AUTOMATIQUE ET RGULATION
INDUSTRIELLE
PROF. MOHAMED MASSOUR EL AOUD
Prsentation 2
Introduction lautomatique
Modlisation et reprsentation des systmes
linaires
Schmas fonctionnels
Rgulateur PID
Analyse frquentielle
Reprsentation et analyse des systmes
multivariables
Introduction3
Dfinition de lautomatique
Automatique : ensemble des disciplines scientifiques et des techniques
utilises pour la conception et lemploi des dispositifs qui fonctionnent
sans lintervention dun oprateur humain.
Notion de systme
Le systme est un dispositif qui fonctionne en interaction avec son
environnement gnrant un ensemble de phnomnes.
Le mot Commande est en gnrale pris dans le sens de rgler ou
contrler
Un systme de commande est un assemblage de constituants branchs
ou relis les uns au autres de telle sorte quil puisse se commander, se
diriger ou bien commander un autre systme
Exemple de systme de commande4
Rgulation des procds industrielsContrle / commande des machines / robotsSystmes avancs de rgulation dans le dveloppementdes produits technologiques de pointe (aronautique,
spatial, etc.)
Modlisation des systmes biologiques, conomiques dansla vie courante
Automobile : rgulateurs de vitesse, de trajectoireAvions : rgulateurs dassietteSatellites : rgulation de position, dorientation, de vitesseTransports : tous les systmes autonomes (mtros, portes,etc.)
Informatique : disques durs
Procd5
Procd est un terme qui dsigne un ensemble dappareils
destin obtenir un produit dtermin
Lvolution du procd dpend dune ou plusieurs
grandeurs incidentes
ProcdGrandeurs
incidentesGrandeurs
matriser
Processus6
Dfinition : Le mot processus vient du latin pro (au sens de vers l'avant ) et de cessus, cder (aller, marcher) ce qui signifie donc aller vers l'avant, avancer.
Ensemble d'activits corrles ou interactives qui transforme des lments d'entre en lments de sortie
Echange dinformations avec lutilisateur
Echange
dinformations avec lutilisateur
Echange dinformations avec le systme(ressources, autres processus)
Processus Rsultat
Grandeurs Entres sorties7
Les signaux associs aux entres sont gnralement nots par la lettre U et les
signaux associs aux sorties par la lettre Y.
Les entres dun systme peuvent a priori tre modifies. Il peut galement exister des
entres qui chappent au contrle et qui ne peuvent tre modifies. Elles sont appeles
perturbations et sont notes D
Schma dentre sortie:
Exemple : Serre agricole 8
9 On appelle modle dun systme (ou processus) la loi
qui relie lentre (cause) a la sortie (effet).
On distingue deux rgimes dans le comportement des
systmes :
le rgime permanent ou tabli, caractrisant la rponse
stabilise du systme a une entre quelconque,
le rgime transitoire, caractrisant lvolution de la
rponse avant que le rgime permanent ne soit atteint.
Le rgime statique est le rgime permanent dans le cas ou
lentre est constante.
10
Un systme est causal si sa sortie y(t) a un instant t0 ne
dpend que des valeurs de son entre u(t) pour t t0
Un systme a temps invariant a un modle identique tout
instant (un retard t ne change pas la loi du modle) :
Un systme est dit instantan si un instant donne sa
sortie ne dpend que de lexcitation a cet instant :
y(t) = a.u(t)
11
Un systme est linaire sil satisfait au principe de
superposition :
Ce cours traite des systmes causals, linaires et a temps
invariant ; les S.L.T.I.
Les systmes tudies sont analogiques, leurs signaux
dentre et de sortie sont continus a la fois en temps et
en amplitude.
La relation qui lie leur entre et leur sortie est des lors
une quation diffrentielle linaire a coefficients
constants.
Systme statique12
Systme dynamique13
Caractristiques statiques d'un procd14
La caractristique statique est la courbe reprsentative de
la grandeur de sortie S en fonction de la grandeur
d'entre E : S = f(E).
Gain statique15
Si le systme est naturellement stable, le gain statique Gs
est le rapport entre la variation de la grandeur de sortie
s et la variation de la grandeur d'entre e.
