la expresioacuten del vector velocidad resultaraacute
( )dt
udvu
dt
dvuv
dt
d
dt
vda t
tt
middotmiddotmiddot +=== (d)
como vemos a
tiene dos componentes vectoriales una de ellas es tangente a la
trayectoria de moacutedulo dvdt que llamaremos aceleracioacuten tangencial
El uacuteltimo teacutermino de la expresioacuten (d) dutdt se transforma en
vds
ud
dt
ds
ds
ud
dt
ud ttt
== (V=celeridad o moacutedulo de la velocidad) (e)
y el factor dsud t
es un vector que representa la deri-
vada del vector unitario tangente (de moacutedulo cons-
tante) con respecto al arco Se demuestra asiacute como tu
es un vector unitario su derivada dsud t
respecto a
un escalar es perpendicular a tu
Estos vectores estaacuten
en el llamado plano osculador determinado por dos
tangentes consecutivas a un punto y el vector dsud t
tiene la direccioacuten de la normal principal (perpendi-
cular a la trayectoria con-tenida en el plano osculador)
FIG4
ut ut
ut ut
ut
s
r
+
rr
r
+
C
QR
C
S
P
O
s=r
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y su sentido es el de la concavidad por consiguiente
n
tt uds
ud
ds
ud
middot= (f)
Calculemos ahora el moacutedulo de dsud t
Sean dos puntos P y Q de la curva de la fig 4
y sean tu
y tu
+ tu
los vectores unitarios tangentes sobre dichos puntos P y Q
respectivamente (Por Q se traza el equipolente a tu
En el plano osculador se trazan las
perpendiculares a la curva en P y Q Consideremos que P y Q son consecutivos por ello el
arco PQ=∆s se confunde con un arco de circunferencia de centro en O y radio r y se puede
escribir ∆s=r∆ϕ)
En el triaacutengulo QRS que es isoacutesceles por ser tt uuu
+= se cumple
2middotsen2
2middotsenmiddot2
=
= tt uu
pues 1=tu
dividiendo por ∆s resultaraacute
ssss
u t
=
=
=
middot
2
2sen
middot2middotsen2
2middotsen2
y pasando al liacutemite para ∆srarr0 resultaraacute
slim
s
ulim
s
t
s
=
rarrrarr
00
pues 1
2
2sen
0=
rarr
lim
y por ello ds
d
ds
ud t = y considerando que ∆s=r∆ϕ rarr ds=rdϕ
resultando rds
ud t 1= que es la inversa del radio de curvatura
Por tanto sustituyendo en (f) nt u
rds
ud
middot1
= y luego sustituyendo en (e)
nt u
r
v
dt
ud middot= y eacutesta finalmente en (c) resulta nt u
r
vu
dt
dva
2
+=
lo que demuestra que el vector aceleracioacuten a
no tiene ni direccioacuten
normal ni direccioacuten tangente a la trayectoria pues presenta dos
componentes en estas direcciones Uacutenicamente se puede asegurar
que el sentido de la componente normal es hacia el interior de la
concavidad de la trayectoria Las componentes son FIG 5
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Aceleracioacuten tangencial tt u
dt
dva
= y su moacutedulo
dt
dv
Aceleracioacuten normal (centriacutepeta) nn ur
va
middot
2
= y su moacutedulo r
v2
La aceleracioacuten tangencial ta
puede ser positiva si estaacute dirigida en la direccioacuten de v
y
negativa si estaacute dirigida en sentido contrario a v
y la aceleracioacuten normal na
es siempre
positiva y dirigida hacia la concavidad de la curva El moacutedulo de la aceleracioacuten en funcioacuten
de sus componentes seraacute
222
22
+
=+==
r
v
dt
dvaaaa nt
y el aacutengulo que forma la aceleracioacuten con la tangente a la trayectoria vendraacute dado por
t
n
t
n
A
A
A
Aarctgtg ==
Las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten son de gran importancia en cinemaacutetica
pues nos da cada una de ellas un aspecto de la variacioacuten de la velocidad con el tiempo La
aceleracioacuten tangencial nos da la variacioacuten del moacutedulo de la velocidad con el tiempo y la
aceleracioacuten normal nos da la variacioacuten de la direccioacuten de la velocidad con el tiempo La
clasificacioacuten de los movimientos debe hacerse por los valores de dichas componentes y de
ellas se deducen sus ecuaciones
El caacutelculo de las componentes intriacutensecas tambieacuten se puede realizar mediante el si-
guiente mecanismo vectorial
Aceleracioacuten tangencial De la derivada del vector de posicioacuten se obtiene el vector
velocidad y derivando por segunda vez se obtiene el vector aceleracioacuten y a partir de
ambas se realiza su producto escalar
v
vaayavvava tt
bull
===bull cos
y la direccioacuten del vector unitario tangente seraacute v
vu
= luego ( )
2v
vvauaa ttt
bull
==
Aceleracioacuten normal A partir de los mismos vectores a
y v
realizamos su producto
vectorial
navvava sen ==
y v
vaan
=
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y la direccioacuten del vector unitario normal seraacute )(
)(
vav
vavun
=
como puede demostrarse faacutecilmente en la figura 3
26 Concepto de radio de curvatura
Si tomamos tres puntos muy proacuteximos sobre
una curva P P y P de las circunferencias tan-
gentes a la curva en P la que tiene en dicho punto
un contacto tal que P y P pertenezcan a ella
cuando eacutestos tienden a confundirse con P la
llamamos circunferencia o ciacuterculo osculador E1
radio de este ciacuterculo lo llamamos radio de
curvatura y al centro centro de curvatura El
ciacuterculo osculador pertenece al plano determi-
nado por dos tangentes sucesivas a la curva en P
y P por ejemplo cuando ambos puntos tienden a
confundirse uno sobre otro A este plano se le
denomina plano osculador
FIG6
3 Movimientos de especial intereacutes
31 Movimiento uniforme
El movimiento uniforme es aquel en el que las componentes intriacutensecas de la acele-
racioacuten son ambas nulas es decir 0=na
y 0=ta
De la primera se deduce
2van = y por ser v 0 rarr =
y el movimiento es de radio de curvatura infinito o sea movimiento rectiliacuteneo
De la segunda se deduce dt
dvat = = 0 o sea v = cte
y el movimiento tiene moacutedulo de velocidad constante es decir es uniforme
De ambas condiciones se deduce que el vector velocidad v
es constante en moacutedulo
direccioacuten y sentido ( ctev =
) y como estaacute definido por
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dt
rdv
= luego dtvrd
=
que integrando = dtvrd
rarr 00 rtvr
+=
donde 0r
es la constante de integracioacuten (vectorial) y
representa el vector de posicioacuten inicial para el instante
inicial t = 0 (Fig7) FIG 7
Si tomamos como origen de coordenadas un punto situado en la propia trayectoria C
del movimiento todoslos vectores implicados en la ecuacioacuten 0r
r
y 0v
tendraacuten la misma
direccioacuten y se podraacute escribir tvss o+= 0 donde 0s s y 0v seraacuten los moacutedulos de los
vectores correspondientes
32 Movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
Este movimiento se caracteriza por que sus componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
toman los valores an = 0 y at = cte ne 0
De la primera se deduce como en el caso anterior que el radio es infinito r = y por
consiguiente el movimiento tiene trayectoria rectiliacutenea
De la segunda se obtiene dvdt=at (constante) siendo eacutesta ademaacutes la aceleracioacuten total
(por ser la uacutenica) pues
ttnt aaaaa ==+= 222
y como la aceleracioacuten tangencial tiene direccioacuten tangente a la trayectoria igual que la
velocidad se podraacute escribir
aadtvd t
== o bien dtavd
= e integrando = dtavd
resulta
0 vtav
+=
siendo 0v
la constante de integracioacuten que corresponde con la velocidad inicial o velocidad
para t = 0
Si sustituimos esta expresioacuten en la ecuacioacuten de definicioacuten de v
resulta
tavdt
rdv 0
+== o bien dttadtvrd 0
+=
e integrando += dttadtvrd 0
rarr 2
00 2
1 tatvrr
++=
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donde 0r
es la constante de integracioacuten que representa el vector de posicioacuten en el instante
inicial t = 0
Si elegimos como origen de coordenadas un
punto situado en la propia trayectoria recta C del
movimiento resultaraacuten r
0r
0v
a
vectores
todos ellos de la misma direccioacuten y podraacuten
escribirse las ecuaciones anteriores soacutelo con sus
moacutedulos es decir FIG 8
2
00 2
1 tatvss ++= y tavv 0 +=
Entre ambas ecuaciones podemos eliminar el tiempo t para obtener una ecuacioacuten de la
velocidad en funcioacuten del espacio y la aceleracioacuten v=f(sa)
despejando t de la segunda ecuacioacuten a
vvt ominus
=
y sustituyendo en la ecuacioacuten del espacio resulta
2
2
2
1 0
2
0
22
00
0
2
00
00 =minus+
+minus
+=
minus+
minus+=
a
vvvv
a
vvvs
a
vva
a
vvvss
a
vvs
a
vvvvvvvs
22
222
2
0
2
0
0
2
0
22
00
0
minus+=
minus++minus+=
de donde a
vvss
2
2
0
2
0
minus=minus resultando )(2 0
2
0
2 ssavv minus+=
En el caso de que el origen de coordenadas sea arbitrario y esteacute fuera de la trayectoria
la expresioacuten vectorial anterior
2
002
1tatvrr
++= puede ponerse 2
002
1tatvrr
+=minus
resultando que los vectores 0rr
minus 0v
y a
tienen todos la misma direccioacuten como puede
apreciarse en la figura 8 y pueden escribirse por sus moacutedulos llamando 0rrs
minus=
resultando 2
02
1attvs +=
Si se trata de un movimiento uniformemente retardado (decelerado) la aceleracioacuten seraacute
negativa y si el movimiento se debe a la accioacuten gravitatoria en recorridos cortos muy
proacuteximos a la superficie de la Tierra la aceleracioacuten se puede considerar constante e igual a
a = g = 9rsquo8 ms2 = 980 cms2 y se denomina movimiento de caiacuteda libre
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33 Movimiento circular uniforme
Para este movimiento las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los si-
guientes valores an = cte ne 0 y at= 0
De la segunda condicioacuten at=dvdt=0 se deduce que v=cte y como la primera condicioacuten
implica an=v2=cte de todo ello se deduce que =cte y la trayectoria ha de ser circular de
radio La aceleracioacuten total del movimiento seraacute
nnt aaaa
=+=
y la velocidad seraacute constante en moacutedulo pero no en direccioacuten En consecuencia la
ecuacioacuten que nos daraacute el espacio recorrido por el moacutevil a lo largo de su trayectoria circular
es la misma que la correspondiente al movimiento uniforme y rectiliacuteneo midiendo los
espacios sobre la circunferencia tvss 0 +=
En este tipo de movimiento interesa conocer el aacutengulo girado por el radio-vector que
une el centro con el moacutevil Recordando que Arco(m)=Radio(m)Angulo(rad)
resulta S = ϕ y derivando respecto al tiempo resultaraacute
dt
d
dt
ds middot= es decir
dt
dv
=
Esta uacuteltima derivada representa la variacioacuten del aacutengulo girado por el vector de posicioacuten
en la unidad de tiempo a lo que se le llama velocidad angular y se representa por
=ddt resultando v= ( rarr rads)
Por convenio se representa la velocidad angular por un vector axial normal al plano de
la circunferencia (plano de r
y v
) de sentido el correspondiente a la regla del sacacorchos
(regla de Maxwell) y de moacutedulo proporcional a su valor por ello puede escribirse
=v
expresioacuten que tambieacuten puede escribirse asiacute
=minus= AOv
es decir la velocidad tangencial v
es el momento del
vector velocidad angular
con respecto al punto A
34 Movimiento circular uniformemente acelerado
En eacutel las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los siguientes valores
an=v2 cte t2 y at=dvdt=cte
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tendraacute como trayectoria una circunferencia de radio y sobre ella el movimiento vendraacute
descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado
2
002
1tatvss t++= tavv t+= 0 )(2 0
2
0
2 ssavv t minus+=
Como la velocidad no es constante tampoco lo seraacute la velocidad angular relacionada
con aquella mediante el radio v= y por ello derivando con respecto al tiempo
resultaraacute
( )
dt
d
dt
d
dt
dv== o sea a =
donde =ddt es la aceleracioacuten angular o variacioacuten de la velocidad angular con respecto
al tiempo Se mide en rads2 en el sistema Internacional (SI)
Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en funcioacuten de las magnitudes angula-res a
partir de = ddt y = ddt e integrando
= 0 + t 2 = 02 + 2
35 Movimiento armoacutenico simple
Llamamos movimiento perioacutedico a cualquier movimiento que se repite a intervalos
iguales de tiempo Por ejemplo el movimiento de una masa sujeta a un muelle el movi-
miento de un peacutendulo las vibraciones de los aacutetomos de una moleacutecula etc Cuando una
partiacutecula que realiza un movimiento perioacutedico se mueve alternativamente en un sentido y
otro sobre una misma trayectoria recibe el nombre de movimiento oscilatorio
El movimiento oscilatorio maacutes importante es el movimiento armoacutenico simple (MAS)
por ser el maacutes faacutecil de describir matemaacuteticamente y constituye un modelo exacto o
aproximado para muchos sistemas fiacutesicos
Decimos que una partiacutecula que se mueve a lo largo del eje X realiza un MAS centrado
en el origen O de dicho sistema coordenado cuando su desplazamiento X con respecto al
origen viene expresado en funcioacuten del tiempo en la forma
( ) += tAx sen
donde A y son constantes propias del movimiento armoacutenico
La distancia X que separa la partiacutecula del origen O recibe el nombre de elongacioacuten El
valor absoluto de la elongacioacuten maacutexima A se denomina amplitud La cantidad t+
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(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase
inicial para t=0
Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2 la partiacutecula completa una oscilacioacuten
luego el periodo es T=2 La frecuencia del movimiento es el nuacutemero de oscilaciones
que se completan en la unidad de tiempo [=1T (cicloss=herzios (Hz))]
La constante es la frecuencia angular o pulsacioacuten (=2=s-1)
La velocidad de la partiacutecula que realiza un Movimiento Armoacutenico Simple viene dada
por la derivada de la elongacioacuten respecto del tiempo
( )
++=+==
2sencos
tAtA
dt
dxv
La aceleracioacuten de la partiacutecula se determina haciendo la derivada de la velocidad
respecto del tiempo
( ) XtAdt
dva sen 22 minus=+minus==
Considerando a=Fm la fuerza que deberaacute actuar sobre una partiacutecula para que realice un
Movimiento Armoacutenico Simple debe ser tambieacuten proporcional a la elongacioacuten de la
partiacutecula y de signo contrario a eacutesta
F = ma = -m2x = -kx
donde k = m2 llamada constante armoacutenica
36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos
Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultaacuteneos independientes realiza
un movimiento compuesto que resulta de la combinacioacuten de aquellos La composicioacuten de
dos o maacutes movimientos se realiza calculando el vector de posicioacuten del movimiento
resultante como suma de los vectores de posicioacuten de los movimientos componentes
Esto se apoya en el ldquoPrincipio de Galileordquo o de independencia de los movimientos ldquoSi
un punto estaacute dotado por dos causas diferentes de dos movimientos simultaacuteneos su cambio de
posicioacuten es independiente de que los dos movimientos actuacuteen sucesiva o simultaacuteneamenterdquo
De lo anterior se deduce que el vector de posicioacuten r
es la suma de los vectores de
posicioacuten de los movimientos individuales
4321 ++++= rrrrr
y derivando 4321 ++++= vvvvv
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es decir la velocidad de un movimiento compuesto es en todo momento la suma
vectorial de las velocidades de los movimientos componentes
361 Descripcioacuten de casos elementales
A) Un nadador que avanza en la direccioacuten y sentido de la corriente (dos movimientos
rectiliacuteneos y uniformes en la misma direccioacuten y sentido)
v = v1 + v2 a = 0
s = s1 + s2 = (v1 + v2)t
B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectiliacuteneos y
uniformes de la misma direccioacuten y de sentidos contrarios)
v = v1 - v2 a = 0
s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)
C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos
rec-tiliacuteneos y uniformes de direcciones perpendiculares)
2
2
2
121
2
2
2
1 ordm90middotcos2 vvvsivvvvv +==++=
el espacio recorrido seraacute
tvvssss middot2
2
2
1
2
2
2
1+=rarr+=
y el aacutengulo de direccioacuten resultante
1
2
1
2tgs
s
v
v==
D) Dos movimientos rectiliacuteneos uniformemente acelerados en la misma direccioacuten
++=
++=
2
202022
2
101011
2
1middot
2
1middot
tatvss
tatvss sumando
2
21201020121 )(2
1)()( taatvvsssss o +++++=+=
taavvdt
dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa
dt
dva +==
E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma
direccioacuten dados por
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middot
2
1middot
middot
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1)()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado
362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda
Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante
vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del
avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior
con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo
posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
minus=
=
El aacutengulo de v con la horizontal seraacute
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es
jgtivv x
minus=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r
resulta
jgtitvr x
2
1 2minus=
por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten
dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la
trayectoria
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)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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44 Aplicaciones para moacutevil (apps) 26
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica 27
5 Conclusioacuten 28
Bibliografiacutea
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(5ordm edicioacuten) Barcelona (Espantildea) Editorial Reverteacute
bull Tovar J y Hernaacutendez J (2012) Fundamentos de Fiacutesica Mecaacutenica (3ordm edicioacuten revisada y
aumentada) Jaeacuten (Espantildea) editorial Universidad de Jaeacuten coleccioacuten Ingenieriacutea y
Tecnologiacutea serie Techneacute
bull Serway A y Jewett J Jr (2008) Fiacutesica para ciencias e ingenieriacutea Meacutexico Editorial
Cengage Learning Latinoameacuterica
bull Alonso M y Finn E J (1970) Fiacutesica Vol 1 Mecaacutenica Meacutexico Addison-Wesley
Iberoamericana
bull Ortega Giroacuten M R (1989) Lecciones de Fiacutesica Mecaacutenica 1 Coacuterdoba (Espantildea)
Departamento de Fiacutesica Aplicada Universidad de Coacuterdoba
bull Eisberg R M y Lerner L S (1981) Fiacutesica Fundamentos y Aplicaciones Madrid (Es-
pantildea) McGraw-Hill
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les Mecaacutenica y Termodinaacutemica Claacutesica Tomo 1 Barcelona (Espantildea) Editorial Reverteacute
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3
0 Introduccioacuten
En el presente tema vamos a estudiar la parte de la fiacutesica que describe el movimiento de
un cuerpo Para ello debemos comenzar introduciendo las magnitudes fiacutesicas necesarias
como posicioacuten velocidad y aceleracioacuten definidas como vectores lo cual significa que
tienen tanto magnitud como direccioacuten y sentido Desarrollaremos ecuaciones sencillas
para la descripcioacuten de distintos tipos de movimientos y posteriormente estudiaremos su
aplicacioacuten en casos concretos como el tiro paraboacutelico o movimiento de proyectiles Por
uacuteltimo veremos diferentes meacutetodos para el estudio experimental del movimiento desde
los meacutetodos tradicionales hasta meacutetodos maacutes actuales
1 Cinemaacutetica
La mecaacutenica es la parte de la fiacutesica que estudia las relaciones entre fuerza materia y
movimiento y se divide en cinemaacutetica y dinaacutemica La cinemaacutetica describe el movimiento
de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen que son las fuerzas mien-
tras que la dinaacutemica incluye las fuerzas
El movimiento es el fenoacutemeno fiacutesico maacutes familiar y el maacutes frecuente y general de la Na-
turaleza Todos los fenoacutemenos baacutesicos que estudia la Fiacutesica estaacuten originados en su natura-
leza iacutentima por movimientos de determinadas entidades asiacute por ejemplo
- La electricidad constituye el movimiento de cargas en conductores
- El Magnetismo estaacute originado por el movimiento de cargas
- El Calor tiene su origen en el movimiento molecular
- La Luz como toda onda electromagneacutetica tiene su origen en el movimiento vibra-
torio de partiacuteculas cargadas
- El Sonido como toda onda mecaacutenica se origina por el movimiento oscilatorio de
partiacuteculas en un medio material
El estudio del movimiento tanto desde el punto de vista cinemaacutetico como del dinaacutemico
constituye la base fundamental de la Mecaacutenica y por consiguiente de toda la Fiacutesica
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4
2 Elementos para la descripcioacuten del movimiento
21 Sistemas de referencia
Para un estudio correcto del movimiento hemos de elegir en primer lugar un sistema de
referencia (generalmente establecido por un sistema de coordenadas) al cual referir la
posicioacuten de un punto material mediante unas coordenadas numeacutericas El punto estaraacute en
reposo cuando las coordenadas respecto al sistema de referencia no variacuteen con el tiempo y
estaraacute en movimiento cuando al menos una coordenada variacutee con el tiempo
Generalizando la definicioacuten a un cuerpo formado por muchos puntos materiales
diremos que estaacute en movimiento cuando al menos una coordenada de cualquiera de sus
puntos variacutea con el tiempo En esta definicioacuten de movimiento quedan englobados todos
los tipos de movimiento que un cuerpo pueda tener traslacioacuten rotacioacuten vibracioacuten de-
formacioacuten etc
Consideraremos en cinemaacutetica el movimiento del cuerpo maacutes sencillo el punto
material o partiacutecula material cuyas dimensiones pueden despreciarse al estudiar el
movimiento La aplicacioacuten del concepto del Punto Material a los sistemas reales de la
naturaleza depende de las condiciones especiacuteficas del problema asiacute por ejemplo los
planetas pueden considerarse puntos materiales cuando se estudian sus movimientos
alrededor del Sol referido a un sistema de referencia fijo en eacuteste pero no pueden
considerarse puntos materiales si se estudian los movimientos de rotacioacuten alrededor de
sus propios ejes
El movimiento es un concepto relativo pues debe referirse a un sistema particular de
referencia elegido arbitrariamente y considerado fijo Las observaciones hechas en la
Tierra estaacuten referidas a un sistema referencial situado en ella y por ende en movimiento
con la propia Tierra Los astroacutenomos prefieren referir el movimiento estelar a un sistema
de ldquoestrellas fijasrdquo aunque el sistema adolece del mismo defecto pues estos puntos con-
siderados fijos aunque poco variacutean sus posiciones con el tiempo
El sistema de referencia fijo absoluto no existe por imposibilidad de fijar dicho sistema
en el espacio ya que implicariacutea a su vez otra referencia fija por si misma de manera
absoluta
Normalmente debe elegirse el sistema de referencia que permita que las observaciones
medidas y anaacutelisis de los datos del sistema fiacutesico estudiado sean lo maacutes sencillos posible
El movimiento tiene el mismo caraacutecter tanto si estaacute referido a un hipoteacutetico sistema fijo
absoluto como si estaacute referido a unos sistemas animados con movimiento uniforme (v=cte)
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5
respecto de los primeros Por ello para referir un movimiento bastaraacute considerar como
sistema de referencia unos ejes que se desplacen con movimiento de traslacioacuten uniforme
que llamaremos sistemas referenciales inerciales o Galileanos
El movimiento referido a sistemas referenciales no-inerciales o sea con movimiento de
traslacioacuten no uniforme (con aceleracioacuten) o con movimiento de rotacioacuten es un tema de
considerable importancia cuyo estudio resuelve importantes problemas relacionados con
el movimiento de gran alcance como el de sateacutelites artificiales cohetes intercontinentales
caacutepsulas espaciales masas de aire corrientes marinas etc Pero no se trataraacute en este tema
22 Vector de posicioacuten de un moacutevil
La posicioacuten de un punto moacutevil en el espacio queda fijada por el vector de posicioacuten r
trazado desde el origen O de coordenadas hasta la posicioacuten del moacutevil P Las componentes
del vector r
(x y z) seraacuten las coordenadas del punto moacutevil en ese instante El moacutevil en su
movimiento describe una curva C llamada trayectoria del punto P
El movimiento de P queda totalmente especificado y determinado si se conocen las tres
coordenadas del vector como funciones del tiempo
)(txx = )(tyy = )(tzz =
llamadas ecuaciones parameacutetricas del movimiento En cada instante t los valores de x y z
corresponden a las coordenadas del punto ocupado por el moacutevil en dicho instante
Fiacutesicamente equivale a decir que todo movimiento puede considerarse descompuesto en
tres movimientos rectiliacuteneos sobre los tres ejes coordenados
De las ecuaciones parameacutetricas x = x(t) y = y(t) z = z(t) se deduce la ecuacioacuten de la
trayectoria del punto moacutevil con soacutelo eliminar entre ellas la variable independiente t
El vector de posicioacuten vendraacute dado por la expresioacuten vectorial
ktzjtyitxtrr
)middot()middot()middot()( ++==
expresioacuten que determina r
para cualquier instante t y se puede escribir de modo geneacuterico
como )(trr
= que es la ecuacioacuten vectorial del movimiento
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La distancia recorrida por el moacutevil es la suma de todas las longitudes recorridas en los
sucesivos intervalos de tiempo desde el instante inicial (to) al instante final (t) Esta
distancia constituye la trayectoria definida anteriormente y sobre ella el problema
cinemaacutetico consiste en determinar el camino recorrido en funcioacuten del tiempo es decir
s = s(t)
Vemos pues dos aspectos en el tratamiento de los problemas cinemaacuteticos El primero de
ellos y maacutes general partiendo del vector de posicioacuten )(trr
= del que se derivaraacuten todas las
ecuaciones vectoriales del movimiento vaacutelidas cualquiera que sea la trayectoria e
independiente del sistema de referencia Un segundo aspecto maacutes limitado determina
uacutenicamente el camino recorrido sobre la trayectoria mediante la expresioacuten s=s(t) de la que
se deducen las ecuaciones escalares del movimiento sobre la trayectoria para lo cual es
necesario fijar un punto inicial de origen en la trayectoria s=0 para referir a eacutel las
distancias recorridas y demaacutes variables cinemaacuteticas
23 Vector velocidad
Para el estudio del movimiento es necesario conocer la posicioacuten del moacutevil en cada
instante que vendraacute dada por el vector de posicioacuten y la variacioacuten de esta posicioacuten con el
tiempo que vendraacute dada por el vector velocidad
Si un moacutevil se encuentra en un instante dado en la posicioacuten P (dada por el vector de
posicioacuten r
) y un intervalo t despueacutes se encuentra en Q (dada por el vector de posicioacuten r
+ r
) el moacutevil ha sufrido un desplazamiento vectorial r
y ha recorrido un intervalo de
trayectoria s y son por definicioacuten diferentes y no coincidentes Soacutelo en el caso liacutemite de
que el intervalo de tiempo sea infinitesimal ambos conceptos seraacuten coincidentes en el
graacutefico y el moacutedulo de r
coincidiraacute con s
Se define el vector velocidad media mv
como el
cociente
t
rvm
=
que es un vector de direccioacuten y sentido ideacutentico al vector
desplazamiento r
pues el escalar t seraacute siempre
positivo La direccioacuten del vector desplazamiento y por ello
la del vector velocidad media es la direccioacuten de la cuerda
del arco PQ
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7
Anaacutelogamente se define la velocidad media en la trayectoria vm (magnitud escalar) al
cociente de la trayectoria recorrida en el tiempo empleado
t
svm
=
Ambas velocidades medias una vectorial y otra escalar no son generalmente de igual
moacutedulo pues sr
como puede apreciarse en la Fig2
Si reducimos el intervalo de tiempo t hasta valores muy pequentildeos que tiendan a cero
el vector velocidad quedaraacute referido a un intervalo infinitamente pequentildeo y se llamaraacute
vector velocidad instantaacutenea o simplemente vector velocidad
dt
rd
t
rlimvt
=
=
rarr 0 (a)
Anaacutelogamente se definiraacute la velocidad instantaacutenea sobre la trayectoria como
dt
ds
t
slimvt
=
=
rarr 0 (b)
Ambas expresiones estaacuten relacionadas entre siacute como demostraremos a continuacioacuten Si
consideramos el vector velocidad instantaacutenea
t
slim
s
rlim
s
s
t
rlimv
tst
=
=
rarrrarrrarr 000
El 1er liacutemite es un vector de moacutedulo 1 ya que r
y s tienden a ser iguales cuando
srarr0 pues el arco (s) y la cuerda ( r
) se confunden cuando se hacen infinitamente
pequentildeos y tiene direccioacuten tangente a la trayectoria La direccioacuten de r
(inicialmente
secante a la curva) tiende hacia una direccioacuten tangente cuando s se hace infinitamente
pequentildeo Por tanto el primer liacutemite representa un vector unitario tangente a la trayectoria
en el punto
t
su
ds
rd
s
rlim
==
rarr 0 (vector unitario tangente) pues 1=
rarr PQ
PQlim
QP
El 2ordm liacutemite es el que hemos definido como velocidad media en la trayectoria calculada
en un intervalo reducido que tiende a cero
vt
slimt
=
rarr 0 (velocidad instantaacutenea sobre la trayectoria)
Finalmente resultaraacute tuvv
middot= (c)
el vector velocidad instantaacutenea es un vector tangente a la trayectoria que tiene por
moacutedulo la velocidad instantaacutenea calculada sobre la trayectoria y que llamaremos
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8
simplemente celeridad (Recordemos que todo vector puede expresarse como el producto
de su moacutedulo por un vector unitario en la direccioacuten del vector)
Teniendo en cuenta la expresioacuten de
ktzjtyitxr
)middot()middot()middot( ++=
el vector velocidad tambieacuten puede expresarse en un sistema cartesiano mediante la deri-
vada del vector de posicioacuten
kdt
tdzj
dt
tdyi
dt
tdx
dt
rdv
)()()(
++==
y la celeridad o moacutedulo de la velocidad seraacute
21222
+
+
==
dt
dz
dt
dy
dt
dxvv
que seraacute una funcioacuten del tiempo como lo son las componentes dxdt dydt y dzdt
24 Vector aceleracioacuten
El movimiento de un punto material en su forma maacutes general tiene en cada punto de
la trayectoria un vector de posicioacuten y un vector velocidad diferentes lo que significa una
variacioacuten de la velocidad tanto en moacutedulo como en direccioacuten y sentido
En el instante t la velocidad del punto moacutevil
situado en P es v
y despueacutes de transcurrido un
intervalo de tiempo t es decir en el instante t+t
la velocidad del moacutevil situado en Q es v
+ v
Definimos el vector aceleracioacuten media al cociente
entre la variacioacuten del vector velocidad y el
intervalo de tiempo transcurrido Es un vector que
tiene la misma direccioacuten y sentido que v
t
vam
=
Considerando un intervalo de tiempo infinitamente pequentildeo que tienda a cero
podemos definir el vector aceleracioacuten instantaacutenea o simplemente el vector aceleracioacuten
como el valor en el liacutemite de la relacioacuten Vt cuando t tiende a cero es decir
2
2
0 dt
rd
dt
rd
dt
d
dt
vd
t
vlimat
=
==
=
rarr
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El vector aceleracioacuten tendraacute por componentes
kdt
zdj
dt
ydi
dt
xdk
dt
dvj
dt
dvi
dt
dva zyx
2
2
2
2
2
2
++=++=
y su moacutedulo seraacute
2
2
22
2
22
2
2
+
+
==
dt
zd
dt
yd
dt
xdaa
25 Componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
De la propia definicioacuten del vector aceleracioacuten a
se deduce que en general no es ni
tangente a la trayectoria (pues implicariacutea una direccioacuten constante en V
) ni perpendicular a
ella (pues implicariacutea un moacutedulo constante en V
) y por ello puede ser descompuesto en
dos componentes una tangente y otra perpendicular a la trayectoria que se llamaraacuten
componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten Dichas componentes estaacuten situadas en un
sistema de coordenadas intriacutenseco al moacutevil con ejes tangente y normal a la trayectoria e
independiente de cualquier sistema de referencia
Aplicando la definicioacuten de a
a la expresioacuten del vector velocidad resultaraacute
( )dt
udvu
dt
dvuv
dt
d
dt
vda t
tt
middotmiddotmiddot +=== (d)
como vemos a
tiene dos componentes vectoriales una de ellas es tangente a la
trayectoria de moacutedulo dvdt que llamaremos aceleracioacuten tangencial
El uacuteltimo teacutermino de la expresioacuten (d) dutdt se transforma en
vds
ud
dt
ds
ds
ud
dt
ud ttt
== (V=celeridad o moacutedulo de la velocidad) (e)
y el factor dsud t
es un vector que representa la deri-
vada del vector unitario tangente (de moacutedulo cons-
tante) con respecto al arco Se demuestra asiacute como tu
es un vector unitario su derivada dsud t
respecto a
un escalar es perpendicular a tu
Estos vectores estaacuten
en el llamado plano osculador determinado por dos
tangentes consecutivas a un punto y el vector dsud t
tiene la direccioacuten de la normal principal (perpendi-
cular a la trayectoria con-tenida en el plano osculador)
FIG4
ut ut
ut ut
ut
s
r
+
rr
r
+
C
QR
C
S
P
O
s=r
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10
y su sentido es el de la concavidad por consiguiente
n
tt uds
ud
ds
ud
middot= (f)
Calculemos ahora el moacutedulo de dsud t
Sean dos puntos P y Q de la curva de la fig 4
y sean tu
y tu
+ tu
los vectores unitarios tangentes sobre dichos puntos P y Q
respectivamente (Por Q se traza el equipolente a tu
En el plano osculador se trazan las
perpendiculares a la curva en P y Q Consideremos que P y Q son consecutivos por ello el
arco PQ=∆s se confunde con un arco de circunferencia de centro en O y radio r y se puede
escribir ∆s=r∆ϕ)
En el triaacutengulo QRS que es isoacutesceles por ser tt uuu
+= se cumple
2middotsen2
2middotsenmiddot2
=
= tt uu
pues 1=tu
dividiendo por ∆s resultaraacute
ssss
u t
=
=
=
middot
2
2sen
middot2middotsen2
2middotsen2
y pasando al liacutemite para ∆srarr0 resultaraacute
slim
s
ulim
s
t
s
=
rarrrarr
00
pues 1
2
2sen
0=
rarr
lim
y por ello ds
d
ds
ud t = y considerando que ∆s=r∆ϕ rarr ds=rdϕ
resultando rds
ud t 1= que es la inversa del radio de curvatura
Por tanto sustituyendo en (f) nt u
rds
ud
middot1
= y luego sustituyendo en (e)
nt u
r
v
dt
ud middot= y eacutesta finalmente en (c) resulta nt u
r
vu
dt
dva
2
+=
lo que demuestra que el vector aceleracioacuten a
no tiene ni direccioacuten
normal ni direccioacuten tangente a la trayectoria pues presenta dos
componentes en estas direcciones Uacutenicamente se puede asegurar
que el sentido de la componente normal es hacia el interior de la
concavidad de la trayectoria Las componentes son FIG 5
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11
Aceleracioacuten tangencial tt u
dt
dva
= y su moacutedulo
dt
dv
Aceleracioacuten normal (centriacutepeta) nn ur
va
middot
2
= y su moacutedulo r
v2
La aceleracioacuten tangencial ta
puede ser positiva si estaacute dirigida en la direccioacuten de v
y
negativa si estaacute dirigida en sentido contrario a v
y la aceleracioacuten normal na
es siempre
positiva y dirigida hacia la concavidad de la curva El moacutedulo de la aceleracioacuten en funcioacuten
de sus componentes seraacute
222
22
+
=+==
r
v
dt
dvaaaa nt
y el aacutengulo que forma la aceleracioacuten con la tangente a la trayectoria vendraacute dado por
t
n
t
n
A
A
A
Aarctgtg ==
Las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten son de gran importancia en cinemaacutetica
pues nos da cada una de ellas un aspecto de la variacioacuten de la velocidad con el tiempo La
aceleracioacuten tangencial nos da la variacioacuten del moacutedulo de la velocidad con el tiempo y la
aceleracioacuten normal nos da la variacioacuten de la direccioacuten de la velocidad con el tiempo La
clasificacioacuten de los movimientos debe hacerse por los valores de dichas componentes y de
ellas se deducen sus ecuaciones
El caacutelculo de las componentes intriacutensecas tambieacuten se puede realizar mediante el si-
guiente mecanismo vectorial
Aceleracioacuten tangencial De la derivada del vector de posicioacuten se obtiene el vector
velocidad y derivando por segunda vez se obtiene el vector aceleracioacuten y a partir de
ambas se realiza su producto escalar
v
vaayavvava tt
bull
===bull cos
y la direccioacuten del vector unitario tangente seraacute v
vu
= luego ( )
2v
vvauaa ttt
bull
==
Aceleracioacuten normal A partir de los mismos vectores a
y v
realizamos su producto
vectorial
navvava sen ==
y v
vaan
=
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y la direccioacuten del vector unitario normal seraacute )(
)(
vav
vavun
=
como puede demostrarse faacutecilmente en la figura 3
26 Concepto de radio de curvatura
Si tomamos tres puntos muy proacuteximos sobre
una curva P P y P de las circunferencias tan-
gentes a la curva en P la que tiene en dicho punto
un contacto tal que P y P pertenezcan a ella
cuando eacutestos tienden a confundirse con P la
llamamos circunferencia o ciacuterculo osculador E1
radio de este ciacuterculo lo llamamos radio de
curvatura y al centro centro de curvatura El
ciacuterculo osculador pertenece al plano determi-
nado por dos tangentes sucesivas a la curva en P
y P por ejemplo cuando ambos puntos tienden a
confundirse uno sobre otro A este plano se le
denomina plano osculador
FIG6
3 Movimientos de especial intereacutes
31 Movimiento uniforme
El movimiento uniforme es aquel en el que las componentes intriacutensecas de la acele-
racioacuten son ambas nulas es decir 0=na
y 0=ta
De la primera se deduce
2van = y por ser v 0 rarr =
y el movimiento es de radio de curvatura infinito o sea movimiento rectiliacuteneo
De la segunda se deduce dt
dvat = = 0 o sea v = cte
y el movimiento tiene moacutedulo de velocidad constante es decir es uniforme
De ambas condiciones se deduce que el vector velocidad v
es constante en moacutedulo
direccioacuten y sentido ( ctev =
) y como estaacute definido por
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13
dt
rdv
= luego dtvrd
=
que integrando = dtvrd
rarr 00 rtvr
+=
donde 0r
es la constante de integracioacuten (vectorial) y
representa el vector de posicioacuten inicial para el instante
inicial t = 0 (Fig7) FIG 7
Si tomamos como origen de coordenadas un punto situado en la propia trayectoria C
del movimiento todoslos vectores implicados en la ecuacioacuten 0r
r
y 0v
tendraacuten la misma
direccioacuten y se podraacute escribir tvss o+= 0 donde 0s s y 0v seraacuten los moacutedulos de los
vectores correspondientes
32 Movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
Este movimiento se caracteriza por que sus componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
toman los valores an = 0 y at = cte ne 0
De la primera se deduce como en el caso anterior que el radio es infinito r = y por
consiguiente el movimiento tiene trayectoria rectiliacutenea
De la segunda se obtiene dvdt=at (constante) siendo eacutesta ademaacutes la aceleracioacuten total
(por ser la uacutenica) pues
ttnt aaaaa ==+= 222
y como la aceleracioacuten tangencial tiene direccioacuten tangente a la trayectoria igual que la
velocidad se podraacute escribir
aadtvd t
== o bien dtavd
= e integrando = dtavd
resulta
0 vtav
+=
siendo 0v
la constante de integracioacuten que corresponde con la velocidad inicial o velocidad
para t = 0
Si sustituimos esta expresioacuten en la ecuacioacuten de definicioacuten de v
resulta
tavdt
rdv 0
+== o bien dttadtvrd 0
+=
e integrando += dttadtvrd 0
rarr 2
00 2
1 tatvrr
++=
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donde 0r
es la constante de integracioacuten que representa el vector de posicioacuten en el instante
inicial t = 0
Si elegimos como origen de coordenadas un
punto situado en la propia trayectoria recta C del
movimiento resultaraacuten r
0r
0v
a
vectores
todos ellos de la misma direccioacuten y podraacuten
escribirse las ecuaciones anteriores soacutelo con sus
moacutedulos es decir FIG 8
2
00 2
1 tatvss ++= y tavv 0 +=
Entre ambas ecuaciones podemos eliminar el tiempo t para obtener una ecuacioacuten de la
velocidad en funcioacuten del espacio y la aceleracioacuten v=f(sa)
despejando t de la segunda ecuacioacuten a
vvt ominus
=
y sustituyendo en la ecuacioacuten del espacio resulta
2
2
2
1 0
2
0
22
00
0
2
00
00 =minus+
+minus
+=
minus+
minus+=
a
vvvv
a
vvvs
a
vva
a
vvvss
a
vvs
a
vvvvvvvs
22
222
2
0
2
0
0
2
0
22
00
0
minus+=
minus++minus+=
de donde a
vvss
2
2
0
2
0
minus=minus resultando )(2 0
2
0
2 ssavv minus+=
En el caso de que el origen de coordenadas sea arbitrario y esteacute fuera de la trayectoria
la expresioacuten vectorial anterior
2
002
1tatvrr
++= puede ponerse 2
002
1tatvrr
+=minus
resultando que los vectores 0rr
minus 0v
y a
tienen todos la misma direccioacuten como puede
apreciarse en la figura 8 y pueden escribirse por sus moacutedulos llamando 0rrs
minus=
resultando 2
02
1attvs +=
Si se trata de un movimiento uniformemente retardado (decelerado) la aceleracioacuten seraacute
negativa y si el movimiento se debe a la accioacuten gravitatoria en recorridos cortos muy
proacuteximos a la superficie de la Tierra la aceleracioacuten se puede considerar constante e igual a
a = g = 9rsquo8 ms2 = 980 cms2 y se denomina movimiento de caiacuteda libre
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33 Movimiento circular uniforme
