บทท 1 บทนา
หนาท 1-1
บทท บทนา Introduction
1
เนอหา 1.1 ความรทตองการ 1.2 พฤตกรรมโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต: ขอดและขอดอย 1.3 การจาแนกชนดโครงสราง 1.4 สมการสมดลแรง 1.5 อนดเทอรมเนทเชงแรง 1.6 อนดเทอรมเนทเชงการเคลอนท 1.7 โครงสรางไรเสถยรภาพ 1.8 เงอนไขความสอดคลองทางการเคลอนท 1.9 ความสมพนธระหวางแรง-การเคลอนท 1.10 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต วตถประสงค - เขาใจพฤตกรรมของโครงสรางแบบอนดเทอรมเนท - รความแตกตางของการวเคราะหโครงสรางแบบดเทอรมเนท และอนดเทอรมเนท
1.1 ความรทตองการ กระบวนวชา 251312 การวเคราะหโครงสราง จะเปนการวเคราะหโครงสรางเพอหาผลตอบสนองเนองจากผลของแรงกระทาตอโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต (Statically Indeterminate structures) โดยจาเปนตองอาศยความรทไดศกษาผานมา ดงน การพจารณาเสถยรภาพของโครงสราง และการคานวณดกรของความเปนอนดเทอรมเนททาง
สถต (Degree of static indeterminacy, DI) การคานวณหาแรงปฏกรยา และแรงภายใน โดยอาศยระบบสมการสมดลของแรง (equilibrium
equation) การรางรปการโกง และคานวณระยะการโกง (deflections) โดยอาศยวธตางๆ ไดแก
คานคอนจเกต (Conjugate beam) งานเสมอน (Virtual work) อนๆ
บทท 1 บทนา
หนาท 1-2
ทฤษฎท 2 ของคาสตเกลยโน การวเคราะหคานตอเนองและคานทมการยดรงโดยวธความลาดชน-การโกง (slope-deflection
method) และวธการกระจายโมเมนตดด (moment distribution) การเขยนเสนอนฟลเอนซ (Influence lines) สาหรบโครงสรางแบบดเทอรมเนททางสถต การแกสมการระบบเชงเสน และ สมการเชงเมตรกซ
ตารางท 1.1 แสดงเนอหาทจะเรยน และความรทตองการในแตละบท บทท หวขอทเรยน เนอหาทเปนพนฐานทตองการ
1 บทนา การพจารณาเสถยรภาพของโครงสราง และการคานวณดกรความเปนอนดเทอรมเนททางสถต การคานวณหาแรงปฏกรยา และแรงภายใน โดยระบบสมการสมดลของแรง
2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
การรางรปการโกง และคานวณระยะการโกง ทฤษฎท 2 ของคาสตเกลยโน
3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต
การเขยนเสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบดเทอรมเนททางสถต, การหาระยะโกงดวยวธคานคอนจเกต
4 การวเคราะหโครงสรางโดยวธความลาดชน-การโกงตว
การวเคราะหคานตอเนองและคานทมการยดรงโดยวธความลาดชน-การโกงตว
5 การวเคราะหโครงสรางโดยวธการกระจายโมเมนตดด
การวเคราะหคานตอเนองและคานทมการยดรงโดยการกระจายโมเมนตดด
6 การวเคราะหโครงสรางโดยวธเมตรกซความแขง
การแกสมการระบบเชงเสน และ สมการเชงเมตรกซ
7 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
การหาความเคนดด การวเคราะหหนาตด การหาแกนสะเทน
1.2 พฤตกรรมโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต: ขอดและขอดอย พจารณาคาน ก และ คาน ข ซงเปนคานดเทอรมเนททางสถต และอนดเทอรมเนททางสถตตามลาดบ โดยคานทงสองรบนาหนกบรรทกเหมอนกน มขนาดหนาตด ระยะชวงพาดเทากน และมคณสมบตวสดเหมอนกน สามารถเปรยบเทยบไดดงน ขอด 1. คานแบบอนดเทอรมเนททางสถตมความแขง (Stiffness) สงกวา
บทท 1 บทนา
หนาท 1-3
จากรปท 1.2 หากเปรยบเทยบระยะแอนตว คาน ข จะเกดระยะแอนตวนอยกวาคาน ก หรอมความแขง (Stiffness) สงกวานนเอง 2. คานแบบอนดเทอรมเนททางสถตจะเกดความเคนตากวา
จากรปท 1.2 หากเปรยบเทยบโมเมนตดดสงสดทเกดขน จะเหนวา คาโมเมนตดดทมากทสดของคาน ข จะนอยกวาคาน ก 3. การกระจายแรงเมอเกดสภาวะนาหนกกระทามากกวาปกต ในกรณเกดแรงกระทามากกวาปกต เชน การเกดแผนดนไหว โครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตจะมการถายภาระนาหนกกระทาไปสสวนอนหากจดรองรบอนไดโดยไมเกดการพง ทลาย จากรปท 1.3 หากจดรองรบ B ไมสามารถรบนาหนกได นาหนกทเหลอจะถายไปสจดรองรบ A กบ C โดยคานยงคงมเสถยรภาพ สาหรบกรณคาน ก จะเกดการพงทลายทนท ขอดอย 1. เกดความเคนเนองจากการเคลอนทของจดรองรบ สาหรบแบบอนดเทอรมเนททางสถต เชน คานทมจดรองรบมาก หากเกดการทรดตวจะดงรงใหคานตกตามไปดวย และเกดความเคนเพมขน จากรปท 1.4 หากจดรองรบ B เกดการเปลยนตาแหนงจะรงใหคานลงไปได และจะเกดความเคนเพมขนสาหรบคาน ข (สงเกตไดวาคานมการดดโคง) แตจะไมมความเคนสาหรบคาน ก 2. เกดความเคนเนองจากการเปลยนอณหภม และการประกอบชนสวนผดพลาด การเปลยนแปลงอณหภมทาใหชนสวนโครงสรางเกดการยด-หด หากมการยดรง จะทาใหการยด-หดไมสามารถเกดขนไดอยางอสระ และจะเกดความเคนขนได จากรปท 1.5 เมอมการยด-หด หากจดรองรบ B มสภาพยดรง จะทาใหเกดแรงตานการยดรง และเกดความเคนในวสด คาน ก คาน ข
การแอนตวของคานดเทอรมเนททางสถต
การแอนตวของคานอนดเทอรมเนททางสถต
รปไดอะกรมของโมเมนตดด รปไดอะกรมของโมเมนตดด
รปท 1.2 เปรยบเทยบคานแบบดเทอรมเนททางสถต และอนดเทอรมเนททางสถตรบนาหนก
บทท 1 บทนา
หนาท 1-4
จดตอหมนไดภายใน (internal hinge)
คานยงคงมเสถยรภาพทางสถต
จดตอหมนไดภายใน (internal hinge)
คานไมมเสถยรภาพทางสถต คาน ก ดเทอรมเนททางสถต คาน ข อนดเทอรมเนททางสถต
รปท 1.3 การรกษาเสถยรภาพเมอการรบภาระเกนกาลงของจดรองรบ
จดตอหมนไดภายใน (internal hinge) คาน ก ดเทอรมเนททางสถต คาน ข อนดเทอรมเนททางสถต
รปท 1.4 ความเคนทเกดขนมจดรองรบมการเปลยนตาแหนง คาน ก ดเทอรมเนททางสถต คาน ข อนดเทอรมเนททางสถต
รปท 1.5 ความเคนทเกดขนมจดรองรบมการยด-หด
บทท 1 บทนา
หนาท 1-5
1.3 การจาแนกชนดโครงสราง ในธรรมชาตโครงสรางทกรปแบบทใชสาหรบถายนาหนกจากจดหนงไปยงอกจดหนงจะเปนรปทรง 3 มต โดยหลกการแลว ในการวเคราะหอาจจาลองเปนโครงสรางยดหยน 3 มตและแกปญหาระบบสมการตางๆ เพอใหไดการตอบสนองของโครงสรางเนองจากแรงกระทา อยางไรกตาม การวเคราะหแบบ 3 มตจะมความยาก และใชเวลาในการวเคราะหมาก หลายๆกรณ โครงสราง จะมคณลกษณะของรปทรงและแรงกระทาทสามารถทาการวเคราะหใน 2 มต ซงจะทาใหลดความยงยากและลดเวลาทใชในการวเคราะหลงมาก รปแบบโครงสรางสวนใหญทใชในการรบนาหนกไดแก คาน (beams) โครงถกในระนาบ (plane truss) โครงถก 3 มต (space truss) โครงขอแขงระนาบ (plane frame) โครงขอแขง 3 มต (space frame) ชนสวนโคง (arches) เคเบล (cables) โครงสรางแผนบาง (plates และ shells) เปนตน ดงรปท 1.6 โครงสรางแตละชนดจะมลกษณะในการรบแรงแตกตางกนออกไป
โครงสราง 2 มต และ 3 มต รปท 1.6 (ก)
บทท 1 บทนา
หนาท 1-6
รปท 1.6 (ข) รปแบบโครงสรางทวไป
รป 1.6 รปแบบโครงสรางตางๆ คาน คอ โครงสรางองคประกอบอยางงายทใชงานอยางกวางขวางเพอรองรบนาหนกกระทา รปรางคานอาจเปนคานตรงหรอคานโคง ดงแสดงในรป. 1.7 (ก) เปนจดรองรบหมนได (hinged) ทางดานซาย และ เปนจดรองรบเลอนได (roller) ทางปลายดานขวา โดยปกต แรงกระทาจะสมมตใหกระทาบนคานในระนาบแกนสมมาตรของหนาตดคาน คานอาจมจดรองรบทงสองจดหรอมากกวานนตามทปรากฏในรป 1.7 (ข) บางทคานอาจโคงในระนาบตามทปรากฏในรป 1.7(ค) คานแบกรบนาหนกโดยการกระจายไปในระนาบเดยวกนโดยไมทาใหเกดการบดหากคานทมแกนสมมาตร โดยทวไปความเคนภายในหนาตดของคานจะเกดจาก โมเมนตดด แรงเฉอน และแรงตามแนวแกน
บทท 1 บทนา
หนาท 1-7
โครงสรางแบบระนาบโครงถก (plane trusses) (ดงรปท 1.8 (ก) (ข), (ค)) เปนโครงสรางทพบเหนไดทวไปในโครงสรางทมชวงพาดยาว เชน สะพาน หลงคาโรงงาน เปนตน โครงสรางประเภทน จะประกอบขนจากชนสวนยอยเชอมตอเขาดวยกนดวยจดยดหมนได (hinges) ใหมลกษณะเปนรปรางแบบโครงสามเหลยม (triangulated patterns) ชนสวนแตละชนจะรบเพยงแรงตามแนวแกนและแรงจะมขนาดคงทตลอดความยาวของชนสวนนน ๆ จดรองรบของโครงสรางจะเปนแบบหมนได (hinged) sหรอไมกแบบเลอนได (roller) แมวาในการกอสรางจรง จดเชอมตอของชนสวนมกจะทาใหยดแนนโดยวธการเชอม อยางไรกตาม การวเคราะหจะคดใหมลกษณะเปนจดตอหมนได โดยความคลาดเคลอนทเกดนนมเพยงเลกนอยจนสามารถละเลยได สาหรบโครงถก 3 มต (space truss) (ดงรปท 1.8 (ง)) เมอมแรงกระทา ชนสวนอาจเคลอนออกในทก ๆ ทศทาง
รปท 1.7 คานแบบตางๆ
(ก) คานธรรมดา
(ข) คานตอเนอง
(ค) คานโคง
บทท 1 บทนา
หนาท 1-8
(ก) Pratt Truss
(ข) Warren Truss
(ค) Double Warren Truss
รปท 1.8 โครงถกแบบตางๆ
(ง) Space Truss
บทท 1 บทนา
หนาท 1-9
โครงขอแขงระนาบ (plane frames) ประกอบจากชนสวนประเภทคานและเสา และยดใหแนนทจดเชอมตอตามทปรากฏในรป. 1.9 (ก). แรงภายในทเกดขนบนหนาตดใดๆของชนสวน คอ โมเมนตดด แรงเฉอน และแรงตามแนวแกน สาหรบโครงขอแขง 3 มต (space frames) (ดงรปท 1.9 (ข)) ชนสวนจะวางเอยงตวในทศทางใดๆ
ครงขอแขงรปท 1.9 โ 1.4 สมการสมดลแรง
พจารณากรณ หนงสอวางอยบนโตะทไมมความฝดบนพนผว หากมแรงตามแนวนอน F1 ดงรปท 1.10 (ก) หนงสอจะเคลอนทในทศทางของแรงทกระทา แตหากใหแรงกระทาตงฉากกบหนงสอ ดงรปท 1.10 (ข) หนงสอจะอยในตาแหนงเดม เนองจากในกรณน ผลรวมเวกเตอรของแรงทงหมดทกระทากบหนงสอมคาเปน ศนย เมอวตถเคลอนท นวตนไดอธบายโดยอาศยกฏของทสองทเปนทรจกใน กฏของการเคลอนท ตามสมการเวกเตอร อาจเขยนไดดงน
(1.1)
n
lii maF
บทท 1 บทนา
หนาท 1-10
รปท 1.10(ก)
รปท 1.10(ข)
รปท 1.10 เงอนไขสมดลแรงของวตถ
ซง คอ เวกเตอรรวมแรงกระทาภายนอกทกระทากบวตถ m คอ มวลรวมของวตถ และ a คอ เวกเตอรความเรง แตหากวตถอยในภาวะสมดลทไมมการเคลอนท คาในทางขวาของสมการตองเทากบศนย นอกจากนน ผลรวมเวกเตอรทงหมดของโมเมนตภายนอกตองมคาเทากบศนยดวย 0M ดงนน หนงสอทวางอยบนโตะรบแรงภายนอกตามทปรากฏในรป1.10 (ข) จะอยในสภาพสมดลสถต สมการสมดลนนเปนไปตาม กฏขอทสองของนวตน สาหรบเวกเตอรแรงกระทาใน 3 มตจะสามารถแตกเปนเวกเตอรทตงฉากในสามแกน ไดแก X, Y และ Z (Cartesian) ในสภาวะสมดล ผลรวมของเวกเตอรแรงรวมทงโมเมนตจะมคาเปนศนย ดงน
li
iFn
(1.2) 0 ;0;0 zyx FFF
(1.3) ;0;0 zyx MMM 0
เมอพจารณาโครงสรางซงอยในระนาบ xy โดยแรงกระทาเฉพาะในทศ x และ y และโมเมนตภายนอกกระทาบนโครงสรางรอบแกน z เงอนไขของสมดลสถต สามารถอธบายเปนสมการไดดงน
บทท 1 บทนา
หนาท 1-11
(1.4) 0;0;0 zyx MFF
โดยอาศยสามสมการทกลาวขางตน จะสามารถหาแรงปฏกรยาทจดรองรบในคานดงปรากฏในรป. 1.11 ได และจะประเมนผลลพธของความเครยดภายในหนาตดคานตอจากนได หากจานวนของปฏกรยาทไมทราบคามากกวาจานวนของสมการสมดล (เชนในกรณของคานทปรากฏในรปท 1.12) จะไมสามารถจะหาแรงปฏกรยาโดยอาศยเฉพาะสมการสมดล โครงสรางดงกลาว เปนทรจกกนวาเปนโครงสรางแบบอนดเทอรมเนท (statically indeterminate) ในกรณดงกลาว การวเคราะหตองการสมการเพมเตม (compatibility equations) นอกเหนอจากสมการสมดลทมอย
รปท 1.11 คานดเทอรมเนท
รปท 1.12 คานอนดเทอรมเนท 1.5 อนดเทอรมเนทเชงแรง วตถประสงคของการวเคราะหโครงสรางนนเพอหาแรงปฏกรยาภายนอก รปรางทผดรปไป และความเคนภายในโครงสราง หากสามารถหาผลลพธเหลานนโดยใชแคสมการสมดลแลวโครงสรางนนเปนทรจกกนวาเปนโครงสรางแบบดเทอมเนท (determinate) อยางไรกตาม โครงสรางโดยทวไปมกจะไม
บทท 1 บทนา
หนาท 1-12
สามารถทจะคานวณหาแรงปฏกรยาหรอความเคนภายในโดยใชเพยงแคสมการสมดลเทานน เรยกโครงประเภทนวา โครงสรางแบบอนดเทอนมเนท (indeterminate) หรอ เปนโครงสรางทไมทราบคาแรง ในโครงสรางดงกลาว อาจไมทราบคาแรงภายใน (Internal indeterminate) หรอภายนอก (External indeterminate) หรอทงสองแบบกได โครงสรางจะเปน externally indeterminate หากจานวนของปฏกรยามมากเกนจานวนสมการสมดล ดงเชนคานทปรากฏในรปท 1.13 (ก) และ (ข) มแรงปฏกรยาสแรงในขณะทมสมการสมดลเพยงสามสมการ ดงนนคานในรปท 1.13 (ก) และ (ข) เปน externally indeterminate ดกรท 1 เชนเดยวกบคานและเฟรมดงแสดงในรปท 1.13 (ค) และ (ง) ซงเปน externally indeterminate ดกรท 3
พจารณาโครงถก (trusses) ทปรากฏในรปท 1.14 (ก) และ (ข). ในโครงสรางเหลานแรงปฏกรยาอาจหาไดตามสมการสมดล อยางไรกตามชนสวนของแรงไมสามารถพจารณาตามหลกสถตศาสตรไดเพยงอยางเดยว ในรปท 1.14 (ก) หากชนสวนหนงในแนวทแยงถกลบออก (ตด) จากโครงสรางแลวแรงในชนสวนทเหลอนนจะสามารถคานวณไดตามสมการสมดล ดงนนโครงสรางทปรากฏ
รปท 1.13 โครงสรางแบบ Externally Statically
(ก)
(ข)
(ค)
(ง)
บทท 1 บทนา
หนาท 1-13
ในรปท 1.14 (ก) และ (ข) จงเปนโครงสรางแบบ internally indeterminate ดกรทหนง โครงถก (truss) และ โครงขอแขง (frame) ในรปท 1.15 (ก) และ (ข) เปนโครงสรางแบบ internally-externally indeterminate
โครงสรางอนดเทอรมเนทเชงแรงแบบภายใน
(ก) Plane Truss
(ข) Space Truss
รปท 1.14
บทท 1 บทนา
หนาท 1-14
จากทผานมา ไดกาหนดในระดบของอนดเทอรมเนท (Degree of indeterminacy) โดยวธการพจารณารปทรง แตวธการดงกลาวจะทาไดลาบากขนเมอจานวนชนสวนของโครงสรางเพม โดยจาเปนตองสรางสมการในการคานวณ พจารณาโครงสราง truss ทมชนสวนจานวน m (1 ชนม 1 แรงตามแนวแกน) และจานวนขอตอ j ใหจานวนของแรงปฏกรยาทไมรในโครงสรางคอ r รวมจานวนแรงทไมทราบคาทงหมดคอ m + r เมอพจารณาแตละจดตอ 1 ตาแหนงใดๆ จะสามารถเขยนสมการสมดลแรง
ไดสองสมการ ไดแก และ 0xF 0yF ดงนน จานวนสมการสมดลทงหมดจากจานวนจดตอจะมอย 2j สมการ หากนาจานวนสมการมาเทยบกบจานวนแรงไมทราบคา โดยเมอ rmj 2 โครงสราง ดงกลาวจะเปนโครงสรางชนด statically determinate เนองจากจานวนแรงทไมทราบคานนเทากบจานวนของสมการสมดลทสามารถนามาใช สาหรบการคานวณหา Degree of indeterminacy จะสามารถหาไดจาก
(1.5) ตอจากน จะสามารถเขยนสมการเพอคานวณ ระดบของอนดเทอรมเนท (Degree of indeterminacy) อยางงาย ๆ สาหรบกรณโครงถก 3 มต (space truss) หรอ โครงขอแขงระนาบ (plane
(ก) Plane Truss
(ข) Plane Frame
รปท 1.15 โครงสรางอนดเทอรมเนทเชงแรงแบบภายนอกและภายใน
jrmi 2
บทท 1 บทนา
หนาท 1-15
frame) และ โครงขอแขง 3 มต (space frame) ดงตวอยางเชน กรณ โครงขอแขงระนาบ (plane frame) แสดงดงรปท 1.16(ค) มชนสวน 15 ชน (1 ชน ม 1 แรงตามแนวแกน 1 แรงเฉอน และ 1 โมเมนตดด รวมเปน 3 แรง) มจดตอ 12 จด (1 จดยดแขงมสมการสมดลแรง 3 สมการ) และ 9 แรงปฏกรยา ดงนน เมอเทยบจานวนแรงทไมทราบคา กบ จานวนของสมการสมดล จะคานวณได ระดบของอนดเทอรมเนท (Degree of indeterminacy) ของโครงสรางคอ
183129315 i (1.6)
(ก) Continuous Beam
(ข) Plane Frame
(ค) Plane Frame
โครงสรางอนดเทอรมเนทเชงแรง รปท 1.16
บทท 1 บทนา
หนาท 1-16
1.6 อนดเทอรมเนทเชงการเคลอนท เมอโครงสรางรบแรงกระทา จดตอตางๆจะเกดการเคลอนทในรปแบบของการเปลยนตาแหนง (Translation) และ การหมน (Rotation) ในการวเคราะหโดยวธการเคลอนทนน การเคลอนทของจดตอจะพจารณาใหเปนคาทไมทราบ (Unknown quantities) พจารณาคานยนมจดรองรบหมนไดทปลาย (Propped cantilever beam) ดงปรากฏในรปท 1.12 (ก). โดยทวไป ความแขงตามแนวแกนของคานนนคอนขางมากเทยบกบความแขงดด ดงนนการเปลยนแปลงทเกดขนตามยาวของคานนนอาจจะละเลยไมตองนามาคดได การเคลอนทตรงจดรองรบทยดแนนนนมคาเปนศนย ดงนน มเพยงคาของมมทบดไปทตาแหนง B เทานน ทยงไมทราบวาจะเกดขนเทาไหรเมอมแรงกระทา และคามมหมนน เรยกวาเปน kinematic indeterminacy ของโครงสราง สาหรบคานทถกยดไวทงสองขาง จะเปนโครงสรางแบบ kinematically determinate แตหากพจารณาปรมาณแรงทไมทราบคา กจะเปนโครงสรางแบบ statically indeterminate ระดบสามดกร โดยคานธรรมดาทวไปและคานยนนนเปน kinematically indeterminate ระดบสองดกร
(ก) Propped Cantilever Beam
(ข) Cantilever Beam
(ค) Simply Supported Beam
โครงสรางอนดเทอรมเนทเชงการเคลอนท รปท 1.17
บทท 1 บทนา
หนาท 1-17
การเคลอนทของจดตอในแตละทศทางตางๆทเกดขนนนจะเปนการรกษาอสระตอกน จานวนทศทางของการเคลอนทของจดตอทอสระนนเรยกวา ระดบดกรอนดเทอรมเนทของการเคลอนท (degree of kinematic indeterminacy) หรอจานวนดกรแหงความเปนอสระ (degree of freedom) ในโครงขอแขงสราง (frame) ดงแสดงในรปท 1.18 จดตอ B และ C มคาความอสระ 3 degree of freedom อยางไร
กตาม หากไมคดการเปลยนแปลงของชนสวนตามแนวแกน 41 uu และคาการเคลอนทในทศทาง
และ จะสามารถสมมตใหมคาเปนศนย ได ดงนน โครงสรางจะมการเคลอนทของจดตอ 3 ทศทางทอสระดงแสดงทรป 1.18 นนคอ การหมนทจดตอ B และ C และการเคลอนทในแนวราบอก 1 ทศทาง
2u
4u
ครงขอแขงโรปท 1.18
บทท 1 บทนา
หนาท 1-18
1.7 โครงสรางไรเสถยรภาพ คานซงมจดรองรบชนดเลอนได (roller) ทปลายทงสองขาง (ดงรปท 1.19 ) จะสามารถอยในสภาวะสมดลถาแรงลพธของแรงกระทาอยในแนวดง แตหากเปนแรงกระทาโดยทวไป คานจะไมอยในสภาวะสมดล เมอมระบบของแรงซงผลลพธมทศในแนวราบกระทากบคาน โครงสรางจะเคลอนทเปนกอนแขง (rigid body) โครงสรางดงกลาวจะอยในสภาพทเรยกวา kinematically unstable structure
รปท 1.19 โครงสรางไรเสถยรภาพ
บทท 1 บทนา
หนาท 1-19
ในโครงสรางภายใตแรงกระทาใดๆ นอกจากจะตองสอดคลองกบเงอนไขสมดลของแรงแลว โครงสรางยงตองเปนไปตามเงอนไขความสอดคลอง โดยกลาวไดวา โครงสรางจะเกดการเคลอนทและการหมนอยางตอเนองผานโครงสรางและความสอดคลองตามธรรมชาตของจดรองรบ ตวอยางเชน จดรองรบแบบยดแนนนนมคาการเคลอนทและความชนเปนศนย
พจารณา สปรง ทมความยดหยนเปนลกษณะเสนตรงดงแสดงในรปท 1.20 หากดาเนนการทดสอบอยางงาย ดงน กาหนดแรง P1 ณ ตาแหนงปลายของสปรง และ กาหนดใหการเคลอนทเปน u1
1.8 เงอนไขความสอดคลองทางการเคลอนท
1.9 ความสมพนธระหวางแรง-การเคลอนท
รปท 1.20 ความสมพนธระหวางแรง-การเคลอนท
P P P
บทท 1 บทนา
หนาท 1-20
จากนน เพมขนาดแรงเปน P และเกดการเคลอนท u จากนน ลองทาซาโดยเปลยนคาแรง P P P2 2 1 2 3 Pn ผลลพธทแสดงในลกษณะของกราฟไดแสดงไวดงรปขางตนน ซงแรงกระทาแสดงอยบนแกน y และการเคลอนทนนอยบนแกน x ความชนของกราฟนนคอคา stiffness ของสปรงและใหเปน k คานวณไดดงน
(1.7) kuP
คา stiffness ของสปรงนนอาจจะนยามวาเปน ขนาดของแรงในหนาตดของสปรงททาใหเกดการเคลอนท เทากบ หนง คา stiffness มหนวยเปน แรงตอสวนทยดออก สวนกลบของคา stiffness คอคา flexibility โดยใหสญลกษณเปน a และมหนวยเปน ระยะการเคลอนทตอแรง
ka
1
(1.8) สมการ (1.8) อาจเขยนใหมดงน
aPPk
u 1 (1.9) kuP
ความสมพนธดงกลาวเปนความสมพนธของสปรงในชวงยดหยน สาหรบตวอยาง คานอยางงาย
มแรงกระทาแบบจดทตาแหนงกลางชวงคาน คาการโกงตวทตาแหนงกลางคานเขยนเปนสมการไดดงน
(1.10) uL
EI
3
48orP
EI
PLu
3
48
คา stiffness ของโครงสราง คอ ขนาดแรงททาใหเกดการเคลอนท 1 หนวย ดงนน คาของ stiffness ของคานมคาเทากบ
3
48
L
EIk
(1.11)
ดงตวอยางทสอง พจารณาคานยนทรบแรงกระทาเปนจด P คานจะเกดการโกงลงเทากบ u คานวณไดดงน
(1.12) ZZEI
PL
3
3
u
บทท 1 บทนา
หนาท 1-21
สาหรบคานทมหนาตดคงท ยาว L ,Young’s modulus E และ moment of inertia การโกงตวนนเปนสดสวนโดยตรงกบขนาดแรงกระทาดงสมการ 1.13 เขยนไดดงน
zzI
(1.13) aPu
zzEI
La
3
3
ซง a คอ สมประสทธความยดหยน และ โดยทวไปกาหนดให คอสมประสทธ
ความยดหยนซง I คอแรงหนงหนวยกระทาท j ดงนน คา stiffnessของคานคอ
ija
311
11
31
L
EI
ak
(1.14)
1.10
การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต
วตถแขงเกรงใดๆ ทรบแรงกระทา จะตองสอดคลองสมการพนฐาน 3 ประการ ดงทไดกลาวขางตน ดงน 1. สมการสมดลของแรง (Equilibrium equations) 2. ความสอดคลองทางการเคลอนท(Compatibility conditions) 3. ความสมพนธระหวางแรงและการเปลยนตาแหนง (Force-displacement relations) ตวอยางท 1 และ 2 แสดงการวเคราะหโครงขอหมนแบบดเทอรมเนททางสถต และอนดเทอรมเนททางสถต ตามลาดบ จะเหนวา การวเคราะหหาแรงในโครงขอหมนแบบดเทอรมเนททางสถตจะสามารถทาไดโดยอาศยเพยงสมการสมดลของแรงอยางเดยว ในขณะทการหาแรงในโครงขอหมนแบบอนดเทอรมเนททางสถตจะตองอาศยสมการความสอดคลองทางการเคลอนท และความสมพนธระหวางแรงและการเปลยนตาแหนง เขารวมดวย
บทท 1 บทนา
หนาท 1-22
ตวอยางท 1 การคานวณหาแรงในโครงขอหมนแบบดเทอรมเนททางสถต
EA = คงท = 20,000 k
โครงขอหมนทเกดการเปลยนรปรางเนองจาก
1. พจารณาสมดลของแรงทจด A ACABACABx FFFFF 06.06.0;0 (1) 05008.08.0;0 ACABy FFF (2) แทนคา ใน (2) ได ABAC FF
.5.312 kFF ACAB
ตวอยางท 2 การคานวณหาแรงในโครงขอหมนแบบอนดเทอรมเนททางสถต
EA = คงท = 20,000 k โครงขอหมนทเกดการ
เปลยนรปรางเนองจาก
บทท 1 บทนา
หนาท 1-23
1. พจารณาสมดลของแรง 06.06.0;0 ACABx FFF หรอ (1) ACAB FF
05008.08.0;0 ADACABy FFFF (2) แทนคา จาก (1) ใน (2) ได ABAC FF
(3) 5006.1 ADAB FF
2. พจารณาความคลองจองตอเนองของการขจด (Compatibility conditions) ADACAB 8.0 (4) 3. พจารณาความสมพนธระหวางแรงและการเปลยนตาแหนง
20000
20 ABABAB
AB
F
AE
LF
20000
20 ACACAC
AC
F
AE
LF (5)
20000
16 ADADAD
AD
F
AE
LF
แทนคาการเปลยนตาแหนงในสมการ (5) ในสมการ (4) จะได (6) ADACAB FFF 64.0
จากสมการ (3)และ (6) จะได
kFF ACAB 09.158 และ 247.02 k ADF
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-1
บทท การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
Analysis of Indeterminate Structures by The Method of
Consistent Deformations 2
เนอหา 2.1 บทนา 2.2 หลกการซอนทบ (Superposition) 2.3 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง (Method of Consistent Deformations) 2.4 การวเคราะหปญหาการเคลอนทของจดรองรบ การเปลยนแปลงอณหภม และการสรางชนสวนผดพลาด 2.5 วธงานทนอยทสด (Method of Least Work) วตถประสงค - เขาใจหลกการ และสามารถวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนทโดยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
2.1 บทนา ในบทน จะไดกลาวถงการวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง (Method of Consistent Deformations) ซงถอเปนวธการวเคราะหแบบวธแรง (Method of Force) วธหนง
เปนทเขาใจดวา โครงสรางแบบอนดเทอรมเนทนน จะมจานวนการยดรงมากเกนไป (เกนวาทตองการใหเกดเสถยรภาพ) หรอ กลาวไดวา จานวนแรงกระทาโดยแรงปฏกรยามมากกวาจานวนสมการสมดลแรง ดงนน การวเคราะหจงจาเปนตองคานวณหาแรงปฏกรยาทเกนกอน (Redundants) หลงจากนนจงทาการคานวณหาแรงทเหลอโดยสมการสมดลแรง
ในการหาขนาดและทศทาง ของแรงปฏกรยาทเกน จะพจารณาแรงกระทาตอโครงสรางออกเปน 2 ชดคอ (1) โครงสรางหลก (Primary structure) รบแรงกระทาภายนอก และ (2) โครงสรางหลกรบแรงปฏกรยาทเกน แลวนาผลของแรงกระทามาทาการซอนทบ (Super-position) ดงแสดงในรปท 2.1 โดยการซอนทบจะตองมเงอนไขททาใหการเปลยนรปราง (Deformations) มความสอดคลองกบการเปลยนรปรางของโครงสรางเดม เรยกสมการเงอนไขการซอนทบนวา สมการความคลองจองตอเนองของการขจด (Compatibility equations)
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-2
2.2 หลกการซอนทบ
หลกการซอนทบ (Superposition) กลาววา “ ผลตอบสนองของโครงสรางเนองจากแรงกระทาหลายแรงพรอมกน เทากบ ผลรวมของผลตอบสนองของโครงสรางเนองจากแรงกระทาเดยวตางๆ” โดยทโครงสรางจะตอง (1) มระยะการเปลยนตาแนงนอยมาก และ (2) ประกอบดวยวสดอลาสตกเชงเสน รปท 2.2 แสดงการรวมกนของผลตอบสนองเนองจากแรงกระทา
การเปลยนรปรางเดม การเปลยนรปราง
เนองจากแรงภายนอก = +
เนองจากแรงสวนเกน*
โครงสรางยงคงมเสถยรภาพแรงสวนเกน คอ แรงปฏกรยาทเกดจากการยดรงของจดรองรบ โดยหากไมมการยดรงน *
การเปลยนรปราง
รปท 2.1 การรวมกนของการเปลยนแปลงรปรางเพอใหสอดคลองกบการเปลยนแปลงรปรางเดม
รปท 2.2 การรวมกนของผลตอบสนองเนองจากแรงกระทา
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-3
2.3 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความสอดคลองของการเปลยน รปราง
พจารณาคานยนทปลายมจดรองรบหมนได (Propped cantilever beam) ดงแสดงในรปท 2.3 (ก) ซงเปนคานทมคา DI=1 หรอคานทมจานวนจดยดรงสวนเกน (Redundant) เทากบ 1 หากเลอก Cy เปนแรงสวนเกน (Redundant) การวเคราะหจะเรมจากการหาขนาดแรง C โดย แบงเปน 2 ชดคอ y
ชดท1 การวเคราะหคานหลกรบแรงภายนอก P = 32 k ชดท2 การวเคราะหคานหลกรบแรงสวนเกน C y
โครงสรางเดมม =0 C
(ก) คานแบบอนดเทอรมเนททางสถตททาการวเคราะห
ชดท1 การวเคราะหคานหลกรบแรงภายนอก
+
=
Cชดท2 การวเคราะหคานหลกรบแรงสวนเกน y
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-4
(ข) การซอนทบ (Superposition) โดยเงอนไขการซอนทบนนจะตองทาให การขจดในแนวดงทจดรองรบ C เทากบ 0
kC
C
Cf
Y
Y
YCCCOC
10
03.03.0
0
(ค) สมการความคลองจองตอเนองของการขจด ในแนวดงทจด C และการหาคา C y
รปท 2.3 การวเคราะหหาแรงสวนเกน (Redundant) C y
จากนน จะนาผลการวเคราะหทง 2 ชดมาทาการซอนทบ ดงรปท 2.3 (ข) โดยมเงอนไขการขจด
ในแนวดงทจดรองรบ C เทากบ 0 หรอจะไดสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (Compatibility equation) ดงรปท 2.3(ค) ทาใหสามารถแกสมการไดแรงสวนเกน C เปนคาตอบ จากนนจงแทนคา Cy y กลบเพอหาขนาดแรงปฏกรยาอนๆอก 3 คา โดยอาศยสมการสมดลของแรง 3 สมการตอไป จากรปท 2.3 สามารถสงเกตไดวา เงอนไขการซอนทบจะสอดคลองกบการเลอกแรงสวนเกน นนคอ เงอนไขการซอนทบคอ =0 และสาหรบในการวเคราะหโครงสรางรบแรง CyC จะทาการวเคราะหโดยใชแรง 1 หนวย แลวทาการคณผลตอบสนองดวยขนาดของแรง C (นนคอ fy cc เปนระยะแอนตวเนองจากแรง 1 หนวย ดงนน ระยะแอนตวเนองจากแรง C C จะมคาเทากบ f ) y cc y
2.3.1 เครองหมายและสญลกษณ (Notations and Sign Convention)
• สญลกษณ
2.3.2 ลาดบขนตอนการคานวณ
x
yบวก ตามแกน x-y
1
f12f22
21
1O2O
R1
11 21
R2
1222
01 02
x
yบวก ตามแกน x-y
x
yบวก ตามแกน x-y
1
f12f22
21 21
1O2O1O2O
R1
11 21
R1
11 21
R2
1222
R2
12
R2
1222
01 02 ตวหอยท 1 คอ ตาแหนงของคานทเกดระยะแอนตว ตวหอยท 2 คอ ตาแหนงของคานทเปนแรงกระทา
= ระยะแอนตวของโครงสรางหลกรบแรงภายนอกทจด 1 1O
12f
12
1
1O
12f
12
1
= ระยะแอนตวของโครงสรางหลกทจด 1
รบแรงสวนเกนทจด 2 = ระยะแอนตวของโครงสรางอนดเทอรมเนททจด 1
= ระยะแอนตวของโครงสรางหลกทจด 1
รบแรงหนงหนวยทจด 2
• ระบบเครองหมาย
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-5
ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต (Degree of static indeterminacy)
21DI = 2Redunda
ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน (Redundants) เพอจาลองโครงสรางหลกรบแรงภายนอก (primary structure) จะเหนวา เลอก R1 และ R2 (2 ตว) และทาการปลดเพอจาลองเปนโครงสรางหลก (primary structure) ซงเปนโครงสรางแบบดเทอรมเนททางสถต (Statically determinate structure) ขนตอน 3: วาดรปรางการแอนตว และสรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (Compatibility equation) (ทจด 1 และ 2 จะมระยะแอนตวในแนวดงเทากบ ศนย) ขนตอน 4: คานวณหาระยะแอนตวทงหมดในขนตอนท 3 ขนตอน 5: แกปญหาระบบสมการพรอมกน (simultaneous equations) เพอหาแรงสวนเกน R1 และ R2 ออกมา
ทจด 1 11O1211
11O1211 21 RfRf
ทจด 2 22O2221
22O2221 21 RfRf
2
1
2O
1O
2221
1211
2
1
R
R
ff
ff
ทจด 1
ทจด 2
หรอ
เขยนในรปของ matrix
1O 2O
R1
R2
=+
+
21
01 02
11111 Rf12121 Rf
21212 Rf22222 Rf
1O 2O
R1
R2
=+
+
21
01 02
11111 Rf12121 Rf
21212 Rf22222 Rf
ขอสงเกต: กรณไมมการทรดตวของ Support ท1 และ 2 คา และ จะเทากบ ศนย1 2
nt = 201 02
21 21DI = 2
01 02 Redundant = 2
แรงสวนเกนคอR และ R2 1
กรณไมมการทรดตวของจดรองรบ ท 1 และ 2 เงอนไขการซอนทบจะได เทากบ ศนย 2 และ 1
2O22212 ffR
1O
1
1211-1 ffR
ขอสงเกต ทศทางของ R1 นนถกสมมต หากการค
1O
1
1211-1 ffR
ขอสงเกต และ R2 านวณออกมา
เปนบวกกแสดงวาทสมมตนนถกตอง 2O22212 ffR
ทศทางของ R1 นนถกสมมต หากการค
และ R2 านวณออกมา
เปนบวกกแสดงวาทสมมตนนถกตอง
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-6
ขนตอน 6: นาคา แรงสวนเกน R และ R1 2 ทไดแทนกลบเขาไป แลวหาแรงปฏกรยาทเหลอโดยใชสมการสมดลแรง (Equilibrium equations)
• กรณโครงสรางทมดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต เทากบ n จะตองทาการวเคราะหโดยมจานวนแรงสวนเกน n คาพรอมกบการแกระบบสมการเชงเสน n สมการ ดงแสดง
2 1
2R2R
Reaction (redundants)
nnOnnnn
n
n
Rn
R
R
fff
fff
fff
.