Erreur statique16
Si le systme est stable, l'erreur statique s est la diffrence entre la consigne w et la mesure x en rgime permanent, Es=W-X
Notion de boucle17
Le principe en est dacqurir une information prsente sur les
sorties et de lutiliser judicieusement pour modifier les entres.
Exemple :
Voiture
Boucle ouverte18
Lobservation nest pas celle de la grandeurs matriser
Inconvnient
Exemple :
Boucle ferme19
Exemple : Douche personnelle
Boucle automatique?
Boucle ferme20
Chane ferme de rgulation
Boucle ferme21
Les lments fonctionnels
Activit dautomaticien22
Activits essentielles en Automatique :
Asservissement
Rgulation
Rgulation industrielle 23
Rgulation industrielle 24
Qualits attendues dune rgulation25
La stabilit1
La prcision2
La rapidit3
4
Qualits attendues : La stabilit26
Lobjectif de la rgulation est atteint ?
1
Qualits attendues : La stabilit27
Pourquoi un systme rgul deviendrait il instable?
Un systme est considr comme stable, si pour une
variation damplitude finie de la consigne ou dune
perturbation, la mesure de la grandeur matriser se
stabilise une valeur finie
Qualits attendues : La stabilit28
Plus le rgime transitoire dun systme soumis une
variation est amorti plus il est stable
Qualits attendues : La stabilit29
Qualits attendues : La stabilit30
Qualits attendues : La prcision31
Dfinition : la prcision dun systme se mesure donc
lcart entre la consigne demande et la mesure en rgime
permanent : prcision statique
Qualits attendues : La prcision32
cart relatif
Correcteur 1 est de 10%
Correcteur 2 est de 30%
La prcision statique est une qualit importante respecterpour bien des systmes rguls
Un cart trop leve peut savrer nfaste au produit
Exemple:
Qualits attendues : La prcision33
La prcision dynamique svalue gnralement par le dpassement
maximal D que peut prendre la mesure par rapport la consigne
cart relatif Corr 1 est de 0%
Corr 2 est de 30%
Dpassement Corr 1 est de |D|=0 units
Corr 2 est de |D|=3.5 units
Conclusion
Qualits attendues : La rapidit34
La rapidit dun systme svalue par le temps que met la mesure
entrer dans la zone 5% de sa variation finale (soit entre
95 % et 105 %) : temps de rponse
Qualits attendues : La rapidit35
Exemple : valuation de la rapidit des deux correcteurs
Compromis prcision - rapidit36
Cahier des charges dune rgulation comporte plusieurs
objectifs qui sont parfois contradictoires comme la prcision
et la rapidit;
Il est souvent difficile dobtenir une trs bonne prcision
dynamique avec une trs grande rapidit;
Un rglage optimale dune rgulation sera toujours le fruit
dune recherche du meilleur compromis entre la prcision et
la rapidit.
Mthodologie37
En Automatique, la mthodologie utilise peut se diviser en plusieurs tapes qui sont les suivantes :
Cahier des charges : lautomaticien doit prendre connaissance du problme et des diverses spcifications. Il doit, cette occasion, clairement dfinir le systme (avec ses entres et ses sorties) et les performances attendues pour ce dernier.
Modlisation
Analyse : il convient dans cette phase dutiliser des techniques de lAutomatique pour juger des performances du systme (stabilit, temps de rponse, oscillations, prcision...) partir du modle.
Synthse : la dernire phase consiste `a concevoir une loi de commande cest-`a- dire une boucle intelligente qui confre au systme ainsi boucl les performances souhaites si cela est possible.