Para este movimiento las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los si-
guientes valores an = cte ne 0 y at= 0
De la segunda condicioacuten at=dvdt=0 se deduce que v=cte y como la primera condicioacuten
implica an=v2=cte de todo ello se deduce que =cte y la trayectoria ha de ser circular de
radio La aceleracioacuten total del movimiento seraacute
nnt aaaa
=+=
y la velocidad seraacute constante en moacutedulo pero no en direccioacuten En consecuencia la
ecuacioacuten que nos daraacute el espacio recorrido por el moacutevil a lo largo de su trayectoria circular
es la misma que la correspondiente al movimiento uniforme y rectiliacuteneo midiendo los
espacios sobre la circunferencia tvss 0 +=
En este tipo de movimiento interesa conocer el aacutengulo girado por el radio-vector que
une el centro con el moacutevil Recordando que Arco(m)=Radio(m)Angulo(rad)
resulta S = ϕ y derivando respecto al tiempo resultaraacute
dt
d
dt
ds middot= es decir
dt
dv
=
Esta uacuteltima derivada representa la variacioacuten del aacutengulo girado por el vector de posicioacuten
en la unidad de tiempo a lo que se le llama velocidad angular y se representa por
=ddt resultando v= ( rarr rads)
Por convenio se representa la velocidad angular por un vector axial normal al plano de
la circunferencia (plano de r
y v
) de sentido el correspondiente a la regla del sacacorchos
(regla de Maxwell) y de moacutedulo proporcional a su valor por ello puede escribirse
=v
expresioacuten que tambieacuten puede escribirse asiacute
=minus= AOv
es decir la velocidad tangencial v
es el momento del
vector velocidad angular
con respecto al punto A
34 Movimiento circular uniformemente acelerado
En eacutel las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los siguientes valores
an=v2 cte t2 y at=dvdt=cte
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tendraacute como trayectoria una circunferencia de radio y sobre ella el movimiento vendraacute
descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado
2
002
1tatvss t++= tavv t+= 0 )(2 0
2
0
2 ssavv t minus+=
Como la velocidad no es constante tampoco lo seraacute la velocidad angular relacionada
con aquella mediante el radio v= y por ello derivando con respecto al tiempo
resultaraacute
( )
dt
d
dt
d
dt
dv== o sea a =
donde =ddt es la aceleracioacuten angular o variacioacuten de la velocidad angular con respecto
al tiempo Se mide en rads2 en el sistema Internacional (SI)
Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en funcioacuten de las magnitudes angula-res a
partir de = ddt y = ddt e integrando
= 0 + t 2 = 02 + 2
35 Movimiento armoacutenico simple
Llamamos movimiento perioacutedico a cualquier movimiento que se repite a intervalos
iguales de tiempo Por ejemplo el movimiento de una masa sujeta a un muelle el movi-
miento de un peacutendulo las vibraciones de los aacutetomos de una moleacutecula etc Cuando una
partiacutecula que realiza un movimiento perioacutedico se mueve alternativamente en un sentido y
otro sobre una misma trayectoria recibe el nombre de movimiento oscilatorio
El movimiento oscilatorio maacutes importante es el movimiento armoacutenico simple (MAS)
por ser el maacutes faacutecil de describir matemaacuteticamente y constituye un modelo exacto o
aproximado para muchos sistemas fiacutesicos
Decimos que una partiacutecula que se mueve a lo largo del eje X realiza un MAS centrado
en el origen O de dicho sistema coordenado cuando su desplazamiento X con respecto al
origen viene expresado en funcioacuten del tiempo en la forma
( ) += tAx sen
donde A y son constantes propias del movimiento armoacutenico
La distancia X que separa la partiacutecula del origen O recibe el nombre de elongacioacuten El
valor absoluto de la elongacioacuten maacutexima A se denomina amplitud La cantidad t+
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(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase
inicial para t=0
Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2 la partiacutecula completa una oscilacioacuten
luego el periodo es T=2 La frecuencia del movimiento es el nuacutemero de oscilaciones
que se completan en la unidad de tiempo [=1T (cicloss=herzios (Hz))]
La constante es la frecuencia angular o pulsacioacuten (=2=s-1)
La velocidad de la partiacutecula que realiza un Movimiento Armoacutenico Simple viene dada
por la derivada de la elongacioacuten respecto del tiempo
( )
++=+==
2sencos
tAtA
dt
dxv
La aceleracioacuten de la partiacutecula se determina haciendo la derivada de la velocidad
respecto del tiempo
( ) XtAdt
dva sen 22 minus=+minus==
Considerando a=Fm la fuerza que deberaacute actuar sobre una partiacutecula para que realice un
Movimiento Armoacutenico Simple debe ser tambieacuten proporcional a la elongacioacuten de la
partiacutecula y de signo contrario a eacutesta
F = ma = -m2x = -kx
donde k = m2 llamada constante armoacutenica
36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos
Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultaacuteneos independientes realiza
un movimiento compuesto que resulta de la combinacioacuten de aquellos La composicioacuten de
dos o maacutes movimientos se realiza calculando el vector de posicioacuten del movimiento
resultante como suma de los vectores de posicioacuten de los movimientos componentes
Esto se apoya en el ldquoPrincipio de Galileordquo o de independencia de los movimientos ldquoSi
un punto estaacute dotado por dos causas diferentes de dos movimientos simultaacuteneos su cambio de
posicioacuten es independiente de que los dos movimientos actuacuteen sucesiva o simultaacuteneamenterdquo
De lo anterior se deduce que el vector de posicioacuten r
es la suma de los vectores de
posicioacuten de los movimientos individuales
4321 ++++= rrrrr
y derivando 4321 ++++= vvvvv
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es decir la velocidad de un movimiento compuesto es en todo momento la suma
vectorial de las velocidades de los movimientos componentes
361 Descripcioacuten de casos elementales
A) Un nadador que avanza en la direccioacuten y sentido de la corriente (dos movimientos
rectiliacuteneos y uniformes en la misma direccioacuten y sentido)
v = v1 + v2 a = 0
s = s1 + s2 = (v1 + v2)t
B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectiliacuteneos y
uniformes de la misma direccioacuten y de sentidos contrarios)
v = v1 - v2 a = 0
s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)
C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos
rec-tiliacuteneos y uniformes de direcciones perpendiculares)
2
2
2
121
2
2
2
1 ordm90middotcos2 vvvsivvvvv +==++=
el espacio recorrido seraacute
tvvssss middot2
2
2
1
2
2
2
1+=rarr+=
y el aacutengulo de direccioacuten resultante
1
2
1
2tgs
s
v
v==
D) Dos movimientos rectiliacuteneos uniformemente acelerados en la misma direccioacuten
++=
++=
2
202022
2
101011
2
1middot
2
1middot
tatvss
tatvss sumando
2
21201020121 )(2
1)()( taatvvsssss o +++++=+=
taavvdt
dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa
dt
dva +==
E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma
direccioacuten dados por
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middot
2
1middot
middot
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1)()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado
362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda
Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante
vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del
avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior
con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo
posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
minus=
=
El aacutengulo de v con la horizontal seraacute
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es
jgtivv x
minus=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r
resulta
jgtitvr x
2
1 2minus=
por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten
dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la
trayectoria
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20
)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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21
que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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22
=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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23
( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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24
41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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25
donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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26
- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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27
aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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28
5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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3
0 Introduccioacuten
En el presente tema vamos a estudiar la parte de la fiacutesica que describe el movimiento de
un cuerpo Para ello debemos comenzar introduciendo las magnitudes fiacutesicas necesarias
como posicioacuten velocidad y aceleracioacuten definidas como vectores lo cual significa que
tienen tanto magnitud como direccioacuten y sentido Desarrollaremos ecuaciones sencillas
para la descripcioacuten de distintos tipos de movimientos y posteriormente estudiaremos su
aplicacioacuten en casos concretos como el tiro paraboacutelico o movimiento de proyectiles Por
uacuteltimo veremos diferentes meacutetodos para el estudio experimental del movimiento desde
los meacutetodos tradicionales hasta meacutetodos maacutes actuales
1 Cinemaacutetica
La mecaacutenica es la parte de la fiacutesica que estudia las relaciones entre fuerza materia y
movimiento y se divide en cinemaacutetica y dinaacutemica La cinemaacutetica describe el movimiento
de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen que son las fuerzas mien-
tras que la dinaacutemica incluye las fuerzas
El movimiento es el fenoacutemeno fiacutesico maacutes familiar y el maacutes frecuente y general de la Na-
turaleza Todos los fenoacutemenos baacutesicos que estudia la Fiacutesica estaacuten originados en su natura-
leza iacutentima por movimientos de determinadas entidades asiacute por ejemplo
- La electricidad constituye el movimiento de cargas en conductores
- El Magnetismo estaacute originado por el movimiento de cargas
- El Calor tiene su origen en el movimiento molecular
- La Luz como toda onda electromagneacutetica tiene su origen en el movimiento vibra-
torio de partiacuteculas cargadas
- El Sonido como toda onda mecaacutenica se origina por el movimiento oscilatorio de
partiacuteculas en un medio material
El estudio del movimiento tanto desde el punto de vista cinemaacutetico como del dinaacutemico
constituye la base fundamental de la Mecaacutenica y por consiguiente de toda la Fiacutesica
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4
2 Elementos para la descripcioacuten del movimiento
21 Sistemas de referencia
Para un estudio correcto del movimiento hemos de elegir en primer lugar un sistema de
referencia (generalmente establecido por un sistema de coordenadas) al cual referir la
posicioacuten de un punto material mediante unas coordenadas numeacutericas El punto estaraacute en
reposo cuando las coordenadas respecto al sistema de referencia no variacuteen con el tiempo y
estaraacute en movimiento cuando al menos una coordenada variacutee con el tiempo
Generalizando la definicioacuten a un cuerpo formado por muchos puntos materiales
diremos que estaacute en movimiento cuando al menos una coordenada de cualquiera de sus
puntos variacutea con el tiempo En esta definicioacuten de movimiento quedan englobados todos
los tipos de movimiento que un cuerpo pueda tener traslacioacuten rotacioacuten vibracioacuten de-
formacioacuten etc
Consideraremos en cinemaacutetica el movimiento del cuerpo maacutes sencillo el punto
material o partiacutecula material cuyas dimensiones pueden despreciarse al estudiar el
movimiento La aplicacioacuten del concepto del Punto Material a los sistemas reales de la
naturaleza depende de las condiciones especiacuteficas del problema asiacute por ejemplo los
planetas pueden considerarse puntos materiales cuando se estudian sus movimientos
alrededor del Sol referido a un sistema de referencia fijo en eacuteste pero no pueden
considerarse puntos materiales si se estudian los movimientos de rotacioacuten alrededor de
sus propios ejes
El movimiento es un concepto relativo pues debe referirse a un sistema particular de
referencia elegido arbitrariamente y considerado fijo Las observaciones hechas en la
Tierra estaacuten referidas a un sistema referencial situado en ella y por ende en movimiento
con la propia Tierra Los astroacutenomos prefieren referir el movimiento estelar a un sistema
de ldquoestrellas fijasrdquo aunque el sistema adolece del mismo defecto pues estos puntos con-
siderados fijos aunque poco variacutean sus posiciones con el tiempo
El sistema de referencia fijo absoluto no existe por imposibilidad de fijar dicho sistema
en el espacio ya que implicariacutea a su vez otra referencia fija por si misma de manera
absoluta
Normalmente debe elegirse el sistema de referencia que permita que las observaciones
medidas y anaacutelisis de los datos del sistema fiacutesico estudiado sean lo maacutes sencillos posible
El movimiento tiene el mismo caraacutecter tanto si estaacute referido a un hipoteacutetico sistema fijo
absoluto como si estaacute referido a unos sistemas animados con movimiento uniforme (v=cte)
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5
respecto de los primeros Por ello para referir un movimiento bastaraacute considerar como
sistema de referencia unos ejes que se desplacen con movimiento de traslacioacuten uniforme
que llamaremos sistemas referenciales inerciales o Galileanos
El movimiento referido a sistemas referenciales no-inerciales o sea con movimiento de
traslacioacuten no uniforme (con aceleracioacuten) o con movimiento de rotacioacuten es un tema de
considerable importancia cuyo estudio resuelve importantes problemas relacionados con
el movimiento de gran alcance como el de sateacutelites artificiales cohetes intercontinentales
caacutepsulas espaciales masas de aire corrientes marinas etc Pero no se trataraacute en este tema
22 Vector de posicioacuten de un moacutevil
La posicioacuten de un punto moacutevil en el espacio queda fijada por el vector de posicioacuten r
trazado desde el origen O de coordenadas hasta la posicioacuten del moacutevil P Las componentes
del vector r
(x y z) seraacuten las coordenadas del punto moacutevil en ese instante El moacutevil en su
movimiento describe una curva C llamada trayectoria del punto P
El movimiento de P queda totalmente especificado y determinado si se conocen las tres
coordenadas del vector como funciones del tiempo
)(txx = )(tyy = )(tzz =
llamadas ecuaciones parameacutetricas del movimiento En cada instante t los valores de x y z
corresponden a las coordenadas del punto ocupado por el moacutevil en dicho instante
Fiacutesicamente equivale a decir que todo movimiento puede considerarse descompuesto en
tres movimientos rectiliacuteneos sobre los tres ejes coordenados
De las ecuaciones parameacutetricas x = x(t) y = y(t) z = z(t) se deduce la ecuacioacuten de la
trayectoria del punto moacutevil con soacutelo eliminar entre ellas la variable independiente t
El vector de posicioacuten vendraacute dado por la expresioacuten vectorial
ktzjtyitxtrr
)middot()middot()middot()( ++==
expresioacuten que determina r
para cualquier instante t y se puede escribir de modo geneacuterico
como )(trr
= que es la ecuacioacuten vectorial del movimiento
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6
La distancia recorrida por el moacutevil es la suma de todas las longitudes recorridas en los
sucesivos intervalos de tiempo desde el instante inicial (to) al instante final (t) Esta
distancia constituye la trayectoria definida anteriormente y sobre ella el problema
cinemaacutetico consiste en determinar el camino recorrido en funcioacuten del tiempo es decir
s = s(t)
Vemos pues dos aspectos en el tratamiento de los problemas cinemaacuteticos El primero de
ellos y maacutes general partiendo del vector de posicioacuten )(trr
= del que se derivaraacuten todas las
ecuaciones vectoriales del movimiento vaacutelidas cualquiera que sea la trayectoria e
independiente del sistema de referencia Un segundo aspecto maacutes limitado determina
uacutenicamente el camino recorrido sobre la trayectoria mediante la expresioacuten s=s(t) de la que
se deducen las ecuaciones escalares del movimiento sobre la trayectoria para lo cual es
necesario fijar un punto inicial de origen en la trayectoria s=0 para referir a eacutel las
distancias recorridas y demaacutes variables cinemaacuteticas
23 Vector velocidad
Para el estudio del movimiento es necesario conocer la posicioacuten del moacutevil en cada
instante que vendraacute dada por el vector de posicioacuten y la variacioacuten de esta posicioacuten con el
tiempo que vendraacute dada por el vector velocidad
Si un moacutevil se encuentra en un instante dado en la posicioacuten P (dada por el vector de
posicioacuten r
) y un intervalo t despueacutes se encuentra en Q (dada por el vector de posicioacuten r
+ r
) el moacutevil ha sufrido un desplazamiento vectorial r
y ha recorrido un intervalo de
trayectoria s y son por definicioacuten diferentes y no coincidentes Soacutelo en el caso liacutemite de
que el intervalo de tiempo sea infinitesimal ambos conceptos seraacuten coincidentes en el
graacutefico y el moacutedulo de r
coincidiraacute con s
Se define el vector velocidad media mv
como el
cociente
t
rvm
=
que es un vector de direccioacuten y sentido ideacutentico al vector
desplazamiento r
pues el escalar t seraacute siempre
positivo La direccioacuten del vector desplazamiento y por ello
la del vector velocidad media es la direccioacuten de la cuerda
del arco PQ
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7
Anaacutelogamente se define la velocidad media en la trayectoria vm (magnitud escalar) al
cociente de la trayectoria recorrida en el tiempo empleado
t
svm
=
Ambas velocidades medias una vectorial y otra escalar no son generalmente de igual
moacutedulo pues sr
como puede apreciarse en la Fig2
Si reducimos el intervalo de tiempo t hasta valores muy pequentildeos que tiendan a cero
el vector velocidad quedaraacute referido a un intervalo infinitamente pequentildeo y se llamaraacute
vector velocidad instantaacutenea o simplemente vector velocidad
dt
rd
t
rlimvt
=
=
rarr 0 (a)
Anaacutelogamente se definiraacute la velocidad instantaacutenea sobre la trayectoria como
dt
ds
t
slimvt
=
=
rarr 0 (b)
Ambas expresiones estaacuten relacionadas entre siacute como demostraremos a continuacioacuten Si
consideramos el vector velocidad instantaacutenea
t
slim
s
rlim
s
s
t
rlimv
tst
=
=
rarrrarrrarr 000
El 1er liacutemite es un vector de moacutedulo 1 ya que r
y s tienden a ser iguales cuando
srarr0 pues el arco (s) y la cuerda ( r
) se confunden cuando se hacen infinitamente
pequentildeos y tiene direccioacuten tangente a la trayectoria La direccioacuten de r
(inicialmente
secante a la curva) tiende hacia una direccioacuten tangente cuando s se hace infinitamente
pequentildeo Por tanto el primer liacutemite representa un vector unitario tangente a la trayectoria
en el punto
t
su
ds
rd
s
rlim
==
rarr 0 (vector unitario tangente) pues 1=
rarr PQ
PQlim
QP
El 2ordm liacutemite es el que hemos definido como velocidad media en la trayectoria calculada
en un intervalo reducido que tiende a cero
vt
slimt
=
rarr 0 (velocidad instantaacutenea sobre la trayectoria)
Finalmente resultaraacute tuvv
middot= (c)
el vector velocidad instantaacutenea es un vector tangente a la trayectoria que tiene por
moacutedulo la velocidad instantaacutenea calculada sobre la trayectoria y que llamaremos
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8
simplemente celeridad (Recordemos que todo vector puede expresarse como el producto
de su moacutedulo por un vector unitario en la direccioacuten del vector)
Teniendo en cuenta la expresioacuten de
ktzjtyitxr
)middot()middot()middot( ++=
el vector velocidad tambieacuten puede expresarse en un sistema cartesiano mediante la deri-
vada del vector de posicioacuten
kdt
tdzj
dt
tdyi
dt
tdx
dt
rdv
)()()(
++==
y la celeridad o moacutedulo de la velocidad seraacute
21222
+
+
==
dt
dz
dt
dy
dt
dxvv
que seraacute una funcioacuten del tiempo como lo son las componentes dxdt dydt y dzdt
24 Vector aceleracioacuten
El movimiento de un punto material en su forma maacutes general tiene en cada punto de
la trayectoria un vector de posicioacuten y un vector velocidad diferentes lo que significa una
variacioacuten de la velocidad tanto en moacutedulo como en direccioacuten y sentido
En el instante t la velocidad del punto moacutevil
situado en P es v
y despueacutes de transcurrido un
intervalo de tiempo t es decir en el instante t+t
la velocidad del moacutevil situado en Q es v
+ v
Definimos el vector aceleracioacuten media al cociente
entre la variacioacuten del vector velocidad y el
intervalo de tiempo transcurrido Es un vector que
tiene la misma direccioacuten y sentido que v
t
vam
=
Considerando un intervalo de tiempo infinitamente pequentildeo que tienda a cero
podemos definir el vector aceleracioacuten instantaacutenea o simplemente el vector aceleracioacuten
como el valor en el liacutemite de la relacioacuten Vt cuando t tiende a cero es decir
2
2
0 dt
rd
dt
rd
dt
d
dt
vd
t
vlimat
=
==
=
rarr
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9
El vector aceleracioacuten tendraacute por componentes
kdt
zdj
dt
ydi
dt
xdk
dt
dvj
dt
dvi
dt
dva zyx
2
2
2
2
2
2
++=++=
y su moacutedulo seraacute
2
2
22
2
22
2
2
+
+
==
dt
zd
dt
yd
dt
xdaa
25 Componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
De la propia definicioacuten del vector aceleracioacuten a
se deduce que en general no es ni
tangente a la trayectoria (pues implicariacutea una direccioacuten constante en V
) ni perpendicular a
ella (pues implicariacutea un moacutedulo constante en V
) y por ello puede ser descompuesto en
dos componentes una tangente y otra perpendicular a la trayectoria que se llamaraacuten
componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten Dichas componentes estaacuten situadas en un
sistema de coordenadas intriacutenseco al moacutevil con ejes tangente y normal a la trayectoria e
independiente de cualquier sistema de referencia
Aplicando la definicioacuten de a
a la expresioacuten del vector velocidad resultaraacute
( )dt
udvu
dt
dvuv
dt
d
dt
vda t
tt
middotmiddotmiddot +=== (d)
como vemos a
tiene dos componentes vectoriales una de ellas es tangente a la
trayectoria de moacutedulo dvdt que llamaremos aceleracioacuten tangencial
El uacuteltimo teacutermino de la expresioacuten (d) dutdt se transforma en
vds
ud
dt
ds
ds
ud
dt
ud ttt
== (V=celeridad o moacutedulo de la velocidad) (e)
y el factor dsud t
es un vector que representa la deri-
vada del vector unitario tangente (de moacutedulo cons-
tante) con respecto al arco Se demuestra asiacute como tu
es un vector unitario su derivada dsud t
respecto a
un escalar es perpendicular a tu
Estos vectores estaacuten
en el llamado plano osculador determinado por dos
tangentes consecutivas a un punto y el vector dsud t
tiene la direccioacuten de la normal principal (perpendi-
cular a la trayectoria con-tenida en el plano osculador)
FIG4
ut ut
ut ut
ut
s
r
+
rr
r
+
C
QR
C
S
P
O
s=r
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10
y su sentido es el de la concavidad por consiguiente
n
tt uds
ud
ds
ud
middot= (f)
Calculemos ahora el moacutedulo de dsud t
Sean dos puntos P y Q de la curva de la fig 4
y sean tu
y tu
+ tu
los vectores unitarios tangentes sobre dichos puntos P y Q
respectivamente (Por Q se traza el equipolente a tu
En el plano osculador se trazan las
perpendiculares a la curva en P y Q Consideremos que P y Q son consecutivos por ello el
arco PQ=∆s se confunde con un arco de circunferencia de centro en O y radio r y se puede
escribir ∆s=r∆ϕ)
En el triaacutengulo QRS que es isoacutesceles por ser tt uuu
+= se cumple
2middotsen2
2middotsenmiddot2
=
= tt uu
pues 1=tu
dividiendo por ∆s resultaraacute
ssss
u t
=
=
=
middot
2
2sen
middot2middotsen2
2middotsen2
y pasando al liacutemite para ∆srarr0 resultaraacute
slim
s
ulim
s
t
s
=
rarrrarr
00
pues 1
2
2sen
0=
rarr
lim
y por ello ds
d
ds
ud t = y considerando que ∆s=r∆ϕ rarr ds=rdϕ
resultando rds
ud t 1= que es la inversa del radio de curvatura
Por tanto sustituyendo en (f) nt u
rds
ud
middot1
= y luego sustituyendo en (e)
nt u
r
v
dt
ud middot= y eacutesta finalmente en (c) resulta nt u
r
vu
dt
dva
2
+=
lo que demuestra que el vector aceleracioacuten a
no tiene ni direccioacuten
normal ni direccioacuten tangente a la trayectoria pues presenta dos
componentes en estas direcciones Uacutenicamente se puede asegurar
que el sentido de la componente normal es hacia el interior de la
concavidad de la trayectoria Las componentes son FIG 5
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11
Aceleracioacuten tangencial tt u
dt
dva
= y su moacutedulo
dt
dv
Aceleracioacuten normal (centriacutepeta) nn ur
va
middot
2
= y su moacutedulo r
v2
La aceleracioacuten tangencial ta
puede ser positiva si estaacute dirigida en la direccioacuten de v
y
negativa si estaacute dirigida en sentido contrario a v
y la aceleracioacuten normal na
es siempre
positiva y dirigida hacia la concavidad de la curva El moacutedulo de la aceleracioacuten en funcioacuten
de sus componentes seraacute
222
22
+
=+==
r
v
dt
dvaaaa nt
y el aacutengulo que forma la aceleracioacuten con la tangente a la trayectoria vendraacute dado por
t
n
t
n
A
A
A
Aarctgtg ==
Las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten son de gran importancia en cinemaacutetica
pues nos da cada una de ellas un aspecto de la variacioacuten de la velocidad con el tiempo La
aceleracioacuten tangencial nos da la variacioacuten del moacutedulo de la velocidad con el tiempo y la
aceleracioacuten normal nos da la variacioacuten de la direccioacuten de la velocidad con el tiempo La
clasificacioacuten de los movimientos debe hacerse por los valores de dichas componentes y de
ellas se deducen sus ecuaciones
El caacutelculo de las componentes intriacutensecas tambieacuten se puede realizar mediante el si-
guiente mecanismo vectorial
Aceleracioacuten tangencial De la derivada del vector de posicioacuten se obtiene el vector
velocidad y derivando por segunda vez se obtiene el vector aceleracioacuten y a partir de
ambas se realiza su producto escalar
v
vaayavvava tt
bull
===bull cos
y la direccioacuten del vector unitario tangente seraacute v
vu
= luego ( )
2v
vvauaa ttt
bull
==
Aceleracioacuten normal A partir de los mismos vectores a
y v
realizamos su producto
vectorial
navvava sen ==
y v
vaan
=
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12
y la direccioacuten del vector unitario normal seraacute )(
)(
vav
vavun
=
como puede demostrarse faacutecilmente en la figura 3
26 Concepto de radio de curvatura
Si tomamos tres puntos muy proacuteximos sobre
una curva P P y P de las circunferencias tan-
gentes a la curva en P la que tiene en dicho punto
un contacto tal que P y P pertenezcan a ella
cuando eacutestos tienden a confundirse con P la
llamamos circunferencia o ciacuterculo osculador E1
radio de este ciacuterculo lo llamamos radio de
curvatura y al centro centro de curvatura El
ciacuterculo osculador pertenece al plano determi-
nado por dos tangentes sucesivas a la curva en P
y P por ejemplo cuando ambos puntos tienden a
confundirse uno sobre otro A este plano se le
denomina plano osculador
FIG6
3 Movimientos de especial intereacutes
31 Movimiento uniforme
El movimiento uniforme es aquel en el que las componentes intriacutensecas de la acele-
racioacuten son ambas nulas es decir 0=na
y 0=ta
De la primera se deduce
2van = y por ser v 0 rarr =
y el movimiento es de radio de curvatura infinito o sea movimiento rectiliacuteneo
De la segunda se deduce dt
dvat = = 0 o sea v = cte
y el movimiento tiene moacutedulo de velocidad constante es decir es uniforme
De ambas condiciones se deduce que el vector velocidad v
es constante en moacutedulo
direccioacuten y sentido ( ctev =
) y como estaacute definido por
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13
dt
rdv
= luego dtvrd
=
que integrando = dtvrd
rarr 00 rtvr
+=
donde 0r
es la constante de integracioacuten (vectorial) y
representa el vector de posicioacuten inicial para el instante
inicial t = 0 (Fig7) FIG 7
Si tomamos como origen de coordenadas un punto situado en la propia trayectoria C
del movimiento todoslos vectores implicados en la ecuacioacuten 0r
r
y 0v
tendraacuten la misma
direccioacuten y se podraacute escribir tvss o+= 0 donde 0s s y 0v seraacuten los moacutedulos de los
vectores correspondientes
32 Movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
Este movimiento se caracteriza por que sus componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
toman los valores an = 0 y at = cte ne 0
De la primera se deduce como en el caso anterior que el radio es infinito r = y por
consiguiente el movimiento tiene trayectoria rectiliacutenea
De la segunda se obtiene dvdt=at (constante) siendo eacutesta ademaacutes la aceleracioacuten total
(por ser la uacutenica) pues
ttnt aaaaa ==+= 222
y como la aceleracioacuten tangencial tiene direccioacuten tangente a la trayectoria igual que la
velocidad se podraacute escribir
aadtvd t
== o bien dtavd
= e integrando = dtavd
resulta
0 vtav
+=
siendo 0v
la constante de integracioacuten que corresponde con la velocidad inicial o velocidad
para t = 0
Si sustituimos esta expresioacuten en la ecuacioacuten de definicioacuten de v
resulta
tavdt
rdv 0
+== o bien dttadtvrd 0
+=
e integrando += dttadtvrd 0
rarr 2
00 2
1 tatvrr
++=
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14
donde 0r
es la constante de integracioacuten que representa el vector de posicioacuten en el instante
inicial t = 0
Si elegimos como origen de coordenadas un
punto situado en la propia trayectoria recta C del
movimiento resultaraacuten r
0r
0v
a
vectores
todos ellos de la misma direccioacuten y podraacuten
escribirse las ecuaciones anteriores soacutelo con sus
moacutedulos es decir FIG 8
2
00 2
1 tatvss ++= y tavv 0 +=
Entre ambas ecuaciones podemos eliminar el tiempo t para obtener una ecuacioacuten de la
velocidad en funcioacuten del espacio y la aceleracioacuten v=f(sa)
despejando t de la segunda ecuacioacuten a
vvt ominus
=
y sustituyendo en la ecuacioacuten del espacio resulta
2
2
2
1 0
2
0
22
00
0
2
00
00 =minus+
+minus
+=
minus+
minus+=
a
vvvv
a
vvvs
a
vva
a
vvvss
a
vvs
a
vvvvvvvs
22
222
2
0
2
0
0
2
0
22
00
0
minus+=
minus++minus+=
de donde a
vvss
2
2
0
2
0
minus=minus resultando )(2 0
2
0
2 ssavv minus+=
En el caso de que el origen de coordenadas sea arbitrario y esteacute fuera de la trayectoria
la expresioacuten vectorial anterior
2
002
1tatvrr
++= puede ponerse 2
002
1tatvrr
+=minus
resultando que los vectores 0rr
minus 0v
y a
tienen todos la misma direccioacuten como puede
apreciarse en la figura 8 y pueden escribirse por sus moacutedulos llamando 0rrs
minus=
resultando 2
02
1attvs +=
Si se trata de un movimiento uniformemente retardado (decelerado) la aceleracioacuten seraacute
negativa y si el movimiento se debe a la accioacuten gravitatoria en recorridos cortos muy
proacuteximos a la superficie de la Tierra la aceleracioacuten se puede considerar constante e igual a
a = g = 9rsquo8 ms2 = 980 cms2 y se denomina movimiento de caiacuteda libre
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15
33 Movimiento circular uniforme
Para este movimiento las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los si-
guientes valores an = cte ne 0 y at= 0
De la segunda condicioacuten at=dvdt=0 se deduce que v=cte y como la primera condicioacuten
implica an=v2=cte de todo ello se deduce que =cte y la trayectoria ha de ser circular de
radio La aceleracioacuten total del movimiento seraacute
nnt aaaa
=+=
y la velocidad seraacute constante en moacutedulo pero no en direccioacuten En consecuencia la
ecuacioacuten que nos daraacute el espacio recorrido por el moacutevil a lo largo de su trayectoria circular
es la misma que la correspondiente al movimiento uniforme y rectiliacuteneo midiendo los
espacios sobre la circunferencia tvss 0 +=
En este tipo de movimiento interesa conocer el aacutengulo girado por el radio-vector que
une el centro con el moacutevil Recordando que Arco(m)=Radio(m)Angulo(rad)
resulta S = ϕ y derivando respecto al tiempo resultaraacute
dt
d
dt
ds middot= es decir
dt
dv
=
Esta uacuteltima derivada representa la variacioacuten del aacutengulo girado por el vector de posicioacuten
en la unidad de tiempo a lo que se le llama velocidad angular y se representa por
=ddt resultando v= ( rarr rads)
Por convenio se representa la velocidad angular por un vector axial normal al plano de
la circunferencia (plano de r
y v
) de sentido el correspondiente a la regla del sacacorchos
(regla de Maxwell) y de moacutedulo proporcional a su valor por ello puede escribirse
=v
expresioacuten que tambieacuten puede escribirse asiacute
=minus= AOv
es decir la velocidad tangencial v
es el momento del
vector velocidad angular
con respecto al punto A
34 Movimiento circular uniformemente acelerado
En eacutel las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los siguientes valores
an=v2 cte t2 y at=dvdt=cte
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16
tendraacute como trayectoria una circunferencia de radio y sobre ella el movimiento vendraacute
descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado
2
002
1tatvss t++= tavv t+= 0 )(2 0
2
0
2 ssavv t minus+=
Como la velocidad no es constante tampoco lo seraacute la velocidad angular relacionada
con aquella mediante el radio v= y por ello derivando con respecto al tiempo
resultaraacute
( )
dt
d
dt
d
dt
dv== o sea a =
donde =ddt es la aceleracioacuten angular o variacioacuten de la velocidad angular con respecto
al tiempo Se mide en rads2 en el sistema Internacional (SI)
Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en funcioacuten de las magnitudes angula-res a
partir de = ddt y = ddt e integrando
= 0 + t 2 = 02 + 2
35 Movimiento armoacutenico simple
Llamamos movimiento perioacutedico a cualquier movimiento que se repite a intervalos
iguales de tiempo Por ejemplo el movimiento de una masa sujeta a un muelle el movi-
miento de un peacutendulo las vibraciones de los aacutetomos de una moleacutecula etc Cuando una
partiacutecula que realiza un movimiento perioacutedico se mueve alternativamente en un sentido y
otro sobre una misma trayectoria recibe el nombre de movimiento oscilatorio
El movimiento oscilatorio maacutes importante es el movimiento armoacutenico simple (MAS)
por ser el maacutes faacutecil de describir matemaacuteticamente y constituye un modelo exacto o
aproximado para muchos sistemas fiacutesicos
Decimos que una partiacutecula que se mueve a lo largo del eje X realiza un MAS centrado
en el origen O de dicho sistema coordenado cuando su desplazamiento X con respecto al
origen viene expresado en funcioacuten del tiempo en la forma
( ) += tAx sen
donde A y son constantes propias del movimiento armoacutenico
La distancia X que separa la partiacutecula del origen O recibe el nombre de elongacioacuten El
valor absoluto de la elongacioacuten maacutexima A se denomina amplitud La cantidad t+
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17
(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase
inicial para t=0
Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2 la partiacutecula completa una oscilacioacuten
luego el periodo es T=2 La frecuencia del movimiento es el nuacutemero de oscilaciones
que se completan en la unidad de tiempo [=1T (cicloss=herzios (Hz))]
La constante es la frecuencia angular o pulsacioacuten (=2=s-1)
La velocidad de la partiacutecula que realiza un Movimiento Armoacutenico Simple viene dada
por la derivada de la elongacioacuten respecto del tiempo
( )
++=+==
2sencos
tAtA
dt
dxv
La aceleracioacuten de la partiacutecula se determina haciendo la derivada de la velocidad
respecto del tiempo
( ) XtAdt
dva sen 22 minus=+minus==
Considerando a=Fm la fuerza que deberaacute actuar sobre una partiacutecula para que realice un
Movimiento Armoacutenico Simple debe ser tambieacuten proporcional a la elongacioacuten de la
partiacutecula y de signo contrario a eacutesta
F = ma = -m2x = -kx
donde k = m2 llamada constante armoacutenica
36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos
Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultaacuteneos independientes realiza
un movimiento compuesto que resulta de la combinacioacuten de aquellos La composicioacuten de
dos o maacutes movimientos se realiza calculando el vector de posicioacuten del movimiento
resultante como suma de los vectores de posicioacuten de los movimientos componentes
Esto se apoya en el ldquoPrincipio de Galileordquo o de independencia de los movimientos ldquoSi
un punto estaacute dotado por dos causas diferentes de dos movimientos simultaacuteneos su cambio de
posicioacuten es independiente de que los dos movimientos actuacuteen sucesiva o simultaacuteneamenterdquo
De lo anterior se deduce que el vector de posicioacuten r
es la suma de los vectores de
posicioacuten de los movimientos individuales
4321 ++++= rrrrr
y derivando 4321 ++++= vvvvv
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18
es decir la velocidad de un movimiento compuesto es en todo momento la suma
vectorial de las velocidades de los movimientos componentes
361 Descripcioacuten de casos elementales
A) Un nadador que avanza en la direccioacuten y sentido de la corriente (dos movimientos
rectiliacuteneos y uniformes en la misma direccioacuten y sentido)
v = v1 + v2 a = 0
s = s1 + s2 = (v1 + v2)t
B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectiliacuteneos y
uniformes de la misma direccioacuten y de sentidos contrarios)
v = v1 - v2 a = 0
s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)
C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos
rec-tiliacuteneos y uniformes de direcciones perpendiculares)
2
2
2
121
2
2
2
1 ordm90middotcos2 vvvsivvvvv +==++=
el espacio recorrido seraacute
tvvssss middot2
2
2
1
2
2
2
1+=rarr+=
y el aacutengulo de direccioacuten resultante
1
2
1
2tgs
s
v
v==
D) Dos movimientos rectiliacuteneos uniformemente acelerados en la misma direccioacuten
++=
++=
2
202022
2
101011
2
1middot
2
1middot
tatvss
tatvss sumando
2
21201020121 )(2
1)()( taatvvsssss o +++++=+=
taavvdt
dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa
dt
dva +==
E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma
direccioacuten dados por
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19
middot
2
1middot
middot
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1)()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado
362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda
Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante
vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del
avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior
con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo
posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
minus=
=
El aacutengulo de v con la horizontal seraacute
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es
jgtivv x
minus=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r
resulta
jgtitvr x
2
1 2minus=
por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten
dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la
trayectoria
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20
)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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21
que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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22
=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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23
( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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24
41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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25
donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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26
- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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27
aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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28
5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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4
2 Elementos para la descripcioacuten del movimiento
21 Sistemas de referencia
Para un estudio correcto del movimiento hemos de elegir en primer lugar un sistema de
referencia (generalmente establecido por un sistema de coordenadas) al cual referir la
posicioacuten de un punto material mediante unas coordenadas numeacutericas El punto estaraacute en
reposo cuando las coordenadas respecto al sistema de referencia no variacuteen con el tiempo y
estaraacute en movimiento cuando al menos una coordenada variacutee con el tiempo
