1
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
Controlli Automatici A
Corsi di laurea triennali in Ingegneria Elettronica, Informatica, Telecomunicazioni
a.a. 2001/2002Docente: Prof. Aurelio Piazzi
Email: [email protected]://www.ce.unipr.it/people/piazzi/
2
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� Introduzione ai metodi di analisi e sintesi per il controllo attivo di un processo
� Processo = evoluzione nel tempo di ciò che caratterizza un sistema (fisico o non)
� Controllo attivo : strategia di controllo che prevede un�azione di comando esercitata sul processo (esempio: sospensioni attive di una automobile)
3
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� Il controllo (attivo) risolve il problema di imporre una modalità di funzionamento desiderato ad un processo assegnato (il sistema controllato).
� Modalità di funzionamento desiderato = una variabile (scalare o vettoriale) del processo coincida con una variabile (sca. o vett.) preassegnata (segnale di riferimento o set-point):
Variabile controllata = Segnale di riferimento
� Segnale di riferimento costante => problema di regolazione
4
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
1.1 Generalità sul concetto di sistema� (Possibile) definizione di Sistema:
Un sistema è un complesso, normalmente costituito da più elementi interconnessi, in cui si possono distinguere grandezza soggette a variare nel tempo (le variabili).
5
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� def. di Segnale:
Le funzioni che rappresentano l�andamento delle variabili nel tempo si dicono segnali.
� Terminologia per le variabili:
-Variabili controllate (o regolate)
- Variabile di riferimento
-Variabili manipolabili (o di controllo)
-Variabili non manipolabili (o disturbi)
-Variabili osservate (o misurate)
6
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� La classificazione fondamentale delle variabili di un sistema le distingue in variabili indipendenti (ingressi o cause) e in variabili dipendenti (uscite o effetti).
� Questa classificazione porta al concetto di sistema orientato:
Esempi: una resistenza elettrica, un motore in corrente continua,�
7
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
8
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
9
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� def. di Modello Matematico:
Si dice m. m. la descrizione di un sistema, per esempio con equazioni e parametri, che permette di determinare i segnali delle uscite noti i segnali degli ingressi e le (eventuali) condizioni iniziali.
Esempi: equazioni differenziali, modelli operazionali, modelli frequenziali, modelli di stato,�
� Sistemi multivariabili (MIMO) e scalari (SISO) (ci occuperemo quasi sempre di sistemi scalari�):
10
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� def. Sistema (inizialmente) in quiete:
Un sistema è detto (inizialmente) in quiete quando le variabili d�uscita sono (inizialmente) nulle e rimarrebbero tali per ingressi identicamente nulli [sistema in equilibrio]
Nota: valida anche per variabili costanti�
� Considereremo sistemi a tempo continuo con variabili reali per gli ingressi ed uscite: tempo t in R, u(t) in R, y(t) in R.
Caso multivariabile:
t
,)(,)( pm RtyRtu ∈∈
=
)(
)(
)(
1
tu
tu
tu
m
!!
=
)(
)(
)(
1
ty
ty
ty
p
!!
11
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� def. Sistema statico (o puramente algebrico)
L�uscita al tempo t, dipende esclusivamente dall�ingresso al medesimo tempo t.
Per questi sistemi esiste una funzione f: Rm ! Rp tale che
y(t) = f(u(t)) per ogni t in R, Semplicemente y = f(u)
� def. Sistema dinamico
L�uscita al tempo t dipende dalla funzione dell�ingresso su (-inf., t].