Modlisation ou reprsentation des systmes
38
La commande automatique dun systme ncessite une bonne connaissance de son comportement, en appliquant
les lois de la physique
On obtient un ensemble dquation qui dcrivent le comportement des diffrentes lments du systme ces
quations constituent un modle mathmatique
Reprsentation par modles continus39
LR
Ce(t) v(t)
Systme mcanique40
Force de rappel
U(t)
piston
K(l)
Masse
m
l(t)
Systme linaire41
Systmes invariants
Lquation diffrentiel dcrit le rgime dynamique
Fonction de transfert42
Pour tudier le fonctionnement dun systme il faut le reprsenter sous la forme dun schma fonctionnel selon la figure
Fonction mathmatique
Reprsentant le systme
Signal
dentreSignal
de sortie
Le signal dentre et le signal de sortie sont des fonctions du temps; ce sont des fonction temporelles ils reprsentent le signal de commande de lactionneur et le
signal du capteur
Fonction de transfert43
Lobjectif atteindre est le suivant:
La fonction du signal e(t) est connue et on cherche dterminer la fonction du signal s(t) qui dpend du systme ais aussi de e(t)
Description
De lentre e(t)
Fonction de transfert44
Chaque procd industriel comporte plusieurs systmes lmentaires (actionneur, procd, capteur), ceux ci peuvent tre dcrits chacun par une quation
diffrentielle.
Alors on ne peut pas multiplier les quations diffrentielles entre elles et la nouvelle quation trouve pour le systme sera complique utiliser.
Un nouvel oprateur mathmatique est ncessaire pour obtenir, rapidement, une fonction dcrivant le systme globale.
Cet oprateur mathmatique est appel oprateur de Laplace .
La mthode de recherche de la fonction du signal s(t) en fonction de e(t) est alors la suivante
45
Description
De lentre e(t)
Fonction de transfert
Transform de Laplace dune fonction 46
On dfinit une fonction particulire u(t) dcrite ci-dessous fonction existence ou chelon unit.
U(t) = 0 si t=0
1
0
0
t
U(t)
Lexistence de F(p) ncessite que lintgrale converge
Transform de Laplace dune fonction 47
Exemple :
Dans la transforme de Laplace, la fonction f(t).u(t) est nulle pour t
Transform de Laplace dune fonction 48
Linarit de la transforme de Laplace
Si les fonction f et g ont des transformes de Laplace, alors :
Drivation :
49
Intgration :
Table de transform de Laplace50
Rponse temporelle des systmes51
Rponse temporelle des systmes
On veut caractriser les systmes dune part par leur fonction de
transfert et, dautre part par leur comportement. Ce dernier peut
tre mis en vidence par la rponse du systme une entre
donne.
On peut apprendre beaucoup des systmes en observant la
rponse aux entres suivantes
Limpulsion = rponse impulsionnelle
Lchelon = rponse indicielle
La rampe
La sinusode = rponse frquentielle
52
Diffrents entre classiques
Systme du premier ordre
Rponse impulsionnelle
Exemple53
Rponse indicielle 54
Rponse une rampe55
L'cart de tranage
exemple256
Rponse frquentielle57
58
59
Rponse indicielle systme du second ordre60
61
62
63
Notion de stabilit64
65
66
67
68
69
70
71
Critre de Routh72
73
Exemple74
On souhaite statuer sur la stabilit de ces trois systmes
Critre graphique75
76
77
78
Prcision79
Prcision dynamique80
Prcision statistique81
Ecart de position82
83
Ecart de vitesse84
Identification des systmes linaires85
Un systme linaire a une fonction de transfert qui peut se
calculer en tablissant les quations diffrentielles qui relient
entre et sortie. Ces quations thoriques sont parfois
difficiles crire car on n'a pas forcement toute la
connaissance du systme ncessaire : valeurs numriques,
processus mis en jeu, non linarit...
Souvent, un modle dont le comportement ressemble a celui
du systme a tudier est suffisant pour laborer une loi de
commande adapte.
86
Ce document prsente diffrentes mthodes pour obtenir
un modle sous forme de fonction de transfert quivalente
en terme de rponse a un systme dont on ne sait pas
modliser le comportement.
Ces mthodes ne donnent donc pas la fonction de
transfert du systme mais en donnent une dont la rponse
ressemble a celle du systme.
Identification en Boucle Ouverte87
On identifie la rponse indicielle en BO du systme celle
d'un modle dont la forme est prdfinie avec certains
paramtres.
La mthode consiste a calculer les meilleurs paramtres en
fonction de la forme de la rponse relle.
Mthode de Strejc88
Cette mthode peut s'appliquer aux systmes dont la
rponse indicielle ne prsente pas de dpassement. On
identifie a une fonction de la forme :
Les paramtres a identifier sont donc :
le gain statique K,le retard r,la constante de temps et l'ordre n.
