Practica No. 9:
Coeficiente de Restitución.
Autores:
Hernández Alejandre Francisco
López Lugo Víctor Hugo
Pantoja Arcos Luis Eduardo
Practica No. 9:
Coeficiente de Restitución.
Autores:
Aguilera Verdugo Jose de Jesus
Hernández Alejandre Francisco
López Lugo Víctor Hugo
Pantoja Arcos Luis Eduardo
Resumen
El objetivo del trabajo es poder encontrar el coeficiente de restitución de una pelota, determinar sus alturas conforme va rebotando usando ese coeficiente, encontrar la velocidad, la perdida de energía y el tiempo que le toma llegar a las diferentes alturas. El método experimental utilizado fue una grabación con cámara en inmóvil sobre un tripie a la pelota rebotando sobre una mesa en un movimiento de caída libre lo mas recto posible. Comparamos su caída con una regla de 1 metros en posición vertical y una marca de cinta adhesiva en el fondo. Los resultados obtenidos fueron útiles pues se tuvo una excelente comparación usando los videos y fueron resultados esperados.
Introducción
El objetivo de este experimento es comprobar la acción del coeficiente de restitución, su valor y la variación de las alturas durante el movimiento, la velocidad, la perdida de energía que se da durante el movimiento utilizando la gravedad, el tiempo que le toma llegar a cada una de las diferentes alturas, usando una fricción muy pequeña con el aire, 1 cuerpos, 1 cámara y 1 regla como apoyo.
Este experimento fue realizado anteriormente por Newton, aunque no con el mismo procedimiento. Esto determino el coeficiente de fricción y su relación con diferentes cuerpos.
Se define como coeficiente de restitución (e) al módulo del cociente entre las velocidades relativas antes y después del choque. Se ha encontrado experimentalmente que en una colisión frontal de dos esferas solidas como las que experimentan las bolas de billar, las velocidades después del choque están relacionadas con las velocidades antes del choque. Para choques en una dimensión la relación es:
e=−(u1−u2 )v1−v2
Este coeficiente da cuenta del porcentaje de deformación permanente de los cuerpos a causa del evento que varia entre 0 y 1. Esta relación fue propuesta por Newton y tiene validez solamente aproximada. El valor de 1 es para un choque perfectamente elástico y el valor de 0 es para un choque perfectamente inelástico.
Cuando hay un rebote de una pelota sobre una superficie rígida, la componente de la velocidad perpendicular al tablero disminuye, quedando la componente paralela constante, o sea
vx=ux
v y=−eu y
1
Alturas de los sucesivos rebotes
Supongamos que una pelota se deja caer desde una altura inicial h. Vamos a calcular las alturas de los sucesivos rebotes.
2
1 Figura 1. Representación grafica del rebote de una pelota con sus componentes de velocidad.2 Figura 2. Representación grafica de las alturas que obtiene la pelota al rebotar conforme pasa el tiempo.
(2)
(3)
1.-Primer rebote
La velocidad de la pelota antes del choque con el suelo se calcula aplicando el principio de conservación de la energía
La velocidad de la pelota después del choque es (en módulo) v1=e·u1
La pelota asciende con una velocidad inicial v1, y alcanza una altura máxima h1 que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía y usando la ecuación anterior
2.-Segundo rebote
La velocidad de la pelota antes del choque con el suelo se calcula aplicando el principio de conservación de la energía
La velocidad de la pelota después del choque es v2=e·u2
La pelota asciende con una velocidad inicial v2, y alcanza una altura máxima h2 que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía y sustituyendo la ecuación anterior y la anterior a esa
3.-Rebote n
Después del choque n, la altura máxima que alcanza la pelota es, por generalización:
hn=e2nh
Pérdida de energía que experimenta la pelota
1. En el primer choque, la pelota pierde una energía
2. En el segundo choque, la pelota pierde una energía
Que obtenemos de sustituir la ecuación anterior en esta.
3. En el choque n la pelota pierde una energía
La suma de ΔE1+ ΔE2+ ΔE3+…. ΔEn es la energía perdida por la pelota después de n choques. Después de infinitos choques la pelota habrá perdido toda su energía inicial mgh. Vamos a comprobarlo sumando los infinitos términos de una progresión geométrica de razón e2 y cuyo primer término es ΔE1
Tiempo que tarda la pelota en pararse.
1. El tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo cuando se deja caer desde una altura h partiendo del reposo es
Usando las ecuaciones de caída libre con y0=0
2. La pelota rebota y sube hasta una altura h1, a continuación cae de nuevo al suelo. El tiempo que tarda en subir y bajar es
(5)
Sustituyendo la ecuación anterior en esta
3. La pelota rebota y sube hasta una altura h2, y a continuación cae de nuevo al suelo. El tiempo que tarda en subir y bajar es
El tiempo total tras infinitos rebotes es la suma de t0 y los términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 2t0e y cuya razón es e.