Sono i sistemi con memoria: esiste un funzionale F(.) : U ! Y per il quale
y(t) = F( u(.)|(-inf., t] )
12
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
Esempio del comportamento di un sistema dinamico:
Esempio di modello statico SISO: motore in corrente continua in condizioni stazionarie, w = f(va) è la caratteristica statica ingresso uscita (non lineare):
13
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
Modello linearizzato in un intorno dell�origine: w = k va ,
k:= f (1)(va)|va=0
14
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
Modello linearizzato nell�intorno di (va1, w1):
K1:= f(1)(va )|va = va1 ; w� := w � w1 v�a := va � va1
w� = K1 v�a
� def. Insieme dei “behaviours” BBBB
L�insieme B B B B è l�insieme di tutte le possibili coppie causa-effetto associate al sistema dinamico Σ:
B B B B := { ( u(t), y(t) ) : y(t) è l�uscita di Σ corrispondente all�ingresso
u(t) a partire da una condizione di quiete, u(t) in U U U U }
U U U U :={ insieme delle funzioni continue a tratti definite su (-inf , +inf) }
15
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� def. Linearità
Un sistema si dice lineare quando soddisfa la proprietà di sovrapposizione degli effetti:
per ogni ( u�(t), y�(t) ), ( u��(t), y��(t) ) ∈ B B B B e per ogni a1, a2 ∈ R
== > (a1 u�(t) + a2 u��(t) , a1 y�(t) + a2 y��(t) ) ∈ B B B B
. . . . def. Stazionarietà
Un sistema Σ è stazionario (invariante nel tempo) se per ogni T in R:
( u(t), y(t) ) ∈ B == > B == > B == > B == > ( u(t-T), y(t-T) ) ∈ B B B B
16
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
Esempio:
� Ambito di studio: sistemi dinamici lineari, stazionari e a tempo continuo.
17
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
1.2 Controllo ad azione diretta e in retroazione� Il controllo (attivo) è distinguibile in
- controllo ad azione diretta (feedforward) o ad anello aperto o in catena aperta;
- controllo in retroazione (feedback) o ad anello chiuso o in catena chiusa.
� Azione diretta : quando l�azione di comando dipende da
1. obiettivo perseguito (p.e. segnale di riferimento)
2. informazioni sul modello del sistema controllato
3. eventualmente, ingressi agenti sul sistema contr. (disturbi)
18
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� Retroazione : quando l�azione di comando dipende da1. obiettivo perseguito (p.e. segnale di riferimento)2. informazioni sul modello del sistema controllato3. eventualmente, ingressi agenti sul sistema contr. (disturbi)4. variabile controllata
Esempi: �.� Schema a blocchi di un sistema di controllo ad azione diretta:
19
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� Schema a blocchi di sistema di controllo in retroazione:
20
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� Architettura usuale: Sistema di controllo in retroazione sull�errore di inseguimento:
21
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� Confronto fra il controllo ad azione diretta e in retroazione:
Problema: Regolazione di un processo statico di guadagno P; y = uscita del processo (v. controllata); u = ingresso del processo (v. di controllo); r = segnale di riferimento.
� Sistema di controllo ad anello aperto:
y = P u = P ( Cd) = P Cd r
Dall�obiettivo r = y " Cd := 1/P
Il controllore è sintetizzato come sistema inverso del processo
22
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� Sistema di controllo ad anello chiuso:
{ e = r � y , y = P C_r e } " y = P C_r (r � y)
y = (P C_r / (1 + P C_r ) ) r
L�obiettivo y = r è idealmente irraggiungibile ma si può ottenere y ~= r progettando C_r tale che P C_r >> 1 :
C_r >> 1/P
23
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� Disamina delle strategie di controllo in condizioni perturbate:
P --> P∼∼∼∼ = P + ∆P , p.e. ∆P = (1/5) P
� nel controllo ad azione diretta:±
rrrP
PPrCPy d 511)(~ ±=∆+== errore in % 20±
� nel controllo in retroazione:
si ipotizza che PCPC rr /200,200 =⇒= 995,01
: ≅+
=⇒r
ryr PC
PCT
(errore di inseguimento in cond. nom. circa uguale a 0,5%)
=∆++
∆+=+
=rr
rr
r
ryr PCPC
PCPCCP
CPT11 ~
~~ 0,9959 e 0,9938
errore = + 0,415% o +0,621%
24
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� Conclusione 1: Il controllo in retroazione è efficace anche in presenza di perturbazioni sul processo.
� Conclusione 2: Il controllo in retroazione è efficace anche in presenza di disturbi agenti sulla variabile controllata.
[per il momento giustificazione euristica�]
� Per alcuni problemi di regolazione il controllo in retroazione è l�unico possibile � es.: regolazione di livello in un serbatoio �.
25
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
Equazione del �processo� o �impianto�: )(121 qq
Az −="
≡1q
≡2q
portata d�acqua in ingresso (v. di controllo)
portata d�acqua in uscita (v. di disturbo)
� Il controllo ad azione diretta sicuramente fallirebbe (fenomeno di deriva)
� Il controllo in retroazione può risolvere il problema � p.e.
