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EstadísticaUnidad IIProbabilidades
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SucesosCuando se realiza un experimento aleatorio, diversos resultados sonposibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espaciomuestral (Ω).
Se llama suceso a un subconjunto de dic os resultados.
Se llama suceso contrario (complementario) de un suceso ! , ! c , al"ormado por los elementos #ue no est$n en !
Se llama suceso uni%n de ! & ' , !U' , al "ormado por los resultados
experimentales #ue est$n en ! o en ' (inclu&endo los #ue est$n enambos.
Se llama suceso intersecci%n de ! &' , ! ' o simplemente !' , al"ormado por los elementos #ue est$n en ! &'
E espacio muestral
E espacio muestral
!
!
E espacio muestral
!
'
E espacio muestral
!
'
E espacio muestral
!
'
U*I+* I* E-S.
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!
robabilidad condicionadaSe llama probabilidad de ! condicionada a ' , o
probabilidad de ! sabiendo #ue pasa ' 9
)()(
)|( B P
B A P B A P
∩=
E espacio muestral
' :
t a m a 7 o ;
d e
u n o
r e s p e
c t o a l
o t r o
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Intuir la probabilidad condicionada
'
!
(!) 1 3,>?(') 1 3,23
(! ') 1 3,23
'
!
@ robabilidad de ! sabiendo #ue a pasado 'A
P(A/B)=1 P(A/B)=0,8
(!) 1 3,>?(') 1 3,23
(! ') 1 3,3B
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Intuir la probabilidad condicionada !
'
!
'
@ robabilidad de ! sabiendo #ue a pasado 'A
P(A/B)=0,05 P(A/B)=0
(!) 1 3,>?(') 1 3,23(! ') 1 3,33?
(!) 1 3,>?(') 1 3,23(! ') 1 3
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Cual#uier problema de probabilidad puederesolverse en teoría mediante aplicaci%n de losaxiomas. Sin embar/o, es m$s c%modo conoceral/unas re/las de c$lculo 9
(!c
) 1 2 (!)(!U') 1 (!) 5 (') (! ')
(! ') 1 (!) D ('=!)
1 (') D (!=')
!l/unas re/las de c$lculo pr$cticas
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8os sucesos son independientes si el #ueocurra uno, no a7ade in"ormaci%n sobre elotro.
! es independiente de '
(!=') 1 (!)
(! ') 1 (!) (')
Independencia de sucesos
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Ejemplo (2)
a tabla muestra la istoria de 2333 obleas de un proceso de"abricaci%n de semiconductores. Consid0rense los eventos9 !9 la oblea tiene distintos niveles de contaminaci%n.'9 a oblea est$ en centro de un instrumento deposici%n electr%nica.
@Cu$l es la probabilidad de #ue una oblea ten/a niveles bajo decontaminaci%nA
( 'aja) 1 FG=2333 1 3,3FG1F,GH
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Ejemplo (>)
@ robabilidad de #ue una oblea tiene contaminaci%n media o bajaA( edia U 'aja)1 GFJ=2333 5 FG=2333 1 3,?K2
Son sucesos disjuntosedia 'aja 16
@ robabilidad de #ue una oblea tiene contaminaci%n baja o est$ en elcentro de instrumento de deposici%n electr%nicaA
('aja U Si)1FG=23335FLJ=2333 ?B=233313,J3K*o son sucesos disjuntos
@ robabilidad de #ue una oblea ten/a contaminaci%n altaA( !lta)1 GFL=233313,GFL( !lta) 12 (!lta c)12 ( ediaU'aja) 12 3,?K213,GFL
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Ejemplo (K)
Si la oblea esta en el centro de instrumento de deposici%n electr%nica@cu$l es la probabilidad #ue ten/a baja contaminaci%nA
('aja=Si)1?B=FLJ13,3BK
@ robabilidad de #ue la oblea este en el centro de instrumento dedeposici%n electr%nica & ten/a baja contaminaci%nA
( Si 'aja) 1 ?B=233313,3?B
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Ejemplo (G)
@Son independientes #ue la oblea est0 en el centro & #ue ten/a baja contaminaci%nAUna "orma de acerlo
( 'aja)1FG=233313,3FG('aja=Si)1?B=FLJ13,3BKa probabilidad de tener baja contaminaci%n es ma&or si a pasado por
el centro de instrumento de deposici%n electr%nica. !7ade in"ormaci%nextra. M*o son independientes N
@
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Sistema ex austivo & exclu&ente de sucesos
!2
!>
! K ! G
Son una colecci%n de sucesos
! 2, ! >, ! K, ! GOales #ue la uni%n de todos ellos "orman
el espacio muestral, & sus intersecciones son disjuntas.
Sucesose/uro
! 2
! >
! K
! G
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Prbol de decisi%n
!2
! >
! K ! G
'
odo suceso ', puede ser descompuesto en componentes de dic o sistema.
' 1 (' ! 2) U (' ! > ) U ( ' ! K ) U ( ' ! G )
*os permite descomponer el problema ' ensubproblemas m$s simples.
Sucesose/uro
! 2
! >
! K
! G
'
'
'
'
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eorema de la probabilidad total ! 2 ! >
! K ! G
'
Si conocemos la probabilidad de ' en cada uno de loscomponentes de un sistema ex austivo & exclu&ente de
sucesos, entoncesOO podemos calcular la probabilidad de '.