Si a la pelota se le proporciona una velocidad inicial horizontal vx. Después de infinitos rebotes se desplaza una distancia horizontal
x=vx·t∞
Pues como vimos en la ecuación (2) la componente horizontal se ve inalterada a lo largo del proceso.
Medida del coeficiente de restitución e y la aceleración de la gravedad g .
El tiempo tn que pasa la pelota en el aire entre dos sucesivos choques con el suelo es
Tomando logaritmos
Ln tn=n *ln e+ ln (2t0)
(6)
(7)
Si representamos gráficamente ln tn en función de n obtenemos una línea recta, cuya pendiente es el coeficiente de restitución e, y cuya ordenada en el origen es ln(2t0)
Midiendo la ordenada en el origen obtenemos 2t0
Conocida la altura h a la que se ha dejado caer inicialmente a la pelota despejamos la aceleración de la gravedad g.
La ecuación señalada con la flecha sin relleno (1) será la que utilicemos en este experimento para determinar el coeficiente de restitución comparándola con el resultado de la ecuación (7) al menos 1 vez para que veamos la igualdad. La ecuación señalada con la flecha rellenada (4) será la que utilicemos en este experimento para determinar las alturas. La ecuación (5) será la usada para determinar la perdida de energía en los rebotes y la ecuación (6) será la que utilicemos para determinar el tiempo que le toma subir y bajar conforme va rebotando y perdiendo energía. Nos referiremos a la ecuación (1) como “.del coeficiente de restitución”
3 Figura 3. Representación grafica de los valores del tiempo con respecto a los rebotes. En esta intervienen el tiempo inicial y el coeficiente de restitución.
(8)
Desarrollo Experimental
Descripción del dispositivo experimental
El equipo utilizado en la práctica fue el siguiente:
Explicación clara y detallada del método que se siguió para efectuar las
mediciones
Las mediciones se realizaron al grabar la caída y los rebotes de la pelota contra
la mesa y usar la regla de 1 metros sujeta a mano como referencia a la hora de
analizar los videos con el Tracker.
Primero colocamos la regla hasta que quedara en la posición mas conveniente
y clara para su manejo y grabación. Luego se coloco la marca en el fondo (sobre
la cortina) de cinta adhesiva para usarla de referencia esta estando a 45cm sobre
la regla. Luego se enfoco la cámara sobre el tripie para que abarcara el mayor
espacio posible y tuviera buen ángulo de iluminación. El último preparativo fue
colocar la pelota en la altura inicial marcada para dejarla caer al comenzar las
grabaciones. Se realizaron 8 grabaciones cada una sin cambios voluntarios con
respecto a las anteriores, fue el mismo suceso grabado varias veces, así que los
únicos cambios que se dieron se deben a los agentes externos y al mal pulso.
Por ultimo solo se copiaron las grabaciones en la computadora para que fueran
analizadas.
1 regla de 1mde largo de madera utilizada como referencia para la
medición de las alturas
1 pelota de pin pong de plástico y 50gr de masa que es la que dejamos rebotar para medir el coeficiente de
restitución
1 cámara digital utilizada para grabar videos sin movimiento que tiene un retraso de 2s desde el momento en que se presiona el disparador para
comenzar a grabar.
1 marca de cinta adhesiva pegada a al fondo de la grabación cono
referencia de la distancia de la marca a la regla y el lugar de donde
comienza a caer la pelota
1 tripie para apoyar la cámara.
En este experimento la pelota caía debido a la gravedad y rebotaba por la
fuerza normal ejercida por la mesa siendo estos 2 factores el primero constante y
el segundo variable con cada altura; el primero es considerado independiente del
análisis al igual que la resistencia del aire, la altura inicial, el coeficiente de
fricción(pues la velocidad inicial es la misma en todos los casos y la velocidad de
la mesa siempre es 0) y las pequeñas variaciones de inclinación de la regla debido
al mal pulso. Las otras variables a considerar, las dependientes, son la perdida de
energía, el tiempo de subida, las alturas y las velocidades pues estas dependen
de la altura inicial y la velocidad inicial al igual que el coeficiente de fricción. La
cámara permanece inmóvil de su posición original durante todas las grabaciones
así que no hay cambio de coordenadas o movimientos que afecten el análisis.