101 )( qzrCq r +−=
ridefinendo la variabile di controllo, la legge di retroazione proposta corrisponde allo schema:
101: qqu −=
26
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� I problemi del controllo in retroazione:
1. è una soluzione tecnica più complessa
2. è una soluzione che può presentare fenomeni di instabilità
Esempio: in un sistema retroazionato all�aumentare del guadagno di anello tipicamente si innesca una instabilità (p.e. auto-oscillazioni divergenti) :
27
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
321 rrr CCC <<
� I possibili problemi di instabilità sono particolarmente gravi nel controllo in retroazione dei sistemi con ritardi finiti � esempio: regolazione di temperatura in un miscelatore di acqua fredda e calda �
28
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
1.3 Gli Schemi a Blocchi� I sistemi complessi possono essere rappresentati con schemi a blocchi i cui elementi hanno ciascuno un solo ingresso ed una sola uscita:
y = K u , K ≡ guadagno dell�elemento o blocco elementare
K ∈ R o K ∈ {insieme delle funzioni razionali} o �
� I blocchi sono collegati fra loro mediante i punti di diramazione e le giunzioni sommanti:
z = u, y = u z = x + y
29
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� Regole di riduzione
1. Riduzione di blocchi in cascata
2. Riduzione di blocchi in parallelo
30
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
3. Scambio di giunzioni sommanti
4. Spostamento di prelievo di segnale a monte di un blocco
31
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
5. Spostamento di prelievo di segnale a valle di un blocco
6. Spostamento di giunzione sommante a monte di un blocco
32
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
7. Spostamento di giunzione sommante a valle di un blocco
8. Eliminazione di un anello
+==
yKreeKy
2
1
rKK
Ky21
1
1−=
33
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� Esempio di riduzione alla forma minima
Schema a blocchi iniziale
34
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
Applicando le regole n° 6, 3, 8 si ottiene
132
324 1
:HGG
GGG+
=
35
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
Applicando ancora le regole n° 6, 3, 8 :
241
415 1
:HGG
GGG+
=
Applicando infine la regola n° 7:
21
51 :
GGBGB =
dBrGc 15 +=
[ ]
=
dr
BGc 15
36
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
1.4 Cenni di Modellistica� Modellistica = costruzione dei modelli matematici dei sistemi
Modellistica:
1. a partire da leggi fondamentali
2. a partire da dati sperimentali (identificazione)
Scegliendo il primo approccio riportiamo qualche cenno su circuiti elettrici, sistemi meccanici e sistemi termici.
37
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� Circuiti elettrici
Resistenza:
Induttanza:
D ≡ operatore derivata
Capacità:
RivR =
LDidtdiLvL ==
∫∞−
==t
C diCC
Qv ττ )(1CiDvC =⇒
38
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� Esempio: circuito RLC
∫∞−
++=
++=t
i
CRLi
diC
tRitLDitv
vvvv
ττ )(1)()()(
Costruzione del m.m. del circuito RLC orientato da vi (ingresso) ad i (uscita):
39
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
Eq. differenziale lineare a coefficienti costanti:
iDviC
RDiiLD =++ 12
Rappresentabile anche come:iDvi
CRDLD =
++ 12
Costruzione del m.m. del circuito RLC orientato da vi (ingresso) ad vu (uscita):
uuui
uu
vCDvRCDvLDv
CDviCiDv
++=
=⇒=
)()(
iuuu vvRCDvvLCD =++2
( ) iu vvRCDLCD =++ 12
40
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� Sistemi meccanici
leggi del moto unidimensionale per �componenti� meccanici
Massa: )()()( 212 tftftxMD −=
Molla: ( ))()()( 21 txtxKtf −=
Relazione valida nell�ipotesi che la distanza fra le origini degli assi x1 e x2 sia pari alla lunghezza della molla non caricata.
41
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
Ammortizzatore:
( )( ))()()(
)()()(
21
21
txtxBDtftvtvBtf
−=−=
Legge che descrive un fenomeno di attrito viscoso: forza proporzionale alla velocità relativa �
42
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� Esempio: sistema meccanico vibrante(quando il sistema è a riposo abbiamo x1 = 0 e x2 = 0 )
−−−=−−−=
222221122
2
2111112
1
)()(DxBxKxxDBxDM
xxDBxKfxDM
sistema di eq. differenziali del secondo ordine
43
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
Problema: costruzione del m.m del sistema vibrante orientato da f (ingresso) a x2 (uscita) [oppure, a x1]:
Come eliminare la variabile x1?
