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1.VIBRATIONS DES POUTRES3.1 Vibrations longitudinales
3.1.1 Equations de vibration par la loi fondamentale de la dynamique
dxx
d xx! XXXX 11111111 :11X Contrainte surma section droite
S
u : dplacementaxiale
dxxSxSdxxS
xx! )()(
Soit forceextrieure parunit de volume do la fore lmentaire:
dV = S dx
Equilibre de llment dx :
dxSJ + dt
udmdAxdA dSSS 2
2
)()(11
1111
x x
x !
XXX
=
dt
uddxS
2
2
V
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ENSP Page 2/24
dxSJ - xx
)()( 111111 dSSdx
xS
XXXdt
uddxS
2
2
V
dxSJ + ! xx dxxSdS XX11
11 dt
uddxS 2
2
V
S +x
Sx
S
xx
xx
XX 1111 =dt
uddxS
2
2
V
SJ + !xx )(
11XS
x dtuddxS2
2V
La loi de Hooke :xu
E xx
!X11
Do
SJ + !xx
xx
)( xu
Sx dt
uddxS 2
2
V
VE
c !2
est la vitesse de propagation
dt
udS
x
uS
xc
S2
222
2)( !
xx
xx
V
J
Pourune poutre de sectionconstanteona :
E module de Young
xu
xx
Dformation longitudinale
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dt
ud
x
uc 2
2
2
2
2!
xx
V
Siellenest soumise aucune forceextrieure :0!J vibration libres.
dt
ud
dt
uc 2
2
2
2
2!
xEquation des ondes ou de
DAlambert.
3.1.2 Equations de vibration par la mthode variationnelle
y Cas dune poutre de section constante de longueur L
X
ContrainteXxx
nonnulle,autre 0!Xij
)1(2 Y
!E
G
La loi de Hookegnralise :
XHXHXI hhijhhijijijEG
1)(
21
!
!|
EE ijijijY
HX
Y
I
1Avec !!
XXXX321hh
XIxxxx E
1! Autres 0!I
ij
y Energie de dformation(potentielle) : U
F
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ENSP Page 4/24
dVEdVU xxV
xxV
xxIIX
2
21
21
!!
dxdtdu
V
)(21
2
! V
y Energiecintique : T
dVdt
duT
V
!
2
21V
dxdt
duS L
!
0
2
2V
ySoit W le travail des forces extrieures :
dxxu
SWL
xx
! 0 W
Appliquons le principe variationnel de Hamilton la fonctionnelle dfinie par
(Lnergie totale pour un dplacement virtuel ux est nulle)nergieinterne+ nergieexterne = 0
Do :
!xx !t
tdtTI 1
0
0)(
Posons
)(2
),( 2'2.'
uEuS
uuF !y
V
!xx
xx
x
xx
!t
t
L
dtdxu
u
u
uI
1
0 0.
.
. 0
! tt dtUTI1
0
)(
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ENSP Page 5/24
utt
uu HH x
x!
xx
!xy
uxx
uu HHH x
xxx
!!'
Les hypothses du principe variationnel sont :
01)()( !! tutu o HH
01)()( !! tutu o HH
xx
xx
xx
xx yy!
y
y
Lt
t
Lt
t
t
t
L
dxdtu
ut
dxu
u
dtdxuu 00
1
0
0
1
0
1
0
HHH
x
xxx
x
x
x
x
!t
t
LL
t
t
L t
t
dtdxuux
dtuu
dtdxuu
1
0
1
0
1
0 00
0
HHH
Letravail virtuel accompli parles charges extrieures pourun dplacement de uH
x
x
x
x!!
LL
dxux
Sdxx
uSW
00HHH
LuSW
0
! HWH
Principe variationnel
!t
t
dtWI1
0
0HH
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x
x
x
x
x
x
x
x
x
x!
y
L t
t
dtdxuu
xu
tdt
t
t
LuS
u
00
01
0
1
0
HHW
On doit avoi cette galit quelque soitla variation
uH 0
0
0
'
'
!
x
x
!
x
x
x
x
x
x
x
xy
L
uSu
F
u
F
xu
F
t
HW
uESu
FetuS
u
Fd!
ddx
x!
x
x
V
- Equation du mouvement2
2
2
2
!xx
xx
x
ESt
SV
t
u
x
uC
t
u
x
uE
xx!xx
xx!xxV
- Conditions aux limites? A 0
0!
L
uH ou
L
x
uE
x
x!W W contrainte due aux forces extrieures
3. Vi i i
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Equilibre : Soitex^ lecoupleextrieurparunit de longueur.