89
Rponses de modles de Strejc pour K = 1, r = 1
Mthode90
Pour identifier le systme, la mthode peut se dcomposer
en :
Le gain statique est mesure directement par la valeur
finale de la sortie. Celle-ci vaut K.E0 ou E0 est l'amplitude
de lchelon d'entre.
On trace la tangente au point d'inflexion I pour dterminer
deux valeurs : T1 et T2.
Relever T1 et T2 en dduire l'ordre n en utilisant le tableau
suivant
Entre deux lignes du tableau, on choisit la valeur de n la
plus petite.
91
Dterminer la constante de temps partir de T2/ du tableau.
Dterminer le retard r quand il existe a partir de la
diffrence entre la valeur de T1 mesure et celle donne
par la colonne T1/T2 du tableau.
92
93
94
95
La sortie du procd que lon commande doit voluer pour
suivre la consigne demande. Il faut donc tout instant (ou
priodiquement en rgulation numrique) appliquer,
lentre puissance du procd, la commande approprie.
Cette commande est calcule par un ensemble de
traitements dinformations, le correcteur, qui utilise des
oprateurs (sommateurs, gains, intgrateurs, drivateurs)
laborant la commande partir du signal derreur et des
mesures auxiliaires disponibles.
Notion de correcteur
Le correcteur97
Sans mettre en jeu dnergie apprciable, le correcteur
constitue la partie intelligente de lasservissement et sa
dtermination judicieuse confre lasservissement ses
qualits. Ais modifier,
le correcteur peut tre muni dune variation automatique
de ses paramtres suivant la plage de fonctionnement du
procd, dans le cas o celle-ci volue lentement.
But de la correction98
Le concepteur de lasservissement rencontre deux types de
situations, auxquelles il doit faire face :
assurer une rponse acceptable pour des signaux de consigne
dfinis en fonction du temps (par exemple : cycle de
temprature pour un traitement thermique) ;
fournir des caractristiques frquentielles (gain, dphasage)
demandes dans une bande de frquences (par exemple :
asservissement du mouvement dun haut-parleur dans un
systme haute fidlit).
On impose les qualits de lasservissement en termes de
spcifications temporelles dans le premier cas, en
spcifications frquentielles dans le second cas.
But de la correction99
Le but de la correction est de doter lasservissement des
qualits attendues, par le calcul et limplantation du
correcteur ncessaire.
Les oprateurs essentiels du correcteur sont ralisables
partir damplificateurs courant continu et dlments
rsistances/capacits.
La ralisation numrique peut se transposer aisment
partir dun schma analogique, en conservant la mme
organisation fonctionnelle et en associant un intgrateur
numrique chaque intgrateur lectronique.
Spcifications100
Les spcifications sont formules dans le domaine temporel
ou dans le domaine frquentiel, avec des rgles simples
dquivalence entre ces deux domaines.
Elles concernent trois aspects :
la prcision en rgime tabli (erreurs de position, de vitesse) ;
la rapidit (temps de rponse, bande passante) ;
lallure de la rponse (rgime transitoire peu oscillant, courbe
de rponse en frquence plate).
Correcteur PID 101
Le correcteur standard le plus utilis dans lindustrie est le
rgulateur PID (proportionnel intgral driv), car il
permet de rgler laide de ses trois paramtres les
performances (amortissement, temps de rponse) dune
rgulation dun processus modlis par un deuxime ordre.
Nombreux sont les systmes physiques qui, mme en tant
complexes, ont un comportement voisin de celui dun
deuxime ordre, dans une certaine chelle de temps. Par
consquent, le rgulateur PID est bien adapt la plupart
des processus de type industriel et est relativement robuste
par rapport aux variations des paramtres du procd.
102
Si la dynamique dominante du systme est suprieure un
deuxime ordre, ou si le systme contient un retard
important ou plusieurs modes oscillants, le rgulateur PID
nest plus adquat et un rgulateur plus complexe (avec
plus de paramtres) doit tre utilis, aux dpens de la
sensibilit aux variations des paramtres du procd.