Ecuaciones relacionadas con el tratamiento que se dará a los datos
experimentales
La ecuaciones que se necesitan son las ecuaciones (1)-(7), (4), (5) y (6)
e=| v1−v 2−(u1−u2 )|ln t n=n∗ln e+ln (2t 0)
hn=e2nh
Donde e es el coeficiente de restitución de la pelota con respecto a la mesa, v1
y v2 son las velocidades de la pelota y la mesa respectivamente. To y tn son el
tiempo inicial y tiempo de algún rebote respectivamente. ΔEn es la energía perdida
en el rebote n y h y hn son la altura inicial y la altura de algún otro rebote
respectivamente. De estas ecuaciones podemos saber que e nunca es mayor que
(1)
(6)
(5)
(4)
1 ni menor que 0 pues no se le esta dando algún impulso para que las velocidades
finales sean mayores que las iniciales por lo que, a lo mas, son iguales, y no es
negativo pues no rebota y se sigue para abajo, a lo menos, se detiene. Otra
observación es que los tiempos de subida van siendo menores conforme va
rebotando pues se esta multiplicando por el coeficiente de restitución y, a lo
menos (si e=1), el tiempo de subida es el doble que el del inicio. El mismo
argumento se puede utilizar para ver que las alturas van disminuyendo o
igualándose y para la perdida de energía que, a lo mas, es 0 con e=1 o e=0.
Resultados
Los resultados de las grabaciones obtenidos después de haberlos analizado
con el Tracker y haber usado la ecuación (1) son:
Grabación 1T h Vy K
0 1.59545455
0.034 1.59707658 0.05739451 0.00349943
0.067 1.59929998 0.02304693 5.98E-04
0.1 1.59859768 -0.15559521 0.01433163
0.134 1.5888751 -0.49097308 0.12682085
0.167 1.56570248 -0.84173635 0.36294819
0.2 1.5333205 -1.13583157 0.65546165
0.233 1.4907376 -1.44998443 1.05767048
0.267 1.43617154 -1.81068152 1.64254948
0.3 1.36942193 -2.17287506 2.36474835
0.334 1.29058891 -2.55043718 3.25962304
0.367 1.19854264 -2.95544646 4.37188525
0.4 1.09552945 -3.33310295 5.55696146
0.433 0.97855785 -3.63124242 6.59518343
0.467 0.85223621 -4.11440725 8.4683333
0.5 0.70289256 -4.39380545 9.65276327
0.534 0.55785124 -4.49611447 10.1136848
0.567 0.40165289 -5.74755823 16.5235631
0.6 0.1785124 -5.5507586 15.4116227
0.634 0.02975207 -1.11015172 0.62238061
0.667 0.10413223 4.73328325 11.2273865
0.7 0.34214876 5.29676935 14.0294703
0.733 0.45371901 3.60799309 6.52267199
0.767 0.5838843 3.66350068 6.76607827
0.8 0.69917355 2.8174305 3.99435865
0.833 0.76983471 2.66436413 3.55558029
0.867 0.87768595 2.33131861 2.74217198
0.9 0.92603306 1.66522758 1.41114019
0.934 0.9892562 1.55421241 1.23243684
0.967 1.03016529 1.18332081 0.75727706
1 1.06735537 0.88812138 0.4082447
1.034 1.08966942 0.3885531 0.08935167
1.067 1.09338843 0.05634861 0.02698891
1.1 1.09338843 -0.27753793 0.0400542
1.134 1.07479339 -0.7771062 0.30348757
1.167 1.04132231 -1.07062359 0.59851876
1.2 1.00413223 -1.34168513 0.9617619
1.233 0.9527711 -1.71832224 1.48260422
1.267 0.88900464 -2.06487361 2.13767146
1.3 0.81442456 -2.47410948 3.0675544
1.333 0.72571342 -2.81877722 3.97813267
1.367 0.62556649 -2.64242462 3.49415276
1.4 0.54867097 -3.03757316 4.61562526
1.434 0.42204909 -4.69214098 11.0084718
1.467 0.23429752 -4.76057345 11.3339775
1.5 0.10785124 -2.88639447 4.16717708
1.534 0.04090909 1.11015172 0.67167808
1.567 0.1822314 4.05709992 8.33163521
1.6 0.30867769 3.26754661 5.39715673
1.634 0.40115703 2.73878831 3.80479172
1.667 0.4921765 2.59060354 3.4093334
1.7 0.57213686 2.13873129 2.33846081
1.733 0.63333277 1.65921553 1.41889777
1.767 0.6833043 1.3352614 0.93093025
1.8 0.72279528 0.93878348 0.4800737
1.833 0.74526401 0.50329372 0.16271872
1.867 0.75651596 0.1633728 0.04698626