Generalizando la definicioacuten a un cuerpo formado por muchos puntos materiales
diremos que estaacute en movimiento cuando al menos una coordenada de cualquiera de sus
puntos variacutea con el tiempo En esta definicioacuten de movimiento quedan englobados todos
los tipos de movimiento que un cuerpo pueda tener traslacioacuten rotacioacuten vibracioacuten de-
formacioacuten etc
Consideraremos en cinemaacutetica el movimiento del cuerpo maacutes sencillo el punto
material o partiacutecula material cuyas dimensiones pueden despreciarse al estudiar el
movimiento La aplicacioacuten del concepto del Punto Material a los sistemas reales de la
naturaleza depende de las condiciones especiacuteficas del problema asiacute por ejemplo los
planetas pueden considerarse puntos materiales cuando se estudian sus movimientos
alrededor del Sol referido a un sistema de referencia fijo en eacuteste pero no pueden
considerarse puntos materiales si se estudian los movimientos de rotacioacuten alrededor de
sus propios ejes
El movimiento es un concepto relativo pues debe referirse a un sistema particular de
referencia elegido arbitrariamente y considerado fijo Las observaciones hechas en la
Tierra estaacuten referidas a un sistema referencial situado en ella y por ende en movimiento
con la propia Tierra Los astroacutenomos prefieren referir el movimiento estelar a un sistema
de ldquoestrellas fijasrdquo aunque el sistema adolece del mismo defecto pues estos puntos con-
siderados fijos aunque poco variacutean sus posiciones con el tiempo
El sistema de referencia fijo absoluto no existe por imposibilidad de fijar dicho sistema
en el espacio ya que implicariacutea a su vez otra referencia fija por si misma de manera
absoluta
Normalmente debe elegirse el sistema de referencia que permita que las observaciones
medidas y anaacutelisis de los datos del sistema fiacutesico estudiado sean lo maacutes sencillos posible
El movimiento tiene el mismo caraacutecter tanto si estaacute referido a un hipoteacutetico sistema fijo
absoluto como si estaacute referido a unos sistemas animados con movimiento uniforme (v=cte)
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5
respecto de los primeros Por ello para referir un movimiento bastaraacute considerar como
sistema de referencia unos ejes que se desplacen con movimiento de traslacioacuten uniforme
que llamaremos sistemas referenciales inerciales o Galileanos
El movimiento referido a sistemas referenciales no-inerciales o sea con movimiento de
traslacioacuten no uniforme (con aceleracioacuten) o con movimiento de rotacioacuten es un tema de
considerable importancia cuyo estudio resuelve importantes problemas relacionados con
el movimiento de gran alcance como el de sateacutelites artificiales cohetes intercontinentales
caacutepsulas espaciales masas de aire corrientes marinas etc Pero no se trataraacute en este tema
22 Vector de posicioacuten de un moacutevil
La posicioacuten de un punto moacutevil en el espacio queda fijada por el vector de posicioacuten r
trazado desde el origen O de coordenadas hasta la posicioacuten del moacutevil P Las componentes
del vector r
(x y z) seraacuten las coordenadas del punto moacutevil en ese instante El moacutevil en su
movimiento describe una curva C llamada trayectoria del punto P
El movimiento de P queda totalmente especificado y determinado si se conocen las tres
coordenadas del vector como funciones del tiempo
)(txx = )(tyy = )(tzz =
llamadas ecuaciones parameacutetricas del movimiento En cada instante t los valores de x y z
corresponden a las coordenadas del punto ocupado por el moacutevil en dicho instante
Fiacutesicamente equivale a decir que todo movimiento puede considerarse descompuesto en
tres movimientos rectiliacuteneos sobre los tres ejes coordenados
De las ecuaciones parameacutetricas x = x(t) y = y(t) z = z(t) se deduce la ecuacioacuten de la
trayectoria del punto moacutevil con soacutelo eliminar entre ellas la variable independiente t
El vector de posicioacuten vendraacute dado por la expresioacuten vectorial
ktzjtyitxtrr
)middot()middot()middot()( ++==
expresioacuten que determina r
para cualquier instante t y se puede escribir de modo geneacuterico
como )(trr
= que es la ecuacioacuten vectorial del movimiento
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6
La distancia recorrida por el moacutevil es la suma de todas las longitudes recorridas en los
sucesivos intervalos de tiempo desde el instante inicial (to) al instante final (t) Esta
distancia constituye la trayectoria definida anteriormente y sobre ella el problema
cinemaacutetico consiste en determinar el camino recorrido en funcioacuten del tiempo es decir
s = s(t)
Vemos pues dos aspectos en el tratamiento de los problemas cinemaacuteticos El primero de
ellos y maacutes general partiendo del vector de posicioacuten )(trr
= del que se derivaraacuten todas las
ecuaciones vectoriales del movimiento vaacutelidas cualquiera que sea la trayectoria e
independiente del sistema de referencia Un segundo aspecto maacutes limitado determina
uacutenicamente el camino recorrido sobre la trayectoria mediante la expresioacuten s=s(t) de la que
se deducen las ecuaciones escalares del movimiento sobre la trayectoria para lo cual es
necesario fijar un punto inicial de origen en la trayectoria s=0 para referir a eacutel las
distancias recorridas y demaacutes variables cinemaacuteticas
23 Vector velocidad
Para el estudio del movimiento es necesario conocer la posicioacuten del moacutevil en cada
instante que vendraacute dada por el vector de posicioacuten y la variacioacuten de esta posicioacuten con el
tiempo que vendraacute dada por el vector velocidad
Si un moacutevil se encuentra en un instante dado en la posicioacuten P (dada por el vector de
posicioacuten r
) y un intervalo t despueacutes se encuentra en Q (dada por el vector de posicioacuten r
+ r
) el moacutevil ha sufrido un desplazamiento vectorial r
y ha recorrido un intervalo de
trayectoria s y son por definicioacuten diferentes y no coincidentes Soacutelo en el caso liacutemite de
que el intervalo de tiempo sea infinitesimal ambos conceptos seraacuten coincidentes en el
graacutefico y el moacutedulo de r
coincidiraacute con s
Se define el vector velocidad media mv
como el
cociente
t
rvm
=
que es un vector de direccioacuten y sentido ideacutentico al vector
desplazamiento r
pues el escalar t seraacute siempre
positivo La direccioacuten del vector desplazamiento y por ello
la del vector velocidad media es la direccioacuten de la cuerda
del arco PQ
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7
Anaacutelogamente se define la velocidad media en la trayectoria vm (magnitud escalar) al
cociente de la trayectoria recorrida en el tiempo empleado
t
svm
=
Ambas velocidades medias una vectorial y otra escalar no son generalmente de igual
moacutedulo pues sr
como puede apreciarse en la Fig2
Si reducimos el intervalo de tiempo t hasta valores muy pequentildeos que tiendan a cero
el vector velocidad quedaraacute referido a un intervalo infinitamente pequentildeo y se llamaraacute
vector velocidad instantaacutenea o simplemente vector velocidad
dt
rd
t
rlimvt
=
=
rarr 0 (a)
Anaacutelogamente se definiraacute la velocidad instantaacutenea sobre la trayectoria como
dt
ds
t
slimvt
=
=
rarr 0 (b)
Ambas expresiones estaacuten relacionadas entre siacute como demostraremos a continuacioacuten Si
consideramos el vector velocidad instantaacutenea
t
slim
s
rlim
s
s
t
rlimv
tst
=
=
rarrrarrrarr 000
El 1er liacutemite es un vector de moacutedulo 1 ya que r
y s tienden a ser iguales cuando
srarr0 pues el arco (s) y la cuerda ( r
) se confunden cuando se hacen infinitamente
pequentildeos y tiene direccioacuten tangente a la trayectoria La direccioacuten de r
(inicialmente
secante a la curva) tiende hacia una direccioacuten tangente cuando s se hace infinitamente
pequentildeo Por tanto el primer liacutemite representa un vector unitario tangente a la trayectoria
en el punto
t
su
ds
rd
s
rlim
==
rarr 0 (vector unitario tangente) pues 1=
rarr PQ
PQlim
QP
El 2ordm liacutemite es el que hemos definido como velocidad media en la trayectoria calculada
en un intervalo reducido que tiende a cero
vt
slimt
=
rarr 0 (velocidad instantaacutenea sobre la trayectoria)
Finalmente resultaraacute tuvv
middot= (c)
el vector velocidad instantaacutenea es un vector tangente a la trayectoria que tiene por
moacutedulo la velocidad instantaacutenea calculada sobre la trayectoria y que llamaremos
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8
simplemente celeridad (Recordemos que todo vector puede expresarse como el producto
de su moacutedulo por un vector unitario en la direccioacuten del vector)
Teniendo en cuenta la expresioacuten de
ktzjtyitxr
)middot()middot()middot( ++=
el vector velocidad tambieacuten puede expresarse en un sistema cartesiano mediante la deri-
vada del vector de posicioacuten
kdt
tdzj
dt
tdyi
dt
tdx
dt
rdv
)()()(
++==
y la celeridad o moacutedulo de la velocidad seraacute
21222
+
+
==
dt
dz
dt
dy
dt
dxvv
que seraacute una funcioacuten del tiempo como lo son las componentes dxdt dydt y dzdt
24 Vector aceleracioacuten
El movimiento de un punto material en su forma maacutes general tiene en cada punto de
la trayectoria un vector de posicioacuten y un vector velocidad diferentes lo que significa una
variacioacuten de la velocidad tanto en moacutedulo como en direccioacuten y sentido
En el instante t la velocidad del punto moacutevil
situado en P es v
y despueacutes de transcurrido un
intervalo de tiempo t es decir en el instante t+t
la velocidad del moacutevil situado en Q es v
+ v
Definimos el vector aceleracioacuten media al cociente
entre la variacioacuten del vector velocidad y el
intervalo de tiempo transcurrido Es un vector que
tiene la misma direccioacuten y sentido que v
t
vam
=
Considerando un intervalo de tiempo infinitamente pequentildeo que tienda a cero
podemos definir el vector aceleracioacuten instantaacutenea o simplemente el vector aceleracioacuten
como el valor en el liacutemite de la relacioacuten Vt cuando t tiende a cero es decir
2
2
0 dt
rd
dt
rd
dt
d
dt
vd
t
vlimat
=
==
=
rarr
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El vector aceleracioacuten tendraacute por componentes
kdt
zdj
dt
ydi
dt
xdk
dt
dvj
dt
dvi
dt
dva zyx
2
2
2
2
2
2
++=++=
y su moacutedulo seraacute
2
2
22
2
22
2
2
+
+
==
dt
zd
dt
yd
dt
xdaa
25 Componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
De la propia definicioacuten del vector aceleracioacuten a
se deduce que en general no es ni
tangente a la trayectoria (pues implicariacutea una direccioacuten constante en V
) ni perpendicular a
ella (pues implicariacutea un moacutedulo constante en V
) y por ello puede ser descompuesto en
dos componentes una tangente y otra perpendicular a la trayectoria que se llamaraacuten
componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten Dichas componentes estaacuten situadas en un
sistema de coordenadas intriacutenseco al moacutevil con ejes tangente y normal a la trayectoria e
independiente de cualquier sistema de referencia
Aplicando la definicioacuten de a
a la expresioacuten del vector velocidad resultaraacute
( )dt
udvu
dt
dvuv
dt
d
dt
vda t
tt
middotmiddotmiddot +=== (d)
como vemos a
tiene dos componentes vectoriales una de ellas es tangente a la
trayectoria de moacutedulo dvdt que llamaremos aceleracioacuten tangencial
El uacuteltimo teacutermino de la expresioacuten (d) dutdt se transforma en
vds
ud
dt
ds
ds
ud
dt
ud ttt
== (V=celeridad o moacutedulo de la velocidad) (e)
y el factor dsud t
es un vector que representa la deri-
vada del vector unitario tangente (de moacutedulo cons-
tante) con respecto al arco Se demuestra asiacute como tu
es un vector unitario su derivada dsud t
respecto a
un escalar es perpendicular a tu
Estos vectores estaacuten
en el llamado plano osculador determinado por dos
tangentes consecutivas a un punto y el vector dsud t
tiene la direccioacuten de la normal principal (perpendi-
cular a la trayectoria con-tenida en el plano osculador)
FIG4
ut ut
ut ut
ut
s
r
+
rr
r
+
C
QR
C
S
P
O
s=r
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y su sentido es el de la concavidad por consiguiente
n
tt uds
ud
ds
ud
middot= (f)
Calculemos ahora el moacutedulo de dsud t
Sean dos puntos P y Q de la curva de la fig 4
y sean tu
y tu
+ tu
los vectores unitarios tangentes sobre dichos puntos P y Q
respectivamente (Por Q se traza el equipolente a tu
En el plano osculador se trazan las
perpendiculares a la curva en P y Q Consideremos que P y Q son consecutivos por ello el
arco PQ=∆s se confunde con un arco de circunferencia de centro en O y radio r y se puede
escribir ∆s=r∆ϕ)
En el triaacutengulo QRS que es isoacutesceles por ser tt uuu
+= se cumple
2middotsen2
2middotsenmiddot2
=
= tt uu
pues 1=tu
dividiendo por ∆s resultaraacute
ssss
u t
=
=
=
middot
2
2sen
middot2middotsen2
2middotsen2
y pasando al liacutemite para ∆srarr0 resultaraacute
slim
s
ulim
s
t
s
=
rarrrarr
00
pues 1
2
2sen
0=
rarr
lim
y por ello ds
d
ds
ud t = y considerando que ∆s=r∆ϕ rarr ds=rdϕ
resultando rds
ud t 1= que es la inversa del radio de curvatura
Por tanto sustituyendo en (f) nt u
rds
ud
middot1
= y luego sustituyendo en (e)
nt u
r
v
dt
ud middot= y eacutesta finalmente en (c) resulta nt u
r
vu
dt
dva
2
+=
lo que demuestra que el vector aceleracioacuten a
no tiene ni direccioacuten
normal ni direccioacuten tangente a la trayectoria pues presenta dos
componentes en estas direcciones Uacutenicamente se puede asegurar
que el sentido de la componente normal es hacia el interior de la
concavidad de la trayectoria Las componentes son FIG 5
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Aceleracioacuten tangencial tt u
dt
dva
= y su moacutedulo
dt
dv
Aceleracioacuten normal (centriacutepeta) nn ur
va
middot
2
= y su moacutedulo r
v2
La aceleracioacuten tangencial ta
puede ser positiva si estaacute dirigida en la direccioacuten de v
y
negativa si estaacute dirigida en sentido contrario a v
y la aceleracioacuten normal na
es siempre
positiva y dirigida hacia la concavidad de la curva El moacutedulo de la aceleracioacuten en funcioacuten
de sus componentes seraacute
222
22
+
=+==
r
v
dt
dvaaaa nt
y el aacutengulo que forma la aceleracioacuten con la tangente a la trayectoria vendraacute dado por
t
n
t
n
A
A
A
Aarctgtg ==
Las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten son de gran importancia en cinemaacutetica
pues nos da cada una de ellas un aspecto de la variacioacuten de la velocidad con el tiempo La
aceleracioacuten tangencial nos da la variacioacuten del moacutedulo de la velocidad con el tiempo y la
aceleracioacuten normal nos da la variacioacuten de la direccioacuten de la velocidad con el tiempo La
clasificacioacuten de los movimientos debe hacerse por los valores de dichas componentes y de
ellas se deducen sus ecuaciones
El caacutelculo de las componentes intriacutensecas tambieacuten se puede realizar mediante el si-
guiente mecanismo vectorial
Aceleracioacuten tangencial De la derivada del vector de posicioacuten se obtiene el vector
velocidad y derivando por segunda vez se obtiene el vector aceleracioacuten y a partir de
ambas se realiza su producto escalar
v
vaayavvava tt
bull
===bull cos
y la direccioacuten del vector unitario tangente seraacute v
vu
= luego ( )
2v
vvauaa ttt
bull
==
Aceleracioacuten normal A partir de los mismos vectores a
y v
realizamos su producto
vectorial
navvava sen ==
y v
vaan
=
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12
y la direccioacuten del vector unitario normal seraacute )(
)(
vav
vavun
=
como puede demostrarse faacutecilmente en la figura 3
26 Concepto de radio de curvatura
Si tomamos tres puntos muy proacuteximos sobre
una curva P P y P de las circunferencias tan-
gentes a la curva en P la que tiene en dicho punto
un contacto tal que P y P pertenezcan a ella
cuando eacutestos tienden a confundirse con P la
llamamos circunferencia o ciacuterculo osculador E1
radio de este ciacuterculo lo llamamos radio de
curvatura y al centro centro de curvatura El
ciacuterculo osculador pertenece al plano determi-
nado por dos tangentes sucesivas a la curva en P
y P por ejemplo cuando ambos puntos tienden a
confundirse uno sobre otro A este plano se le
denomina plano osculador
FIG6
3 Movimientos de especial intereacutes
31 Movimiento uniforme
El movimiento uniforme es aquel en el que las componentes intriacutensecas de la acele-
racioacuten son ambas nulas es decir 0=na
y 0=ta
De la primera se deduce
2van = y por ser v 0 rarr =
y el movimiento es de radio de curvatura infinito o sea movimiento rectiliacuteneo
De la segunda se deduce dt
dvat = = 0 o sea v = cte
y el movimiento tiene moacutedulo de velocidad constante es decir es uniforme
De ambas condiciones se deduce que el vector velocidad v
es constante en moacutedulo
direccioacuten y sentido ( ctev =
) y como estaacute definido por
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13
dt
rdv
= luego dtvrd
=
que integrando = dtvrd
rarr 00 rtvr
+=
donde 0r
es la constante de integracioacuten (vectorial) y
representa el vector de posicioacuten inicial para el instante
inicial t = 0 (Fig7) FIG 7
Si tomamos como origen de coordenadas un punto situado en la propia trayectoria C
del movimiento todoslos vectores implicados en la ecuacioacuten 0r
r
y 0v
tendraacuten la misma
direccioacuten y se podraacute escribir tvss o+= 0 donde 0s s y 0v seraacuten los moacutedulos de los
vectores correspondientes
32 Movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
Este movimiento se caracteriza por que sus componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
toman los valores an = 0 y at = cte ne 0
De la primera se deduce como en el caso anterior que el radio es infinito r = y por
consiguiente el movimiento tiene trayectoria rectiliacutenea
De la segunda se obtiene dvdt=at (constante) siendo eacutesta ademaacutes la aceleracioacuten total
(por ser la uacutenica) pues
ttnt aaaaa ==+= 222
y como la aceleracioacuten tangencial tiene direccioacuten tangente a la trayectoria igual que la
velocidad se podraacute escribir
aadtvd t
== o bien dtavd
= e integrando = dtavd
resulta
0 vtav
+=
siendo 0v
la constante de integracioacuten que corresponde con la velocidad inicial o velocidad
para t = 0
Si sustituimos esta expresioacuten en la ecuacioacuten de definicioacuten de v
resulta
tavdt
rdv 0
+== o bien dttadtvrd 0
+=
e integrando += dttadtvrd 0
rarr 2
00 2
1 tatvrr
++=
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14
donde 0r
es la constante de integracioacuten que representa el vector de posicioacuten en el instante
inicial t = 0
Si elegimos como origen de coordenadas un
punto situado en la propia trayectoria recta C del
movimiento resultaraacuten r
0r
0v
a
vectores
todos ellos de la misma direccioacuten y podraacuten
escribirse las ecuaciones anteriores soacutelo con sus
moacutedulos es decir FIG 8
2
00 2
1 tatvss ++= y tavv 0 +=
Entre ambas ecuaciones podemos eliminar el tiempo t para obtener una ecuacioacuten de la
velocidad en funcioacuten del espacio y la aceleracioacuten v=f(sa)
despejando t de la segunda ecuacioacuten a
vvt ominus
=
y sustituyendo en la ecuacioacuten del espacio resulta
2
2
2
1 0
2
0
22
00
0
2
00
00 =minus+
+minus
+=
minus+
minus+=
a
vvvv
a
vvvs
a
vva
a
vvvss
a
vvs
a
vvvvvvvs
22
222
2
0
2
0
0
2
0
22
00
0
minus+=
minus++minus+=
de donde a
vvss
2
2
0
2
0
minus=minus resultando )(2 0
2
0
2 ssavv minus+=
En el caso de que el origen de coordenadas sea arbitrario y esteacute fuera de la trayectoria
la expresioacuten vectorial anterior
2
002
1tatvrr
++= puede ponerse 2
002
1tatvrr
+=minus
resultando que los vectores 0rr
minus 0v
y a
tienen todos la misma direccioacuten como puede
apreciarse en la figura 8 y pueden escribirse por sus moacutedulos llamando 0rrs
minus=
resultando 2
02
1attvs +=
Si se trata de un movimiento uniformemente retardado (decelerado) la aceleracioacuten seraacute
negativa y si el movimiento se debe a la accioacuten gravitatoria en recorridos cortos muy
proacuteximos a la superficie de la Tierra la aceleracioacuten se puede considerar constante e igual a
a = g = 9rsquo8 ms2 = 980 cms2 y se denomina movimiento de caiacuteda libre
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15
33 Movimiento circular uniforme
Para este movimiento las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los si-
guientes valores an = cte ne 0 y at= 0
De la segunda condicioacuten at=dvdt=0 se deduce que v=cte y como la primera condicioacuten
implica an=v2=cte de todo ello se deduce que =cte y la trayectoria ha de ser circular de
radio La aceleracioacuten total del movimiento seraacute
nnt aaaa
=+=
y la velocidad seraacute constante en moacutedulo pero no en direccioacuten En consecuencia la
ecuacioacuten que nos daraacute el espacio recorrido por el moacutevil a lo largo de su trayectoria circular
es la misma que la correspondiente al movimiento uniforme y rectiliacuteneo midiendo los
espacios sobre la circunferencia tvss 0 +=
En este tipo de movimiento interesa conocer el aacutengulo girado por el radio-vector que
une el centro con el moacutevil Recordando que Arco(m)=Radio(m)Angulo(rad)
resulta S = ϕ y derivando respecto al tiempo resultaraacute
dt
d
dt
ds middot= es decir
dt
dv
=
Esta uacuteltima derivada representa la variacioacuten del aacutengulo girado por el vector de posicioacuten
en la unidad de tiempo a lo que se le llama velocidad angular y se representa por
=ddt resultando v= ( rarr rads)
Por convenio se representa la velocidad angular por un vector axial normal al plano de
la circunferencia (plano de r
y v
) de sentido el correspondiente a la regla del sacacorchos
(regla de Maxwell) y de moacutedulo proporcional a su valor por ello puede escribirse
=v
expresioacuten que tambieacuten puede escribirse asiacute
=minus= AOv
es decir la velocidad tangencial v
es el momento del
vector velocidad angular
con respecto al punto A
34 Movimiento circular uniformemente acelerado
En eacutel las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los siguientes valores
an=v2 cte t2 y at=dvdt=cte
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16
tendraacute como trayectoria una circunferencia de radio y sobre ella el movimiento vendraacute
descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado
2
002
1tatvss t++= tavv t+= 0 )(2 0
2
0
2 ssavv t minus+=
Como la velocidad no es constante tampoco lo seraacute la velocidad angular relacionada
con aquella mediante el radio v= y por ello derivando con respecto al tiempo
resultaraacute
( )
dt
d
dt
d
dt
dv== o sea a =
donde =ddt es la aceleracioacuten angular o variacioacuten de la velocidad angular con respecto
al tiempo Se mide en rads2 en el sistema Internacional (SI)
Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en funcioacuten de las magnitudes angula-res a
partir de = ddt y = ddt e integrando
= 0 + t 2 = 02 + 2
35 Movimiento armoacutenico simple
Llamamos movimiento perioacutedico a cualquier movimiento que se repite a intervalos
iguales de tiempo Por ejemplo el movimiento de una masa sujeta a un muelle el movi-
miento de un peacutendulo las vibraciones de los aacutetomos de una moleacutecula etc Cuando una
partiacutecula que realiza un movimiento perioacutedico se mueve alternativamente en un sentido y
otro sobre una misma trayectoria recibe el nombre de movimiento oscilatorio
El movimiento oscilatorio maacutes importante es el movimiento armoacutenico simple (MAS)
por ser el maacutes faacutecil de describir matemaacuteticamente y constituye un modelo exacto o
aproximado para muchos sistemas fiacutesicos
Decimos que una partiacutecula que se mueve a lo largo del eje X realiza un MAS centrado
en el origen O de dicho sistema coordenado cuando su desplazamiento X con respecto al
origen viene expresado en funcioacuten del tiempo en la forma
( ) += tAx sen
donde A y son constantes propias del movimiento armoacutenico
La distancia X que separa la partiacutecula del origen O recibe el nombre de elongacioacuten El
valor absoluto de la elongacioacuten maacutexima A se denomina amplitud La cantidad t+
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17
(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase
inicial para t=0
Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2 la partiacutecula completa una oscilacioacuten
luego el periodo es T=2 La frecuencia del movimiento es el nuacutemero de oscilaciones
que se completan en la unidad de tiempo [=1T (cicloss=herzios (Hz))]
La constante es la frecuencia angular o pulsacioacuten (=2=s-1)
La velocidad de la partiacutecula que realiza un Movimiento Armoacutenico Simple viene dada
por la derivada de la elongacioacuten respecto del tiempo
( )
++=+==
2sencos
tAtA
dt
dxv
La aceleracioacuten de la partiacutecula se determina haciendo la derivada de la velocidad
respecto del tiempo
( ) XtAdt
dva sen 22 minus=+minus==
Considerando a=Fm la fuerza que deberaacute actuar sobre una partiacutecula para que realice un
Movimiento Armoacutenico Simple debe ser tambieacuten proporcional a la elongacioacuten de la
partiacutecula y de signo contrario a eacutesta
F = ma = -m2x = -kx
donde k = m2 llamada constante armoacutenica
36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos
Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultaacuteneos independientes realiza
un movimiento compuesto que resulta de la combinacioacuten de aquellos La composicioacuten de
dos o maacutes movimientos se realiza calculando el vector de posicioacuten del movimiento
resultante como suma de los vectores de posicioacuten de los movimientos componentes
Esto se apoya en el ldquoPrincipio de Galileordquo o de independencia de los movimientos ldquoSi
un punto estaacute dotado por dos causas diferentes de dos movimientos simultaacuteneos su cambio de
posicioacuten es independiente de que los dos movimientos actuacuteen sucesiva o simultaacuteneamenterdquo
De lo anterior se deduce que el vector de posicioacuten r
es la suma de los vectores de
posicioacuten de los movimientos individuales
4321 ++++= rrrrr
y derivando 4321 ++++= vvvvv
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18
es decir la velocidad de un movimiento compuesto es en todo momento la suma
vectorial de las velocidades de los movimientos componentes
361 Descripcioacuten de casos elementales
A) Un nadador que avanza en la direccioacuten y sentido de la corriente (dos movimientos
rectiliacuteneos y uniformes en la misma direccioacuten y sentido)
v = v1 + v2 a = 0
s = s1 + s2 = (v1 + v2)t
B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectiliacuteneos y
uniformes de la misma direccioacuten y de sentidos contrarios)
v = v1 - v2 a = 0
s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)
C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos
rec-tiliacuteneos y uniformes de direcciones perpendiculares)
2
2
2
121
2
2
2
1 ordm90middotcos2 vvvsivvvvv +==++=
el espacio recorrido seraacute
tvvssss middot2
2
2
1
2
2
2
1+=rarr+=
y el aacutengulo de direccioacuten resultante
1
2
1
2tgs
s
v
v==
D) Dos movimientos rectiliacuteneos uniformemente acelerados en la misma direccioacuten
++=
++=
2
202022
2
101011
2
1middot
2
1middot
tatvss
tatvss sumando
2
21201020121 )(2
1)()( taatvvsssss o +++++=+=
taavvdt
dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa
dt
dva +==
E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma
direccioacuten dados por
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19
middot
2
1middot
middot
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1)()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado
362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda
Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante
vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del
avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior
con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo
posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
minus=
=
El aacutengulo de v con la horizontal seraacute
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es
jgtivv x
minus=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r
resulta
jgtitvr x
2
1 2minus=
por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten
dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la
trayectoria
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20
)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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21
que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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22
=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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23
( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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24
41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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25
donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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26
- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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27
aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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28
5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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5
respecto de los primeros Por ello para referir un movimiento bastaraacute considerar como
sistema de referencia unos ejes que se desplacen con movimiento de traslacioacuten uniforme
que llamaremos sistemas referenciales inerciales o Galileanos
El movimiento referido a sistemas referenciales no-inerciales o sea con movimiento de
traslacioacuten no uniforme (con aceleracioacuten) o con movimiento de rotacioacuten es un tema de
considerable importancia cuyo estudio resuelve importantes problemas relacionados con
el movimiento de gran alcance como el de sateacutelites artificiales cohetes intercontinentales
caacutepsulas espaciales masas de aire corrientes marinas etc Pero no se trataraacute en este tema
22 Vector de posicioacuten de un moacutevil
La posicioacuten de un punto moacutevil en el espacio queda fijada por el vector de posicioacuten r
trazado desde el origen O de coordenadas hasta la posicioacuten del moacutevil P Las componentes
del vector r
(x y z) seraacuten las coordenadas del punto moacutevil en ese instante El moacutevil en su
movimiento describe una curva C llamada trayectoria del punto P
El movimiento de P queda totalmente especificado y determinado si se conocen las tres
coordenadas del vector como funciones del tiempo
)(txx = )(tyy = )(tzz =
llamadas ecuaciones parameacutetricas del movimiento En cada instante t los valores de x y z
corresponden a las coordenadas del punto ocupado por el moacutevil en dicho instante
Fiacutesicamente equivale a decir que todo movimiento puede considerarse descompuesto en
tres movimientos rectiliacuteneos sobre los tres ejes coordenados
De las ecuaciones parameacutetricas x = x(t) y = y(t) z = z(t) se deduce la ecuacioacuten de la
trayectoria del punto moacutevil con soacutelo eliminar entre ellas la variable independiente t
El vector de posicioacuten vendraacute dado por la expresioacuten vectorial
ktzjtyitxtrr
)middot()middot()middot()( ++==
expresioacuten que determina r
para cualquier instante t y se puede escribir de modo geneacuterico
como )(trr
= que es la ecuacioacuten vectorial del movimiento
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6
La distancia recorrida por el moacutevil es la suma de todas las longitudes recorridas en los
sucesivos intervalos de tiempo desde el instante inicial (to) al instante final (t) Esta
distancia constituye la trayectoria definida anteriormente y sobre ella el problema
cinemaacutetico consiste en determinar el camino recorrido en funcioacuten del tiempo es decir
s = s(t)
Vemos pues dos aspectos en el tratamiento de los problemas cinemaacuteticos El primero de
ellos y maacutes general partiendo del vector de posicioacuten )(trr
= del que se derivaraacuten todas las
ecuaciones vectoriales del movimiento vaacutelidas cualquiera que sea la trayectoria e
independiente del sistema de referencia Un segundo aspecto maacutes limitado determina
uacutenicamente el camino recorrido sobre la trayectoria mediante la expresioacuten s=s(t) de la que
se deducen las ecuaciones escalares del movimiento sobre la trayectoria para lo cual es
necesario fijar un punto inicial de origen en la trayectoria s=0 para referir a eacutel las
distancias recorridas y demaacutes variables cinemaacuteticas
23 Vector velocidad
Para el estudio del movimiento es necesario conocer la posicioacuten del moacutevil en cada
instante que vendraacute dada por el vector de posicioacuten y la variacioacuten de esta posicioacuten con el
tiempo que vendraacute dada por el vector velocidad
Si un moacutevil se encuentra en un instante dado en la posicioacuten P (dada por el vector de
posicioacuten r
) y un intervalo t despueacutes se encuentra en Q (dada por el vector de posicioacuten r
+ r
) el moacutevil ha sufrido un desplazamiento vectorial r
y ha recorrido un intervalo de
trayectoria s y son por definicioacuten diferentes y no coincidentes Soacutelo en el caso liacutemite de
que el intervalo de tiempo sea infinitesimal ambos conceptos seraacuten coincidentes en el
graacutefico y el moacutedulo de r
coincidiraacute con s
Se define el vector velocidad media mv
como el
cociente
t
rvm
=
que es un vector de direccioacuten y sentido ideacutentico al vector
desplazamiento r
pues el escalar t seraacute siempre
positivo La direccioacuten del vector desplazamiento y por ello
la del vector velocidad media es la direccioacuten de la cuerda
del arco PQ
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7
Anaacutelogamente se define la velocidad media en la trayectoria vm (magnitud escalar) al
cociente de la trayectoria recorrida en el tiempo empleado
t
svm
=
Ambas velocidades medias una vectorial y otra escalar no son generalmente de igual
moacutedulo pues sr
como puede apreciarse en la Fig2
Si reducimos el intervalo de tiempo t hasta valores muy pequentildeos que tiendan a cero
el vector velocidad quedaraacute referido a un intervalo infinitamente pequentildeo y se llamaraacute
vector velocidad instantaacutenea o simplemente vector velocidad
dt
rd
t
rlimvt
=
=
rarr 0 (a)
Anaacutelogamente se definiraacute la velocidad instantaacutenea sobre la trayectoria como
dt
ds
t
slimvt
=
=
rarr 0 (b)
Ambas expresiones estaacuten relacionadas entre siacute como demostraremos a continuacioacuten Si
consideramos el vector velocidad instantaacutenea
t
slim
s
rlim
s
s
t
rlimv
tst
=
=
rarrrarrrarr 000
El 1er liacutemite es un vector de moacutedulo 1 ya que r
y s tienden a ser iguales cuando
srarr0 pues el arco (s) y la cuerda ( r
) se confunden cuando se hacen infinitamente
pequentildeos y tiene direccioacuten tangente a la trayectoria La direccioacuten de r
(inicialmente
secante a la curva) tiende hacia una direccioacuten tangente cuando s se hace infinitamente
pequentildeo Por tanto el primer liacutemite representa un vector unitario tangente a la trayectoria
en el punto
t
su
ds
rd
s
rlim
==
rarr 0 (vector unitario tangente) pues 1=
rarr PQ
PQlim
QP
El 2ordm liacutemite es el que hemos definido como velocidad media en la trayectoria calculada
en un intervalo reducido que tiende a cero
vt
slimt
=
rarr 0 (velocidad instantaacutenea sobre la trayectoria)
Finalmente resultaraacute tuvv
middot= (c)
el vector velocidad instantaacutenea es un vector tangente a la trayectoria que tiene por
moacutedulo la velocidad instantaacutenea calculada sobre la trayectoria y que llamaremos
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8
simplemente celeridad (Recordemos que todo vector puede expresarse como el producto
de su moacutedulo por un vector unitario en la direccioacuten del vector)
Teniendo en cuenta la expresioacuten de
ktzjtyitxr
)middot()middot()middot( ++=
el vector velocidad tambieacuten puede expresarse en un sistema cartesiano mediante la deri-
vada del vector de posicioacuten
kdt
tdzj
dt
tdyi
dt
tdx
dt
rdv
)()()(
++==
y la celeridad o moacutedulo de la velocidad seraacute
21222
+
+
==
dt
dz
dt
dy
dt
dxvv
que seraacute una funcioacuten del tiempo como lo son las componentes dxdt dydt y dzdt
24 Vector aceleracioacuten
El movimiento de un punto material en su forma maacutes general tiene en cada punto de
la trayectoria un vector de posicioacuten y un vector velocidad diferentes lo que significa una
variacioacuten de la velocidad tanto en moacutedulo como en direccioacuten y sentido
En el instante t la velocidad del punto moacutevil
situado en P es v
y despueacutes de transcurrido un
intervalo de tiempo t es decir en el instante t+t
la velocidad del moacutevil situado en Q es v
+ v
Definimos el vector aceleracioacuten media al cociente
entre la variacioacuten del vector velocidad y el
intervalo de tiempo transcurrido Es un vector que
tiene la misma direccioacuten y sentido que v
t
vam
=
Considerando un intervalo de tiempo infinitamente pequentildeo que tienda a cero
podemos definir el vector aceleracioacuten instantaacutenea o simplemente el vector aceleracioacuten
como el valor en el liacutemite de la relacioacuten Vt cuando t tiende a cero es decir
2
2
0 dt
rd
dt
rd
dt
d
dt
vd
t
vlimat
=
==
=
rarr
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El vector aceleracioacuten tendraacute por componentes
kdt
zdj
dt
ydi
dt
xdk
dt
dvj
dt
dvi
dt
dva zyx
2
2
2
2
2
2
++=++=
y su moacutedulo seraacute
2
2
22
2
22
2
2
+
+
==
dt
zd
dt
yd
dt
xdaa
25 Componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
De la propia definicioacuten del vector aceleracioacuten a
se deduce que en general no es ni
tangente a la trayectoria (pues implicariacutea una direccioacuten constante en V
) ni perpendicular a
ella (pues implicariacutea un moacutedulo constante en V
) y por ello puede ser descompuesto en
dos componentes una tangente y otra perpendicular a la trayectoria que se llamaraacuten
componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten Dichas componentes estaacuten situadas en un
sistema de coordenadas intriacutenseco al moacutevil con ejes tangente y normal a la trayectoria e
independiente de cualquier sistema de referencia
Aplicando la definicioacuten de a
a la expresioacuten del vector velocidad resultaraacute
( )dt
udvu
dt
dvuv
dt
d
dt
vda t
tt
middotmiddotmiddot +=== (d)
como vemos a
tiene dos componentes vectoriales una de ellas es tangente a la
trayectoria de moacutedulo dvdt que llamaremos aceleracioacuten tangencial
El uacuteltimo teacutermino de la expresioacuten (d) dutdt se transforma en
vds
ud
dt
ds
ds
ud
dt
ud ttt
== (V=celeridad o moacutedulo de la velocidad) (e)
y el factor dsud t
es un vector que representa la deri-
vada del vector unitario tangente (de moacutedulo cons-
tante) con respecto al arco Se demuestra asiacute como tu
es un vector unitario su derivada dsud t
respecto a
un escalar es perpendicular a tu
Estos vectores estaacuten
en el llamado plano osculador determinado por dos
tangentes consecutivas a un punto y el vector dsud t
tiene la direccioacuten de la normal principal (perpendi-
cular a la trayectoria con-tenida en el plano osculador)
FIG4
ut ut
ut ut
ut
s
r
+
rr
r
+
C
QR
C
S
P
O
s=r
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10
y su sentido es el de la concavidad por consiguiente
n
tt uds
ud
ds
ud
middot= (f)
Calculemos ahora el moacutedulo de dsud t
Sean dos puntos P y Q de la curva de la fig 4
y sean tu
y tu
+ tu
los vectores unitarios tangentes sobre dichos puntos P y Q
respectivamente (Por Q se traza el equipolente a tu
En el plano osculador se trazan las
perpendiculares a la curva en P y Q Consideremos que P y Q son consecutivos por ello el
arco PQ=∆s se confunde con un arco de circunferencia de centro en O y radio r y se puede
escribir ∆s=r∆ϕ)
En el triaacutengulo QRS que es isoacutesceles por ser tt uuu
+= se cumple
2middotsen2
2middotsenmiddot2
=
= tt uu
pues 1=tu
dividiendo por ∆s resultaraacute
ssss
u t
=
=
=
middot
2
2sen
middot2middotsen2
2middotsen2
y pasando al liacutemite para ∆srarr0 resultaraacute
slim
s
ulim
s
t
s
=
rarrrarr
00
pues 1
2
2sen
0=
rarr
lim
y por ello ds
d
ds
ud t = y considerando que ∆s=r∆ϕ rarr ds=rdϕ
resultando rds
ud t 1= que es la inversa del radio de curvatura
Por tanto sustituyendo en (f) nt u
rds
ud
middot1
= y luego sustituyendo en (e)
nt u
r
v
dt
ud middot= y eacutesta finalmente en (c) resulta nt u
r
vu
dt
dva
2
+=
lo que demuestra que el vector aceleracioacuten a
no tiene ni direccioacuten
normal ni direccioacuten tangente a la trayectoria pues presenta dos
componentes en estas direcciones Uacutenicamente se puede asegurar
que el sentido de la componente normal es hacia el interior de la
concavidad de la trayectoria Las componentes son FIG 5
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Aceleracioacuten tangencial tt u
dt
dva
= y su moacutedulo
dt
dv
Aceleracioacuten normal (centriacutepeta) nn ur
va
middot
2
= y su moacutedulo r
v2
La aceleracioacuten tangencial ta
puede ser positiva si estaacute dirigida en la direccioacuten de v
y
negativa si estaacute dirigida en sentido contrario a v
y la aceleracioacuten normal na
es siempre
positiva y dirigida hacia la concavidad de la curva El moacutedulo de la aceleracioacuten en funcioacuten
de sus componentes seraacute
222
22
+
=+==
r
v
dt
dvaaaa nt