.
.
.
.
.2
1
.....
.
.
.
.
.
.
.....
....
2
1
2O
1O
21
22221
11211
Flex
Actual displacements ORf
Displacements at es
ibility stiffnessredundant forcการเปลยนตาแหนง
เนองจากแรง 1 หนวย การเปลยนตาแหนงเนองจากแรงภายนอก
เงอนไขการซอนทบแรงปฏกรยาสวนเกน
ตวอยาง 1 จากโครงสรางในรป 2.3 (ก) วเคราะหหาแรงปฏกรยาโดยเลอกโมเมนตดด MA เปน แรงสวนเกน (Redundants) ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต DI = 1 ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน (Redundants) เพอจาลองโครงสรางหลกรบแรงภายนอก
และปลดการยดรงโมเมนตดดทจด A ออก เลอก MA
ขนตอน 3: วาดรปรางการแอนตว และสรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (Compatibility equation) (ทจด A จะมความชน เทากบ ศนย)
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-7
A คานหลกรบแรงสวนเกน M
คานอนดเทอรมเนททางสถต
คานหลกรบแรงภายนอก
สมการความคลองจองตอเนองของการขจดทจด A คอ 0 AAAAOA Mf (1)
ขนตอน 4: คานวณหาระยะแอนตวทงหมด ในขนตอนท 3 และแทนคาในสมการ (1)
EI
PLAO 16
2
(EI
Lf AA 3
ทศตามเขม) และ (ทศทวนเขม)
ขนตอน 5: แกสมการ เพอหาแรงสวนเกน M A
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-8
ftkPL
M
MEI
L
EI
PL
A
A
12016
20323
16
3
0316
2
ผลการคานวณเปน “บวก” แสดงวา มทศเดยวกบแรงหนงหนวย คอ ทวนเขม AM
ขนตอน 6: นาคาแรงสวนเกน MA ทไดแทนกลบเขาไป แลวหาแรงปฏกรยาทเหลอโดยใชสมการสมดลแรง (Equilibrium equations)
= 0 k
= 22 k = 120 k-ft
= 10 k
จากตวอยางท 1 และรปท 2.3 จะเหนวา เงอนไขการซอนทบจะขนอยกบการเลอกแรงสวนเกนในการวเคราะหซงจะทาใหการเปลยนตาแหนงของโครงสรางหลกเปลยนไป และเงอนไขการซอนทบเพอสรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (Compatibility equation) กจะแตกตางกนไปดวย
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-9
ตวอยาง 2 วเคราะหหาไดอะแกรมแรงเฉอน และแรงดดของคานตอเนอง
ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต DI = 1 ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน
และปลดแรงสวนเกนออก เลอก By
ขนตอน 3: วาดรปรางการแอนตว และสรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (ทจด B จะมระยะแอนแนวดง เทากบ ศนย) คานอนดเทอรมเนททางสถต คานหลกรบแรงภายนอก คานหลกรบแรงสวนเกน
สมการความคลองจองตอเนองของการขจด ทจด B คอ 0
yBBBOB Bf (1)
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-10
ขนตอน 4: คานวณหาระยะแอนตวทงหมด ในขนตอนท 3 และแทนคาในสมการ (1)
)(/125
)(125,28
3
3
EI
kNmkNf
EI
mkN
BB
BO
ขนตอน 5: แกสมการ เพอหาแรงสวนเกน By
)(225
0125125,28
kNB
BEIEI
y
y
ขนตอน 6: นาคาแรงสวนเกน B ทไดแทนกลบ แลวหาแรงปฏกรยา ทเหลอโดยใชสมการสมดลแรง y
(Equilibrium equations)
ไดอะแกรมแรงเฉอน (kN)
ไดอะแกรมโมเมนตดด (kN-m)
ดงแสดงในตวอยางท 1 และ 2 แรงสวนเกนทเลอกเปนแรงปฏกรยา (แรงภายนอก) แตอยางไรกตาม การวเคราะหสามารถเลอกแรงสวนเกนเปนแรงภายใน หรอ โมเมนตดดภายในได หากโครงสรางหลกทไดเปนโครงสรางทมความเสถยร และ ดเทอรมเนท ดงแสดงในตวอยางท 3
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-11
ตวอยาง 3 วเคราะหหาแรงปฏกรยา
10 m 5 m 5 m B
A
20 kN/m 80 kN
C E = 200 GPa I = 700(106) mm4
ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต DI = 1 ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน
เลอก M และปลดการยดรงโดยใสจดตอหมนไดภายในทจด B B
ขนตอน 3: วาดรปรางการแอนตว และสรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (ทจด B จะคาความแตกตางของความลาดชน เทากบ ศนย)
10 m 5 m 5 m
A B
C
80 kN 20 kN/m
A
B
C
=
BO,R
BO,L BO
A
B
C
fBB,R
fBB,L fBB
1 kN-m
+
140 kN 240 kN
0.2 kN 0.1 kN 0.1 kN
100 kN
20 kN/m 80 kN
BO=BO,R + BO,L
MB fBB=fBB,R + fBB,L
สมการความคลองจองตอเนองของการขจด ทจด B คอ BO+ fBB MB = 0
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-12
ขนตอน 4: คานวณหา และ f , , fBO,R BO,L BB,R BB,L ในขนตอนท 3 (การคานวณหาคาความลาดชนโดยวธงานเสมอน (Virtual work) หรอ วธคานคอนจเกต)
EIf
EIf
EIEI
RBBLBB
RBOLBO
33.333.3
33.133333.833
,,
,,
ขนตอน 5: แกสมการ เพอหาแรงสวนเกน MB
kNM
MEIEI
B
B
325
033.333.333.13333.833
คาแรงทไดตดลบ แสดงวามทศตรงขามกบโมเมนตดดหนงหนวย ขนตอน 6: นาคาแรงสวนเกน MB ทไดแทนกลบเขาไป แลวหาแรงปฏกรยา ทเหลอโดยใชสมการสมดลแรง (Equilibrium equations) หรอพจารณาการซอนทบในขนตอนท 3 จะได
)(5.107)325(1.0140
)(305)325)(2.0(240
)(5.67)325(1.0100
0
kNR
kNR
kNR
H
C
B
A
A
นอกจากการวเคราะหคานอนดเทอรมเนททางสถตแลว วธความสอดคลองของการเปลยนรปราง ยงสามารถนาไปวเคราะหโครงขอหมน (Trusses) และ โครงขอแขง (Frames) ไดอก โดยทยงคงรปแบบและขนตอนการวเคราะหดงทไดกระทาในการวเคราะหคานดงเดม ซงจะไดแสดงในตวอยางตอไปน
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-13
ตวอยาง 4 วเคราะหหาแรงภายในชนสวนโครงขอหมน
ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต DI = 1
ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน และปลดการยดรง D ออก เลอก Dx x
ขนตอน 3: สรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (ทจด D จะมระยะเลอนแนวราบ เทากบ ศนย)
โครงขอหมนอนดเทอรมเนททางสถตแบบภายนอก
+
=
โครงขอหมนหลกรบแรงภายนอก (Fo)
หลก Fo ในตารางการวเคราะห) ( โครงขอหมนหลกรบแรงสวนเกน D
ในตารางการวเคราะห) D(หลก u x
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-14
สมการความคลองจองตอเนองของการขจด คอ 0 xDDDO Df (1)
ขนตอน 4: คานวณหาระยะแอนตวทงหมด ในขนตอนท 3 และแทนคาในสมการ (1)
)(/120
)(/6.493,5 3
E
inf
E
ink
DD
DO
ขนตอน 5: แกสมการ เพอหาแรงสวนเกน (D ) x
0/120/6.493,5 3
xD
E
in
E
ink
)(78.45 kDx เครองหมายลบ แสดงวาแรงมทศตรงขามกบแรงหนงหนวย ขนตอน 6: นาคาแรงสวนเกน (Dx) ทไดแทนกลบเขาไป แลวหาแรงปฏกรยา ทเหลอโดยใชสมการสมดลแรง (Equilibrium equations) หรอพจารณาการซอนทบในขนตอนท 3 (หลกสดทายในตารางการวเคราะห) จะได ตารางการวเคราะห
แรงภายในชนสวนทไดจากการวเคราะห
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-15
ตวอยาง 5 วเคราะหหาแรงภายในชนสวนโครงขอหมน
AE = คงท
ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต DI = 1 (แบบภายใน)
ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกนภายใน เลอกปลดการยดรงภายในระหวาง EC โดยตดชนสวน EC ทาใหไมมการรงระหวางจด E และ C (อาจปลดชน BF กได) ขนตอน 3: สรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (คาเปลยนแปลงความยาวสมพทธของชนสวน EC เทากบ ศนย) โครงขอหมนอนดเทอรมเนททาง
สถตแบบภายใน =
0, CECECECEO Ff (1)
โครงขอหมนหลกรบแรงภายนอก (Fo)
หลก Fo ในตารางการวเคราะห) CE
โครงขอหมนหลกรบแรงสวนเกน Fหลก u(
CE
ในตารางการวเคราะห)
FCE
(
+
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-16
ขนตอน 4: คานวณหาระยะแอนตวทงหมด ในขนตอนท 3 และแทนคาในสมการ (1)
AE
ftf
AE
ftk
CECE
CEO
68.103
116,1
,
3
ขนตอน 5: แกสมการ เพอหาแรงสวนเกน (F ) CE
068.103116,1 3
CEF
AE
ft
AE
ftk
kFCE 76.10 เครองหมายบวก แสดงวาแรงมทศเดยวกนกบแรงหนงหนวย (แรงดง) ขนตอน 6: นาคาแรงสวนเกน (FCE ) ทไดแทนกลบเขาไป แลวหาแรงปฏกรยา ทเหลอโดยใชสมการสมดลแรง (Equilibrium equations) หรอพจารณาการซอนทบในขนตอนท 3 (หลกสดทายในตารางการวเคราะห) จะได แรงภายในชนสวนทไดจากการวเคราะห
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-17
จากตวอยางการวเคราะหโครงขอหมน (ตวอยางท 4 และ 5) จะเหนวา แรงสวนเกนจะเปนแรงปฏกรยาทจดรองรบหากโครงขอหมนมดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถตภายนอก และ แรงสวนเกน (Redundants) จะเปนแรงภายใน (การตดชนสวนภายใน) หากโครงขอหมนมดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถตภายใน
ตวอยาง 6 วเคราะหหาแรงปฏกรยาของโครงขอแขงดงรป
คงท EI =
ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต DI = 1 ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน
) เลอกปลดการยดรง (Ax
ขนตอน 3: วาดรปรางการแอนตว สรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (ทจด A จะมระยะเลอนแนวราบ เทากบ ศนย)
โครงขอแขงอนดเทอรมเนททางสถต 1 ดกร
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-18
0 xAAAO Af (1)
โครงขอแขงหลกรบแรงภายนอก
โครงขอแขงหลกรบแรงสวนเกน Ax
= +
ขนตอน 4: คานวณหาระยะแอนตวทงหมด ในขนตอนท 3 และแทนคาในสมการ (1)
EI
ftf
EI
ftk
AA
AO
3
3
67.666,6
500,67
ขนตอน 5: แกสมการ เพอหาแรงสวนเกน Ax
067.666,6500,67 33
xA
EI
ft
EI
ftk
)(13.10 kAx เครองหมายบวก แสดงวาแรงมทศเดยวกนกบแรงหนงหนวย ขนตอน 6: นาคาแรงสวนเกน Ax ทไดแทนกลบเขาไป แลวหาแรงปฏกรยาทเหลอโดยสมการสมดลแรง (Equilibrium equations)
จากตวอยางท 1 ถง 6 จะเหนวา เปนการวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตอนดบเดยว หากมโครงสรางมคาดกรของความเปนอนดเทอรมเนท เทากบ n สมการความคลองจองตอเนองของการขจดจะตองม n สมการ เพอเพยงพอทจะนามาหาแรงสวนเกนจานวน n แรงได ดง
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-19
แสดงในตวอยางท 7 อยางไรกตาม หากระดบคาอนดเทอรมเนท มากกวา 2 มกจะเปลยนวธการคานวณเปน วธการเคลอนตว (Displacement methods) แทนซงจะไดกลาวตอไปในบทท 4, 5 และ 6
ตวอยางท 7 วเคราะหหาไดอะแกรมแรงเฉอน และโมเมนตดดของคานตอเนอง ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต DI = 2 ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน
เลอกแรงสวนเกดเปน By และ Cy ขนตอน 3: วาดรปรางการแอนตว และสรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (ม 2 เงอนไขคอ ทจด B และ C จะมระยะแอนแนวดง เทากบ ศนย)
=
+
คานหลกรบแรงภายนอก
y คานหลกรบแรงสวนเกน B
คานอนดเทอรมเนททางสถต 2 ดกร
y คานหลกรบแรงสวนเกน C
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-20
สมการความคลองจองตอเนองของการขจด เงอนไขท B
0 yBCyBBBO CfBf (1) เงอนไขท C
0 yCCyCBCO CfBf (2) ขนตอน 4: คานวณหาระยะแอนตวทงหมด ในขนตอนท 3 และแทนคาในสมการ (1) และ (2)
EI
ftff
EI
ftff
EI
ftk
CBBC
CCBB
COBO
3
3
3
11.111,3
56.555,3
33.333,293
(จากกฏของแมกเวล (Maxwell’s law))
ขนตอน 5: แกสมการ เพอหาแรงสวนเกน B และ Cy y
056.555,311.111,333.333,293
011.111,356.555,333.333,293
yy
yy
CEI
BEIEI
CEI
BEIEI
)(44 kCB YY เครองหมายบวก แสดงวาแรงมทศเดยวกนกบแรงหนงหนวย
ขนตอน 6: นาคาแรงสวนเกน B และ Cy y ทไดแทนกลบเขาไป แลวหาแรงปฏกรยาทเหลอโดยใช สมการสมดลแรง (Equilibrium equations)
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-21
2.4 การวเคราะหปญหาการเคลอนทของจดรองรบ การเปลยนแปลงอณหภม และการสราง
ในบทกอนหนา การวเคราะหจะสมมตใหจดรองรบไมมการเคลอนทตามเงอนไขเรมตน เชน จดรองรบชนดยดแนน (Fixed support) จะไมเกดการหมน และไมเกดการเคลอนทในแนวตงและแนวราบ หรอ จดรองรบแบบหมนไดแบบ Pinned support จะหมนไดแตไมเกดการเคลอนทในแนวตงและแนวราบ เปนตน นอกจากนยงพจารณาใหอณหภมไมมการเปลยนแปลง ซงเปนผลตอการเปลยนแปลงความยาวของชนสวนโครงสรางได ทงน เนองจาก การเคลอนทของจดรองรบ หรอ การเปลยนแปลงความยาวของชนสวนในโครงสรางแบบอนดเทอรมเนทจะทาใหเกดหนวยแรงขน ในขณะทหากเปนโครงสรางแบบดเทอรมเนทจะไมเกด เนองจากโครงสรางโดยทงหมดจะเคลอนทไปพรอมๆกนเปนกอนแขง (Rigid body) ดงทไดกลาวในบทท 1
พจารณาคานตอเนอง ดงรปท 2.4 เมอจดรองรบ B และ C มการทรดลงเลกนอยขนาด B และ C ตามลาดบ ในการวเคราะห จะกาหนดให By และ Cy เปนแรงสวนเกน ในการวเคราะหเพอคานวณหาแรงสวนเกน จะทาคลายกบตวอยางท 7 ยกเวนเพยงกาหนดใหเงอนไขการซอนทบการเปลยนตาแหนงทจด B และ C ตองมขนาดเทากบระยะทรดของจดทงสองตามลาดบ ดงแสดงในสมการ ดานลางน เงอนไขท B
ByBCyBBBO CfBf เงอนไขท C
CyCCyCBCO CfBf
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-22
คานอนดเทอรมเนททางสถต
คานหลกรบแรงภายนอก
y คานหลกรบแรงสวนเกน B
y คานหลกรบแรงสวนเกน C
รปท 2.4 การวเคราะหกรณจดรองรบทรด
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-23
ตวอยางท 8 ใหวเคราะหหาแรงปฏกรยาของคานตอเนอง ทฐานรองรบ B มการทรดตวลง 5 มม.
กาหนดให E เทากบ 200 กกะปาสคล และ I เทากบ 410-4 ม4.
(ก) คานตอเนองเกดการทรดตวทฐาน B
(ข) คานหลกรบแรงหนงหนวยท B
(ค) คานหลกรบแรงหนงหนวยท C
ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต DI = 2 ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน
เลอก R และR หรอทาใหคานยน ABC เปนคานหลก Primary structure B C
ขนตอน 3: สรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-24
ม 2 เงอนไขคอ ทจด B และ C จะมระยะแอนแนวดง เทากบ B = -5 มม. เปนลบเนองจาก
เคลอนทลง และ = 0 มม.ตามลาดบ C
เงอนไขท B
B = BO + fBBRB + fBCRC สมการ (1) เงอนไขท C
C = CO + fCBRB + fCCRC สมการ (2)
โดยท BO CO เปนระยะขจดของคานหลกเนองจากแรงภายนอก และมคาเทากบศนยเนองจากไมมแรงภายนอกกระทา และ fij เปน ระยะขจดของคานหลกเนองจากแรงสวนเกนเทากบ 1 กโลนวตน ซงไมเกยวของกบการทรดตวของฐานรองรบ ดงรป (ข) และ (ค) ขนตอน 4: คานวณหาระยะแอนตวทงหมด ในขนตอนท 3 และแทนคาในสมการ (1) และ (2)
-0.005 = 0 + (125/3EI)RB + (625/6EI)RC 0 = 0 + (625/6EI)RB + (1000/3EI)RC ขนตอน 5: แกสมการในขนตอน 4 เพอหาแรงสวนเกน
แทนคา E = (200)(10 และ I=(4)(106 2 -4 ) kN/m ) m2 ลงในสมการขนตอน 4 และแกสมการขางตนจะไดวา
RB = -43.885 kN (ทศลง) และ R = 13.71 kN (ทศขน) C
ขนตอน 6: นาคาแรงสวนเกน (R และ RB C) ทไดแทนกลบเขาไป และคานวณแรงปฏกรยาของโครงสราง ทเหลอโดยสมการ Equilibrium 0;0 CBAy RRRF จะได
RA = = 30.175 kN (ทศขน) ;0 AM
MA = 82.325 kN (ทวนเขม)
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-25
จากตวอยางทวเคราะหนแสดงใหเหนวา โครงสรางทไมมแรงภายนอกกระทาเลย แตเมอเกดการทรดตวทจดรองรบจะทาใหเกดแรงปฏกรยาทจดรองรบตางๆ ทาใหเกดแรงเฉอน และโมเมนตดด หรอหนวยแรงเพมขนในชนสวน ซงเปนลกษณะของโครงสรางแบบอนดเทอรมเนท ตวอยางท 9ใหวเคราะหหาแรงปฏกรยาของคานตอเนอง หากฐานรองรบ A มการทรดตวลง 27.5 มม. ฐานรองรบ B มการทรดตวลง 47.5 มม. ฐานรองรบ C มการทรดตวลง 22 มม. และฐานรองรบ D มการทรดตวลง 10 มม. กาหนดให E เทากบ 200 กกะปาสคล และ I เทากบ 3000 มม4.
500 kN
10 m
D C B A
7.5 m 7.5 m 10 m
22 mm
A
500 kN
47.5 mm
10 mm B C D
C = 7 mm
เสนคอรดตอเชอมฐานรองรบของโครงสรางหลก
B = 25 mm
27.5 mm
7.5 m 10 m 7.5 m 10 m
ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต DI = 2 ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-26
เลอก RB และRC ขนตอน 3: สรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (ม 2 เงอนไขคอ ทจด B และ C จะมระยะแอนแนวดง เทากบ B และ C ตามลาดบ) เนองจากจด A จด B จด C และจด D ของคานตอเนอง มการทรดตวลง ดงนนการทรดตวสมพทธของจด B เทยบกบเสนคอรดหรอเสนตรงตอเชอมฐานรองรบ A และฐานรองรบ D ของคานหลก มคาเทากบ 47.5 – [ 10 + ( 27.5 – 10 )(25/35) ] = 25 มม. และการทรดตวสมพทธของจด C เทยบกบเสนคอรดตอเชอมฐานรองรบ A และฐานรองรบ D ของคานหลกมคาเทากบ 7 มม. ดงแสดงในรป นนคอ B = -0.025 ม. และ C = -0.007 ม. (เครองหมายลบแสดงทศทางลง) สมการความคลองจองตอเนองของการขจด คอ เงอนไขท B
B = BO + fBBRB + fBCRC
เงอนไขท C
C = CO + fCBRB + fCCRC
เนองจาก BO CO และ fij เปนระยะขจดของคานหลกเนองจากแรงภายนอกและระยะขจดของคานหลกเนองจากแรงสวนเกนเทากบ 1 กโลนวตน ซงไมเกยวของกบการทรดตวของฐานรองรบ ขนตอน 4: คานวณหาระยะแอนตวทงหมด ในขนตอนท 3 และแทนคาในสมการ (1) และ (2)
341,185/EI + (595.1/EI)RB + (488.4/EI)RC = -0.025 341,185/EI + (488.4/EI)RB + (488.4/EI)RC = -0.007
ขนตอน 5: แกสมการในขนตอน 4 เพอหาแรงสวนเกน
แทนคา EI = (200)(106)(3,000)(10-6) = 6(105) kN-m2 ลงในสมการขนตอน 4 จะได
0.569 + 9.918(10-4)RB + 8.140(10-4)RC = -0.025
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-27
0.569 + 8.140(10-4)RB + 9.918(10-4)RC = -0.007
แกสมการขางตนจะไดวา
RB = -374.6 kN (ทศลง) และ R = -273.3 kN (ทศลง) C
ขนตอน 6: นาคาแรงสวนเกน (R และ RB C) ทไดแทนกลบเขาไป และคานวณแรงปฏกรยาของโครงสราง อาศยหลกการวางซอนทบกนของแรงจะได
RA = 250 + (-0.714)(-374.6) + (-0.286)(-273.3) = 595.6 หรอ R = 595.6 kN (ทศขน) A
RD = 250 + (-0.286)(-374.6) + (-0.714)(-273.3) = 552.3 หรอ R = 552.3 kN (ทศขน) D
แรงปฏกรยาของโครงสรางแสดงดงรปดานลาง
500 kN
595.6 kN
A B C D
374.6 kN 273.3 kN 552.3 kN
0 kN
แรงปฏกรยาของโครงสราง
ตวอยางท 10 จงวเคราะหหาแรงในสปรงทรองรบทปลาย B ของคานยนดงรป EI = constant
L
Spring flexibility=f
w
C
B A
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-28
ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต DI = 1 ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน
เลอกปลดการยดรงแรงในสปรง XB ขนตอน 3: วาดรปรางการแอนตว และสรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (ทจด B จะมระยะแอนแนวดง เทากบ ) B
w
BB Xf
B A
=
คานอนดเทอรมเนททางสถต C
w B
A
EI
wLBO 8
4
คานหลกรบแรงภายนอก
+
B EI
LfBB 3
3
1
BX A
คานหลกรบแรงสวนเกน XB
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-29
BBBBBO Xf (1) ขนตอน 4: คานวณหาระยะแอนตวทงหมด ในขนตอนท 3 และแทนคาในสมการ (1)
EI
wLBO 8
4
EI
LfBB 3
3
และ
BB Xf ขนตอน 5: แกสมการ เพอหาแรงสวนเกน X B
BB XfXEI
L
EI
wL
38
34
)()/3(1
1
8
33
LfEI
wLX B เครองหมายบวก แสดงวาแรงมทศเดยวกนกบแรงหนงหนวย
2.5 วธงานทนอยทสด (Method of Least Work)
วธงานทนอยทสดเปนวธแรงทอาศยทฤษฎขอทสองของคาสตเกลยโนในการสรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจดแทน ทจะอาศยหลกการการวางซอนทบกนของการขจดดงเชนวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง วธงานทนอยทสดนโดยปกตแลวจะเหมาะสาหรบการวเคราะหโครงสรางซงประกอบไปดวยชนสวนรบแรงตามแนวแกนและชนสวนรบแรงดด ยกตวอยางเชน โครงสรางซงประกอบจากคานและโครงขอหมน หรอโครงสรางทประกอบจากคานและเคเบล เปนตน วธงานทนอยทสดนจะไมสามารถใชไดในกรณทโครงสรางมการทรดตวของฐานรองรบ โครงสรางทตองรบการเปลยนแปลงของอณหภมและโครงสรางทมการเปลยนรปเนองจากความผดพลาดจากการประกอบ
w
A
RB
B C
LAB LBC
รปท 2.5 คานอนดเทอรมเนททางสถต
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-30
พจารณาคานอนดเทอรมเนททางสถตในรปท 2.5 ซงไมมการทรดตวของฐานรองรบ หากเลอกแรงปฏกรยาในแนวดง ณ จด B (RB) เปนแรงสวนเกน และใหแรงสวนเกนนเปนแรงทไมรคาทกระทาตอคานจะไดวา พลงงานความเครยดของโครงสรางสามารถเขยนใหอยในรปของแรงภายนอกทรคา w และแรงทไมรคา R ดงน B
Wi = f ( w , RB ) (2.1) จากทฤษฎขอทสองของคาสตเกลยโน จะไดวาคาเดอรเวทฟของพลงงานความเครยดเทยบกบแรงมคาเทากบระยะขจดของแรงนนและมทศเดยวกบทศของแรงนน และเนองจากฐานรองรบ B ไมมการทรดตวจะได
0
B
i
R
W
(2.2)
สมการท (2.2) เปนสมการความคลองจองตอเนองของการขจดสาหรบวเคราะหหาแรงปฏกรยา R B
ในกรณทโครงสรางมดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถตเทากบ n พลงงานความเครยด
ของโครงสรางในรปของแรงภายนอกทรคา w และแรงสวนเกน X ทไมรคาจะเปน ,…, X1 n
Wi = f ( w, X1,…, Xn ) (2.3)
อาศยหลกการของงานทนอยทสดสาหรบแรงสวนเกนแตละตวจะได
0...