+++=+=++
22222122
211
21111112
1
DxBxKDxBxDMDxBDxBfxKDxBxDM
( )( )
+++=+=++
2222122
211
211112
1
)( xKDxBBxDMxDBDxBfxKDBDM
44
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
( )( ) ( )( )( ) ( )
+++++=+++=++
])([][
2222122
2112
111112
1
2111112
11
xKDxBBxDMKDBDMxDBKDBDMDxBfDBxKDBDMDB
Gli operatori differenziali commutano, quindi si deduce:
( ) ( )( ) DfBxDBxKDxBBxDMKDBDM
xKDxBBxDMKDBDMDxBfDB
1222
12222122
2112
1
2222122
2112
1211
])([])([][
=−+++++
+++++=+
. . . .
Si ottiene una eq. differenziale lineare del 4° ordine
45
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� Esempio di un sistema elettromeccanico: motore in c.c. controllato in armatura.
ia = corrente di armatura; va = tensione di armatura (ingresso); Φ = flusso magnetico; ec = forza controelettromotrice (tensione); Jm= inerzia del motore; Jc= inerzia del carico; Cm=coppia motrice.
46
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
La coppia motrice è proporzionale al flusso e alla corrente di armatura:
Cm = KΦ ia , con flusso costante Cm = Km ia
In assenza di perdite energetiche, il bilancio di potenza all�albero motore è:
{potenza elettrica} = { potenza meccanica}
ecia= Cmω da cui ecia= Km ia ω
ωmc Ke =⇒
Eq. elettromeccanica senza carico:
+=++=
ωωω
DJBiKKRiLDiv
mmam
maaa
47
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
Eliminando la variabile ia si otiene il m.m del motore orientato da va ad ω (senza carico):
( ) ( ) ammmmmm vKKRBDRJLBDLJ =++++ ωωω2
� Eq. Elettromeccaniche con carico
++=++=
CDJBiKKRiLDiv
mmam
maaa
ωωω
C = coppia resistente dovuta al carico; ωc = velocità angolare a valle del riduttore; Cc= coppia resistente del carico a valle del riduttore
Ipotizzando che il riduttore non dissipi potenza:
{ potenza meccanica a monte del rid. } = { potenza meccanica a valle del rid. }
ccCC ωω =
48
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
rrcc CKCC ==⇒
ωω Kr = rapporto di riduzione
=
ωωc:
� eq. meccanica del carico a valle del riduttore:
( ) cccr
ccccr
DJBKCDJBC
ωωω
+=⇒+=
( )ωDJBKC ccr += 2
Implicazioni: il coefficiente di attrito ed il momento d�inerzia del carico possono essere riferiti all�albero motore moltiplicandoli per Kr
2. I valori così ottenuti si sommano a quelli relativi al motore �
49
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
( ) ( )
crmmc
crmmc
crmcrmam
crcrmmam
JKJJBKBB
DJKJBKBiKDJKBKDJBiK
2
2
22
22
:
:
+=
+=
+++=
+++=
ωωωωωω
� m.m del motore orientato da va a ωc (con carico):
( ) ( ) ammmcmcmcmc vKKRBDRJLBDLJ =++++ ωωω2
50
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� Esempio di sistema termico: Boiler
Semplificazione: miscelazione istantanea e perfetta.
M = massa d�acqua [kg]
c = calore specifico dell�acqua [Cal/(Kg °C)]
θ = temperatura dell�acqua nel boiler [°C]
Θi = temperatura dell�acqua all�ingresso
Θa = temperatura dell�ambiente
q = flusso di calore dal riscaldatore [Cal/s]
K = coefficiente di resistenza termica globale delle pareti [Cal/(s °C)]
g = portata entrante o uscente [kg/s]
51
1.Introduzione
Controlli Automatici A � Prof. Aurelio Piazzi 15 marzo 2002
� eq. di bilancio termico: ( ) ( )ia tctgtKqttMcD θθθθθ −−−−= )()()())(
� Orientamento del sistema: q -> variabile manipolabile;
θ -> variabile controllata; g -> variabile di disturbo.
m.m. del sistema orientato da q a θ:
( ) )()()()()( tgcKtqttcgKtMcD ia θθθθ ++=++
Interpretazione: eq. diff. lineare con coefficienti varianti (quindi, sistema lineare non stazionario)
Top Related