y el aacutengulo que forma la aceleracioacuten con la tangente a la trayectoria vendraacute dado por
t
n
t
n
A
A
A
Aarctgtg ==
Las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten son de gran importancia en cinemaacutetica
pues nos da cada una de ellas un aspecto de la variacioacuten de la velocidad con el tiempo La
aceleracioacuten tangencial nos da la variacioacuten del moacutedulo de la velocidad con el tiempo y la
aceleracioacuten normal nos da la variacioacuten de la direccioacuten de la velocidad con el tiempo La
clasificacioacuten de los movimientos debe hacerse por los valores de dichas componentes y de
ellas se deducen sus ecuaciones
El caacutelculo de las componentes intriacutensecas tambieacuten se puede realizar mediante el si-
guiente mecanismo vectorial
Aceleracioacuten tangencial De la derivada del vector de posicioacuten se obtiene el vector
velocidad y derivando por segunda vez se obtiene el vector aceleracioacuten y a partir de
ambas se realiza su producto escalar
v
vaayavvava tt
bull
===bull cos
y la direccioacuten del vector unitario tangente seraacute v
vu
= luego ( )
2v
vvauaa ttt
bull
==
Aceleracioacuten normal A partir de los mismos vectores a
y v
realizamos su producto
vectorial
navvava sen ==
y v
vaan
=
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y la direccioacuten del vector unitario normal seraacute )(
)(
vav
vavun
=
como puede demostrarse faacutecilmente en la figura 3
26 Concepto de radio de curvatura
Si tomamos tres puntos muy proacuteximos sobre
una curva P P y P de las circunferencias tan-
gentes a la curva en P la que tiene en dicho punto
un contacto tal que P y P pertenezcan a ella
cuando eacutestos tienden a confundirse con P la
llamamos circunferencia o ciacuterculo osculador E1
radio de este ciacuterculo lo llamamos radio de
curvatura y al centro centro de curvatura El
ciacuterculo osculador pertenece al plano determi-
nado por dos tangentes sucesivas a la curva en P
y P por ejemplo cuando ambos puntos tienden a
confundirse uno sobre otro A este plano se le
denomina plano osculador
FIG6
3 Movimientos de especial intereacutes
31 Movimiento uniforme
El movimiento uniforme es aquel en el que las componentes intriacutensecas de la acele-
racioacuten son ambas nulas es decir 0=na
y 0=ta
De la primera se deduce
2van = y por ser v 0 rarr =
y el movimiento es de radio de curvatura infinito o sea movimiento rectiliacuteneo
De la segunda se deduce dt
dvat = = 0 o sea v = cte
y el movimiento tiene moacutedulo de velocidad constante es decir es uniforme
De ambas condiciones se deduce que el vector velocidad v
es constante en moacutedulo
direccioacuten y sentido ( ctev =
) y como estaacute definido por
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13
dt
rdv
= luego dtvrd
=
que integrando = dtvrd
rarr 00 rtvr
+=
donde 0r
es la constante de integracioacuten (vectorial) y
representa el vector de posicioacuten inicial para el instante
inicial t = 0 (Fig7) FIG 7
Si tomamos como origen de coordenadas un punto situado en la propia trayectoria C
del movimiento todoslos vectores implicados en la ecuacioacuten 0r
r
y 0v
tendraacuten la misma
direccioacuten y se podraacute escribir tvss o+= 0 donde 0s s y 0v seraacuten los moacutedulos de los
vectores correspondientes
32 Movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
Este movimiento se caracteriza por que sus componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
toman los valores an = 0 y at = cte ne 0
De la primera se deduce como en el caso anterior que el radio es infinito r = y por
consiguiente el movimiento tiene trayectoria rectiliacutenea
De la segunda se obtiene dvdt=at (constante) siendo eacutesta ademaacutes la aceleracioacuten total
(por ser la uacutenica) pues
ttnt aaaaa ==+= 222
y como la aceleracioacuten tangencial tiene direccioacuten tangente a la trayectoria igual que la
velocidad se podraacute escribir
aadtvd t
== o bien dtavd
= e integrando = dtavd
resulta
0 vtav
+=
siendo 0v
la constante de integracioacuten que corresponde con la velocidad inicial o velocidad
para t = 0
Si sustituimos esta expresioacuten en la ecuacioacuten de definicioacuten de v
resulta
tavdt
rdv 0
+== o bien dttadtvrd 0
+=
e integrando += dttadtvrd 0
rarr 2
00 2
1 tatvrr
++=
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donde 0r
es la constante de integracioacuten que representa el vector de posicioacuten en el instante
inicial t = 0
Si elegimos como origen de coordenadas un
punto situado en la propia trayectoria recta C del
movimiento resultaraacuten r
0r
0v
a
vectores
todos ellos de la misma direccioacuten y podraacuten
escribirse las ecuaciones anteriores soacutelo con sus
moacutedulos es decir FIG 8
2
00 2
1 tatvss ++= y tavv 0 +=
Entre ambas ecuaciones podemos eliminar el tiempo t para obtener una ecuacioacuten de la
velocidad en funcioacuten del espacio y la aceleracioacuten v=f(sa)
despejando t de la segunda ecuacioacuten a
vvt ominus
=
y sustituyendo en la ecuacioacuten del espacio resulta
2
2
2
1 0
2
0
22
00
0
2
00
00 =minus+
+minus
+=
minus+
minus+=
a
vvvv
a
vvvs
a
vva
a
vvvss
a
vvs
a
vvvvvvvs
22
222
2
0
2
0
0
2
0
22
00
0
minus+=
minus++minus+=
de donde a
vvss
2
2
0
2
0
minus=minus resultando )(2 0
2
0
2 ssavv minus+=
En el caso de que el origen de coordenadas sea arbitrario y esteacute fuera de la trayectoria
la expresioacuten vectorial anterior
2
002
1tatvrr
++= puede ponerse 2
002
1tatvrr
+=minus
resultando que los vectores 0rr
minus 0v
y a
tienen todos la misma direccioacuten como puede
apreciarse en la figura 8 y pueden escribirse por sus moacutedulos llamando 0rrs
minus=
resultando 2
02
1attvs +=
Si se trata de un movimiento uniformemente retardado (decelerado) la aceleracioacuten seraacute
negativa y si el movimiento se debe a la accioacuten gravitatoria en recorridos cortos muy
proacuteximos a la superficie de la Tierra la aceleracioacuten se puede considerar constante e igual a
a = g = 9rsquo8 ms2 = 980 cms2 y se denomina movimiento de caiacuteda libre
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33 Movimiento circular uniforme
Para este movimiento las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los si-
guientes valores an = cte ne 0 y at= 0
De la segunda condicioacuten at=dvdt=0 se deduce que v=cte y como la primera condicioacuten
implica an=v2=cte de todo ello se deduce que =cte y la trayectoria ha de ser circular de
radio La aceleracioacuten total del movimiento seraacute
nnt aaaa
=+=
y la velocidad seraacute constante en moacutedulo pero no en direccioacuten En consecuencia la
ecuacioacuten que nos daraacute el espacio recorrido por el moacutevil a lo largo de su trayectoria circular
es la misma que la correspondiente al movimiento uniforme y rectiliacuteneo midiendo los
espacios sobre la circunferencia tvss 0 +=
En este tipo de movimiento interesa conocer el aacutengulo girado por el radio-vector que
une el centro con el moacutevil Recordando que Arco(m)=Radio(m)Angulo(rad)
resulta S = ϕ y derivando respecto al tiempo resultaraacute
dt
d
dt
ds middot= es decir
dt
dv
=
Esta uacuteltima derivada representa la variacioacuten del aacutengulo girado por el vector de posicioacuten
en la unidad de tiempo a lo que se le llama velocidad angular y se representa por
=ddt resultando v= ( rarr rads)
Por convenio se representa la velocidad angular por un vector axial normal al plano de
la circunferencia (plano de r
y v
) de sentido el correspondiente a la regla del sacacorchos
(regla de Maxwell) y de moacutedulo proporcional a su valor por ello puede escribirse
=v
expresioacuten que tambieacuten puede escribirse asiacute
=minus= AOv
es decir la velocidad tangencial v
es el momento del
vector velocidad angular
con respecto al punto A
34 Movimiento circular uniformemente acelerado
En eacutel las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los siguientes valores
an=v2 cte t2 y at=dvdt=cte
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tendraacute como trayectoria una circunferencia de radio y sobre ella el movimiento vendraacute
descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado
2
002
1tatvss t++= tavv t+= 0 )(2 0
2
0
2 ssavv t minus+=
Como la velocidad no es constante tampoco lo seraacute la velocidad angular relacionada
con aquella mediante el radio v= y por ello derivando con respecto al tiempo
resultaraacute
( )
dt
d
dt
d
dt
dv== o sea a =
donde =ddt es la aceleracioacuten angular o variacioacuten de la velocidad angular con respecto
al tiempo Se mide en rads2 en el sistema Internacional (SI)
Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en funcioacuten de las magnitudes angula-res a
partir de = ddt y = ddt e integrando
= 0 + t 2 = 02 + 2
35 Movimiento armoacutenico simple
Llamamos movimiento perioacutedico a cualquier movimiento que se repite a intervalos
iguales de tiempo Por ejemplo el movimiento de una masa sujeta a un muelle el movi-
miento de un peacutendulo las vibraciones de los aacutetomos de una moleacutecula etc Cuando una
partiacutecula que realiza un movimiento perioacutedico se mueve alternativamente en un sentido y
otro sobre una misma trayectoria recibe el nombre de movimiento oscilatorio
El movimiento oscilatorio maacutes importante es el movimiento armoacutenico simple (MAS)
por ser el maacutes faacutecil de describir matemaacuteticamente y constituye un modelo exacto o
aproximado para muchos sistemas fiacutesicos
Decimos que una partiacutecula que se mueve a lo largo del eje X realiza un MAS centrado
en el origen O de dicho sistema coordenado cuando su desplazamiento X con respecto al
origen viene expresado en funcioacuten del tiempo en la forma
( ) += tAx sen
donde A y son constantes propias del movimiento armoacutenico
La distancia X que separa la partiacutecula del origen O recibe el nombre de elongacioacuten El
valor absoluto de la elongacioacuten maacutexima A se denomina amplitud La cantidad t+
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(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase
inicial para t=0
Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2 la partiacutecula completa una oscilacioacuten
luego el periodo es T=2 La frecuencia del movimiento es el nuacutemero de oscilaciones
que se completan en la unidad de tiempo [=1T (cicloss=herzios (Hz))]
La constante es la frecuencia angular o pulsacioacuten (=2=s-1)
La velocidad de la partiacutecula que realiza un Movimiento Armoacutenico Simple viene dada
por la derivada de la elongacioacuten respecto del tiempo
( )
++=+==
2sencos
tAtA
dt
dxv
La aceleracioacuten de la partiacutecula se determina haciendo la derivada de la velocidad
respecto del tiempo
( ) XtAdt
dva sen 22 minus=+minus==
Considerando a=Fm la fuerza que deberaacute actuar sobre una partiacutecula para que realice un
Movimiento Armoacutenico Simple debe ser tambieacuten proporcional a la elongacioacuten de la
partiacutecula y de signo contrario a eacutesta
F = ma = -m2x = -kx
donde k = m2 llamada constante armoacutenica
36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos
Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultaacuteneos independientes realiza
un movimiento compuesto que resulta de la combinacioacuten de aquellos La composicioacuten de
dos o maacutes movimientos se realiza calculando el vector de posicioacuten del movimiento
resultante como suma de los vectores de posicioacuten de los movimientos componentes
Esto se apoya en el ldquoPrincipio de Galileordquo o de independencia de los movimientos ldquoSi
un punto estaacute dotado por dos causas diferentes de dos movimientos simultaacuteneos su cambio de
posicioacuten es independiente de que los dos movimientos actuacuteen sucesiva o simultaacuteneamenterdquo
De lo anterior se deduce que el vector de posicioacuten r
es la suma de los vectores de
posicioacuten de los movimientos individuales
4321 ++++= rrrrr
y derivando 4321 ++++= vvvvv
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18
es decir la velocidad de un movimiento compuesto es en todo momento la suma
vectorial de las velocidades de los movimientos componentes
361 Descripcioacuten de casos elementales
A) Un nadador que avanza en la direccioacuten y sentido de la corriente (dos movimientos
rectiliacuteneos y uniformes en la misma direccioacuten y sentido)
v = v1 + v2 a = 0
s = s1 + s2 = (v1 + v2)t
B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectiliacuteneos y
uniformes de la misma direccioacuten y de sentidos contrarios)
v = v1 - v2 a = 0
s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)
C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos
rec-tiliacuteneos y uniformes de direcciones perpendiculares)
2
2
2
121
2
2
2
1 ordm90middotcos2 vvvsivvvvv +==++=
el espacio recorrido seraacute
tvvssss middot2
2
2
1
2
2
2
1+=rarr+=
y el aacutengulo de direccioacuten resultante
1
2
1
2tgs
s
v
v==
D) Dos movimientos rectiliacuteneos uniformemente acelerados en la misma direccioacuten
++=
++=
2
202022
2
101011
2
1middot
2
1middot
tatvss
tatvss sumando
2
21201020121 )(2
1)()( taatvvsssss o +++++=+=
taavvdt
dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa
dt
dva +==
E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma
direccioacuten dados por
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middot
2
1middot
middot
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1)()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado
362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda
Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante
vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del
avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior
con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo
posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
minus=
=
El aacutengulo de v con la horizontal seraacute
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es
jgtivv x
minus=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r
resulta
jgtitvr x
2
1 2minus=
por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten
dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la
trayectoria
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20
)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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21
que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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22
=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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23
( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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24
41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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25
donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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26
- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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27
aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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28
5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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6
La distancia recorrida por el moacutevil es la suma de todas las longitudes recorridas en los
sucesivos intervalos de tiempo desde el instante inicial (to) al instante final (t) Esta
distancia constituye la trayectoria definida anteriormente y sobre ella el problema
cinemaacutetico consiste en determinar el camino recorrido en funcioacuten del tiempo es decir
s = s(t)
Vemos pues dos aspectos en el tratamiento de los problemas cinemaacuteticos El primero de
ellos y maacutes general partiendo del vector de posicioacuten )(trr
= del que se derivaraacuten todas las
ecuaciones vectoriales del movimiento vaacutelidas cualquiera que sea la trayectoria e
independiente del sistema de referencia Un segundo aspecto maacutes limitado determina
uacutenicamente el camino recorrido sobre la trayectoria mediante la expresioacuten s=s(t) de la que
se deducen las ecuaciones escalares del movimiento sobre la trayectoria para lo cual es
necesario fijar un punto inicial de origen en la trayectoria s=0 para referir a eacutel las
distancias recorridas y demaacutes variables cinemaacuteticas
23 Vector velocidad
Para el estudio del movimiento es necesario conocer la posicioacuten del moacutevil en cada
instante que vendraacute dada por el vector de posicioacuten y la variacioacuten de esta posicioacuten con el
tiempo que vendraacute dada por el vector velocidad
Si un moacutevil se encuentra en un instante dado en la posicioacuten P (dada por el vector de
posicioacuten r
) y un intervalo t despueacutes se encuentra en Q (dada por el vector de posicioacuten r
+ r
) el moacutevil ha sufrido un desplazamiento vectorial r
y ha recorrido un intervalo de
trayectoria s y son por definicioacuten diferentes y no coincidentes Soacutelo en el caso liacutemite de
que el intervalo de tiempo sea infinitesimal ambos conceptos seraacuten coincidentes en el
graacutefico y el moacutedulo de r
coincidiraacute con s
Se define el vector velocidad media mv
como el
cociente
t
rvm
=
que es un vector de direccioacuten y sentido ideacutentico al vector
desplazamiento r
pues el escalar t seraacute siempre
positivo La direccioacuten del vector desplazamiento y por ello
la del vector velocidad media es la direccioacuten de la cuerda
del arco PQ
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7
Anaacutelogamente se define la velocidad media en la trayectoria vm (magnitud escalar) al
cociente de la trayectoria recorrida en el tiempo empleado
t
svm
=
Ambas velocidades medias una vectorial y otra escalar no son generalmente de igual
moacutedulo pues sr
como puede apreciarse en la Fig2
Si reducimos el intervalo de tiempo t hasta valores muy pequentildeos que tiendan a cero
el vector velocidad quedaraacute referido a un intervalo infinitamente pequentildeo y se llamaraacute
vector velocidad instantaacutenea o simplemente vector velocidad
dt
rd
t
rlimvt
=
=
rarr 0 (a)
Anaacutelogamente se definiraacute la velocidad instantaacutenea sobre la trayectoria como
dt
ds
t
slimvt
=
=
rarr 0 (b)
Ambas expresiones estaacuten relacionadas entre siacute como demostraremos a continuacioacuten Si
consideramos el vector velocidad instantaacutenea
t
slim
s
rlim
s
s
t
rlimv
tst
=
=
rarrrarrrarr 000
El 1er liacutemite es un vector de moacutedulo 1 ya que r
y s tienden a ser iguales cuando
srarr0 pues el arco (s) y la cuerda ( r
) se confunden cuando se hacen infinitamente
pequentildeos y tiene direccioacuten tangente a la trayectoria La direccioacuten de r
(inicialmente
secante a la curva) tiende hacia una direccioacuten tangente cuando s se hace infinitamente
pequentildeo Por tanto el primer liacutemite representa un vector unitario tangente a la trayectoria
en el punto
t
su
ds
rd
s
rlim
==
rarr 0 (vector unitario tangente) pues 1=
rarr PQ
PQlim
QP
El 2ordm liacutemite es el que hemos definido como velocidad media en la trayectoria calculada
en un intervalo reducido que tiende a cero
vt
slimt
=
rarr 0 (velocidad instantaacutenea sobre la trayectoria)
Finalmente resultaraacute tuvv
middot= (c)
el vector velocidad instantaacutenea es un vector tangente a la trayectoria que tiene por
moacutedulo la velocidad instantaacutenea calculada sobre la trayectoria y que llamaremos
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8
simplemente celeridad (Recordemos que todo vector puede expresarse como el producto
de su moacutedulo por un vector unitario en la direccioacuten del vector)
Teniendo en cuenta la expresioacuten de
ktzjtyitxr
)middot()middot()middot( ++=
el vector velocidad tambieacuten puede expresarse en un sistema cartesiano mediante la deri-
vada del vector de posicioacuten
kdt
tdzj
dt
tdyi
dt
tdx
dt
rdv
)()()(
++==
y la celeridad o moacutedulo de la velocidad seraacute
21222
+
+
==
dt
dz
dt
dy
dt
dxvv
que seraacute una funcioacuten del tiempo como lo son las componentes dxdt dydt y dzdt
24 Vector aceleracioacuten
El movimiento de un punto material en su forma maacutes general tiene en cada punto de
la trayectoria un vector de posicioacuten y un vector velocidad diferentes lo que significa una
variacioacuten de la velocidad tanto en moacutedulo como en direccioacuten y sentido
En el instante t la velocidad del punto moacutevil
situado en P es v
y despueacutes de transcurrido un
intervalo de tiempo t es decir en el instante t+t
la velocidad del moacutevil situado en Q es v
+ v
Definimos el vector aceleracioacuten media al cociente
entre la variacioacuten del vector velocidad y el
intervalo de tiempo transcurrido Es un vector que
tiene la misma direccioacuten y sentido que v
t
vam
=
Considerando un intervalo de tiempo infinitamente pequentildeo que tienda a cero
podemos definir el vector aceleracioacuten instantaacutenea o simplemente el vector aceleracioacuten
como el valor en el liacutemite de la relacioacuten Vt cuando t tiende a cero es decir
2
2
0 dt
rd
dt
rd
dt
d
dt
vd
t
vlimat
=
==
=
rarr
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9
El vector aceleracioacuten tendraacute por componentes
kdt
zdj
dt
ydi
dt
xdk
dt
dvj
dt
dvi
dt
dva zyx
2
2
2
2
2
2
++=++=
y su moacutedulo seraacute
2
2
22
2
22
2
2
+
+
==
dt
zd
dt
yd
dt
xdaa
25 Componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
De la propia definicioacuten del vector aceleracioacuten a
se deduce que en general no es ni
tangente a la trayectoria (pues implicariacutea una direccioacuten constante en V
) ni perpendicular a
ella (pues implicariacutea un moacutedulo constante en V
) y por ello puede ser descompuesto en
dos componentes una tangente y otra perpendicular a la trayectoria que se llamaraacuten
componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten Dichas componentes estaacuten situadas en un
sistema de coordenadas intriacutenseco al moacutevil con ejes tangente y normal a la trayectoria e
independiente de cualquier sistema de referencia
Aplicando la definicioacuten de a
a la expresioacuten del vector velocidad resultaraacute
( )dt
udvu
dt
dvuv
dt
d
dt
vda t
tt
middotmiddotmiddot +=== (d)
como vemos a
tiene dos componentes vectoriales una de ellas es tangente a la
trayectoria de moacutedulo dvdt que llamaremos aceleracioacuten tangencial
El uacuteltimo teacutermino de la expresioacuten (d) dutdt se transforma en
vds
ud
dt
ds
ds
ud
dt
ud ttt
== (V=celeridad o moacutedulo de la velocidad) (e)
y el factor dsud t
es un vector que representa la deri-
vada del vector unitario tangente (de moacutedulo cons-
tante) con respecto al arco Se demuestra asiacute como tu
es un vector unitario su derivada dsud t
respecto a
un escalar es perpendicular a tu
Estos vectores estaacuten
en el llamado plano osculador determinado por dos
tangentes consecutivas a un punto y el vector dsud t
tiene la direccioacuten de la normal principal (perpendi-
cular a la trayectoria con-tenida en el plano osculador)
FIG4
ut ut
ut ut
ut
s
r
+
rr
r
+
C
QR
C
S
P
O
s=r
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10
y su sentido es el de la concavidad por consiguiente
n
tt uds
ud
ds
ud
middot= (f)
Calculemos ahora el moacutedulo de dsud t
Sean dos puntos P y Q de la curva de la fig 4
y sean tu
y tu
+ tu
los vectores unitarios tangentes sobre dichos puntos P y Q
respectivamente (Por Q se traza el equipolente a tu
En el plano osculador se trazan las
perpendiculares a la curva en P y Q Consideremos que P y Q son consecutivos por ello el
arco PQ=∆s se confunde con un arco de circunferencia de centro en O y radio r y se puede
escribir ∆s=r∆ϕ)
En el triaacutengulo QRS que es isoacutesceles por ser tt uuu
+= se cumple
2middotsen2
2middotsenmiddot2
=
= tt uu
pues 1=tu
dividiendo por ∆s resultaraacute
ssss
u t
=
=
=
middot
2
2sen
middot2middotsen2
2middotsen2
y pasando al liacutemite para ∆srarr0 resultaraacute
slim
s
ulim
s
t
s
=
rarrrarr
00
pues 1
2
2sen
0=
rarr
lim
y por ello ds
d
ds
ud t = y considerando que ∆s=r∆ϕ rarr ds=rdϕ
resultando rds
ud t 1= que es la inversa del radio de curvatura
Por tanto sustituyendo en (f) nt u
rds
ud
middot1
= y luego sustituyendo en (e)
nt u
r
v
dt
ud middot= y eacutesta finalmente en (c) resulta nt u
r
vu
dt
dva
2
+=
lo que demuestra que el vector aceleracioacuten a
no tiene ni direccioacuten
normal ni direccioacuten tangente a la trayectoria pues presenta dos
componentes en estas direcciones Uacutenicamente se puede asegurar
que el sentido de la componente normal es hacia el interior de la
concavidad de la trayectoria Las componentes son FIG 5
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11
Aceleracioacuten tangencial tt u
dt
dva
= y su moacutedulo
dt
dv
Aceleracioacuten normal (centriacutepeta) nn ur
va
middot
2
= y su moacutedulo r
v2
La aceleracioacuten tangencial ta
puede ser positiva si estaacute dirigida en la direccioacuten de v
y
negativa si estaacute dirigida en sentido contrario a v
y la aceleracioacuten normal na
es siempre
positiva y dirigida hacia la concavidad de la curva El moacutedulo de la aceleracioacuten en funcioacuten
de sus componentes seraacute
222
22
+
=+==
r
v
dt
dvaaaa nt
y el aacutengulo que forma la aceleracioacuten con la tangente a la trayectoria vendraacute dado por
t
n
t
n
A
A
A
Aarctgtg ==
Las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten son de gran importancia en cinemaacutetica
pues nos da cada una de ellas un aspecto de la variacioacuten de la velocidad con el tiempo La
aceleracioacuten tangencial nos da la variacioacuten del moacutedulo de la velocidad con el tiempo y la
aceleracioacuten normal nos da la variacioacuten de la direccioacuten de la velocidad con el tiempo La
clasificacioacuten de los movimientos debe hacerse por los valores de dichas componentes y de
ellas se deducen sus ecuaciones
El caacutelculo de las componentes intriacutensecas tambieacuten se puede realizar mediante el si-
guiente mecanismo vectorial
Aceleracioacuten tangencial De la derivada del vector de posicioacuten se obtiene el vector
velocidad y derivando por segunda vez se obtiene el vector aceleracioacuten y a partir de
ambas se realiza su producto escalar
v
vaayavvava tt
bull
===bull cos
y la direccioacuten del vector unitario tangente seraacute v
vu
= luego ( )
2v
vvauaa ttt
bull
==
Aceleracioacuten normal A partir de los mismos vectores a
y v
realizamos su producto
vectorial
navvava sen ==
y v
vaan
=
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12
y la direccioacuten del vector unitario normal seraacute )(
)(
vav
vavun
=
como puede demostrarse faacutecilmente en la figura 3
26 Concepto de radio de curvatura
Si tomamos tres puntos muy proacuteximos sobre
una curva P P y P de las circunferencias tan-
gentes a la curva en P la que tiene en dicho punto
un contacto tal que P y P pertenezcan a ella
cuando eacutestos tienden a confundirse con P la
llamamos circunferencia o ciacuterculo osculador E1
radio de este ciacuterculo lo llamamos radio de
curvatura y al centro centro de curvatura El
ciacuterculo osculador pertenece al plano determi-
nado por dos tangentes sucesivas a la curva en P
y P por ejemplo cuando ambos puntos tienden a
confundirse uno sobre otro A este plano se le
denomina plano osculador
FIG6
3 Movimientos de especial intereacutes
31 Movimiento uniforme
El movimiento uniforme es aquel en el que las componentes intriacutensecas de la acele-
racioacuten son ambas nulas es decir 0=na
y 0=ta
De la primera se deduce
2van = y por ser v 0 rarr =
y el movimiento es de radio de curvatura infinito o sea movimiento rectiliacuteneo
De la segunda se deduce dt
dvat = = 0 o sea v = cte
y el movimiento tiene moacutedulo de velocidad constante es decir es uniforme
De ambas condiciones se deduce que el vector velocidad v
es constante en moacutedulo
direccioacuten y sentido ( ctev =
) y como estaacute definido por
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13
dt
rdv
= luego dtvrd
=
que integrando = dtvrd
rarr 00 rtvr
+=
donde 0r
es la constante de integracioacuten (vectorial) y
representa el vector de posicioacuten inicial para el instante
inicial t = 0 (Fig7) FIG 7
Si tomamos como origen de coordenadas un punto situado en la propia trayectoria C
del movimiento todoslos vectores implicados en la ecuacioacuten 0r
r
y 0v
tendraacuten la misma
direccioacuten y se podraacute escribir tvss o+= 0 donde 0s s y 0v seraacuten los moacutedulos de los
vectores correspondientes
32 Movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
Este movimiento se caracteriza por que sus componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
toman los valores an = 0 y at = cte ne 0
De la primera se deduce como en el caso anterior que el radio es infinito r = y por
consiguiente el movimiento tiene trayectoria rectiliacutenea
De la segunda se obtiene dvdt=at (constante) siendo eacutesta ademaacutes la aceleracioacuten total
(por ser la uacutenica) pues
ttnt aaaaa ==+= 222
y como la aceleracioacuten tangencial tiene direccioacuten tangente a la trayectoria igual que la
velocidad se podraacute escribir
aadtvd t
== o bien dtavd
= e integrando = dtavd
resulta
0 vtav
+=
siendo 0v
la constante de integracioacuten que corresponde con la velocidad inicial o velocidad
para t = 0
Si sustituimos esta expresioacuten en la ecuacioacuten de definicioacuten de v
resulta
tavdt
rdv 0
+== o bien dttadtvrd 0
+=
e integrando += dttadtvrd 0
rarr 2
00 2
1 tatvrr
++=
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14
donde 0r
es la constante de integracioacuten que representa el vector de posicioacuten en el instante
inicial t = 0
Si elegimos como origen de coordenadas un
punto situado en la propia trayectoria recta C del
movimiento resultaraacuten r
0r
0v
a
vectores
todos ellos de la misma direccioacuten y podraacuten
escribirse las ecuaciones anteriores soacutelo con sus
moacutedulos es decir FIG 8
2
00 2
1 tatvss ++= y tavv 0 +=
Entre ambas ecuaciones podemos eliminar el tiempo t para obtener una ecuacioacuten de la
velocidad en funcioacuten del espacio y la aceleracioacuten v=f(sa)
despejando t de la segunda ecuacioacuten a
vvt ominus
=
y sustituyendo en la ecuacioacuten del espacio resulta
2
2
2
1 0
2
0
22
00
0
2
00
00 =minus+
+minus
+=
minus+
minus+=
a
vvvv
a
vvvs
a
vva
a
vvvss
a
vvs
a
vvvvvvvs
22
222
2
0
2
0
0
2
0
22
00
0
minus+=
minus++minus+=
de donde a
vvss
2
2
0
2
0
minus=minus resultando )(2 0
2
0
2 ssavv minus+=
En el caso de que el origen de coordenadas sea arbitrario y esteacute fuera de la trayectoria
la expresioacuten vectorial anterior
2
002
1tatvrr
++= puede ponerse 2
002
1tatvrr
+=minus
resultando que los vectores 0rr
minus 0v
y a
tienen todos la misma direccioacuten como puede
apreciarse en la figura 8 y pueden escribirse por sus moacutedulos llamando 0rrs
minus=
resultando 2
02
1attvs +=
Si se trata de un movimiento uniformemente retardado (decelerado) la aceleracioacuten seraacute
negativa y si el movimiento se debe a la accioacuten gravitatoria en recorridos cortos muy
proacuteximos a la superficie de la Tierra la aceleracioacuten se puede considerar constante e igual a
a = g = 9rsquo8 ms2 = 980 cms2 y se denomina movimiento de caiacuteda libre
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15
33 Movimiento circular uniforme
Para este movimiento las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los si-
guientes valores an = cte ne 0 y at= 0
De la segunda condicioacuten at=dvdt=0 se deduce que v=cte y como la primera condicioacuten
implica an=v2=cte de todo ello se deduce que =cte y la trayectoria ha de ser circular de
radio La aceleracioacuten total del movimiento seraacute
nnt aaaa
=+=
y la velocidad seraacute constante en moacutedulo pero no en direccioacuten En consecuencia la
ecuacioacuten que nos daraacute el espacio recorrido por el moacutevil a lo largo de su trayectoria circular
es la misma que la correspondiente al movimiento uniforme y rectiliacuteneo midiendo los
espacios sobre la circunferencia tvss 0 +=
En este tipo de movimiento interesa conocer el aacutengulo girado por el radio-vector que
une el centro con el moacutevil Recordando que Arco(m)=Radio(m)Angulo(rad)
resulta S = ϕ y derivando respecto al tiempo resultaraacute
dt
d
dt
ds middot= es decir
dt
dv
=
Esta uacuteltima derivada representa la variacioacuten del aacutengulo girado por el vector de posicioacuten
en la unidad de tiempo a lo que se le llama velocidad angular y se representa por
=ddt resultando v= ( rarr rads)
Por convenio se representa la velocidad angular por un vector axial normal al plano de
la circunferencia (plano de r
y v
) de sentido el correspondiente a la regla del sacacorchos
(regla de Maxwell) y de moacutedulo proporcional a su valor por ello puede escribirse
=v
expresioacuten que tambieacuten puede escribirse asiacute
=minus= AOv
es decir la velocidad tangencial v
es el momento del
vector velocidad angular
con respecto al punto A
34 Movimiento circular uniformemente acelerado
En eacutel las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los siguientes valores
an=v2 cte t2 y at=dvdt=cte
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16
tendraacute como trayectoria una circunferencia de radio y sobre ella el movimiento vendraacute
descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado
2
002
1tatvss t++= tavv t+= 0 )(2 0
2
0
2 ssavv t minus+=
Como la velocidad no es constante tampoco lo seraacute la velocidad angular relacionada
con aquella mediante el radio v= y por ello derivando con respecto al tiempo
resultaraacute
( )
dt
d
dt
d
dt
dv== o sea a =
donde =ddt es la aceleracioacuten angular o variacioacuten de la velocidad angular con respecto
al tiempo Se mide en rads2 en el sistema Internacional (SI)
Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en funcioacuten de las magnitudes angula-res a
partir de = ddt y = ddt e integrando
= 0 + t 2 = 02 + 2
35 Movimiento armoacutenico simple
Llamamos movimiento perioacutedico a cualquier movimiento que se repite a intervalos
iguales de tiempo Por ejemplo el movimiento de una masa sujeta a un muelle el movi-
miento de un peacutendulo las vibraciones de los aacutetomos de una moleacutecula etc Cuando una
partiacutecula que realiza un movimiento perioacutedico se mueve alternativamente en un sentido y
otro sobre una misma trayectoria recibe el nombre de movimiento oscilatorio
El movimiento oscilatorio maacutes importante es el movimiento armoacutenico simple (MAS)
por ser el maacutes faacutecil de describir matemaacuteticamente y constituye un modelo exacto o
aproximado para muchos sistemas fiacutesicos
Decimos que una partiacutecula que se mueve a lo largo del eje X realiza un MAS centrado
en el origen O de dicho sistema coordenado cuando su desplazamiento X con respecto al
origen viene expresado en funcioacuten del tiempo en la forma
( ) += tAx sen
donde A y son constantes propias del movimiento armoacutenico
La distancia X que separa la partiacutecula del origen O recibe el nombre de elongacioacuten El
valor absoluto de la elongacioacuten maacutexima A se denomina amplitud La cantidad t+
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17
(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase
inicial para t=0
Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2 la partiacutecula completa una oscilacioacuten
luego el periodo es T=2 La frecuencia del movimiento es el nuacutemero de oscilaciones
que se completan en la unidad de tiempo [=1T (cicloss=herzios (Hz))]
La constante es la frecuencia angular o pulsacioacuten (=2=s-1)
La velocidad de la partiacutecula que realiza un Movimiento Armoacutenico Simple viene dada
por la derivada de la elongacioacuten respecto del tiempo
( )
++=+==
2sencos
tAtA
dt
dxv
La aceleracioacuten de la partiacutecula se determina haciendo la derivada de la velocidad
respecto del tiempo
( ) XtAdt
dva sen 22 minus=+minus==
Considerando a=Fm la fuerza que deberaacute actuar sobre una partiacutecula para que realice un
Movimiento Armoacutenico Simple debe ser tambieacuten proporcional a la elongacioacuten de la
partiacutecula y de signo contrario a eacutesta
F = ma = -m2x = -kx
donde k = m2 llamada constante armoacutenica
36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos
Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultaacuteneos independientes realiza
un movimiento compuesto que resulta de la combinacioacuten de aquellos La composicioacuten de
dos o maacutes movimientos se realiza calculando el vector de posicioacuten del movimiento
resultante como suma de los vectores de posicioacuten de los movimientos componentes
Esto se apoya en el ldquoPrincipio de Galileordquo o de independencia de los movimientos ldquoSi
un punto estaacute dotado por dos causas diferentes de dos movimientos simultaacuteneos su cambio de
posicioacuten es independiente de que los dos movimientos actuacuteen sucesiva o simultaacuteneamenterdquo
De lo anterior se deduce que el vector de posicioacuten r
es la suma de los vectores de
posicioacuten de los movimientos individuales
4321 ++++= rrrrr
y derivando 4321 ++++= vvvvv
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18
es decir la velocidad de un movimiento compuesto es en todo momento la suma
vectorial de las velocidades de los movimientos componentes
361 Descripcioacuten de casos elementales
A) Un nadador que avanza en la direccioacuten y sentido de la corriente (dos movimientos
rectiliacuteneos y uniformes en la misma direccioacuten y sentido)
v = v1 + v2 a = 0
s = s1 + s2 = (v1 + v2)t
B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectiliacuteneos y
uniformes de la misma direccioacuten y de sentidos contrarios)
v = v1 - v2 a = 0
s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)
C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos
rec-tiliacuteneos y uniformes de direcciones perpendiculares)
2
2
2
121
2
2
2
1 ordm90middotcos2 vvvsivvvvv +==++=
el espacio recorrido seraacute
tvvssss middot2
2
2
1
2
2
2
1+=rarr+=
y el aacutengulo de direccioacuten resultante
1
2
1
2tgs
s
v
v==
D) Dos movimientos rectiliacuteneos uniformemente acelerados en la misma direccioacuten
++=
++=
2
202022
2
101011
2
1middot
2
1middot
tatvss
tatvss sumando
2
21201020121 )(2
1)()( taatvvsssss o +++++=+=
taavvdt
dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa
dt
dva +==
E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma
direccioacuten dados por
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19
middot
2
1middot
middot
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1)()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado
362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda
Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante
vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del
avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior
con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo
posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
minus=
=
El aacutengulo de v con la horizontal seraacute
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es
jgtivv x
minus=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r
resulta
jgtitvr x
2
1 2minus=
por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten
dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la
trayectoria
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20
)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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21
que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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22
=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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23
( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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24
41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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25
donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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26
- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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27
aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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28
5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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7
Anaacutelogamente se define la velocidad media en la trayectoria vm (magnitud escalar) al
cociente de la trayectoria recorrida en el tiempo empleado
t
svm
=
Ambas velocidades medias una vectorial y otra escalar no son generalmente de igual
moacutedulo pues sr
como puede apreciarse en la Fig2
Si reducimos el intervalo de tiempo t hasta valores muy pequentildeos que tiendan a cero
el vector velocidad quedaraacute referido a un intervalo infinitamente pequentildeo y se llamaraacute
vector velocidad instantaacutenea o simplemente vector velocidad
dt
rd
t
rlimvt
=
=
rarr 0 (a)
Anaacutelogamente se definiraacute la velocidad instantaacutenea sobre la trayectoria como
dt
ds
t
slimvt
=
=
rarr 0 (b)
Ambas expresiones estaacuten relacionadas entre siacute como demostraremos a continuacioacuten Si
consideramos el vector velocidad instantaacutenea
t
slim
s
rlim
s
s
t
rlimv
tst
=
=
rarrrarrrarr 000
El 1er liacutemite es un vector de moacutedulo 1 ya que r
y s tienden a ser iguales cuando
srarr0 pues el arco (s) y la cuerda ( r
) se confunden cuando se hacen infinitamente
pequentildeos y tiene direccioacuten tangente a la trayectoria La direccioacuten de r
(inicialmente
secante a la curva) tiende hacia una direccioacuten tangente cuando s se hace infinitamente
pequentildeo Por tanto el primer liacutemite representa un vector unitario tangente a la trayectoria
