8/18/2019 Condicion de Segundo Orden
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Condición de Segundo Orden para un Ḿınimo Global
Juan Carlos Girón Rojas
Universidad Nacional del Callao
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Sumário
1. INTRODUCCIÓN
2. MATRIZ HESSIANA
3. FORMULA DE TAYLOR DE SEGUNDO ORDEN4. FUNCIÓN CONVEXA Y MÍNIMO
5. PROPOSICIÓN1: HESSIANA Y FUNCIÓN CONVEXA
6. PROPOSICIÓN2: FUNCIÓN CONVEXA Y MÍNIMO GLOBAL
7. CONDICIÓN DE SEGUNDO ORDEN PARA UN MÍNIMOGLOBAL
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INTRODUCCIÓN
Mientras la prueba de la primera derivada identifica los puntos quepueden ser extremos, esta prueba no distingue si un punto es ḿınimo,máximo, o ninguno de los dos. Cuando la función objetivo es dosveces diferenciable, estos casos pueden ser distinguidos estudiando la
segunda derivada o la matriz de las segundas derivadas (llamadamatriz Hessiana) en problemas irrestrictos, o la matriz de lassegundas derivadas de la función objetivo y las restricciones llamadala frontera Hessiana en problemas restrictos.Las condiciones que distinguen a los máximos, o ḿınimos, de otros
puntos estacionarios son llamadas condiciones de segundo orden. Siun candidato a solución satisface las condiciones de primer orden y lascondiciones de segundo orden también, es suficiente para establecer,al menos, optimalidad local..
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MATRIZ HESSIANA
Definición: Dada una función real f : Rn
−→ R. Si todas lassegundas derivadas parciales de f existen, se define la matriz hessiana
de f como: Hf (x ), donde Hf (x )i , j = ∂ 2f (x )
∂ x i ∂ x j de forma
Hf (x ) :=
∂ 2
f ∂ x 2
1
∂ 2
f ∂ x 1∂ x 2
. . . ∂ 2
f ∂ x 1∂ x n
∂ 2f
∂ x 2∂ x 1
∂ 2f
∂ x 22
. . . ∂ 2f
∂ x 2∂ x n...
...
. ..
...∂ 2f
∂ x n∂ x 1
∂ 2f
∂ x n∂ x 2. . .
∂ 2f
∂ x 2n
.
Además,en virtud del teorema de Clairaut (ó teorema de Schwarz), es
una matriz simétrica.4 of 18
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FORMULA DE TAYLOR DE SEGUNDO ORDEN
Teorema: Sea f : A ⊆ Rn −→ R una función con derivadas parcialessegundas D ij f continuas en una n-Bola B (x ) entonces para todoy ∈ Rn tal que x + y ∈ B (x ) se tiene:
f (x + y ) − f (x ) = ∇f (x )y + 12!yHf (x + cy )y T , donde 0
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FORMULA DE TAYLOR DE SEGUNDO ORDEN
Prueba Mantegamos y fijo, definamos g (u ) para u real mediante laecuación g (u ) = f (x + uy ) para − 1 ≤ u ≤ 1 Entoncesf (x + y )− f (x ) = g (1)− g (0), probaremos el teorema aplicando lafórmula de Taylor de segundo orden a g en el intervalo [0, 1]obteniendo
g (1)− g (0) = g (0) + 12!g (c ) donde 0
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FORMULA DE TAYLOR DE SEGUNDO ORDEN
Con tal que r (u ) ∈ B (x ). En particular g
(0) = ∇f (x ).y . Aplicandouna vez mas la regla de la cadena encontramos
g (u ) =n
i =1
n j =1
D ij f (r (u ))y i y j = yH (r (u ))y T
Luego g (u ) = yH (r (u ))y T , definamos E 2(x , y )por la ecuación
||y ||2E 2(x , y ) = 1
2!y [H (x + cy ) − H (x )]y T si Y = O
y sea E 2
(x ,O ) = 0. Entonces tenemos una ecuación de la forma:
f (x + y ) − f (x ) = ∇f (x )y + 1
2!yHf (x + cy )y T + ||y ||2E 2(x , y ),
Para completar la demostración debemos probar que E 2(x , y ) −→ 0cuando y −→ O , tambien tenemos que
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FORMULA DE TAYLOR DE SEGUNDO ORDEN
||y ||2E 2(x , y ) = 1
2
n
i =1
n j =1
[D ij f (x + cy ) −D ij f (x )]y i y j
≤n
i =1
n
j =1
|D ij f (x + cy ) −D
ij f (x )| ||y ||2
Dividiendo por ||y ||2 obtenemos la desigualdad
|E 2(x , y )| ≤
n
i =1
n
j =1
|D ij f (x + cy ) −D ij f (x )|
Para y = O , puesto que cada derivada parcial D ij f es continua en x ,tenemos D ij f (x + cy ) −→ D ij f (x ) cuando y −→ O , aśı queE 2(x , y ) −→ 0 cuando y −→ O . Esto completa la prueba.