2
n
ii
B
i
X
W
X
W
R
W
(2.4)
เนองจากสมการท (2.2) และสมการท (2.4) เปนสมการเดอรเวทฟของพลงงานความเครยดเทยบกบแรงสวนเกนมคาเทากบศนย ดงนนสมการดงกลาวแสดงใหเหนวาแรงสวนเกนจะตองมคาททาใหพลงงานความเครยดทงหมดในโครงสรางมคานอยทสดหรอมากทสด อยางไรกตามพลงงานความเครยดสาหรบโครงสรางอลาสตกแบบเสนตรงนนจะไมมคามากทสด ทงนเนองจากพลงงานความเครยดจะเพมขนเมอแรงสวนเกนมคาเพมขน ดงนนคาทแทจรงของแรงสวนเกนททาใหโครงสรางสมดลและสอดคลองกบฐานรองรบจะตองทาใหโครงสรางมพลงงานความเครยดทนอยทสด ซงคอหลกการของงานทนอยทสด สมการท (2.2) และสมการท (2.4) นรจกกนในนามของสมการความคลองจองตอเนองของการขจดของคาสตเกลยโน (Castigliano’s compatibility equation)
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-31
ตวอยางท 11 จงวเคราะหหาแรงปฏกรยาของคานโดยวธงานทนอยทสด 80 kN 30 kN/m
ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต DI = 1 ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน
เลอก RB และเขยนแรงปฏกรยา RA และ RD ในรปของแรงสวนเกน RB และแรงภายนอกทรคา 0XF ; HA = 0 (1) 0DM ; RA(20) + 30(10)(15) – RB(10) + 80(5) = 0 RA = 245 – 0.5RB (2) 0YF ; RA + RB + RD – 80 -30(10) = 0 RD = 135 – 0.5RB (3) ขนตอน 3: สรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจดโดยอาศยทฤษฎขอทสองของคาสตเกลยโน สมการความคลองจองตอเนองของการขจดทจด B
C
5 m 5 m 10 m
D B A EI = คงท
80 kN 30 kN/m
B C D A
10 m 5 m 5 m
R = 245 – 0.5R R R = 135 – 0.5RB B B A D
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-32
0dx0
EI
M
R
M
R
W L
BB
i
แบงคานเพออนทเกรตออกเปน 3 ชวง คอ AB BC และ CD ชวง จดเรมตน ชวงอนทเกรต โมเมนตดด(M)
BR
M
AB CD BC
A D D
0-10 0-5
5-10
RA(x) – 30x(x/2) = (245 – 0.5RB)x -15x2 RD(x) = (135 – 0.5RB)x RD(x) – 80(x – 5) = (135 – 0.5RB)x – 80(x – 5)
-0.5x -0.5x -0.5x
dx0 EI
M
R
ML
B
dxxxRx
EI B
10
0
2155.02455.01
+
5
0
)5.0135)(5.0(1
xdxRxEI B
+ 0)5(80)5.0135()5.0(1 10
5
dxxxRx
EI B
-40,416.667 + 166.667RB = 0 ขนตอน 4: คานวณหาแรงสวนเกน
สมการความคลองจองตอเนองของการขจดทจด B ในขนตอน 3 จะได
RB = 242.5 kN ทศขน
ขนตอน 5: คานวณหาแรงปฏกรยา
กลบในสมการ (2) และ (3) จะได แทนคา RB
RA = 123.75 kN ทศขน RD = 13.75 kN ทศขน
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-33
ตวอยางท 12 จงวเคราะหหาแรงปฏกรยาทจด B และ C ของคานโดยวธงานทนอยทสด
w = 1.5 k/ft ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต DI = 2 ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน
เลอก RB และ RC และเขยนแรงปฏกรยา RA และ MA ในรปของแรงสวนเกน RB และ RC และแรงภายนอกทรคา w
ขนตอน 3: สรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจดโดยอาศยทฤษฎขอทสองของคาสตเกลยโน แบงคานเพออนทเกรตออกเปน 2 ชวง คอ AB และ BC
ชวงคาน
จดกาเนด
ชวงคาอนทเกรต
M BRM / CRM /
AB
BC
A
C
0=>10
0=>10
25.1)2010300()30(
2xRRxRR CBCB
25.1
2xxRC
-x+10
0
-x+20
x
3.1 สมการความคลองจองตอเนองของการขจดทจด B
00
L
BB dx
EI
M
R
M
EI = คงท A C
10 ft 10 ft B
M
C A
10 ft 10 ft
w = 1.5 k/ft
B
RC BR
= 300-10R -20RC A B
RA = 30-RB -RC
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-34
dxx
xRdxxx
RRxRR CCBCB )0(2
5.1)10(2
5.1)2010300()30(010
0
210
0
2
CB RR 3.8333.333106250 …………………….(1)
3.2 สมการความคลองจองตอเนองของการขจดทจด C
00
L
CC dx
EI
M
R
M
dxxx
xRdxxx
RRxRR CCBCB )(2
5.1)20(2
5.1)2010300()30(010
0
210
0
2
CB RR 7.26663.83330000 …………………….(2)
ขนตอน 4: คานวณหาแรงสวนเกน แกสมการ (1) และ (2) ในขนตอนท 3 จะได RB = 17.15 k RC = 5.89 k
ตวอยางท 13 จงวเคราะหหาโมเมนตดดทปลาย (Fixed-end moment, FEM) ของคานดงรป กาหนดให EI มคาคงทโดยวธงานทนอยทสด ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต เนองจากคานมจานวนของแรงปฏกรยา r เทากบ 6 แตมจานวนสมการสมดลเพยง 3 สมการ ดงนนคานจะมดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถตเทากบ 6 – 3 = 3 แตหากพจารณาสมดลแรงตามแนวแกนจะเหนวาแรงปฏกรยาทปลายทงสองมคาเทากบ ศนย ดงนนคานจะมดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถตเทากบ 2 (4 - 2 = 2) หรอ DI = 2 ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน
b a
L
P
B C
A
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-35
P
AMM / BMM
เลอก M และ M และเขยนแรงปฏกรยา R และ R ในรปของแรงสวนเกน M และ MA B A B A B และแรงภายนอกทรคา P ขนตอน 3: สรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจดโดยอาศยทฤษฎขอทสองของคาสตเกลยโน แบงคานเพออนทเกรตออกเปน 2 ชวง คอ AC และ BC
ชวงคาน
จดกาเนด
ชวงคาอนทเกรต
M /
AC
BC
A
B
0=>a
0=> b
ABA MMPbL
xM 1
BAB MMPbL
xM 2
L
x1 1
L
x 2
L
x1
L
x1 2
a b A B MA MB
C
X2 X1
R = 1/L (Pa + MB A – M )
R = 1/L (Pb + M – A B
M )
M2 MA
1/L (Pb + MB – MA)
V1 M1
X1
V2 MB
1/L (Pa+ MA– M ) B
X2
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-36
3.1 สมการความคลองจองตอเนองของการขจดโมเมนตดดทจด A
00
dxEI
M
M
M
M
W L
AA
i
EI
MMPbL
MLM
WABA
a
A
i 11
0
1 dxxx1
EI
MMPaL
ML BAB
b22
0
2 dxxx
= 0
06363
aL
L
PabLMLM BA (1)
3.2 สมการความคลองจองตอเนองของการขจดโมเมนตดดทจด B
00
dxEI
M
M
M
M
W L
BB
i
EI
MMPbL
MLM
WABA
a
B
i 11
0
1 dxxx
EI
MMPaL
ML BAB
b22
0
2 dxxx1
= 0
06636
aL
L
PabLMLM BA (2)
ขนตอน 4: คานวณหาแรงสวนเกน แกสมการ (1) และ (2) ในขนตอนท 3 จะได
2
2
L
PabM A ( 2
2
L
bPaM B ทศทวนเขม) และ (ทศตามเขม)
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-37
ตวอยางท 13 จงวเคราะหหาแรงดงของเคเบลเหลก BD โดยวธงานทนอยทสด โดยพจารณาพลงงานเนองจากแรงดดและพลงงานเนองจากแรงตามแนวแกน
ขนตอน 1: คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเนททางสถต DI = 1
ขนตอน 2: เลอกแรงสวนเกน
60 kN
D
C B
A
2 m 3 m
6 m
โครงไม E =10 GPa w
A = 65000 mm2 w
Iw = 500(106) mm4
เคเบลเหลก E = 200 GPa s
A = 200 mm2 s
0.316T
1.896T - 180
0.949T 60 kN T
60 + 0.949T
0.316T B C
x1
x2
เลอกแรงดงในเคเบล T เปนแรงสวนเกนทไมรคา และเขยนแรงปฏกรยาทจด A ในรปของแรงสวนเกน T และแรงภายนอกทรคา 60 kN
A
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-38
TM / TF
ขนตอน 3: สรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจดโดยอาศยทฤษฎขอทสองของคาสตเกลยโน
แบงโครงไมเพออนทเกรตออกเปน 2 ชวง คอ AC และ BC เพอหาคาพลงงานความเครยดเนองจากแรงดดและเนองจากแรงตามแนวแกน และพจารณาชนสวนเคเบลเหลก สาหรบคาพลงงานความเครยดรบแรงตามแนวแกน
N1=0
60 kN
M1=-60x1 C
V1=60 kN
x1
0.949T
N2 = -0.949T - 60
M2 = 0.316Tx2 - 180
V2=-0.316T
0.316T
60 kN
B C
x2
ชวงคาอนทเกรต หรอการบวกรวม
จดกาเนด
ชวง M F /
CB C x1 = 0=>3 -60x1 0 0 0
BA B x2 = 0=> 6, L =
6 0.316Tx2 - 180 -0.949T – 60 0.316x2 -0.949
BD - L = 0 - 1 6.324 T
สมการความคลองจองตอเนองของการขจดทจด คอ B
0dx0
EA
FL
T
F
EI
M
T
M
T
W Li
แ
ทนคาสมการตางๆ ในตาราง จะได
WW
i
IET
W 13
0
1
dx)x60)(0(
WW IET 2
6
0
22
dx)x316.0)(180x316.0(
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-39
WWWW AEAE
60)(6)-0.949T(-0.949)(-)3)(0)(0( 0
)324.6)()(1(
SS AE
T
หรอ
06.324T341.645.4T1023.842.7
SSWWWWWW
WW IE AEAEAEIE
T
แทนคา EW IW AW ES และ AS ลงในสมการความคลองจองตอเนองของการขจดทจด B ในล T จะได
T = 127.1 kN (แรงดง)
ขนตอน 4: คานวณหาแรงสวนเกน ขนตอน 3 และแกสมการหาคาแรงดงในเคเบ
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-40
แบบฝกหดทายบท การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง แบบฝกหด ฝ2.1-2.5 วเคราะหหาแรงปฏกรยาของคานโดยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
40 kN 60 kN ฝ2.1 ฝ2.2
ฝ2.3
ฝ2.4
ฝ2.5
15m 15m
Spring stiffness k = 144 kN/m
2 kN/m Ib = 3.861010 mm4 Eb = 4.176 kN/mm2
C
A B
D
C A B D
5 m 5 m 10 m 10 m
E = 200 Gpa E I = 500(106) mm4
จดหมนไดภายใน w
C A
5m 5m 10m 5m
EI = คงท 10 kN/m
20 kN 40 kN
B D E
C
A B
D
5 m 5 m 20 m
60 kN 20 kN/m
E = 200 Gpa I = 500(106) mm4
B A คงท EI =
L/2 L/2
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-41
แบบฝกหด ฝ2.6-2.8 วเคราะหหาแรงในชนสวนของโครงขอหมนโดยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง 20 kN F ฝ2.6
E
ฝ2.7
ฝ2.8
EA = คงท
10 kN
C
A B
D
3 m.
3 m.
4 m.
100 kN 100 kN
D C
A B
100 kN
4 m
80 kN
60 kN
A B
D
C
5 m.
5 m.
3 m EA = คงท
EA = คงท
5 m 5 m
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-42
แบบฝกหด ฝ2.9-2.11 วเคราะหหาแรงปฏกรยาของโครงขอแขงโดยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง 10 kN/m ฝ2.9
ฝ2.10
ฝ2.11
C
A
20 kN/m
60 kN
B
8 m.
10 m. EI = คงท
C
A
20 kN
B
D
5 m.
3 m. E = คงท
2I
I 2I
3 m.
E
15 kN/m
3 m 5 m
B C
4 m
EI = คงท D A
บทท 2 การวเคราะหโครงสรางอนดเทอรมเนททางสถตดวยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง
หนาท 2-43
แบบฝกหด ฝ2.12-2.13 วเคราะหหาแรงปฏกรยาของคานโดยวธงานทนอยทสด
ฝ2.12 40 kN 60 kN ฝ2.13
E = 200 Gpa I = 500(106) mm4
C A B D
5 m 5 m 10 m 10 m
E
60 kN
C
A B
D
5 m 5 m 20 m
20 kN/m E = 200 Gpa I = 500(106) mm4
บทท 3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต 3-1
หนาท
บทท เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต 3
Influence Lines for Statically Indeterminate
Structures
เนอหา 3.1 บทนา 3.2 เสนอนฟลเอนซสาหรบคานแบบอนดเทอรมเนททางสถต 3.3 เสนอนฟลเอนซเชงคณภาพ (Qualitative influence lines) 3.4 การวางนาหนกเพอผลตอบสนองสงสด วตถประสงค - สามารถวเคราะหเพอเขยนเสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต - สามารถวางรปแบบนาหนกททาใหเกดผลตอบสนองสงสดได
3.1
บทนา
สะพาน เครน สายพาน เปนตน เปนโครงสรางทรบแรงกระทาทเคลอนทได เชน รถยนตประเภทตางๆ วงบนสะพาน การวเคราะหโครงสรางสะพานดงกลาว จะตองพจารณาหาตาแหนงของรถยนตทวงใหหยดนงกอน โดยตาแหนงทวางรถยนตดงกลาวจะตองสงผลใหเกดผลตอบสนองสงสด
การวเคราะหหาตาแหนงของนาหนกดง กลาว เรยกวา การวเคราะหหาเสนอนฟลเอนซ ซงจะแสดงเสนนเปนกราฟ ทมแกน y แทนขนาดของผลตอบสนอง และแกน x เปนตาแหนงทนาหนกขนาด 1 หนวยวางอย
ในบทน จะไดกลาวถง การสรางเสนอนฟลเอนซ (Influence lines) สาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต โดยยงคงยดถอแนวทางเดยวกนกบหลกการพนฐานทไดศกษาเกยวกบการสรางเสนอนฟลเอนซสาหรบโครง สรางแบบดเทอรมเนททางสถต และการนาเสนอนฟลเอนซไปใชเพอวเคราะหหาผลตอบสนองสดกมหลกการเดยวกน
บทท 3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต 3-2
หนาท
พจารณาการสรางเสนอนฟลเอนซสาหรบแรงปฏกรยา By ของคานตอเนอง ดงแสดงในรปท 3.1 จะทาการวางนาหนกเปนจดขนาด 1 หนวย (แรงเคลอนไหว) หางจากจด A ซงเปนจดรองรบรมดานซายเปนระยะ x ใดๆ แลวทาการหาขนาดแรง By ซงจาเปนตองอาศยการวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนท โดยวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง ในการวเคราะห หากเลอก By เปนแรงสวนเกน (Redundant) จากรปการซอนทบระยะแอนตวทจด B จะสรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด (Compatibility equation) ดงแสดงในสมการท (3.1)
0 yBBBX Bff (3.1) จากสมการท (3.1) สามารถคานวณหาขนาดแรง By เทากบ
BB
BXy f
fB
(3.2)
รปท 3.1 การหาเสนอนฟลเอนซของแรง By
3.2 เสนอนฟลเอนซสาหรบคานแบบอนดเทอรมเนททางสถต
คานหลกรบแรงภายนอกขนาด 1 หนวย
คานอนดเทอรมเนททางสถต
y เสนอนฟลเอนซสาหรบแรง B
y คานหลกรบแรงสวนเกน B
บทท 3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต 3-3
หนาท
โดยสมการท (3.2) เปนสมการหาขนาดของแรง By เมอมแรง 1 หนวยกระทาทระยะ x ใดๆ
ซงกคอ สมการเสนอนฟลเอนซของแรง By นนเอง โดยท และ เปนระยะแอนตวทจด B เนองจากแรง 1 หนวยกระทาทจด x ใดๆ และทจด B ตามลาดบ จากกฎการสลบทของ Maxwell
(Maxwell’s law of reciprocal deflections) จะได
BXf BBf
XBBX ff ซงเมอแทนในสมการท 3.2 จะได
BB
XBy f
fB
(3.3)
จากสมการท (3.3) คอ ระยะแอนตวทระยะ x ใดๆ เนองจากแรง 1 หนวยกระทาทจด B ซงสามารถสงเกตไดวา การคานวณขนาดแรง B
XBf
y สามารถกระทาไดงายกวาจากสมการท (3.2) (สมการท (3.3) เปนการหาระยะแอนตวทจดใดๆ เนองจากแรงกระทาท B ไมเคลอนท) เมอสามารถสรางเสนอนฟลเอนซสาหรบแรง By แลว จะสามารถคานวณเสนอนฟลเอนซของแรงอนๆทเหลอดวยสมการสมดลแรงได
สาหรบกรณของการหาเสนอนฟลเอนซของโครงสรางทมดกรอนดเทอรมเนทสงกวา 1 กคลายคลงกน เชนเมอพจารณาคานทมอนดเทอรมเนทระดบ 2 โดยเลอก B และ Cy y เปนแรงสวนเกน จากรปท 3.2 สามารถสรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด ดงน
0 yBCyBBBX CfBff (3.4) 0 yCCyCBCX CfBff (3.5)
และ จากกฎการสลบทของแมกซเวลล (Maxwell’s law of reciprocal deflections) จะได
0 yBCyBBXB CfBff (3.6) 0 yCCyCBXC CfBff (3.7)
บทท 3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต
หนาท 3-4
คานอนดเทอรมเนททางสถต
คานหลกรบแรงภายนอกขนาด 1 หนวย
y คานหลกรบแรงสวนเกน B
y คานหลกรบแรงสวนเกน C
รปท 3.2 การหาเสนอนฟลเอนซของแรง B และ C ของคานทเปนอนดเทอรมเนทอนดบ 2 y y
ในการคานวณหาเสนอนฟลเอนซของผลตอบสนองของโครงสรางแบบอนดเทอรมเนต ขนตอน
การวเคราะห 1. คานวณหาดกรอนดเทอรมเนท (DI) และ เลอกแรงสวนเกน 2. สรางเสนอนฟลเอนซของแรงสวนเกน 2.1 กาหนดตาแหนงทตองการเขยนเสนอนฟลเอนซ หรอ วางบนตาแหนง x ใดๆ 2.2 สรางสมการความคลองจองตอเนองของการขจด โดยทาการวางนาหนก 1 หนวยในตาแหนงทกาหนดในขนตอน 2.1 และคานวณขนาดของแรงสวนเกนเนองจากนาหนก 1 หนวยโดยอาศยวธวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง ในการคานวณจะอาศยกฎการสลบทของ Maxwell มาชวยเพอใหการวเคราะหงายขน
2.3 กาหนดคาพกดของแรงบนกราฟตามตาแหนงของนาหนก 1 หนวยทวาง 3. สรางเสนอนฟลเอนซของแรงอนๆ ทเหลอ โดยใชสมการสมดลของแรง
บทท 3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต
หนาท 3-5
ตวอยาง 1 คานวณหาเสนอนฟลเอนซโดยใหคานวณพกดทกๆระยะ 10 ft ของ
1. แรงปฏกรยาท A D และ F แรงเฉอน และโมเมนตดดทจด C (S2. , C
MC)
E = คงท
ขนตอน เทอรมเนททางสถต และ เลอกแรงสวนเกน DI = 1 และเลอก Dy เปนแรงสวนเกน
x=0, 10, 20, 30, 40 และ 50 ฟต (โจทยกาหนด) .2 สรา
ethod of Consistent Deformations) ซงจะไดสมการความคลองจองตอเนองของการขจดทจด D คอ
จากกฎการสลบทของแม
หรอ
ท 1 คานวณหา ดกรของความเปนอนด
ขนตอนท 2 สรางเสนอนฟลเอนซของแรง Dy 2.1 กาหนดตาแหนงทตองการเขยนเสนอนฟลเอนซ 2 งสมการความคลองจองตอเนองของการขจด จากรปดานลาง การวเคราะหจะทาการวางนาหนก 1 หนวยทตาแหนง x ใดๆ และคานวณขนาดของแรง D โดยอาศยวธวธความสอดคลองของการเปลยนรปราง (My
0 yDDDX Dff กซเวลล (Maxwell)
0 yDDXD DffDD
XDy f
fD (1)
จากกฎการสลบท
ของแมกซเวลล
คานหลกรบแรงภายนอกขนาด 1 หนวย
คานหลกรบแรงภายนอกขนาด 1 หนวย ทจด D
=
+
คานอนดเทอรมเนททางสถ อนท 1 หนวยตรบแรงเคล
บทท 3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต
หนาท 3-6
x
conjxxD Mf
การคานวณระยะแอนตว XDf และ DDf จะอาศยวธการคานวณระยะแอนตวทสามารถสรางสมการเสนการแอนตวได โดยตวอยางทแสดงไดนาวธคานคอนจเกต (Conjugate beam) มาใช ดงแสดงในรปดานลาง และตารางการคานวณ สาหรบระยะแอนตวททกๆระยะ 10 ฟต จากนนแท
คานหลกรบแรงสวนเกน D
นคาะยะแอนตวในสมการท (1) จะไดคา Dy ทระยะทกๆระยะ 10 ฟต หรอ เสนอนฟลเอนซสาหรบ Dy
จะสามารถานวณหาไดโดยอาศยสมการสมดลแรง ในตาแหนงของแรง 1 หนวยตางๆ คอ
ร
สาหรบการคานวณหาเสนอนฟลเอนซของผลตอบสนองอนๆ ทโจทยตองการค
;0 FM 50/)50(1 x )20(DA yy เสนอนฟลเอนซสาหรบ Ay ;0yF yyy DAF 1 เสนอนฟลเอนซสาหรบ Fy
คานคอนจเกตสาหรบแรง 1 หนวยท D
สาห านวณหาระยะแอนท x ใดๆ (ทกๆ 10 ฟต)
y
รบค
เสนอนฟลเอนซสาหรบแรง Dy (k/k)
เสนอนฟลเอนซสาหรบแรง Ay (k/k)
เสนอนฟลเอนซสาหรบแรง Fy
เสนอนฟลเอนซสาหรบแรง SC (k/k)
เสนอนฟลเอนซสาหรบแรง MC (k-ft/k)
(k/k)
บทท 3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต
3-7
หนาท
บทท 3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต
หนาท 3-8
ตาแหนง x ระยะแอนตวท
คานวณ
นตของคานคอนจเกททหนาตด x
ระ คานตารางการค
(ft)
านวณหาผลตอบสนโมเม
อง
yA yF CS ยะแอนตว จรง
DD
XD
f
f CMyD
0 ) 0 (จด A 0 0 0 1.0 0 0 ADf
10 B) (จด 0.492 0.603 -0.095 -0.397 2.06BDf
3
10)2)(10(
2
1)10(86
1
EI
EI
ftk67.826 3 k/
20 C) (จด 5.08 0.865 0.254 -0.119 -0.746 (ซาย)
0.254 (ขวา)
CDf
1
E 3
20)4)(20(
2
1)20(86
I k/3
EI
ftk33.453 ,1
30 D) (จด 1.0 0 0 0 0
DDf
E 3
30)6)(30(
2
1)30(86
1
I
EI
ftk /680,1 3 k
40 E) (จด 0.679 -0.072 0.393 -0.072 -1.44EDf
1
E 3
10)6)(10(
2
1)10(124
I
EI
ftk /140,1 3 k
50 0 1.0 (จด F) 0 0 0 0 0 FDf
ก
ยะ x ารหาใดๆ
ขนาดแรงเฉ ละโมเมนตดดทจด C กกระทาเช อนฟลเอนซ างแบบด มเนท โดยการวางนาหนก วยทระ แลวพ สระ (Free body diagram) านซาย หรอ ขวาของคาน
Tบทท 3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต
อน แจารณาไดอะแกรมแรงอ
นเดยวกบการหาเสนของสวนทางด
ของโครงสร เทอร 1 หน
หนาท 3-6
บทท 3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต
หนาท 3-9
ตวอย
ททางสถต และ เลอกแรงสวนเกน
นตอนท 2 สรางเสนอนฟลเอนซของแรง RB 2.1 กาหนดตาแหนงทตองการเขยนเสนอนฟลเอนซ x= 0 ft 6 ft 12 ft 18 ft และ 27 ft จาก
มคลองจองตอเนองของการขจดทจด B นอนฟลเอนซของแรงสวนเกนกคอ สมการ
ดสวนระหวางระยะแอนตวทจด x กบระยะแอนตวทจด B เนองจากแรงสวนเกนขนาด 1 วยทจด B ในทศทางของแรงสวนเกน ดงนน เสนอนฟลเอนซของแรงสวนเกน RB คอ
าง 2 คานวณหาเสนอนฟลเอนซของ RBโดยใหคานวณทพกด 0 ft 6 ft 12 ft 18 ft และ 27 ft จาก A ขนตอนท 1 คานวณหาดกรของความเปนอนดเทอรมเน
DI = 1 และเลอก RB เปนแรงสวนเกน ข
A (โจทยกาหนด) 2.2 สมการควา จากสมการท (1) ในตวอยางท 1 ขางตน เสสหน
BB
XBB f
fR โดยระยะแอนตวสามารถหาไดโดยวธคานคอนจเกตดงแสดง
แรง 1 หนวยท B และระยะแอนตว คานคอนจเกต
ระยะแอนตวทคานวณ เสนอนฟลเอนซสาหรบ RB
XBf BBf x
B
B
x=
R
x (ft) 0 6 12 18 27
บทท 3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต 3-10
หนาท
3.3 เสนอนฟลเอนซเชงคณภาพ (Qualitative influence lines) เสนอนฟลเอนซเชงคณภาพ (Quali-tative influence lines) เปนเสนอนฟลเอนซของ
ลตอบ
เทอรมเนทยงคงใชแนวทางเดยวกนกบโครงสรางแบบดเทอรมเนท ซงมขนตอนดงน 1. ปลดก
ะเปนเสนตรง) ซงถอเปนเ นอนฟลเอนซของแรงนน ตามหลกของมลเลอร-เบลสลาว
ผ สนองทแสดงใหเหนรปรางทวไป ไมตองการแสดงคาทแนนอน ซงมประโยชนในทางการออกแบบในทางปฏบตเพอการหารปแบบการวางนาหนกทใหเกดผลตอบสนองสงสด การสรางเสนอนฟลเอนซเชงคณภาพจะอาศยหลกการมลเลอร-เบลสลาว (Muller-Bresslau’s Principle) โดยการใชหลกการดงกลาวสาหรบการสรางเสนอนฟลเอนซเชงคณภาพของผลตอบสนองของโครงสรางแบบอนด
ารยดรงของแรงทตองการหาเสนอนฟลเอนซ 2. ใหระยะเคลอนท 1 หนวย ในทศบวกของแรงทปลด 3. วาดเสนการเปลยนรป ซงโดยปกตแลวจะเปนเสนโคง (โครงสรางแบบดเทอรมเนทจ
ส
ตวอยาง 3 จงวาดเสนอนฟลเอนซเชงคณภาพ ของ 1. แรงปฏกรยาท C และ F
แรงเฉอน B 2. โมเมนตดดลบทจด C และโมเมนตดดบวกทจด D 3.