103
La ralisation dune boucle dasservissement par PID est un
problme trs important, car il influence :
La qualit de la rgulation sur un site industriel ;
Le temps de mise en uvre de la commande ; et comporte deux
aspects essentiels :
Le rglage du rgulateur PID, pour lequel la connaissance dun modle
dynamique du procd dune part et les performances dsires dautre
part dterminent le choix de la mthode de synthse ;
Limplantation du rgulateur dans une version analogique ou numrique et
dans une configuration srie, parallle ou mixte.
De plus en plus, les rgulateurs PID commercialiss offrent la
possibilit dautorglage, qui ralise le calcul automatique des
paramtres, la demande de lutilisateur.
Rgulateur PID 104
e(t) = w(t) - y(t)
La commande u(t) est construite sur la base des signaux de consigne w(t) et
de mesure y(t) de la grandeur rgle selon la loi de commande
u(t) = u (w(t), y(t))
Rgulateur non linaire 105
106
107
la non-linarit de ces rgulateurs simples rend difficile
leur synthse sur la base d'un cahier des charges fixant les
performances du systme asservi. Malgr cela, ils sont
frquemment utiliss pour des applications dont
l'actionneur supporte une forte sollicitation et pour
lesquelles une oscillation constante de la grandeur rgle
y(t) autour de la consigne w(t) est admissible.
Un exemple d'application est la rgulation du courant
fournit par une alimentation dcoupage
Rgulateur action proportionnelle (P)108
Le rgulateur action proportionnelle, ou rgulateur P, a
une action simple et naturelle, puisqu'il construit une
commande u(t) proportionnelle l'erreur e(t).
Cette action s'apparente un effet ressort (ressort de
rappel).
Loi de commande du rgulateur P :
109
Le Schma fonctionnel du rgulateur est le suivant
110
Rponse indicielle du rgulateur P (idal). La rponse en traitill
rappelle qu'aucun systme physique ne peut ragir statiquement, i.e.
sans retard.
On voit que le rgulateur P assure une transmission instantane du
signal derreur ; dans ce sens, son action est relativement dynamique :
sa commande ne dpend pas du pass, ni dune tendance, mais
simplement de ce qui se passe linstant prsent.
Avantages et inconvnients de laction P111
Une limitation du rgulateur P est son incapacit annuler
notamment lerreur statique
Action proportionnelle :
prcision amliore / stabilit diminue
temps de monte rduit et plus de dpassement
temps de rponse pas forcment diminu
Ralisation pratique dun rgulateur P112
113
Les exemples des asservissements de vitesse et de
temprature ont montr qu'un systme, mme contre-
ractionn par un rgulateur P, pouvait prsenter une
erreur permanente en rgime permanent constant.
Cette erreur intervenant alors que les signaux d'entre
(consigne ou perturbation) sont constants, on la dsigne
par erreur statique.
114
Pour remdier au problme du statisme, on pourrait dans
un premier temps augmenter la consigne de la valeur de
l'erreur statique constate
Rgulateur (PI)115
Rponse indicielle du rgulateur (P.I)116
Correcteur PI117
Correcteur retard de phase118
119
Ralisation pratique120
A la mise sous tension de l'installation, il faut veiller ce que
la capacitC2 soit initialise une valeur correcte (en
principe dcharge), sans quoi le
systme risque d'emble de recevoir un saut de commande
u(t).
Un dispositif de dcharge de C2 est donc prvoir.
121
Rgulateur PI
122
Lajout dun terme intgrale dans la chane directe augmente
sa classe. Par consquent, la prcision est amlior
Le rgulateur PI est le rgulateur le plus utilis en pratique
o ses contributions la prcision mais aussi la robustesse
du systme asservi sont particulirement apprcies.
123
L'action intgrale est lente et ralentit ainsi la propagation
des signaux dans la boucle. Elle augmente ainsi le risque
d'instabilit inhrent tout systme contre-ractionn.
Il faut donc tre sur ses gardes lorsque l'on s'apprte
mettre en uvre un rgulateur comprenant une action
intgrale.
