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Leçon 3
Remarques
ouverts (en general) ouvert
Par exemples :
ouvert.
fermés (en general) fermé
En efet , on sait que A = or si la topologie est t.q les singletons soient des fermés et si la reunion qcq était fermée alors n’importe quell ensemble serait fermé !
Par exemples : L’ouvert et pourtant les sont des fermés dans .
Exercice
Montrer que est un fermé. (à faire en séance de cours)
Correction : M.q. est un ouvert.
Soit , on alors , on définit un rayon
on pourra considerer, par exemples,
ou n’importe quelle autre valeur vérifiant la
condition ci-dessus. Montrons, alors que,
Soit
.
cqfd. Exercice Montrer que si alors toutes les distances engendrent la même topologie (voisinages,
ouverts, fermés) (à faire en séance de T.D)
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Exercice
Soit , montrer que sont topologiquement équivalentes (à faire en séance de T.D)
Définition (intérieur)
Soit , est un point intérieur à ssi contient une (ie. est voisinage de ). L’interieur de noté = l’ensemble de tous les points interieurs à .
Proposition
= le plus grand ouvert .
Preuve
,
si ouvert et ouvert .
Si ouvert tq est un point de l’interieur ie .
Propriété
ouvert .
Preuve (en cours )
Exemples :
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Propriété
Si alors
Définition « adhérence »
Soient un espace métrique, et alors : est adhérent à l’ensemble ssi On définit et note l’adhérence de par :
Exercice.
Montrer que : Si et si est adhérent à , alors pour tout voisinage de on a est infini.
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7. Suites dans un espace métrique.
Soit un espace métrique, on définit une suite dans comme une application de dans qui à chaque fait associer et qu’on note
7.1. Définition (suites convergentes).
Soit une suite dans , on dit que converge vers un certain ssi
Ou d’une manière équivalente :
7.2. Définition (suites de Cauchy).
Soit une suite dans , on dit que est de Cauchy dans ssi
ou d’une manière équivalente :
7.3. Proposition
Toute suite convergente dans (E,d) est de Cauchy dans (E,d).
Preuve :
La preuve est immédiate, soit convergente dans (E,d) vers un certain
et soit
on sait qu’il existe un rang t.q.
et
Or
cqfd.
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7 P c c l’ h c l
Soient un espace métrique, et , on a alors l’équivalence suivante :
Preuve (exercice en séance de cours).
Supposons qu’il existe suite dans t.q. , alors
Ou d’une manière équivalente
Donc :
cqfd.
Supposons maintenant que et construisons une suite dans qui converge vers de la manière suivante :
on choisit un élèment quelconque
on choisit un élèment quelconque
……..
on choisit un élèment quelconque
La suite est par construction dans et vérifie : Soit alors pour que il suffit que ce qui est vrai pour tout entier
. Donc la suite converge vers .
cqfd.
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7.5. Proposition.
Soient un espace métrique, , on alors la caractérisation suivante :
Preuve.
Montrons que .
n’est pas adherent à
Or
= le plus grand ouvert inclu dans =
cqfd.
7.6. Définition (Frontière).
Propriétés
Soient un espace métrique et , alors :
est un fermé.
et la réunion est disjointe.
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Soit , alors et
Si est ouvert alors on a
(On peut chercher des exemples où , , et sont tous disjoints.
Preuve.( exercice en séance du cours).
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