1 โครงสรางทวเคราะห เสนอนฟลเอนซสาหรบ R C
1
1
เสนอนฟลเอนซสาหรบ VB
เสนอนฟลเอนซสาหรบ MD เสนอนฟลเอนซสาหรบ MC
เสนอนฟลเอนซสาหรบ RF
1 o
1o
บทท 3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต 3-11
หนาท
3.4 การวางนาหนกเพอผลตอบสนองสงสด เมอวาดเสนอนฟลเอนซของผลตอบ สนองใดๆ ไดแลว จะสามารถตาแหนงของนาหนกเคลอนทจะกระทาตอโครงสรางทจะทาใหเกดผลตอบสนองนนๆสงสด ซงจะเปนกรณทโครงสรางนนรบภาระารกระทาสงสด หากแรงเคลอนท มหลายลกษณะ หรอเปนแรงทกระทาพรอมกนหลายจด
ซอนทบของผลตอบสนองแตละชนด เชนเดยว กบทไดเรยนผานมาในวชาฤษฎโครงสราง
หากพจารณานาหนกเคลอนทเปนแรงกระจายสมาเสมอ (Uniformly distributed live load) แรงลอนทจะถกวางบนโครงสรางในชวงทมพกดบวกเพอใหเกดผลตอบสนองบวกสงสด เมอทราบรปแบบองนาหนกกระทาจงทาการวเคราะหโครงสรางเพอหาขนาดของผลตอบสนองตอไป
ทกผลตอบสนองกจะไดจากการท
เคข
ตวอยาง 4 ตวอยางท 3 จงหารปแบบนาหนกเคลอนทเปนแรงกระจายสมาเสมอททาใหเกดแรงสดด ดงตอไปน . แรงปฏกรยาท C และ F . แรงเฉอน B
3. โมเม กทจด
จากส12
นตดดลบทจด C และโมเมนตดดบว D
รปแบบของแรงททาให RC มคาสงสด โครงสรางทวเคราะห
รปแบบของแรงททาให VB มคาสงสด รปแบบของแรงททาให RF มคาสงสด
รปแบบของแรงททาให MD มคาสงสด รปแบบของแรงททาให MC มคาสงสด
บทท 3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต 3-12
หนาท
ตวอยาง 5 จากโครงขอแขงดงแสดง จงวาดเสนอนฟลเอนซเชงคณภาพ และรปแบบนาหนกเคลอนทเปนแรงกระจายสมาเสมอททาใหเกด แรงเฉอนทจด A สงสด และโมเมนตดดทจด B สงสด
. แรงเฉอน ทจด A สดสด
เสนอนฟลเอนซแรงเฉอนทจด A รปแบบนาหนกททาใหเกดแรงเฉอนทจด A สงสด
. โมเมนตดดทจด B สดสด
เสน
1
2
A
B
อนฟลเอนซโมเมนตดดทจด B รปแบบนาหนกททาใหเกดโมเมนตดดทจด B สงสด
บทท 3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต
หนาท 3-13
ต จากโครงขอแขงดงแสดง จงวาดเสนอนฟลเอนซเชงคณภาพ และรปแบบนาหนกเคลอนทเ 1. แรงกดของเสา AB สงสด
เสนอนฟลเอนซ สา AB สงสด 2. โมเมนตดดของเสา AB สงสด
เสนอน อน เมนตดดของเสา AB รปแบบนาหนก าให โมเมนตดดของเสา AB สงสด
จากรปแบบของแรงกระจายสมาเสมอ จะสงเกตเหนไดวา นาหนกกระทามรปแบบเหมอนกบ
ช งกระดานหมากรก (Checkerboard pattern)
วอยาง 6ปนแรงกระจายสมาเสมอททาใหเกด แรงกดและโมเมนตดดของเสา AB สงสด
แรงกดเสา AB รปแบบนาหนกททาใหเกดแรงกดของเ
ทท เกดฟลเ ซโม
อ
บทท 3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต
หนาท 3-14
แบบฝกหดทายบท เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต ฝ3.1 จงคานวณหาเสนอนฟลเอนซทกๆ 5 เมตรของคานดงรป สาหรบแรงปฏกรยาท A และ D
3.2 จงคานวณหาเสนอนฟลเอนซท เมตรของคานดงรป สาหรบแรงปฏกรยาท A และ B
3.3 รปดานลางแสดงสะพานคนเดนเชอมอาคาร A และ B โดยมไดเชอมตดกบอาคารทงสอง สะพานดงกลาวรองรบดวยเสาทจด B C และ D และทหวเสาเปนชนดหมนได จงคานวณหา 1. เสนอนฟลเอนซทกๆ 3 เมตรของแรงตามแนวแกนของเสากลาง 2. ถานาหนกคนเดนทออกแบบเทากบ 800 กก/ม. จงคานวณหาขนาดแรงยกสงทเกดขนของเสากลาง
รวมทงแรงเฉอน และ โมเมนตดดท B
C A EI = คงท
5m 5m 5m 5m
B D E
ฝ กๆ 4
4 m 4 m 4 m 4 m 4 m
A
RA
B
E= คงท
ฝ
EI = คงท
C A B D E
3 m 12 m 12 m 3 m
บทท 3 เสนอนฟลเอนซสาหรบโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถต
หนาท 3-15
ฝ3.4 จากคานในแบบฝกหดท ฝ3.1 จงคานวณหาเสนอนฟลเอนซเชงคณภาพ (qualitative influence lines) สาหรบแรงปฏกรยาท A และ D รวมทงแรงเฉอน และ โมเมนตดดท B ฝ3.5 จากโครงขอแขงดงแสดง จงคานวณหา
1. เสนอนฟลเอนซเชงคณภาพ (qualitative influence lines) สาหรบคาโมเมนตบวก และแรงเฉอนทจด A และ B
2. จดวางนาหนกกระทาแบบสมาเสมอททาใหเกดคาโมเมนตบวกทจด A และ B มากทสด
B A
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-1
บทท การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนท ทางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว 4
Analysis of Statically Indeterminate Structures by
The Slope-Deflection Method
เนอหา 4.1 บทนา 4.2 สมการความลาดชน-การโกงตว (Slope-Deflection Equations) 4.3 สมการดดแปลงความลาดชน-การโกงตว (Modified Slope-Deflection Equations) 4.4 การวเคราะหคานตอเนอง (Continuous Beams) 4.5 การวเคราะหโครงขอแขงทไมมการไถลขาง (Frames without Sidesway) 4.6 การวเคราะหโครงขอแขงทมการไถลขาง (Frames with Sidesway) วตถประสงค - สามารถวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนทโดยวธความลาดชน-การโกงตว
เมอคานตอเนอง หรอโครงขอแขงรบแรงกระทาภายนอก จะเกดโมเมนตดดภายในทปลาย (End Moments) ของแตละชนสวน โดยขนาดของโมเมนตดดทปลายทเกดขนนจะสมพนธกบการเปลยนรปราง ซงไดแก ความลาดชน (Slope) และ การโกงตว (Deflection) และแรงกระทาภายนอก สมการความสมพนธดงกลาวเรยกวา สมการความลาดชน-การโกงตว (Slope-Deflection Equations)
พจารณาคานตอเนองรปท 4.1(ก) ในการวเคราะหจะแบงคานออกเปนชนสวน คอ AB และ BC เชอมตอกนแบบจดแขงท B โดยจดดงกลาวเปนจดรองรบของคานดวยเชนกน ผลของแรงกระทาภายนอก P1 และ P2 ทาใหเกดความลาดชนทจด A B และ C และโมเมนตดดทปลาย ดงแสดงในรปท 4.1(ก) และ (ข)
(ก) คานตอเนองรบแรงภายนอก
4.1 บทนา
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-2
(ข) โมเมนตดดทปลายชนสวนและทจดตอ
รปท 4.1 คานตอเนอง 4.1.1 การเปลยนรปรางทไมทราบคา (Unknown Displacements)
ในการวเคราะห จะสรางสมการความลาดชน-การโกงตว ซงเปนความสมพนธระหวางโมเมนตดดทปลายชนสวนกบ ความลาดชน และการโกงตว ในการวเคราะหจะทาการคานวณหาความลาดชน และการโกงตวทไมทราบคา ดงนนจากคานรปท 4.1(ก) จะเหนวา มการโกงตว (Slope) ทไมทราบทจดตอ B และทจดรองรบ A และ C โดยอาศยสมดลของโมเมนตดดทจดตอ (ดงจะไดกลาวใน 4.1.3 ตอไป) จากนน จะนามาแทนกลบในสมการ ความลาดชน-การโกงตว เพอคานวณหาโมเมนตดดทปลาย 4.1.2 ระบบเครองหมาย และสญลกษณ พจารณารปท 4.1(ข) กาหนดให (ก) เครองหมาย
โมเมนตดด หรอ ความลาดชน ทปลายชนสวนใดๆ ในทศตามเขมนาฬกา เปน “บวก” (ข) สญลกษณ (ตวหอย) ตวหอยแรก แทน โมเมนตดด หรอ ความลาดชน ทปลายชนสวนนน ตวหอยสอง ใชเพอการบอกวาเปนโมเมนตดด หรอ ความลาดชน ของชนสวนไหน เชน MAB คอ โมเมนตดดทปลาย A ของชนสวน AB MBA คอ โมเมนตดดทปลาย B ของชนสวน AB MBC คอ โมเมนตดดทปลาย B ของชนสวน BC MCB คอ โมเมนตดดทปลาย C ของชนสวน BC เปนตน 4.1.3 สมดลของโมเมนตดดทจดตอ พจารณาแรงกระทาทจดตอหมนได A B และ C ของคานตอเนองในรปท 4.1(ข) โดยโมเมนตดดทจดตอดงกลาวถอเปนแรงปฏกรยาของโมเมนตดดจากปลายชนสวนทางดานซายและขวาของจดตอทพจารณา (ดงนน จงมขนาดเทากน แตมทศทางตรงขาม ตามกฎแรงกรยา เทากบ แรงปฏกรยา)
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-3
เมอพจารณาสมดลโมเมนตดดทจดตอ A B และ C จะไดสมการสมดลดงแสดงในสมการท (4.1) คอ 0;0 ABA MM 0;0 BCBAB MMM (4.1) 0;0 CBC MM สมการท (4.1) จะใชในการหาความลาดชนทจดตอ A B และ C
4.2
สมการความลาดชน-การโกงตว (Slope-Deflection Equations)
(ก) คานตอเนองรบแรงภายนอก
(ข) การเปลยนรปรางของคานชน ij รปท 4.2 การเปลยนรปของคานตอเนอง
พจารณาชนสวนคาน ij ของคานตอเนองใดๆ รบแรงกระทาภายนอก ดงแสดงในรปท 4.2(ก)
เมอตดชนสวน ij และพจารณาแรงทเกดขนบนชนสวน และขนาดของการเปลยนรปราง ดงแสดงในรปท 4.2(ข) รปท 4.3 แสดงการซอนทบของโมเมนตดดทปลายทงหมด 3 สวนคอ
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-4
=
(ก) โมเมนตดดเนองจากแรงกระทาภายนอกในสภาพปลายรมทงสองยดแนน +
Mij
Mji
i jij ji
(ข) โมเมนตดดเนองจากการโกงตวสมพทธระหวางจดรองรบรมสองขาง +
i j
i
j
MijMji
(ค) โมเมนตดดเนองจากความลาดชน
รปท 4.3 การซอนทบโมเมนตดด 4.2.1 โมเมนตดดเนองจากแรงกระทาภายนอก เมอพจารณาใหคานมการยดแนนท ปลาย (ดงรปท 4.3 (ก)) รบแรงภายนอกจะทาใหเกดโมเมนตดดทปลาย (FEM) โดยรปแบบแรงกระทาตางๆ แสดงในรปท 4.4 4.2.2 โมเมนตดดเนองจากการเคลอนทของปลายทงสอง เพอใหการเปลยนรปคานมการเปลยนตาแหนงทปลายทงสอง เชนเดยวกบคานทวเคราะห ดงรปท 4.3(ข) จงสมมตใหปลายทงสองของคานเกดการเคลอนททตางกน ( ijji ) โดยการ เคลอนท
ดงกลาวทาใหเกดโมเมนตดดทปลาย i ( ijM
ijM) และ j ( ) ซงมขนาดเทากน จากการพจารณาคานคอนจเกต (ดสวนเพมเตมทายบท) จะได
2
6
L
EIMM ji
jiij
jiij MM )/)(/(6 LLIE ji
กาหนดใหL
IK คอ ความแขงดดสมพทธ (Relative flexural stiffness) และ
Lji
ij
คอ
คาเฉลยการหมนของชนสวน (Average Chord rotation) จะได
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-5
jiij MM ijEK6 (4.2)
4.2.3 โมเมนตดดเนองจากความลาดชน
เพอใหการเปลยนรปคานมความลาดชนทปลายทงสอง เชนเดยวกบคานทวเคราะห ดงรปท 4.3(ค) จงสมมตใหคานเกดความลาดชนทปลายทงสอง จากการพจารณาคานคอนจเกต (ดสวนเพมเตมทายบท) จะได
ij
ijji
jiji
ij
EKL
EIM
EKL
EIM
2222
2222
(4.3) 4.2.4 สมการความลาดชน-การโกงตว การซอนทบการเปลยนรปราง และโมเมนตดดทงสามสวน จะไดโมเมนตดดทปลาย คอ
ijijijij FEMMMM
jijijiji FEMMMM (4.4)
แทนคาโมเมนตดดทปลายจากรปท 4.4 และสมการท (4.2) และ (4.3) ลงในสมการท (4.4) จะได
ijijjiij FEMEKM 322 jiijijji FEMEKM 322
(4.5)
รปท 4.4 โมเมนตดดทปลายยดแนนเนองจากแรงภายนอก
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-6
4.3 สมการดดแปลงความลาดชน-การโกงตว (Modified Slope-Deflection Equations) หากคานตอเนองททาการวเคราะหมปลายรมสดขางใดขางหนงหรอทงสองขาง เปนจดรองรบท
หมนได (Hinge หรอ Roller supports) ดงแสดงในรปท 4.1(ก) จะทราบไดทนทวาโมเมนตดดทรมนน เทากบ ศนย (M =MAB CB=0) การวเคราะหคานดงกลาวนน สามารถดดแปลงสมการความลาดชน-การโกงตว โดยใชเงอนไขดงกลาว เพอใหการคานวณรวดเรวขน
จากสมการความลาดชน-การโกงตว เมอพจารณาชนสวน BC เปนชน ij ใดๆ โดยท C=j เปนจดรองรบรมสดทหมนไดของคาน จะได M = 0 และจากสมการความลาดชน-การโกงตว จะได ji
ijijjiij FEMEKM 322 (4.6ก)
jiijijji FEMEKM 3220 (4.6ข)
นาสมการ 2×(4.6ก) ลบสมการ (4.6ข) เพอกาจดตวแปร j จะไดสมการดดแปลงความลาดชน-การโกงตว กรณทปลาย j เปนจดรองรบรมสดทหมนไดของคาน
jiijijiij FEMFEMEKM 23322 หรอ
jiijijiij FEMFEMEKM2
133
สาหรบ กรณจด i เปนจดรองรบรมสดทหมนไดของคาน กทาเชนเดยวกน โดยกาหนด ใหสมการท (4.6ก) เทากบ 0
สมการดดแปลงความลาดชน-การโกงตว(Modified slope-deflection equation) ของทง 2 กรณดงน (สมการท 4.7)
กรณจด j เปนจดรองรบรมสดทหมนไดของคาน
jiijijiij FEMFEMEKM2
13
กรณจด i เปนจดรองรบรมสดทหมนไดของคาน
ijjiijjji FEMFEMEKM2
13
(4.7) ในการวเคราะหโครงสรางดวยวธความลาดชน-การโกงตวมขนตอนการวเคราะห ดงน
1. ระบความลาดชน และการโกงตวทปลายชนสวนทไมทราบคา 2. คานวณ FEM ของแตละชนสวนจากรปท 4.4 3. เขยนสมการความลาดชน-การโกงตว
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-7
4. สรางสมการสมดลของโมเมนตดดทจดตอหมนได และคานวณหาความลาดชน และการโกงตว ใน ขนตอนท 1 5. คานวณโมเมนตดดทปลาย 6. คานวณแรงเฉอนทปลาย 7. คานวณแรงปฏกรยา 8. วาดไดอะแกรมแรงเฉอน และโมเมนตดด 4.4 การวเคราะหคานตอเนอง (Continuous Beams) 4.4.1 คานตอเนองทมการยดรงแนนทปลายรมคาน ในการวเคราะหคานตอเนองทมการยดรงแนนทปลายรมคานจะอาศยสมการความลาดชน-การโกงตว (สมการท 4.5) 4.4.2 คานตอเนองทปลายรมคานหมนได การวเคราะหคานตอเนองทปลายรมคาน หมนไดอสระจะอาศยสมการดดแปลงความลาดชน-การโกงตว (สมการท 4.7) 4.4.3 คานตอเนองทมปลายยน พจารณาคานตอเนองทมปลายยน (รปท 4.5(ก)) เนองจากสวนยน CD มสภาพเปนดเทอรมเนท ซงสามารถคานวณหาแรง และโมเมนตดดท C ได (รปท 4.5(ข)) ดงนน ในการวเคราะหคานตอเนองน จงไมจาเปนตองพจารณาสวนยน CD กได โดยนาแรงทปลาย มาพจารณารวมในการวเคราะห (รปท 4.5(ค)) ดงแสดงขางลาง และสมดลของโมเมนตดดทจด C แสดงในรปท 4.5(ง)
w A
D B C
(ก) คานทวเคราะห
(ข) คานยนดเทอรมเนท
LCDLBCLAB
LCD
2
2CD
CD
wLM w
CDCD wLV
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-8
(ค) คานททาการวเคราะหโดยถายโมเมนตดด
(ง) สมดลของโมเมนตดดทจด C
รปท 4 น
D A
B
2
2CD
CD
wLM
L
.5 การวเคราะหคานตอเนองทมปลายย
LAB BC
CDCD wLV
w
C 2
2CD
CD
wLM
CBM
0;0 CDCBC MMM
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-9
ตวอยางท 1 จงคานวณโมเมนตดดทปลาย (End moments) ของคานทมปลายยดแนนดงรป
EI = คงท ดงนน
KIKK BCAB 20/
ขนตอน 1 หาความลาดชน และการโกงตวทปลายชนสวนทไมทราบคา => B
ขนตอน 2 คานวณ FEM ของแตละชนสวนจากรปท 4.4
ftkipFEM AB 50 ftkipFEM BA 50 ftkipFEM BC 40 ftkipFEMCB 40
ขนตอน 3 เขยนสมการความลาดชน-การโกงตว (จากสมการท 4.5) ชนสวน AB
)50()0(3)0(22322 BABABBAAB EKFEMEKM 502 BAB EKM …. (1) 504 BBC EKM …. (2)
ชนสวน BC 404 BBC EKM …. (3) 402 BCB EKM …. (4)
ขนตอน 4 สรางสมการสมดลของโมเมนตดดทจดตอหมนได และคานวณหาความลาดชน และการโกงตว ในขนตอนท 1 0;0 BCBAB MMM จากสมการ (2) และ (3) จะได
0108 BEK => 25.1BEK ขนตอน 5 คานวณโมเมนตดดทปลาย
ในสมการท (1)-(4) ได แทนคา 25.1BEK
ftkipM AB 5.5250)25.1(2
ftkipM BC 4550)25.1(4 ftkipM BC 4540)25.1(4
ftkipMCB 5.3740)25.1(2
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-10
ตวอยางท 2 จงคานวณหาไดอะแกรมของแรงเฉอน และโมเมนตดดของคานตอเนองทปลายรมคานหมนได
EI = คงท ดงนน
KKIK
KIK
BC
AB
5.1)20/30(20/
30/
ขนตอน 1 หาความลาดชน และการโกงตวทปลายชนสวนทไมทราบคา => และ CA B
เนองจากในการวเคราะหจะใชสมการดดแปลงความลาดชน-การโกงตว (สมการท 4.7) ดงนน ความลาดชนทไมทราบคาทเกยวของในการวเคราะหจะเหลอแต B
ขนตอน 2 คานวณ FEM ของแตละชนสวนจากรปท 4.4
ftkipFEM AB 20 ftkipFEM BA 40 ftkipFEM BC 44 ftkipFEMCB 20
ขนตอน 3 เขยนสมการดดแปลงความลาดชน-การโกงตว ชนสวน AB
0ABM ….(1) ABBAABBBA FEMFEMEKM 2/13 )20(2/1)40(3 ABBBA EKM = 503 BBA EKM ….(2)
ชนสวน BC 54)5.1(3 BBC KEM …. (3)
0CBM …. (4) ขนตอน 4 สรางสมการสมดลของโมเมนตดดทจดตอหมนได และคานวณหาความลาดชน และการโกงตว ในขนตอนท 1 0;0 BCBAB MMM จากสมการ (2) และ (3) จะได
045.7 BEK => 5.7/4BEK ขนตอน 5 คานวณโมเมนตดดทปลาย
ในสมการท (2) และ (3) ได แทนคา 5.7/4BEK
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-11
ftkipM BA 6.5150)5.7/4(3
ftkipM BC 6.5154)5.7/4(3 ขนตอน 6, 7, 8 คานวณแรงเฉอนทปลาย แรงปฏกรยา และไดอะแกรมของแรงเฉอน และโมเมนตดด
แรงปฏกรยาเนองจากแรงภายนอก และไมยดรงปลาย
แรงปฏกรยาเนองจากแรงโมเมนตดดทปลาย
แรงปฏกรยารวมจากการซอนทบ
ตวอยางท 3 จงคานวณโมเมนตดดทปลาย (End moments) และแรงปฏกรยาทจดรองรบของคานตอเนองทปลายรมยน
ชวงคานยนดเทอรมเนท EI = คงท
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-12
คานททาการวเคราะห ขนตอน 1 หาความลาดชน และการโกงตวทปลายชนสวนทไมทราบคา => และ CB
ขนตอน 2 คานวณ FEM ของแตละชนสวนจากรปท 4.4
0ABFEM 0BAFEM
mkNFEM BC 5.6712
)9(10 2
mkNFEMCB 5.6712
)9(10 2
ขนตอน 3 เขยนสมการดดแปลงความลาดชน-การโกงตว ชนสวน AB
BAB IEM )6/(2 …. (1) )2)(6/(2 BBA IEM …. (2)
ชนสวน BC
)5.67()2)(9/(2 CBBC IEM …. (3) )5.67()2)(9/(2 CBCB IEM …. (4)
ขนตอน 4 สรางสมการสมดลของโมเมนตดดทจดตอหมนได และคานวณหาความลาดชน และการโกงตว ในขนตอนท 1 0;0 BCBAB MMM จากสมการ (2) และ (3) จะได
5.6722.011.1 CB EIEI …. (5) 0120;0 CBC MM จากสมการ (4)
5.5244.022.0 CB EIEI …. (6) จากสมการ (5) และ (6)
325.41 mkNEI B 362.97 mkNEI C
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-13
ขนตอน 5 คานวณโมเมนตดดทปลาย แทนคา และ ในสมการท (1) ถง (4) ได 325.41 mkNEI B 362.97 mkNEI C
mkNM AB 7.13)25.41(6/2 mkNM BA 5.27)25.41(6/4
mkNM BC 5.27 mkNM CB 120
ขนตอน 6, 7 คานวณแรงเฉอนทปลาย แรงปฏกรยา
โมเมนตดดและแรงเฉอนทปลายชนสวน
แรงปฏกรยาทจดรองรบ
4.5 การวเคราะหโครงขอแขงทไมมการไถลขาง (Frames without sidesway) การวเคราะหโครงขอแขงทไมมการไถลขางจะคลายกบการวเคราะหคานตอเนอง เวนแตจดตอของโครงขอแขงสามารถเชอมตอชนสวนมากกวา 2 ชนได ซงทาใหโมเมนตดดทจะตองรวมกนสมดลในจดตอมมากกวา 2 คา โครงขอแขงใดๆจะไมมการไถลดานขาง (without sidesway) เมอ (ดรปท 4.6(ก)) (ก) มการยดรงปองกนการไถลขาง หรอ (ข) โครงขอแขงมลกษณะทสมมาตรของ
ข.1 รปแบบแรงกระทา และ ข.2 รปทรงของโครงสราง และ
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-14
ข.3 วสดโครงสราง และ ข.4 ชนดจดรองรบ
และโครงขอแขงใดๆจะมการไถลดานขาง (sidesway) เมอ (ดรปท 4.6(ข)) (ก) ไมมยดรง และ (ข) ไมมลกษณะทสมมาตรในลกษณะหนงๆ
แกนสมมาตร
มการยดรงปองกนการไถลขาง
ไมมการยดรง แตโครงสรางสมมาตร
ก) ไมมการไถลขาง (ข) มการไถลขาง (ไมมการยดรง และไมสมมาตร) (
รปท 4.6 การพจารณาการไถลดานขางของโครงขอแขง
ตวอยาง 4 จงวเคราะหหาไดอะแกรมแรงเฉอน และโมเมนตดด
คงท E =
ชวงยนดเทอรมเนท
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-15
ขนตอน 1 หาความลาดชน และการโกงตวทปลายชนสวนทไมทราบคา => และ B D
ขนตอน 2 คานวณ FEM ของแตละชนสวนจากรปท 4.4
inkipsFEM AB 64812
)12)(18)(2( 2
inkipsFEM BA 648
ขนตอน 3 เขยนสมการความลาดชน-การโกงตว ชนสวน AB
64811.1
321218
1202
B
ABABBAAB
E
FEMEM
….(1)
64822.2 BBA EM …. (2) ชนสวน BD
DBBD EEM 11.122.2 …. (3)
DBDB EEM 22.211.1 …. (4) ขนตอน 4 สรางสมการสมดลของโมเมนตดดทจดตอหมนได และคานวณหาความลาดชน และการโกงตว ในขนตอนท 1
0;0 DBD MMทจดตอ D: …. (5)
0)12(24;0 BDBAB MMMทจดตอ B: …. (6) แทน สมการ (4) ใน (5)
022.211.1 DB EE …. (7) แทน สมการ (2) และ (3) ใน (6) 64822.2 BE + DB EE 11.122.2 0)12(24 …. (8) จากสมการท (7) และ (8) ได
EE DB
33.46,
66.92
ขนตอน 5 คานวณโมเมนตดดทปลาย
EE DB
33.46,
66.92
ในสมการท (1)-(4) ได แทนคา
inkipM AB 85.750 inkipM BA 29.442
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-16
inkipM BD 28.154 inkipM DB 0
ขนตอน 6, 7, 8 คานวณแรงเฉอนทปลาย แรงปฏกรยา และเขยนไดอะแกรมแรงเฉอน และโมเมนตดด
4.6 การวเคราะหโครงขอแขงทมการไถลขาง (Frames with sidesway) การไถลขางของโครงขอแขงทาใหปลายทงสองของชนสวนเกดระยะเคลอนทสมพทธ () ซงถอวา ชนสวนของโครงขอแขงมการโกงตวทไมทราบคา เพมขนจากกรณโครงขอแขงทไมมการไถลขาง จงจาเปนตองอาศยสมการสมดลแรงเฉอน (Shear equation) เพมเตมจากสมดลโมเมนตดด
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-17
ตวอยาง 5 จงวเคราะหหาไดอะแกรมแรงเฉอน และโมเมนตดด
44 360,.600,.240 inIinIinI CDBCAB
และ E= คงท ดงนน
KEE
L
EIK AB 20
12
240
KEE
L
EIKBC 240
15
600
KEE
L
EIKCD 20
18
360
ขนตอน 1 หาความลาดชน และการโกงตวทปลายชนสวนทไมทราบคา => , และ CB ( ) 18/CD12/AB
ขนตอน 2 คานวณ FEM ของแตละชนสวนจากรปท 4.4 ไมม ขนตอน 3 เขยนสมการความลาดชน-การโกงตว ชนสวน AB
5.42
322
B
ABABBAABAB
K
FEMEKM ….(1)
5.422 BBA KM …. (2) ชนสวน BC
CBBC KM 24 …. (3) CBCB KM 24 …. (4)
ชนสวน CD
322 CCD KM …. (5) 32 CDC KM …. (6)
ขนตอน 4 สรางสมการสมดลของโมเมนตดดทจดตอหมนได และสมดลแรงเฉอน และคานวณหาความลาดชน และการโกงตว ในขนตอนท 1
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-18
0;0 BCBAB MMMจดตอ B: …. (7) 0;0 CDCBC MMMจดตอ C: …. (8)
06;0 DCABx VVFสมดลแรงเฉอน:
061812
DCCDBAAB MMMM …. (9)
แทน สมการ (2) และ (3) ใน (7) และแทน สมการ (4) และ (5) ใน (8) ได
09412 CB …. (10) 06124 CB …. (11)
แทน สมการ (1), (2) และ (5), (6) ใน (9)
KCB
1083969 …. (12)
จากสมการท (10) (11) และ (12) ได
KKK CB
44.3,
97.0,
257.2
ขนตอน 5 คานวณโมเมนตดดทปลาย
KKK CB
44.3,
97.0,
257.2 ในสมการท (1)-(6) ได แทนคา
ftkipM AB 45.26 ftkipM BA 84.21 ftkipM BC 84.21 ftkipMCB 78.16 ftkipMCD 78.16 ftkipM DC 7.18
ขนตอน 6, 7, 8 คานวณแรงเฉอนทปลาย แรงปฏกรยา และเขยนไดอะแกรมแรงเฉอน และโมเมนตดด
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-19
ตวอยาง 6 จงวเคราะหหาไดอะแกรมโมเมนตดด
15 kN/m B
C
4 m คงท EI =
ขนตอน 1 หาความลาดชน และการโกงตวทปลายชนสวนทไมทราบคา => θB θC และ ∆
θC
B
θC
BC
θB CD
AB
θB
C B C
A
B
D
= h,C = h,B
3 m 5 m
A D
คาเฉลยการหมนของชนสวน จากรปจะเหนวา
AB = BB/5 = (5Δ/4)/5 = 0.25Δ BC = -B B/5 = (-3Δ/4)/5 = -0.15Δ CD = CC/5 = Δ/4 = 0.25Δ
KAB = K = I/5 และ K = I/4 BC CD
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-20
ขนตอน 2 คานวณ FEM ของแตละชนสวนจากรปท 4.4
FEMBC = -wL2/12 = -(15)(5)2/12 = -31.25 kN-m FEMCB = wL2/12 = (15)(5)2/12 = 31.25 kN-m ขนตอน 3 เขยนสมการความลาดชน-การโกงตว
ชนสวน AB
MAB = 2E(I/5)[2(0) + θB –3(0.25Δ)] + (0) = 0.4EIθB – 0.3EIΔ MBA = 2E(I/5)[2θB + (0) – 3(0.25Δ)] + (0) = 0.8EIθB – 0.3EIΔ ชนสวน BC
MBC = 2E(I/5)[2θB + θC – 3(–0.15Δ)] – 31.25 = 0.8EIθB + 0.4EIθC + 0.18EIΔ – 31.25 MCB = 2E(I/5)[2θC + θB – 3(–0.15Δ)] + 31.25 = 0.8EIθC + 0.4EIθB + 0.18EIΔ + 31.25 ชนสวน CD
MCD = 2E(I/4)[2θC + (0) – 3(0.25Δ)] + (0) = EIθC – 0.375EIΔ MDC = 2E(I/4)[2(0) + θC– 3(0.25Δ)] + (0) = 0.5EIθC – 0.375EIΔ
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-21
C
6.67 m
B
O
A
MAB VAB
15 kN/m
D
MDC
8.33 m
VDC
ขนตอน 4 สรางสมการสมดลของโมเมนตดดทจดตอหมนได และสมดลแรงเฉอน และคานวณหาความลาดชน และการโกงตว ในขนตอนท 1
0;0 BCBAB MMMจดตอ B: …. (1) 0;0 CDCBC MMMจดตอ C: …. (2)
สมการสมดลทสามสามารถทจะหาไดจากผลรวมของโมเมนตรอบจด O ของแรงและโมเมนตดดทปลายของชนสวนทกระทาตอโครงสราง
;0 OM MAB + MDC – (15)(5)(5/2) + VAB(13.33) + VDC(10.67) = 0 (3)
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-22
แรงเฉอนทปลายของชนสวน AB และ CD (V และ VAB DC ตามลาดบ) สามารถทจะเขยนในรปของโมเมนตดดทปลายของชนสวนทงสองโดยอาศยรปอสระของชนสวนทงสองจะได MAB MDC
VAB = –1/5(MAB + MBA) และ VDC = –1/4(MDC + MCD) แทนคาแรงเฉอน VAB และ VDC ลงในสมการท (3) จะได
MAB + MDC – 187.5 + [–1/5(MAB + MBA)](13.33) +[–1/4(MDC + MCD)] (10.67) = 0 1.667MAB + 2.667MBA + 2.667MCD + 1.667MDC +187.5=0 (4) แทนคาสมการความลาดชน-การโกงตว จากขนตอน 3 ในสมการท (1) (2) และ (4) จะได
1.6EIθB + 0.4EIθC - 0.12EIΔ = 31.25 (5) 0.4EIθB + 1.8EIθC - 0.195EIΔ = -31.25 (6) 2.8EIθB + 3.5EIθC - 2.925EIΔ = -187.5 (7) แกสมการท (5) ถงสมการท (7) พรอมกนจะได
EIθB = 28.969 EIθC = -15.913 และ EIΔ = 72.792 ขนตอน 5 คานวณโมเมนตดดทปลาย
แทนคา EIθB = 28.969 EIθC = -15.913 และ EIΔ = 72.792 ทคานวณไดลงในสมการความลาดชน-การโกงตว ในขนตอน 3 จะได
MAB = -10.2 kN-m ทวนเขม MBA = 1.3 kN-m ตามเขม
MAB
VAB
VAB B
A
MDC
VDC
VDC C
D
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-23
MBC = -1.3 kN-m ทวนเขม MCB = 43.2 kN-m ตามเขม MCD = -43.2 kN-m ทวนเขม MCD = -35.2 kN-m ทวนเขม รปไดอะแกรมของโมเมนตดด อาศยคาโมเมนตดดทปลายทคานวณไดสามารถเขยนรปไดอะแกรมของโมเมนตดดไดดงแสดง โดยทตาแหนงทแรงเฉอนเทากบศนยของชนสวน BC สามารถหาไดจากแรงเฉอนทปลายของชนสวนดงกลาวหารดวยขนาดของแรงกระจายแผทกระทาตอชนสวน
x = 29.12/15
= 1.94 m
27
43.2 1.3
43.2
10.2 35.2
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-24
สวนเพมเตม ทมาของสมการความลาดชน-การโกงตว
โมเมนตดดเนองจากแรงภายนอกในสภาพปลายรมทงสองยดแนน FEMij ดรปท 4.4
1.
2. โมเมนตดดเนองจากการโกงตวสมพทธระหวางจดรองรบรมสองขาง; /M
คานจรง
คานคอนจเกต
จากการวเคราะหคานคอนจเกต
realji , = = conjjM ,
3
1
2
1
3
2
2
1 // L
EI
ML
L
EI
ML
jiij
=
3
1
3
2
2
1 / LL
EI
ML
ij
= EI
ML
ij/
2
6
1 …….(4.2) 2
//.6
L
EIMM ij
jiij
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-25
3. โมเมนตดดเนองจากความลาดชน, M
คานจรง
คานคอนจเกต
จากการวเคราะหคานคอนจเกต conjireali V ,,
0jM ; V = Lconji ,
32
1
3
2
2
1 //// L
EI
ML
L
EI
ML
jiij
conjiV , = jiij MMEI
L ////26
หรอ
reali, = jiij MMEI
L ////26
……..(1)
0 iM ; V = Lconji ,
32
1
3
2
2
1 //// L
EI
ML
L
EI
ML
ijji
conjjV , = ijji MMEI
L ////26
หรอ
conjj , = ijji MMEI
L ////26
………(2)
จากสมการ (1) และ (2) จะได
L
EIM ji
ij
2.2//
L
EIM ij
ji
2.2//
………….(4.3)
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-26
ดงนน สมการโมเมนตดดทปลาย (End moment) คอ
= endM FEMsMM ///
แทนคาโมเมนตดดทปลายจาก (4.2) และ (4.3) ได
;ijend
ijjiji
ij FEML
EI
L
EIM
2
62.2
;jiend
jijiij
ji FEML
EI
L
EIM
2
62.2
จดรปสมการใหม
= ijM ijji
ji FEMLL
IE
322
= jiM jiji
ij FEMLL
IE
322
L
Iให K = คอ ความแขงดดสมพทธ (Relative flexural stiffness)
2ji
ij
คอ คาเฉลยการหมนของชนสวน (Average Chord rotation)
ดงนน จะไดสมการความลาดชน-การโกงตว ดงน
= ijM ijijji FEMEK 322 = jiM jiijij FEMEK 322
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-27
แบบฝกหดทายบท การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว แบบฝกหด ฝ4.1-4.9 วเคราะหหาแรงปฏกรยาของโครงสรางโดยวธความลาดชน-การโกงตว 40 kN 60 kN ฝ4.1 ฝ4.2
ฝ4.3 ฝ4.4
C A
5m 5m 10m 5m
EI = คงท 10 kN/m
20 kN 40 kN
B D E
C
A B
D
5 m 5 m 20 m
60 kN 20 kN/m
E = 200 Gpa I = 500(106) mm4
C
A
20 kN/m
60 kN
B
8 m.
10 m. EI = คงท
C A B D
5 m 5 m 10 m 10 m
E = 200 Gpa E I = 500(106) mm4
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-28
ฝ4.5 50 kN 3 kN/m
ฝ4.6
ฝ4.7
C
A
20 kN
D
9 m.
3 m.
E = คงท
B
3 m.
2I 2I
E
I
2I
9 m. 3 m.
