UNIVERSIDADNACIONALDECAJAMARCA
FACULTADDEINGENIERIA
ESCUELAACADEMICOPROFESIONALDEINGENIERIACIVIL
CICLOACADEMICOVACACIONAL2016
CINEMATICADEUNPUNTOMATERIAL
M.Sc.NORBILTEJADACAMPOS
CINEMATICADEUNPUNTOMATERIAL
0.INTRODUCCION:
CINEMATICA:
Estudiaelmovimientodeloscuerpossinconsiderarlascausasqueloproducen,tambinsepuedeconsiderarcomolaGeometradelmovimiento.
Lacinemticadescribecomovarialavelocidadyaceleracindeuncuerpoconeltiempoyconsuscambiosdeposicin.
MOVIMIENTO:
Elmovimientodeunapartculaesentendidocomoelcambiodeposicindelapartculaamedidaquetranscurreeltiempo,elcualdebeestarreferidoaunsistemadereferencia,loquepermitirdefinirsuposicinencualquierinstante.
MOVIMIENTO:
1PormediodeunaEcuacinHoraria:
2PormediodeunVectorPosicin:
z
P
S
z
P
o
P
r
rf(t)x
0
S=f(t)
y
x
0
y
3PormediodesusCoordenadasRectangulares:
z
P(x,y,z)
z
x=x(t)y=y(t)z=z(t)
0y
x
y
x
1.POSICION,VELOCIDADyACELERACION
a.Posicin(r)ydesplazamiento(dr)
dr
rP/O
rQ/O
drrQrPFig01.Trayectoriaquesigueunapartcula
Lapartcula,enciertoinstante,sehallarenlaposicinP,definidapor:rPxiyjzk
Ladiferenciadeposicindelapartculaendosinstantesrecibeelnombrededesplazamientodedichapartcula,lacualsehallaenPenelinstantetyenQenelinstantet+t,eldesplazamientovienedadopor:
1.POSICION,VELOCIDADyACELERACION
b.velocidad(v)yaceleracin
(a
)
vrvvxivyjvzkavaaxiayjazkvxiyjzkaxiyjzkLavelocidaddeunapartculaes,pordefinicin,lavariacindeposicinporunidaddetiempo:drdt
Laaceleracindeunapartculaes,pordefinicin,lavariacinporunidaddetiempodelavelocidad.dvdt
Ladireccindelavelocidadeslatangentealatrayectoriayelsentidoeseldeldesplazamiento.
Elmodulodelavelocidadrecibeelnombredeceleridad.
2.MOVIMIENTORECTILINEODEUNPUNTOMATERIAL
a.Posicinydesplazamiento2.MOVIMIENTORECTILINEODEUNPUNTOMATERIAL
b.Velocidadmedia(v):
X
x
P(x+x,t+t)
P(x,t)
x
O
t
t
t
Matemticamente:Grficamente:
v
xt
xfxotfto
tangxt
2.MOVIMIENTORECTILINEODEUNPUNTOMATERIAL
c.Velocidadinstantnea(v):
Matemticamente:
vlimvmlimt0tX
x
P
P
P
t0
x
P
v
dx
dt
x
Tenemos:
O
t
t
t
xxo
tv.dt
;
vv(t)
to
2.MOVIMIENTORECTILINEODEUNPUNTOMATERIAL
d.Aceleracinmedia
a:
a
vt
vfvotfto
alimalimt0te.Aceleracininstantneaa:
v
t0
Tenemos:
dv
dt
vvo
ta.dt
;
aa(t)
to
2.MOVIMIENTORECTILINEODEUNPUNTOMATERIAL.-Aplicaciones
2.1.MOVIMIENTORECTILINEOUNIFORME(MRU):
Ejemplo01.-2.MOVIMIENTORECTILINEODEUNPUNTOMATERIAL.-Aplicaciones
2.2.MOVIMIENTORECTILINEOUNIFORMEMENTEACELERADO(MRUA):
Ejemplo02.-
x
v
a
xvot12
at
2
ov=v+at
a=constante
vo
0
to=0
t
0
to=0
t
0t
2.MOVIMIENTORECTILINEODEUNPUNTOMATERIAL.-Aplicaciones
2.3.MOVIMIENTORECTILINEOVARIADO(MRV):
Ejemplo03.-Enlafigura,semuestralascoordenadasdeuninsectoquecaminahorizontalmente(enunadimensin,sobreelejex).Segndichainformacin,a)graficarsuvelocidadyaceleracinenfuncindeltiempo;b)hacerunestudiodelmovimiento.2.MOVIMIENTORECTILINEODEUNPUNTOMATERIAL.-Aplicaciones
