COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA
É com grande satisfação que, se comparada com os anos anteriores, constatamos que a prova de matemática estátecnicamente melhor. Enunciados impecáveis, nível das questões estratificado, considerando ser uma prova de 1ª fase.
A registrar a ausência de temas clássicos do ensino médio, como matrizes e determinantes, polinômios e equaçõesalgébricas, logaritimos e sistemas de equações, dentre outros. Creditamos grande parte dessas ausências ao númeropequeno de questões de cada matéria na primeira fase.
Parabenizamos a comissão organizadora.
Resolução:
Se 48% da população (P) são homens (H), então 52% da população são mulheres (M). Ou seja,
48%P = H e 52%P = M
O número de canhotos é 11% H + 9%M, logo:
11%.(48%P) = 5,28% P são homens canhotos e 9%.(52%P) = 4,68% P são mulheres canhotas.
O número de canhotos é 5,28% P + 4,68% P = 9,96% P.
Portanto, 9,96% da população é canhoto.
Resolução:
Supondo que os dentes de cada engrenagem sejam do mesmo tamanho e se encaixem perfeitamente, observa-se que aprimeira delas realiza uma volta completa a cada giro de 7 dentes; a segunda, a cada giro de 20 dentes; e a terceira, a cadagiro de 30 dentes. Para que ocorra novamente um realinhamento das quatro flechas é necessário e suficiente que cada umadas rodas realize um número inteiro de voltas. Isto ocorrerá se a quantidade de dentes girados em cada roda for igual a umnúmero natural que seja múltiplo simultâneo de 7, 20 e 30. Logo, o número mínimo de voltas pode ser obtido pelo mínimomúltiplo comum dos números 7, 20 e 30, ou seja:
m.m.c {7; 20; 30} = 7 . 2 . 3 . 10 = 420
Desta forma, em um giro de 420 dentes, a menor das engrenagens deve realizar4207
= 60 voltas.
1 MATEMÁTICA
Resolução:
Seja P a probabilidade de que os dois cartuchos, escolhidos ao acaso, tenham cores distintas. A probabilidade de que osdois cartuchos tenham cores distintas é igual à probabilidade de se escolher um primeiro cartucho qualquer, multiplicadapela probabilidade de se escolher um segundo cartucho que tenha uma cor diferente da cor do primeiro. Logo:
P =88
67
67
. �
Resolução:
Se a reta é tangente à circunferência, a distância do centro da circunferência à reta é igual à medida do raio desta circunfe-rência.
Reta: 2x – y + 2 = 0
Centro: C(0, 0)
Distância do centro à reta: d =2 0 1 0 2
2 12 2
. .
( )
� �
� �
=2
5
5
5
2 55
. �
Logo, a medida do raio é igual a2 5
5.
2 MATEMÁTICA
Resolução:
Suponha-se que o ângulo de visão do motorista seja dado em graus e a velocidade em km/h.
Assim, tem-se:
A = k . v + b
100o = k . 40 + b (I)
30o = k . 120 + b (II)
Efetuando-se (II) – (I), tem-se:
80k = –70 � k = –7080
= –78
Substituindo-se em (I), tem-se:
100 = –78
. 40 + b � b = 135
Desta forma, tem-se:
A = –78
. v + 135
Para v = 64, tem-se:
A = –78
. 64 + 135 � A = 79
Portanto, para uma velocidade de 64km/h, o ângulo de visão é igual a 79o.
3 MATEMÁTICA
Resolução:
O revestimento do interior do tanque deve ser suficiente para pintar, com tinta anticorrosiva, uma área equivalente à árealateral de um cilindro de raio igual a 1m e altura 6m, e uma superfície esférica de raio 1m. Assim, a área a ser pintada, repre-sentada por S, é dada por:
S = 2�Rh + 4�R2
S = 2�R . (h + 2R)
S � 2 . 3,14 . 1 . (6 + 2 . 1)
S � 50,24
Para calcular o número mínimo de latas de tinta, basta considerar que cada lata pode revestir 8 m2:50 24
8,
= 6,28
O resultado obtido indica que 6 latas de tinta são insuficientes para se revestir o interior do tanque.
Logo, o número mínimo de latas de tinta é igual a 7.
4 MATEMÁTICA
Resolução:
Para que ambos os pistões estejam na mesma profundidade, é necessário e suficiente que H1 = H2:
12cos(2�t/60) = 12sen(2�t/60)
Dividindo ambos os membros da equação anterior por 12cos(2�t/60), tem-se:
1 = tg(2�t/60)260�t
=�
4+ k� , em que k é um número inteiro
Multiplicando-se todos termos da equação por602�
, tem-se:
t = 7,5 + 30k
Atribuindo-se valores inteiros para k obtém-se diferentes instantes de tempo para os quais ambos os pistões ficam com amesma altura. O menor tempo é obtido quando k = 0:
t = 7,5 + 30 . 0
t = 7,5
Portanto, desde o acionamento do motor os pistões estarão à mesma profundidade após 7,5 milissegundos.
5 MATEMÁTICA
Resolução:
Vamos supor que as abscissas dos pontos para os quais o perímetro do retângulo seja máximo sejam representadas por k e–k. Substituindo x = k e x = –k na equação da parábola, obtém-se y = 4 – k2 em ambos os casos. Assim, o retângulo tembase de medida 2k e altura de medida (4 – k2), de modo que o perímetro do retângulo, representado por L, é dado por:
L = 2k + 2k + (4 – k2) + (4 – k2)L = –2k2 + 4k + 8
O perímetro máximo do retângulo é a ordenada do vértice da parábola representada pela última equação. Assim, o períme-tro máximo é dado por:
yv = –�
4a
yv = –[ . ( ) . ]
. ( )4 4 2 8
4 2
2� �
�
yv = 10
Portanto, o perímetro máximo é igual a 10.
6 MATEMÁTICA
Resolução:Observe a próxima ilustração:
Supondo que as faces das paredes nas quais as escadas são apoiadas sejam verticais, observe a próxima figura:
Utilizando-se o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos de hipotenusas 3 e 4, respectivamente, tem-se:
32 = (2,4)2 + (h1)2 � h1 = 1,8
42 = (2,4)2 + (h2)2 � h2 = 3,2Da semelhança entre os triângulos com bases nas faces das paredes e das propriedades da proporção, tem-se:
h
a
h
a1
1
2
2�
1,8a
3,2a
1,8 3,2a a
5,02,41 2 1 2
� ��
�� � a1 = 0,864 e a2 = 1,536
Da semelhança entre os triângulos retângulos de alturas h e h1, tem-se:hh
a
a a1
2
1 2�
�
h1,8
1,5362,4
� � h = 1,152
Logo, a altura h, do ponto onde as escadas se tocam, em relação ao chão, é de aproximadamente 1,15m.
7 MATEMÁTICA
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