• Conceitos fundamentais:
• Elementos Puros e representações
- exemplo
• Leis de Kirchhoff
• - método prático
• Analogias mecânica/elétrica
- f → i ; v → V
• Construção de circuitos análogos
- exemplos
1
Conceitos Fundamentais Tensão: Trabalho necessário para transportar uma carga positiva entre dois
pontos.
Unidade: V (volts)
Corrente:
taxa de variação do fluxo de cargas elétricas no tempo através de uma determinada área.
Unidades: [i]= A (Ampère)
[t]= s (segundo)
2
dt
dqi
CCoulombsAidtdqidtdq .
2 1
V1 V2
Elementos Puros - Capacitor
a) Dois armazenadores de energia:
- Indutor
b) Dissipador de energia: - Resistência
3
V1 V2
1 2
Vc
Capacitor
4
C Capacitância: Capacidade de acumulação de carga no elemento para uma determinada tensão entre as placas condutoras. Vc = V12 = V1-V2
i
C
Capacitor Material dielétrico: permite que haja campo
elétrico sem que haja passagem de corrente.
5
+ + + + + +
+ + + + + +
- - - - -
- - - - -
Placas de material condutor
i i Material dielétrico
Capacitor
A queda de tensão em um capacitor (Vc) é dada por:
6
FFaradV
C
V
As
dV
dqC
c
inicial. tensãodediferença )( onde
)()(
:(1) em (2) Pondo
inicialcarga
)2(
)1(
0
0
0
0
C
QoV
oVC
idttV
C
QidtV
Q
Qidtqidtdqdt
dqi
C
qV
V
qC
c
cc
c
c
c
Capacitor
cc
cc
c
c
c
CDVi
CD
i
CD
iti
C
dtitV
nula. inicial opara tensã
)()(
7
dt
dt
dD
D
1
:cálculo do lfundamenta leipela
][
Define-se admitância do capacitor por:
CD
Definindo o operador:
Vc
Indutor
Indutância: quando passa uma corrente num fio ou estrutura condutora qualquer, estabelece-se um campo magnético ao redor deste corpo. Se a corrente varia no tempo, o campo variará também no tempo. De acordo com a Lei de Lenz, a variação do campo magnético induz uma ddp (diferença de potencial) no corpo que tende a contrapor a mudança de corrente . O elemento elétrico “resiste” com uma diferença de tensão à variação do fluxo de corrente (podemos pensar numa mola sendo comprida e resistindo à força aplicada nela). Esse fenômeno recebe o nome de indutância.
8
L
VL
Indutor A queda de tensão num indutor é dada pela Lei de
Faraday:
9
oconcatenad elétrico fluxo
:Obs.
.L
:Unidades
2112
LidtVLdidt
diLV
HHenryA
Weber
A
sV
di
dtV
dt
diLVVVV
LL
L
L
L
L
L
L L
ou fluxo magnético concatenado.
[λ]=V.s=Weber
Indutor
Usando o operador D[.]
Definimos admitância do indutor por:
10
LD
Vi
LDiVdt
diLV
L
L
LL
L
L
LD
1
Resistência
A queda de tensão (VR) numa resistência é modelada pela Lei de Ohm:
11
R
VR
OhmsA
V
i
V
R
Vi
RiVVVV
R
R
R
RR
R
:Unidades
R
1 :pordefinida éa resistêncida admitância A
1221
Leis fundamentais: Kirchhoff
Lei dos nós: “Em cada nó: ”
i= i1 + i2 Lei das malhas: “Em cada malha: ”
12
0i
0V
i2
i1 i
e(t) ~ Vo(t) i1 i4 i2
i3
Método Prático de Kirchhoff (correntes) Identificar os nós de tensão desconhecida. Para cada um
destes nós, escrevemos uma equação.
Escolher o referencial nulo e escrever as equações. Para cada equação tem-se:
2.1) termos positivos (correntes que entram no nó): tensão do nó multiplicada pela soma das admitâncias conectadas no nó;
2.2) termos negativos (correntes que saem do nó): tensão na outra extremidade do nó multiplicada pela admitância entre os nós. O nó do referencial nulo tem tensão nula e não contribui com nenhum termo.
2.3) igualar os termos dos itens anteriores com as eventuais correntes externas, por exemplo a introduzida por uma fonte de corrente.
13
Exemplos do Método Prático a) Circuito RLC em paralelo:
1. Um nó com tensão desconhecida (Va) uma equação
2. O referencial nulo está indicado
2.1) só há termos positivos, já que o nó de tensão desconhecida se liga apenas ao nó do referencial (tensão nula)
14
L R i C
V=0
a
Circuito RLC em paralelo
)3()(.11
C
:usual notaçãoa usando e
)(11
)(11
tidtVaL
VaR
aV
tiVaR
VaLD
CDVa
tiCDLDR
Va
15
Sistema multi-malhas:
Tarefa para casa: Resolver o circuito pelo método dos nós e pelo método das malhas
16
~ e(t) Vo(t)
b a
R3
c
L
C R2 R1
V=0
Solução método prático
17
~ e(t) Vo(t)
b a
R3
c
L
C R2 R1
V=0
Solução pelo método prático 1. nós com tensão desconhecida: nó b e nó c=> haverá duas
equações diferenciais para descrever este sistema.
obs.: a tensão em c é a tensão de saída do circuito (desconhecida)=> Vc(t)=Vo(t)
a tensão em a é a tensão de entrada (conhecida) => Va(t)=e(t)
2. nó b:
3. nó c: tensão Vc=Vo
18
0)(11
011
2121
2121
R
Vo
R
teCD
RRV
R
V
R
VCD
RRV
b
ca
b
0)(111
223
LD
te
R
V
LDRRV b
o
Circuitos análogos
Sistema mecânico básico:
(3)
Sistema elétrico básico:
19
f(t)
b k
M
x, v
tftdvkvbvm
i C L R
V=0 )(
11tidtV
LV
RVC
aaa (4)
a
Analogias: Comparando (3) e (4) encontramos as seguintes analogias:
20
R
BKtMwJ
bktfvm
eo
1
L
1 i(t) V C :elétrica
:rotac. mec.
