Facilitador:
Ing. Juan Medina
Ctedra de Mecnica de Fluidos
Octubre 2013
Departamento de Trmica y Energtica
Universidad de Carabobo
Semestre nico 2013
Fuerzas Hidrostticas sobre Superficies Sumergidas Facultad de Ingeniera - UC 2
Repaso de Momentos de Inercia y de rea
Fuerzas Hidrostticas sobre Superficies
Planas Sumergidas
Repaso de Momentos de Inercia y de rea
Semestre nico 2013
Momentos de Inercia y de rea Baricentro y Centro de Gravedad Momentos de Inercia y de rea Producto de Inercia Teorema de los Ejes Paralelos
Momentos de Inercia y de rea
El momento de inercia de un cuerpo es indicativo de la resistencia al giro
de dicho cuerpo respecto a un eje
Cuando consideramos el anlisis fsico de los cuerpos, es correcto hablar
del momento de inercia para representar la distribucin de la masa de un
cuerpo en rotacin respecto al eje de giro
Cuando consideramos el anlisis geomtrico de los cuerpos, es correcto
hablar del momento de rea para representar la distribucin del rea de
una superficie en rotacin respecto al eje de giro
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Repaso de Momentos de Inercia y de rea
Fuerzas Hidrostticas sobre Superficies
Planas Sumergidas
Baricentro y Centro de Gravedad
Semestre nico 2013
Momentos de Inercia y de rea Baricentro y Centro de Gravedad Momentos de Inercia y de rea Producto de Inercia Teorema de los Ejes Paralelos
La posicin del Baricentro de una superficie plana es una propiedad geomtrica
importante. El Baricentro es un punto contenido en una superficie, tal que cualquier
recta que pasa por l divide a la superficie en dos partes de igual momento
respecto a dicha recta
El Baricentro coincide con el Centro de Gravedad de un cuerpo cuando ste es
homogneo (distribucin de densidad uniforme) posee propiedades de simetra.
Las coordenadas del baricentro corresponden al Primer Momento del rea
respecto de los ejes coordenados dividido entre el rea total
dxdydAAS
dxdy
ydxdy
dA
ydAyc
dxdy
xdxdy
dA
xdAxc
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Repaso de Momentos de Inercia y de rea
Fuerzas Hidrostticas sobre Superficies
Planas Sumergidas
Baricentro y Centro de Gravedad
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Momentos de Inercia y de rea Baricentro y Centro de Gravedad Momentos de Inercia y de rea Producto de Inercia Teorema de los Ejes Paralelos
El Centro de Gravedad, a diferencia del Baricentro, es una propiedad fsica
relativa a la distribucin de la masa del cuerpo
dxdydz
dxdydzr
dm
rdmd
zyx
zyxzyx
CG
),,(
),,(),,(
Si la densidad del cuerpo es uniforme, puede demostrarse
cCG xx cCG yyy a su vez
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Repaso de Momentos de Inercia y de rea
Fuerzas Hidrostticas sobre Superficies
Planas Sumergidas
Baricentro y Centro de Gravedad
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Momentos de Inercia y de rea Baricentro y Centro de Gravedad Momentos de Inercia y de rea Producto de Inercia Teorema de los Ejes Paralelos
Para reas compuestas (por figuras simples), puede aplicarse el Teorema de
Varignon para hallar el Baricentro (y/o C.G.) de la figura compuesta
i
iic
tciicttcA
AxxAxAx
,
,,,
i
iic
tciicttcA
AyyAyAy
,
,,,
Figura Ci(x,y) Ai
),( 111 yxC
),( 222 yxC
1A
2A
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Planas Sumergidas
Momentos de Inercia y de rea
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Momentos de Inercia y de rea Baricentro y Centro de Gravedad Momentos de Inercia y de rea Producto de Inercia Teorema de los Ejes Paralelos
El momento de inercia refleja la distribucin de la masa de un cuerpo respecto a un
eje de giro (resistencia a adquirir una aceleracin angular)
El segundo momento de rea de una superficie refleja la distribucin del rea de
la superficie respecto al eje de revolucin
Una vez ms, cuando el cuerpo es homogneo (distribucin de materia, densidad,
uniforme) los momentos de inercia y de rea coinciden. Todos los momentos de
rea se calculan respecto al eje centroidal
dxdyydAyI xA22
,dxdyxdAxI yA
22
,
Si la densidad del cuerpo es uniforme, puede demostrarse
xxGxA III ,, yyGyA III ,,y a su vez
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Repaso de Momentos de Inercia y de rea
Fuerzas Hidrostticas sobre Superficies
Planas Sumergidas
Producto de Inercia
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Momentos de Inercia y de rea Baricentro y Centro de Gravedad Momentos de Inercia y de rea Producto de Inercia Teorema de los Ejes Paralelos