2
2
tJdxdx
x
CCC
ex x5x
!xx
^
Avec !! dxdsrdmrJ V22
dxdsdvdm VV !!
dxIPV! (Sectioncirculaire)
PI : Moment dinertie polaire
J : inertie de masse
Lecoupleet langle detorsion sontrelis par :
x T x
x! ; TC est larigidit latorsion.
Ona :
kGCT ! G est le module deCoulomb.
Lecoefficientkdpend de lagnratrice de la poutre
y Pourune sectioncirculaireP
Ik !
2
4RT
Moment dinertie polaire
y Pourune sectionrectangulaire(Saint-venant)
!
h
bfbhk 3 , posons
eurl
paisseur
h
bs
arg|!
2
12
12
64
3
1
055
snthsnsf n
T
T
!
g
!
Cas dune poutre sectioncirculaire
Doncx
GICP x
5x!
dxt
Idxx
GIx
PexP 2
2
x
5x!
xx
xx
V^
2
2
tI
xGI
xPexP x
x!
x
x
x
x V^
En labsence des forces extrieurs et si la sections estconstante teconsIP tan!
2
2
2
2
txG
x
5x!
x
5xV
Remarque : lquation dans lecas dune section quelconqueet des forces extrieurs sont :
2
2
tJ
xkG
xex x
x!
x
x
x
x^
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ENSP Page 8/
On retrouve l quation
U
UU
x
x!
x
x 2
2
2
2
xc Avec
J
kG
I
Cc
T !!V
2
3.3 Vi i l xi ( l ).
y : Fl che
N: Pente due au moment flchissant
T : Efforttranchant
C:Moment flchissant
Tex : Force extrieur par unit delongueur.
I : Inertie de section.
Equations. Thormes gnraux de la dynamique.
dxTdxx
TTT
t
ydx
ex
x
x!
x
x2
2
V
2)2(
2
2dx
dTTdxx
CCC
tIdx
x
x!
x
x N
exT
x
T
t
S x
x!
x
x2
2
V
Tx
C
tI
x
x!
x
x
2
2N
V
En R M, on a montr :
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ENSP Page 1 /
Exemple :
CL: 000 !
! Du
000 !xx
!xx
! !! LxLxx
u
x
uESLF
0cos !
L
EEC
V[
V[
= solution triviale , !txu do o !
{ L
EC
V[
.......3,,11 !! nnLE
n
TV[
V
T[
E
Ln
n
212 !
Les modes associs n
[ sont de la forme ( une constante prs)
L
xnxun
212sin T!
En mouvementli re la solution est:
g
!
!
sincossinn
nnnn
L
xntBtAtx
T
[[
Les constantesnn
Bet
sont dtermines parles conditions initiales.
c) Relations dorthogonalitsOn a la relation (relation dquation du mouvement)
xuuuSdx
duES
dx
d!!
2[V
Cette quation est vrifie parles jjii uetu ,, [[ solutions
ii
iuS
dx
duES
dx
d 2[V!
iuv
jj
juS
dx
duES
dx
d 2[V!
juv
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!
!
L L
jij
j
i
L L
jii
i
j
dxuSudxdx
duES
dx
du
dxuSudxdx
duES
dx
du
0 0
2
0 0
2
V[
V[
Intgration parpartie :
!
L L
ij
L
i
j
i
jdx
dx
duES
dx
du
dx
duESudx
dx
duES
dx
du
0 00
!
librentencastremeCardx
duESu
L
i
j 00
!L L
jii
ji dxuSudxdx
du
dx
duES
0 0
2 V[ (*)
De mmeona :
!L L
jij
ji dxuSudxdx
du
dx
duES
0 0
2 V[
Parune soustraction membre membreona :
00
22 ! dxuuSL
jiij V[[
Comme !{L
jijidxuuS
0
0V[[
Ona galement de(*) :
!L ji dx
dx
du
dx
duES0
0
d) Raideurs et masses modales du ime modeii
i uSdx
duES
dx
d 2[V!
iuv
!
L L
ii
i
i dxuSdxdx
duES
dx
du
0 0
22 V[
Enintgrant parpartieavec les conditions aux limites il vient que :
i
i
L
i
L
i
im
k
dxSu
dxdx
duES
!
!
0
2
0
2
2
V
[
Les ik sont les raideurs modales.
Lesi
m sont les masses modales.
Ltude de latorsion se dduit decelle des vibrations longitudinales.
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0cos1 ! LchL FF
Notons les solutions :
iiL P
#
!