: transmec.
variável entre
variável através
Obs: A corrente passa através do elemento, a tensão é medida entre dois pontos!
o
Analogias: Esta analogia é chamada analogia força/corrente
velocidade/tensão (alguns livros a denominam analogia do tipo 2).
A partir das definições acima, podemos obter as expressões da eletricidade a partir de suas equivalentes mecânicas:
Energia cinética:
Potência:
21
22
2
1
2
1CVTemvT
potência. defator o é cos onde cos. :deeletricidana
cos :espaço no
.
ViPe
vFvFP
ViPeFvP
e
e
e
Analogias: Trabalho:
Quantidade de movimento:
(q carga acumulada no capacitor)
Impulso (integral da variável através):
Energia potencial:
22
alinhadofasor
nalunidirecio caso
dtPiVdtid
PdtFvdtFdx
ee
CVqvmQ
idtq
QdtFI
2
2
1
2
1
2
1
L
V
kxV
e
k
Analogias: Deslocamento (integral da variável entre):
Potência dissipada:
Apresentar tabela de Analogias até aqui.
23
Vdt
vdtx
2
2
RRRRRde
bd
RiRiiViP
bvbvvvfP
Analogia fi v V Mec. Trans.
f(t) [N]
v(t) [m/s]
m [kg]
b k Q=mv =ma =f(t)
[N]
τ = ∫fdx= ∫Pdt
[J]
Mec. Rot.
MG(t) [N.m]
ω(t) [rad/s]
JG
[kgm2] B K H=JGω
=JG
=MG(t) [N.m]
τr =∫MGdθ
[J]
Elétrica i(t) [A]
V(t) [V]
C
[F] 1/R [Ω]
1/L [H]
q=CV = C = i(t) [A]
τ = ∫fdx=∫Pdt
[J]
24
Mec. Trans.
∫fdt=I=ΔQ ∫vdt=Δx [m]
P = fv [W]
T =½mv2
[J]
V =½kx2 [J]
Pd =bv2
[W]
Mec. Rot.
∫MGdt=ΔH ∫ωdt=Δθ [rad]
Pr = MGω
[W]
T =½JGω2
[J]
T Vr=½Kθ2
[J]
Pd =Bω2
[W]
Elétrica ∫idt=Δq [C]
∫Vdt=Δλ [Web]
P =iV [W]
T =½CV2
[J]
T =λ2 /(2L)
[J]
Pd =(1/R) V2
=Ri2 [W]
Q
H
q
ω
ATRAVÉS ENTRE
V
Circuitos análogos
Para construir os circuitos elétricos análogos aos circuitos mecânicos, nesta analogia, observamos as velocidades (tensões) e deslocamentos entre os elementos mecânicos. Nesta analogia, as massas aparecem sempre aterradas, pois o movimento da massa é sempre relativo ao referencial inercial.
Vamos partir do sistema mecânico básico: massa, mola amortecedor:
25
M
f(t)
b k
M x, v
Referencial fixo
1. observamos que há um referencial fixo, que corresponderá ao referencial nulo no circuito mecânico.
2. há uma fonte de força aplicada à massa.(a força eleva o potencial da massa)
3. a massa é ligada ao referencial fixo por uma mola, portanto uma extremidade da mola tem o mesmo deslocamento da massa e a outra extremidade o deslocamento do referencial fixo (nulo).
4. a massa também se liga ao referencial fixo pelo amortecedor, portanto uma extremidade do amortecedor tem a mesma velocidade da massa e a outra a mesma velocidade do referencial fixo (velocidade nula).
5. Portanto, temos o seguinte circuito mecânico:
26
Circuitos análogos
27
k f(t)
a
Circuitos análogos
M b f(t)=fM+fk+fb
Utilizando as analogias mecânica/elétrica, substituímos força por corrente, velocidade por tensão, massa por capacitor, amortecedor por resistência e mola pelo indutor, obtendo o circuito elétrico:
fM fb fk
Referencial fixo
28
L i(t)
a
Circuitos análogos
C i(t)=ic+ik+iL
Resolvemos o circuito elétrico, obtendo as equações elétricas equivalentes:
ic ik iR
R
)(.11
C
:usual notaçãoa usando
)(11
tidtVaL
VaR
aV
tiCDLDR
Va
Circuitos análogos Enfim, usando a tabela de analogias obtemos as
equações do sistema mecânico:
29
)(
)(
tfkxxbxM
tfvdtkbvdt
dvM
Mec. Trans.
f(t) [N]
v(t) [m/s]
m [kg]
b k Q=mv =ma =f(t)
[N]
τ = ∫fdx= ∫Pdt
[J]
Elétrica i(t) [A]
V(t) [V]
C
[F] 1/R [Ω]
1/L [H]
q=CV = C = i(t) [A]
τ = ∫fdx=∫Pdt
[J]
𝐶𝑉 𝑎+1
𝑅𝑉𝑎 +
1
𝐿 𝑉𝑎𝑑𝑡 = 𝑖(𝑡)