en el punto
t
su
ds
rd
s
rlim
==
rarr 0 (vector unitario tangente) pues 1=
rarr PQ
PQlim
QP
El 2ordm liacutemite es el que hemos definido como velocidad media en la trayectoria calculada
en un intervalo reducido que tiende a cero
vt
slimt
=
rarr 0 (velocidad instantaacutenea sobre la trayectoria)
Finalmente resultaraacute tuvv
middot= (c)
el vector velocidad instantaacutenea es un vector tangente a la trayectoria que tiene por
moacutedulo la velocidad instantaacutenea calculada sobre la trayectoria y que llamaremos
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8
simplemente celeridad (Recordemos que todo vector puede expresarse como el producto
de su moacutedulo por un vector unitario en la direccioacuten del vector)
Teniendo en cuenta la expresioacuten de
ktzjtyitxr
)middot()middot()middot( ++=
el vector velocidad tambieacuten puede expresarse en un sistema cartesiano mediante la deri-
vada del vector de posicioacuten
kdt
tdzj
dt
tdyi
dt
tdx
dt
rdv
)()()(
++==
y la celeridad o moacutedulo de la velocidad seraacute
21222
+
+
==
dt
dz
dt
dy
dt
dxvv
que seraacute una funcioacuten del tiempo como lo son las componentes dxdt dydt y dzdt
24 Vector aceleracioacuten
El movimiento de un punto material en su forma maacutes general tiene en cada punto de
la trayectoria un vector de posicioacuten y un vector velocidad diferentes lo que significa una
variacioacuten de la velocidad tanto en moacutedulo como en direccioacuten y sentido
En el instante t la velocidad del punto moacutevil
situado en P es v
y despueacutes de transcurrido un
intervalo de tiempo t es decir en el instante t+t
la velocidad del moacutevil situado en Q es v
+ v
Definimos el vector aceleracioacuten media al cociente
entre la variacioacuten del vector velocidad y el
intervalo de tiempo transcurrido Es un vector que
tiene la misma direccioacuten y sentido que v
t
vam
=
Considerando un intervalo de tiempo infinitamente pequentildeo que tienda a cero
podemos definir el vector aceleracioacuten instantaacutenea o simplemente el vector aceleracioacuten
como el valor en el liacutemite de la relacioacuten Vt cuando t tiende a cero es decir
2
2
0 dt
rd
dt
rd
dt
d
dt
vd
t
vlimat
=
==
=
rarr
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9
El vector aceleracioacuten tendraacute por componentes
kdt
zdj
dt
ydi
dt
xdk
dt
dvj
dt
dvi
dt
dva zyx
2
2
2
2
2
2
++=++=
y su moacutedulo seraacute
2
2
22
2
22
2
2
+
+
==
dt
zd
dt
yd
dt
xdaa
25 Componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
De la propia definicioacuten del vector aceleracioacuten a
se deduce que en general no es ni
tangente a la trayectoria (pues implicariacutea una direccioacuten constante en V
) ni perpendicular a
ella (pues implicariacutea un moacutedulo constante en V
) y por ello puede ser descompuesto en
dos componentes una tangente y otra perpendicular a la trayectoria que se llamaraacuten
componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten Dichas componentes estaacuten situadas en un
sistema de coordenadas intriacutenseco al moacutevil con ejes tangente y normal a la trayectoria e
independiente de cualquier sistema de referencia
Aplicando la definicioacuten de a
a la expresioacuten del vector velocidad resultaraacute
( )dt
udvu
dt
dvuv
dt
d
dt
vda t
tt
middotmiddotmiddot +=== (d)
como vemos a
tiene dos componentes vectoriales una de ellas es tangente a la
trayectoria de moacutedulo dvdt que llamaremos aceleracioacuten tangencial
El uacuteltimo teacutermino de la expresioacuten (d) dutdt se transforma en
vds
ud
dt
ds
ds
ud
dt
ud ttt
== (V=celeridad o moacutedulo de la velocidad) (e)
y el factor dsud t
es un vector que representa la deri-
vada del vector unitario tangente (de moacutedulo cons-
tante) con respecto al arco Se demuestra asiacute como tu
es un vector unitario su derivada dsud t
respecto a
un escalar es perpendicular a tu
Estos vectores estaacuten
en el llamado plano osculador determinado por dos
tangentes consecutivas a un punto y el vector dsud t
tiene la direccioacuten de la normal principal (perpendi-
cular a la trayectoria con-tenida en el plano osculador)
FIG4
ut ut
ut ut
ut
s
r
+
rr
r
+
C
QR
C
S
P
O
s=r
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10
y su sentido es el de la concavidad por consiguiente
n
tt uds
ud
ds
ud
middot= (f)
Calculemos ahora el moacutedulo de dsud t
Sean dos puntos P y Q de la curva de la fig 4
y sean tu
y tu
+ tu
los vectores unitarios tangentes sobre dichos puntos P y Q
respectivamente (Por Q se traza el equipolente a tu
En el plano osculador se trazan las
perpendiculares a la curva en P y Q Consideremos que P y Q son consecutivos por ello el
arco PQ=∆s se confunde con un arco de circunferencia de centro en O y radio r y se puede
escribir ∆s=r∆ϕ)
En el triaacutengulo QRS que es isoacutesceles por ser tt uuu
+= se cumple
2middotsen2
2middotsenmiddot2
=
= tt uu
pues 1=tu
dividiendo por ∆s resultaraacute
ssss
u t
=
=
=
middot
2
2sen
middot2middotsen2
2middotsen2
y pasando al liacutemite para ∆srarr0 resultaraacute
slim
s
ulim
s
t
s
=
rarrrarr
00
pues 1
2
2sen
0=
rarr
lim
y por ello ds
d
ds
ud t = y considerando que ∆s=r∆ϕ rarr ds=rdϕ
resultando rds
ud t 1= que es la inversa del radio de curvatura
Por tanto sustituyendo en (f) nt u
rds
ud
middot1
= y luego sustituyendo en (e)
nt u
r
v
dt
ud middot= y eacutesta finalmente en (c) resulta nt u
r
vu
dt
dva
2
+=
lo que demuestra que el vector aceleracioacuten a
no tiene ni direccioacuten
normal ni direccioacuten tangente a la trayectoria pues presenta dos
componentes en estas direcciones Uacutenicamente se puede asegurar
que el sentido de la componente normal es hacia el interior de la
concavidad de la trayectoria Las componentes son FIG 5
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11
Aceleracioacuten tangencial tt u
dt
dva
= y su moacutedulo
dt
dv
Aceleracioacuten normal (centriacutepeta) nn ur
va
middot
2
= y su moacutedulo r
v2
La aceleracioacuten tangencial ta
puede ser positiva si estaacute dirigida en la direccioacuten de v
y
negativa si estaacute dirigida en sentido contrario a v
y la aceleracioacuten normal na
es siempre
positiva y dirigida hacia la concavidad de la curva El moacutedulo de la aceleracioacuten en funcioacuten
de sus componentes seraacute
222
22
+
=+==
r
v
dt
dvaaaa nt
y el aacutengulo que forma la aceleracioacuten con la tangente a la trayectoria vendraacute dado por
t
n
t
n
A
A
A
Aarctgtg ==
Las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten son de gran importancia en cinemaacutetica
pues nos da cada una de ellas un aspecto de la variacioacuten de la velocidad con el tiempo La
aceleracioacuten tangencial nos da la variacioacuten del moacutedulo de la velocidad con el tiempo y la
aceleracioacuten normal nos da la variacioacuten de la direccioacuten de la velocidad con el tiempo La
clasificacioacuten de los movimientos debe hacerse por los valores de dichas componentes y de
ellas se deducen sus ecuaciones
El caacutelculo de las componentes intriacutensecas tambieacuten se puede realizar mediante el si-
guiente mecanismo vectorial
Aceleracioacuten tangencial De la derivada del vector de posicioacuten se obtiene el vector
velocidad y derivando por segunda vez se obtiene el vector aceleracioacuten y a partir de
ambas se realiza su producto escalar
v
vaayavvava tt
bull
===bull cos
y la direccioacuten del vector unitario tangente seraacute v
vu
= luego ( )
2v
vvauaa ttt
bull
==
Aceleracioacuten normal A partir de los mismos vectores a
y v
realizamos su producto
vectorial
navvava sen ==
y v
vaan
=
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12
y la direccioacuten del vector unitario normal seraacute )(
)(
vav
vavun
=
como puede demostrarse faacutecilmente en la figura 3
26 Concepto de radio de curvatura
Si tomamos tres puntos muy proacuteximos sobre
una curva P P y P de las circunferencias tan-
gentes a la curva en P la que tiene en dicho punto
un contacto tal que P y P pertenezcan a ella
cuando eacutestos tienden a confundirse con P la
llamamos circunferencia o ciacuterculo osculador E1
radio de este ciacuterculo lo llamamos radio de
curvatura y al centro centro de curvatura El
ciacuterculo osculador pertenece al plano determi-
nado por dos tangentes sucesivas a la curva en P
y P por ejemplo cuando ambos puntos tienden a
confundirse uno sobre otro A este plano se le
denomina plano osculador
FIG6
3 Movimientos de especial intereacutes
31 Movimiento uniforme
El movimiento uniforme es aquel en el que las componentes intriacutensecas de la acele-
racioacuten son ambas nulas es decir 0=na
y 0=ta
De la primera se deduce
2van = y por ser v 0 rarr =
y el movimiento es de radio de curvatura infinito o sea movimiento rectiliacuteneo
De la segunda se deduce dt
dvat = = 0 o sea v = cte
y el movimiento tiene moacutedulo de velocidad constante es decir es uniforme
De ambas condiciones se deduce que el vector velocidad v
es constante en moacutedulo
direccioacuten y sentido ( ctev =
) y como estaacute definido por
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13
dt
rdv
= luego dtvrd
=
que integrando = dtvrd
rarr 00 rtvr
+=
donde 0r
es la constante de integracioacuten (vectorial) y
representa el vector de posicioacuten inicial para el instante
inicial t = 0 (Fig7) FIG 7
Si tomamos como origen de coordenadas un punto situado en la propia trayectoria C
del movimiento todoslos vectores implicados en la ecuacioacuten 0r
r
y 0v
tendraacuten la misma
direccioacuten y se podraacute escribir tvss o+= 0 donde 0s s y 0v seraacuten los moacutedulos de los
vectores correspondientes
32 Movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
Este movimiento se caracteriza por que sus componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
toman los valores an = 0 y at = cte ne 0
De la primera se deduce como en el caso anterior que el radio es infinito r = y por
consiguiente el movimiento tiene trayectoria rectiliacutenea
De la segunda se obtiene dvdt=at (constante) siendo eacutesta ademaacutes la aceleracioacuten total
(por ser la uacutenica) pues
ttnt aaaaa ==+= 222
y como la aceleracioacuten tangencial tiene direccioacuten tangente a la trayectoria igual que la
velocidad se podraacute escribir
aadtvd t
== o bien dtavd
= e integrando = dtavd
resulta
0 vtav
+=
siendo 0v
la constante de integracioacuten que corresponde con la velocidad inicial o velocidad
para t = 0
Si sustituimos esta expresioacuten en la ecuacioacuten de definicioacuten de v
resulta
tavdt
rdv 0
+== o bien dttadtvrd 0
+=
e integrando += dttadtvrd 0
rarr 2
00 2
1 tatvrr
++=
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14
donde 0r
es la constante de integracioacuten que representa el vector de posicioacuten en el instante
inicial t = 0
Si elegimos como origen de coordenadas un
punto situado en la propia trayectoria recta C del
movimiento resultaraacuten r
0r
0v
a
vectores
todos ellos de la misma direccioacuten y podraacuten
escribirse las ecuaciones anteriores soacutelo con sus
moacutedulos es decir FIG 8
2
00 2
1 tatvss ++= y tavv 0 +=
Entre ambas ecuaciones podemos eliminar el tiempo t para obtener una ecuacioacuten de la
velocidad en funcioacuten del espacio y la aceleracioacuten v=f(sa)
despejando t de la segunda ecuacioacuten a
vvt ominus
=
y sustituyendo en la ecuacioacuten del espacio resulta
2
2
2
1 0
2
0
22
00
0
2
00
00 =minus+
+minus
+=
minus+
minus+=
a
vvvv
a
vvvs
a
vva
a
vvvss
a
vvs
a
vvvvvvvs
22
222
2
0
2
0
0
2
0
22
00
0
minus+=
minus++minus+=
de donde a
vvss
2
2
0
2
0
minus=minus resultando )(2 0
2
0
2 ssavv minus+=
En el caso de que el origen de coordenadas sea arbitrario y esteacute fuera de la trayectoria
la expresioacuten vectorial anterior
2
002
1tatvrr
++= puede ponerse 2
002
1tatvrr
+=minus
resultando que los vectores 0rr
minus 0v
y a
tienen todos la misma direccioacuten como puede
apreciarse en la figura 8 y pueden escribirse por sus moacutedulos llamando 0rrs
minus=
resultando 2
02
1attvs +=
Si se trata de un movimiento uniformemente retardado (decelerado) la aceleracioacuten seraacute
negativa y si el movimiento se debe a la accioacuten gravitatoria en recorridos cortos muy
proacuteximos a la superficie de la Tierra la aceleracioacuten se puede considerar constante e igual a
a = g = 9rsquo8 ms2 = 980 cms2 y se denomina movimiento de caiacuteda libre
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15
33 Movimiento circular uniforme
Para este movimiento las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los si-
guientes valores an = cte ne 0 y at= 0
De la segunda condicioacuten at=dvdt=0 se deduce que v=cte y como la primera condicioacuten
implica an=v2=cte de todo ello se deduce que =cte y la trayectoria ha de ser circular de
radio La aceleracioacuten total del movimiento seraacute
nnt aaaa
=+=
y la velocidad seraacute constante en moacutedulo pero no en direccioacuten En consecuencia la
ecuacioacuten que nos daraacute el espacio recorrido por el moacutevil a lo largo de su trayectoria circular
es la misma que la correspondiente al movimiento uniforme y rectiliacuteneo midiendo los
espacios sobre la circunferencia tvss 0 +=
En este tipo de movimiento interesa conocer el aacutengulo girado por el radio-vector que
une el centro con el moacutevil Recordando que Arco(m)=Radio(m)Angulo(rad)
resulta S = ϕ y derivando respecto al tiempo resultaraacute
dt
d
dt
ds middot= es decir
dt
dv
=
Esta uacuteltima derivada representa la variacioacuten del aacutengulo girado por el vector de posicioacuten
en la unidad de tiempo a lo que se le llama velocidad angular y se representa por
=ddt resultando v= ( rarr rads)
Por convenio se representa la velocidad angular por un vector axial normal al plano de
la circunferencia (plano de r
y v
) de sentido el correspondiente a la regla del sacacorchos
(regla de Maxwell) y de moacutedulo proporcional a su valor por ello puede escribirse
=v
expresioacuten que tambieacuten puede escribirse asiacute
=minus= AOv
es decir la velocidad tangencial v
es el momento del
vector velocidad angular
con respecto al punto A
34 Movimiento circular uniformemente acelerado
En eacutel las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los siguientes valores
an=v2 cte t2 y at=dvdt=cte
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16
tendraacute como trayectoria una circunferencia de radio y sobre ella el movimiento vendraacute
descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado
2
002
1tatvss t++= tavv t+= 0 )(2 0
2
0
2 ssavv t minus+=
Como la velocidad no es constante tampoco lo seraacute la velocidad angular relacionada
con aquella mediante el radio v= y por ello derivando con respecto al tiempo
resultaraacute
( )
dt
d
dt
d
dt
dv== o sea a =
donde =ddt es la aceleracioacuten angular o variacioacuten de la velocidad angular con respecto
al tiempo Se mide en rads2 en el sistema Internacional (SI)
Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en funcioacuten de las magnitudes angula-res a
partir de = ddt y = ddt e integrando
= 0 + t 2 = 02 + 2
35 Movimiento armoacutenico simple
Llamamos movimiento perioacutedico a cualquier movimiento que se repite a intervalos
iguales de tiempo Por ejemplo el movimiento de una masa sujeta a un muelle el movi-
miento de un peacutendulo las vibraciones de los aacutetomos de una moleacutecula etc Cuando una
partiacutecula que realiza un movimiento perioacutedico se mueve alternativamente en un sentido y
otro sobre una misma trayectoria recibe el nombre de movimiento oscilatorio
El movimiento oscilatorio maacutes importante es el movimiento armoacutenico simple (MAS)
por ser el maacutes faacutecil de describir matemaacuteticamente y constituye un modelo exacto o
aproximado para muchos sistemas fiacutesicos
Decimos que una partiacutecula que se mueve a lo largo del eje X realiza un MAS centrado
en el origen O de dicho sistema coordenado cuando su desplazamiento X con respecto al
origen viene expresado en funcioacuten del tiempo en la forma
( ) += tAx sen
donde A y son constantes propias del movimiento armoacutenico
La distancia X que separa la partiacutecula del origen O recibe el nombre de elongacioacuten El
valor absoluto de la elongacioacuten maacutexima A se denomina amplitud La cantidad t+
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17
(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase
inicial para t=0
Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2 la partiacutecula completa una oscilacioacuten
luego el periodo es T=2 La frecuencia del movimiento es el nuacutemero de oscilaciones
que se completan en la unidad de tiempo [=1T (cicloss=herzios (Hz))]
La constante es la frecuencia angular o pulsacioacuten (=2=s-1)
La velocidad de la partiacutecula que realiza un Movimiento Armoacutenico Simple viene dada
por la derivada de la elongacioacuten respecto del tiempo
( )
++=+==
2sencos
tAtA
dt
dxv
La aceleracioacuten de la partiacutecula se determina haciendo la derivada de la velocidad
respecto del tiempo
( ) XtAdt
dva sen 22 minus=+minus==
Considerando a=Fm la fuerza que deberaacute actuar sobre una partiacutecula para que realice un
Movimiento Armoacutenico Simple debe ser tambieacuten proporcional a la elongacioacuten de la
partiacutecula y de signo contrario a eacutesta
F = ma = -m2x = -kx
donde k = m2 llamada constante armoacutenica
36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos
Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultaacuteneos independientes realiza
un movimiento compuesto que resulta de la combinacioacuten de aquellos La composicioacuten de
dos o maacutes movimientos se realiza calculando el vector de posicioacuten del movimiento
resultante como suma de los vectores de posicioacuten de los movimientos componentes
Esto se apoya en el ldquoPrincipio de Galileordquo o de independencia de los movimientos ldquoSi
un punto estaacute dotado por dos causas diferentes de dos movimientos simultaacuteneos su cambio de
posicioacuten es independiente de que los dos movimientos actuacuteen sucesiva o simultaacuteneamenterdquo
De lo anterior se deduce que el vector de posicioacuten r
es la suma de los vectores de
posicioacuten de los movimientos individuales
4321 ++++= rrrrr
y derivando 4321 ++++= vvvvv
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18
es decir la velocidad de un movimiento compuesto es en todo momento la suma
vectorial de las velocidades de los movimientos componentes
361 Descripcioacuten de casos elementales
A) Un nadador que avanza en la direccioacuten y sentido de la corriente (dos movimientos
rectiliacuteneos y uniformes en la misma direccioacuten y sentido)
v = v1 + v2 a = 0
s = s1 + s2 = (v1 + v2)t
B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectiliacuteneos y
uniformes de la misma direccioacuten y de sentidos contrarios)
v = v1 - v2 a = 0
s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)
C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos
rec-tiliacuteneos y uniformes de direcciones perpendiculares)
2
2
2
121
2
2
2
1 ordm90middotcos2 vvvsivvvvv +==++=
el espacio recorrido seraacute
tvvssss middot2
2
2
1
2
2
2
1+=rarr+=
y el aacutengulo de direccioacuten resultante
1
2
1
2tgs
s
v
v==
D) Dos movimientos rectiliacuteneos uniformemente acelerados en la misma direccioacuten
++=
++=
2
202022
2
101011
2
1middot
2
1middot
tatvss
tatvss sumando
2
21201020121 )(2
1)()( taatvvsssss o +++++=+=
taavvdt
dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa
dt
dva +==
E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma
direccioacuten dados por
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19
middot
2
1middot
middot
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1)()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado
362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda
Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante
vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del
avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior
con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo
posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
minus=
=
El aacutengulo de v con la horizontal seraacute
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es
jgtivv x
minus=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r
resulta
jgtitvr x
2
1 2minus=
por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten
dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la
trayectoria
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20
)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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21
que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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22
=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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23
( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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24
41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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25
donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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26
- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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27
aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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28
5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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8
simplemente celeridad (Recordemos que todo vector puede expresarse como el producto
de su moacutedulo por un vector unitario en la direccioacuten del vector)
Teniendo en cuenta la expresioacuten de
ktzjtyitxr
)middot()middot()middot( ++=
el vector velocidad tambieacuten puede expresarse en un sistema cartesiano mediante la deri-
vada del vector de posicioacuten
kdt
tdzj
dt
tdyi
dt
tdx
dt
rdv
)()()(
++==
y la celeridad o moacutedulo de la velocidad seraacute
21222
+
+
==
dt
dz
dt
dy
dt
dxvv
que seraacute una funcioacuten del tiempo como lo son las componentes dxdt dydt y dzdt
24 Vector aceleracioacuten
El movimiento de un punto material en su forma maacutes general tiene en cada punto de
la trayectoria un vector de posicioacuten y un vector velocidad diferentes lo que significa una
variacioacuten de la velocidad tanto en moacutedulo como en direccioacuten y sentido
En el instante t la velocidad del punto moacutevil
situado en P es v
y despueacutes de transcurrido un
intervalo de tiempo t es decir en el instante t+t
la velocidad del moacutevil situado en Q es v
+ v
Definimos el vector aceleracioacuten media al cociente
entre la variacioacuten del vector velocidad y el
intervalo de tiempo transcurrido Es un vector que
tiene la misma direccioacuten y sentido que v
t
vam
=
Considerando un intervalo de tiempo infinitamente pequentildeo que tienda a cero
podemos definir el vector aceleracioacuten instantaacutenea o simplemente el vector aceleracioacuten
como el valor en el liacutemite de la relacioacuten Vt cuando t tiende a cero es decir
2
2
0 dt
rd
dt
rd
dt
d
dt
vd
t
vlimat
=
==
=
rarr
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9
El vector aceleracioacuten tendraacute por componentes
kdt
zdj
dt
ydi
dt
xdk
dt
dvj
dt
dvi
dt
dva zyx
2
2
2
2
2
2
++=++=
y su moacutedulo seraacute
2
2
22
2
22
2
2
+
+
==
dt
zd
dt
yd
dt
xdaa
25 Componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
De la propia definicioacuten del vector aceleracioacuten a
se deduce que en general no es ni
tangente a la trayectoria (pues implicariacutea una direccioacuten constante en V
) ni perpendicular a
ella (pues implicariacutea un moacutedulo constante en V
) y por ello puede ser descompuesto en
dos componentes una tangente y otra perpendicular a la trayectoria que se llamaraacuten
componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten Dichas componentes estaacuten situadas en un
sistema de coordenadas intriacutenseco al moacutevil con ejes tangente y normal a la trayectoria e
independiente de cualquier sistema de referencia
Aplicando la definicioacuten de a
a la expresioacuten del vector velocidad resultaraacute
( )dt
udvu
dt
dvuv
dt
d
dt
vda t
tt
middotmiddotmiddot +=== (d)
como vemos a
tiene dos componentes vectoriales una de ellas es tangente a la
trayectoria de moacutedulo dvdt que llamaremos aceleracioacuten tangencial
El uacuteltimo teacutermino de la expresioacuten (d) dutdt se transforma en
vds
ud
dt
ds
ds
ud
dt
ud ttt
== (V=celeridad o moacutedulo de la velocidad) (e)
y el factor dsud t
es un vector que representa la deri-
vada del vector unitario tangente (de moacutedulo cons-
tante) con respecto al arco Se demuestra asiacute como tu
es un vector unitario su derivada dsud t
respecto a
un escalar es perpendicular a tu
Estos vectores estaacuten
en el llamado plano osculador determinado por dos
tangentes consecutivas a un punto y el vector dsud t
tiene la direccioacuten de la normal principal (perpendi-
cular a la trayectoria con-tenida en el plano osculador)
FIG4
ut ut
ut ut
ut
s
r
+
rr
r
+
C
QR
C
S
P
O
s=r
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10
y su sentido es el de la concavidad por consiguiente
n
tt uds
ud
ds
ud
middot= (f)
Calculemos ahora el moacutedulo de dsud t
Sean dos puntos P y Q de la curva de la fig 4
y sean tu
y tu
+ tu
los vectores unitarios tangentes sobre dichos puntos P y Q
respectivamente (Por Q se traza el equipolente a tu
En el plano osculador se trazan las
perpendiculares a la curva en P y Q Consideremos que P y Q son consecutivos por ello el
arco PQ=∆s se confunde con un arco de circunferencia de centro en O y radio r y se puede
escribir ∆s=r∆ϕ)
En el triaacutengulo QRS que es isoacutesceles por ser tt uuu
+= se cumple
2middotsen2
2middotsenmiddot2
=
= tt uu
pues 1=tu
dividiendo por ∆s resultaraacute
ssss
u t
=
=
=
middot
2
2sen
middot2middotsen2
2middotsen2
y pasando al liacutemite para ∆srarr0 resultaraacute
slim
s
ulim
s
t
s
=
rarrrarr
00
pues 1
2
2sen
0=
rarr
lim
y por ello ds
d
ds
ud t = y considerando que ∆s=r∆ϕ rarr ds=rdϕ
resultando rds
ud t 1= que es la inversa del radio de curvatura
Por tanto sustituyendo en (f) nt u
rds
ud
middot1
= y luego sustituyendo en (e)
nt u
r
v
dt
ud middot= y eacutesta finalmente en (c) resulta nt u
r
vu
dt
dva
2
+=
lo que demuestra que el vector aceleracioacuten a
no tiene ni direccioacuten
normal ni direccioacuten tangente a la trayectoria pues presenta dos
componentes en estas direcciones Uacutenicamente se puede asegurar
que el sentido de la componente normal es hacia el interior de la
concavidad de la trayectoria Las componentes son FIG 5
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11
Aceleracioacuten tangencial tt u
dt
dva
= y su moacutedulo
dt
dv
Aceleracioacuten normal (centriacutepeta) nn ur
va
middot
2
= y su moacutedulo r
v2
La aceleracioacuten tangencial ta
puede ser positiva si estaacute dirigida en la direccioacuten de v
y
negativa si estaacute dirigida en sentido contrario a v
y la aceleracioacuten normal na
es siempre
positiva y dirigida hacia la concavidad de la curva El moacutedulo de la aceleracioacuten en funcioacuten
de sus componentes seraacute
222
22
+
=+==
r
v
dt
dvaaaa nt
y el aacutengulo que forma la aceleracioacuten con la tangente a la trayectoria vendraacute dado por
t
n
t
n
A
A
A
Aarctgtg ==
Las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten son de gran importancia en cinemaacutetica
pues nos da cada una de ellas un aspecto de la variacioacuten de la velocidad con el tiempo La
aceleracioacuten tangencial nos da la variacioacuten del moacutedulo de la velocidad con el tiempo y la
aceleracioacuten normal nos da la variacioacuten de la direccioacuten de la velocidad con el tiempo La
clasificacioacuten de los movimientos debe hacerse por los valores de dichas componentes y de
ellas se deducen sus ecuaciones
El caacutelculo de las componentes intriacutensecas tambieacuten se puede realizar mediante el si-
guiente mecanismo vectorial
Aceleracioacuten tangencial De la derivada del vector de posicioacuten se obtiene el vector
velocidad y derivando por segunda vez se obtiene el vector aceleracioacuten y a partir de
ambas se realiza su producto escalar
v
vaayavvava tt
bull
===bull cos
y la direccioacuten del vector unitario tangente seraacute v
vu
= luego ( )
2v
vvauaa ttt
bull
==
Aceleracioacuten normal A partir de los mismos vectores a
y v
realizamos su producto
vectorial
navvava sen ==
y v
vaan
=
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12
y la direccioacuten del vector unitario normal seraacute )(
)(
vav
vavun
=
como puede demostrarse faacutecilmente en la figura 3
26 Concepto de radio de curvatura
Si tomamos tres puntos muy proacuteximos sobre
una curva P P y P de las circunferencias tan-
gentes a la curva en P la que tiene en dicho punto
un contacto tal que P y P pertenezcan a ella
cuando eacutestos tienden a confundirse con P la
llamamos circunferencia o ciacuterculo osculador E1
radio de este ciacuterculo lo llamamos radio de
curvatura y al centro centro de curvatura El
ciacuterculo osculador pertenece al plano determi-
nado por dos tangentes sucesivas a la curva en P
y P por ejemplo cuando ambos puntos tienden a
confundirse uno sobre otro A este plano se le
denomina plano osculador
FIG6
3 Movimientos de especial intereacutes
31 Movimiento uniforme
El movimiento uniforme es aquel en el que las componentes intriacutensecas de la acele-
racioacuten son ambas nulas es decir 0=na
y 0=ta
De la primera se deduce
2van = y por ser v 0 rarr =
y el movimiento es de radio de curvatura infinito o sea movimiento rectiliacuteneo
De la segunda se deduce dt
dvat = = 0 o sea v = cte
y el movimiento tiene moacutedulo de velocidad constante es decir es uniforme
De ambas condiciones se deduce que el vector velocidad v
es constante en moacutedulo
direccioacuten y sentido ( ctev =
) y como estaacute definido por
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13
dt
rdv
= luego dtvrd
=
que integrando = dtvrd
rarr 00 rtvr
+=
donde 0r
es la constante de integracioacuten (vectorial) y
representa el vector de posicioacuten inicial para el instante
inicial t = 0 (Fig7) FIG 7
Si tomamos como origen de coordenadas un punto situado en la propia trayectoria C
del movimiento todoslos vectores implicados en la ecuacioacuten 0r
r
y 0v
tendraacuten la misma
direccioacuten y se podraacute escribir tvss o+= 0 donde 0s s y 0v seraacuten los moacutedulos de los
vectores correspondientes
32 Movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
Este movimiento se caracteriza por que sus componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
toman los valores an = 0 y at = cte ne 0
De la primera se deduce como en el caso anterior que el radio es infinito r = y por
consiguiente el movimiento tiene trayectoria rectiliacutenea
De la segunda se obtiene dvdt=at (constante) siendo eacutesta ademaacutes la aceleracioacuten total
(por ser la uacutenica) pues
ttnt aaaaa ==+= 222
y como la aceleracioacuten tangencial tiene direccioacuten tangente a la trayectoria igual que la
velocidad se podraacute escribir
aadtvd t
== o bien dtavd
= e integrando = dtavd
resulta
0 vtav
+=
siendo 0v
la constante de integracioacuten que corresponde con la velocidad inicial o velocidad
para t = 0
Si sustituimos esta expresioacuten en la ecuacioacuten de definicioacuten de v
resulta
tavdt
rdv 0
+== o bien dttadtvrd 0
+=
e integrando += dttadtvrd 0
rarr 2
00 2
1 tatvrr
++=
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donde 0r
es la constante de integracioacuten que representa el vector de posicioacuten en el instante
inicial t = 0
Si elegimos como origen de coordenadas un
punto situado en la propia trayectoria recta C del
movimiento resultaraacuten r
0r
0v
a
vectores
todos ellos de la misma direccioacuten y podraacuten
escribirse las ecuaciones anteriores soacutelo con sus
moacutedulos es decir FIG 8
2
00 2
1 tatvss ++= y tavv 0 +=
Entre ambas ecuaciones podemos eliminar el tiempo t para obtener una ecuacioacuten de la
velocidad en funcioacuten del espacio y la aceleracioacuten v=f(sa)
despejando t de la segunda ecuacioacuten a
vvt ominus
=
y sustituyendo en la ecuacioacuten del espacio resulta
2
2
2
1 0
2
0
22
00
0
2
00
00 =minus+
+minus
+=
minus+
minus+=
a
vvvv
a
vvvs
a
vva
a
vvvss
a
vvs
a
vvvvvvvs
22
222
2
0
2
0
0
2
0
22
00
0
minus+=
minus++minus+=
de donde a
vvss
2
2
0
2
0
minus=minus resultando )(2 0
2
0
2 ssavv minus+=
En el caso de que el origen de coordenadas sea arbitrario y esteacute fuera de la trayectoria
la expresioacuten vectorial anterior
2
002
1tatvrr
++= puede ponerse 2
002
1tatvrr
+=minus
resultando que los vectores 0rr
minus 0v
y a
tienen todos la misma direccioacuten como puede
apreciarse en la figura 8 y pueden escribirse por sus moacutedulos llamando 0rrs
minus=
resultando 2
02
1attvs +=
Si se trata de un movimiento uniformemente retardado (decelerado) la aceleracioacuten seraacute
negativa y si el movimiento se debe a la accioacuten gravitatoria en recorridos cortos muy
proacuteximos a la superficie de la Tierra la aceleracioacuten se puede considerar constante e igual a
a = g = 9rsquo8 ms2 = 980 cms2 y se denomina movimiento de caiacuteda libre
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15
33 Movimiento circular uniforme
Para este movimiento las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los si-
guientes valores an = cte ne 0 y at= 0
De la segunda condicioacuten at=dvdt=0 se deduce que v=cte y como la primera condicioacuten
implica an=v2=cte de todo ello se deduce que =cte y la trayectoria ha de ser circular de
radio La aceleracioacuten total del movimiento seraacute
nnt aaaa
=+=
y la velocidad seraacute constante en moacutedulo pero no en direccioacuten En consecuencia la
ecuacioacuten que nos daraacute el espacio recorrido por el moacutevil a lo largo de su trayectoria circular
es la misma que la correspondiente al movimiento uniforme y rectiliacuteneo midiendo los
espacios sobre la circunferencia tvss 0 +=
En este tipo de movimiento interesa conocer el aacutengulo girado por el radio-vector que
une el centro con el moacutevil Recordando que Arco(m)=Radio(m)Angulo(rad)
resulta S = ϕ y derivando respecto al tiempo resultaraacute
dt
d
dt
ds middot= es decir
dt
dv
=
Esta uacuteltima derivada representa la variacioacuten del aacutengulo girado por el vector de posicioacuten
en la unidad de tiempo a lo que se le llama velocidad angular y se representa por
=ddt resultando v= ( rarr rads)
Por convenio se representa la velocidad angular por un vector axial normal al plano de
la circunferencia (plano de r
y v
) de sentido el correspondiente a la regla del sacacorchos
(regla de Maxwell) y de moacutedulo proporcional a su valor por ello puede escribirse
=v
expresioacuten que tambieacuten puede escribirse asiacute
=minus= AOv
es decir la velocidad tangencial v
es el momento del
vector velocidad angular
con respecto al punto A
34 Movimiento circular uniformemente acelerado
En eacutel las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los siguientes valores
an=v2 cte t2 y at=dvdt=cte
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16
tendraacute como trayectoria una circunferencia de radio y sobre ella el movimiento vendraacute
descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado
2
002
1tatvss t++= tavv t+= 0 )(2 0
2
0
2 ssavv t minus+=
Como la velocidad no es constante tampoco lo seraacute la velocidad angular relacionada
con aquella mediante el radio v= y por ello derivando con respecto al tiempo
resultaraacute
( )
dt
d
dt
d
dt
dv== o sea a =
donde =ddt es la aceleracioacuten angular o variacioacuten de la velocidad angular con respecto
al tiempo Se mide en rads2 en el sistema Internacional (SI)
Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en funcioacuten de las magnitudes angula-res a
partir de = ddt y = ddt e integrando
= 0 + t 2 = 02 + 2
35 Movimiento armoacutenico simple
Llamamos movimiento perioacutedico a cualquier movimiento que se repite a intervalos
iguales de tiempo Por ejemplo el movimiento de una masa sujeta a un muelle el movi-
miento de un peacutendulo las vibraciones de los aacutetomos de una moleacutecula etc Cuando una
partiacutecula que realiza un movimiento perioacutedico se mueve alternativamente en un sentido y
otro sobre una misma trayectoria recibe el nombre de movimiento oscilatorio
El movimiento oscilatorio maacutes importante es el movimiento armoacutenico simple (MAS)
por ser el maacutes faacutecil de describir matemaacuteticamente y constituye un modelo exacto o
aproximado para muchos sistemas fiacutesicos
Decimos que una partiacutecula que se mueve a lo largo del eje X realiza un MAS centrado
en el origen O de dicho sistema coordenado cuando su desplazamiento X con respecto al
origen viene expresado en funcioacuten del tiempo en la forma
( ) += tAx sen
donde A y son constantes propias del movimiento armoacutenico
La distancia X que separa la partiacutecula del origen O recibe el nombre de elongacioacuten El
valor absoluto de la elongacioacuten maacutexima A se denomina amplitud La cantidad t+
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17
(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase
inicial para t=0
Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2 la partiacutecula completa una oscilacioacuten
luego el periodo es T=2 La frecuencia del movimiento es el nuacutemero de oscilaciones
que se completan en la unidad de tiempo [=1T (cicloss=herzios (Hz))]
La constante es la frecuencia angular o pulsacioacuten (=2=s-1)
La velocidad de la partiacutecula que realiza un Movimiento Armoacutenico Simple viene dada
por la derivada de la elongacioacuten respecto del tiempo
( )
++=+==
2sencos
tAtA
dt
dxv
La aceleracioacuten de la partiacutecula se determina haciendo la derivada de la velocidad
respecto del tiempo
( ) XtAdt
dva sen 22 minus=+minus==
Considerando a=Fm la fuerza que deberaacute actuar sobre una partiacutecula para que realice un
Movimiento Armoacutenico Simple debe ser tambieacuten proporcional a la elongacioacuten de la
partiacutecula y de signo contrario a eacutesta
F = ma = -m2x = -kx
donde k = m2 llamada constante armoacutenica
36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos
Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultaacuteneos independientes realiza
un movimiento compuesto que resulta de la combinacioacuten de aquellos La composicioacuten de
dos o maacutes movimientos se realiza calculando el vector de posicioacuten del movimiento
resultante como suma de los vectores de posicioacuten de los movimientos componentes
Esto se apoya en el ldquoPrincipio de Galileordquo o de independencia de los movimientos ldquoSi
un punto estaacute dotado por dos causas diferentes de dos movimientos simultaacuteneos su cambio de
posicioacuten es independiente de que los dos movimientos actuacuteen sucesiva o simultaacuteneamenterdquo
De lo anterior se deduce que el vector de posicioacuten r
es la suma de los vectores de
posicioacuten de los movimientos individuales
4321 ++++= rrrrr
y derivando 4321 ++++= vvvvv
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18
es decir la velocidad de un movimiento compuesto es en todo momento la suma
vectorial de las velocidades de los movimientos componentes
361 Descripcioacuten de casos elementales
A) Un nadador que avanza en la direccioacuten y sentido de la corriente (dos movimientos
rectiliacuteneos y uniformes en la misma direccioacuten y sentido)
v = v1 + v2 a = 0
s = s1 + s2 = (v1 + v2)t
B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectiliacuteneos y
uniformes de la misma direccioacuten y de sentidos contrarios)
v = v1 - v2 a = 0
s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)
C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos
rec-tiliacuteneos y uniformes de direcciones perpendiculares)
2
2
2
121
2
2
2
1 ordm90middotcos2 vvvsivvvvv +==++=
el espacio recorrido seraacute
tvvssss middot2
2
2
1
2
2
2
1+=rarr+=
y el aacutengulo de direccioacuten resultante
1
2
1
2tgs
s
v
v==
D) Dos movimientos rectiliacuteneos uniformemente acelerados en la misma direccioacuten
++=
++=
2
202022
2
101011
2
1middot
2
1middot
tatvss
tatvss sumando
2
21201020121 )(2
1)()( taatvvsssss o +++++=+=
taavvdt
dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa
dt
dva +==
E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma
direccioacuten dados por
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19
middot
2
1middot
middot
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1)()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado
362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda
Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante
vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del
avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior
con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo
posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
minus=
=
El aacutengulo de v con la horizontal seraacute
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es
jgtivv x
minus=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r
resulta
jgtitvr x
2
1 2minus=
por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten
dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la
trayectoria
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20
)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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21
que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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22