40 kN 60 kN
EI = คงท E = 29,000 ksi I = 3,500 in4
3 k/ft
20 k
12 ft 12 ft
12 ft
C
A
D B
C A B D
5 m 5 m 10 m 10 m
E = 200 Gpa E I = 500(106) mm4
ทรดลง 0.1 m
บทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว
หนาท 4-29
ฝ4.8
ฝ4.9
8 ft 8 ft 4 ft
EI = คงท E = 29,000 ksi I = 3,500 in4
2 k/ft 16 k
8 ft
C
A
D B
12 ft
E
4 m 4 m 2 m
EI = คงท
20 kN/m
4 m
C
A
D B
E
3 m
200 kN-m 60 kN
บทท 5 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด
หนาท 5-1
บทท การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนท ทางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด 5
Analysis of Statically Indeterminate Structures by The
Moment Distribution Method
เนอหา 5.1 บทนา 5.2 สญลกษณและระบบเครองหมาย 5.3 สมการทใชสาหรบวเคราะห 5.4 การวเคราะหคานตอเนอง (Continuous beams) 5.5 การวเคราะหโครงขอแขงทไมมการไถลขาง (Frames without sidesway) 5.6 การวเคราะหโครงขอแขงทมการไถลขาง (Frames with sidesway) วตถประสงค - สามารถวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนทโดยวธการกระจายโมเมนตดด
5.1
บทนา
วธการกระจายโมเมนตดด (Moment distribution method) เปนวธทมการพจารณาเงอนไขสมดลของโมเมนตดดทจดตอทหมนโดยการคานวณแบบวนซา (Iterative procedure) ซงตางจากวธความลาดชน-การโกงตว ซงจะใชวธการแกระบบสมการเชงเสน (Simultaneous equations)
ทภาวะสมดลเมอคานตอเนอง หรอโครงขอแขงรบแรงกระทาภายนอก จะเกดโมเมนตดดภายในทปลาย (End Moments) และการหมน ในแตละชวงจดรองรบ โดยเมอพจารณาคานตอเนองรปท 5.1(ก) ในการวเคราะหจะแบงคานออกเปนชนสวน คอ AB และ BC เชอมตอกนแบบจดแขงท B โดยจดดงกลาวเปนจดรองรบของคานดวยเชนกน ผลของแรงกระทาภายนอก P และ P’ ทาใหเกดการหมนทจด B และ C ดงแสดงในรปท 5.1(ก)
(ก) คานตอเนองรบแรงภายนอก
บทท 5 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด
หนาท 5-2
(ข) คานตอเนองรบแรงภายนอกทมการยดรงชวคราวท B และ C
รปท 5.1 คานตอเนอง การวเคราะหจะเรมตนโดยทาการยดรงชวคราวในจดทมการหมน (จด B และ C) ซงจะสงเกตได
วา จะเกดโมเมนตดดทเกดจากการยดรงชวคราวเทากบ BM
CMและ ทจด B และ C ตามลาดบ (ดงแสดงในรปท 5.1(ข)) โมเมนตดดดงกลาวจะตองทาการปลดปลอยสลายใหเปนศนยโดยทาการปลดการยดรงออก ทงน การปลดการยดรงจะกระทาสลบกนไประหวางทจด B และ C หลายๆครง จนกระทงคานคอยๆเปลยนรปสในภาวะสมดลเดมดงเชนเสนประทแสดงในรปท 5.1(ก)
5.2 สญลกษณและระบบเครองหมาย ใชระบบสญลกษณ และเครองหมายเชนเดยวกนกบทใชในการวเคราะหโครงสรางโดยวธความลาดชน-การโกงตว 5.3 สมการทใชสาหรบวเคราะห 5.3.1 ความแขงดดของชนสวน (Bending stiffness)
พจารณาคาน AB รองรบดวยจดรองรบทหมนไดทปลาย A และชนดยดรงแนน (fixed-end) ทปลาย B และมโมเมนตดด M กระทาทปลาย A ทาใหเกดการหมนท A เทากบ A และเกดโมเมนตดดปฏกรยาท B (M ) ดงแสดงในรปท 5.2 BA
M
MBAA B
L
EI=คงท
A
รปท 5.2 คานรบโมเมนตดดทปลาย A และปลาย B ยดรงแนน
บทท 5 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด
หนาท 5-3
จากสมการความลาดชน-การโกงตว
ABABBAAB FEML
IEMM 322
AL
IEM 4 หรอ (5.1) AKM
ดงนน LIKEKK /,4
และ K คอ ความแขงดด (Bending stiffness) คอ ความแขงดดสมพทธ (Relative bending stiffness) K
5.3.2 คาตวประกอบการสงถาย (Carryover Factor, COF) จากสมการความลาดชน-การโกงตว
BAABABBA FEMEKM 322
MEKM ABA 2
12 (5.2)
เขยนสมการท (5.2) ใหมวา
ดงนน 2/1COFMCOFM BA
จากรปท 5.2 และสมการท (5.2) โมเมนตดดทปลาย B มคาเทากบ ครงหนง ของโมเมนตดด M
กระทาทปลาย A หรอกลาวไดวา โมเมนตดดทปลาย A สงมาถายมาท B ดวยคาตวประกอบเทากบ 0.5 เรยกคาดงกลาววา “คาตวประกอบสงถาย (Carry over factor, COF)” และเรยกโมเมนตดดทสงมาวา “โมเมนตดดสงถาย (Carry over moment, COM)” 5.3.3 คาตวประกอบการกระจาย (Distribution Factor, DF)
พจารณาโครงขอแขงมโมเมนตดดกระ ทาทจด B ดงรปท 5.3
รปท 5.3 โครงขอแขงมโมเมนตดดกระทาทจด B
I1
L1 L3
L2
D
C
B A
I2
I3 M
B
บทท 5 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด
หนาท 5-4
จากสมการท (5.1) โมเมนตดดทปลาย B ของชนสวน AB, CB และ DB คอ
BBABBBABA EKL
IEKM 44
1
1
BBCBBBCBC EKL
IEKM 44
2
2
BBDBBBDBD EKL
IEKM 44
3
3
…………….(5.3)
พจารณาสมดลของโมเมนตดดทจด B
0;0 BDBCBAB MMMMM
………… …(5.4) แทนคาโมเมนตดดจาก (5.3) ใน (5.4) ได
B
BBDBCBA
EK
EKEKEKM
)4(
444 (5.5)
หรอ
)(4)4( KE
M
EK
MB
แทนคา ในสมการ (5.3) ได B
MK
K
KE
MEKEKM
BA
BABBABA
)(
)(444
MK
KM BC
BC
)(
(5.6)
MK
KM BD
BD
)(
บทท 5 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด
หนาท 5-5
จากสมการท (5.6) สามารถกลาวไดวา โมเมนตดดทจดตอใดๆ จะกระจายไปสโมเมนตดดทปลายของชนสวนทมารวมตอเปนสดสวนกบความแขงของแตละชนสวนเทยบกบความแขงรวม และสมการท (5.6) สามารถเขยนในรปทวไปไดวา
MDFM ijij (5.7)
)(K
KDF ij
ijโดยท คอ คาตวประกอบการกระจาย
5.4 การวเคราะหคานตอเนอง (Continuous Beams) 5.4.1 คานตอเนองทมการยดรงทปลายรมคาน ในการวเคราะหคานตอเนองทมการยดรงทปลายรมคานจะอาศยสมการทไดหาในหวขอท 5.3 5.4.2 คานตอเนองทปลายรมคานหมนได การวเคราะหคานตอเนองทปลายรมคานหมนไดอสระจะทาการแปลงสมการทสรางในหวขอท 5.3 โดยพจารณาคานทปลายรม B สามารถหมนได ดงรป 5.4
M
รปท 5.4 คานรบโมเมนตดดทปลาย A
A B
L
EI=คงท
A
MBA
และปลาย B หมนไดอสระ จากสมการดดแปลงความลาดชน-การโกงตวของโมเมนตดดทปลาย A
BAABABAAB FEMFEML
IEMM
2
13
AL
IEM 3 หรอ …….(5.8) AKM
)/(4
3,4 LIKEKK ดงนน
โมเมนตดดทปลาย B
MM BA 00
ดงนน 0COF
บทท 5 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด
หนาท 5-6
ตารางท 5.1 แสดงการเปรยบเทยบสมการและคาคงททใชในการวเคราะหคานตวเนองทปลายรมยดแนน และหมนได
ตารางท 5.1 การวเคราะหคานตอเนองทปลายรมยดแนน และแบบปลายรมหมนได
A B
LM
MBA
A
EI=constant
MBA
A B
LM A
EI=constant
คานทมปลายอกดานเปน Fixed-end คานทมปลายอกดานเปน Hinged-end
Relative bending stiffness, K
Bending stiffness, K
Carryover factor, COF
Distribution factor, DM
)(K
KDF ij
ij
ชนดของคาน (end support)
)L/I(EEKK 44
LIK /
)L/I(EEKK 34
)/(4
3LIK
1/2 0
KM KM A B
LM
MBA
A
EI=constant
A B
LM
MBA
A
EI=constant
MBA
A B
LM A
EI=constant
MBA
A B
LM A
EI=constant
A B
LM A
EI=constant
คานทมปลายอกดานเปน Fixed-end คานทมปลายอกดานเปน Hinged-end
Relative bending stiffness, K
Bending stiffness, KBending stiffness, K
Carryover factor, COF
Distribution factor, DM
)(K
KDF ij
ij
ชนดของคาน (end support)
)L/I(EEKK 44
LIK /
)L/I(EEKK 34
)/(4
3LIK
1/2 0
KM KM 5.4.3 คานตอเนองทมปลายยน พจารณาคานตอเนองทมปลายยน (รปท 5.5(ก)) เนองจากสวนยน CD มสภาพเปนดเทอรมเนท ซงสามารถคานวณหาแรง และโมเมนตดดท C ได (รปท 5.5(ข)) ดงนน ในการวเคราะหคานตอเนองน จงไมจาเปนตองพจารณาสวนยน CD กได โดยนาแรงทปลาย มาพจารณารวมในการวเคราะห (รปท 5.5(ค)) ดงแสดงขางลาง
(ก) คานทวเคราะห
(ข) คานยนดเทอรมเนท
A
B C D LCDLAB LBC
w
LCD
2
2CD
CD
wLM
CDCD wLV
w
คาตวประกอบการกระจาย
ความแขงดด
ความแขงดดสมพทธ
คาตวประกอบสง ถาย
EI = คงท
คานทปลายอกดานหมนได คานทปลายอกดานยดแนน
คงท EI =
บทท 5 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด
หนาท 5-7
D A
รปท 5.5 การวเคราะหคานตอเนองทมปลายยน
5.4.4 ขนตอนการวเคราะห 1. หาคาตวประกอบการกระจาย
2. คานวณโมเมนตดดทปลายยดรงแนน (FEMs) ของแตละชนสวน 3. วเคราะหกระจายโมเมนตดดเพอหาโมเมนตดดทปลาย 4. คานวณแรงเฉอนทปลาย 5. คานวณแรงปฏกรยา 6. วาดไดอะแกรมแรงเฉอน (SFD) และไดอะแกรมโมเมนตดด (BMD)
ตวอยาง 1 จงคานวณโมเมนตดดทปลาย (End moments) ของคานทมปลายยดแนนดงรป
ขนตอน 1 หาคาตวประกอบการกระจาย
)(K
KDF ij
ij
จดตอ A (จดรองรบยดรงแนน) 0ABDF
จดตอ B
6.012/8/
8/
II
IDFBA 4.06.01 BCDF
จดตอ C (จดรองรบยดรงแนน) 0CBDF
B C LAB LBC
2
2CD
CD
wLM w
( คานททาการวเคราะห)คCDCD wLV
โดยถายโมเมนตแลว
บทท 5 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด
หนาท 5-8
ขนตอน 2 คานวณโมเมนตดดทปลายยดรงแนน (FEMs) ของแตละชนสวน 0ABFEM 0BAFEM
ftkipFEM BC 36 ftkipFEM CB 36 ขนตอน 3 วเคราะหกระจายโมเมนตดดเพอหาโมเมนตดดทปลาย A B C จดตอ
ดงนน โมเมนตดดทปลาย คอ
10.8 21.6 21.6 43.2
ตวอยาง 2 จงคานวณโมเมนตดดทปลาย (End moments) ของคานตอเนองทปลายรมคานหมนได (ทาแบบคานทมปลายยดรง)
ขนตอน 1 หาคาตวประกอบการกระจาย
)(K
KDF ij
ij
จดตอ A (จดรองรบยดรงแนน) 0ABDF
บทท 5 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด
หนาท 5-9
จดตอ B
5.022
2
BADF 5.05.01 BCDF
จดตอ C
67.012
2
CBDF 33.067.01 CDDF
จดตอ D (จดรองรบหมนได)
0.101
1
DCDF
ขนตอน 2 คานวณโมเมนตดดทปลายยดรงแนน (FEMs) ของแตละชนสวน
0ABFEM 0BAFEM
ftkipFEM BC 25 ftkipFEMCB 25 ftkipFEMCD 10 ftkipFEM DC 10
ขนตอน 3 วเคราะหกระจายโมเมนตดดเพอหาโมเมนตดดทปลาย
A B C D จดตอ
บทท 5 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด
หนาท 5-10
ตวอยาง 3 จงคานวณหาไดอะแกรมแรงเฉอน (SFD) และไดอะแกรมโมเมนตดด (BMD) ของคานตอเนองทปลายรมคานหมนได
ขนตอน 1 หาคาตวประกอบการกระจาย จดตอ A (จดรองรบหมนได) 1ABDF
จดตอ B
484.0)20/()16/(4/3
)16/(4/3
II
IDFBA 516.0484.01 BCDF
จดตอ C
444.0)20/()12/(4/3
)20/(
II
IDFCB 556.0444.01 CDDF
จดตอ D (จดรองรบหมนได)
0.101
1
DCDF
ขนตอน 2 คานวณโมเมนตดดทปลายยดรงแนน (FEMs) ของแตละชนสวน
ftkipFEM AB 5.22 ftkipFEM BA 5.7 ftkipFEM BC 100 ftkipFEM CB 100
ftkipFEM CD 0 ftkipFEM DC 0 ขนตอน 3 วเคราะหกระจายโมเมนตดดเพอหาโมเมนตดดทปลาย A B C D จดตอ
บทท 5 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด
หนาท 5-11
ขนตอน 4 คานวณแรงเฉอนทปลาย และ ขนตอน 5 คานวณแรงปฏกรยา
D A
B C
R =37.07kips RC=35.89kips B
ขนตอน 6 วาดไดอะแกรมแรงเฉอน (SFD) และไดอะแกรมโมเมนตดด (BMD)
ตวอยาง 4 จงคานวณโมเมนตดดทปลาย (End moments) ของคานตอเนองทปลายรมยน
ขนตอน 1 หาคาตวประกอบการกระจาย จดตอ A (จดรองรบหมนได) 1ABDF
จดตอ B
9/5)10/()8/(
)8/(
II
IDFBA 9/49/51 BCDF
จดตอ C
บทท 5 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด
หนาท 5-12
1CBDF ขนตอน 2 คานวณโมเมนตดดทปลายยดรงแนน (FEMs) ของแตละชนสวน
ftkipFEM AB 1.14 ftkipFEM BA 4.23 ftkipFEM BC 0 ftkipFEM CB 0
ftkipFEM CD 20 ขนตอน 3 วเคราะหกระจายโมเมนตดดเพอหาโมเมนตดดทปลาย A B C
5.5 การวเคราะหโครงขอแขงทไมมการไถลขาง (Frames without sidesway) การวเคราะหโครงขอแขงทไมมการไถลขางจะคลายกบการวเคราะหคานตอเนอง เวนแตจดตอของโครงขอแขงสามารถเชอมตอชนสวนมากกวา 2 ชนได ซงทาใหโมเมนตดดทจะตองรวมกนสมดลในจดตอมมากกวา 2 โมเมนตดด หรอจะตองทาการกระจายโมเมนตดด และ สงถายโมเมนตดดมากกวา 2 ขาง
ตวอยาง 5 จงคานวณหาแรงปฏกรยาทจด A B และ C ของคานตอเนองทปลายรมยน
บทท 5 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด
หนาท 5-13
ขนตอน 1 หาคาตวประกอบการกระจาย จดตอ C
429.0)30/1600()20/800(
)20/800(
CADF 571.0429.01 CDDF
จดตอ D
4.0)30/1600(4/3)20/800()30/1600(
)30/1600(
DCDF
3.0)30/1600(4/3)20/800()30/1600(
)30/1600(4/3
DEDF
3.03.04.01 DBDF ขนตอน 2 คานวณโมเมนตดดทปลายยดรงแนน (FEMs) ของแตละชนสวน
ftkipFEM AC 100 ftkipFEM CA 100 ftkipFEM CD 150 ftkipFEM DC 150 ftkipFEM DE 150 ftkipFEM ED 150
ขนตอน 3 วเคราะหกระจายโมเมนตดดเพอหาโมเมนตดดทปลาย A C D E B จดตอ
Distribution factor (DF) FEM Distribution
C.O. Distribution
Final moments
C.O. Distribution
C.O. Distribution
C.O. Distribution
C.O. Distribution
ปลายชนสวน
ขนตอน 4 คานวณแรงเฉอนทปลาย และ ขนตอน 5 คานวณแรงปฏกรยา
บทท 5 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด
หนาท 5-14
5.6 การวเคราะหโครงขอแขงทมการไถลขาง (Frames with sidesway) เมอปลายทงสองขางเกดระยะเคลอนทสมพทธ () จะทาใหเกดโมเมนตดดทปลายยดรงแนนทปลายทง 2 ขางดงแสดงในรปท 5.6 แตสาหรบกรณการไถลขางของโครงขอแขง จะทาใหจดตอทงสองของชนสวนเกดระยะเคลอนทสมพทธ () เชนกน แตไมทราบวามขนาด และทศทางเทาไหร ดงรปท 5.7(ก) ดงนนโมเมนตดดทปลายยดรงแนน ทเกดขนจงไมสามารถคานวณหาขนาดออกมาได
รปท 5.6 โมเมนตดดทปลายยดรงแนนของคานเมอปลายทงสองเกดระยะเคลอนทสมพทธ ในการวเคราะหโครงขอแขงทมการไถลขางดงกลาว จงจาเปนตองทาการวเคราะหโครงสราง 2 ครงแยกกน แลวนามาซอนทบภายหลง (ดงรปท 5.7) ดงน (1) การวเคราะหโดยทาการยดรงไมใหเกดการไถลขาง
การวเคราะหโดยใหเกดการไถลขาง (2) ในการวเคราะหโครงขอแขง (2) จะตองทาการสมมตคาของ (หรอคาโมเมนตดดทปลายยดรงแนน) เพอใหสามารถทาการวเคราะหได แลวทาการตรวจสอบความถกตองของการสมมตโดยอาศยสมการเงอนไขทขนาดของแรงแนวราบทกระทา (Q) จะตองเทากบขนาดของแรงปฏกรยาทยดรงในการวเคราะหครงท (1) (Q=R หรอ = ‘) ทงน การสมมตมกจะไมตรง ดงนนจงตองทาการเทยบคาโมเมนตดดตามสดสวนทสมมตคลาดเคลอนไป (R/Q)
บทท 5 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด
หนาท 5-15
คาการวเคราะหทถกตองจะไดจากการซอนทบ (Superposition) ของผลการวเคราะหครงท (1) และ (2) ดงแสดงในรปท 5.7
=
Q
R+
รปท 5.7 การวเคราะหโครงขอแขงทมการไถลขาง
โครงของแขงทวเคราะห
จดรองรบปองกนการไถล
(2) การวเคราะหโดยใหเกดการไถลขาง
(1) การวเคราะหโดยทาการยดรงไมใหเกดการไถลขาง
ตวอยาง 6 จงวเคราะหหาโมเมนตดดทปลายของโครงขอแขงทมการไถลขาง
(1) การวเคราะหโดยทาการยดรงไมใหเกดการไถลขาง ขนตอน 1.1 หาคาตวประกอบการกระจาย จดตอ C
5.0)7/()7/(
)7/(
II
IDFCA 5.05.01 CDDF
จดตอ D
417.0)3/()7/(
)7/(
II
IDFDC 583.0417.01 CDDF
ขนตอน 1.2 คานวณโมเมนตดดทปลายยดรงแนน (FEMs) ของแตละชนสวน
= +
Q
R
EI = คงท
(1) การวเคราะหโดยทาการยดรงไมใหเกดการไถลขาง
(2) การวเคราะหโดยใหเกดการไถลขาง
จดรองรบปองกนการไถล
โครงของแขงทวเคราะห
บทท 5 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด
หนาท 5-16
mkNFEM CD 2.39 mkNFEM DC 4.29 ขนตอน 1.3 วเคราะหกระจายโมเมนตดดเพอหาโมเมนตดดทปลาย A C D B จดตอ
ปลายชนสวน
Distribution factor (DF) FEM Distribution C.O. Distribution C.O. Distribution
C.O. Distribution
Final moments
ขนตอน 1.4 คานวณแรงปฏกรยา R
การวเคราะหโดยใหเกดการไถลขาง (2) ขนตอน 2.1 (เหมอน 1.1) ขนตอน 2.2 คานวณโมเมนตดดทปลายยดรงแนน (FEMs) ของแตละชนสวน
507
62
EI
FEMFEM CAAC (สมมต)
985
750
5
62
2
2
EIFEMFEM DBBD ดงนน
บทท 5 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด
หนาท 5-17
ขนตอน 2.3 วเคราะหกระจายโมเมนตดดเพอหาโมเมนตดดทปลาย A C D B จดตอ
ปลายชนสวน
Distribution factor (DF) FEM Distribution
C.O. Distribution
C.O. Distribution
C.O. Distribution
C.O. Distribution
Final moments
ขนตอน 2.4 คานวณแรง Q
ขนตอน 2.5 ทาการซอนทบคาโมเมนตดดจากการวเคราะหทงสองครง แลวทาการหาแรงเฉอน และแรงปฏกรยาตอไป
06.041.34
06.2
Q
Rโดยนาคา ไปทาการปรบคา จะได
mkNM AC 5.14)3.42)(06.0(12 mkNMCA 1.26)5.34)(06.0(24
mkNMCD 26)3.34)(06.0(9.23 mkNM DC 3.21)4.45)(06.0(24
mkNM DB 3.21)4.45)(06.0(24
บทท 5 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด
หนาท 5-18
mkNM BD 7.7)8.71)(06.0(12 จากโมเมนตดดทปลายทคานวณขางตน สามารถแสดงไดดงน
แบบฝกหดทายบท การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธการกระจายโมเมนตดด ใหทาแบบฝกหดทายบทเชนเดยวกบในบทท 4 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธความลาดชน-การโกงตว โดยวธการกระจายโมเมนตดด
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-1
หนาท
บทท การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนท ทางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6
Analysis of Statically Indeterminate Structures by The Matrix Stiffness method
เนอหา 6.1 บทนา 6.2 ความแขงของชนสวนตามระบบแกนพกดทองถน 6.3 การแปลงระบบพกด (Transformation) 6.4 แรงทไมไดกระทาทจดตอ (Non-nodal force หรอ Element force) 6.5 การรวมประสาน (Assembly) 6.6 ขนตอนการคานวณ วตถประสงค - สามารถวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนทโดยเมตรกซความแขง
6.1.1 โมเดลการวเคราะห วธการวเคราะหโดยเมตรกซความแขง จะพจารณา โครงสรางหนงๆ วาเปนการรวมกนของชนสวนยอย (members หรอ element) เชอมตอทปลายทงสองขาง เรยกวา จดตอ (joints หรอ node) และจะพจารณาแรงกระทา และการเปลยนรปรางทจดตอ ดงแสดงในรปท 6.1 ซงสงเกตไดวา ชนสวนหนงๆจะมขนาดหนาตดคงท (ดชนสวนท 3 และ 4)
รปท 6.1 โมเดลสาหรบวเคราะห
ดงนน หากเราสามารถวเคราะหอธบายพฤตกรรม (เมอมแรงกระทาทชนสวนใดๆ จะทาใหชนสวนนนเกดหนวยแรงหรอเปลยนรปรางอยางไร) ของชนสวนยอยทกๆชนสวนได กจะสามารถนาผลวเคราะหของแตละชนสวนมารวมกนเพออธบายพฤตกรรมของโครงสรางได หรอในทางกลบกน หากเราสามารถอธบายพฤตกรรมของโครงสรางได กจะสามารถแยกยอยเพออธบายพฤตกรรมของชนสวนยอยใดๆกไดเชนเดยวกน
6.1 บทนา
4 ชนสวน 5 จดตอ
#1
#2
#4
#3 2
1
3
4
5
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-2
หนาท
6.1.2 ระบบพกดและการกาหนดเครองหมาย ระบบพกด (Coordinate) ม 2 ระบบ คอ
ระบบพกดรวม (Global Coordinate System) แทนดวย X, Y, Z 1. ใชสาหรบอธบายรปราง ตาแหนง ของโครงสรางโดยทงหมด
ระบบพกดทองถน (Local หรอ Member) Coordinate system) แทนดวย x, y, z 2. ใชสาหรบอธบายรปรางของชนสวนยอยของแตละชนสวน ดงนน ในการคานวณโครงสรางใดๆ จะม 1 ระบบพกดรวม n ระบบพกดทองถน (n คอ จานวนชนสวน หรอ อลเมนต)
ระบบพกดรวมX
ทศแนวนอน และ Y ตงฉากกบแกน X โดยท Z พงออก
ระบบพกดทองถน x ทศตามแนวชนสวน เรมจากจดตอแรก ไป จดตอ ทสอง
ดยททศ z = Z y ตงฉากกบแกน x โ
(ก) ระบบพกด
(ข) กฎมอขวา (right hand rule) รปท 6.2 ระบบพกดทใชในการวเคราะห และระบบเครองหมาย รปท 6.2 แสดงระบบพกดสาหรบการวเคราะห และเครองหมายทใชตามกฎมอขวา (Right hand rule) ซงปรมาณของแรงและการเคลอนตวทเกดขนจะมเครองหมายบวกตามทศทางทกาหนด
Z
X
Y
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-3
หนาท
6.1.3 ชนดของชนสวน ในการวเคราะหจะทาการสรางแบบจา ลองโครงสราง (Structural model) ซงประกอบ ดวยชนสวนยอยชนดตางๆ ตามลกษณะการรบแรง หรอ การเคลอนตวทเกดขน ดงน (ก) ชนสวนรบแรงตามแนวแกน ชนสวนนจะรบแรงเฉพาะตามแนวแกนเทานนซงเปนสวนประกอบสาหรบโครงสรางแบบโครงขอหมน (Truss) (ข) ชนสวนรบแรงเฉอนและแรงดด
ชนสวนชนสวนนจะรบแรงเฉอน และแรงดด ซงเปนสวนประกอบสาหรบโครงสรางคาน (Beam) (ค) ชนสวนรบแรงตามแนวแกน แรงเฉอนและแรงดด ชนสวนชนสวนนจะรบแรงแนวแกน แรงเฉอน และแรงดด (หรอชนสวน (ก) และ (ข) รวมกน) ซงเปนสวนประกอบสาหรบโครงสรางแบบโครงขอแขง (Frame) 6.1.4 ดกรความอสระ (Degrees of freedom, dof) หมายถง จานวนทศทางการเคลอนททสามารถบงบอกตาแหนงการเปลยนรปรางของโครงสรางได (ก) ชนสวนรบแรงตามแนวแกน ใน 1 ชนสวนยอย (member) จะม 2 จดตอ (node) และในแตละจดตอม 1 ดกรความอสระ ดงนน 1 ชนสวนยอย จะม 2 ดกรความอสระ (ข) ชนสวนรบแรงเฉอนและแรงดด ใน 1 ชนสวนยอย (member) จะม 2 จดตอ (node) และในแตละจดตอม 2 ดกรความอสระ ดงนน 1 ชนสวนยอย จะม 4 ดกรความอสระ ค) ชนสวนรบแรงแนวแกน แรงเฉอนและแรงดด ( ใน 1 ชนสวนยอย (member) จะม 2 จดตอ (node) และในแตละจดตอม 3 ดกรความอสระ ดงนน 1 ชนสวนยอย จะม 6 ดกรความอสระ รปท 6.3 แสดงการรบแรงและจานวนดกรความอสระของชนสวนแตละชนด Q1, 1 Q2, 2
a b
Q1, 1 Q2, 2aa bb
(ก) ชนสวนรบแรงตามแนวแกน
ข) ชนสวนรบแรงเฉอนและแรงดด
Q1, 1
Q2, 2 Q4, 4
Q3, 3
a b
Q1, 1
Q2, 2 Q4, 4
Q3, 3
aa bb
(
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-4
หนาท
Q2, 2
Q3, 3 Q6, 6
Q5, 5Q1, 1 Q4, 4a b
Q2, 2
Q3, 3 Q6, 6
Q5, 5Q1, 1 Q4, 4aa bb
(ค) ชนสวนรบแรงแนวแกน แรงเฉอนและแรงดด
รปท 6.3 การรบแรงและดกรความอสระ
6.2 ความแขงของชนสวนตามระบบพกดทอง ถน แรงกระทาทจดตอ ททศทาง i ในระบบพกดชนสวน (Local coordinate system) ใดๆ จะทาใหเกดการเปลยนตาแหนงทจดตอในทศทาง j ในระบบพกดชนสวน
iQ
j ซงสมพนธกนโดยคาความแขง (Stiffness) ijk ดงแสดงในสมการท 6.1 คอ jiji kQ (6.1) 6.2.1 ความแขงของชนสวนรบแรงตามแนวแกน พจารณาสปรงเชงเสนรบแรงกระทาตามแนวแกน Q ทาใหเกดการเปลยนรปราง ดงรปท 6.4
k
Q
Q,
รปท 6.4 สปรงเชงเสนรบแรงตามแนวแกน จากรปท 6.4 ความแขงของสปรงสามารถเขยนไดเปน /Qk และเมอแทนคา เทากบ 1 จะได ซงสามารถนยามคาความแขงของสปรงไดวา 1/Qk
“ ความแขง (Stiffness, k) คอ ขนาดของแรงททาใหเกดการเปลยนรปตามแนวแรงเทากบ 1”
สาหรบชนสวนรบแรงตามแนวแกน ความสมพนธระหวางแรงกระทาและการเปลยนรปรางทจดตอแสดงในรปท 6.3(ก) สามารถแสดงไดคอ
2
1
222221
1211
2
1
kk
kk
Q
Q (6.2)
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-5
หนาท
ความแขง k คอ ขนาดของแรงกระทาทจดตอ i ททาใหเกดการเปลยนรปทจดตอ j เทากบ 1 ij
กรณ 1 ให เทากบ 1 และ = 0 จากสมการท (6.2) จะได 1 2
112121111 kkkQ 212221212 kkkQ และ
L
AEQ 11 พรอมกบแทนคา จะได
L
AE และเมอพจารณาสมดลของแรงตามแนวแกน จะได
Q
k 11
=k21 =-Q =-AE/L2 1
กรณ 2 ให = 1 และ เทากบ 0 จากสมการท (6.2) จะได 2 1
122121111 kkkQ 222221212 kkkQ และ
L
AEQ 22
L
AEk 22พรอมกบแทนคา จะได และเมอพจารณาสมดลของแรงตามแนวแกน จะได
Q =-Q =-AE/L=k2 1 12
คาเมตรกซความแขงในระบบพกดทองถนของชนสวนรบแรงตามแนวแกน แสดงในคอลมนท 3 ของตารางทายบท 6.2.2 ความแขงของชนสวนรบแรงเฉอนและแรงดด
ความสมพนธระหวางแรงกระทาและการเปลยนรปรางแสดงในรปท 6.3(ข) สามารถแสดงไดคอ
4
3
2
1
4444434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
Q
Q
Q
Q
(6.3)
ในการหาคาความแขง kij จะกระทาการวเคราะหโดยการสมมตคาการเปลยนรปราง ดงแสดงขางตน โดยแบงออกเปน 4 กรณคอ กรณ 1 ให เทากบ 1 และ = = = 0 ดงรปท 6.5 (ก) จากสมการท (6.3) จะได 1 2 3 4
114143132121111 kkkkkQ 214243232221212 kkkkkQ
314343332321313 kkkkkQ 414443432421414 kkkkkQ
จากสมการความลาดชน-การโกงตว (Slope-deflection equations)
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-6
หนาท
Mab =2EI/L(2a+b -3ab)=-6EI/L2 หรอ
Q2= k21 = 6EI/L2 และ Mba =2EI/L(2b+a -3ab)=-6EI/L2 หรอ
Q4= =k41 = 6EI/L2 จากสมดลแรง [Mb=0]; Q1=12EI/L3 = k11 [Fy=0]; Q3=- Q1=-12EI/L3 = k31 ผลการวเคราะหแสดงดงรปท 6.5 (ก) กรณ 2 ให เทากบ 1 และ = = = 0 ดงรปท 6.5 (ข) จากสมการท (6.3) จะได 2 1 3 4
124143132121111 kkkkkQ 224243232221212 kkkkkQ
324343332321313 kkkkkQ 424443432421414 kkkkkQ
จากสมการความลาดชน-การโกงตว (Slope-deflection equations) Mab =2EI/L(2a+b -3ab)=-4EI/L หรอ
Q2= k22 = 4EI/L และ Mba =2EI/L(2b+a -3ab)=-2EI/L หรอ
Q4= =k42 = 2EI/L จากสมดลแรง [Mb=0]; Q1=6EI/L2 = k12 [Fy=0]; Q3=- Q1=-6EI/L2 = k32 ผลการวเคราะหแสดงดงรปท 6.5 (ข) กรณ 3 ให เทากบ 1 และ = = = 0 ดงแสดงในรปท 6.5 (ค) 3 1 2 4
ทาการวเคราะหเชนเดยวกบกรณ 1 ซงจะไดผลการวเคราะหดงแสดงในรปท 6.5 (ค) กรณ 4 ให เทากบ 1 และ = = = 0ดงแสดงในรปท 6.5 (ง) 4 1 2 3
ทาการวเคราะหเชนเดยวกบกรณ 2 ซงจะไดผลการวเคราะหดงแสดงในรปท 6.5 (ง)
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง
หนาท 6-7
คาเมตรกซความแขงในระบบพกดทองถนของชนสวนรบแรงเฉอน และแรงดด แสดงในคอลมนท 3 ของตารางทายบท
Q2=6EI/L2
Q4=6EI/L2
Q3=12EI/L3
Q1=12EI/L3
(ก) กรณ 1:
1=1
a b
b a a=-1
2=1
ab=1/L
= 1 และ = = = 0 1 2 3 4
Q1=6EI/L2
Q2=4EI/L Q4=2EI/L Q3=6EI/L2
= 1 และ = = = 0 (ข) กรณ 2: 2 1 3 4
Q2=6EI/L2 Q4=6EI/L2
Q1=12EI/L3
Q3=12EI/L3
3=1
b a
ab=-1/L
(ค) กรณ 3: = 1 และ = = = 0 3 1 2 4
Q1=6EI/L2
Q2=4EI/L Q4=2EI/L
b=1 b a
4=1
Q3=6EI/L2 = 1 และ = = = 0 (ง) กรณ 4: 4 1 2 3
รปท 6.5 การวเคราะหคาความแขงของชนสวนรบแรงเฉอน และแรงดด 6.2.3 ความแขงของชนสวนรบแรงแนวแกน แรงเฉอนและแรงดด คาเมตรกซความแขงในระบบพกดทองถนของชนสวนรบแรงตามแนวแกน แรงเฉอน และแรงดด สามารถคานวณหาไดโดยการรวมกนของชนสวนรบแรงตามแนวแกนในหวขอ6.2.1 และชนสวนรบแรงเฉอน และแรงดดในหวขอ 6.2.2 ดงแสดงในคอลมนท 3 ของตารางทายบท
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-8
หนาท
6.3 การแปลงระบบพกด (Transformation)
เนองจากเมตรกซความแขง ในหวขอท 6.2 นน เปนคาในระบบพกดทองถน (Local Coordinate System) ดงนน การทจะนาคาเมตรกซความแขง ไปใชในการวเคราะหโครงสรางโดยรวม จะตองมการเปลยนไปสระบบพกดรวม (Global Coordinate System) รวมทงคาของแรงกระทา และการเปลยนตาแหนงทจดตอ กสามารถทจะเปลยนไปมาในระหวางระบบพกดรรวม และระบบพกดทองถน ไดเชนกน
การแปลงระบบพกดของชนสวนรบแรงตามแนวแกน (รป 6.6 (ก)) 6.3.1
ทจดตอ a และ F ในระบบพกดรวม เขาสระบบพกดทองถน เพอเทยบกบแรง Q จะได แตกแรง F1 2 1
sincos 211 FFQ
ทจดตอ b
แตกแรง F และ F ในระบบพกดรวม เขาสระบบพกดทองถน เพอเทยบกบแรง Q จะได 3 4 2
sincos 432 FFQ
เขยนในรปเมตรกซไดวา
4
3
2
1
2
1
sincos00
00sincos
F
F
F
F
Q
Q
หรอ เขยนสมการการแปลงพกดระหวางแรงกระทาทจดตอ แบบยอ ไดวา FTQ (6.3) เรยกเมตรกซ วา เมตรกซแปลงระบบพกด (Transformation matrix) และคณสมการท (6.3) ดวย
ทงสองขางของสมการ จะได T
1T
QTF 1 หรอ (6.4) QTF T
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-9
หนาท
สาหรบสมการการแปลงพกดของการเปลยนตาแหนงทจดตอ กพจารณาเชนเดยวกน นน ซงจะไดวา
uT และ (6.5)
1 Tu หรอ (6.6) TTu 6.3.2 การแปลงระบบพกดของชนสวนรบแรงเฉอน และแรงดด
ไมจาเปนตองแปลงพกด เนองจากระบบพกดรวม และระบบพกดทองถน มทศทางเดยวกน 6.3.3 การแปลงระบบพกดของชนสวนรบแรงตามแนวแกน แรงเฉอน และแรงดด (รป 6.6 (ข)) ทจดตอ a
F และ F ในระบบพกดรวม เขาสระบบพกดทองถน เพอเทยบกบแรง Qแตกแรง F Q 1 2 3 1 2
และ Q จะได 3
sincos 211 FFQ cossin 212 FFQ
33 FQ (Z กบ z อยในทศทางเดยวกน) ทจดตอ b
F และ F ในระบบพกดรวม เขาสระบบพกดทองถน เพอเทยบกบแรง Qแตกแรง F Q 4 5 6 4 5
และ Q จะได 6
sincos 544 FFQ
cossin 545 FFQ
66 FQ
เขยนในรปเมตรกซไดวา
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
F
F
F
F
F
F
Q
Q
Q
Q
Q
Q
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง
หนาท 6-10
หรอ FTQ
6.3.4 เมตรกซความแขงของชนสวนในระบบพกดรวม ความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงของชนสวน ดงแสดงในสมการท (6.1) นน เปนความสมพนธในระบบพกดทองถน
kQ จากสมการ (6.1) ในสมการท (6.4) รวมทง uTหากแทน จากสมการท (6.5) จะได
uTkTF T (6.7) เขยนสมการท (6.7) ใหมไดวา uKF (6.8)
เรยกวา สมการความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงของชนสวน ใน
ระบบพกดรวม โดยท
TkTK T (6.9)
Kสมการท (6.9) เปนสมการแปลงพกดของเมตรกซความแขง โดยท คอ เมตรกซความแขงของชนสวนในระบบพกดรวม
สมการการแปลงคาระหวางระบบพกดทงสองแสดงในตารางท 6.1 ตารางท 6.1 สมการการแปลงระบบพกด
พกดรวม พกดทองถน
แรงทจดตอ
การเคลอนททจดตอ
ความแขง
การแปลงพกด
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-11
หนาท
ระบบพกดทองถน ระบบพกดทองถน
b
ระบบพกดรวม ระบบพกดรวม
(ก) โครงขอหมน (Truss) (ข) โครงขอแขง (Frame)
รปท 6.6 การแปลงพกด 6.4 แรงทไมไดกระทาทจดตอ (Non-nodal force หรอ Element force)
แรงทไมไดกระทาทจดตอ
รปท 6.7 แรงกระทาทไมตรงตาแหนงจดตอ
เมอแรงกระทาไมตรงจดตอ (non-nodal force) ดงแสดงในรปท 6.7 การวเคราะหสามารถทาไดโดย (1) เพมจดตอ ณ ตาแหนงของแรงกระทา ซงหมายถงการเพมดกรความอสระ โดยจะทาใหเพมเวลาในการคานวณ หรอ
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-12
หนาท