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FUNCIÓN CONVEXA Y MÍNIMO
Definición: Sean A ⊂R
n
, un conjunto no vació y convexo y seaf : A −→ R se dice que f es una función convexa si solo si se cumpleque:
f (λx + (1 − λ)y ) ≤ λf (x ) + (1 − λ)f (y ), ∀λ ∈ [0, 1] y x , y ∈ A
Definición: Sea f : A ⊆ Rn −→ R una función dondeSe dice que f alcanza en x ∗ ∈ A un ḿınimo local en A si existe unabola B (x ∗) tal que
f (x ∗) ≤ f (x ) , ∀x ∈ B (x ∗)
Se dice que f alcanza en x ∗ ∈ A un ḿınimo global en A tal que
f (x ∗) ≤ f (x ) , ∀x ∈ A
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PROPOSICIÓN1: HESSIANA Y FUNCIÓN
CONVEXA
Proposición Sea A ⊆ Rn abierto y convexo y f : A ⊆ Rn −→ R unafunción con derivadas parciales segundas D ij f en A cuyo hessiana essemidefinida positiva en todo punto de A. Entonces f es convexa.
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PROPOSICIÓN: HESSIANA Y FUNCIÓN CONVEXA
Prueba: Dados x , y ∈ A y t ∈ [0, 1], probemos que f es convexa.consideremos la función auxiliar g : [0, 1] −→ R dada porg (s ) = f (sy + (1 − s )x ), donde se cumple que g (0) = f (x ),g (1) = f (y ) y g (u ) = Hf (sx + (1 − s )y )(x − y ) ≥ 0 para todos ∈ [0, 1]. El desarrollo de Taylor de g de orden 2 en el punto t nos
dice, para cada s ∈ [0, 1], existe ξ ∈ [0, 1] tal que
g (s ) ≥ g (t ) + g (t )(s − t ) + g (ξ )(s − t )2 ≥ g (t ) + g (t )(s − t )
Evaluando en s = 0 y s = 1, tenemos g (0) ≥ g (t ) − tg (t ) y
g (1) ≥ g (t ) + (1 − t )g
, luego tenemos que(1 − t )(g (0)) ≥ (1 − t )(g (t ) − tg (t )) y tg (1) ≥ t (g (t ) + (1 − t )g )
tg (1)+(1−t )(g (0) ≥ (1−t )(g (t )−tg (t ))+t (g (t )+(1−t )g ) = g (t )
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PROPOSICIÓN1: HESSIANA Y FUNCIÓN
CONVEXA
Reemplazamos g (t ) = f (ty + (1 − t )x ), g (0) = f (x ) y g (1) = f (y )concluimos que
f (tx + (1 − t )y ) ≤ tf (x ) + (1 − t )f (y ), ∀t ∈ [0, 1] y x , y ∈ A
Donde probamos que f es convexa.
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PROPOSICIÓN2: FUNCIÓN CONVEXA Y MÍNIMO
GLOBAL
Proposición Sea A ⊆ Rn convexo y : f : A ⊆ Rn −→ R si f esconvexa en A, todo ḿınimo local en A es global.Prueba: Sea x ∈ A un ḿınimo local, probaremos que si f no alcanzaen x ∈ A un ḿınimo global, entonces no puede ser ḿınimo local:Si x ∈ A no fuese ḿınimo global, se tendŕıa para algún Y ∈ Atendŕıamos f (y )
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PROPOSICIÓN2: FUNCIÓN CONVEXA Y MÍNIMO
GLOBAL
de donde concluimos
f (λx + (1 − λ)y ) ≤ f (x )
Es decir, en todos los puntos del segmento que une [y , x ] , salvo elmismo x , claro está, f tomaŕıa valores inferiores a f (x ) . Por tanto, x
no seŕıa ḿınimo local. Una contradicción que surge de supones que x
no es un ḿınimo global.
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CONDICIÓN DE SEGUNDO ORDEN PARA UN
MÍNIMO GLOBAL
Proposición: supongamos que f (x ) es una función con segundasderivadas parciales continuas Cuya Hessiana es semidefinida positivaen todos los puntos de Rn . Demostrar Que cualquier punto cŕıticodel f (x ) es un ḿınimo global del f(x).
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CONDICIÓN DE SEGUNDO ORDEN PARA UN
MÍNIMO GLOBAL
Prueba: Sea f : Rn −→ R una función con derivadas parcialessegundas D ij f continuas, sea una n-Bola B (x
∗) entonces para todoy ∈ Rn tal que x ∗ + y ∈ B (x ∗) se tiene:
f (x ∗ + y ) − f (x ) = ∇f (x ∗)y + 1
2!yHf (x ∗ + cy )y T , donde 0
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CONDICIÓN DE SEGUNDO ORDEN PARA UN
MÍNIMO GLOBAL
f (y + x ∗
) − f (x ∗
) ≥ 0
f (x ) ≥ f (x ∗), ∀x ∈ B (x ∗) donde x = x ∗ + y
Luego tenemos que x ∗ es un ḿınimizador local de B (x ∗), de laproposición1 tenemos que f es convexa y de la proposición2
deducimos que x ∗ es un ḿınimizador global.
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MUCHAS GRACIAS
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