El producto de Inercia (de rea) se obtiene como el producto cruzado de las
coordenadas por el diferencial de rea. Cuando el rea de una figura se encuentra
en ms de un cuadrante del Sistema Coordenado Cartesiano (p.ej.), el signo del
producto de inercia depender de la distribucin de rea dentro de los cuadrantes
(si existe uno de los ejes coordenados es un eje de simetra, el producto de inercia
es nulo)
xydxdyxydAI xy
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Repaso de Momentos de Inercia y de rea
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Planas Sumergidas
Teorema de los Ejes Paralelos
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Momentos de Inercia y de rea Baricentro y Centro de Gravedad Momentos de Inercia y de rea Producto de Inercia Teorema de los Ejes Paralelos
Para relacionar los momentos de inercia centroidales (obtenidos a partir de la
definicin), con respecto a cualquier eje paralelo, simplemente se traslada la
coordenada respectiva en la definicin
dAddAydAdyI x2
1
22
1)(
AdII xx2
1
AdII yy2
2
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Repaso de Momentos de Inercia y de rea
Fuerzas Hidrostticas sobre Superficies
Planas Sumergidas
Centroides y Momentos de Inercia (Caraballo, 2010)
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Momentos de Inercia y de rea Baricentro y Centro de Gravedad Momentos de Inercia y de rea Producto de Inercia Teorema de los Ejes Paralelos
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Momentos de Inercia y de rea
Fuerzas Hidrostticas sobre Superficies
Planas Sumergidas
Consideraciones generales para clculo de Fuerzas Hidrostticas sobre Placas Sumergidas
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Consideraciones generales Magnitud de la Fuerza de Empuje Resultante Ubicacin del Centro de Presin Superficies Planas parcialmente sumergidas Teorema de Varignon para Superficies sumergidas en diferentes capas de fluidos
Considrese la superficie superior de una placa plana de manera arbitraria,
completamente sumergida como se observa en la figura.
La presin en la superficie libre del fluido en el que se encuentra inmersa la
placa es la presin atmosfrica local
Patm una presin cualquiera P0 La distribucin de presiones sobre la placa forma un Prisma de Presiones,
cuya altura se incrementa conforme
aumenta la profundidad en el fluido
(E.F.H.)
Aplicando la Ecuacin Fundamental de la Hidrosttica (variante de J. Foss), puede
obtenerse la presin absoluta para cualquier punto de la placa
gySenpghpp 00Fuerzas Hidrostticas sobre Superficies Sumergidas
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Planas Sumergidas
Magnitud de la Fuerza de Empuje Resultante sobre Superficies Planas Sumergidas
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Consideraciones generales Magnitud de la Fuerza de Empuje Resultante Ubicacin del Centro de Presin Superficies Planas parcialmente sumergidas Teorema de Varignon para Superficies sumergidas en diferentes capas de fluidos
La fuerza hidrosttica resultante Fr que acta sobre la superficie se determina
cuando se integra la fuerza PdA (segn definicin de presin) que acta sobre un
diferencial de rea dA sobre toda el rea superficial
dAgySenppdAFr )( 0
ydAgSenApFr 0
Ntese que el Primer Momento de rea est relacionado con la expresin integral
presente en la ltima ecuacin
dAyydAdA
ydAy cc
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Magnitud de la Fuerza de Empuje Resultante sobre Superficies Planas Sumergidas
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Consideraciones generales Magnitud de la Fuerza de Empuje Resultante Ubicacin del Centro de Presin Superficies Planas parcialmente sumergidas Teorema de Varignon para Superficies sumergidas en diferentes capas de fluidos
Ms sin embargo, de acuerdo a la posicin de los ejes coordenados
)(0 SenygAApF cr
Sustituyendo:
z
y
cc hSeny
Por tanto, se concluye
AghpF cr )( 0
ApF crLa magnitud de la fuerza resultante que acta sobre una superficie plana de una placa
totalmente sumergida en un fluido homogneo (de densidad constante) es igual al producto de
la presin Pc en el centroide de la superficie y el rea A de sta
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Planas Sumergidas
Ubicacin del Centro de Presin en Superficies Planas Sumergidas
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Consideraciones generales Magnitud de la Fuerza de Empuje Resultante Ubicacin del Centro de Presin Superficies Planas parcialmente sumergidas Teorema de Varignon para Superficies sumergidas en diferentes capas de fluidos