124
Lajout dun terme intgrale dans la chane directe
augmente sa classe. Par consquent, la prcision est
amlior
Avantages :
intgration : convient donc bien lorsque lon souhaite
annuler lerreur statique dun systme de classe 0
correcteur le plus utilis
Inconvnient :
Action intgrale : saturation ventuelle de la commande il
faut lassocier un dispositif danti-saturation, constitu le
plus souvent dun simple crteur.
Rgulateur PD125
Dans le cas dun systme de classe suprieur ou gale 1,
cette action permet daugmenter la bande passante ou de
rendre le systme plus stable, bande passante gale
Rgulateur PD idal 126
127
Un correcteur driv idal nest pas causale, donc pas
physiquement ralisable. On lui substitue donc
systmatiquement un correcteur approch : on parle alors
de filtrage du terme driv
L'action D apporte une amlioration notable du
comportement dynamique, acclrant la vitesse de
raction du rgulateur aux moindres variations de l'erreur.
Ainsi, un signal d'erreur, si faible que soit son amplitude,
pourra gnrer une r-action trs nergique du rgulateur
si son taux de croissance de dt est lev.
128
Rgulateur (PD)
Correcteur avance de phase et correcteur PD129
Avantages :
Augmentation de la phase dans une certaine bande de
frquence
systme corrig plus stable : convient donc bien pour la
correction des systmes peu stables (systmes de classe
suprieure ou gale un)
Correcteur PD130
131
132
Correcteur avance de phase : caractristiques133
Correcteur avance de phase : caractristiques
Correcteur avance de phase : rglage
134
L'action D anticipe donc l'volution de la grandeur rgle
y(t) et a tendance acclrer la propagation des signaux
dans la boucle, comme le conforme la rponse harmonique
ci-dessus, laquelle montre que les signaux de haute
frquence subissent une avance de phase tendant
asymptotiquement vers +90.
On peut d'ores et dj dduire de cette constatation que
l'action D a un effet plutt favorable sur la stabilit du
systme asservi : il est donc important de raliser que
l'action D est plutt stabilisante et amliore la rapidit des
systmes.
Correcteur PID135
136
Correcteur avance et retard de phase
Ce correcteur est bien videmment plus gnral que les
correcteurs prcdents. Il a vocation corriger des
systmes plus dlicats rgler. Il nest cependant pas
ncessaire dutiliser ce type de correcteur si le cahier
des charges peut tre rempli par un des correcteurs
prcdemment voqus.
137
Comparaison PID, PD, PI, P138
Correcteur PID
139
Analyse frquentielle140
Introduction:
Cette pour but de fournir les outils ncessaires
lvaluation des performances des systmes asservis en se
basant sur leur rponses frquentielles .
Cette partie prsente donc un trs grand intrt en vue
dapplications industrielles. De surcrot, les mthodes
danalyse et de synthse frquentielles, quelque peu
dlaisses durant les annes 70, connaissent un trs grand
regain dintrt depuis 1980, o leur utilisation dans le
domaine de la commande robuste sest avre trs
avantageuse.
141
Lanalyse frquentielle des systmes dynamiques consiste
tudier le comportement et les proprits de ceux-ci en
rgime permanent sinusodal.
Dans le cas des systmes linaires stables, lanalyse
frquentielle fournit la rponse harmonique, fonction
dpendant de la frquence et dcrivant comment, en
rgime permanent, le systme amplifie et dphase les
signaux sinusodaux appliqus son entre.
Le rgime permanent sinusodal est obtenu lorsque les
transitoires ont t amorties
142
Cette mthode est envisage lorsque le cahier des
charges contient des spcifications relatives des
considrations frquentielles : bande passante,
coefficient de qualit, marge de stabilit (marge de
gain ou marge de phase), avec ventuellement des
spcifications sur la prcision et les caractristiques de
la rponse transitoire.
La stratgie consiste ajuster K de faon ce que
G(j) ait une marge de phase M et une marge degain Am conformes aux valeurs recommandes
143
Linsertion du rgulateur dans la chane de commandepermet de modeler le lieu de transfert en boucle ouverteT(p) = R(p)G(p) confrant au systme en boucle ferme unfonctionnement tel quil prcis dans le cahier des charges.