1.9 0.75620999 -0.18232702 0.0474049
1.934 0.74430005 -0.5279613 0.17032409
1.967 0.72083658 -0.9000322 0.44471454
2 0.68489793 -1.24331331 0.80947475
2.034 0.63753459 -1.59831352 1.31073927
2.067 0.57781092 -1.9744281 1.97552089
2.1 0.50722234 -2.22481895 2.4879633
2.134 0.42874805 -2.58782933 3.35702071
2.167 0.33383777 -3.04527664 4.64403624
2.2 0.22775979 -3.35438232 5.63108767
2.233 0.11244854 -2.75872629 3.80828877
2.267 0.04292513 0.18665173 0.03406144
2.3 0.1249542 2.73307272 3.79266591
2.333 0.22330793 2.78248481 3.94070758
2.367 0.31138068 2.37752718 2.89401835
2.4 0.38260225 1.92247776 1.91063447
2.434 0.4401867 1.53163057 1.2343376
2.467 0.4852215 1.14926047 0.71156246
2.5 0.51603789 0.7377223 0.31656272
2.534 0.53464889 0.35242255 0.11609715
2.567 0.5396502 -0.01401893 0.05810754
2.6 0.53372364
Grabación 2
t H Vy K
0 1.63076923
0.033 1.63078332 9.94E-04 6.18E-07
0.066 1.63083487 0.00314584 5.03E-06
0.099 1.63099095 -0.04714042 0.00111634
0.133 1.62767646 -0.19714875 0.01952345
0.166 1.61778198 -0.45257806 0.10253527
0.2 1.59735373 -0.77772465 0.3029551
0.233 1.56567443 -1.12654243 0.63724992
0.266 1.52300193 -1.40338632 0.98836402
0.3 1.47164755 -1.72193374 1.48696124
0.333 1.40763237 -2.05116311 2.11018798
0.366 1.33627078 -2.43225718 2.96599468
0.399 1.24710339 -2.80213452 3.93459988
0.433 1.14852777 -3.17450702 5.04780327
0.466 1.03441142 -3.62057421 6.56912503
0.5 0.9059493 -4.07858805 8.33715771
0.533 0.76114602 -4.65083563 10.8350431
0.566 0.59899414 -5.13783939 13.2213732
0.599 0.42204862 -5.67165837 16.112124
0.633 0.21899303 -5.45178139 14.8931806
0.666 0.05677927 0.2072995 0.02481967
0.7 0.2328821 4.95836742 12.2948791
0.733 0.38898989 4.41286638 9.7377655
0.766 0.52413128 3.89851006 7.59998232
0.8 0.65019006 3.42547041 5.86720006
0.833 0.7536378 2.92991525 4.29239256
0.866 0.84356447 2.48866657 3.09677976
0.899 0.91788979 1.98467982 1.96951327
0.933 0.97653802 1.55840577 1.21446949
0.966 1.02230298 1.1969214 0.71651928
1 1.05673175 0.85242023 0.36432389
1.033 1.07941513 0.50416481 0.12933401
1.066 1.09000663 0.1348379 0.01114852
1.099 1.08831443 -0.20271819 0.02316652
1.133 1.07642451 -0.54800495 0.15306874
1.166 1.0515981 -0.91079431 0.41827753
1.2 1.01540129 -1.25291747 0.79056974
1.233 0.96765263 -1.63390176 1.34248332
1.266 0.90756377 -1.99845756 2.00482463
1.3 0.83375598 -2.38605573 2.85430608
1.333 0.74769804 -2.79730628 3.9206364
1.366 0.64913376 -3.18623778 5.08460731
1.399 0.53740635 -3.5762281 6.40523508
1.433 0.40952648 -4.00368742 8.02305422
1.466 0.26915929 -4.33953711 9.42232315
1.5 0.11877749 -2.03540938 2.07670681
1.533 0.13278686 2.1822003 2.38212401
1.566 0.26280271 3.74487075 7.01204985
1.599 0.37994833 3.26905468 5.34335964
1.633 0.48182938 2.80196832 3.9255696
1.666 0.56768021 2.32159112 2.69494651
1.7 0.63737598 1.85424511 1.71927819
1.733 0.69191463 1.5150669 1.1485436
1.766 0.7373704 1.13152333 0.64151077
1.8 0.76772669 0.74251725 0.27750707
1.833 0.78711905 0.38332002 0.0759861
1.866 0.79302581 0.02979088 0.00338246
1.899 0.78908525 -0.32654243 0.05669669
1.933 0.77114747 -0.71466333 0.26151325
1.966 0.74120281 -1.08934583 0.60182015
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Grabación 3
t H Vy K
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Grabacion4
t H Vy K
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Grabación 5t H Vy K
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Grabacion1.5
t H Vy K
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Grabación 7
t H Vy K