Do les pulsations de rsonance
S
EI
EI
Snn
n
nV
F$$
VF 4
%
4
%
!!
DoS
EI
L
n
n
V
P[
2
2
!
c. Relation dorthogonalit
vSdx
vd
EIdx
d 22
2
2
2
[V!
Equation vrifie par jjii vetv ,, [[
ii
ivS
dx
vdEI
dx
d 22
2
2
2
[V!
jj
jvS
dx
vdEI
dx
d 22
2
2
2
[V!
M me processus que dans le cas du mouvementlongitudinale
En intgrant deux fois par partie, avec les C.L courantes (li re, appuy, encastre),on a:
!L L
jii
jidxvSvdx
dx
vd
dx
vdEI
0 0
2
2
2
2
2
V[
!L L
jij
jidxvSvdx
dx
vd
dx
vdEI
0 0
2
2
2
2
2
V[
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00
! dxvvSL
jiV
!L
ji
dxdx
vd
dx
vdEI
0
2
2
2
2
0
d.Raideuret masses modales du ime modeOn dmontre que :
i
i
L
i
L
i
im
k
dxSv
dxdx
vdEI
!
!
0
2
0
2
2
2
2
V
[ iedualemasse
iedualeraideur
modmod
modmod
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vu d!
Rsultats :
vvr
dd!0
1]
vvr
EIM ddd!
2
0
Equation diffrentielle
02 22
0 !dddd vvEI
rvvv I55 I [
Q
4.1.2 Solutions
012 24246 ! nsxxx avec 24
04 [Q
EI
rs !
v de la forme
UUUUUUU 33322221111 sincossincossincos nBnAnBnAnBnAv ! Avec 321 ,, nnn rels ou complexes
Cas particulierde lanneau complet :
UTU vv ! 2 321 ,, nnn rels entiers
4
0
2
222222224
1
111
r
EI
n
nnnnns
Q
[
!!
UU nBnAv sincos !
4.1.3 Modes
Modes symtriques
!
!
UU
UU
vv
uu
Do
U]
U
U
nBr
n
nBv
nnBu
n
n
n
sin1
sin
cos
0
2!
!
!
Modes antisymtriques
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!
!
UU
UU
vv
uu
Do
U]
U
U
nAr
n
nAv
nnAu
n
n
n
cos1
cos
sin
0
2!
!
!
4. . Vi i l m m
:force par unit de longueur
Equation du mouvement (membranes uniformmenttendue xy XX !
Projection sur x
coscos !
xx
UUX
XUX ddydxx
dy (pas de mouvement suivant x)
XX
!x
x0
dydx
x estindpendant de x
Projection sur y des forces appliques sur AD etBC
x
Fddydxx
dy |
xx
6 UUX
XUX sinsin
yxx
zdxyx
x
zydxx
x
zd
yxx
z
,,,sin
,sin
2
2
x
x7
x
x!
x
x!
x
x!}
UU
UU
2
2
x
zdydxF
x
x
x! X ,
8
8
y
zdydxFy x
x! X
Thorme fondamental de la dynamique
2
2
2
2
2
2
,,dt
zddydxdydxtyxf
y
z
x
zdydx QX !
x
x
x
x
F(x,y,t) : force excitatrice par unit de surface
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Q : masse parunit de surface
QX
!2c : vitesse de propagation
Do : X
tyxf
dt
zd
cy
z
x
z ,,12
2
22
2
2
2 !x
xx
xvibrations
forces
01
2!( z
cz ( : Laplacien
Membranes rectangulaires
Solutions de la forme
tjeyxZtyxz [,,, !
Do 02
2
!( Zc
Z[
Siona Z=0 surlecontour(membranerectangulaire)
!
b
yn
a
xmZ TT sinsin m,nentiers
2.3. Vibrations transversales des plaques
Equation du mouvement
yxfhEh
,112
4
2
3
!(
[V[Y
yxfhD ,4 !( [V[ Vibrations forcs D : rigidit la flexionV : Masse volumique
f| fonction parunit de surface
04 !( [V[ hD Vibrations libres
4
4
2
2
2
2
4
42
2
2
2
24 2
yyxxyx x
x
x
x
x
x
x
x!
x
x
x
x!( :bilaplacien
Paques rectangulaires
ti
eyxWtyxw[
,,, !
0242 !( WW [E Avech
D
VE !2 (c est pas une vitesse
sm
2
)
Sparation de variables
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94()4(4 XYYX2YXw)x(Y)x(X)y,x(w !(!