(') 1 (' ! 2) 5 (' ! > ) 5 ( ' ! K ) 5 ( ' ! G )1 ( ! 2) ('Q ! 2) 5 ( ! >) ('Q ! >)5 O
Sucesose/uro
! 2
! >
! K
! G
'
'
'
'
(! 2)
(! >)
(! K)
(! G)
('Q! 2)
('Q! >)
('Q! K)
('Q! G)
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Ejemplo (1) 9 En esta aula el J3H de los alumnos sonmujeres. 8e ellas el 23H son "umadoras. 8e los
ombres, son "umadores el >3H.
@Ru0 porcentaje de "umadores a&A( ) 1 ( ) 5 (T )
1 ( )D ( = ) 5 (T)D ( =T)
13,J D 3,2 5 3,K D 3,>
1 3,2K 12KH
T. Prob. Total.Tombres & mujeres "orman un sist. Ex . Excl. de sucesos
Estudiante
ujer
*o "uma
Tombre
uma
*o "uma
uma
0,7
0,1
0,3,K
3,B
3,L
os caminos a trav0s de nodos representan intersecciones.
as bi"urcaciones representan uniones disjuntas.
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Ejemplo ( ) 9 En esta aula el J3H de los alumnos son mujeres. 8e ellas el23H son "umadoras. 8e los varones, son "umadores el >3H.
@Ru0 porcentaje de "umadores a&A( ) 1 13,J x 3,2 5 3,K x 3,> 1 3,2K(-esuelto antes)
Se elije a un individuo al azar & es "umador @ robabilidad de #ue sea un ombreA
Estudiante
ujer
*o "uma
Tombre
uma
*o "uma
uma
0,7
0,1
0,3,K
3,B
3,L
46,013,0
2,03,0)(
)|()(
)(
)()|(
=×
=
=⋅
=∩
=
F P
H F P H P
F P
F H P F H P
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Ejemplo (!) 9El >3H del tiempo #ue se est$ en una casa transcurre enla cocina, el 23H en el ba7o & el resto entre el sal%n & el dormitorio
or otro lado la probabilidad de tener un accidente dom0stico estandoen la cocina es de 3,K3 de tenerlo estando en el ba7o es de 3,>3 & detenerlo "uera de ambos de 3,23. @Cu$l es la probabilidad de tener unaccidente dom0sticoA
Casa
Cocina *o !cc
!cc
0, 0
'a7o
-esto
0,10
0,70
0,!0
0,70
*o !cc
!cc0, 0
0,80
*o !cc
!cc0,10
0,"0
(!) 1 (! C) 5 (! ') 5 (! -) 1
(C) (!QC) 5 (') (!Q') 5 (-) (!Q-)
13,> x 3,K 5 3,2 x 3,> 5 3,J x 3,2 1 3,2? 1
2?H
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19
eorema de 'a&es
! 2 ! >
! K ! G
'
Si conocemos la probabilidad de ' encada uno de los componentes de un
sistema ex austivo & exclu&ente desucesos, entoncesO
Osi ocurre ', podemos calcular laprobabilidad (a posteriori ) de ocurrenciade cada ! i.
donde (') se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total9
(')1 (' ! 2) 5 (' ! > ) 5 ( ' ! K ) 5 ( ' ! G )
1 ('Q ! 2) ( ! 2) 5 ('Q ! >) ( ! >) 5 O
P(B))AP(B
B)|P(A ii∩
=
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Ejemplo (#) 9 En este aula el J3H de los alumnos son mujeres. 8e ellas el23H son "umadoras. 8e los varones, son "umadores el >3H.
@Ru0 porcentaje de "umadores a&A( ) 1 13,J x 3,2 5 3,K x 3,> 1 3,2K(-esuelto antes)
Se elije a un individuo al azar & esO "umador @ robabilidad de #ue sea un ombreA
Estudiante
ujer
*o "uma
Tombre
uma
*o "uma
uma
0,7
0,1
0,3,K
3,B
3,L
46,013,0
2,03,0)(
)|()(
)(
)()|(
=×
=
=⋅
=∩
=
F P
H F P H P
F P
F H P F H P
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Ejemplo (##) 9 En un centro a& dos #uir%"anos. El 2V seusa el J?H de veces para operar. En el 2V la "rec. dein"ecci%n es del ?H & en el >V del 23H.@Ru0 probabilidad de in"ecci%n a&A(I) 1 3,3F>?Se a producido una in"ecci%n.
@Ru0 probabilidad a& de #ue sea en el R2A
aciente
R2
*o in"ec
R>
In"ec
*o in"ec
In"ec
0,75
0,05
0,13,>?
3,L
3,L?
6,00625,0
05,075,0)(
)1|()1(
)(
)1()|1(
=×
=
=⋅
=∩
=
I P
Q I P Q P
I P
I Q P I Q P
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@Ru0 emos vistoA Pl/ebra de sucesos
Uni%n, intersecci%n, complementorobabilidad*ociones
recuentista !xiomas
robabilidad condicionada-e/las de c$lculo
Complementario, Uni%n, Intersecci%nIndependencia de sucesosSistema ex austivo & exclu&ente de sucesos
eorema probabilidad total.eorema de 'a&es
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