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0.3 1.46995995 -2.42039809 2.94439259
0.333 1.38134087 -2.88280684 4.18070651
0.366 1.2796947 -3.21963586 5.2138529
0.4 1.16562527 -3.67021257 6.76809017
0.433 1.03379046 -4.1115508 8.48709426
0.467 0.89015136 -4.62501229 10.7375558
0.5 0.72391463 -5.18599 13.4947195
0.533 0.54787602 -5.41542974 14.7017772
0.567 0.36108084 -5.92679096 17.6047717
0.6 0.15078103 -5.38268684 14.5228792
0.633 0.00582351 -0.39928664 0.08197779
0.667 0.12402882 4.90676673 12.0431318
0.7 0.33457688 5.40909699 14.6353898
0.733 0.48102922 4.42489579 9.79512216
0.766 0.62662 4.07071973 8.28911649
0.8 0.75376745 3.57684824 6.39971923
0.833 0.86626883 3.13915352 4.93266602
0.866 0.96095158 2.58950805 3.35768391
0.9 1.03976587 2.11144567 2.23043609
0.933 1.10241844 1.65659445 1.37269202
0.967 1.1507577 1.22867919 0.75512568
1 1.18473994 0.8118243 0.32954307
1.033 1.2043381 0.40137139 0.08072845
1.066 1.21123046 0.01034293 1.40E-04
1.1 1.20503108 -0.40052964 0.08046237
1.133 1.18439497 -0.81515934 0.33315496
1.167 1.1504154 -1.2056557 0.72975209
1.2 1.10361604 -1.64414082 1.35543977
1.233 1.04190211 -2.08624863 2.18041944
1.266 0.96592363 -2.47790848 3.0781072
1.3 0.87588224 -2.88286651 4.16892682
1.333 0.77277157 -3.28041069 5.39235608
1.367 0.65609473 -3.69303787 6.83155479
1.4 0.52533804 -4.14545144 8.61152195
1.433 0.38249493 -4.49282374 10.1116972
1.467 0.22431885 -4.84533242 11.7495419
1.5 0.05785766 -3.09280771 4.78558747
1.533 0.02019354 1.79492206 1.615712
1.566 0.17632252 5.20951094 13.6162375
1.6 0.36923077 3.81784016 7.32080157
1.633 0.43211781 2.41284006 2.93319632
1.667 0.53089105 2.87091387 4.15128591
1.7 0.62446904 2.55738541 3.2921159
1.733 0.69967849 2.02318751 2.06962032
1.766 0.75799941 1.55124012 1.22213242
1.8 0.80361158 1.14521878 0.66979292
1.833 0.83472907 0.6885865 0.24977715
1.867 0.84974687 0.26791615 0.05155912
1.9 0.85267945 -0.13631 0.02424706
1.933 0.84075041 -0.58602702 0.1855474
1.967 0.81341564 -0.98425836 0.49646932
2 0.7748051 -1.39502943 0.98351336
2.033 0.7213437 -1.84493341 1.71029077
2.066 0.6530395 -2.23858995 2.51087882
2.1 0.57135817 -2.6218855 3.44274659
2.133 0.47737317 -3.02143475 4.56755484
2.167 0.36892204 -3.40054232 5.78419382
2.2 0.24953683 -3.83312887 7.34839256
2.233 0.11593554 -3.64061848 6.62735636
2.266 0.00925601 -0.46151064 0.11749575
2.3 0.08501432 2.9150957 4.31499789
2.333 0.20456743 3.32724029 5.62046815
2.367 0.30793942 2.88260032 4.22133556
2.4 0.39770165 2.46664965 3.10831778
2.433 0.4707383 1.94027102 1.94458324
2.467 0.52769981 1.51678813 1.20471069
2.5 0.57236311 1.10900615 0.66861391
2.533 0.60089421 0.6378695 0.25611526
2.566 0.61446249 0.23273139 0.07463823
2.6 0.61648722 -0.14733308 0.05423265
2.633 0.60459118 -0.59176828 0.22370458
2.667 0.57683874 -1.04110742 0.59690465
2.7 0.53483698 -1.44119979 1.09289302
2.733 0.48171956 -1.82288697 1.70231406
2.766 0.41452644 -2.19398073 2.42272012
2.8 0.33472285 -2.52760309 3.19719999
2.833 0.24517703 -2.470031 3.07895692
2.867 0.16923077 -3.56043651 6.37909712
2.9 0.00662779 -1.57342657 1.23953358
2.933 0.06538462
Grabación 8
t H Vy K
0 1.63264463
0.033 1.63311465 0.01526319 0.00157339
0.066 1.633652 0.04030885 0.00304201
0.1 1.63581535 -8.84E-04 2.32E-04
0.133 1.63359274 -0.10977573 0.00698997
0.166 1.62857015 -0.27649653 0.04017628
0.199 1.61534397 -0.54296067 0.14959855
0.233 1.59219179 -0.85186151 0.36862283
0.266 1.55826925 -1.20524511 0.73618925
0.299 1.51264561 -1.62287577 1.33092
0.333 1.44953657 -2.04086973 2.10253495
0.366 1.37590734 -2.39241763 2.88817571