=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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23
( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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24
41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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25
donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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26
- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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27
aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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28
5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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9
El vector aceleracioacuten tendraacute por componentes
kdt
zdj
dt
ydi
dt
xdk
dt
dvj
dt
dvi
dt
dva zyx
2
2
2
2
2
2
++=++=
y su moacutedulo seraacute
2
2
22
2
22
2
2
+
+
==
dt
zd
dt
yd
dt
xdaa
25 Componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
De la propia definicioacuten del vector aceleracioacuten a
se deduce que en general no es ni
tangente a la trayectoria (pues implicariacutea una direccioacuten constante en V
) ni perpendicular a
ella (pues implicariacutea un moacutedulo constante en V
) y por ello puede ser descompuesto en
dos componentes una tangente y otra perpendicular a la trayectoria que se llamaraacuten
componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten Dichas componentes estaacuten situadas en un
sistema de coordenadas intriacutenseco al moacutevil con ejes tangente y normal a la trayectoria e
independiente de cualquier sistema de referencia
Aplicando la definicioacuten de a
a la expresioacuten del vector velocidad resultaraacute
( )dt
udvu
dt
dvuv
dt
d
dt
vda t
tt
middotmiddotmiddot +=== (d)
como vemos a
tiene dos componentes vectoriales una de ellas es tangente a la
trayectoria de moacutedulo dvdt que llamaremos aceleracioacuten tangencial
El uacuteltimo teacutermino de la expresioacuten (d) dutdt se transforma en
vds
ud
dt
ds
ds
ud
dt
ud ttt
== (V=celeridad o moacutedulo de la velocidad) (e)
y el factor dsud t
es un vector que representa la deri-
vada del vector unitario tangente (de moacutedulo cons-
tante) con respecto al arco Se demuestra asiacute como tu
es un vector unitario su derivada dsud t
respecto a
un escalar es perpendicular a tu
Estos vectores estaacuten
en el llamado plano osculador determinado por dos
tangentes consecutivas a un punto y el vector dsud t
tiene la direccioacuten de la normal principal (perpendi-
cular a la trayectoria con-tenida en el plano osculador)
FIG4
ut ut
ut ut
ut
s
r
+
rr
r
+
C
QR
C
S
P
O
s=r
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10
y su sentido es el de la concavidad por consiguiente
n
tt uds
ud
ds
ud
middot= (f)
Calculemos ahora el moacutedulo de dsud t
Sean dos puntos P y Q de la curva de la fig 4
y sean tu
y tu
+ tu
los vectores unitarios tangentes sobre dichos puntos P y Q
respectivamente (Por Q se traza el equipolente a tu
En el plano osculador se trazan las
perpendiculares a la curva en P y Q Consideremos que P y Q son consecutivos por ello el
arco PQ=∆s se confunde con un arco de circunferencia de centro en O y radio r y se puede
escribir ∆s=r∆ϕ)
En el triaacutengulo QRS que es isoacutesceles por ser tt uuu
+= se cumple
2middotsen2
2middotsenmiddot2
=
= tt uu
pues 1=tu
dividiendo por ∆s resultaraacute
ssss
u t
=
=
=
middot
2
2sen
middot2middotsen2
2middotsen2
y pasando al liacutemite para ∆srarr0 resultaraacute
slim
s
ulim
s
t
s
=
rarrrarr
00
pues 1
2
2sen
0=
rarr
lim
y por ello ds
d
ds
ud t = y considerando que ∆s=r∆ϕ rarr ds=rdϕ
resultando rds
ud t 1= que es la inversa del radio de curvatura
Por tanto sustituyendo en (f) nt u
rds
ud
middot1
= y luego sustituyendo en (e)
nt u
r
v
dt
ud middot= y eacutesta finalmente en (c) resulta nt u
r
vu
dt
dva
2
+=
lo que demuestra que el vector aceleracioacuten a
no tiene ni direccioacuten
normal ni direccioacuten tangente a la trayectoria pues presenta dos
componentes en estas direcciones Uacutenicamente se puede asegurar
que el sentido de la componente normal es hacia el interior de la
concavidad de la trayectoria Las componentes son FIG 5
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11
Aceleracioacuten tangencial tt u
dt
dva
= y su moacutedulo
dt
dv
Aceleracioacuten normal (centriacutepeta) nn ur
va
middot
2
= y su moacutedulo r
v2
La aceleracioacuten tangencial ta
puede ser positiva si estaacute dirigida en la direccioacuten de v
y
negativa si estaacute dirigida en sentido contrario a v
y la aceleracioacuten normal na
es siempre
positiva y dirigida hacia la concavidad de la curva El moacutedulo de la aceleracioacuten en funcioacuten
de sus componentes seraacute
222
22
+
=+==
r
v
dt
dvaaaa nt
y el aacutengulo que forma la aceleracioacuten con la tangente a la trayectoria vendraacute dado por
t
n
t
n
A
A
A
Aarctgtg ==
Las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten son de gran importancia en cinemaacutetica
pues nos da cada una de ellas un aspecto de la variacioacuten de la velocidad con el tiempo La
aceleracioacuten tangencial nos da la variacioacuten del moacutedulo de la velocidad con el tiempo y la
aceleracioacuten normal nos da la variacioacuten de la direccioacuten de la velocidad con el tiempo La
clasificacioacuten de los movimientos debe hacerse por los valores de dichas componentes y de
ellas se deducen sus ecuaciones
El caacutelculo de las componentes intriacutensecas tambieacuten se puede realizar mediante el si-
guiente mecanismo vectorial
Aceleracioacuten tangencial De la derivada del vector de posicioacuten se obtiene el vector
velocidad y derivando por segunda vez se obtiene el vector aceleracioacuten y a partir de
ambas se realiza su producto escalar
v
vaayavvava tt
bull
===bull cos
y la direccioacuten del vector unitario tangente seraacute v
vu
= luego ( )
2v
vvauaa ttt
bull
==
Aceleracioacuten normal A partir de los mismos vectores a
y v
realizamos su producto
vectorial
navvava sen ==
y v
vaan
=
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12
y la direccioacuten del vector unitario normal seraacute )(
)(
vav
vavun
=
como puede demostrarse faacutecilmente en la figura 3
26 Concepto de radio de curvatura
Si tomamos tres puntos muy proacuteximos sobre
una curva P P y P de las circunferencias tan-
gentes a la curva en P la que tiene en dicho punto
un contacto tal que P y P pertenezcan a ella
cuando eacutestos tienden a confundirse con P la
llamamos circunferencia o ciacuterculo osculador E1
radio de este ciacuterculo lo llamamos radio de
curvatura y al centro centro de curvatura El
ciacuterculo osculador pertenece al plano determi-
nado por dos tangentes sucesivas a la curva en P
y P por ejemplo cuando ambos puntos tienden a
confundirse uno sobre otro A este plano se le
denomina plano osculador
FIG6
3 Movimientos de especial intereacutes
31 Movimiento uniforme
El movimiento uniforme es aquel en el que las componentes intriacutensecas de la acele-
racioacuten son ambas nulas es decir 0=na
y 0=ta
De la primera se deduce
2van = y por ser v 0 rarr =
y el movimiento es de radio de curvatura infinito o sea movimiento rectiliacuteneo
De la segunda se deduce dt
dvat = = 0 o sea v = cte
y el movimiento tiene moacutedulo de velocidad constante es decir es uniforme
De ambas condiciones se deduce que el vector velocidad v
es constante en moacutedulo
direccioacuten y sentido ( ctev =
) y como estaacute definido por
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13
dt
rdv
= luego dtvrd
=
que integrando = dtvrd
rarr 00 rtvr
+=
donde 0r
es la constante de integracioacuten (vectorial) y
representa el vector de posicioacuten inicial para el instante
inicial t = 0 (Fig7) FIG 7
Si tomamos como origen de coordenadas un punto situado en la propia trayectoria C
del movimiento todoslos vectores implicados en la ecuacioacuten 0r
r
y 0v
tendraacuten la misma
direccioacuten y se podraacute escribir tvss o+= 0 donde 0s s y 0v seraacuten los moacutedulos de los
vectores correspondientes
32 Movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
Este movimiento se caracteriza por que sus componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
toman los valores an = 0 y at = cte ne 0
De la primera se deduce como en el caso anterior que el radio es infinito r = y por
consiguiente el movimiento tiene trayectoria rectiliacutenea
De la segunda se obtiene dvdt=at (constante) siendo eacutesta ademaacutes la aceleracioacuten total
(por ser la uacutenica) pues
ttnt aaaaa ==+= 222
y como la aceleracioacuten tangencial tiene direccioacuten tangente a la trayectoria igual que la
velocidad se podraacute escribir
aadtvd t
== o bien dtavd
= e integrando = dtavd
resulta
0 vtav
+=
siendo 0v
la constante de integracioacuten que corresponde con la velocidad inicial o velocidad
para t = 0
Si sustituimos esta expresioacuten en la ecuacioacuten de definicioacuten de v
resulta
tavdt
rdv 0
+== o bien dttadtvrd 0
+=
e integrando += dttadtvrd 0
rarr 2
00 2
1 tatvrr
++=
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14
donde 0r
es la constante de integracioacuten que representa el vector de posicioacuten en el instante
inicial t = 0
Si elegimos como origen de coordenadas un
punto situado en la propia trayectoria recta C del
movimiento resultaraacuten r
0r
0v
a
vectores
todos ellos de la misma direccioacuten y podraacuten
escribirse las ecuaciones anteriores soacutelo con sus
moacutedulos es decir FIG 8
2
00 2
1 tatvss ++= y tavv 0 +=
Entre ambas ecuaciones podemos eliminar el tiempo t para obtener una ecuacioacuten de la
velocidad en funcioacuten del espacio y la aceleracioacuten v=f(sa)
despejando t de la segunda ecuacioacuten a
vvt ominus
=
y sustituyendo en la ecuacioacuten del espacio resulta
2
2
2
1 0
2
0
22
00
0
2
00
00 =minus+
+minus
+=
minus+
minus+=
a
vvvv
a
vvvs
a
vva
a
vvvss
a
vvs
a
vvvvvvvs
22
222
2
0
2
0
0
2
0
22
00
0
minus+=
minus++minus+=
de donde a
vvss
2
2
0
2
0
minus=minus resultando )(2 0
2
0
2 ssavv minus+=
En el caso de que el origen de coordenadas sea arbitrario y esteacute fuera de la trayectoria
la expresioacuten vectorial anterior
2
002
1tatvrr
++= puede ponerse 2
002
1tatvrr
+=minus
resultando que los vectores 0rr
minus 0v
y a
tienen todos la misma direccioacuten como puede
apreciarse en la figura 8 y pueden escribirse por sus moacutedulos llamando 0rrs
minus=
resultando 2
02
1attvs +=
Si se trata de un movimiento uniformemente retardado (decelerado) la aceleracioacuten seraacute
negativa y si el movimiento se debe a la accioacuten gravitatoria en recorridos cortos muy
proacuteximos a la superficie de la Tierra la aceleracioacuten se puede considerar constante e igual a
a = g = 9rsquo8 ms2 = 980 cms2 y se denomina movimiento de caiacuteda libre
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15
33 Movimiento circular uniforme
Para este movimiento las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los si-
guientes valores an = cte ne 0 y at= 0
De la segunda condicioacuten at=dvdt=0 se deduce que v=cte y como la primera condicioacuten
implica an=v2=cte de todo ello se deduce que =cte y la trayectoria ha de ser circular de
radio La aceleracioacuten total del movimiento seraacute
nnt aaaa
=+=
y la velocidad seraacute constante en moacutedulo pero no en direccioacuten En consecuencia la
ecuacioacuten que nos daraacute el espacio recorrido por el moacutevil a lo largo de su trayectoria circular
es la misma que la correspondiente al movimiento uniforme y rectiliacuteneo midiendo los
espacios sobre la circunferencia tvss 0 +=
En este tipo de movimiento interesa conocer el aacutengulo girado por el radio-vector que
une el centro con el moacutevil Recordando que Arco(m)=Radio(m)Angulo(rad)
resulta S = ϕ y derivando respecto al tiempo resultaraacute
dt
d
dt
ds middot= es decir
dt
dv
=
Esta uacuteltima derivada representa la variacioacuten del aacutengulo girado por el vector de posicioacuten
en la unidad de tiempo a lo que se le llama velocidad angular y se representa por
=ddt resultando v= ( rarr rads)
Por convenio se representa la velocidad angular por un vector axial normal al plano de
la circunferencia (plano de r
y v
) de sentido el correspondiente a la regla del sacacorchos
(regla de Maxwell) y de moacutedulo proporcional a su valor por ello puede escribirse
=v
expresioacuten que tambieacuten puede escribirse asiacute
=minus= AOv
es decir la velocidad tangencial v
es el momento del
vector velocidad angular
con respecto al punto A
34 Movimiento circular uniformemente acelerado
En eacutel las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los siguientes valores
an=v2 cte t2 y at=dvdt=cte
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16
tendraacute como trayectoria una circunferencia de radio y sobre ella el movimiento vendraacute
descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado
2
002
1tatvss t++= tavv t+= 0 )(2 0
2
0
2 ssavv t minus+=
Como la velocidad no es constante tampoco lo seraacute la velocidad angular relacionada
con aquella mediante el radio v= y por ello derivando con respecto al tiempo
resultaraacute
( )
dt
d
dt
d
dt
dv== o sea a =
donde =ddt es la aceleracioacuten angular o variacioacuten de la velocidad angular con respecto
al tiempo Se mide en rads2 en el sistema Internacional (SI)
Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en funcioacuten de las magnitudes angula-res a
partir de = ddt y = ddt e integrando
= 0 + t 2 = 02 + 2
35 Movimiento armoacutenico simple
Llamamos movimiento perioacutedico a cualquier movimiento que se repite a intervalos
iguales de tiempo Por ejemplo el movimiento de una masa sujeta a un muelle el movi-
miento de un peacutendulo las vibraciones de los aacutetomos de una moleacutecula etc Cuando una
partiacutecula que realiza un movimiento perioacutedico se mueve alternativamente en un sentido y
otro sobre una misma trayectoria recibe el nombre de movimiento oscilatorio
El movimiento oscilatorio maacutes importante es el movimiento armoacutenico simple (MAS)
por ser el maacutes faacutecil de describir matemaacuteticamente y constituye un modelo exacto o
aproximado para muchos sistemas fiacutesicos
Decimos que una partiacutecula que se mueve a lo largo del eje X realiza un MAS centrado
en el origen O de dicho sistema coordenado cuando su desplazamiento X con respecto al
origen viene expresado en funcioacuten del tiempo en la forma
( ) += tAx sen
donde A y son constantes propias del movimiento armoacutenico
La distancia X que separa la partiacutecula del origen O recibe el nombre de elongacioacuten El
valor absoluto de la elongacioacuten maacutexima A se denomina amplitud La cantidad t+
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17
(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase
inicial para t=0
Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2 la partiacutecula completa una oscilacioacuten
luego el periodo es T=2 La frecuencia del movimiento es el nuacutemero de oscilaciones
que se completan en la unidad de tiempo [=1T (cicloss=herzios (Hz))]
La constante es la frecuencia angular o pulsacioacuten (=2=s-1)
La velocidad de la partiacutecula que realiza un Movimiento Armoacutenico Simple viene dada
por la derivada de la elongacioacuten respecto del tiempo
( )
++=+==
2sencos
tAtA
dt
dxv
La aceleracioacuten de la partiacutecula se determina haciendo la derivada de la velocidad
respecto del tiempo
( ) XtAdt
dva sen 22 minus=+minus==
Considerando a=Fm la fuerza que deberaacute actuar sobre una partiacutecula para que realice un
Movimiento Armoacutenico Simple debe ser tambieacuten proporcional a la elongacioacuten de la
partiacutecula y de signo contrario a eacutesta
F = ma = -m2x = -kx
donde k = m2 llamada constante armoacutenica
36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos
Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultaacuteneos independientes realiza
un movimiento compuesto que resulta de la combinacioacuten de aquellos La composicioacuten de
dos o maacutes movimientos se realiza calculando el vector de posicioacuten del movimiento
resultante como suma de los vectores de posicioacuten de los movimientos componentes
Esto se apoya en el ldquoPrincipio de Galileordquo o de independencia de los movimientos ldquoSi
un punto estaacute dotado por dos causas diferentes de dos movimientos simultaacuteneos su cambio de
posicioacuten es independiente de que los dos movimientos actuacuteen sucesiva o simultaacuteneamenterdquo
De lo anterior se deduce que el vector de posicioacuten r
es la suma de los vectores de
posicioacuten de los movimientos individuales
4321 ++++= rrrrr
y derivando 4321 ++++= vvvvv
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18
es decir la velocidad de un movimiento compuesto es en todo momento la suma
vectorial de las velocidades de los movimientos componentes
361 Descripcioacuten de casos elementales
A) Un nadador que avanza en la direccioacuten y sentido de la corriente (dos movimientos
rectiliacuteneos y uniformes en la misma direccioacuten y sentido)
v = v1 + v2 a = 0
s = s1 + s2 = (v1 + v2)t
B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectiliacuteneos y
uniformes de la misma direccioacuten y de sentidos contrarios)
v = v1 - v2 a = 0
s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)
C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos
rec-tiliacuteneos y uniformes de direcciones perpendiculares)
2
2
2
121
2
2
2
1 ordm90middotcos2 vvvsivvvvv +==++=
el espacio recorrido seraacute
tvvssss middot2
2
2
1
2
2
2
1+=rarr+=
y el aacutengulo de direccioacuten resultante
1
2
1
2tgs
s
v
v==
D) Dos movimientos rectiliacuteneos uniformemente acelerados en la misma direccioacuten
++=
++=
2
202022
2
101011
2
1middot
2
1middot
tatvss
tatvss sumando
2
21201020121 )(2
1)()( taatvvsssss o +++++=+=
taavvdt
dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa
dt
dva +==
E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma
direccioacuten dados por
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19
middot
2
1middot
middot
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1)()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado
362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda
Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante
vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del
avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior
con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo
posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
minus=
=
El aacutengulo de v con la horizontal seraacute
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es
jgtivv x
minus=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r
resulta
jgtitvr x
2
1 2minus=
por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten
dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la
trayectoria
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20
)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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21
que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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22
=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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23
( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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24
41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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25
donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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26
- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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27
aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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28
5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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10
y su sentido es el de la concavidad por consiguiente
n
tt uds
ud
ds
ud
middot= (f)
Calculemos ahora el moacutedulo de dsud t
Sean dos puntos P y Q de la curva de la fig 4
y sean tu
y tu
+ tu
los vectores unitarios tangentes sobre dichos puntos P y Q
respectivamente (Por Q se traza el equipolente a tu
En el plano osculador se trazan las
perpendiculares a la curva en P y Q Consideremos que P y Q son consecutivos por ello el
arco PQ=∆s se confunde con un arco de circunferencia de centro en O y radio r y se puede
escribir ∆s=r∆ϕ)
En el triaacutengulo QRS que es isoacutesceles por ser tt uuu
+= se cumple
2middotsen2
2middotsenmiddot2
=
= tt uu
pues 1=tu
dividiendo por ∆s resultaraacute
ssss
u t
=
=
=
middot
2
2sen
middot2middotsen2
2middotsen2
y pasando al liacutemite para ∆srarr0 resultaraacute
slim
s
ulim
s
t
s
=
rarrrarr
00
pues 1
2
2sen
0=
rarr
lim
y por ello ds
d
ds
ud t = y considerando que ∆s=r∆ϕ rarr ds=rdϕ
resultando rds
ud t 1= que es la inversa del radio de curvatura
Por tanto sustituyendo en (f) nt u
rds
ud
middot1
= y luego sustituyendo en (e)
nt u
r
v
dt
ud middot= y eacutesta finalmente en (c) resulta nt u
r
vu
dt
dva
2
+=
lo que demuestra que el vector aceleracioacuten a
no tiene ni direccioacuten
normal ni direccioacuten tangente a la trayectoria pues presenta dos
componentes en estas direcciones Uacutenicamente se puede asegurar
que el sentido de la componente normal es hacia el interior de la
concavidad de la trayectoria Las componentes son FIG 5
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11
Aceleracioacuten tangencial tt u
dt
dva
= y su moacutedulo
dt
dv
Aceleracioacuten normal (centriacutepeta) nn ur
va
middot
2
= y su moacutedulo r
v2
La aceleracioacuten tangencial ta
puede ser positiva si estaacute dirigida en la direccioacuten de v
y
negativa si estaacute dirigida en sentido contrario a v
y la aceleracioacuten normal na
es siempre
positiva y dirigida hacia la concavidad de la curva El moacutedulo de la aceleracioacuten en funcioacuten
de sus componentes seraacute
222
22
+
=+==
r
v
dt
dvaaaa nt
y el aacutengulo que forma la aceleracioacuten con la tangente a la trayectoria vendraacute dado por
t
n
t
n
A
A
A
Aarctgtg ==
Las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten son de gran importancia en cinemaacutetica
pues nos da cada una de ellas un aspecto de la variacioacuten de la velocidad con el tiempo La
aceleracioacuten tangencial nos da la variacioacuten del moacutedulo de la velocidad con el tiempo y la
aceleracioacuten normal nos da la variacioacuten de la direccioacuten de la velocidad con el tiempo La
clasificacioacuten de los movimientos debe hacerse por los valores de dichas componentes y de
ellas se deducen sus ecuaciones
El caacutelculo de las componentes intriacutensecas tambieacuten se puede realizar mediante el si-
guiente mecanismo vectorial
Aceleracioacuten tangencial De la derivada del vector de posicioacuten se obtiene el vector
velocidad y derivando por segunda vez se obtiene el vector aceleracioacuten y a partir de
ambas se realiza su producto escalar
v
vaayavvava tt
bull
===bull cos
y la direccioacuten del vector unitario tangente seraacute v
vu
= luego ( )
2v
vvauaa ttt
bull
==
Aceleracioacuten normal A partir de los mismos vectores a
y v
realizamos su producto
vectorial
navvava sen ==
y v
vaan
=
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12
y la direccioacuten del vector unitario normal seraacute )(
)(
vav
vavun
=
como puede demostrarse faacutecilmente en la figura 3
26 Concepto de radio de curvatura
Si tomamos tres puntos muy proacuteximos sobre
una curva P P y P de las circunferencias tan-
gentes a la curva en P la que tiene en dicho punto
un contacto tal que P y P pertenezcan a ella
cuando eacutestos tienden a confundirse con P la
llamamos circunferencia o ciacuterculo osculador E1
radio de este ciacuterculo lo llamamos radio de
curvatura y al centro centro de curvatura El
ciacuterculo osculador pertenece al plano determi-
nado por dos tangentes sucesivas a la curva en P
y P por ejemplo cuando ambos puntos tienden a
confundirse uno sobre otro A este plano se le
denomina plano osculador
FIG6
3 Movimientos de especial intereacutes
31 Movimiento uniforme
El movimiento uniforme es aquel en el que las componentes intriacutensecas de la acele-
racioacuten son ambas nulas es decir 0=na
y 0=ta
De la primera se deduce
2van = y por ser v 0 rarr =
y el movimiento es de radio de curvatura infinito o sea movimiento rectiliacuteneo
De la segunda se deduce dt
dvat = = 0 o sea v = cte
y el movimiento tiene moacutedulo de velocidad constante es decir es uniforme
De ambas condiciones se deduce que el vector velocidad v
es constante en moacutedulo
direccioacuten y sentido ( ctev =
) y como estaacute definido por
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13
dt
rdv
= luego dtvrd
=
que integrando = dtvrd
rarr 00 rtvr
+=
donde 0r
es la constante de integracioacuten (vectorial) y
representa el vector de posicioacuten inicial para el instante
inicial t = 0 (Fig7) FIG 7
Si tomamos como origen de coordenadas un punto situado en la propia trayectoria C
del movimiento todoslos vectores implicados en la ecuacioacuten 0r
r
y 0v
tendraacuten la misma
direccioacuten y se podraacute escribir tvss o+= 0 donde 0s s y 0v seraacuten los moacutedulos de los
vectores correspondientes
32 Movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
Este movimiento se caracteriza por que sus componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
toman los valores an = 0 y at = cte ne 0
De la primera se deduce como en el caso anterior que el radio es infinito r = y por
consiguiente el movimiento tiene trayectoria rectiliacutenea
De la segunda se obtiene dvdt=at (constante) siendo eacutesta ademaacutes la aceleracioacuten total
(por ser la uacutenica) pues
ttnt aaaaa ==+= 222
y como la aceleracioacuten tangencial tiene direccioacuten tangente a la trayectoria igual que la
velocidad se podraacute escribir
aadtvd t
== o bien dtavd
= e integrando = dtavd
resulta
0 vtav
+=
siendo 0v
la constante de integracioacuten que corresponde con la velocidad inicial o velocidad
para t = 0
Si sustituimos esta expresioacuten en la ecuacioacuten de definicioacuten de v
resulta
tavdt
rdv 0
+== o bien dttadtvrd 0
+=
e integrando += dttadtvrd 0
rarr 2
00 2
1 tatvrr
++=
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14
donde 0r
es la constante de integracioacuten que representa el vector de posicioacuten en el instante
inicial t = 0
Si elegimos como origen de coordenadas un
punto situado en la propia trayectoria recta C del
movimiento resultaraacuten r
0r
0v
a
vectores
todos ellos de la misma direccioacuten y podraacuten
escribirse las ecuaciones anteriores soacutelo con sus
moacutedulos es decir FIG 8
2
00 2
1 tatvss ++= y tavv 0 +=
Entre ambas ecuaciones podemos eliminar el tiempo t para obtener una ecuacioacuten de la
velocidad en funcioacuten del espacio y la aceleracioacuten v=f(sa)
despejando t de la segunda ecuacioacuten a
vvt ominus
=
y sustituyendo en la ecuacioacuten del espacio resulta
2
2
2
1 0
2
0
22
00
0
2
00
00 =minus+
+minus
+=
minus+
minus+=
a
vvvv
a
vvvs
a
vva
a
vvvss
a
vvs
a
vvvvvvvs
22
222
2
0
2
0
0
2
0
22
00
0
minus+=
minus++minus+=
de donde a
vvss
2
2
0
2
0
minus=minus resultando )(2 0
2
0
2 ssavv minus+=
En el caso de que el origen de coordenadas sea arbitrario y esteacute fuera de la trayectoria
la expresioacuten vectorial anterior
2
002
1tatvrr
++= puede ponerse 2
002
1tatvrr
+=minus
resultando que los vectores 0rr
minus 0v
y a
tienen todos la misma direccioacuten como puede
apreciarse en la figura 8 y pueden escribirse por sus moacutedulos llamando 0rrs
minus=
resultando 2
02
1attvs +=
Si se trata de un movimiento uniformemente retardado (decelerado) la aceleracioacuten seraacute
negativa y si el movimiento se debe a la accioacuten gravitatoria en recorridos cortos muy
proacuteximos a la superficie de la Tierra la aceleracioacuten se puede considerar constante e igual a
a = g = 9rsquo8 ms2 = 980 cms2 y se denomina movimiento de caiacuteda libre
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15
33 Movimiento circular uniforme
Para este movimiento las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los si-
guientes valores an = cte ne 0 y at= 0
De la segunda condicioacuten at=dvdt=0 se deduce que v=cte y como la primera condicioacuten
implica an=v2=cte de todo ello se deduce que =cte y la trayectoria ha de ser circular de
radio La aceleracioacuten total del movimiento seraacute
nnt aaaa
=+=
y la velocidad seraacute constante en moacutedulo pero no en direccioacuten En consecuencia la
ecuacioacuten que nos daraacute el espacio recorrido por el moacutevil a lo largo de su trayectoria circular
es la misma que la correspondiente al movimiento uniforme y rectiliacuteneo midiendo los
espacios sobre la circunferencia tvss 0 +=
En este tipo de movimiento interesa conocer el aacutengulo girado por el radio-vector que
une el centro con el moacutevil Recordando que Arco(m)=Radio(m)Angulo(rad)
resulta S = ϕ y derivando respecto al tiempo resultaraacute
dt
d
dt
ds middot= es decir
dt
dv
=
Esta uacuteltima derivada representa la variacioacuten del aacutengulo girado por el vector de posicioacuten
en la unidad de tiempo a lo que se le llama velocidad angular y se representa por
=ddt resultando v= ( rarr rads)
Por convenio se representa la velocidad angular por un vector axial normal al plano de
la circunferencia (plano de r
y v
) de sentido el correspondiente a la regla del sacacorchos
(regla de Maxwell) y de moacutedulo proporcional a su valor por ello puede escribirse
=v
expresioacuten que tambieacuten puede escribirse asiacute
=minus= AOv
es decir la velocidad tangencial v
es el momento del
vector velocidad angular
con respecto al punto A
34 Movimiento circular uniformemente acelerado
En eacutel las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los siguientes valores
an=v2 cte t2 y at=dvdt=cte
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16
tendraacute como trayectoria una circunferencia de radio y sobre ella el movimiento vendraacute
descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado
2
002
1tatvss t++= tavv t+= 0 )(2 0
2
0
2 ssavv t minus+=
Como la velocidad no es constante tampoco lo seraacute la velocidad angular relacionada
con aquella mediante el radio v= y por ello derivando con respecto al tiempo
resultaraacute
( )
dt
d
dt
d
dt
dv== o sea a =
donde =ddt es la aceleracioacuten angular o variacioacuten de la velocidad angular con respecto
al tiempo Se mide en rads2 en el sistema Internacional (SI)
Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en funcioacuten de las magnitudes angula-res a
partir de = ddt y = ddt e integrando
= 0 + t 2 = 02 + 2
35 Movimiento armoacutenico simple
Llamamos movimiento perioacutedico a cualquier movimiento que se repite a intervalos
iguales de tiempo Por ejemplo el movimiento de una masa sujeta a un muelle el movi-
miento de un peacutendulo las vibraciones de los aacutetomos de una moleacutecula etc Cuando una
partiacutecula que realiza un movimiento perioacutedico se mueve alternativamente en un sentido y
otro sobre una misma trayectoria recibe el nombre de movimiento oscilatorio
El movimiento oscilatorio maacutes importante es el movimiento armoacutenico simple (MAS)
por ser el maacutes faacutecil de describir matemaacuteticamente y constituye un modelo exacto o
aproximado para muchos sistemas fiacutesicos
Decimos que una partiacutecula que se mueve a lo largo del eje X realiza un MAS centrado
en el origen O de dicho sistema coordenado cuando su desplazamiento X con respecto al
origen viene expresado en funcioacuten del tiempo en la forma
( ) += tAx sen
donde A y son constantes propias del movimiento armoacutenico
La distancia X que separa la partiacutecula del origen O recibe el nombre de elongacioacuten El
valor absoluto de la elongacioacuten maacutexima A se denomina amplitud La cantidad t+
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17
(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase
inicial para t=0
Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2 la partiacutecula completa una oscilacioacuten
luego el periodo es T=2 La frecuencia del movimiento es el nuacutemero de oscilaciones
que se completan en la unidad de tiempo [=1T (cicloss=herzios (Hz))]
La constante es la frecuencia angular o pulsacioacuten (=2=s-1)
La velocidad de la partiacutecula que realiza un Movimiento Armoacutenico Simple viene dada
por la derivada de la elongacioacuten respecto del tiempo
( )
++=+==
2sencos
tAtA
dt
dxv
La aceleracioacuten de la partiacutecula se determina haciendo la derivada de la velocidad
respecto del tiempo
( ) XtAdt
dva sen 22 minus=+minus==
Considerando a=Fm la fuerza que deberaacute actuar sobre una partiacutecula para que realice un
Movimiento Armoacutenico Simple debe ser tambieacuten proporcional a la elongacioacuten de la
partiacutecula y de signo contrario a eacutesta
F = ma = -m2x = -kx
donde k = m2 llamada constante armoacutenica
36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos
Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultaacuteneos independientes realiza
un movimiento compuesto que resulta de la combinacioacuten de aquellos La composicioacuten de
dos o maacutes movimientos se realiza calculando el vector de posicioacuten del movimiento
resultante como suma de los vectores de posicioacuten de los movimientos componentes
Esto se apoya en el ldquoPrincipio de Galileordquo o de independencia de los movimientos ldquoSi
un punto estaacute dotado por dos causas diferentes de dos movimientos simultaacuteneos su cambio de
posicioacuten es independiente de que los dos movimientos actuacuteen sucesiva o simultaacuteneamenterdquo
De lo anterior se deduce que el vector de posicioacuten r
es la suma de los vectores de
posicioacuten de los movimientos individuales
4321 ++++= rrrrr
y derivando 4321 ++++= vvvvv
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18
es decir la velocidad de un movimiento compuesto es en todo momento la suma
vectorial de las velocidades de los movimientos componentes
361 Descripcioacuten de casos elementales
A) Un nadador que avanza en la direccioacuten y sentido de la corriente (dos movimientos
rectiliacuteneos y uniformes en la misma direccioacuten y sentido)
v = v1 + v2 a = 0
s = s1 + s2 = (v1 + v2)t
B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectiliacuteneos y
uniformes de la misma direccioacuten y de sentidos contrarios)
v = v1 - v2 a = 0
s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)
C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos
rec-tiliacuteneos y uniformes de direcciones perpendiculares)
2
2
2
121
2
2
2
1 ordm90middotcos2 vvvsivvvvv +==++=
el espacio recorrido seraacute
tvvssss middot2
2
2
1
2
2
2
1+=rarr+=
y el aacutengulo de direccioacuten resultante
1
2
1
2tgs
s
v
v==
D) Dos movimientos rectiliacuteneos uniformemente acelerados en la misma direccioacuten
++=
++=
2
202022
2
101011
2
1middot
2
1middot
tatvss
tatvss sumando
2
21201020121 )(2
1)()( taatvvsssss o +++++=+=
taavvdt
dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa
dt
dva +==
E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma
direccioacuten dados por
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19
middot
2
1middot
middot
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1)()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado
362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda
Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante
vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del
avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior
con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo
posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
minus=
=
El aacutengulo de v con la horizontal seraacute
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es
jgtivv x
minus=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r
resulta
jgtitvr x
2
1 2minus=
por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten
dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la
trayectoria
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20
)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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21
que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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22
=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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23
( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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24
41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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25
donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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26
- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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27
aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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28
5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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11
Aceleracioacuten tangencial tt u
dt
dva
= y su moacutedulo
dt
dv
Aceleracioacuten normal (centriacutepeta) nn ur
va
middot
2
= y su moacutedulo r
v2
La aceleracioacuten tangencial ta
puede ser positiva si estaacute dirigida en la direccioacuten de v
y
negativa si estaacute dirigida en sentido contrario a v
y la aceleracioacuten normal na
es siempre
positiva y dirigida hacia la concavidad de la curva El moacutedulo de la aceleracioacuten en funcioacuten
de sus componentes seraacute
222
22
+
=+==
r
v
dt
dvaaaa nt
y el aacutengulo que forma la aceleracioacuten con la tangente a la trayectoria vendraacute dado por
t
n
t
n
A
A
A
Aarctgtg ==
Las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten son de gran importancia en cinemaacutetica
pues nos da cada una de ellas un aspecto de la variacioacuten de la velocidad con el tiempo La
aceleracioacuten tangencial nos da la variacioacuten del moacutedulo de la velocidad con el tiempo y la
aceleracioacuten normal nos da la variacioacuten de la direccioacuten de la velocidad con el tiempo La
clasificacioacuten de los movimientos debe hacerse por los valores de dichas componentes y de
ellas se deducen sus ecuaciones
El caacutelculo de las componentes intriacutensecas tambieacuten se puede realizar mediante el si-
guiente mecanismo vectorial
Aceleracioacuten tangencial De la derivada del vector de posicioacuten se obtiene el vector
velocidad y derivando por segunda vez se obtiene el vector aceleracioacuten y a partir de
ambas se realiza su producto escalar
v
vaayavvava tt
bull
===bull cos
y la direccioacuten del vector unitario tangente seraacute v
vu
= luego ( )
2v
vvauaa ttt
bull
==
Aceleracioacuten normal A partir de los mismos vectores a
y v
realizamos su producto
vectorial
navvava sen ==
y v
vaan
=
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12
y la direccioacuten del vector unitario normal seraacute )(
)(
vav
vavun
=
como puede demostrarse faacutecilmente en la figura 3
26 Concepto de radio de curvatura
Si tomamos tres puntos muy proacuteximos sobre
una curva P P y P de las circunferencias tan-
gentes a la curva en P la que tiene en dicho punto
un contacto tal que P y P pertenezcan a ella
cuando eacutestos tienden a confundirse con P la
llamamos circunferencia o ciacuterculo osculador E1
radio de este ciacuterculo lo llamamos radio de
curvatura y al centro centro de curvatura El
ciacuterculo osculador pertenece al plano determi-
nado por dos tangentes sucesivas a la curva en P
y P por ejemplo cuando ambos puntos tienden a
confundirse uno sobre otro A este plano se le
denomina plano osculador
FIG6
3 Movimientos de especial intereacutes
31 Movimiento uniforme
El movimiento uniforme es aquel en el que las componentes intriacutensecas de la acele-
racioacuten son ambas nulas es decir 0=na
y 0=ta
De la primera se deduce
2van = y por ser v 0 rarr =
y el movimiento es de radio de curvatura infinito o sea movimiento rectiliacuteneo
De la segunda se deduce dt
dvat = = 0 o sea v = cte
y el movimiento tiene moacutedulo de velocidad constante es decir es uniforme
De ambas condiciones se deduce que el vector velocidad v
es constante en moacutedulo
direccioacuten y sentido ( ctev =
) y como estaacute definido por
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13
dt
rdv
= luego dtvrd
=
que integrando = dtvrd
rarr 00 rtvr
+=
donde 0r
es la constante de integracioacuten (vectorial) y
representa el vector de posicioacuten inicial para el instante
inicial t = 0 (Fig7) FIG 7
Si tomamos como origen de coordenadas un punto situado en la propia trayectoria C
del movimiento todoslos vectores implicados en la ecuacioacuten 0r
r
y 0v
tendraacuten la misma
direccioacuten y se podraacute escribir tvss o+= 0 donde 0s s y 0v seraacuten los moacutedulos de los
vectores correspondientes
32 Movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
Este movimiento se caracteriza por que sus componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
toman los valores an = 0 y at = cte ne 0
De la primera se deduce como en el caso anterior que el radio es infinito r = y por
consiguiente el movimiento tiene trayectoria rectiliacutenea
De la segunda se obtiene dvdt=at (constante) siendo eacutesta ademaacutes la aceleracioacuten total
(por ser la uacutenica) pues
ttnt aaaaa ==+= 222
y como la aceleracioacuten tangencial tiene direccioacuten tangente a la trayectoria igual que la
