Circuitos acoplados magnéticamente
Circuitos Eléctricos 2
Inductancia mutuaAutoinductancia
dttdi
Ltv
i1 L1 L2 v2i2L1 L2v1
M M
La corriente i1 en L1 produce el voltaje de circuito abierto v2 en L2.
La corriente i2 en L2 produce el voltaje de circuito abierto v1 en L1.
dt
tdiMtv 1
212 dt
tdiMtv 2
121
La inductancia mutua se presenta cuando dos bobinas están lo suficientemente cerca como para que el flujo magnético de una influya sobre la otra.
Convención de los puntosUna corriente que entra por la terminal punteada de una bobina produce un voltaje de circuito abierto entre las terminales de la segunda bobina, cuyo sentido es el de la dirección indicada por una referencia de voltaje positiva en la terminal punteada en esta segunda bobina.
i1
L1 L2
M
+
_dtdi
Mv 12
i1
L1 L2
M
+
_dtdi
Mv 12
i1
L1 L2
M
+
_dtdi
Mv 12
i1
L1 L2
M
+
_dtdi
Mv 12
Voltaje mutuoi1
L1 L2
+
_
v2v1
+
_
i2M
i1
L1 L2
+
_
v2v1
+
_
i2M
dtdi
Mdtdi
Lv 2111
dtdi
Mdtdi
Lv 1222
dtdi
Mdtdi
Lv 2111
dtdi
Mdtdi
Lv 1222
Para frecuencia compleja
V1 = –sL1I1 + sMI2
V2 = –sL2I2 + sMI1
Para estado senoidal
V1 = –jL1I1 + jMI2
V2 = –jL2I2 + jMI1
Estructura de bobinas acopladas
i1
i2
Flujos magnéticos aditivos
i1
i2
Flujos magnéticos sustractivos
Ejemplo
I1
100 H
V2
+
_
M = 9 H
I2
V1 = 10/_0°
= 10 rad/s1 H 400
1
+_
I1(1 + j10) – j90I2 = 10
I2(400 + j1000) – j90I1 = 0
7.1690.6
107.161724.0400
1
2
VV
Gráfico de respuesta en frecuencia
400500193600
21
2
sss
VV
Ejemplo
I1
6 H
M = 2 H
I3V1
7 H3
5
+_
(5 + 7s)I1 – 9sI2 + 2sI3 = V1
– 9sI1 + (17s + 1/s) I2 – 8sI3 = 0
2sI1 – 8sI2 + (3 + 6s) I3 = 0
I2
1 F
Consideraciones de energía
11
111 idtdi
Liv
i1
L1 L2
+
_
v2v1
+
_
i2MPoniendo en circuito abierto las terminales de la derecha y
haciendo crecer la corriente i1 desde 0 hasta I1 en t = t1.
La energía almacenada es.
2112
1
0 111
1
0 11
1
ILdiiLdtivIt
Ahora haciendo crecer la corriente i2 desde 0 hasta I2 de t = t1 a t = t2. manteniendo i1 constante
La energía entregada del lado derecho es.
2222
1
0 22222
22
1
ILdiiLdtivIt
t
Sin embargo se entrega energía a la red del lado izquierdo.
2112211212
1211
2
1
2
1
2
1
IIMdiIMdtidtdi
Mdtivt
t
t
t
t
t
21122222
12112
1 IIMILILWtotal
La energía total es.
Haciendo el proceso inverso, se tiene
21212222
12112
1 IIMILILWtotal
Por tanto
2112 MMM
Consideraciones de energía (cont)El límite superior para el valor de M es
21LLM
El Coeficiente de acoplamiento se define como
1021
kLL
Mk
EjemploSea L1 = 0.4 H. L2 = 2.5 H, k = 0.6 e i1 = 4i2 = 20 cos(500t – 20°) mA. Evalue las siguientes cantidades en t = 0: a) i2, b) v1, y c) la energía total almacenada en el sistema.
i1
L1 L2
+
_
v2v1
+
_
i2M
a) i2(0) = 20 cos(500(0) – 20°) mA = 4.698 mA
dtdi
Mdtdi
Lv 2111
b) Para v1 hay que evaluar
M = kL1L2 = 0.6 H
v1(0) = 0.4[–10 sen(–20°)] + 0.6[–2.5sen(–20°)] = 1.881 V
c) La energía es
w(t) = ½L1[i1(t)]2 + ½L2[i2(t)]2 + M[i1(t)] [i2(t)]
w(0) = 0.4/2[18.79]2 + 2.5/2[4.698]2 + 0.6[i1(0)] [i2(0)]
w(0) = 151.2 J
El transformador lineal
I1 VL
+
_
M
I2Vs
R1
+_
Vs = I1Z11 – I2sM
0 = –I1sM + I2Z22 = 0
donde
Z11 = R1 + sL1
Z22 = R2 + sL2 + ZL
22
22
111
2
Zs
ZVV
ZM
ent
ZLL1 L2
R2
En un transformador lineal el coeficiente de acoplamiento es de algunas décimas.