0.4 1.28924459 -2.74515294 3.79962158
0.433 1.19198209 -3.17808987 5.08506549
0.466 1.07949066 -3.61077823 6.56352121
0.499 0.95367073 -3.48172413 6.10342772
0.533 0.84621514 -3.47000263 6.05330452
0.566 0.72118055 -4.38594413 9.66712975
0.6 0.55235688 -5.31106373 14.1630881
0.633 0.36533928 -5.92577506 17.6166392
0.666 0.16125573 -4.21582661 8.91789458
0.699 0.08709472 0.87283807 0.38176703
0.733 0.21973588 4.89190374 11.9983537
0.766 0.41485227 4.36939173 9.57247711
0.8 0.51248513 3.10178273 4.83125547
0.833 0.62267172 3.36697164 5.69756298
0.866 0.73470525 3.1243399 4.90733142
0.9 0.83200249 2.64623206 3.52455064
0.933 0.9120028 2.2384529 2.52519102
0.966 0.97974038 1.8097005 1.65475893
0.999 1.03144303 1.35335882 0.93077187
1.033 1.07041542 0.94272692 0.45537192
1.066 1.09460574 0.51908104 0.14330869
1.1 1.10519385 0.13154177 0.01630535
1.133 1.10341904 -0.22148619 0.03032509
1.166 1.09057576 -0.58112825 0.1720028
1.199 1.06506457 -0.98154096 0.48427891
1.233 1.02481252 -1.39083101 0.9685817
1.266 0.9718789 -1.77510818 1.57570176
1.3 0.90588027 -2.22484867 2.47498241
1.333 0.82281403 -2.67657225 3.58202316
1.366 0.7292265 -2.97393649 4.4222252
1.4 0.62356029 -3.32418939 5.52537877
1.433 0.50650581 -3.67621861 6.75796147
1.466 0.38092986 -3.9576626 7.83262547
1.499 0.24530008 -3.79882752 7.21622852
1.533 0.12640842 -3.11638221 4.8559645
1.566 0.03650247 0.55564099 0.16084635
1.6 0.16363636 4.61412425 10.6725816
1.633 0.3456488 3.93813838 7.7747892
1.666 0.4235535 2.62038149 3.44348739
1.699 0.51859398 2.62139072 3.44519001
1.733 0.59918668 2.22083011 2.47453072
1.766 0.6673896 1.82550541 1.67444075
1.8 0.72149554 1.39244537 0.9751506
1.833 0.76068343 0.9649582 0.47035464
1.866 0.78518278 0.51087106 0.13437168
1.9 0.7949118 0.12324206 0.01024241
1.933 0.79344 -0.23594537 0.03041725
1.966 0.7793394 -0.63232405 0.2012008
1.999 0.75170661 -1.03306064 0.53394255
2.033 0.71012434 -1.44093058 1.03820287
2.066 0.65516426 -1.83473425 1.68312643
2.1 0.58719714 -2.21383854 2.4506653
2.133 0.50683708 -2.61206502 3.41160837
2.166 0.41480085 -2.99235843 4.47732994
2.199 0.30934142 -3.34838266 5.60673272
2.233 0.19045921 -3.66987288 6.7349452
2.266 0.06345994 -2.20944103 2.44082118
2.3 0.04242667 1.44887952 1.05842227
2.333 0.16053487 3.35780471 5.6688726
2.366 0.26404178 2.85103716 4.09215003
2.4 0.35155436 2.40128024 2.90976902
2.433 0.42492755 2.02130749 2.0711508
2.466 0.48496065 1.63192838 1.3545844
2.499 0.53263483 1.17514903 0.71051638
2.533 0.56369564 0.74132558 0.29284947
2.566 0.58230364 0.3533061 0.07641968
Promedio U1 U2 U3 V1 V2 V3 Vy K
1 -5.7475582 -4.7605734 -3.3543823 5.29676935 4.05709992 2.78248481 -0.411783 3.2914931
1.1 -5.4517814 -4.3395371 -3.7074101 4.95836742 3.74487075 3.4732876 -3.45E-01 2.66E+00
1.2 -7.0438785 -5.4740603 -3.5167422 7.76768332 4.20948617 3.3201581 -0.4365711 4.06E+00
1.3 -5.5672482 -4.0125445 -3.6422711 4.42341829 4.70723307 3.88330013 -0.4504032 3.31013552
1.4 -5.1749449 -4.4709389 -3.2557018 4.78957671 4.01884023 2.8627355 -0.4369237 3.06570705
1.5 -7.0407664 -4.7439577 -3.63806 6.06895954 3.82158958 3.15680874 -0.3945602 3.26E+00
1.6 -5.926791 -4.8453324 -3.8331289 5.40909699 5.20951094 3.32724029 -0.5807198 3.9003821
1.7 -5.9257751 -3.957663 -3.6698729 4.89190374 4.61412425 3.35780471 -0.4499749 2.86470895
Total -5.984843 -4.5755759 -3.5771961 5.45072192 4.29784436 3.27047749 -0.4381932 3.30120775
La última fila muestra el promedio de la velocidad inicial y final de cada rebote
junto con la velocidad en general y la energía cinética.