(2) เปลยนแรงกระทาไมตรงจดตอไปเปนแรงทกระทาจดตอเทยบเทา (Equivalent nodal force) โดยคานวณไดโดยอาศยตารางแสดงโมเมนตดดทปลายชนสวน (ดจากการวเคราะหโดยวธความลาดชน-การโกงตว) และการพจารณาสมดลแรงเพอคานวณหาแรงเฉอน 6.5 การรวมประสาน (Assembly)
เปนการนาผลการคานวณทไดของแตละชนมาผนวกรวมกนเพอใหเปนผลของโครงสราง ไดแก เมตรกซความแขง และแรงกระทาทจดตอ โดยกอนทจะรวมประสานตองทาการแปลงใหเปนระบบพกดเดยวกน คอ ระบบพกดรวม ดงทไดกลาวในหวขอ 6.4
6.5.1 การรวมประสานเมตรกซความแขง เปนการนาเมตรกซความแขงของแตละชนสวนในระบบพกดรวม มารวมประสานเปนเมตรกซความแขงของโครงสราง โดยมขนตอนดงน (1) เขยนเมตรกซวางเปลาทมขนาดจานวนหลกและแถว เทากบ จานวนดกรความอสระ ของโครงสราง (2) กาหนดตวเลขดกรความอสระเพอระบตาแหนงในการรวมประสาน (3) วางคาความแขงของแตละชนสวน ลงในแถวและหลก ใหสอดคลองกบตวเลขดกรความอสระ 6.5.2 การรวมประสานแรงกระทาทจดตอ เปนการนาแรงกระทาทจดตอของแตละชนสวนในระบบพกดรวม มารวมประสานเปนเมตรกซแรงกระทาทจดของโครงสราง โดยมขนตอนดงน (1) เขยนเมตรกซหลก (ม 1 หลก) ทมจานวนแถวเทากบ จานวนดกรความอสระ ของโครงสราง (2) กาหนดตวเลขดกรความอสระเพอระบตาแหนงในการรวมประสาน (3) วางคาแรงกระทาเปนจดของแตละชนสวน ลงในแถวและหลก ใหสอดคลองกบตวเลขดกรความอสระ 6.6 ขนตอนการคานวณ ขนตอน 1 ระบจานวนจดตอ ชนสวน และ ดกรความอสระ ขนตอน 2 วเคราะหโครงสราง เพอคานวณหาการเปลยนตาแหนงทจดตอ 2.1 สรางเมตรกซความแขงระบบพกดรวมของแตละชนสวน 2.2 รวมประสานเมตรกซความแขง และแรงกระทาทจดตอ 2.3 สรางความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสราง 2.4 แกสมการใน 2.3 เพอหาการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสราง ขนตอน 3 คานวณหาแรงปฏกรยา ขนตอน 4 คานวณหาแรงกระทาในชนสวน (member forces)
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง
หนาท 6-13
ตวอยางท 1 คานวณหาแรงปฏกรยา และแรงในชนสวนของโครงขอหมน
AE = 90(103) kips สาหรบทกชนสวน
ขนตอน 1 ระบจานวนจดตอ ชนสวน และ ดกรความอสระ จานวนจดตอ = 4, จานวนชนสวนt = 5 และ ดกรความอสระ = 8 (อสระ = 5 และ ยดรง = 3)
1 2
8
4
5
6
7
3
จากรปดานบน จะเหนวา การใหชอดกรความอสระจะเรยงจากทไมมการยดรง (free) กอน จาก1 ถง 5 แลวไลเรยงไปสทดกรอสระทมการยดรง (fix) 6 ถง 8 ขนตอน 2 วเคราะหโครงสราง เพอคานวณหาการเปลยนตาแหนงทจดตอ 2.1 สรางเมตรกซความแขงระบบพกดรวมของแตละชนสวน
ตารางแสดงทศทางของชนสวนตางๆ
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-14
หนาท
จากเมตรกซความแขงของชนสวนรบแรงตามแนวแกนใดๆ ในระบบพกดรวม ทเอยงทามม คอ
จากรปดานบน จดตอ เปนจดตอแรก มดกรของความอสระท 1 และ 2 ในแนวราบ และแนวดงในระบบพกดรวม ตามลาดบ และจดตอ เปนจดตอทสอง มดกรของความอสระท 3 และ 4 ในแนวราบ และแนวดงในระบบพกดรวม ตามลาดบ ทาใหไดเมเตรกซความแขงทเรยงตามดกรความอสระ 1 ถง 4 กาหนดให ดงนน LL 42 LLL 5.13221 และ LLL 8.14341 ดงนน เมตรกซความแขงของชนสวนตางๆ ในโครงขอหมน สามารถคานวณได ดงน
1 2 3 4
6 7 1 2 6 7 4 5
1 2 3 8
3 8 4 5
1 2 4 5
b
1 2 3 4
6 7 1 2
6 7 4 5
1 2 3 8
1 2 4 5
3 8 6 5
a
b
2.2 รวมประสานเมตรกซความแขง ทาการรวมประสานเมตรกซความแขงของแตละชนสวนในระบบพกดรวมจากขนตอน 2.1 โดยเรมจากการสรางเมตรกซความแขงของโครงสร างขนาด 88 เทากบดกรความอสระทงหมดของโครงสรางและนาคาในตาแหนงดกรความอสระในแตละชนสวนมาลงตามตาแหนงของเมตรกซความแขง
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-15
หนาท
ของโครงสราง เชน ในตาแหนง (1,1) ของเมตรกซความแขงของโครงสราง จะไดจากคาความแขงในตาแหนง (1,1) ของชนสวน 1-2, 2-3 และ 1-1 คอ AE/L(1/1.5+1/1.5+0)
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
[K]s =
2.3 สรางความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสราง
1 2 3 4 5 6 7 8
P1=0 P2=-12 P3=0 P4=0 P =0 5
d1 d2
d3
d4
d6=0 d5
d7=0 d8=0
P6 P7
P8
จากสมการความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของ
โครงสรางขางบน จะเหนวา เปนสมการเชงเสนจานวน 8 สมการโดยสามารถแบง (Partition) ไดเปน สมการท 1 ถง 5 ซงจะใชในการคานวณหาการเปลยนตาแหนงทดกรความอสระ 1 ถง 5 จากนน จะนามาแทนในสมการท 6 ถง 8 เพอคานวณหาแรงปฏกรยา และเนองจาก คาการเปลยนตาแหนงทดกร 6 7 และ 8 มคาเทากบ ศนย (เนองจากเปนการเปลยนตาแหนงทมการยดรง) ทาใหอาจพจารณาไดวา คาเมตรกซความแขงในหลกท 6 7 และ 8 อาจละเลยในการคานวณได 2.4 แกสมการใน 2.3 เพอหาการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสราง จากสมการความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสรางในขนตอนท 2.3 ในสมการท 1 ถง 5 และคาการเปลยนตาแหนงทดกร 1 ถง 5 สามารถคานวณไดโดย
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง
หนาท 6-16
ขนตอน 3 คานวณหาแรงปฏกรยา
จากสมการความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสรางในขนตอนท 2.3 ในสมการท 6 ถง 8 แรงปฏกรยาดกร 6 ถง 8 สามารถคานวณไดโดย
ขนตอน 4 คานวณหาแรงกระทาในชนสวน จากสมการความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงของชนสวน ในระบบพกดรวม .ในสมการท (6.8) ดงนนจะทาการหาเมตรกซการเปลยนตาแหนงของชนสวน
โดยการเทยบกบการเปลยนตาแหนงของโครงสราง
uKF
u d จากนนจะคานวณหาคาแรง และทาการแปลงพกดไปเปนแรงในระบบพกดทองถน
F
Q
d1 d2
d3
d4
d5
d1 d2
d3
d4
d5
P6 P7
P8
1 2
u1=d6
u2=d7
u3=d1
u4=d2
u1=d6
u2=d7
u3=d4
u4=d5
1
4
2 3
u1=d1
u2=d2
u3=d3
u4=d8
4 u3=d4
u4=d5
2
u1=d1 u2=d2
4
3 u1=d3
u2=d8
u3=d4
u4=d5
8 d2= -9
6
7
d1= 1.8 d3= 3.6
d5= -7.4 d4= 1.8
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-17
หนาท
ชนสวน 1-2
0
9
0
9
109
108.1
0
0
0000
0101
0000
0101
5.12
4
23
2
1
4
3
2
1
u
u
u
u
L
AE
F
F
F
F
1 2
F1
F2
F3
F4 1 2
Q1=-9 Q2=9
FTQ แปลงสระบบพกดทองถน โดยอาศยสมการท (6.3) คอ จะได
9
9
0
9
0
9
0100
0001
2
1
Q
Q
ชนสวน 2-3
0
9
0
9
0
106.3
109
108.1
0000
0101
0000
0101
5.1
4
23
22
21
4
3
2
1
u
u
u
u
L
AE
F
F
F
F
2 3
F1=9
F2=0
F3=-9
F4=0 2 3
Q1=9 Q2=-9
FTQ จะได แปลงสระบบพกดทองถน โดยอาศยสมการท (6.3) คอ
9
9
0
9
0
9
0100
0001
2
1
Q
Q
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-18
หนาท
ชนสวน 1-4
6
9
6
9
104.7
108.1
0
0
308.0462.0308.0462.0
462.0692.0462.0692.0
308.0462.0308.0462.0
462.0692.0462.0692.0
8.12
4
23
2
1
4
3
2
1
u
u
u
u
L
AE
F
F
F
F
F4=-6
F3=-9
Q1=10.8
1
4
F1=9
F2=6
1
4 Q2=-10.8
FTQ แปลงสระบบพกดทองถน โดยอาศยสมการท (6.3) คอ จะได
8.10
8.10
6
9
6
9
555.0832.000
00555.0832.0
2
1
Q
Q
ชนสวน 3-4
6
9
6
9
104.7
108.1
0
106.3
308.0462.0308.0462.0
462.0692.0462.0692.0
308.0462.0308.0462.0
462.0692.0462.0692.0
8.12
4
23
2
21
4
3
2
1
u
u
u
u
L
AE
F
F
F
F
Q2=-10.8
4
3
F4=-6
F3=9
F2=6
F1=-93
4
Q1=10.8
FTQ แปลงสระบบพกดทองถน โดยอาศยสมการท (6.3) คอ จะได
8.10
8.10
6
9
6
9
555.0832.000
00555.0832.0
2
1
Q
Q
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-19
หนาท
ชนสวน 2-4
12
0
12
0
104.7
108.1
109
108.1
1010
0000
1010
0000
24
23
22
21
4
3
2
1
u
u
u
u
L
AE
F
F
F
F
FTQ แปลงสระบบพกดทองถน โดยอาศยสมการท (6.3) คอ จะได
Q1=-12
Q2=12 4
F3=0
2
F1=0 F2=-12
4
2
F4=12
12
12
12
0
12
0
1000
0010
2
1
Q
Q
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง
หนาท 6-20
ตวอยางท 2 คานวณหาแรงปฏกรยาและแรงในชนสวนของคาน ดงรป
EI = kips-in (คงท) 261030
ขนตอน 1 ระบจานวนจดตอ ชนสวน และ ดกรความอสระ จานวนจดตอ = 4, จานวนชนสวน = 3 และ ดกรความอสระ = 8 (ยดรง = 4 และ อสระ = 4) โดยใหหมายเลขของดกรความอสระเรยงจากยดรง ไปส อสระ
4 3
ขนตอน 2 วเคราะหโครงสราง เพอคานวณหาการเปลยนตาแหนงทจดตอ 2.1 สรางเมตรกซความแขงระบบพกดรวมของแตละชนสวน
เมอคา E, I, L ของทกชนสวนเทากน ดงนน ทกชนสวนจะม [K] เหมอนกน นนคอ
จากรปดานบน จดตอ เปนจดตอแรก มดกรของความอสระท 1 และ 2 ในแนวดง และการหมนในระบบพกดรวม ตามลาดบ และจดตอ เปนจดตอทสอง มดกรของความอสระท 3 และ 4 ในแนวดง และการหมนในระบบพกดรวม ตามลาดบ ทาใหไดเมเตรกซความแขงทเรยงตามดกรความอสระ 1 ถง 4 ดงนน เมตรกซความแขงของชนสวนตางๆ ในคาน สามารถคานวณได ดงน
1 2
6 7 5 8
1 2 3 4
baK
a
b
2 6 3 7 1 5 2 6 1 2 3
32K
4
1 2 3 4
21K
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-21
หนาท
3 7 4 8
2.2 รวมประสานเมตรกซความแขง ทาการรวมประสานเมตรกซความแขงของแตละชนสวนในระบบพกดรวมจากขนตอน 2.1 โดยเรมจากการสรางเมตรกซความแขงของโครงสร างขนาด 88 เทากบดกรความอสระทงหมดของโครงสรางและนาคาในตาแหนงดกรความอสระในแตละชนสวนมาลงตามตาแหนงของเมตรกซความแขงของโครงสราง
2.3 สรางความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสราง เนองจากแรงกระทาในชนสวน 1-2 และชนสวน 3-4 ไมไดอยทตาแหนงของจดตอ ดงนนจงตองทาการเปลยนแรงดงกลาวไปสแรงทจดตอทมผลเทยบเทา นนกคอ แรงปฏกรยาเมอปลายชนสวนทสภาพยดแนน ดงแสดงดานลาง ดงนน ทจดตอใดๆ หากมแรงปฏกรยาเนองจากเปนตาแหนงของจดรองรบ กจะตองนาแรงทงสองประเภทมารวมประสานกน ซงจะไดสมการความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสราง ดงน
43K
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4
1 2 3 4 sK 5 6 7 8
ชนสวน 1-2 ชนสวน 3-4
3 4
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-22
หนาท
1 2 3 4 5 6 7 8 d1=0
2.4 แกสมการใน 2.3 เพอหาการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสราง จากสมการความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสรางในขนตอนท 2.3 ในสมการท 5 ถง 8 และคาการเปลยนตาแหนงทดกร 5 ถง 8 สามารถคานวณไดโดย
ขนตอน 3 คานวณหาแรงปฏกรยา
ขนตอน 4 คานวณหาแรงกระทาในชนสวน ชนสวน 1-2
0
2
0
2
5
2
5
2
1044.1
0
1044.1
0
4006020060
60126012
2006040060
60126012
34
3
32
1
3
4
3
2
1
4
3
2
1
k
k
u
u
u
u
L
EI
Q
Q
Q
Q
F
F
F
F
d6
d7 d8
d2=P2 P1
0d3=0P3
d4=0 P4
d5 P5=0 P6=0 P7=0 P8=0
d5
d6 (in/ft) d7 d8
P2 P1
P3
P4
F =2 F =2 1 3
F =0 F =02
1 2 4
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-23
หนาท
ชนสวน 2-3
ftk
k
k
u
u
u
u
L
EI
Q
Q
Q
Q
F
F
F
F
15
5.1
0
5.1
1088.2
0
1044.1
0
4006020060
60126012
2006040060
60126012
34
3
32
1
3
4
3
2
1
4
3
2
1
ชนสวน 3-4
0
5.10
15
5.13
20
12
20
12
1032.4
0
1088.2
0
4006020060
60126012
2006040060
60126012
34
3
32
1
3
4
3
2
1
4
3
2
1
k
ftk
k
u
u
u
u
L
EI
Q
Q
Q
Q
F
F
F
F
ตวอยางท 3 คานวณหาแรงปฏกรยา และแรงในชนสวนของโครงขอแขง ดงแสดง ขนตอน 1 ระบจานวนจดตอ ชนสวน และ ดกรความอสระ จานวนจดตอ = 4, จานวนชนสวน = 3 และ ดกรความอสระ = 12 (ยดรง = 8 และ อสระ = 4) โดยใหหมายเลขของดกรความอสระเรยงจากไมยดรง ไปสยดรง
1 2
F2=0
F1=-
F4=-15
F3=1.54 kips
F =13.5 F =10.51
1 2 F2=15
F4=0
32.4 klf
inkipL
EI
L
EA 1000
123
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-24
หนาท
122
66
K
2
23
2
2
323
2
22
2
23
2
3
2
23
2
2
323
22
323
2
/4.
)/6()/12(
)/(
)/6()/12(
)/(
)/12(
)/(/2)/6()/6(/4
)/6()/12(
)/(
)/12(
)/()/6(
)/12(
)/(
)/6()/12(
)/(
)/12(
)/()/6(
)/12(
)/(
)/12(
)/(
LEISYMM
CLEICLEI
SLEA
SLEICSLEI
CSLEA
SLEI
CLEALEICLEISLEILEI
CLEICLEI
SLEA
CSLEI
CSLEACLEI
CLEI
SLEA
SLEICSLEI
CSLEA
SLEI
CLEASLEI
CSLEI
CSLEA
SLEI
CLEA
ขนตอน 2 วเคราะหโครงสราง เพอคานวณหาการเปลยนตาแหนงทจดตอ
2.1 สรางเมตรกซความแขงระบบพกดรวมของแตละชนสวน
จากรปดานบน จดตอ เปนจดตอแรก มดกรของความอสระท 1 ในแนวราบ 2 ในแนวดง และ 3 การหมนในระบบพกดรวม และจดตอ เปนจดตอทสอง มดกรของความอสระท 4 ในแนวราบ 5 ในแนวดง และ 6 การหมนในระบบพกดรวม ทาใหไดเมเตรกซความแขงทเรยงตามดกรความอสระ 1 ถง 4 ดงนน เมตรกซความแขงของชนสวนตางๆ ในคาน สามารถคานวณได ดงน
5
6
8
9
3
11 1 4
7 10
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
a
b
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-25
หนาท
Member s c sc c2 s2
1-3 76 0.970 0.242 0.235 0.058 0.941
3-4 0 0 1 0 1 0
2-4 90 1 0 0 0 1
s = sin และ c = cos
5 6 7 1 2 3 5
6 7 1
2 3
1 2 3 11 12 4 1
2 3 11 2
12 4
8 9 10 11 12 4 8
9 10 11 3
12 4
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-26
หนาท
รวมประสานเมตรกซความแขง 2.2
ทาการรวมประสานเมตรกซความแขงของแตละชนสวนในระบบพกดรวมจากขนตอน 2.1 โดยเรมจากการสรางเมตรกซความแขงของโครงสร างขนาด 1212 เทากบดกรความอสระทงหมดของโครงสรางและนาคาในตาแหนงดกรความอสระในแตละชนสวนมาลงตามตาแหนงของเมตรกซความแขงของโครงสราง จะได
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
........................6060100
........................600010
.......................240000
.......................0000
........................60000
........................02551560
........................015100
........................060010
........................960240600
........................2409904560
........................6045200
........................060020
102SK
2.3 สรางความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสราง
dKP
0
0
0
0
0
0
0
0
........................6060100
........................600010
.......................240000
.......................0000
........................60000
........................02551560
........................015100
........................060010
........................960240600
........................2409904560
........................6045200
........................060020
10
6
12
12
6
0
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
12
11
10
9
8
7
6
5
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
P
P
P
P
P
P
P
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-27
หนาท
เนองจากแรงกระทาในชนสวน 3-4 ไมไดอยทตาแหนงของจดตอ ดงนนจงตองทาการเปลยนแรงดงกลาวไปสแรงทจดตอทมผลเทยบเทา นนกคอ แรงปฏกรยาเมอปลายชนสวนทสภาพยดแนน ดงแสดงดานลาง
จากสมการความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสรางขางบน จะเหนวา เปนสมการเชงเสนจานวน 12 สมการโดยสามารถแบง (Partition) ไดเปน สมการท 1 ถง 4 ซงจะใชในการคานวณหาการเปลยนตาแหนงทดกรความอสระ 1 ถง 4 จากนน จะนามาแทนในสมการท 5 ถง 12 เพอคานวณหาแรงปฏกรยา และเนองจาก คาการเปลยนตาแหนงทดกร 5 ถง 12 มคาเทากบ ศนย (เนองจากเปนทศการเปลยนตาแหนงทมการยดรง) ทาใหอาจพจารณาไดวา คาเมตรกซความแขงในหลกท 5 ถง 12 อาจละเลยในการคานวณได 2.4 แกสมการใน 2.3 เพอหาการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสราง จากสมการความสมพนธระหวางแรงกระทาทจดตอและการเปลยนตาแหนงทจดตอของโครงสรางในขนตอนท 2.3 ในสมการท 1 ถง 4 และคาการเปลยนตาแหนงทดกร 1 ถง 4 สามารถคานวณไดโดย
4
3
2
1
2
960240600
2409904560
6045200
060020
10
12
12
6
0
d
d
d
d
และ 4
4
3
2
1
10
9.3
366.0
9.40
1.1
d
d
d
d
ขนตอน 3 คานวณหาแรงปฏกรยา
62
)12(1
2
wL
1212
)12(1
12
22
wL
12
เทยบเทา
L=12 ft 6
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง
หนาท 6-28
42
12
11
10
9
8
7
6
5
10
9.3
366.0
9.40
1.1
6060100
600010
240000
0000
60000
02551560
015100
060010
10
6
P
P
P
P
P
P
P
P
และ
kips
ftkip
kips
kips
ftkip
kips
kips
P
P
P
P
P
P
P
P
97.7
23.2
35.9
0
34.2
86.5
03.4
11.0
12
11
10
9
8
7
6
5
ขนตอน 4 คานวณหาแรงกระทาในชนสวน ชนสวน 1-3
93.4
03.4
11.0
86.5
03.4
11.0
10366.0
109.40
101.1
0
0
0
10
51015602551560
1510015100
6001060010
25515605101560
1510015100
6001060010
46
45
44
3
2
1
2
4
4
4
3
2
1
u
u
u
u
u
u
F
F
F
F
F
F
แปลงสระบบพกดทองถน F
93.4
87.0
94.3
86.5
87.0
94.3
93.4
03.4
11.0
86.5
03.4
11.0
100000
0242.0970.0000
0970.0242.0000
000100
0000242.0970.0
0000970.0242.0
6
5
4
3
2
1
Q
Q
Q
Q
Q
Q
F1=0.11
F2=4.03
1
3
F3=5.86
=-4.03 5 F =4.93 Q =-6 QF4=-0.11
Q1=3.94 Q2=0.87
1
3
Q3=5.86
=-0.87 45
Q =4.93 6
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-29
หนาท
ชนสวน 3-4
72.18
97.7
11.0
93.4
03.4
11.0
12
6
0
12
6
0
109.3
0
0
10366.0
109.40
101.1
10
480600240600
6010060100
00100010
240600480600
6010060100
00100010
46
5
4
43
42
41
2
6
5
4
3
2
1
u
u
u
u
u
u
F
F
F
F
F
F
แปลงสระบบพกดทองถน เนองจากชนสวน 3-4 มระบบพกดทองถน และระบบพกดรวม มทศทางตรงกน ดงนน แรงในระบบทงสองจงตรงกน Q =4.03
ชนสวน 2-4
72.18
0
34.2
35.9
0
34.2
109.3
0
0
0
0
0
10
4800602401560
01000100
6001060010
240060480060
01000100
6001060010
46
5
4
3
2
1
2
6
5
4
3
2
1
u
u
u
u
u
u
F
F
F
F
F
F
แปลงสระบบพกดทองถน
4
2 F1=-2.34F2=0
F3=9.35
F4=2.34F5=0 F6=18.72
4
2 Q2=2.34 Q1=0
Q3=9.35
Q5=-
Q4=0 Q6=18.72
F =4.03
3 4 F1=0.11
2
F3=-4.93 F4=-0.11
F5=7.9F6=-18.72
Q =7.97 2 5
3 4
Q
Q1=0.11
Q3=-Q4=-=-18.726
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-30
หนาท
72.18
34.2
0
35.9
34.2
0
72.18
0
34.2
35.9
0
34.2
100000
001000
010000
000100
000001
000010
6
5
4
3
2
1
Q
Q
Q
Q
Q
Q
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-31
หนาท
แบบฝกหดทายบท การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง แบบฝกหด ฝ6.1-6.2 วเคราะหหาแรงปฏกรยา และแรงในชนสวนของโครงขอหมนโดยวธเมตรกซความแขง 40 kN ฝ6.1
2 80 kN ฝ6.2 แบบฝกหด ฝ6.3-6.4 วเคราะหหาแรงปฏกรยา และแรงในชนสวนของคานโดยวธเมตรกซความแขง ฝ6.3
2 3
3 m 3 m 6 m
20 kN 10 kN/m
EI = คงท #2 #1
1
3 4
#1 #3
6 m 8 m
8 m
#2 EA = คงท
1
100 kN 100 kN
4 m
100 kN
3 m
1
#1
#2
#3 #5 #6
#4 4 3
EA = คงท
2
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง 6-32
หนาท
ฝ6.4 ฝ6.5 จงคานวณหาเมตรกซความแขงของโครงสราง แบบฝกหด ฝ6.6-6.7 วเคราะหหาแรงปฏกรยา และแรงในชนสวนของโครงขอแขงโดยวธเมตรกซความแขง ฝ6.6
5m 5m 10m 5m
40 kN 20 kN 100 kN-m 10 kN/m
EI = คงท 2 3 1 4 #3 #1 #2
8 ft 8 ft 4 ft
EI = คงท E = 29,000 ksi I = 3,500 in4
2 k/ft 16 k
8 ft
C
A
D B
E
12 ft
E1, I1, A1
L1 L3
L2
2
d2
d1 d3 4 #1 #3 1
3
E , I , A3 3 3
#2
, I , AE 2 2 2
บทท 6 การวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง
หนาท 6-33
ฝ6.7
60 kN
4 m 4 m 2 m
EI = คงท
20 kN/m
4 m
C
A
D B
200 kN-m
3 m
E
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-1
บทท การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
Approximate Analysis of Indeterminate Structures 7
เนอหา 7.1 บทนา 7.2 การวเคราะหโครงขอแขงรบแรงแนวดง 7.3 การวเคราะหอาคารโครงขอแขงรบแรงแนวราบ 7.4 โครงขอหมนอนดเทอรมเนท : โครงขอหมนชนดชนสวนขนาน และมชนสวนทแยง 2 ชนไขว 7.5 การวเคราะหอาคารอตสาหกรรม และโครงชนด portals วตถประสงค 1.วเคราะหโครงขอแขงโดยวธประมาณเพอคานวณหาคาแรงแนวดง 2.วเคราะหโครงขอแขงโดยวธคานยนเพอคานวณหาคาแรงในแนวราบ 3.วเคราะหโครงขอแขงโดยวธ Portal method เพอคานวณหาคาแรงในแนวราบ 4.การประมาณคาทเหมาะสม เปนการทาให indeterminate Structure ลดลงใหกลายเปน determinate Structure 5.วเคราะห indeterminate Truss โดยวธประมาณ 6.วเคราะห industrial Frame และ portal Frame ดวยวธประมาณ
7.1 บทนา
โครงขอแขงเปนระบบโครงสรางทพบเหนไดทวไปและมการใชอยางแพรหลาย ปกตการออกแบบ
โครงขอแขงจะทาโดยออกแบบใหจดตอคานและเสาใหมความแขง ยกตวอยางโครงขอแขงแบบคอนกรตเสรมเหลกสองชวงและสงสามชน ดงรป 7.1 จรงๆแลวโครงขอแขงในรปเปนโครงยดกนสามมต แตในการวเคราะหจะคดเปนโครงแบบระนาบเดยวทละทศทางทตงฉากกนเพอความสะดวกในการคานวณ ดงรป 7.2 ในกรณของโครงขอแขงจดตอคานและเสาจะหลอเปนเนอเดยวกนซงสามารถตานทานแรงดด แรงเฉอน และแรงในแนวแกนได จากรปตวอยาง โครงขอแขงมจดตอ ( j ) 12 จด คาน ( b )15 ตว แรงกระทา ( r) 9 แรง ดงนนโครงขอแขงนมระดบดกรอนดเทอรมเนท = ((315+9)-123) = 18 การใชวธวเคราะหดวยวธแมนยา (Exact method) เชน Slope-deflection, Moment distribution หรอ Direct stiffness อาจนามาวเคราะหหาขนาดแรงได อยางไรกตามในการคานวณจาเปนตองมการกาหนดคาเบองตนของขนาดหนาตดในแตละชนสวน
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-2
โดยอาจคานวณหาไดจากการวเคราะหโดยวธประมาณเพอใหไดคาแรงดด แรงเฉอนและแรงในแนวแกนสาหรบออกแบบหนาตดเบองตนของแตละชนสวน การวเคราะหโดยวธประมาณจะตองทาการลดระดบการยดรง โดยกาหนดขอสมมตฐานตางๆ เพอเปลยนโครงสรางแบบอนดเทอรมเนทใหเปนโครงสรางแบบดเทอรมเนท
รปท 7.1 อาคารโครงขอแขง Sectional Elevation Along C1-C3
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-3
รปท 7.2 Idealized frame for analysis
รปท 7.3 Building frame subjected to vertical
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-4
7.2 การวเคราะหโครงขอแขงรบแรงแนวดงพจารณาโครงขอแขงรบแรงแนวดงดงรป 7.3 คานทกตวในโครงขอแขงจะรบแรงหลายทศทาง
อนประกอบดวย แรงในแนวแกน โมเมนตดด และแรงเฉอน ดงนนคานแตละตวในโครงขอแขงจงมดกรของอนดเทอรมเนทระดบ 3 และตองใช 3 สมมตฐานเพอทาใหเปนคานแบบดเทอรมเนท
กอนทจะกลาวถงสมมตฐาน 3 ขอดงกลาว พจารณาคานธรรมดา ซงจดทโมเมนตมคาเทากบศนย (point of inflexion) เกดทจดรองรบ ดงรป 7.4(ก) จากนนพจารณาคานแบบทจดรองรบยดแนนทงสองดานและรบแรงแนวดงดงรป 7.4(ข) กรณนจดทโมเมนตมคาเทากบศนยหรอจดทโมเมนตมคาดดกลบเกดขนท ระยะ 0.21L หางจากจดรองรบทงสองดาน
Bending moment diagram (ก) คานธรรมดา
(ข) คานยดแนนทงสองปลาย Bending moment diagram
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-5
และเมอพจารณาคานในโครงขอแขง รป 7.4(ค) กรณนจดรองรบซงกคอเสาอาจเปนอยางใด
อยางหนงกไดระหวางแบบยดแนน หรอแบบธรรมดา ดงนนสาหรบการวเคราะหโดยวธประมาณคาจะ
สมมตใหจดทโมเมนตมคาเทากบศนย (point of inflexion) เกดขนท LL
1.02
21.00
หางจากจด
รองรบ ซงในความเปนจรงจดทโมเมนตมคาเทากบศนยจะขนอยกบความแขงของเสา ดงนนในการวเคราะหคานในโครงขอแขงจงอาจประมาณได ดงรป 7.4(ง)
(ค) คานในโครงขอแขง
ดอะแกรมของโมเมนตดด (ง) ไ
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-6
รปท 7.4 การประมาณโมเมนตดดของคานอนดเทอรมเนทรบแรงแนวดง สาหรบคานชวงภายใน จดโมเมนตดดกลบจะมคามากกวา 0.1L เลกนอย ซงตองอาศย
ประสบการณของผวเคราะหในการกาหนดจดดงกลาวใหเหมาะสม ดวยวธทกลาวมาเราสามารถลดแรงทไมทราบคาไปไดแลวสองตว สมมตฐานตวสดทาย คอ แรงในแนวแกนในคานมคาเปนศนย จากสมมตฐานทงสามขอ ทาใหสามารถวเคราะหแรงในแนวดงได ดงตวอยาง
ตวอยาง 7.1 คานวณคาแรงในแนวดงของคานในรป 7.5a โดยใชวธประมาณคา
วธทา สมมตจดทโมเมนตดดกลบเกดท 0.1L ( = 0.6 m) จากเสา ดงรป 7.5b และคานวณโมเมนตในคานดงรป 7.5c
รปท 7.5a
รปท 7.5b
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-7
สาหรบคานคานวณ โมเมนตลบทปลายคานแบงลงเสาบนและเสาลางเทาๆกน สงเกตไดวาเสา
ตนกลางจะไมมโมเมนตเนองจากโมเมนตจากดานซายและขวามคาเทากนทาใหหกลางกนไป โมเมนตลบทปลายคาน BE มคาเทากบ 7.1 kN.m แบงลงทเสา BC และ BA ดงนน
Bending moment diagrams รปท 7.5c
05.42
1.8 BABC MM kN.m โมเมนตบวกสงสดทกลางคาน BE มคาเทากบ 14.4 kN.m และ
สามารถคานวณแรงในแนวแกนทกระทาในเสาแตละตน โดยแรงอดในแนวแกนของเสาคานวณไดดงรป 7.5d
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-8
7.3 การวเคราะหอาคารโครงขอแขงรบแรงแนวราบ อาคารโครงขอแขงอาจตองออกแบบใหรบแรงกระทาดานขาง ไดแก แรงแผนดนไหวหรอแรงลม
ไดในชวงการใชงาน รปท 7.6 แสดงรปโครงขอแขงสองชน สองชวงรบแรงกระทาดานขาง เสนประแสดง ลกษณะการเสยรปของโครงขอแขง และโดยโครงสรางดงกลาวมระดบดกรของอนดเทอรมเนทเทากบ 12
รปท 8.5d Axial force in columns
in columnsrรปท 7.6 Shea
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-9
ดงนนจงตองม 12 สมมตฐานเพอทาใหเปนโครงสรางแบบดเทอรมเนท สงเกตจากเสนการเสยรปจะไดวาจดโมเมนตดดกลบหรอจดทโมเมนตมคาเทากบศนยเกดขนทกงกลางความสงของเสาและกลางคาน ทาใหไดขอสมมตฐาน 10 ขอ สวนอก 2 ขอสมมตฐาน ทจะลดจานวนตวแปรไมทราบคาทเหลอ จะแตกตางกนไปตามวธในการคานวณ 2 วธ คอ (ก) วธ Potal method และ (ข) วธ Cantilever method โดยจะกลาวถงดงตอไปน 7.3.1 การวเคราะหโดยวธ Portal method
การวเคราะหโดยวธ Portal method จะสรางสมมตฐาน ดงน 1) จดโมเมนตดดกลบเกดทกงกลางความสงของเสาแตละตน 2) จดโมเมนตดดกลบเกดทกงกลางคานแตละตว
แรงเฉอนทงหมดทกระทาดานขางในแตละชนตานโดยเสาโดยเสาตนในจะรบแรงเฉอนมากกวาเสาตนนอกสองเทา
รปท 7.7b
รปท 8.7a Two storey building frame Subjected to lateral load of Example 8.2
3)
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-10
ขอสมมตฐานสดทายแสดงใหเหนวา ถาเราสมมตใหแตละชวงเปนโครงเฉพาะกรอบนอก เสาตนในจะประกอบไปดวยเสาสองตน (รป 7.6) ดงนนเสาตนในจะรบแรงเฉอนมากกวาเสาตนนอกสองเทา ซงจะอธบายดวยตวอยางตอไปน
ตวอยาง 7.2 โครงขอแขงรป 7.7a จงวเคราะหหาโมเมนตและแรงทปลายเสาและคาน โดยใชวธประมาณ
วธทา ปญหาขอนใชการแกสมการและใชสมมตฐานจากวธ Portal ซงจะม hinges /inflexion ทกลางเสาหรอคาน (จด M,N,O) ดงรป 7.7b 0XF 202 VVV or kNV 5
รวมโมเมนตของแรงทกแรงทางฝงซายมอของ R ทจด R ได 05.25.1 yMV
kNM y 3
โมเมนตในเสาและคานคานวณไดจาก ; mkNM CB .5.75.15 mkNM IH .5.7 mkNM CF .5.7
รวมโมเมนตของแรงทกแรงทางฝงขวามอของ S ทจด S ได 05.2155 yO
kNOy 3
รวมแรงในแนวดงทงหมด จะได 0yN ใชวธเดยวกน แตเปลยนมาตด section ท J,K,L ไดผลลพธดงรป 7.7c
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-11
รปท 7.7c
รปท 7.7d 0XF 602 ''' VVV
จะได kNV 15' รวมโมเมนตของแรงทกแรงรอบจด P ได (ดรป 7.7d)
05.25.235.155.115 yp JM
kNJ y 15
kNLy 15
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-12
โมเมนตในเสาและคานคานวณไดดงรปท 7.7f
รปท 7.7e
รปท 7.7f
รปท 7.7g
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-13
; mkNM BC .5.75.15 mkNM BA .5.225.115
mkNM BE .30 mkNM EF .155.110 ; mkNM ED .455.130
mkNM EB .30 mkNM EH .30 mkNM HI .5.75.15 ; mkNM HG .5.225.115
mkNM HE .30
แรงทฐานของเสาคานวณไดดงรป 7.7g 7.3.2 การวเคราะหโดยวธ Cantilever method
วธนจะเหมาะสาหรบโครงขอแขงทสงและมความชะลด การใช Cantilever method จะสรางขอสมมตฐานดงตอไปน
1) จดโมเมนตดดกลบเกดทกงกลางคานแตละตว 2) จดโมเมนตดดกลบเกดทกงกลางความสงของเสาแตละตน 3) ในแตละชน ขนาดของหนวยแรงตามแนวแกนในเสาเปนสดสวนกบระยะในแนวราบจาก
จดศนยถวงของเสาในชนนนๆ พจารณาเสาทเปรยบเสมอนคานยนถกกระทาดวยแรง P ดงรป 7.8 หนวยแรงดดในหนาตดเสาจะ
แปรผนเปนเสนตรงตามระยะจากแกนสะเทนของหนาตด ซงใชเปนขอสมมตฐานของการวเคราะหโดยวธ Cantilever method ซงจะอธบายดวยตวอยางตอไปน
ตวอยาง 7.3 จงประมาณขนาดแรงปฏกรยาในเสาแตละตน คาโมเมนตดดในเสาและคาน โดยวธ cantilever method ของโครงขอแขงดงรปท 7.8a. สมมตใหเสาทกตนมขนาดหนาตดเทากน วธทา: จดศนยกลางมวลของเสาทงหมดผานจดศนยกลางเสา
5
1050
AAA
AAA
A
xAx m (จากดานซายมอของเสา)
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-14
จากรปท 7.8b เสาดานซายมอของ C.G. จะอยภายใตสภาวะรบแรงดง ตวอยางเชนเสา CB และทางดานขวาอยภายใตแรงอด จากขอสมมตฐานทสาม
รปท 7.8a Cantilever Column
รปท 7.8b
A
O
A
M yy
55 yy OM
Taking moment รอบ O ของแรงทงหมด 0105120 yM.