Ejemplo04.-Enelgrficoadjunto,semuestracomovaralavelocidadenfuncindeltiempodeuncuerpoquesemueveenlnearecta(eje+X).Sienelinstantet=0s,elmvilseencuentraenxo=10m;sepide:a)determinelaposicinent=5s,b)realizarlosgrficosdex-tya-t,paraelmovimientodelcuerpo.2.MOVIMIENTORECTILINEODEUNPUNTOMATERIAL.-Aplicaciones
Ejemplo05.-Enelgrfico,semuestraladependenciadelaaceleracinenfuncindeltiempoparaunapartculaquesemueveenlnearecta.Sepide:a)analizareltipodemovimientoenlosdiferentesintervalosdetiempo,b)determinarlaposicinyvelocidadquealcancedichapartculaalos50segundosdespusdehaberiniciadodelreposo.2.MOVIMIENTORECTILINEODEUNPUNTOMATERIAL.-Aplicaciones
Ejemplo06.-UnmvilsemueveenlnearectaconunavelocidadcuyocuadradodecrecelinealmenteconeldesplazamientoentrelospuntosAyBquedistan30mentres.Determineeldesplazamientoxdelmvildurantelos2squeprecedenlallegadaaB.2.MOVIMIENTORECTILINEODEUNPUNTOMATERIAL.-Aplicaciones
Ejemplo07.-Enlafigura,elrodilBsemueveconaceleracinconstante.Siparat0=0s,x=0myvx=0m/s.DeterminarlaaceleracindelrodilA,cuandoelBesta3mdelorigenylaaceleracindeBesde6m/s2.
3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.1.CoordenadasRectangulares:
rZ
tA
s
t/A/
v
Posicin:rr(t)xiyjzk
r/r'r'(t)x'iy'jz'ks
r
Velocidad:
v/////Arxrvivmttrvlimvmlimt0trvjtX
A
v
0YX
TAvA
v
/
dr
t0
dt
VelocidadMediavm
VelocidadInstantneav
yt
zk
vijkxiyjzk
dx
dt
dy
dt
dz
dt
3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.1.CoordenadasRectangulares:Aceleracin:
vvamamvxvyvzcurva
z
P
rP
vP
aP
rQ
Q
aQ
vQ
vQ
vP
ttt
t
ijk
AceleracinMediaam
AceleracinInstantneaa
0avalimamlimt0tradvxdvydvzy
x
FIGURA.-Variacindelavelocidadalolargodelatrayectoriaenelmovimientocurvilneo
dv
dt
dtdtdt
ijkxiyjzk
t0
dv
dt
3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.1.CoordenadasRectangulares.-Aplicaciones
Ejemplo08.-UnapartculasemueveenelplanoOXY;unobservador
colocadoenOsabequelasecuacionesparamtricasdelatrayectoria
escritasenelSIson:x=2+t,y=2+3t+2t2.a)Determinarlaforma
explcitadelatrayectoria,b)Laexpresindelvectordeposicin,velocidady
aceleracin,c)Lascondicionesinicialesdelmovimiento,d)Losvaloresdel
vectordeposicinyvelocidadparat=2s.e)Distanciadelapartculaal
observadorent=2s,f)Elvectordesplazamientoyelvectorvelocidadmedia
entret=2syt=5s.3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.1.CoordenadasRectangulares.-Aplicaciones
Ejemplo09.-Unapartculasemueverespectoaunsistemareferencial
XYZ,llevandoaceleracionesde(3t2,6t,0)pies/s2.Siinicialmente
estenlaposicin(5,1,0)pies,convelocidadde(3,-2,0)pies/s,
respectivamente.Determinar,parat=3s,laposicinylavelocidad
dedichapartcula.3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.2.AceleracinenCoordenadasIntrinsecas:TangencialyNormal:
aaTaNdvuTauTvz
PO
S
P
aT
dv
dtdt
dv
dt
duTdt
auTcurva
aN
a
Tangente
dvdt
v2uN
Normal
Mdulos:
aaTaN0
y
aT
dvdt
aN
v2
2
2
x
o
dy2dxr33/2
1dx
2dyRadiodeCurvatura:2
rr
3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.2.AceleracinenCoordenadasTangencialyNormal:Aplicaciones