velocidad se podraacute escribir
aadtvd t
== o bien dtavd
= e integrando = dtavd
resulta
0 vtav
+=
siendo 0v
la constante de integracioacuten que corresponde con la velocidad inicial o velocidad
para t = 0
Si sustituimos esta expresioacuten en la ecuacioacuten de definicioacuten de v
resulta
tavdt
rdv 0
+== o bien dttadtvrd 0
+=
e integrando += dttadtvrd 0
rarr 2
00 2
1 tatvrr
++=
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14
donde 0r
es la constante de integracioacuten que representa el vector de posicioacuten en el instante
inicial t = 0
Si elegimos como origen de coordenadas un
punto situado en la propia trayectoria recta C del
movimiento resultaraacuten r
0r
0v
a
vectores
todos ellos de la misma direccioacuten y podraacuten
escribirse las ecuaciones anteriores soacutelo con sus
moacutedulos es decir FIG 8
2
00 2
1 tatvss ++= y tavv 0 +=
Entre ambas ecuaciones podemos eliminar el tiempo t para obtener una ecuacioacuten de la
velocidad en funcioacuten del espacio y la aceleracioacuten v=f(sa)
despejando t de la segunda ecuacioacuten a
vvt ominus
=
y sustituyendo en la ecuacioacuten del espacio resulta
2
2
2
1 0
2
0
22
00
0
2
00
00 =minus+
+minus
+=
minus+
minus+=
a
vvvv
a
vvvs
a
vva
a
vvvss
a
vvs
a
vvvvvvvs
22
222
2
0
2
0
0
2
0
22
00
0
minus+=
minus++minus+=
de donde a
vvss
2
2
0
2
0
minus=minus resultando )(2 0
2
0
2 ssavv minus+=
En el caso de que el origen de coordenadas sea arbitrario y esteacute fuera de la trayectoria
la expresioacuten vectorial anterior
2
002
1tatvrr
++= puede ponerse 2
002
1tatvrr
+=minus
resultando que los vectores 0rr
minus 0v
y a
tienen todos la misma direccioacuten como puede
apreciarse en la figura 8 y pueden escribirse por sus moacutedulos llamando 0rrs
minus=
resultando 2
02
1attvs +=
Si se trata de un movimiento uniformemente retardado (decelerado) la aceleracioacuten seraacute
negativa y si el movimiento se debe a la accioacuten gravitatoria en recorridos cortos muy
proacuteximos a la superficie de la Tierra la aceleracioacuten se puede considerar constante e igual a
a = g = 9rsquo8 ms2 = 980 cms2 y se denomina movimiento de caiacuteda libre
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15
33 Movimiento circular uniforme
Para este movimiento las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los si-
guientes valores an = cte ne 0 y at= 0
De la segunda condicioacuten at=dvdt=0 se deduce que v=cte y como la primera condicioacuten
implica an=v2=cte de todo ello se deduce que =cte y la trayectoria ha de ser circular de
radio La aceleracioacuten total del movimiento seraacute
nnt aaaa
=+=
y la velocidad seraacute constante en moacutedulo pero no en direccioacuten En consecuencia la
ecuacioacuten que nos daraacute el espacio recorrido por el moacutevil a lo largo de su trayectoria circular
es la misma que la correspondiente al movimiento uniforme y rectiliacuteneo midiendo los
espacios sobre la circunferencia tvss 0 +=
En este tipo de movimiento interesa conocer el aacutengulo girado por el radio-vector que
une el centro con el moacutevil Recordando que Arco(m)=Radio(m)Angulo(rad)
resulta S = ϕ y derivando respecto al tiempo resultaraacute
dt
d
dt
ds middot= es decir
dt
dv
=
Esta uacuteltima derivada representa la variacioacuten del aacutengulo girado por el vector de posicioacuten
en la unidad de tiempo a lo que se le llama velocidad angular y se representa por
=ddt resultando v= ( rarr rads)
Por convenio se representa la velocidad angular por un vector axial normal al plano de
la circunferencia (plano de r
y v
) de sentido el correspondiente a la regla del sacacorchos
(regla de Maxwell) y de moacutedulo proporcional a su valor por ello puede escribirse
=v
expresioacuten que tambieacuten puede escribirse asiacute
=minus= AOv
es decir la velocidad tangencial v
es el momento del
vector velocidad angular
con respecto al punto A
34 Movimiento circular uniformemente acelerado
En eacutel las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los siguientes valores
an=v2 cte t2 y at=dvdt=cte
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16
tendraacute como trayectoria una circunferencia de radio y sobre ella el movimiento vendraacute
descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado
2
002
1tatvss t++= tavv t+= 0 )(2 0
2
0
2 ssavv t minus+=
Como la velocidad no es constante tampoco lo seraacute la velocidad angular relacionada
con aquella mediante el radio v= y por ello derivando con respecto al tiempo
resultaraacute
( )
dt
d
dt
d
dt
dv== o sea a =
donde =ddt es la aceleracioacuten angular o variacioacuten de la velocidad angular con respecto
al tiempo Se mide en rads2 en el sistema Internacional (SI)
Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en funcioacuten de las magnitudes angula-res a
partir de = ddt y = ddt e integrando
= 0 + t 2 = 02 + 2
35 Movimiento armoacutenico simple
Llamamos movimiento perioacutedico a cualquier movimiento que se repite a intervalos
iguales de tiempo Por ejemplo el movimiento de una masa sujeta a un muelle el movi-
miento de un peacutendulo las vibraciones de los aacutetomos de una moleacutecula etc Cuando una
partiacutecula que realiza un movimiento perioacutedico se mueve alternativamente en un sentido y
otro sobre una misma trayectoria recibe el nombre de movimiento oscilatorio
El movimiento oscilatorio maacutes importante es el movimiento armoacutenico simple (MAS)
por ser el maacutes faacutecil de describir matemaacuteticamente y constituye un modelo exacto o
aproximado para muchos sistemas fiacutesicos
Decimos que una partiacutecula que se mueve a lo largo del eje X realiza un MAS centrado
en el origen O de dicho sistema coordenado cuando su desplazamiento X con respecto al
origen viene expresado en funcioacuten del tiempo en la forma
( ) += tAx sen
donde A y son constantes propias del movimiento armoacutenico
La distancia X que separa la partiacutecula del origen O recibe el nombre de elongacioacuten El
valor absoluto de la elongacioacuten maacutexima A se denomina amplitud La cantidad t+
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17
(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase
inicial para t=0
Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2 la partiacutecula completa una oscilacioacuten
luego el periodo es T=2 La frecuencia del movimiento es el nuacutemero de oscilaciones
que se completan en la unidad de tiempo [=1T (cicloss=herzios (Hz))]
La constante es la frecuencia angular o pulsacioacuten (=2=s-1)
La velocidad de la partiacutecula que realiza un Movimiento Armoacutenico Simple viene dada
por la derivada de la elongacioacuten respecto del tiempo
( )
++=+==
2sencos
tAtA
dt
dxv
La aceleracioacuten de la partiacutecula se determina haciendo la derivada de la velocidad
respecto del tiempo
( ) XtAdt
dva sen 22 minus=+minus==
Considerando a=Fm la fuerza que deberaacute actuar sobre una partiacutecula para que realice un
Movimiento Armoacutenico Simple debe ser tambieacuten proporcional a la elongacioacuten de la
partiacutecula y de signo contrario a eacutesta
F = ma = -m2x = -kx
donde k = m2 llamada constante armoacutenica
36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos
Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultaacuteneos independientes realiza
un movimiento compuesto que resulta de la combinacioacuten de aquellos La composicioacuten de
dos o maacutes movimientos se realiza calculando el vector de posicioacuten del movimiento
resultante como suma de los vectores de posicioacuten de los movimientos componentes
Esto se apoya en el ldquoPrincipio de Galileordquo o de independencia de los movimientos ldquoSi
un punto estaacute dotado por dos causas diferentes de dos movimientos simultaacuteneos su cambio de
posicioacuten es independiente de que los dos movimientos actuacuteen sucesiva o simultaacuteneamenterdquo
De lo anterior se deduce que el vector de posicioacuten r
es la suma de los vectores de
posicioacuten de los movimientos individuales
4321 ++++= rrrrr
y derivando 4321 ++++= vvvvv
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18
es decir la velocidad de un movimiento compuesto es en todo momento la suma
vectorial de las velocidades de los movimientos componentes
361 Descripcioacuten de casos elementales
A) Un nadador que avanza en la direccioacuten y sentido de la corriente (dos movimientos
rectiliacuteneos y uniformes en la misma direccioacuten y sentido)
v = v1 + v2 a = 0
s = s1 + s2 = (v1 + v2)t
B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectiliacuteneos y
uniformes de la misma direccioacuten y de sentidos contrarios)
v = v1 - v2 a = 0
s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)
C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos
rec-tiliacuteneos y uniformes de direcciones perpendiculares)
2
2
2
121
2
2
2
1 ordm90middotcos2 vvvsivvvvv +==++=
el espacio recorrido seraacute
tvvssss middot2
2
2
1
2
2
2
1+=rarr+=
y el aacutengulo de direccioacuten resultante
1
2
1
2tgs
s
v
v==
D) Dos movimientos rectiliacuteneos uniformemente acelerados en la misma direccioacuten
++=
++=
2
202022
2
101011
2
1middot
2
1middot
tatvss
tatvss sumando
2
21201020121 )(2
1)()( taatvvsssss o +++++=+=
taavvdt
dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa
dt
dva +==
E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma
direccioacuten dados por
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19
middot
2
1middot
middot
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1)()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado
362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda
Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante
vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del
avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior
con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo
posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
minus=
=
El aacutengulo de v con la horizontal seraacute
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es
jgtivv x
minus=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r
resulta
jgtitvr x
2
1 2minus=
por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten
dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la
trayectoria
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20
)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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21
que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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22
=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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25
donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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26
- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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y la direccioacuten del vector unitario normal seraacute )(
)(
vav
vavun
=
como puede demostrarse faacutecilmente en la figura 3
26 Concepto de radio de curvatura
Si tomamos tres puntos muy proacuteximos sobre
una curva P P y P de las circunferencias tan-
gentes a la curva en P la que tiene en dicho punto
un contacto tal que P y P pertenezcan a ella
cuando eacutestos tienden a confundirse con P la
llamamos circunferencia o ciacuterculo osculador E1
radio de este ciacuterculo lo llamamos radio de
curvatura y al centro centro de curvatura El
ciacuterculo osculador pertenece al plano determi-
nado por dos tangentes sucesivas a la curva en P
y P por ejemplo cuando ambos puntos tienden a
confundirse uno sobre otro A este plano se le
denomina plano osculador
FIG6
3 Movimientos de especial intereacutes
31 Movimiento uniforme
El movimiento uniforme es aquel en el que las componentes intriacutensecas de la acele-
racioacuten son ambas nulas es decir 0=na
y 0=ta
De la primera se deduce
2van = y por ser v 0 rarr =
y el movimiento es de radio de curvatura infinito o sea movimiento rectiliacuteneo
De la segunda se deduce dt
dvat = = 0 o sea v = cte
y el movimiento tiene moacutedulo de velocidad constante es decir es uniforme
De ambas condiciones se deduce que el vector velocidad v
es constante en moacutedulo
direccioacuten y sentido ( ctev =
) y como estaacute definido por
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13
dt
rdv
= luego dtvrd
=
que integrando = dtvrd
rarr 00 rtvr
+=
donde 0r
es la constante de integracioacuten (vectorial) y
representa el vector de posicioacuten inicial para el instante
inicial t = 0 (Fig7) FIG 7
Si tomamos como origen de coordenadas un punto situado en la propia trayectoria C
del movimiento todoslos vectores implicados en la ecuacioacuten 0r
r
y 0v
tendraacuten la misma
direccioacuten y se podraacute escribir tvss o+= 0 donde 0s s y 0v seraacuten los moacutedulos de los
vectores correspondientes
32 Movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
Este movimiento se caracteriza por que sus componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
toman los valores an = 0 y at = cte ne 0
De la primera se deduce como en el caso anterior que el radio es infinito r = y por
consiguiente el movimiento tiene trayectoria rectiliacutenea
De la segunda se obtiene dvdt=at (constante) siendo eacutesta ademaacutes la aceleracioacuten total
(por ser la uacutenica) pues
ttnt aaaaa ==+= 222
y como la aceleracioacuten tangencial tiene direccioacuten tangente a la trayectoria igual que la
velocidad se podraacute escribir
aadtvd t
== o bien dtavd
= e integrando = dtavd
resulta
0 vtav
+=
siendo 0v
la constante de integracioacuten que corresponde con la velocidad inicial o velocidad
para t = 0
Si sustituimos esta expresioacuten en la ecuacioacuten de definicioacuten de v
resulta
tavdt
rdv 0
+== o bien dttadtvrd 0
+=
e integrando += dttadtvrd 0
rarr 2
00 2
1 tatvrr
++=
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14
donde 0r
es la constante de integracioacuten que representa el vector de posicioacuten en el instante
inicial t = 0
Si elegimos como origen de coordenadas un
punto situado en la propia trayectoria recta C del
movimiento resultaraacuten r
0r
0v
a
vectores
todos ellos de la misma direccioacuten y podraacuten
escribirse las ecuaciones anteriores soacutelo con sus
moacutedulos es decir FIG 8
2
00 2
1 tatvss ++= y tavv 0 +=
Entre ambas ecuaciones podemos eliminar el tiempo t para obtener una ecuacioacuten de la
velocidad en funcioacuten del espacio y la aceleracioacuten v=f(sa)
despejando t de la segunda ecuacioacuten a
vvt ominus
=
y sustituyendo en la ecuacioacuten del espacio resulta
2
2
2
1 0
2
0
22
00
0
2
00
00 =minus+
+minus
+=
minus+
minus+=
a
vvvv
a
vvvs
a
vva
a
vvvss
a
vvs
a
vvvvvvvs
22
222
2
0
2
0
0
2
0
22
00
0
minus+=
minus++minus+=
de donde a
vvss
2
2
0
2
0
minus=minus resultando )(2 0
2
0
2 ssavv minus+=
En el caso de que el origen de coordenadas sea arbitrario y esteacute fuera de la trayectoria
la expresioacuten vectorial anterior
2
002
1tatvrr
++= puede ponerse 2
002
1tatvrr
+=minus
resultando que los vectores 0rr
minus 0v
y a
tienen todos la misma direccioacuten como puede
apreciarse en la figura 8 y pueden escribirse por sus moacutedulos llamando 0rrs
minus=
resultando 2
02
1attvs +=
Si se trata de un movimiento uniformemente retardado (decelerado) la aceleracioacuten seraacute
negativa y si el movimiento se debe a la accioacuten gravitatoria en recorridos cortos muy
proacuteximos a la superficie de la Tierra la aceleracioacuten se puede considerar constante e igual a
a = g = 9rsquo8 ms2 = 980 cms2 y se denomina movimiento de caiacuteda libre
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33 Movimiento circular uniforme
Para este movimiento las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los si-
guientes valores an = cte ne 0 y at= 0
De la segunda condicioacuten at=dvdt=0 se deduce que v=cte y como la primera condicioacuten
implica an=v2=cte de todo ello se deduce que =cte y la trayectoria ha de ser circular de
radio La aceleracioacuten total del movimiento seraacute
nnt aaaa
=+=
y la velocidad seraacute constante en moacutedulo pero no en direccioacuten En consecuencia la
ecuacioacuten que nos daraacute el espacio recorrido por el moacutevil a lo largo de su trayectoria circular
es la misma que la correspondiente al movimiento uniforme y rectiliacuteneo midiendo los
espacios sobre la circunferencia tvss 0 +=
En este tipo de movimiento interesa conocer el aacutengulo girado por el radio-vector que
une el centro con el moacutevil Recordando que Arco(m)=Radio(m)Angulo(rad)
resulta S = ϕ y derivando respecto al tiempo resultaraacute
dt
d
dt
ds middot= es decir
dt
dv
=
Esta uacuteltima derivada representa la variacioacuten del aacutengulo girado por el vector de posicioacuten
en la unidad de tiempo a lo que se le llama velocidad angular y se representa por
=ddt resultando v= ( rarr rads)
Por convenio se representa la velocidad angular por un vector axial normal al plano de
la circunferencia (plano de r
y v
) de sentido el correspondiente a la regla del sacacorchos
(regla de Maxwell) y de moacutedulo proporcional a su valor por ello puede escribirse
=v
expresioacuten que tambieacuten puede escribirse asiacute
=minus= AOv
es decir la velocidad tangencial v
es el momento del
vector velocidad angular
con respecto al punto A
34 Movimiento circular uniformemente acelerado
En eacutel las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los siguientes valores
an=v2 cte t2 y at=dvdt=cte
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tendraacute como trayectoria una circunferencia de radio y sobre ella el movimiento vendraacute
descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado
2
002
1tatvss t++= tavv t+= 0 )(2 0
2
0
2 ssavv t minus+=
Como la velocidad no es constante tampoco lo seraacute la velocidad angular relacionada
con aquella mediante el radio v= y por ello derivando con respecto al tiempo
resultaraacute
( )
dt
d
dt
d
dt
dv== o sea a =
donde =ddt es la aceleracioacuten angular o variacioacuten de la velocidad angular con respecto
al tiempo Se mide en rads2 en el sistema Internacional (SI)
Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en funcioacuten de las magnitudes angula-res a
partir de = ddt y = ddt e integrando
= 0 + t 2 = 02 + 2
35 Movimiento armoacutenico simple
Llamamos movimiento perioacutedico a cualquier movimiento que se repite a intervalos
iguales de tiempo Por ejemplo el movimiento de una masa sujeta a un muelle el movi-
miento de un peacutendulo las vibraciones de los aacutetomos de una moleacutecula etc Cuando una
partiacutecula que realiza un movimiento perioacutedico se mueve alternativamente en un sentido y
otro sobre una misma trayectoria recibe el nombre de movimiento oscilatorio
El movimiento oscilatorio maacutes importante es el movimiento armoacutenico simple (MAS)
por ser el maacutes faacutecil de describir matemaacuteticamente y constituye un modelo exacto o
aproximado para muchos sistemas fiacutesicos
Decimos que una partiacutecula que se mueve a lo largo del eje X realiza un MAS centrado
en el origen O de dicho sistema coordenado cuando su desplazamiento X con respecto al
origen viene expresado en funcioacuten del tiempo en la forma
( ) += tAx sen
donde A y son constantes propias del movimiento armoacutenico
La distancia X que separa la partiacutecula del origen O recibe el nombre de elongacioacuten El
valor absoluto de la elongacioacuten maacutexima A se denomina amplitud La cantidad t+
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17
(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase
inicial para t=0
Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2 la partiacutecula completa una oscilacioacuten
luego el periodo es T=2 La frecuencia del movimiento es el nuacutemero de oscilaciones
que se completan en la unidad de tiempo [=1T (cicloss=herzios (Hz))]
La constante es la frecuencia angular o pulsacioacuten (=2=s-1)
La velocidad de la partiacutecula que realiza un Movimiento Armoacutenico Simple viene dada
por la derivada de la elongacioacuten respecto del tiempo
( )
++=+==
2sencos
tAtA
dt
dxv
La aceleracioacuten de la partiacutecula se determina haciendo la derivada de la velocidad
respecto del tiempo
( ) XtAdt
dva sen 22 minus=+minus==
Considerando a=Fm la fuerza que deberaacute actuar sobre una partiacutecula para que realice un
Movimiento Armoacutenico Simple debe ser tambieacuten proporcional a la elongacioacuten de la
partiacutecula y de signo contrario a eacutesta
F = ma = -m2x = -kx
donde k = m2 llamada constante armoacutenica
36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos
Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultaacuteneos independientes realiza
un movimiento compuesto que resulta de la combinacioacuten de aquellos La composicioacuten de
dos o maacutes movimientos se realiza calculando el vector de posicioacuten del movimiento
resultante como suma de los vectores de posicioacuten de los movimientos componentes
Esto se apoya en el ldquoPrincipio de Galileordquo o de independencia de los movimientos ldquoSi
un punto estaacute dotado por dos causas diferentes de dos movimientos simultaacuteneos su cambio de
posicioacuten es independiente de que los dos movimientos actuacuteen sucesiva o simultaacuteneamenterdquo
De lo anterior se deduce que el vector de posicioacuten r
es la suma de los vectores de
posicioacuten de los movimientos individuales
4321 ++++= rrrrr
y derivando 4321 ++++= vvvvv
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18
es decir la velocidad de un movimiento compuesto es en todo momento la suma
vectorial de las velocidades de los movimientos componentes
361 Descripcioacuten de casos elementales
A) Un nadador que avanza en la direccioacuten y sentido de la corriente (dos movimientos
rectiliacuteneos y uniformes en la misma direccioacuten y sentido)
v = v1 + v2 a = 0
s = s1 + s2 = (v1 + v2)t
B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectiliacuteneos y
uniformes de la misma direccioacuten y de sentidos contrarios)
v = v1 - v2 a = 0
s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)
C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos
rec-tiliacuteneos y uniformes de direcciones perpendiculares)
2
2
2
121
2
2
2
1 ordm90middotcos2 vvvsivvvvv +==++=
el espacio recorrido seraacute
tvvssss middot2
2
2
1
2
2
2
1+=rarr+=
y el aacutengulo de direccioacuten resultante
1
2
1
2tgs
s
v
v==
D) Dos movimientos rectiliacuteneos uniformemente acelerados en la misma direccioacuten
++=
++=
2
202022
2
101011
2
1middot
2
1middot
tatvss
tatvss sumando
2
21201020121 )(2
1)()( taatvvsssss o +++++=+=
taavvdt
dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa
dt
dva +==
E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma
direccioacuten dados por
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19
middot
2
1middot
middot
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1)()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado
362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda
Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante
vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del
avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior
con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo
posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
minus=
=
El aacutengulo de v con la horizontal seraacute
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es
jgtivv x
minus=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r
resulta
jgtitvr x
2
1 2minus=
por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten
dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la
trayectoria
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20
)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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21
que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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22
=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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23
( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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24
41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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25
donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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26
- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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27
aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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28
5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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13
dt
rdv
= luego dtvrd
=
que integrando = dtvrd
rarr 00 rtvr
+=
donde 0r
es la constante de integracioacuten (vectorial) y
representa el vector de posicioacuten inicial para el instante
inicial t = 0 (Fig7) FIG 7
Si tomamos como origen de coordenadas un punto situado en la propia trayectoria C
del movimiento todoslos vectores implicados en la ecuacioacuten 0r
r
y 0v
tendraacuten la misma
direccioacuten y se podraacute escribir tvss o+= 0 donde 0s s y 0v seraacuten los moacutedulos de los
vectores correspondientes
32 Movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
Este movimiento se caracteriza por que sus componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten
toman los valores an = 0 y at = cte ne 0
De la primera se deduce como en el caso anterior que el radio es infinito r = y por
consiguiente el movimiento tiene trayectoria rectiliacutenea
De la segunda se obtiene dvdt=at (constante) siendo eacutesta ademaacutes la aceleracioacuten total
(por ser la uacutenica) pues
ttnt aaaaa ==+= 222
y como la aceleracioacuten tangencial tiene direccioacuten tangente a la trayectoria igual que la
velocidad se podraacute escribir
aadtvd t
== o bien dtavd
= e integrando = dtavd
resulta
0 vtav
+=
siendo 0v
la constante de integracioacuten que corresponde con la velocidad inicial o velocidad
para t = 0
Si sustituimos esta expresioacuten en la ecuacioacuten de definicioacuten de v
resulta
tavdt
rdv 0
+== o bien dttadtvrd 0
+=
e integrando += dttadtvrd 0
rarr 2
00 2
1 tatvrr
++=
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14
donde 0r
es la constante de integracioacuten que representa el vector de posicioacuten en el instante
inicial t = 0
Si elegimos como origen de coordenadas un
punto situado en la propia trayectoria recta C del
movimiento resultaraacuten r
0r
0v
a
vectores
todos ellos de la misma direccioacuten y podraacuten
escribirse las ecuaciones anteriores soacutelo con sus
moacutedulos es decir FIG 8
2
00 2
1 tatvss ++= y tavv 0 +=
Entre ambas ecuaciones podemos eliminar el tiempo t para obtener una ecuacioacuten de la
velocidad en funcioacuten del espacio y la aceleracioacuten v=f(sa)
despejando t de la segunda ecuacioacuten a
vvt ominus
=
y sustituyendo en la ecuacioacuten del espacio resulta
2
2
2
1 0
2
0
22
00
0
2
00
00 =minus+
+minus
+=
minus+
minus+=
a
vvvv
a
vvvs
a
vva
a
vvvss
a
vvs
a
vvvvvvvs
22
222
2
0
2
0
0
2
0
22
00
0
minus+=
minus++minus+=
de donde a
vvss
2
2
0
2
0
minus=minus resultando )(2 0
2
0
2 ssavv minus+=
En el caso de que el origen de coordenadas sea arbitrario y esteacute fuera de la trayectoria
la expresioacuten vectorial anterior
2
002
1tatvrr
++= puede ponerse 2
002
1tatvrr
+=minus
resultando que los vectores 0rr
minus 0v
y a
tienen todos la misma direccioacuten como puede
apreciarse en la figura 8 y pueden escribirse por sus moacutedulos llamando 0rrs
minus=
resultando 2
02
1attvs +=
Si se trata de un movimiento uniformemente retardado (decelerado) la aceleracioacuten seraacute
negativa y si el movimiento se debe a la accioacuten gravitatoria en recorridos cortos muy
proacuteximos a la superficie de la Tierra la aceleracioacuten se puede considerar constante e igual a
a = g = 9rsquo8 ms2 = 980 cms2 y se denomina movimiento de caiacuteda libre
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15
33 Movimiento circular uniforme
Para este movimiento las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los si-
guientes valores an = cte ne 0 y at= 0
De la segunda condicioacuten at=dvdt=0 se deduce que v=cte y como la primera condicioacuten
implica an=v2=cte de todo ello se deduce que =cte y la trayectoria ha de ser circular de
radio La aceleracioacuten total del movimiento seraacute
nnt aaaa
=+=
y la velocidad seraacute constante en moacutedulo pero no en direccioacuten En consecuencia la
ecuacioacuten que nos daraacute el espacio recorrido por el moacutevil a lo largo de su trayectoria circular
es la misma que la correspondiente al movimiento uniforme y rectiliacuteneo midiendo los
espacios sobre la circunferencia tvss 0 +=
En este tipo de movimiento interesa conocer el aacutengulo girado por el radio-vector que
une el centro con el moacutevil Recordando que Arco(m)=Radio(m)Angulo(rad)
resulta S = ϕ y derivando respecto al tiempo resultaraacute
dt
d
dt
ds middot= es decir
dt
dv
=
Esta uacuteltima derivada representa la variacioacuten del aacutengulo girado por el vector de posicioacuten
en la unidad de tiempo a lo que se le llama velocidad angular y se representa por
=ddt resultando v= ( rarr rads)
Por convenio se representa la velocidad angular por un vector axial normal al plano de
la circunferencia (plano de r
y v
) de sentido el correspondiente a la regla del sacacorchos
(regla de Maxwell) y de moacutedulo proporcional a su valor por ello puede escribirse
=v
expresioacuten que tambieacuten puede escribirse asiacute
=minus= AOv
es decir la velocidad tangencial v
es el momento del
vector velocidad angular
con respecto al punto A
34 Movimiento circular uniformemente acelerado
En eacutel las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los siguientes valores
an=v2 cte t2 y at=dvdt=cte
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16
tendraacute como trayectoria una circunferencia de radio y sobre ella el movimiento vendraacute
descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado
2
002
1tatvss t++= tavv t+= 0 )(2 0
2
0
2 ssavv t minus+=
Como la velocidad no es constante tampoco lo seraacute la velocidad angular relacionada
con aquella mediante el radio v= y por ello derivando con respecto al tiempo
resultaraacute
( )
dt
d
dt
d
dt
dv== o sea a =
donde =ddt es la aceleracioacuten angular o variacioacuten de la velocidad angular con respecto
al tiempo Se mide en rads2 en el sistema Internacional (SI)
Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en funcioacuten de las magnitudes angula-res a
partir de = ddt y = ddt e integrando
= 0 + t 2 = 02 + 2
35 Movimiento armoacutenico simple
Llamamos movimiento perioacutedico a cualquier movimiento que se repite a intervalos
iguales de tiempo Por ejemplo el movimiento de una masa sujeta a un muelle el movi-
miento de un peacutendulo las vibraciones de los aacutetomos de una moleacutecula etc Cuando una
partiacutecula que realiza un movimiento perioacutedico se mueve alternativamente en un sentido y
otro sobre una misma trayectoria recibe el nombre de movimiento oscilatorio
El movimiento oscilatorio maacutes importante es el movimiento armoacutenico simple (MAS)
por ser el maacutes faacutecil de describir matemaacuteticamente y constituye un modelo exacto o
aproximado para muchos sistemas fiacutesicos
Decimos que una partiacutecula que se mueve a lo largo del eje X realiza un MAS centrado
en el origen O de dicho sistema coordenado cuando su desplazamiento X con respecto al
origen viene expresado en funcioacuten del tiempo en la forma
( ) += tAx sen
donde A y son constantes propias del movimiento armoacutenico
La distancia X que separa la partiacutecula del origen O recibe el nombre de elongacioacuten El
valor absoluto de la elongacioacuten maacutexima A se denomina amplitud La cantidad t+
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17
(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase
inicial para t=0
Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2 la partiacutecula completa una oscilacioacuten
luego el periodo es T=2 La frecuencia del movimiento es el nuacutemero de oscilaciones
que se completan en la unidad de tiempo [=1T (cicloss=herzios (Hz))]
La constante es la frecuencia angular o pulsacioacuten (=2=s-1)
La velocidad de la partiacutecula que realiza un Movimiento Armoacutenico Simple viene dada
por la derivada de la elongacioacuten respecto del tiempo
( )
++=+==
2sencos
tAtA
dt
dxv
La aceleracioacuten de la partiacutecula se determina haciendo la derivada de la velocidad
respecto del tiempo
( ) XtAdt
dva sen 22 minus=+minus==
Considerando a=Fm la fuerza que deberaacute actuar sobre una partiacutecula para que realice un
Movimiento Armoacutenico Simple debe ser tambieacuten proporcional a la elongacioacuten de la
partiacutecula y de signo contrario a eacutesta
F = ma = -m2x = -kx
donde k = m2 llamada constante armoacutenica
36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos
Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultaacuteneos independientes realiza
un movimiento compuesto que resulta de la combinacioacuten de aquellos La composicioacuten de
dos o maacutes movimientos se realiza calculando el vector de posicioacuten del movimiento
resultante como suma de los vectores de posicioacuten de los movimientos componentes
Esto se apoya en el ldquoPrincipio de Galileordquo o de independencia de los movimientos ldquoSi
un punto estaacute dotado por dos causas diferentes de dos movimientos simultaacuteneos su cambio de
posicioacuten es independiente de que los dos movimientos actuacuteen sucesiva o simultaacuteneamenterdquo
De lo anterior se deduce que el vector de posicioacuten r
es la suma de los vectores de
posicioacuten de los movimientos individuales
4321 ++++= rrrrr
y derivando 4321 ++++= vvvvv
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18
es decir la velocidad de un movimiento compuesto es en todo momento la suma
vectorial de las velocidades de los movimientos componentes
361 Descripcioacuten de casos elementales
A) Un nadador que avanza en la direccioacuten y sentido de la corriente (dos movimientos
rectiliacuteneos y uniformes en la misma direccioacuten y sentido)
v = v1 + v2 a = 0
s = s1 + s2 = (v1 + v2)t
B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectiliacuteneos y
uniformes de la misma direccioacuten y de sentidos contrarios)
v = v1 - v2 a = 0
s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)
C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos
rec-tiliacuteneos y uniformes de direcciones perpendiculares)
2
2
2
121
2
2
2
1 ordm90middotcos2 vvvsivvvvv +==++=
el espacio recorrido seraacute
tvvssss middot2
2
2
1
2
2
2
1+=rarr+=
y el aacutengulo de direccioacuten resultante
1
2
1
2tgs
s
v
v==
D) Dos movimientos rectiliacuteneos uniformemente acelerados en la misma direccioacuten
++=
++=
2
202022
2
101011
2
1middot
2
1middot
tatvss
tatvss sumando
2
21201020121 )(2
1)()( taatvvsssss o +++++=+=
taavvdt
dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa
dt
dva +==
E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma
direccioacuten dados por
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19
middot
2
1middot
middot
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1)()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado
362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda
Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante
vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del
avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior
con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo
posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
minus=
=
El aacutengulo de v con la horizontal seraacute
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es
jgtivv x
minus=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r
resulta
jgtitvr x
2
1 2minus=
por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten
dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la
trayectoria
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20
)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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21
que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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22
=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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23
( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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24
41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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25
donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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26
- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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27
aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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28
5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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14
donde 0r
es la constante de integracioacuten que representa el vector de posicioacuten en el instante
inicial t = 0
Si elegimos como origen de coordenadas un
punto situado en la propia trayectoria recta C del
movimiento resultaraacuten r
0r
0v
a
vectores
todos ellos de la misma direccioacuten y podraacuten
escribirse las ecuaciones anteriores soacutelo con sus
moacutedulos es decir FIG 8
2
00 2
1 tatvss ++= y tavv 0 +=
Entre ambas ecuaciones podemos eliminar el tiempo t para obtener una ecuacioacuten de la
velocidad en funcioacuten del espacio y la aceleracioacuten v=f(sa)
despejando t de la segunda ecuacioacuten a
vvt ominus
=
y sustituyendo en la ecuacioacuten del espacio resulta
2
2
2
1 0
2
0
22
00
0
2
00
00 =minus+
+minus
+=
minus+
minus+=
a
vvvv
a
vvvs
a
vva
a
vvvss
a
vvs
a
vvvvvvvs
22
222
2
0
2
0
0
2
0
22
00
0
minus+=
minus++minus+=
de donde a
vvss
2
2
0
2
0
minus=minus resultando )(2 0
2
0
2 ssavv minus+=
En el caso de que el origen de coordenadas sea arbitrario y esteacute fuera de la trayectoria
la expresioacuten vectorial anterior
2
002
1tatvrr
++= puede ponerse 2
002
1tatvrr
+=minus
resultando que los vectores 0rr
minus 0v
y a
tienen todos la misma direccioacuten como puede
apreciarse en la figura 8 y pueden escribirse por sus moacutedulos llamando 0rrs
minus=
resultando 2
02
1attvs +=
Si se trata de un movimiento uniformemente retardado (decelerado) la aceleracioacuten seraacute
negativa y si el movimiento se debe a la accioacuten gravitatoria en recorridos cortos muy
proacuteximos a la superficie de la Tierra la aceleracioacuten se puede considerar constante e igual a
a = g = 9rsquo8 ms2 = 980 cms2 y se denomina movimiento de caiacuteda libre
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15
33 Movimiento circular uniforme
Para este movimiento las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los si-
guientes valores an = cte ne 0 y at= 0
De la segunda condicioacuten at=dvdt=0 se deduce que v=cte y como la primera condicioacuten
implica an=v2=cte de todo ello se deduce que =cte y la trayectoria ha de ser circular de
radio La aceleracioacuten total del movimiento seraacute
nnt aaaa
=+=
y la velocidad seraacute constante en moacutedulo pero no en direccioacuten En consecuencia la
ecuacioacuten que nos daraacute el espacio recorrido por el moacutevil a lo largo de su trayectoria circular
es la misma que la correspondiente al movimiento uniforme y rectiliacuteneo midiendo los
espacios sobre la circunferencia tvss 0 +=
En este tipo de movimiento interesa conocer el aacutengulo girado por el radio-vector que
une el centro con el moacutevil Recordando que Arco(m)=Radio(m)Angulo(rad)
resulta S = ϕ y derivando respecto al tiempo resultaraacute
dt
d
dt
ds middot= es decir
dt
dv
=
Esta uacuteltima derivada representa la variacioacuten del aacutengulo girado por el vector de posicioacuten
en la unidad de tiempo a lo que se le llama velocidad angular y se representa por
=ddt resultando v= ( rarr rads)
Por convenio se representa la velocidad angular por un vector axial normal al plano de
la circunferencia (plano de r
y v
) de sentido el correspondiente a la regla del sacacorchos
(regla de Maxwell) y de moacutedulo proporcional a su valor por ello puede escribirse
=v
expresioacuten que tambieacuten puede escribirse asiacute
=minus= AOv
es decir la velocidad tangencial v
es el momento del
vector velocidad angular
con respecto al punto A
34 Movimiento circular uniformemente acelerado
En eacutel las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los siguientes valores
an=v2 cte t2 y at=dvdt=cte
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tendraacute como trayectoria una circunferencia de radio y sobre ella el movimiento vendraacute
descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado
2
002
1tatvss t++= tavv t+= 0 )(2 0
2
0
2 ssavv t minus+=
Como la velocidad no es constante tampoco lo seraacute la velocidad angular relacionada
con aquella mediante el radio v= y por ello derivando con respecto al tiempo
resultaraacute
( )
dt
d
dt
d
dt
dv== o sea a =
donde =ddt es la aceleracioacuten angular o variacioacuten de la velocidad angular con respecto
al tiempo Se mide en rads2 en el sistema Internacional (SI)
Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en funcioacuten de las magnitudes angula-res a
partir de = ddt y = ddt e integrando
= 0 + t 2 = 02 + 2
35 Movimiento armoacutenico simple