El promedio total de la velocidad fue: -0.4381932
2.599 0.58701384 -0.03731274 0.01107002
2.633 0.57980369 -0.41200084 0.09393625
2.666 0.55940978 -0.78497907 0.3152615
2.7 0.52721009 -1.17521545 0.69678868
2.733 0.48067035 -1.59527704 1.27881731
2.766 0.4219218 -1.95638277 1.91906321
2.8 0.3495927 -2.31076187 2.67414513
2.833 0.26710076 -2.67646855 3.58294778
2.866 0.17294578 -2.94692036 4.34245052
2.9 0.06965709 -1.94939727 1.90017511
2.933 0.04233616 0.98518011 0.4909965
2.966 0.13467898 2.62870804 3.47182875
2.999 0.21583089 2.06642566 2.14608189
3.033 0.2731295 1.47506015 1.09193917
3.066 0.31465992 1.08095714 0.58637915
3.099 0.34447267 0.66963805 0.22581612
3.133 0.35952567 0.26326335 0.03549047
3.166 0.36211132 -0.11036786 0.00668365
3.2 0.35213102 -0.51182287 0.13148803
3.233 0.32781918 -0.94144546 0.44333664
3.266 0.28999562 -1.31671663 0.86689476
3.3 0.23959917 -1.74376782 1.52036462
3.333 0.17316318 -2.20189548 2.42419442
3.366 0.09427407
El promedio total de la energía cinética fue: 3.30120775
Y también podemos ver el movimiento de la partícula en estas graficas cada
una correspondiente a cada tabla en las que lo rojo corresponde a las alturas (lo
mas estable), lo verde a la velocidad (lo que mas baja), lo azul a la energía
cinética (lo que mas sube) y la pequeña línea negra a un ajuste de recta (con
ordenada al origen b=1.21 y pendiente m= -0.37):
Ahora solo falta determinar los valores que nos habíamos planteado.
Primero el coeficiente de restitución. Para ello usaremos la ecuación (1) y lo
corroboraremos después con la ecuación (7) usando las velocidades
promedio obtenidas:
e=| v1−v 2−(u1−u2 )| Usando los promedios obtenidos para las velocidades en cada rebote, sean u la velocidad inicial y v la velocidad final, el subíndice uno el correspondiente a la pelota y el subíndice 2 al de la mesa. Entonces
e1=| v 1−0−(u1−0 )|=|v1u1|=| 5.45072192−5.98484295|=0.9107543783
e2=| 4.29784436−4.57557587|=0.9393012994
e3=| 3.27047749−3.57719613|=0.9142572482 Por lo tanto:
e promedio=e1+e2+e3
3=0.921437642
Y esta es nuestra e que afecto el cambio de velocidad en la pelota y las
diferencias de altura.
(1)
De acuerdo a las actividades añadidas en las hojas al final, también tenemos
que
Calcular la velocidad y la altura del primer y segundo rebote. Para saber la
velocidad solo hay que mirar la tabla y buscar a U1 y U2, pero para la altura
usaremos la ecuación (4), la altura inicial (que es 1.45m ya que la regla es
de 1m y la marca de inicio esta a 45cm de la regla) y nuestro coeficiente de
restitución ya obtenido.
hn=e2nh
h1=e2 (1 )h=0.9214376422∗1.45=1.231118626m
h2=e2 (2)h=0.9214376424∗1.45=1.04527798m
Y estas son las alturas a las que llego en el primer y segundo rebote
Lo siguiente en las actividades es comprobar la perdida de energía que
tiene la pelota en el primer y segundo rebote. Para ello nos apoyaremos en
la ecuación (5), sabiendo que la masa es 50gr, la altura inicial 1.45m, la
gravedad es 9.81m/s2 y nuestra e.
∆ E1=e2 (1−1) (e2−1 )mgh=1∗(0.9214376422−1 )∗.5∗9.81∗1.45=−1.073613141 J
∆ E2=e2 (2−1) (e2−1 )mgh=0.9214376422∗(0.921437642¿¿2−1)∗.5∗9.81∗1.45=−0.9115483686J ¿
Y estas son las cantidades de energía que pierde el cuerpo en su primer y
segundo rebote.
(4)
(5)
Lo penúltimo a realizar es calcular el tiempo en que tarda en subir y bajar la
pelota en la primer y segunda altura. Para ello usaremos la ecuación (6) y
tendremos que hacer una sustitución para incluir las diferentes alturas,
sustituiremos la ecuación (8) en la ecuación (6) y luego despejaremos h en
la (4) para sustituirla en la obtenida. De ahí procederemos a obtener los
tiempos.
t n=2 t0 en=√ 8hg en=√ 8hn e2ne2n g
=¿√ 8hng ¿
Y esta es la ecuación que usaremos para calcular esos tiempos
t 1=√ 8h1g =√ 8∗1.2311186269.81=1.001983202 s
t 2=√ 8h2g =√ 8∗1.045277989.81=0.923265039 s
Estos son los tiempos que le tomo subir y bajar en la altura 1 y 2.