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-15
kN3yM ; kN3yO Taking moment รอบ R ของแรงทางดานซายมอของ R 052351 ..VM kN5MV Taking moment ของแรงดานขวามอของ S รอบ S 052351 ..VO 5OV kN. 0 xF 020 ONM VNV kN 10NV
Moment 57515 ..M CB kN.m kN.m 57.M CF
kN.m 15FEM
kN.m 57.M FC
kN.m 57.M FI
kN.m 57.M HI
kN.m 57.M IF
หนาตดทผาน hinge J, K, L (Fig. 7.8c) เนองจากจดศนยถวงของเสาผานตลอดศนยกลางเสา แรงในแนวแกนของเสานนเปนศนย
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-16
สามารถประเมนคาได ดงนน Taking moment รอบ hinge L, Jy
0101035140320 yJ. 15yJ kN ; 15yL kN Taking moment ของแรงทางดานขวามอของ P รอบ P 0515215523515 .V... j kN 15jV
เชนเดยวกน Taking moment ของแรงทงหมดดานขวาของ Q รอบ Q 051521515523515 .V... L kN 15LV
0XF 060 LKJ VVV 30KV kN.
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-17
Moment kN.m ; 57515 ..M BC 5225115 ..M BA kN.m kN.m 3BEM
kN.m ; 155110 .M EF 455130 .M ED kN.m kN.m 30EBM 30EHM kM.m 57515 ..M HI kN.m ; 5225115 ..H HG kN.m kN.m 30HEM
7.4 พจารณาโครงขอหมนแบบอนดเทอรมเนททมสองแนวทแยงตามรปท 7.9 โครงขอหมนนใช
ทวไปสาหรบการคายนทางดานขางของโครงสรางอาคารและชนสวนโครงขอหมนบนและลางของโครงขอหมนสะพาน
โครงขอหมนอนดเทอรมเนท: โครงขอหมนชนดชนสวนขนาน และมชนสวนทแยง 2 ชนไขว
รปท 7.9
รปท 7.9 โครงขอหมนแบบอนดเทอรมเนททชนสวนบนและลางขนานกนและมชนสวนแทยงสองชนไขวกนในแตละชวง โครงขอหมนดงรปเปนอนดเทอมเนตภายนอกและอนดเทอมเนตภายในระดบ 3 ดกร ตามสมการคานวณระดบดกรอนดเทอรมเนซ ดงน jrmDI 2)(
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-18
เมอ j m และ r ตามลาดบเปนจานวนของชนสวน จดตอ และสวนประกอบของแรงปฏกรยาทไมทราบคา เนองจากโครงถกเปนอนดเทอมเนตดกร 3 ทาใหการวเคราะหตองตง 3 สมมตฐานทจะทาใหโครงสรางนลดลงกลายเปนโครงขอหมนทสภาวะดเทอมเนตทมเสถยรภาพ โดยอาจทาไดใน 2รปแบบดงน 1. หากชนสวนแนวทแยงทงสองชนถกออกแบบใหสามารถรบการสงผานแรงทงแรงดงและแรงอดได การวเคราะหอาจสมมตวา แรงเฉอนในแตละแผงจะถกแบงรบดวยชนสวนทแยงทง 2 ชนสวนเทาๆ กน โดยจากโครงขอหมนขางตน จานวน 3 สมมตฐานสาหรบแรงเฉอนทเทากน (หนงในแตละแผง) และจะทาใหสามารถวเคราะหแรงในโครงขอหมนทเหลอโดยสมการสมดลแรงเพยงอยางเดยว 2. ในกรณ ชนสวนแนวทแยงทง 2 ชน ออกแบบเปนชนสวนทเรยวยาว (Slender) การวเคราะหอาจจะสมมตวาแรงเฉอนทแผงนนเปนการตานดานดวยสวนทแยงเพยงชนเดยว เนองจากวาแรงอดทสงผานชนสวนทแยงอกชนหนงนนมคานอยมาก หรอ ชนสวนทรบแรงอดนนจะเกดการโกงเดาะดวยแรงอดระดบตา ทาใหสามารถสราง 3 สมมตฐานอสระในแตละชวง และทาใหสามารถวเคราะหโครงขอหมนดวยสมการสมดลแรงเพยงอยางเดยว กลาวโดยทวไปกคอ จะตองกาหนดสมมตฐานจานวน n เงอนไข ในการแกไขปญหาของโครงสรางอนดเทอมเนตระดบ n ดกร เพอใหวเคราะหโครงสรางดวยสมการสมดลแรงเพยงอยางเดยว ขนตอนขางตนแสดงในตวอยางดงตอไปน
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-19
ตวอยาง 7.4 จงประมาณคาแรงในชนสวนโครงขอหมน ดงรปท 7.10a โดยสมมตใหชนสวนแนวทแยงทงสองชนถกออกแบบใหสามารถรบการสงผานแรงทงแรงดงและแรงอดได
วธทา: โครงขอหมนขางตน เปนดเทอมเนตภายนอก และอนดเทอมเนตภายในระดบดกร 3 แรงปฏกรยาสามารถประเมนในสมการสมดล ดงนน ) ( kN 33231 .R
(1) ) ( kN 67262 .R
พจารณาความสมดลแรงจาก Free body Diagram ของโครงขอหมนดานซายของหนาตด A-A ดงแสดงใน รปท 7.10b
รปท 7.10a
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-20
รปท 7.10b พจารณาสดดลแนวดงของแรงทาให 03323sinsin
1010 .FF ULUL (2)
จากขอสมมตทใหแรงเฉอนในแตละชนเทากน จะได FFF ULLu
1010 (3)
3323sin 2 .F 2
1sin
kN 50162
3323.
.F (4)
ดงนน (Tension) kN 5016
10.F LU
(Conpression) kN 501610
.F UL
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-21
พจารณา Joint 0L
0yF 0332345sin 5016
00 ..F UL
00F UL kN(Comp.) (5) 6711.
0xF 045cos5016
10 LLF.
kN(Tension) (6) 6711
10.F LL
ในทานองเดยวกน kN(comp.) 6711
10.F UU
พจารณาสมดลของโครงถกดานซายของหนาตด B-B (รปท 7.10d)
รปท 7.10c
รปท 7.10d
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-22
ในแผงน แรงเฉอนคอ 3.33 kN พจารณาสมดลตามแนวดงของ free body diagram 0yF 020332345sin45sin
2121 .FF LUUL (7)
ให FFF LUUL
2121
333sin 2 .F
3622
33.F kN 3
.
ดงนน kN(Tension) 362
21.F LU
kN(Compression) 36221
.F UL
Taking moment รอบ ของแรงทงหมด 1U
03332332
13623
21
..F LL
25
2 kN(Tension) (8)
1LLF
Taking moment รอบ ของแรงทงหมด 1L
kN(Comp.) (9) 25
21UUF
พจารณาสมดลทจด (รปท 7.10e) 1L
รปท 7.10e
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-23
0yF 020sin4536245sin501611
..F UL kN(Tension) (10) 10
11ULF
พจารณาสมดลของดานขวาของรปตด C-C (รปท 7.10f) แรงใน 3 แผงประมาณไดวา
รปท7.10f
ทเราทราบนน FFF ULUL 3223
0yF 026.67sin45sin45
3223 ULUL FF (11)
86182
6726.
.F kN
kN(Comp.) 8618
23.F UL
kN(Tension) (12) 8618
32.F UL
พจารณาสมดลทจด (รปท 7.10g) ทาให 3L
รปท 7.10g
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-24
0xF 0cos458618
32 LLF.
32F LL kN(Tension) 3413.
0yF 3313
33.F UL kN(Comp.)
แรงในชนสวนทงหมดของโครงถกแสดงใน รปท 7.10h นอกจากนในภาพแสดงแรงตามแนวแกนทเกดขนจากวธการแมนยาไวในวงเลบ
รปท 7.10h ตวอยาง 7.5 จงคานวณหาแรงในชนสวนของโครงขอหมนในตวอยางทแลว โดยสมมตชนสวนแนวทแยงรบแรงดงเพยงอยางเดยว วธทา: แรงปฏกรยาของโครงขอหมนเหมอนทคานวณในตวอยางกอน นนคอ ) ( kN 33231 .R
(1) ) ( kN 67262 .R
พจารณาสมดลอกครงของ free body diagram ของโครงถกทแสดงดานซายมอรปตด A-A ดงแสดงใน รปท 7.11a ในกรณน แรงทสงผานดวยแรงอดทชนสวนทแยงนนเปนศนย ดงนนแผงแรงเฉอนนนตานทานดวยชนสวนทแยงรบแรงดงทงหมด
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-25
รปท 7.11a
รปท7.11b
รปท 7.11c
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-26
พจารณา 0 yF
023.33sin4510
LUF 3323323
10 .F LU kN
(2) 0
10ULF
พจารณาสมดลแนวดงของ Joint จะได 0L
0
10LLF kN (Comp.) 3323
00.F UL
และ Joint จะได kN (3) 0U 3323
10.F UU
พจารณาสมดลของโครงถกดานซายของหนาตด C-C (รป7.11b) ในแผงน แรงเฉอน เทากบ 3.33 kN พจารณาสมดลแนวดงของ free body diagram 0yF 020-23.33sin45
21 LUF (4)
7142333
21..F LU kN
(5) 0
21ULF
Taking Moment ของแรงทงหมดรอบจด 1U
0333233
21 .F LL
kN(Tension) (6) 3323
21.F LL
Taking moment รอบจด ของแรงทงหมด 1L
03332332
17143
21
..F UU
kN(comp.) 6726
21.F UU
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-27
พจารณาสมดล Joint (รปท 7.11c) ทาให 1L
0yF 020sin453311
ULF kN(comp.) (7) 333
11.F UL
พจารณาสมดลทางดานขวาของรปตด B-B (รป 7.11d) แรงในแผงท 3 ประเมนได 0yF 0672645sin
32 .F UL (11)
023ULF
kN (Tension) (12) 713732
.F UL
พจารณาสมดลทจดของ (รป 7.11e) ทาให 3L
รปท 7.11d
รปท 7.11e
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-28
0xF 032LLF
0yF kN(Comp.) 6626
33.F UL
คาตอบขนาดแรงแสดงใน รป 7.11f คาในวงเลบเปนขนาดแรงตาแนวแกนทไดมาจากวธการแมนยา (Exact method)
7.5 รปแบบทวไปของโครงเฟรมอาคารอตสาหกรรม แสดงในรปท 7.12a และ 7.12b ประกอบดวยเสา 2 ตนและโครงขอหมนประกอบวางเหนอเสา ออกแบบรบแรงกระทาในแนวดงและแรงลม (แรงตามแนวราบ) การวเคราะหกรณแรงโนมถวง นนจะสมมตวาโครงขอหมนมจดรองรบธรรมดาดวยเสา และในกรณการวเคราะหโครงสรางรบแรงในแนวนอน จะสมมตวา โครงขอหมนเชอมตอแบบแขงกบเสา ทฐานของเสาเปนจดหมน (Hinge) หรอยดแนน (Fix) ขนกบสภาพฐานรากของเสา นนคอ หากคอนกรตฐานรากทฐานเสาเลกนนจะถอวาเสานนมจดรองรบแบบหมนได แตหากเปนฐานรากขนาดใหญจะพจารณาฐานเปนแบบยดแนน
การวเคราะหอาคารอตสาหกรรม และโครงชนด portals
รปท 7.11f Final bar force
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-29
รปท 7.12
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-30
พจารณาโครงเฟรมสเหลยม portals (ดรป 7.13) ซงมพฤตกรรมรบแรงดานขางคลายกบโครงขอหมนอาคารโรงงานอตสาหกรรม
พจารณาโครงเฟรม portals ทจดรองรบเปนแบบหมนได (Hinged) ดงทแสดงในรปท 7.13a โครงสรางนมระดบอนดเทอรมเนท 1 ดกร การวเคราะหโครงสรางนภายใตแรงลมโดยวธการประมาณ จะตองสรางขอสมมตฐาน 1 เงอนไข หาก stiffness ของเสาทงสองตนใกลเคยงกน อาจจะสมมตใหแรงเฉอนทฐานจะมคาเทากน แตถา stiffness ของเสาไมเทากนแลว ขนาดแรงเฉอนทฐานเสาจะสมมตใหมขนาดเปนสดสวนของคา stiffness
รปท 7.13 Portal Frames
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-31
การคานวณแรงปฏกรยาและโมเมนตดด: ตามสมมตฐาน แรงเฉอนทฐานของเสาแสดงดวยรปท 7.14
2
PVV DA
Taking moment รอบ จดรองรบ D
0 DM hPdRA
d
PhRA ( )
d
PhRD ( ) และ
Bending moment diagram แสดงใน Fig. 7.15
รปท 7.14
รปท 7.15b
รปท 7.15a Bending Moment Diagram
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-32
จากไดอะแกรมโมเมนตดดทได อาจสมมตใหมจดหมนทตาแหนงจดกงกลางของคาน ดงนน การกาหนดขอสมมตทใหแรงเฉอนทฐานของเสาทงสองเทากน จะเทยบเทาขอสมมตทใหมจดหมนทตาแหนงกงกลางของคาน หากพจารณา portals frame ซงมจดรองรบแบบยดแนน ดงแสดงใน รป 7.13b มระดบอนดเทอรมเนท 3 ดกร และตองสรางสมมตฐาน 3 เงอนไขเพอแกปญหานโดยวธการประมาณ ขอสมมตทใหแรงเฉอนทฐานของเสาทงสองตนมคาเทากน การเสยรปของ portals แสดงใน รป 7.16a และการเสยรปของ industrial frame แสดงใน รป 7.16b
ในกรณดงกลาว bending moment จะเปลยนทศระหวางเสาปลายลางและปลายบน หรอตองมคาเปนศนยทระดบความสงหนงของเสา โดยประมาณแลวจดดดกลบจะเกดขนทกงกลางความสงของเสาทงสองตน ทาใหโดยรวมจะม 3 สมมตฐานอสระเพอทจะทาการวเคราะหโดยวธประมาณได
รปท 7.16a
รปท 7.16b
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-33
รปท 7.17a
รปท 7.17b
Taking moment สาหรบแรงดานซายทงหมดของตาแหนง hinge 1 รอบจด hinge 1 (รป 7.17a) จะได
022
AMPh
4
PhM A
ในทานองเดยวกน Taking moment ของแรงดานซายมอของ hinge 2 รอบจด hinge 2
022
DMPh
4
PhM D
Taking moment ของแรงดานขวามอของ hinge 1 รอบจด hinge 1 ได
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-34
0222
PhhP
MdR DD D
PhRD 2
( )
ในทานองเดยวกน
d
PhRA 2
( )
Bending moment diagram แสดงในรปท 7.17b ถาฐานจองเสาเปนแบบยดแนนไมสมบรณ (Partially Fixed) การวเคราะหจะสมมตใหม hinge ทระดบ 1/3 ของความสงจากฐาน ในกรณ เมอจดรองรบเสาเปนแบบหมนได จดดดกลบจะเกดขนทตาแหนงของจดรองรบ และเมอจดรองรบเปนแบบยดแนน (Fixed) จดดดกลบจะเกดขนทระยะกงกลางความสงของเสา
ตวอยางท 35.3 จงคานวณแรงในชนสวนโครงขอหมนในอาคารแสดงดานลางดวยวธประมาณ
ในกรณน ตามสมมตฐานแรก แรงเฉอนทฐานมคาเทากน ดงแสดงใน รป 7.18b
รปท 7.18a
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-35
รปท 7.18b
รปท 7.18c
Taking moment ของแรงดานขวามอทงหมดของ hinge 2 รอบ hinge 2 ได
42
PM B 20BM kN.m (2)
เชนเดยวกบ kN.m (3) 20AM
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-36
Taking moment ของแรงทางดานขวาของ hinge 1 รอบ hinge 1 ได
0441020418 BB VR kNRB 9
40
18
80
เชนเดยวกบ
kNRA 9
40 (4)
แรงในชนสวนโครงถกสามารถคานวณดวย Method of section หรอ method of joint พจารณาสมดลของโครงถกทางดานซายมอทหนาตด A-A ดงแสดงใน รป 7.18d
รปท 7.18d
0yF 05
4
9
4010
LUF
555
10.F LU kN(Copm.) (5)
บทท 7 การวเคระหโครงสรางอนดเทอรมเนทโดยประมาณ
หนาท 7-37
Taking moment รอบ 0U
0485
10 LLF
10
10LLF kN(Tension) (6)
Taking moment รอบ 1L
0439
4045410
10 UUF
kN(Comp.) (7) 6611
10.F UU
บทท 8 เคลดลบการวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร
หนาท 8-1
บทท เคลดลบและกลวธในการวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร
Tips and Tricks for Computer Aided
Structural Analysis
8
เนอหา 8.1 บทนา 8.2 การวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร 8.3 การวเคราะหแบบสถตเชงเสน (Linear Static Stress Analysis) 8.4 ระบบเครองหมาย Sign convention 8.5 การกาหนดหมายเลขของขอตอและชนสวน 8,6 โมเมนตของความเฉอย 8.7 การปอนขอมลนาหนกบรรทก 8.8 การจาลองวเคราะหระหวางสองมต และ สามมต 8.9 การแบงยอยโครงสรางเพอการวเคราะห วตถประสงค - -
8.1 บทนา
ในบทนจะอธบายถงเคลดลบสาหรบการวเคราะหโครงสรางโดยอาศยคอมพวเตอร โดยหนงสอการวเคราะหวศวกรรมโครงสรางสวนใหญเปนหนงสอทอธบายวธการทจะทาการวเคราะหดวยมอ แตในโครงสรางทความซบซอน ตอเนองกนหลายชวงพาด หรอ สงขนหลายชน การวเคราะหโดยใชคอมพวเตอรสามารถชวยไดมาก แตผวเคราะหจะตองจดการขอมลนาเขาใหกบโปรแกรมคอมพวเตอรอยางเหมาะสม เพอใหโปรแกรมมความเขาใจปญหาอยางถกตอง ผทจะสามารถเรยนรเนอหาบทนไดด จะตองผานการเรยนรในบทท 6 เรองการวเคราะหโครงสรางแบบอนดเทอรมเนททางสถตโดยวธเมตรกซความแขง
เทคนคการวเคราะหทจะไดกลาวในทน สามารถนาไปใชไดกบการวเคราะหทวไปได เพอใหการใชโปรแกรมในการวเคราะหโครงสรางทางานอยางมประสทธภาพมากขน โดยโปรแกรมทผวเคราะหใชอยอาจมตวเลอกทดกวาทจะจดการกบปญหาเฉพาะเมอเทยบกบเนอหาทจะไดกลาวนซงจะเกยวของกบโปรแกรมทวไป อยางไรกตามในการวเคราะหในแตละปญหาจะมลกษณะเฉพาะทไมซากน ขนอยกบประเภทของโครงการ คาใชจาย ขอกาหนด กฏเกณฑเฉพาะ เปนตน ทงนเอกสารคมอของโปรแกรมทใชนนนบวามความสาคญมาก และเปนแหลงทมาของความชวยเหลอทดทสด
บทท 8 เคลดลบการวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร
หนาท 8-2
8.2 การวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร
สวนนเปนบทเรมตนสาหรบผทใชโปรแกรมวเคราะหโครงสรางเปนครงแรก การวเคราะห
โครงสรางดวยคอมพวเตอร คอ วธการแกปญหาของการวเคราะหโครงสรางดวยความชวยเหลอของคอมพวเตอรซอฟตแวร ในขนตน ผวเคราะหตองกรอกขอมลตาง ๆ มาสนบสนนตวโปรแกรม ดงเชน ตาแหนงของโหนด ตาแหนงของชนสวน คณสมบตวสด, หนาตดของแตละชนสวน และ แรงกระทา นอกจากน จะตองบอกวถงลกษณะจดรองรบของโครงสราง เชน ยดแนน หมนได เลอนได หลงจากนนโปรแกรมจะคานวณหา แรงในชนสวน (member forces) แรงปฏกรยา (nodal reactions) และ การเคลอนทของจดตอ (joint displacements) ปจจบนน มโปรแกรมการวเคราะหโครงสรางเชงพาณชยจานวนมากทมประสทธภาพและสะดวกในการใชงาน โดยการวเคราะหจะสรางขอมลนาเขาในรปแบบกราฟกโดยอาศยเมาสและแปนพมพ การใหคานาหนกบรรทกและขอบเขตเงอนไขสามารถทาไดอยางสะดวก ผลการวเคราะหในรปแบบไดอะแกรมแรงเฉอนและโมเมนดดและแมแตแผนภาพรปรางการโกงตวไดอยางชดเจน ทาใหการวเคราะหสามารถทาไดอยางงายดายแมวาจะเปนปญหาทซบซอน อยางไรกตาม การวเคราะหโครงสรางโดยใชคอมพวเตอรจาเปนตองทาการเรยนรในเรองใหมอนๆอกมากมาย ขนแรก คอ ตองทาความคนเคยกบโปรแกรมทใช ตองเขาใจขอจากดและสมมตฐานของโปรแกรม ทงนไมใชวาทกโปรแกรมทใชจะสามารถวเคราะหโครงสรางไดทกประเภท โปรแกรมสวนใหญใชวธ stiffness method ในการแกปญหาโครงสราง สงทสาคญทสดคอ การแปลความหมายของผลการวเคราะหอยางถกตอง เนอหาในบทนจะแสดงวธการทถกตองและ เหมาะสมในการแปลความหมายของขอมลในวธทงายทสด และยงจะไดแสดงการเรยนรการวเคราะหโครงสรางประเภทใหม ๆ โดยไมตองเรยนรทฤษฎการคานวณ ฟงดนาสนใจ? ในสดทาย จะไดเรยนรเกยวกบแนวคดของการวเคราะหโครงสราง. 8.3 การวเคราะหแบบสถตเชงเสน (Linear Static Stress Analysis)
เปนประเภทของการวเคราะหทธรรมดาทสด. เมอมนาหนกกระทากบชนสวน ซงชนสวนนนเกด
การผดรป และผลกระทบของนาหนกจะสงผลทวทงชนสวน การซมซบผลกระทบจากนาหนกทมากระทา ทชนสวนจะเกดแรงภายในและแรงปฏกรยาทจดรองรบ เพอใหเกดสมดลกบแรงภายนอก การวเคราะหการเปลยนแปลงเชงเสนหมายถงการคานวณการเปลยนตาแหนง,ความเครยด และ ความเคนภายใตแรงกระทาภายนอกบนสมมตฐานบางอยาง ดงหวขอดานลางน
1. นาหนกทงหมด กระทาอยางชาและคอยๆเพมคาจนกระทงถงคามากทสดของนาหนกทกระทา หลงจากทถงคามากทสดของนาหนกจะยงคงท (ไมเปลยนแปลงไปตามเวลา) การสมมตนใหการวเคราะหไมตองคดแรงหนวงเนองจากความเรงและความเรวทนอยมาก
บทท 8 เคลดลบการวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร
หนาท 8-3
2. การสนนษฐานเชงเสน : ความสมพนธระหวางนาหนกทกระทาและ ผลของการตอบสนองเปนเสนตรง เชน หากเพมคาของนาหนกกระทาเปนสองเทาแลวการตอบสนองของชนสวนโครงสราง เชน การเคลอนตว (displacements) ความเครยดและความเคน (strains และ stresses) ออกมามคาเพมเปนสองเทาเชนกน โดยสามารถกาหนดความสมพนธเชงเสนตรงไดถา
ก. วสดทงหมดในแบบจาลองสอดคลองกบ Hooke’s Law ทมความเคนเปนสดสวนโดยตรงกบความเครยด ข. การเคลอนทจากการกระทาของนาหนก มขนาดเลกพอทจะละเลยการเปลยนแปลงของตาแหนงโครงสรางได ค. ขอบเขตเงอนไขของจดรองรบคงเดม นาหนกกระทาตองมขนาด,ทศทาง คงท 8.4 ระบบเครองหมาย Sign convention การสรางสญลกษณในการวเคราะหโครงสรางเปนสงทสาคญ โดยปกตจะกาหนดตามกฏมอขวา นนคอ แรงทมทศทางไปทางขวาจะมคาเปนบวกและแรงกระทาขนเปนบวก โมเมนตทวนเขมนาฬกาใหใชเปนบวก ทงนไดแสดงในรป 2 มต
โปรแกรมวเคราะหสวนใหญจะใหสญลกษณตามทกลาวไป ดงนน เนองจากแกน Y มคาเปนบวกเมอมทศขนทาใหเมอระบแรงโนมถวงแรงมกจะตองใชเปนคา "ลบ" สาหรบโครงสรางทเปน 3 มตสญลกษณจะเปนประเภทเดยวกนแตบางทอาจดซอนซบ ดงทแสดงดานลาง.