Llamamos movimiento perioacutedico a cualquier movimiento que se repite a intervalos
iguales de tiempo Por ejemplo el movimiento de una masa sujeta a un muelle el movi-
miento de un peacutendulo las vibraciones de los aacutetomos de una moleacutecula etc Cuando una
partiacutecula que realiza un movimiento perioacutedico se mueve alternativamente en un sentido y
otro sobre una misma trayectoria recibe el nombre de movimiento oscilatorio
El movimiento oscilatorio maacutes importante es el movimiento armoacutenico simple (MAS)
por ser el maacutes faacutecil de describir matemaacuteticamente y constituye un modelo exacto o
aproximado para muchos sistemas fiacutesicos
Decimos que una partiacutecula que se mueve a lo largo del eje X realiza un MAS centrado
en el origen O de dicho sistema coordenado cuando su desplazamiento X con respecto al
origen viene expresado en funcioacuten del tiempo en la forma
( ) += tAx sen
donde A y son constantes propias del movimiento armoacutenico
La distancia X que separa la partiacutecula del origen O recibe el nombre de elongacioacuten El
valor absoluto de la elongacioacuten maacutexima A se denomina amplitud La cantidad t+
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17
(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase
inicial para t=0
Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2 la partiacutecula completa una oscilacioacuten
luego el periodo es T=2 La frecuencia del movimiento es el nuacutemero de oscilaciones
que se completan en la unidad de tiempo [=1T (cicloss=herzios (Hz))]
La constante es la frecuencia angular o pulsacioacuten (=2=s-1)
La velocidad de la partiacutecula que realiza un Movimiento Armoacutenico Simple viene dada
por la derivada de la elongacioacuten respecto del tiempo
( )
++=+==
2sencos
tAtA
dt
dxv
La aceleracioacuten de la partiacutecula se determina haciendo la derivada de la velocidad
respecto del tiempo
( ) XtAdt
dva sen 22 minus=+minus==
Considerando a=Fm la fuerza que deberaacute actuar sobre una partiacutecula para que realice un
Movimiento Armoacutenico Simple debe ser tambieacuten proporcional a la elongacioacuten de la
partiacutecula y de signo contrario a eacutesta
F = ma = -m2x = -kx
donde k = m2 llamada constante armoacutenica
36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos
Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultaacuteneos independientes realiza
un movimiento compuesto que resulta de la combinacioacuten de aquellos La composicioacuten de
dos o maacutes movimientos se realiza calculando el vector de posicioacuten del movimiento
resultante como suma de los vectores de posicioacuten de los movimientos componentes
Esto se apoya en el ldquoPrincipio de Galileordquo o de independencia de los movimientos ldquoSi
un punto estaacute dotado por dos causas diferentes de dos movimientos simultaacuteneos su cambio de
posicioacuten es independiente de que los dos movimientos actuacuteen sucesiva o simultaacuteneamenterdquo
De lo anterior se deduce que el vector de posicioacuten r
es la suma de los vectores de
posicioacuten de los movimientos individuales
4321 ++++= rrrrr
y derivando 4321 ++++= vvvvv
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18
es decir la velocidad de un movimiento compuesto es en todo momento la suma
vectorial de las velocidades de los movimientos componentes
361 Descripcioacuten de casos elementales
A) Un nadador que avanza en la direccioacuten y sentido de la corriente (dos movimientos
rectiliacuteneos y uniformes en la misma direccioacuten y sentido)
v = v1 + v2 a = 0
s = s1 + s2 = (v1 + v2)t
B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectiliacuteneos y
uniformes de la misma direccioacuten y de sentidos contrarios)
v = v1 - v2 a = 0
s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)
C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos
rec-tiliacuteneos y uniformes de direcciones perpendiculares)
2
2
2
121
2
2
2
1 ordm90middotcos2 vvvsivvvvv +==++=
el espacio recorrido seraacute
tvvssss middot2
2
2
1
2
2
2
1+=rarr+=
y el aacutengulo de direccioacuten resultante
1
2
1
2tgs
s
v
v==
D) Dos movimientos rectiliacuteneos uniformemente acelerados en la misma direccioacuten
++=
++=
2
202022
2
101011
2
1middot
2
1middot
tatvss
tatvss sumando
2
21201020121 )(2
1)()( taatvvsssss o +++++=+=
taavvdt
dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa
dt
dva +==
E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma
direccioacuten dados por
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19
middot
2
1middot
middot
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1)()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado
362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda
Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante
vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del
avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior
con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo
posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
minus=
=
El aacutengulo de v con la horizontal seraacute
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es
jgtivv x
minus=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r
resulta
jgtitvr x
2
1 2minus=
por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten
dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la
trayectoria
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20
)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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21
que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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22
=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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23
( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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24
41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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25
donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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26
- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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27
aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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28
5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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15
33 Movimiento circular uniforme
Para este movimiento las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los si-
guientes valores an = cte ne 0 y at= 0
De la segunda condicioacuten at=dvdt=0 se deduce que v=cte y como la primera condicioacuten
implica an=v2=cte de todo ello se deduce que =cte y la trayectoria ha de ser circular de
radio La aceleracioacuten total del movimiento seraacute
nnt aaaa
=+=
y la velocidad seraacute constante en moacutedulo pero no en direccioacuten En consecuencia la
ecuacioacuten que nos daraacute el espacio recorrido por el moacutevil a lo largo de su trayectoria circular
es la misma que la correspondiente al movimiento uniforme y rectiliacuteneo midiendo los
espacios sobre la circunferencia tvss 0 +=
En este tipo de movimiento interesa conocer el aacutengulo girado por el radio-vector que
une el centro con el moacutevil Recordando que Arco(m)=Radio(m)Angulo(rad)
resulta S = ϕ y derivando respecto al tiempo resultaraacute
dt
d
dt
ds middot= es decir
dt
dv
=
Esta uacuteltima derivada representa la variacioacuten del aacutengulo girado por el vector de posicioacuten
en la unidad de tiempo a lo que se le llama velocidad angular y se representa por
=ddt resultando v= ( rarr rads)
Por convenio se representa la velocidad angular por un vector axial normal al plano de
la circunferencia (plano de r
y v
) de sentido el correspondiente a la regla del sacacorchos
(regla de Maxwell) y de moacutedulo proporcional a su valor por ello puede escribirse
=v
expresioacuten que tambieacuten puede escribirse asiacute
=minus= AOv
es decir la velocidad tangencial v
es el momento del
vector velocidad angular
con respecto al punto A
34 Movimiento circular uniformemente acelerado
En eacutel las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los siguientes valores
an=v2 cte t2 y at=dvdt=cte
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16
tendraacute como trayectoria una circunferencia de radio y sobre ella el movimiento vendraacute
descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado
2
002
1tatvss t++= tavv t+= 0 )(2 0
2
0
2 ssavv t minus+=
Como la velocidad no es constante tampoco lo seraacute la velocidad angular relacionada
con aquella mediante el radio v= y por ello derivando con respecto al tiempo
resultaraacute
( )
dt
d
dt
d
dt
dv== o sea a =
donde =ddt es la aceleracioacuten angular o variacioacuten de la velocidad angular con respecto
al tiempo Se mide en rads2 en el sistema Internacional (SI)
Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en funcioacuten de las magnitudes angula-res a
partir de = ddt y = ddt e integrando
= 0 + t 2 = 02 + 2
35 Movimiento armoacutenico simple
Llamamos movimiento perioacutedico a cualquier movimiento que se repite a intervalos
iguales de tiempo Por ejemplo el movimiento de una masa sujeta a un muelle el movi-
miento de un peacutendulo las vibraciones de los aacutetomos de una moleacutecula etc Cuando una
partiacutecula que realiza un movimiento perioacutedico se mueve alternativamente en un sentido y
otro sobre una misma trayectoria recibe el nombre de movimiento oscilatorio
El movimiento oscilatorio maacutes importante es el movimiento armoacutenico simple (MAS)
por ser el maacutes faacutecil de describir matemaacuteticamente y constituye un modelo exacto o
aproximado para muchos sistemas fiacutesicos
Decimos que una partiacutecula que se mueve a lo largo del eje X realiza un MAS centrado
en el origen O de dicho sistema coordenado cuando su desplazamiento X con respecto al
origen viene expresado en funcioacuten del tiempo en la forma
( ) += tAx sen
donde A y son constantes propias del movimiento armoacutenico
La distancia X que separa la partiacutecula del origen O recibe el nombre de elongacioacuten El
valor absoluto de la elongacioacuten maacutexima A se denomina amplitud La cantidad t+
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(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase
inicial para t=0
Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2 la partiacutecula completa una oscilacioacuten
luego el periodo es T=2 La frecuencia del movimiento es el nuacutemero de oscilaciones
que se completan en la unidad de tiempo [=1T (cicloss=herzios (Hz))]
La constante es la frecuencia angular o pulsacioacuten (=2=s-1)
La velocidad de la partiacutecula que realiza un Movimiento Armoacutenico Simple viene dada
por la derivada de la elongacioacuten respecto del tiempo
( )
++=+==
2sencos
tAtA
dt
dxv
La aceleracioacuten de la partiacutecula se determina haciendo la derivada de la velocidad
respecto del tiempo
( ) XtAdt
dva sen 22 minus=+minus==
Considerando a=Fm la fuerza que deberaacute actuar sobre una partiacutecula para que realice un
Movimiento Armoacutenico Simple debe ser tambieacuten proporcional a la elongacioacuten de la
partiacutecula y de signo contrario a eacutesta
F = ma = -m2x = -kx
donde k = m2 llamada constante armoacutenica
36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos
Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultaacuteneos independientes realiza
un movimiento compuesto que resulta de la combinacioacuten de aquellos La composicioacuten de
dos o maacutes movimientos se realiza calculando el vector de posicioacuten del movimiento
resultante como suma de los vectores de posicioacuten de los movimientos componentes
Esto se apoya en el ldquoPrincipio de Galileordquo o de independencia de los movimientos ldquoSi
un punto estaacute dotado por dos causas diferentes de dos movimientos simultaacuteneos su cambio de
posicioacuten es independiente de que los dos movimientos actuacuteen sucesiva o simultaacuteneamenterdquo
De lo anterior se deduce que el vector de posicioacuten r
es la suma de los vectores de
posicioacuten de los movimientos individuales
4321 ++++= rrrrr
y derivando 4321 ++++= vvvvv
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18
es decir la velocidad de un movimiento compuesto es en todo momento la suma
vectorial de las velocidades de los movimientos componentes
361 Descripcioacuten de casos elementales
A) Un nadador que avanza en la direccioacuten y sentido de la corriente (dos movimientos
rectiliacuteneos y uniformes en la misma direccioacuten y sentido)
v = v1 + v2 a = 0
s = s1 + s2 = (v1 + v2)t
B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectiliacuteneos y
uniformes de la misma direccioacuten y de sentidos contrarios)
v = v1 - v2 a = 0
s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)
C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos
rec-tiliacuteneos y uniformes de direcciones perpendiculares)
2
2
2
121
2
2
2
1 ordm90middotcos2 vvvsivvvvv +==++=
el espacio recorrido seraacute
tvvssss middot2
2
2
1
2
2
2
1+=rarr+=
y el aacutengulo de direccioacuten resultante
1
2
1
2tgs
s
v
v==
D) Dos movimientos rectiliacuteneos uniformemente acelerados en la misma direccioacuten
++=
++=
2
202022
2
101011
2
1middot
2
1middot
tatvss
tatvss sumando
2
21201020121 )(2
1)()( taatvvsssss o +++++=+=
taavvdt
dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa
dt
dva +==
E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma
direccioacuten dados por
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middot
2
1middot
middot
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1)()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado
362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda
Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante
vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del
avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior
con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo
posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
minus=
=
El aacutengulo de v con la horizontal seraacute
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es
jgtivv x
minus=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r
resulta
jgtitvr x
2
1 2minus=
por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten
dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la
trayectoria
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20
)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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21
que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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22
=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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25
donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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26
- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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27
aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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16
tendraacute como trayectoria una circunferencia de radio y sobre ella el movimiento vendraacute
descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado
2
002
1tatvss t++= tavv t+= 0 )(2 0
2
0
2 ssavv t minus+=
Como la velocidad no es constante tampoco lo seraacute la velocidad angular relacionada
con aquella mediante el radio v= y por ello derivando con respecto al tiempo
resultaraacute
( )
dt
d
dt
d
dt
dv== o sea a =
donde =ddt es la aceleracioacuten angular o variacioacuten de la velocidad angular con respecto
al tiempo Se mide en rads2 en el sistema Internacional (SI)
Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en funcioacuten de las magnitudes angula-res a
partir de = ddt y = ddt e integrando
= 0 + t 2 = 02 + 2
35 Movimiento armoacutenico simple
Llamamos movimiento perioacutedico a cualquier movimiento que se repite a intervalos
iguales de tiempo Por ejemplo el movimiento de una masa sujeta a un muelle el movi-
miento de un peacutendulo las vibraciones de los aacutetomos de una moleacutecula etc Cuando una
partiacutecula que realiza un movimiento perioacutedico se mueve alternativamente en un sentido y
otro sobre una misma trayectoria recibe el nombre de movimiento oscilatorio
El movimiento oscilatorio maacutes importante es el movimiento armoacutenico simple (MAS)
por ser el maacutes faacutecil de describir matemaacuteticamente y constituye un modelo exacto o
aproximado para muchos sistemas fiacutesicos
Decimos que una partiacutecula que se mueve a lo largo del eje X realiza un MAS centrado
en el origen O de dicho sistema coordenado cuando su desplazamiento X con respecto al
origen viene expresado en funcioacuten del tiempo en la forma
( ) += tAx sen
donde A y son constantes propias del movimiento armoacutenico
La distancia X que separa la partiacutecula del origen O recibe el nombre de elongacioacuten El
valor absoluto de la elongacioacuten maacutexima A se denomina amplitud La cantidad t+
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17
(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase
inicial para t=0
Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2 la partiacutecula completa una oscilacioacuten
luego el periodo es T=2 La frecuencia del movimiento es el nuacutemero de oscilaciones
que se completan en la unidad de tiempo [=1T (cicloss=herzios (Hz))]
La constante es la frecuencia angular o pulsacioacuten (=2=s-1)
La velocidad de la partiacutecula que realiza un Movimiento Armoacutenico Simple viene dada
por la derivada de la elongacioacuten respecto del tiempo
( )
++=+==
2sencos
tAtA
dt
dxv
La aceleracioacuten de la partiacutecula se determina haciendo la derivada de la velocidad
respecto del tiempo
( ) XtAdt
dva sen 22 minus=+minus==
Considerando a=Fm la fuerza que deberaacute actuar sobre una partiacutecula para que realice un
Movimiento Armoacutenico Simple debe ser tambieacuten proporcional a la elongacioacuten de la
partiacutecula y de signo contrario a eacutesta
F = ma = -m2x = -kx
donde k = m2 llamada constante armoacutenica
36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos
Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultaacuteneos independientes realiza
un movimiento compuesto que resulta de la combinacioacuten de aquellos La composicioacuten de
dos o maacutes movimientos se realiza calculando el vector de posicioacuten del movimiento
resultante como suma de los vectores de posicioacuten de los movimientos componentes
Esto se apoya en el ldquoPrincipio de Galileordquo o de independencia de los movimientos ldquoSi
un punto estaacute dotado por dos causas diferentes de dos movimientos simultaacuteneos su cambio de
posicioacuten es independiente de que los dos movimientos actuacuteen sucesiva o simultaacuteneamenterdquo
De lo anterior se deduce que el vector de posicioacuten r
es la suma de los vectores de
posicioacuten de los movimientos individuales
4321 ++++= rrrrr
y derivando 4321 ++++= vvvvv
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es decir la velocidad de un movimiento compuesto es en todo momento la suma
vectorial de las velocidades de los movimientos componentes
361 Descripcioacuten de casos elementales
A) Un nadador que avanza en la direccioacuten y sentido de la corriente (dos movimientos
rectiliacuteneos y uniformes en la misma direccioacuten y sentido)
v = v1 + v2 a = 0
s = s1 + s2 = (v1 + v2)t
B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectiliacuteneos y
uniformes de la misma direccioacuten y de sentidos contrarios)
v = v1 - v2 a = 0
s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)
C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos
rec-tiliacuteneos y uniformes de direcciones perpendiculares)
2
2
2
121
2
2
2
1 ordm90middotcos2 vvvsivvvvv +==++=
el espacio recorrido seraacute
tvvssss middot2
2
2
1
2
2
2
1+=rarr+=
y el aacutengulo de direccioacuten resultante
1
2
1
2tgs
s
v
v==
D) Dos movimientos rectiliacuteneos uniformemente acelerados en la misma direccioacuten
++=
++=
2
202022
2
101011
2
1middot
2
1middot
tatvss
tatvss sumando
2
21201020121 )(2
1)()( taatvvsssss o +++++=+=
taavvdt
dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa
dt
dva +==
E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma
direccioacuten dados por
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middot
2
1middot
middot
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1)()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado
362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda
Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante
vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del
avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior
con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo
posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
minus=
=
El aacutengulo de v con la horizontal seraacute
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es
jgtivv x
minus=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r
resulta
jgtitvr x
2
1 2minus=
por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten
dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la
trayectoria
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20
)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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21
que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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22
=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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23
( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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24
41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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27
aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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28
5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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17
(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase
inicial para t=0
Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2 la partiacutecula completa una oscilacioacuten
luego el periodo es T=2 La frecuencia del movimiento es el nuacutemero de oscilaciones
que se completan en la unidad de tiempo [=1T (cicloss=herzios (Hz))]
La constante es la frecuencia angular o pulsacioacuten (=2=s-1)
La velocidad de la partiacutecula que realiza un Movimiento Armoacutenico Simple viene dada
por la derivada de la elongacioacuten respecto del tiempo
( )
++=+==
2sencos
tAtA
dt
dxv
La aceleracioacuten de la partiacutecula se determina haciendo la derivada de la velocidad
respecto del tiempo
( ) XtAdt
dva sen 22 minus=+minus==
Considerando a=Fm la fuerza que deberaacute actuar sobre una partiacutecula para que realice un
Movimiento Armoacutenico Simple debe ser tambieacuten proporcional a la elongacioacuten de la
partiacutecula y de signo contrario a eacutesta
F = ma = -m2x = -kx
donde k = m2 llamada constante armoacutenica
36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos
Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultaacuteneos independientes realiza
un movimiento compuesto que resulta de la combinacioacuten de aquellos La composicioacuten de
dos o maacutes movimientos se realiza calculando el vector de posicioacuten del movimiento
resultante como suma de los vectores de posicioacuten de los movimientos componentes
Esto se apoya en el ldquoPrincipio de Galileordquo o de independencia de los movimientos ldquoSi
un punto estaacute dotado por dos causas diferentes de dos movimientos simultaacuteneos su cambio de
posicioacuten es independiente de que los dos movimientos actuacuteen sucesiva o simultaacuteneamenterdquo
De lo anterior se deduce que el vector de posicioacuten r
es la suma de los vectores de
posicioacuten de los movimientos individuales
4321 ++++= rrrrr
y derivando 4321 ++++= vvvvv
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18
es decir la velocidad de un movimiento compuesto es en todo momento la suma
vectorial de las velocidades de los movimientos componentes
361 Descripcioacuten de casos elementales
A) Un nadador que avanza en la direccioacuten y sentido de la corriente (dos movimientos
rectiliacuteneos y uniformes en la misma direccioacuten y sentido)
v = v1 + v2 a = 0
s = s1 + s2 = (v1 + v2)t
B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectiliacuteneos y
uniformes de la misma direccioacuten y de sentidos contrarios)
v = v1 - v2 a = 0
s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)
C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos
rec-tiliacuteneos y uniformes de direcciones perpendiculares)
2
2
2
121
2
2
2
1 ordm90middotcos2 vvvsivvvvv +==++=
el espacio recorrido seraacute
tvvssss middot2
2
2
1
2
2
2
1+=rarr+=
y el aacutengulo de direccioacuten resultante
1
2
1
2tgs
s
v
v==
D) Dos movimientos rectiliacuteneos uniformemente acelerados en la misma direccioacuten
++=
++=
2
202022
2
101011
2
1middot
2
1middot
tatvss
tatvss sumando
2
21201020121 )(2
1)()( taatvvsssss o +++++=+=
taavvdt
dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa
dt
dva +==
E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma
direccioacuten dados por
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19
middot
2
1middot
middot
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1)()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado
362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda
Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante
vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del
avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior
con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo
posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
minus=
=
El aacutengulo de v con la horizontal seraacute
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es
jgtivv x
minus=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r
resulta
jgtitvr x
2
1 2minus=
por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten
dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la
trayectoria
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20
)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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22
=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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25
donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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26
- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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27
aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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18
es decir la velocidad de un movimiento compuesto es en todo momento la suma
vectorial de las velocidades de los movimientos componentes
361 Descripcioacuten de casos elementales
A) Un nadador que avanza en la direccioacuten y sentido de la corriente (dos movimientos
rectiliacuteneos y uniformes en la misma direccioacuten y sentido)
v = v1 + v2 a = 0
s = s1 + s2 = (v1 + v2)t
B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectiliacuteneos y
uniformes de la misma direccioacuten y de sentidos contrarios)
v = v1 - v2 a = 0
s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)
C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos
rec-tiliacuteneos y uniformes de direcciones perpendiculares)
2
2
2
121
2
2
2
1 ordm90middotcos2 vvvsivvvvv +==++=
el espacio recorrido seraacute
tvvssss middot2
2
2
1
2
2
2
1+=rarr+=
y el aacutengulo de direccioacuten resultante
1
2
1
2tgs
s
v
v==
D) Dos movimientos rectiliacuteneos uniformemente acelerados en la misma direccioacuten
++=
++=
2
202022
2
101011
2
1middot
2
1middot
tatvss
tatvss sumando
2
21201020121 )(2
1)()( taatvvsssss o +++++=+=
taavvdt
dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa
dt
dva +==
E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma
direccioacuten dados por
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middot
2
1middot
middot
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1)()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado
362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda
Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante
vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del
avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior
con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo
posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
minus=
=
El aacutengulo de v con la horizontal seraacute
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es
jgtivv x
minus=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r
resulta
jgtitvr x
2
1 2minus=
por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten
dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la
trayectoria
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20
)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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22
=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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23
( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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middot
2
1middot
middot
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1)()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado
362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda
Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante
vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del
avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior
con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo
posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
minus=
=
El aacutengulo de v con la horizontal seraacute
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es
jgtivv x
minus=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r
resulta
jgtitvr x
2
1 2minus=
por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten
dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la
trayectoria
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20
)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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21
que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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22
=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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23
( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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24
41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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25
donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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26
- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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27
aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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28
5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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)(2
middotmiddot2
1 22
2
2
paraacutebolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
363 Movimiento de proyectiles
A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten
con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten
v0x=v0cos v0y =v0sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para
cualquier instante t seraacute
vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten
vx=v0cos y vy=v0sen minusgt
y el vector velocidad se escribiraacute
( ) ( ) jtgvivv
sencos 00 minus+=
Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr
resultaraacute el vector de posicioacuten del
movimiento paraboacutelico del proyectil
( ) jtgtvitvr
minus+= 2
00 2
1sencos
de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones
minus=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
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que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
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22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
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donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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27
aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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28
5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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21
que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr
+=
La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22
0
22
0
2
22
00
0
sen
2
1sensen
2
1sen
senminus=
minus
==
o sea g
vh
2
sen 22
0 =
El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil
vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de
segundo grado
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones t2 = 0 y g
vt
sen2 0
2 =
La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la
segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o
sea t2=2t1
La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de
t2 resultando
g
v
g
vvxa
cossen2middotcos
sen2 2
00
0 =
== rarr
g
va
2sen2
0=
El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es
decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte
como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos
2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos
aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance
en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por
elevacioacuten
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por
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=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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26
- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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22
=minus+=+= 2
0
22
0
22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2
0
222
0 =minusminus+ tgsentvgsenv
gyv 2 2
0 minus=
y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x
y
v
v=tg
Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir
la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=rarr
minus=
=
( ) 2
22
0
22
0
2
0
0 middotcos2
middottgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
minus=
minus
=
ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son
minus=
22
0 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0
364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples
El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma
direccioacuten y de la misma frecuencia
Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes
+=
+=
)middotsen(
)middotsen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales
como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores
ecuaciones resulta
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de
aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma
frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo
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( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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23
( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=
e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son
2211 coscoscos AAA += ()
2211 sensensen AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones tendremos
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante
Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos
miembro a miembro obtenemos
)middotsensenmiddotcos(cos2 212121
2
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir )middotcos(middotmiddot2 2121
2
2
2
1
2 minus++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir
1-2 = 2k resulta entonces
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-
cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en
puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten
Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento
podemos reagruparlos en tres bloques
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24
41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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25
donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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26
- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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27
aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica
En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se
destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que
se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta
La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las
mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten
graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre
ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado
En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten
para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato
Consiste en un plano inclinado con un
aacutengulo con la horizontal En esta confi-
guracioacuten se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2)
Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del
plano (longitud del plano aacutengulo de incli-
nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten
mediante la expresioacuten cinemaacutetica
asvv 22
0
2 =minus
FIG 14
FIG 15
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donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
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0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1)
Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del
movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando
a = gsen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden
obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-
leracioacuten de la gravedad
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de
caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda
paraboacutelica
x = vtcos
y = vtsen + gt
se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)
El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s
x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a
Nuacutem de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=minus
=
1
2
Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos
43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas
Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo
para su tratamiento
Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa
- Puertas fotoelectricas
- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)
- Un ordenador personal
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- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
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La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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- Una hoja de caacutelculo
Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un
rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un
ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser
procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la
imaginacioacuten del experimentador
Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro
FIG16
Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento
circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten
normal
44 Aplicaciones para moacutevil (apps)
Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en
FIG 17
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aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
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5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como
aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre
otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
caacutelculo
Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con
moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente
La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a
un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a
traveacutes de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten
con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teoacuterico esperado
45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica
Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir
equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en
donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula
de informaacutetica
Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres
que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas
paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet
Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom
La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es
realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google
formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados
FIG 18
FIG 19
wwweponlinees Fiacutesica y Quiacutemica Tema 4
28
5 Conclusioacuten
En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda
libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos
Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica
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libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera
movimiento de giro de un disco de vinilohellip
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