Transformador lineal con una fuente en el primario y carga en el secundario
22
22
Zs MImpedancia reflejada:
222
222
2222
222
222
2222
11 XRXMj
XRRM
ent
ZZ
La reactancia reflejada tiene el signo contrario al de reactancia X22
ejemploLos valores de los elementos de cierto transformador lineal son: R1 = 3, R2 = 6, L1 = 2mH, L2 = 10mH, M = 4mH, si w = 5,000 rad/s, determine Zent para ZL igual a a) 10, b) j20, c) 10 + j20d) j20
a)
Similarmente b) 3.4862 + 4.3274i c) 4.2413 + 4.5694i d) 5.5641 - 2.8205i
Z11 = R1 + sL1 = 3 + j(5000)(0.002) = 3 + j10
Z22 = R2 + sL2 + ZL = 6 + j(5000)(0.010) + 10 = 16 + j50
22
22
111
2
Zs
ZVV
ZM
ent = 3 + j10 + (5000)2(0.004)2/(16 + j50) = 5.3222 + 2.7431i
Red equivalente T
i1
L1 L2
+
_
v2v1
+
_
i2M
Ecuaciones de malla para el transformador lineal
dtdi
Ldtdi
Mv
dtdi
Mdtdi
Lv
22
12
2111
Pueden rescribirse como
dtdi
MLdt
iidMv
dtiid
Mdtdi
MLv
22
212
21111
Las cuales corresponden a la red
i1
+
_
v2v1
+
_
i2
M
L1 – M L2 – M
Ejemplo
Determine el equivalente T del transformador de la figura
i1
30 mH 60 mH
i240 mH
i1 -10 mH 20 mH
40 mH
L1 – M = –10 mH
L2 – M = 20 mH
Red equivalente A partir de la ecs. de malla
dtdi
Ldtdi
Mv
dtdi
Mdtdi
Lv
22
12
2111
Se puede despejar i1 e i2, obteniendo
tt
tt
dtvMLL
Ldtv
MLLM
tuii
dtvMLL
Mdtv
MLLL
tuii
0 2221
1
0 1221
22
0 2221
0 1221
211
0
0
Estas ecs. representan ecs. de nodos de la red de la figura donde
MLMLL
L
MLMLL
L
MMLL
L
C
A
B
1
221
2
221
221 i1
+
_
v2v1
+
_
i2LB
LCLA
i1(0)u(t) i2(0)u(t)
ejemplo
MLMLL
L
MLMLL
L
MMLL
L
C
A
B
1
221
2
221
221
Determine el equivalente T del transformador de la figura
i1
30 mH 60 mH
i240 mH
i1 i25 mH
= 2x10–4/20x10–3 = 10mH
= 2x10–4/(–10x10–3)= -20mH
= 2x10–4/40x10–3 = 5mH
10 mH –20 mH
El transformador Ideal
Es una aproximación de un transformador fuertemente acoplado.
Las reactancias inductivas del primario y del secundario son muy grandes comparadas con las impedancias de la terminación.
Relación de vueltas
22
1
22
1
2 aNN
LL
Se cumple la siguiente relación:
I1 V2
+
_
k = 1
I2V1
+
_
ZLL1 L2
1: a
a = razón del número de vuelas del secundario al primario = N2 / N1
V1 = jL1I1 – jMI2
0 = – jMI1 + (ZL + L2) I2
Despejando V1:
2
212
1
2
22
11
1
2
22
1111
LjLL
Lj
LjM
Lj
LjM
Lj
Lent
Lent
L
ZZ
ZIV
Z
ZIIV
Relación de vueltas (continuación)
Si dejamos que L1 tienda a infinito
Dado que L2 = a2L1
211
21
12
21
2221
221
12
21
22
1
/ aLjLajLj
LajLaLaLj
LajLa
Lj
L
L
L
Lent
L
Lent
Lent
ZZ
ZZ
Z
ZZ
Z
ZZ
2aL
ent
ZZ
Acoplamiento de impedanciasSuponga un amplificador con 4000 de impedancia de salida y una bocina con 8 de impedancia.
4.22
4.221
5001
40008
84000
2
1
22
NN
a
aaL
ent
ZZ
Relación de corrientes
aLL
LjMj
LjMj
L
1
2
1
221
2
ZII
Si suponemos que L2 se hace muy grande.
N1I1 = N2I2
Entonces
Para el ejemplo anterior, si el amplificador produce una corriente de 50 mA en el primario, en ele secundario habrá una corriente de (22.4)(50mA) = 1.12 A.
La potencia en el altavoz es (1.12)2(8) = 10W.
La potencia suministrada por el amplificador es (0.05)2(4000) = 10W
Relación de tensiones
1
2
1
2
1
222
1
2
1
2
1
2
/
NN
a
aaL
L
ent
L
VV
II
ZIZI
ZIZI
VV
La relación para tensiones es
Si a > 1, en transformador es elevador
Si a < 1, en transformador es reductor
V1I1 = V2I2
Se cumple
Ejemplo
I1 I2V1
_
10 k
1: 10
+
V2
+
_
+_
100
50 V rms
Encuentre la potencia promedio disipada para el resistor de 10K,
La potencia es simplemente: P = 10000 |I2|2
La impedancia que “se ve” en la entrada es ZL/a2 = 100
I1 = 50/(100 + 100) = 250 mA rms
I2 = (1/a) I1 = 25 mA rms, la potencia es P = 6.25 W.
Relaciones de tensión en el tiempo
i1
L1 L2
+
_
v2
v1
+
_
i2M Ecuaciones de malla para el transformador ideal
dtdi
Ldtdi
Mv
dtdi
Mdtdi
Lv
22
12
2111
Despejando la derivada de i2 en la segunda ec. y sustituyendo en la primera y ya que M2 = L1L2
222
12
21
1
2
2
22
111
1v
av
LL
vLM
v
dtdi
LM
vLM
dtdi
Lv
Dividiendo la primera ec. entre L1 y suponiéndola muy grande
Aaiidtdi
adtdi
dtdi
LM
dtdi
Lv
21
21
2
1
1
1
1
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