Do
Avec @
@
4
E
[
!P
Conditions a x limites
o Dplacement fixe s n ct
Sur OA : w(x,0) = 0 X(x) Y (0) = 0 x 0)0(Y A
Sur AB: w (a, y) = 0 0)a(X A
o Couples appliqus nuls le long dune a te(Vo
ir RDM
et struc
tu
re plaqu
es netco
qu
es)
Sur OA : MX = 0 00X0X !R
Sur AB: My = 0 y0yy !R
o Rotations bloques surun ct
Sur OA : )()()( !!!x
[x
Sur AB: !x
[x !!
EXEMPLE : plaque appuye sur deux cts opposs (OA, CB)
0XYXYYX2YX 4)4()4( !P
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Si )0)b(Y)0(Y(YYYY4)4(2 !!
B
!F!
ysinBycos)y(Y11
FF!
Y(0) = 0 T!F!F!! mb0bsin0)b(Y,01
b
ymsinB)y(Y
1T!
Do 0X)(X2X44
m
2
m
)4( !PFF
xsinBxcosBxshxch)x(X 2121 KKHH!
Avec :
22
m
22
m
PF!K
PF!H
NB : les Ai et Bi sont dtermins par les conditions aux limites sur OC et AB.
4.4 Frquences et modes propres de quelques rectangulaires
4.4.1 Membrane rectangulaires
Ona : 01
2!( z
Cz , posons ! tjeyxZtyxz [),(),,(
Et
b
yn
a
xmAyxZ
m n
mn
TTsinsin),(
g g
!
!b
yn
a
xnA
cb
y
a
x
b
n
a
mA mnmn
TT[TTTTsinsinsinsin)(0
2
2
2
22
2
22
2
2
2
22
2
22
ca
n
a
m [TT!p ,
longueurmasse
surfaceforce
surfacemasse
longueurforce
sm
lFc
v
v||!
/
/
/
2 ,
!
Q
X2c
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SWEET
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: Frquences propres
Les modes propres sont donnspar:
Lignes nodales 0),( !yxz
o Modes simplesy Premiermode : 1,1 !! nm
irerectangulamembraneladebordsnodaleligne |
yDeuxime mode : 1,2 !! nm
caspremierduplusen
2
02
sin02
sin0
ax
b
you
a
xZmn
!p
!!p|TT
2,1 !! nm 2
bz !
o Modes simples0sinsin
2sin
2sin
2112!
b
y
a
xA
b
y
a
xA
TTTT
Si 10coscos2112 !sp!p!b
y
a
x
b
y
a
cAA
TT
4.4.2 Plaques minces rectangulaires
a- forceet moment
2
3
3
3
2
3
1yx
w
x
wD
yx
wD
x
C
y
MQ
f
x
t
y
x xx
x
x
x
xx
x!
x
x
x
x! YY
)(2
2
2
2222
b
n
a
mcmn ! T[
b
yn
a
xmAyxZ mnmn
TTsinsin),( !
a
b
y
x
y
xa
b
y
x
y
x
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x
x
xx
x!
x
x
xx
x!
3
3
2
3
3
3
2
3
y
w
xy
wDQ
x
w
yx
wDQ
x
x
b. Equation du mouvement
3me quation dquilibre(statique)
z
yxz P
Dy
w
yx
w
x
w
y
Q
x
QP
120
4
4
22
4
4
4
!x
x
xx
x
x
xp!
x
x
x
x
zP : Densit de force(force parunit de surface)
zPD !( [4
En dynamiqueona :
zPwhwD !( V4
Si la forceextrieur|
004 !( whwD V
a. SolutionOn prend la mme force
!
b
y
a
xmAyxZ n
TTsinsin,
Do !
0sinsin2
2
2
2
2
24
b
y
a
xmh
b
n
a
mDA nm
TTV[T
2
2
2
2
242
!
b
n
a
m
h
D
V
T[
!
2
2
2
22
b
n
a
m
h
D
VT[
Les lignes modales
0sinsin !
!
b
yn
a
xm TT
0,1,....
0,1,.....,
Pax P m
m
Pby P n
n
p ! !
! !
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d) Condition aux limites
Appuib
yn
a
xmM
TT[ sinsin0;0 !! convient
Guidb
yn
a
xmF
TT[ coscos0;0 !!d convient
Encastrement 0;0 !d! [[
Sparerles variables 04)4()4( !dddd YXkYXYXYX
Mthode Iguchi: se fixer arbitrairement un X(x) qui vrifie les C.L exiges et
calculer Y(y). (Calculs longs et compliqus).
Libre : mme remarque "encastrement"
Cas simples
Cas difficiles
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