EjemploN10.-Selanzauncuerpohorizontalmenteconunavelocidadinicialde20m/senelcampogravitatorioterrestre.Determinarelradiodecurvaturadesutrayectoriaalos2segundosdespusdeserlanzadodichoobjeto.3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.2.AceleracinenCoordenadasTangencialyNormal:Aplicaciones
EjemploN10.-3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.2.AceleracinenCoordenadasTangencialyNormal:Aplicaciones
EjemploN11.-Unacajasedeslizaporunaguaquetieneformadehiprbola.Cuandolacajallegaalpuntox=5m,llevaunaceleridadde5m/squedisminuyearaznde0,5m/s2.Determinelaaceleracinyelradiodecurvaturaendichaposicin.
tsentydadasporttxcos23.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.2.AceleracinenCoordenadasTangencialyNormal:Aplicaciones
EjemploN12.-Unapartculasemueveenelplanoxyysuscoordenadasestn,.Encuentre:a)laecuacindelatrayectoriaenlaquesemuevelapartculasudesplazamientoygraficarlo,b)paracuando0,25segundos,laposicin,velocidad,laaceleracinyelradiodecurvatura.(Supongaquelasdistanciassemidenenmetros,eltiempoensegundos,yquelacantidadangular3testexpresadaenradianes).3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.2.AceleracinenCoordenadasTangencialyNormal:Aplicaciones
EjemploN12.-
incrementndosearaznde./3smvA3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.2.AceleracinenCoordenadasTangencialyNormal:Aplicaciones
EjemploN13.-Untobognviajaporunacurvaquepuedeseraproximadamentelaparbolay=0,01x2.DeterminelamagnituddesuaceleracincuandollegaalpuntoA,dondesurapidezesvA=10m/syest2
3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.3.CoordenadasPolares:Posicin:
yrrurrurvdrdurry
curva
EjeTransversal(+)u
r
P
ur
EjeRadial(+)
x
Velocidad:
drddtdt
vurrudtdt
drdt
durdt
vrurru
-x
0x
arurru-y
Aceleracin:dvddtdt
urcosisenju(sen)i(cos)j2u2rruarrVectoresunitarios:
r
3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.3.CoordenadasPolares.-Aplicaciones
EjemploN14.-Eltubodobladoquellevaagua,deseccintransversaluniforme,
giraalrededordelejeverticalABconvelocidadangularconstante140rev/min.SilavelocidaddelaguaenlaporcinABdeltuboes400mm/s(constante),determinelamagnituddelavelocidadyaceleracindeunapartculadeaguainmediatamenteantesquesalgadeltuboenelextremoC.3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.3.CoordenadasPolares.-Aplicaciones
EjemploN15.-Elmovimientocurvilneoplanodeunapartculaestdefinidoencoordenadaspolaresporr0.833t35ty0.3t2donderestadadoencm,estenradianesytensegundo.Enelinstanteenquet=2s;determinarlasmagnitudesdelavelocidad,aceleracinyelradiodecurvaturadelatrayectoria.3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.3.CoordenadasPolares.-Aplicaciones
EjemploN16.-LarotacindelabarraOAsedefinepor14t3t2rad,2dondetseexpresaensegundos.ElcollarnBsedeslizaalolargodelabarra
demaneratalquesudistanciadesdeOes
r1,25t20,9t3m
.Parat=1s,
determine:a)suvelocidad,b)suaceleracintotalyc)suaceleracinrelativaalabarra.