On rappelle brivement les performances attendues dansle domaine frquentiel :
Un gain trs grand voire infini en basses frquences deT(p), ce qui assure une bonne prcision en rgimepermanent;
Le lieu de transfert en boucle ouverte doit passer le plusloin possible du point critique, ce qui assure des bonnesmarges de stabilit ;
144
La bande passante doit tre la plus large possible de
manire obtenir une bonne rapidit.
Il nexiste pas en toute rigueur une dmarche systmatique
suivre pour calculer les paramtres du rgulateur et
souvent la synthse est guide par le bon sens du
concepteur.
On peut utiliser indiffremment lune des reprsentations
graphiques pour reprsenter les lieux de transfert : Bode,
Black ou Nyquist. En pratique, les deux premires
reprsentations sont plus commodes dutilisation que la
reprsentation dans le plan de Nyquist
Correction PI145
L'inconvnient du rgulateur PI peut se dduire directement de sa rponse frquentielle, laquelle montre qu' basse frquence, tous les signaux sont dphass de 90
Rglage dun correcteur PI en utilisant diagramme de Bode
Hypothse
Systme de classe zro avec deux ples rels, associs aux
constantes de temps 1 et 2 1>> 2.
Cest le type de systme pour lequel la correction PI est
adapte
Algorithme 146
Tracer le diagramme de Bode de Go(j)
On choisit de compenser le ple dominant par le zro du
correcteur PI, soit i = 1
Une fois le ple dominant compens, il est alors intressent de spcifier les contraintes du cahier de charge en terme de marges de phase dsire M
On repre la pulsation c laquelle le systme pour phase -180+ M
Relever le gain de boucle |Go(j)| en cette pulsation
Il suffit dajuster le gain Kp pour que le gain en dB de la boucle ouverte soit nul la pulsation c
147
148
149
Correction avance de phase150
Hypothse
Systme de classe un avec un ple rel, associs la
constante de temps 1, et possde outre lorigine, unautre ple rel
Cest le type de systme pour la correction est adapte
Avec, a
Algorithme151
La mthode prsente impose tout dabord que la contraintede rapidit du systme soit transform en une contrainte debande passante, si ce nest pas le cas.
Soit c la bande passante dsire pour le systme corrig
Le rglage consiste apporter une avance de phase adapte, cette pulsation.
Lavance de phase maximale M du correcteur tantparamtrable la pulsation M
On choisit tout dabord c= M La contrainte de stabilit doit ensuite tre exprime en termes
de marge de phase, pour dterminer lavance
M=M-(180-Arg(GH(j c))) On rgle Kp pour que le gain en dB du systme en boucle ouverte
soit nul la pulsation c
Algorithme152
153
154
Exemple 155
Il sagit de raliser un asservissement de vitesse dun
moteur courant continu et excitation indpendante.
W dsigne la vitesse de rotation du moteur mesure par
une gnratrice tachymtrique dlivrant une tension Vg
V reprsente la tension de commande de linducteur.
156
Lobjectif est dasservir la vitesse W une tension de
rfrence ve et de faire la synthse dun correcteur selon
un cahier de charges.
Le systme contrler est donn par sa fonction de
transfert suivante :
Avec, Ks=1 T1 = 0.1 s T2 = 0.5 s
157
Le cahier des charges est :
Erreur indicielle nulle. (Prcision statique parfaite)
Marge de phase MP = 45.
La contrainte sur la prcision ncessite lintroduction dune
intgration dans la chane en boucle ouverte.
Comme le systme nen dispose pas, le rgulateur doit tre
de type intgrateur.
Quant la deuxime contrainte, elle peut tre assure
par une action proportionnelle.
158
Soit donc le rgulateur PI suivant:
On commence par ajuster le gain Kp du rgulateur P
suppos agissant seul de manire satisfaire la contrainte
sur la marge de phase :
Soit :
De lquation (2) on dduit que w0 =13.5rd/s et de
lquation (1) on calcule le gain Kp; soit Kp = 2.3
159
La figure suivante confirme le respect de la contrainte sur
la marge de phase.
160
Il convient prsent de calculer la constante dintgration
Ti de manire ce que la marge de phase reste peu
prs gale 45.