Y por ultimo hay que determinar la aceleración de la gravedad. Para ello
podemos usar una de las ecuaciones del inciso anterior para que sea más
cómodo. Usemos t1.
g=8h1t 12 =8∗1.231118626
1.0019832022=9.81m
s2
Con esto terminamos las actividades marcadas y vimos lo diferentes valores que
influyen en el experimento. Ahora solo por deuda textual con firmaremos el valor
de e usando la ecuación (7). En esta tn es el tiempo que pasa la pelota en el aire
entre 2 rebotes y 2t0 es nuestro tiempo inicial (nótese que esta ecuación salió de
tomar el ln de la ecuación (6)). Por facilidad usemos a t1 (E=el numero e no el
coeficiente de restitución).
ln t n=n∗ln e+ln(2t 0)
ln t 1=1∗ln e+ ln(2 t 0)
ln e=ln t1−ln (2 t 0 )=ln (1.001983202 )−ln(√ 8hg )=−0.08182017422
e=E−0.08182017422=0.921437642
Que es el mismo valor que ya habíamos obtenido.
Discusión
Vemos que los resultados de las grabaciones son coherentes con lo esperado
pues lo agentes externos no causaron un cambio brusco en el movimiento de la
pelota por lo que en el sistema de referencia de la cámara, la pelota hace casi el
mismo movimiento una y otra vez. Si sustituimos en las ecuaciones que acabamos
de utilizar podemos encontrar valores para el coeficiente de restitución, las alturas
y el tiempo en el aire que son consistentes con la realidad y, en el caso del tiempo,
con los valores de la tabla.
Esto es porque los agentes externos no producen grandes cambios y porque el
movimiento de la pelota se da debido a una fuerza constante que es la de la
gravedad, además de que a pesar de no ser una colisión completamente elástica,
la mesa contra la que choca no se mueve o se deforma en gran medida cuando
aquella choca por lo que el coeficiente de restitución es diferente de 1 y este es el
que va haciendo variar la altura de la pelota junto con su velocidad con la que
sube. Un resumen de lo realizado seria:
e=| v1−v 2−(u1−u2 )|=0.921437642hn=e
2nh
h1=1.231118626m
h2=1.04527798m
∆ E1=−1.073613141J
∆ E2=−0.9115483686 J
t n=2 t0 en=√ 8hng
t 1=1.001983202 s
t 2=0.923265039 s
Las mediciones no fueron demasiado precisas por varios aspectos: primero, el mal pulso al sostener la regla y al dejar caer la pelota y; segundo, porque a pesar de la mesa no se movía había alguno hoyos en ella al igual que en la pelota por lo que sucedía que en algún choque se desviaba un poco al clavarse en los hoyos y eso alteraba la velocidad con que salía.
Conclusiones
Los resultados más importantes obtenidos fueron:
Se comprobaron las ecuaciones utilizadas para determinar el coeficiente de restitución, el tiempo en el aire, las alturas y la perdida de energía.
Se encontró la relación entre cada una de las ecuaciones por la forma en que se obtuvieron, ya que cada una era causa y consecuencia de alguna otra y
Se observo que, verticalmente, la componente horizontal de la velocidad no juega algún papel en todo esto, todo esta enfocado a la componente vertical antes y después del choque pues la componente horizontal siempre es constante.
El valor obtenido más relevante fue el coeficiente de restitución 0.921437642 pues prácticamente de este se desprenden los demás. Hubo algunos valores
extraños en cada grabación como cambios de velocidad muy radicales e incluso cambiar directo al 0 pero esto se debe a los problemas con el Tracker. Otra observación interesante en los valores obtenidos es que ni en la velocidad ni en la energía ni en la altura se vuelven a alcanzar los máximos que se obtuvieron anteriormente, esto lo podemos ver claramente en las graficas y corroborarlo en las tablas y mas que nada se debe a la perdida de energía el que la velocidad o la altura no rebasen su máximo alcanzado anteriormente y esta perdida de energía se da, a fin de cuentas, por el coeficiente de restitución.
El experimento fue bueno pues pudimos lograr los resultados mencionados y comprender mejor como es que se trabaja con el coeficiente de restitución y vimos como calcularlo y como es que afecta a otros valores y al movimiento mismo. Experimentalmente vimos los efectos del coeficiente y la importancia de fuerzas externas “constantes” pues el movimiento era casi idéntico de una grabación a la otra, solo afectado por el mal pulso y las deformaciones en la mesa.
Bibliografía
http://www.fisica-relatividad.com.ar/sistemas-inerciales/relatividad-de-galileo-1 Física para Ciencias e Ingenierías; Serway, Jewett; editorial Cengage Learning;
México 2008; Séptima edición; págs. 1113-1116