3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.3.CoordenadasPolares.-Aplicaciones
EjemploN17.-LabarraranuradaseencuentrafijaenOy,como
resultadodelavelocidadangularconstante3rad/s,conducealapartculaPporunabrevedistanciasobrelaguaespiralr=0,4(m),dondeseexpresaenradianes.Determinelavelocidadyaceleracindelapartculaenelinstanteenqueabandonalaranuraenlabarra,esdecir,r=0,5m..
3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.3.CoordenadasPolares.-Aplicaciones
EjemploN18.-ElpernoPsedeslizaenlasranurasdelbrazogiratorioOAydelabarracircularfijaBC.SiOAgiraconvelocidadangular
constante2rad/sencuentrelavelocidaddePcuando60.
3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
rRuRZuZ3.4.CoordenadasCilndricas:
Z
Posicin:
uR(cos)i(sen)juZ
u
Donde:
vP
uR
Velocidad:drdt
ddt
RuRZuZ
vRuRRuZuZr
z
Trayectoria
Aceleracn:
RuRRuZuZaRR2u2RRuZuaX
0
y
R
x
Y
dvd
dtdt
RZ
sepide:srad/3,03.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.4.CoordenadasCilndricas.-Aplicaciones:
EjemploN19.-Larampadeunaparcamientotieneformadehlice:r()153senmquebaja6mencadarevolucincompleta.Paraunautomvilquebajapordicharampaconvelocidadconstante,
a.Determinarsuvelocidadysuaceleracincuando=0b.Determinarsuvelocidadysuaceleracincuando=90c.Demostrarquevelocidadyaceleracinsonperpendicularescuando=903.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.4.CoordenadasCilndricas.-Aplicaciones:
Ejemplo20.-Unautomvilrecorrelarampadesalidadeunaparcamientoconceleridadconstantede16km/h.Larampaesunahlicededimetro36mypasoderosca6m(loquedesciendecadavueltacompleta).Determineelmdulodelavelocidadyaceleracindelautocuandodesciendeporlarampa.
3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.5.CoordenadasEsfricas:
Posicin:
rrurZ
ur
rurvrursenu
r
P
uu
Velocidad:
u(sen)i(cos)jarr2r2sen2ur2rrr2sencosu0
AX
Vectoresunitarios:ur(sencos)i(sensen)j(cos)ku(coscos)i(cossen)j(sen)k
Y
Aceleracin:
2rsen2rcosrsenu
3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.5.CoordenadasEsfricas.-Aplicaciones:
Ejemplo21.-LagragiraentornoalejeCDalaraznconstantede3rad/min.Almismotiempo,elaguilnABde20cmdelargovadescendiendoalaraznconstantede5rad/min.CalcularlavelocidadyaceleracindelpuntoBcuando=30.
3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.5.CoordenadasEsfricas.-Aplicaciones:
EjemploN22.-Elradar,estasiguiendoaunavinenplenovuelo.Enelinstanterepresentado,laposicindestevienedadaporR=19500m,=110y=60.Comparandostaconposicionesanterioresseestimanlasderivadas:
R85,5m/sR4,5m/s29,0x103rad/s20,0x106rad/s2
2,5x103rad/s80,0x106rad/s2
Paraesteinstante,determinar:a.Lavelocidadyaceleracindelavinencoordenadasesfricas(R,,).b.Lavelocidadyaceleracindelavinencoordenadasrectangularestalesqueelejezcorrespondaaleje=0yelejexcorrespondaaleje=90y=0c.Determinarlosmdulosdelavelocidadyaceleracindelavin.
rrur3.MOVIMIENTOCURVILINEODEUNPUNTOMATERIAL
3.5.CoordenadasEsfricas:Posicin:
Velocidad:
Aceleracin:
Vectoresunitarios:
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