El Centro de Presin de la Superficie y el Centroide de la misma estn separados
una cierta distancia, para encontrar la ubicacin del centro de presin puede
tomarse una sumatoria de momentos (Por Teorema de Varignon) desde el punto
de origen del sistema coordenado en la superficie
Es fcil percatarse de que, al existir un Prisma de Presiones, la presin resultante
proveniente de dicha distribucin de presiones no necesariamente est ubicada en
el propio Centroide de la superficie sumergida
dAgySenpyypdAFyM rpO )( 0
dAygSendAypFy rp2
0
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Planas Sumergidas
Ubicacin del Centro de Presin en Superficies Planas Sumergidas
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Consideraciones generales Magnitud de la Fuerza de Empuje Resultante Ubicacin del Centro de Presin Superficies Planas parcialmente sumergidas Teorema de Varignon para Superficies sumergidas en diferentes capas de fluidos
Ntese que el Primer y Segundo Momento de
rea estn relacionados con la expresin
integral presente en la ltima ecuacin
Simplificando
dAygSenydApFy rp2
0
dAyydAdA
ydAy cc dAyI z
2
Sustituyendo y simplificando
gSenIAypFy Ozcrp ,0
Donde el Segundo Momento de rea Iz est expresado desde el origen del
sistema de coordenadas yz, O
z
y
O
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Planas Sumergidas
Ubicacin del Centro de Presin en Superficies Planas Sumergidas
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Consideraciones generales Magnitud de la Fuerza de Empuje Resultante Ubicacin del Centro de Presin Superficies Planas parcialmente sumergidas Teorema de Varignon para Superficies sumergidas en diferentes capas de fluidos
Para trasladar desde el punto O al eje del centroide, se utiliza el Teorema de los Ejes Paralelos
gSenAyIAypFy czcrp )(2
0
AyII czOz2
,
Sustituyendo
Sustituyendo el valor de la Fuerza de Empuje resultante hallado con anterioridad
))(()(2
00 gSenAyIAypASengypy czccp
)()(2
00 AgSenygSenIAypASengyApy czccp
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Planas Sumergidas
Ubicacin del Centro de Presin en Superficies Planas Sumergidas
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Consideraciones generales Magnitud de la Fuerza de Empuje Resultante Ubicacin del Centro de Presin Superficies Planas parcialmente sumergidas Teorema de Varignon para Superficies sumergidas en diferentes capas de fluidos
Simplificando:
)()(2
00 AgSenygSenIAypASengyApy czccp
gSenIAgSenyApyASengyApy zcccp )()( 00
ASengyAp
gSenIyy
c
zcp
0
AgSen
py
Iyy
c
zcp
)( 0
Se obtiene:
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Ubicacin del Centro de Presin en Superficies Planas Sumergidas
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Consideraciones generales Magnitud de la Fuerza de Empuje Resultante Ubicacin del Centro de Presin Superficies Planas parcialmente sumergidas Teorema de Varignon para Superficies sumergidas en diferentes capas de fluidos
AgSen
py
Iyy
c
zcp
)( 0AghpF cr )( 0
Si se trabaja con Presin manomtrica (Patm = P0 = 0):
AghF cr Ay
Iyy
c
zcp
Ntese que poco importa la coordenada xp zp del centro de presin, debido a
que la distribucin de presiones no vara en direccin horizontal
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Consideraciones generales Magnitud de la Fuerza de Empuje Resultante Ubicacin del Centro de Presin Superficies Planas parcialmente sumergidas Teorema de Varignon para Superficies sumergidas en diferentes capas de fluidos
Mientras la altura en la cual sobresale la
superficie sumergida no sea significativa
(z
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Teorema de Varignon para Superficies Sumergidas en diferentes capas de fluidos
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Consideraciones generales Magnitud de la Fuerza de Empuje Resultante Ubicacin del Centro de Presin Superficies Planas parcialmente sumergidas Teorema de Varignon para Superficies sumergidas en diferentes capas de fluidos
Superficies Sumergidas en diferentes capas de fluidos
En este caso se trabaja cada
fluido de manera independiente
y luego se aplica una sumatoria
de fuerzas para hallar la fuerza
resultante. Posteriormente se
aplica el Teorema de Varignon
para hallar el momento
resultante producido por los
diferentes empujes y el centro
de presin total
iriptrtp FyFy ,,,,irtr FF ,,
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