Il est possible de choisir Ti de telle sorte que la contribution
en module et en phase du terme soit ngligeable la
pulsation w0. Pour ce faire, on prendra 1/Ti = 0.1 w0 (une
dcade gauche de w0), ce qui permet de placer ce
terme suffisamment gauche de la pulsation w0. Do la
valeur de Ti = 0.74.
161
Le rgulateur est:
Remarque : Comme le montre les courbes de Bode de
R(p)G(p) donnes par la figure prcedente , la marge de
phase est lgrement infrieure 45
est d au fait que la phase apporte par le terme
la pulsation w0 nest pas nulle. A priori une marge de
phase de 40 est aussi correcte, nanmoins on peut
remdier cette situation (sil le faut !!) en plaant ce
terme davantage gauche ou surestimer la marge de
phase ncessaire (50 au lieu de 45 par exemple).
162
163
Ajustage des paramtres de
rgulateurs P, PI et PID par la
mthode de Ziegler-Nichols
Premire mthode en boucle ouverte164
Ziegler et Nichols ont propos deux approches
exprimentales destines ajuster rapidement les
paramtres des rgulateurs P, PI et PID. La premire
ncessite l'enregistrement de la rponse indicielle du
systme rgler seul (Ga(s)), alors que la deuxime
demande d'amener le systme en boucle ferme sa
limite de stabilit.
165
Sur l'enregistrement de la rponse indicielle un seul systme rgler
(c'est--dire sans le rgulateur), on trace la tangente au point
d'inflexion Q de la courbe. On mesure ensuite les temps Tu
correspondant au point d'intersection entre l'abscisse et la tangente
ainsi que le temps Tg ("temps de monte de la tangente").
166
On peut alors calculer les coefficients du rgulateur choisi l'aide du tableau
Gnralement les gains proportionnels (Kp) proposs
par Ziegler-Nichols sont trop levs et conduisent un
dpassement suprieur 20%.
Il ne faut donc pas craindre de rduire ces gains d'un
facteur 2 pour obtenir une rponse satisfaisante.
Une illustration de cette dmarche est donne ci-dessous.
167
Considrant la rponse indicielle d'un systme apriodique prcdente,
on peut y mesurer :
Tg = 7,4 [s]
Tu = 3,1 [s]
Du tableau de Ziegler-Nichols, on tire les trois paramtres du rgulateurKp = 1,2 Tg/Tu = 2,8, rduit de 50%, ce qui donneKp = 1,4 Ti = 2,0 Tu = 6,2 [s] Td = 0,5 Tu = 1,55 [s]
168
La division par 2 de la valeur du gain proportionnel
permet d'obtenir une rponse indicielle tout fait
satisfaisante
Deuxime mthode en boucle ferme169
Cette mthode ncessite de boucler le systme sur un
simple rgulateur proportionnel dont on augmente le gain
jusqu' amener le systme osciller de manire
permanente; on se trouve ainsi la limite de stabilit du
systme.
170
171
Aprs avoir relev le gain critique Kcr et la priode
d'oscillation Tcr de la rponse, on peut calculer les
paramtres du rgulateur choisi l'aide du tableau
172
Les valeurs proposes par Ziegler et Nichols ont t
testes dans de trs nombreuses situations et il faut
souligner qu'ici galement elles conduisent un temps de
monte relativement court assorti d'un dpassement lev.
Cette situation n'tant pas toujours satisfaisante, on est
amen corriger lgrement les coefficients proposs et,
en particulier, diminuer le gain Kp.
173
Une modification possible est propose par le tableau
Conclusion174
Les mthodes exprimentales prsentes permettentd'avoir de bonnes estimations gnriques pour un systmesraisonnablement simple ( rglable par un PID ! ).
Cependant il faut continuer faire varier les coefficientsjusqu' obtenir une rponse satisfaisant le cahier des charges.
Pour cela on utilise les rgles "simples"
Kp augmente -> monte plus rapide mais plus de dpassement.
Ki augmente -> monte plus rapide mais rgime stationnaire
plus long, erreur statique plus faible.
Kd augmente-> diminue le dpassement et le temps
d'tablissement du rgime stationnaire, mais
augmente la sensibilit au bruit.
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