รปท 8.1
รปท 8.2
บทท 8 เคลดลบการวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร
หนาท 8-4
หากพจารณาไดอะแกรมโมเมนตดด ตองระวงวาในบางโปรแกรมวาดคาโมเมนตดดในดานแรงดง (tension side) ซงจะสอดคลองกบตาแหนงของการเสรมเหลกในกรณการออกแบบชนสวนคอนกรตเสรมเหลก สวนแรงตามแนวแกนปกตจะพจารณาใหมคาบวกสาหรบทศของแรงดงและมคาเปนลบสาหรบแรงอด เมอเปนโครงสรางทเปน 3มต โปรแกรมโดยทวไปจะพจารณาใหแกน Y เปนแนวดง เนองจากวาเมอทาการวเคราะหโครงสราง 2มตจะไดใชระนาบ x-y เหมอนกน แตในบางโปรแกรมจะใชคาเรมเตนเปนระนาบ x-z สาหรบการวเคราะห 2มต โดยใหแกน z เปนแนวดง ซงสามารถทาได(หรอแมกระทงแกน x เปนแกนในแนวดง) เนองจากระบบพกดสามารถยดหยนได แตจะตองใชตามสญลกษณเดยวกนตลอด ดงนน กอนทจะใชโปรแกรม ผวเคราะหควรศกษาระบบสญลกษณของโปรแกรมนน ๆ กอนโดยดในคมอประกอบ เชน ตวอยางตอไปนจาก SAP2000 จะแสดงแรงภายในของชนสวนเฟรม
รปท 8.3 Positive Axial Force Torque
รปท 8.4
บทท 8 เคลดลบการวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร
หนาท 8-5
เพอตรวจสอบระบบเครองหมายนโปรแกรมทใช ลองใชโปรแกรมใดๆ ทตองการแกปญหาและตรวจสอบผลกบภาพแผนภาพโมเมนตดดและแผนภาพอสระของแรงในชนสวนตามคาตอบทให
รปท 8.5
รปท 8.6
บทท 8 เคลดลบการวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร
หนาท 8-6
ลองแกปญหาตอไปน
รปท 8.7 แรงในแนวแกนจะปรากฏเปนตวเลขแบบตวเอยง โดยจดรองรบรมทางซายคอ hinged และทางขวาเปน roller ในการวเคราะหโครงขอหมน ใหพจารณาตรวจสอบโดยในบางโปรแกรมอาจตอง "บอก" โปรแกรมวาโครงสรางเปน 'truss' โดยระบการปลดการยดรงการหมนทปลายชนสวน 'moment releases' มฉะนน ผลการวเคราะหอาจจะแสดงแผนภาพโมเมนตดดในชนสวน truss 8.5 การกาหนดหมายเลขของขอตอและชนสวน
การกาหมดหมายเลขโหนด และ ขอตอเปนสงทสาคญมากสาหรบการวเคราะหโครงสรางทมขนาดใหญ โปรแกรมประเภททสามารถสรางขอมลนาเขาโดยการ "วาด" บนหนาจอ และโปรแกรมจะใสขอตอและหมายเลขชนสวนโดยอตโนมต หากทาวเคราะหโครงสรางอาคารทมหลายชน โปรแกรมสวนมากเสนอใหมการตงคาสญลกษณตามตองการ โดยทวไป คาน เสาและ พน จะมการใหหมายเลขตามชนนน ๆ ในกรณดงกลาว อาจกาหนดโปรแกรมเพอใชแกน X-Z-Y กาหนดแบบแผน (สมมตใหแกน Y คอแกนดง) และทาการกาหนดหมายเลขคานทงหมดในรปแบบ B-5-10 หรอ แบบ B05010 ซง " B " หมายถง คาน, หมายเลขถดไปแสดงถง " ชน " และสดทายหมายถง เลขลาดบคานในแตละชน ในขนตอนทคลายกนอาจกาหนดหมายเลขสาหรบเสา พน หรอชนสวนโครงสรางอนๆ นอกจากนน อาจทาการสราง 'กลม' สาหรบชนสวนประเภทเดยวกนผทออกแบบสามารถออกแบบใหเหมอนกนทงชน
การใหหมายเลขของโหนดทไมเหมาะสมนนอาจจะเพมคา bandwidth ของ stiffness matrix อยางไรกตามโปรแกรมสวนมากจะมความสามารถในการเรยงหมายเลขของโหนดใหม (Re-number node) โดยอตโนมตในขณะทาการแกปญหาและแสดงผลลพธตามหมายเลขโหนดทผใชระบไวอกครงหนง ในสวนความหมายของ ' bandwidth minimization '? คอ เทคนคสาหรบการรวมและสลบตาแหนงคาใน global stiffness matrix ทไมใชคาศนยใหอยรวมกลมในตาแหนงแกนแนวทแยงของเมตรกซ เมอแบนดวธนอยหมายความวาใชเวลานอยลงสาหรบการแกสมการ
บทท 8 เคลดลบการวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร
หนาท 8-7
8.6 โมเมนตของความเฉอย ผทใชโปรแกรมในการวเคราะหโครงสรางเปนครงแรกมกจะพบความสบสนในการกาหนด
คณสมบตของวสด โดยเฉพาะสาหรบโครงสรางโครงสรางทเปน 3 มต จากตวอยางตอไปนจะชวยใหผวเคราะหมความเขาใจไดมากขน
รปท 8.8
จากรปขางตนใหคานมหนาตดสเหลยมขนาด 200 x 300 มม และเสามขนาดเปน 200 x 400
มม ตามทปรากฏ ในการนาเขาขอมล เราสามารระบใหคานเปนขนาด 200x300 มม โดยยากเยนนก แตสาหรบเสาโดยทวไปแลวโปรแกรมจะขอใหระบ 'ความลก ' และ ' ความกวาง ' ของเสา หากทาการระบความลก = 400 มม และความกวาง = 200 มม แลวจะไดหนาตดตามทแสดงในรปท 8.9 แตหากทาการระบหนาตดในลกษณะตรงขาม จะไดรบหนาตดเสาททามมผด รปดานลางเปนตวอยางแสดงจากมมมองเสมอนจรง 3 มตของโปรแกรม SAP2000 อยางไรกตามหลาย ๆ โปรแกรมมตวเลอกสาหรบการระบมตของหนาตดโดยใช 'tx' และ 'ty' (หรออาจ 'ty' และ 'tz' หรอ 't2' และ 't3') เปนตวเลอก
บทท 8 เคลดลบการวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร
หนาท 8-8
บางครง การนาเขาขอมลอาจตองระบคาความเฉอยโดยเฉพาะอยางยงสาหรบรปแบบหนาตดทผดปกต ซงโดยปกตโปรแกรมเสนอตวเลอก ' Iz ' และ ' Iy 'เทานน สาหรบคานขนาดขางตน Iz = 200x3003/12 และ Iy = 300x2003/12 สาหรบเสา Iz = 200x4003/12 และ Iy = 400x2003/12 สงหนงทสาคญ คอ ความเขาใจหลกการแนวคดของ 'local axes' ในโปรแกรมวเคราะหสวนใหญ 'local axes' จะถกกาหนดใหแตกตางจาก ' global axes ' โดยปกต ' local axes ' ถกกาหนดไวตามทแสดงในรปท 8.10
รปท 8.9
รปท 8.10
บทท 8 เคลดลบการวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร
หนาท 8-9
รปขางตนแสดงทศทางของ local axes ซงจะเอยงไปตามแนวชนสวน และทศทางของ global axes แสดงเปนอยมมลางขวา จะขอกลาวถงระบบพกด local และ global axes อกครงเมอถงการตความขอมลทไดจากการวเคราะห 8.7 การปอนขอมลนาหนกบรรทก
ทกโปรแกรมทมตวเลอกสาหรบการระบนาหนกแบบจด (concentrate) และแบบกระจายสมาเสมอ (uniform) บางโปรแกรมสามารถใหคณระบแรงกระทาเปนจดในคานระหวางโหนดไดโดยโปรแกรมจะทาการสรางแรงเทยบเทาไปทโหนดเอง แตบางโปรแกรมตองการใหระบแรงกระทาเปนจดเฉพาะทโหนดเทานน ดงนน ในกรณหลงน ในการวเคราะหตอง 'แบง' ชนสวนเพอสราง node ในตาแหนงนน ถาแรงกระทาเอยงทามมกบแกน ตองแยกเปนสวนประกอบแรงตามแนวแกน และ แนวดง ในสวนการระบแรงกระจายสมาเสมอจะทาไดไมยากนก อยางไรกตามปญหาจะเกดขนเมอแรงกระจายไมสมาเสมอ ตวอยางเชน แรงในคานทถายมาจากพนตามทแสดงในรปท 7-1 ความยาวของคานใหเปน ' L ' ในบางโปรแกรม (สวนนอย) จะคานวณนาหนกกระทาพนและถายลงบนคานโดยอตโนมต เพยงแคปอนขอมลนาหนกพนตอหนวยพนทเอง บางโปรแกรมสามารถระบแรงเปนสามเหลยม (triangular load) หรอ สเหลยมคางหม (trapezoidal load) บนคานได ในบางสถานการณ อาจมนาหนกกระทาทกระจายไมเปนเสนตรง ( เชน โคงพาลาโบลา ) หากโปรแกรมทมความสามารถสง จะสามารถใสนาหนกผานสมการได โดยทวไปจะกระทาโดยการแบงคานออกเปนหลาย ๆ สวน และระบแรงกระทาเปนจดหรอแรงกระจายสมาเสมอเฉพาะชนสวนยอยทแบงได โดยยงแบงมากเทาไหรกจะไดคาคาตอบทดขน สาหรบกรณการจาลองพนทงหมดในโครงสรางโดยใชชนสวนแผน (plate elements) เพอทจะแปลงนาหนงลงสคานดงรป 7-1 ซงสามารถทาไดซงทาใหการวเคราะหสะดวกขนโดยไมจาเปนตองทาการประมาณแรงกระทาบนคาน แตกมขอเสยเชนกนมากมาย เชนกน ประการแรก คอ โปรแกรมวเคราะหสวนมากไมม plate element ประการสอง ตองแบงยอยอลเมนตแผน (mesh) กอนททจะทางานวเคราะห ซงทาใหแบบจาลองมจานวนโหนดและอล
รปท 8.11
บทท 8 เคลดลบการวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร
หนาท 8-10
เมนตมากขน เชน หากแบง 1 plates ออกเปน 10x10 ตอกน แบบจาลองจะม 11x11x100 = 12100 โหนด เพมมากขนเทยบกบกรณการวเคราะหโดยการถายนาหนกลงบนคาน ประการสาม แบบจาลองทมจานวนโหนดและอลเมนตมากขนไมเพยงจะใชเวลาในการวเคราะหมากขน แตยงจะมขอมลทสงออกมามากมายตามมา
สาหรบกรณเมอระบนาหนกกระทากระจายบนชนสวนทเอยง อาจทาไดในสองลกษณะทแตกตางกนตามทปรากฏในรปท 8.13 และ 8.14
รปท 8.12
รปท 8.13 รปท 8.14 ในรปท 8.14 แรงกระทามลกษณะทศทางตามแนวแกน Global axes สวนในรปท 8.13 แรงกระทามลกษณะตงฉากกบชนสวนวสด หรอ ตามแนวแกน Local axes โปรแกรมวเคราะหสวนใหญสามารถระบแรงกระทาทงสองประเภทไดดงทแสดงไว แตจะตองทาการคานวณขนาดนาหนกกระทาใหดตามทฤษฎการแตกแรง
บทท 8 เคลดลบการวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร
หนาท 8-11
8.8 การจาลองวเคราะหระหวางสองมต และ สามมต
สาหรบโครงสรางทมความสมมาตร อาจทาการวเคราะหโดยพจารณาลดแบบจาลองในลกษณะเหมอนจรงสามมตเหลอเปนระนาบสองมต ตวอยางเชน โครงสรางสามมตทพจารณาตามทปรากฏในรปท 8.15 การวเคราะหสามารถกระทาเพยงในระราบ x-y ดงแสดงในรปท 15-2 ในการวเคราะหทวไป หากเปนไปไดควรพยายามแปลงโครงสรางสามมตใหเปนโครงสรางสองมต เนองจากไมเพยงงายในการจาลองโครงสราง แตยงสามารถ 'การจดการ' และวเคราะหสงอนๆอกมากมายไดอยางงายดายเมอเปรยบเทยบกบโครงสรางสามมต
รปท 8.15 มแรงกระทาในทศทาง x หากมการเพมเตมแรงกระทาประเภทเดยวกนในทศทาง Z กสามารถลดเหลอการวเคราะหสองมตในระนาบ YZ เชนเดยวกน จากนนกทาการรวมผลการวเคราะหในแตละทศทางแบบเวกเตอร โดยหากตราบเทาทโครงสรางยงมคณสมบตวสดเปนเชงเสนตรง
รปท 8.16
รปท 8.15
บทท 8 เคลดลบการวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร
หนาท 8-12
8.9 การแบงยอยโครงสรางเพอการวเคราะห ในการวเคราะหโครงสรางขนาดใหญนนมกจะเปนไปไดทจะตองพจารณาเพยงสวนหนงของ
โครงสรางแทนทจะวเคราะหโดยทงหมด วธนจะมประโยชนในการลดแรงงาน คาใชจายและเวลาการวเคราะหทใชในการเตรยมขอมลของคอมพวเตอรและตความผลลพธ โดยในโครงสรางขนาดใหญ การวเคราะหทงโครงสรางในครงเดยวนน อาจเกนความสามารถของโปรแกรมหรอทรพยากรของคอมพวเตอรซงมจากด
เมอแยกสวนหนงของโครงสรางมาวเคราะห จะตองพจารณาขอบเขตเงอนไขของ 'โครงสรางยอย' อยางระมดระวง ใหตรงตามสภาพเงอนไขจรงในโครงสราง ดงตวอยางเชน พจารณาโครงสรางตอไปนตามทปรากฏในรปท 8.17
หากแยกวเคราะหเฉพาะชนบน จะไดผลตามทปรากฏดานลาง
รปท 8.17
รปท 8.18
บทท 8 เคลดลบการวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร
หนาท 8-13
แรงปฏกรยาทไดจากผลการวเคราะหทแสดงไวดานบน จะแสดงเปนแรงกระทากบโครงสรางดานลาง ดงน
สงเกตวาในทโหนดซายสด มแรงแนวราบขนาด 25 kN โดยมาจาก 20 kN ทกระทาภายนอกทโหนดนนและแรง 5 kN จากแรงปฏกรยาของชนขางบน สาหรบโครงสรางทสมมาตร อาจจะดาเนนการวเคราะหโดยแบงยอยเพยงครงเดยว หรอ หนงในส โดยกาหนดเงอนไขขอบเขตในตาแหนงทแบงยอยใหตรงตามสภาพจรง ดงเชนกรณดงตอไปน คานตอเนองทมจานวนชวงคานเปนจานวนค
รปท 8.19
รปท 8.20
รปท 8.21
บทท 8 เคลดลบการวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร
หนาท 8-14
คานตอเนองทมจานวนชวงคานเปนจานวนค
พจารณาระนาบกบคานค ตามทปรากฏในรปท 8.24 โครงสรางนสามารถถอด หลงจากกาหนดสมการขอบเขตทเหมาะสมดงทแสดงในรปท 8.25 โครงสรางกบ spans เลขคซงถกแสดงในรปภาพท 8.26 ทนคณจะตองระบเงอนไขขอบเขตของแกน x และใหแกน Z ทาใหไมสามารถหมน ณ จดกลาง beams ตามทปรากฏในรปท 8.27
รปท 8.22
รปท 8.23
8.24รปท
บทท 8 เคลดลบการวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร
หนาท 8-15
รปท 8.25
รปท 8.26
บทท 8 เคลดลบการวเคราะหโครงสรางดวยคอมพวเตอร
หนาท 8-16
รปท 8.27
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-1
บทท การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
9 Introduction to plastic analysis
of structures
เนอหา 9.1 บทนา
9.2 ความสมพนธระหวางความเคน-ความเครยด: พฤตกรรมของวสด 9.3 หนาตดอลาสตก-พลาสตกรบแรงดด: พฤตกรรมของหนาตด 9.4 การวเคราะหโครงสรางโดยวธพลาสตก: พฤตกรรมของโครงสราง
วตถประสงค - สามารถวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกได
9.1
บทนา
การวเคราะหโครงสรางในบทกอนหนาน จะสมมตใหโครงสรางรบแรงโดยทเกดขนาดของหนวยแรงยงคงสภาพแบบอลาสตก และคานยงไมเกดการวบต อยางไรกตาม ในสภาพเปนจรง หากขนาดของแรงกระทาเกนกวากาลงของโครงสรางทจะสามารถรบไดกจะเกดการวบตขน การวเคราะหแบบพลาสตก จะเปนการวเคราะหเพอหาคากาลงของโครงสราง หรอ หาขนาดของแรงสงสดทกระทาตอโครงสรางกอนทจะเกดการวบต โดยโครงสรางทวเคราะหจะตองเปนโครงสรางชนดทมพฤตกรรมแบบเหนยว ในบทเรยนน จะไดทาการวเคราะหโครงสรางทมวสดเหลกเปนองคประกอบ
พจารณาคานตอเนองรปท 9.1 (ก) ในการวเคราะหการรบโมเมนตดดทหนาตดใดๆ จะทราบไดวา คาโมเมนตจะมคามากทสดทตาแหนงจดรองรบ ดงแสดงในรปท 9.1(ข) ดงนน เมอขนาดแรงแผกระจาย q เพมขนเรอยๆ จนวบต จะเกดความเสยหายทหนาตดทจด
ก) คานแบบอนดเทอรมเนทรบแรง q
A BL/2 L/2
q
-qL2/12-qL2/12
qL2/24
A BL/2 L/2
q
-qL2/12-qL2/12
qL2/24
(
(ข) ไดอะแกรมโมเมนตดดอลาสตก
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-2
(ค) หนาตดคานเกดจดหมนไดพลาสตก C
A B
qu
-Mp
Mp
-Mp
C
A B
qu
C
A B
qu
-Mp
Mp
-Mp
จดหมนไดพลาสตก
(ง) ไดอะแกรมโมเมนตดดพลาสตก
รปท 9.1 คานแบบอนดเทอรมเนทพลาสตก รองรบกอน โดยหากหนาตดทาจากเหลกหรอวสดทมความเหนยวทหนาตดนน จะยงไมขาดออกจากกน แตจะไมสามารถรบแรงดดตอไปได สภาพหนาตดดงกลาวเรยกวา จดหมนพลาสตก (Plastic Hinge) และเรยกโมเมนตดดไดสงสดททาใหเกดจดหมนพลาสตกวา โมเมนตดดพลาสตก (Plastic moment, Mp) เมอหนาตดยงไมขาดและไมสามารถรบแรงดดตอไปได พฤตกรรมคานจงเปลยนไปเปนคานธรรมดา (Simply-supported beam) และคานจะรบแรง q เพมได แตการกระจายโมเมนตจะเปลยนรปแบบใหม (Moment redistribution) จนกระทงขนาดโมเมนตทจดกลางชวงพาดเทากบ โมเมนตดดพลาสตกทหนาตดนน ทาใหเกดจดหมนพลาสตกทกลางชวงพาด (ดงรปท 9.1(ค)) ซงสงเกตไดวา คานจะไมมเสถยรภาพ (แมวาจะยงไมแตกหกออกเปนชนๆ) ซงจะไมสามารถรบแรงเพมไดอกตอไป ขนาดของแรงดงกลาวเรยกวา แรงประลย (Ultimate load) และไดอะแกรมโมเมนตทภาวะดงกลาวแสดงในรปท 9.1(ง)
การวเคราะหเพอทจะหากาลงประลยของโครงสราง จะตองเรยนรถงพฤตกรรมของวสดเหลกเมอรบแรงตามแนวแกน (ระดบวสดซงถอวาเปนหนวยประกอบทยอยทสด) หลงจากนนจงนาพฤตกรรมวสดทไดมาทาการวเคราะหพฤตกรรมแบบหนาตดเพอหาขนาดของโมเมนตดดพลาสตก (ขนาดของโมเมนตททาใหหนาตดเกดการคราก (yield) ซงถอวาเปนการวเคราะหในลาดบทใหญขนตอจากระดบวสด) แลวจงวเคราะหในระดบโครงสราง (เปนการวเคราะหทใหญขนจากระดบหนาตดอกระดบหนง) เพอหาภาวะทโครงสรางเสยเสถยรภาพเมอเกดจานวนจดหมนพลาสตกทมากเกนไป ตอไป
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-3
P
P
L
A
=P/A
/L
Elastic-plastic material
Elastic Plastic Strain hardening
P
P
L
A
=P/A
/L
Elastic-plastic material
Elastic P astic Strain hardeningl
y
Es y
จดขาด (1) (2) (3)
(ก สอบ) ) พฤตกรรมจรง (จากการทด
(ข) พฤตกรรมสมมต (ใชในการวเคราะห)
รปท 9.2 ความสมพนธระหวางความเคน-ความ เครยดของเหลก พฤตกรรมการรบแรงในระดบวสด จะไดจากการทดสอบโดยการใหแรงดงตามแนวแกน พรอมกบวดคาระยะยดท เกดขน ความสมพนธภายหลงจากการทดสอบไดนามาแสดงผลเปนกราฟความสมพนธระหวางความเครยด (Stress) และความเคน (Strain) ดงแสดงในรปท 9.2(ก) กราฟความสมพนธดงกลาวประกอบไปดวยสามสวนคอ (1) ชวงอลาสตก (2) ชวงพลาสตก และ (3) ชวงยดและแขงขน (strain hardening)
อยางไรกตามในการวเคราะหแบบพลาสตกจะนาพฤตกรรมทไดทดสอบมาแปลงใหเปนรปทงายกอน โดยทาการกาหนดใหใชความสมพนธทสมมต แตยงคงคามอดลสของยง Es (Young’s modulus) คาหนวยแรงคราก y (Yield stress) และคาความเครยดคราก y (Yield strain) ดงทไดจากการทดสอบ เปนกราฟดงแสดงในรปท 9.2(ข) กลาวคอ เมอหนวยแรงเพมขนจนมขนาดเทากบ หนวยแรงคราก หรอความเครยดเพมขนจนถงความเครยดคราก y ความเครยดจะเกดการยดเรอยๆ แตความเคนจะคงท หรอไมสามารถทจะรบแรงเพมขนไดอกตอไปในขณะทเหลกยงคงยดออกเรอยๆ เรยกความสมพนธทสมมตวา ความสมพนธแบบพลาสตกสมบรณ (Perfectly plastic model)
9.2 ความสมพนธระหวางความเคน-ความ เครยด: พฤตกรรมของวสด
2
1
Perfectly plastic material
2
1y
Es y
ความแตกตางจากทดสอบ 1.จดครากชดเจน 2.ไมมชวงยดและแขงขน (ปลอดภยมากขน)
Perfectly plastic material
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-4
9.3 หนาตดอลาสตก-พลาสตกรบแรงดด: พฤตกรรมของหนาตด พจารณาหนาตดคานใดๆ รบโมเมนตดด M ระนาบของหนาตดทรบโมเมนตดดจะหมนดดรอบแกนสะเทน (Neutral axis, NA) การดดทหนาตดใดๆนน กเปรยบเสมอนการดงหรอการอดบนหนาตดดวยแรงทไมเทากน ขนาดของแรงจะทาใหเกดการยดและหดทไมเทากนโดยโดยจะมขนาดมากทสดทรมนอกหางจากแกนสะเทน เมอแรงโมเมนตดดเพมจาก 0 ไปเรอยๆ จนกระทงเตมกาลงทหนาตดจะรบโมเมนตดดได จะเกดการหมนดดดวยมมอนนต การวเคราะหหากาลงรบโมเมนตดดของหนาตด จะอาศยพฤตกรรมทไดจากการทดสอบในระดบวสดจากรปท 9.2(ข) ประกอบ ดงน
M
1 y
Plane section
remains plane
y y
1 2= y y 4>y2>1 2= y y 4>y
รปท 9.3 ไดอะแกรมความเครยด-ความเคนบนหนาตดคานใดๆ รบโมเมนตดดบวก 9.3.1 โมเมนตดดคราก (Yield Moment, My) คอ โมเมนตดดททาใหการหมนดดของหนาตดเกดการครากเรมแรก (ในสภาวะท 2 จากรปท 9.3 การครากจะเกดขนกอนทระยะทไกลทสดจากแกนสะเทน) ดงนน ทแนวใดๆ ใกลเขามายงแกนสะเทนความสมพนธระหวางความเคนและความเครยดยงคงอยในชวงอลาสตก หรอในสวนท (1) ของรปท 9.2(ข) จากสมการความเคนดด (flexural stress equation) ในสมการท 9.1 เมอแทนคา
yyMM , และc
IS จะไดสมการของโมเมนตดดคราก ดงแสดงในสมการ (9.2)
c
IM
(9.1)
SM yy (9.2) โดยท S คอ มอดลสหนาตดอลาสตก (Elastic section modulus) I คอ โมเมนตความเฉอย และ
c คอ ระยะทไกลจากแกนสะเทนมากทสดบนหนาตดคาน
M
1 y
Plane section
remains plane
y y
2>
Strain diagram
Stress diagram
N.A.
Com ssion pre
3
ไดอะแกรมความเครยด (หนาตดคานเปนระนาบตรง)
ไดอะแกรมความเคน ดง
อด
M1 < My M4 = Mp M2 = My M3 < Mp
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-5
9.3.2 โมเมนตดดพลาสตก (Plastic Moment, Mp) เมอเกดการครากทระยะรมนอกสดของหนาตด หนาตดทระยะนนจะไมสามารถรบแรงไดตอไปและยดออกเรอยๆ (ตามรปท 9.2(ข)) อยางไรกตามทหนาตดคานระยะอนถดเขามาใกลแกนสะเทนจะยงคงรบแรงไดตอเนองจากหนวยแรงยงไมคราก โมเมนตดดบนหนาตดนนจงยงคงเพมขนไดอก จนกระทงทวทงหนาตดเกดการคราก ซงจะไมสามารถรบโมเมนตดดไดอกตอไป โมเมนตทขนาดดงกลาวเรยกวา โมเมนตดดพลาสตก (plastic moment) และทหนาตดจะเกดการหมนไดอนนต เรยกสภาวะของหนาตดดงกลาววา จดหมนพลาสตก (Plastic hinge) จากรปท 9.4 เมอหนาตดใดๆรบโมเมนตดดพลาสตกบวก แกนสะเทนจะแบงหนาตดสวนบน A2
เปนพนทแรงอด (Compression zone) และสวนลาง A1 เปนพนทแรงดง (Tension zone) เมอพจารณาสมดลของแรงตามแนวแกน จะได
CT และ โดยท ดงนน จะไดวา หรอ )2()1( AA 2/21 AAA )2(AC )1(AT
หาโมเมนตดดรอบแกนสะเทน จะได
21 CyTyM p (9.3) จะได แทนคา )2/(ACT
2
21 yyAM y
p
(9.4)
2
21 yyAZ
กาหนดให คอ มอดลสหนาตดพลาสตก (Plastic section modulus) โดยท y1
คอ ระยะจากแกนสะเทนถงจดศนยกลางแรงดง และ y2 คอ ระยะจากแกนสะเทนถงจดศนยกลางแรงดง จะได
ZM yp (9.5)
แกนสะเทน
รปท 9.4 ไดอะแกรมของแรงบนหนาตดรบโมเมนตดดพลาสตก
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-6
9.3.2 คาตวประกอบรปราง (Shape factor, f) คอ อตราสวนระหวางโมเมนตดดพลาสตก และโมเมนตดดคราก ของหนาตดใดๆ ดงนน
S
Z
S
Z
M
Mf
y
y
y
p (9.6)
คาตวประกอบรปราง จะขนอยกบรปราง และขนาดของหนาตดคาน ดงแสดงในตวอยางท 1
ตวอยาง 1 วเคราะหหาโมเมนตดดคราก และโมเมนตดดพลาสตก และคาตวประกอบรปราง ของคานหนาตดรปตวทดงรป กาหนดคาหนวยแรงคราก y = 3500 kg/cm2
200 mm 25 mm
150 mm
50 mm
Step 1: คานวณหาตาแหนงของแกนสะเทน (ก) ตาแหนงแกนสะเทนในชวงอลาสตก (ข) ตาแหนงแกนสะเทนในชวงพลาสตก
y
mm
A
yAy
i
ii
110
)200)(25()50)(150(
)5.162)(200)(25()75)(50)(150(
y
พนทใตแกนสะเทน = พนทเหนอแกนสะเทน
mmy
yy
125
)200)(25()50)(150()50)((
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-7
Step 2: คานวณหาโมเมนตดดคราก โมเมนตดดพลาสตก และคาตวประกอบรปราง (ก) โมเมนตดดคราก
42323 2073)5.3)(15)(5()15)(5(12
1)75.2)(5.2)(20()5.2)(20(
12
1cmI
ดงนน
mkN
c
IM yy
6596)100)(11(
)2073()3500(
(ข) โมเมนตดดพลาสตก
mkN
yyA
M yp
41562
)25.3()25.6()100(2
)5.2)(5()20)(5.2()3500(
)(2 21
(ค) คาตวประกอบรปราง
S
Z
S
Z
M
Mf
y
y
y
p
9.4 การวเคราะหโครงสรางโดยวธพลาสตก: พฤตกรรมของโครงสราง เปนการวเคราะหในระดบโครงสราง เพอคานวณหานาหนกกระทาสงสดทโครงสรางนน สามารถรบ
ได หรอ นาหนกมากทสดทโครงสรางเกดการวบต นนคอ แรงกระทาททาใหเกดจดหมนพลาสตกในจานวนมากพอททาใหโครงสรางไรเสถยรภาพ (Unstable) และเกดการวบต (Collapse) ในทสด วธการวเคราะหแบงเปน วธสมดล (Equilibrium method) วธงานเสมอน (Virtual work method)
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-8
9.4.1 วธสมดล (Equilibrium method ) ในการวเคราะหจะอาศยทฤษฎขอบเขตของคาทตาทสด (Lower bound theorem) โดยใหไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางวบต เปนไปตามไดอะแกรมของโมเมนตดดอลาสตก และทาการวเคราะหหานาหนกสงสดจากไดอะแกรมชนสวนอสระ (Free body diagram) ทมจดหมนพลาสตกทหนาตดทมคาโมเมนตดดเทากบ โมเมนตดดพลาสตก ตวอยาง 2 จากคานแสดงดงรป คานวณหา ขนาดของแรง P ททาใหคานเกดการครากและ เกดการวบต
26 /10220 mNy 1) การวเคราะหระดบวสด
- กาลงคราก (โจทยกาหนดให) 26 /10220 mNy
2) การวเคราะหระดบหนาตด
- โมเมนตดดคราก
mN
c
ISM y
yy
33.333,182/1.0
1.0*05.0121
10220 36
- โมเมนตดดพลาสตก
mN
bhyyAZM yy
yp
500,274
1.005.010220
42
21
26
2
3) การวเคราะหระดบโครงสราง
- ไดอะแกรมโมเมนตดด ไดอะแกรมโมเมนตดดชวงอลาสตก
LP
M4
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-9
- แรงกระทาททาใหเกดโมเมนตดดสงสด
- ขนาดของแรง P ททาใหคานเกดการคราก (Py)
NL
MP y
y 7.666,362
33.333,1844
แทนคา M= My และ P= Py จะได
- ขนาดของแรง P ททาใหคานเกดการวบต (Pu) เนองจาก คานจะเกดจดหมนพลาสตกในตาแหนงทมคาโมเมนตดดสงสด นนคอ กลางชวง
พาด และจะเกดเพยงจดเดยว คานกจะวบต ดงนนจะแทนคา M=Mp และ P=Pu จะได
NL
MP p
u 000,552
500,2744
สาหรบตวอยางน คานเปนแบบเทอรมเนท เมอเกดจดหมนพลาสตกเพยงจดเดยว คานกจะวบต ดงนน จะไดอตราสวนระหวางแรงสงสดตอแรงคราก เทากบ อตราสวนระหวางโมเมนตดดพลาสตกตอโมเมนตดดคราก ดงแสดง
ตวอยาง 3 จากคานแสดงดงรป คานวณหา ขนาดของแรง q ททาใหคานคราก และ เกดการวบต
โมเมนตดดพลาสตก โมเมนตดดคราก
3) การวเคราะหระดบโครงสราง
- จากไดอะแกรมโมเมนตดดคาโมเมนตดดท มากทสดคอ
ขนาดของแรง q ททาใหคานเกดการคราก (qy)
29
128
L
Mq y
y = 29
128
L
Sq y
y
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-10
ขนาดของแรง q ททาใหคานวบต (qu)
29
128
L
Mq p
u = 29
128
L
Zq y
y
เชนเดยวกนกบตวอยางท 2 คานเปนแบบเทอรมเนท เมอเกดจดหมนพลาสตกเพยงจดเดยว คานกจะวบต ดงนน จะไดอตราสวนระหวางแรงสงสดตอแรงคราก เทากบ อตราสวนระหวางโมเมนตดดพลาสตกตอโมเมนตดดคราก
ตวอยาง 4 จากคานแสดงดงรป คานวณหา ขนาดของแรง P ททาใหคานคราก และ เกดการวบต กาหนดให โมเมนตดดคราก = My และ โมเมนตดดพลาสตก = Mp
เปนคานคลายกบในตวอยางท 2 โดยทจด A เปนจดรองรบแบบยดแนน ซงเปนคานแบบอนดเทอรมเนททางสถต
3) การวเคราะหระดบโครงสราง คานแบบอนดเทอรมเนททางสถต ไดอะแกรมโมเมนตดดในชวงอลาสตกคานแบบอนดเทอรมเนท
ทางสถต คาโมเมนตดดมากทสดเกดขนทจด A
ทจด A มคาโมเมนตดดเทากบ โมเมนตดดพลาสตก เกดจด หมนพลาสตกทจด A แตคานยงไมวบต
ทจด B มคาโมเมนตดดเทากบ โมเมนตดดพลาสตก เกดจด หมนพลาสตกทจด B ทาใหคานเกดวบต
ไดอะแกรมโมเมนตดดทวบต โดยทจด A และ B มคา
โมเมนตดดเทากบ โมเมนตดดพลาสตก
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-11
ขนาดของแรง P ททาใหคานทหนาตด A เกดการคราก (Py) จากไดอะแกรมโมเมนตดดในชวงอลาสตกแทนคา M= My และ P= Py ในสมการโมเมนต
ดดทหนาตด A จะได
L
MP y
y 3
16
ขนาดของแรง P ททาใหคานวบต (Pu) จากไดอะแกรมโมเมนตดดทวบต โดยทหนาตด A และ B มคาโมเมนตดดเทากบ
โมเมนตดดพลาสตก และทหนาตดดงกลาวจะเกดจดหมนพลาสตก เมอพจารณาสมดลของคานจะได
คาอตราสวนนมคาเทากบ 1 ในกรณคานแบบดเทอรมเนททางสถต ดงแสดงในตวอยางท 2 และ 3
ตวอยาง 5 จากคานแสดงดงรป คานวณหา ขนาดของแรง q ททาใหคานวบต กาหนดให โมเมนตดดคราก = My และ โมเมนตดดพลาสตก = Mp 3) การวเคราะหระดบโครงสราง ไดอะแกรมโมเมนตดดในชวงอลาสตกคานแบบอนดเทอรมเนท
ทางสถต คาโมเมนตดดมากทสดเกดขนทจด A=B
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-12
ทจด A และ B มคาโมเมนตดดเทากบ โมเมนตดดพลาสตก และเกดเปนจดหมนพลาสตกทจด A แตคานยงไมวบต
จากนนทจด B มคาโมเมนตดดเทากบ โมเมนตดดพลาสตก และเกดจดหมนพลาสตกทจด C ทาใหคานเกดวบต
ไดอะแกรมโมเมนตดดทวบต โดยทจด A B และ C ม คาโมเมนตดดเทากบ โมเมนตดดพลาสตก
ขนาดของแรง q ททาใหคานทหนาตด A และ B เกดการคราก (qy) จากไดอะแกรมโมเมนตดดในชวงอลาสตกแทนคา M=My และ P=Py ในสมการโมเมนต
ดดทหนาตด A หรอ B จะได
2
12
L
Mq y
y
ขนาดของแรง q ททาใหคานวบต (qu) จากไดอะแกรมโมเมนตดดทวบต โดยทหนาตด A B และ C มคาโมเมนตดดเทากบ
โมเมนตดดพลาสตก และทหนาตดดงกลาวจะเกดจดหมนพลาสตก เมอพจารณาสมดลของคานจะได
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-13
จากตวอยางท 4 และ 5 ซงเปนคานอนดเทอรมเนททางสถต ไดอะแกรมโมเมนตดดอลาสตกไดถกคานวณขนเพอระบตาแหนง และลาดบการเกดจดหมนพลาสต อยางไรกตามการคานวณเพอสรางไดอะแกรมโมเมนตดดอ-ลาสตกคอนขางลาบาก และเสยเวลา นอกจากน จากตวอยางจะสามารถสงเกตเหนไดวาไดอะแกรมโมเมนตดดพลาสตกในขณะโครงสรางวบตจะมรปรางเดยวกนกบไดอะแกรมโมเมนตดดอลาสตก และทหนาตดทมคาโมเมนตดดสงสดในชวงอลาสตก จะมคาเทากบ โมเมนตดดพลาสตก และเกดจดหมนพลาสตกทจดนน หรอ อาจกลาวไดวา ไดอะแกรมของโมเมนตดดพลาสตกเมอโครงสรางวบตสามารถคาดเดาลวงหนาได หากทราบวาทหนาตดใดบนโครงสรางจะเกดคาโมเมนตดดมาก (ดงแสดงในตวอยางท 6-8 ตอไป) รปท 9.5 แสดงตาแหนงทคาดไดวาจะเกดโมเมนตสงไดซงทาใหเกดจดหมนพลาสตกไดตอไป
จดแรงกระทาเปนจด
จดเปลยนของหนาตดอยางทนท
จดรองรบชวงกลางคานตอเนอง
จดรองรบยดแนน
รปท 9.5 ตาแหนงทคาดไดวาจะเกดจดหมนพลาสตก
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-14
ตวอยาง 6 ใหวเคราะหหานาหนกกระทาสงสดสาหรบคานดงรป กาหนดใหคาโมเมนตพลาสตกมคาเทากบ Mp
L/2 L/2
MP
P
B A C
ขนตอนท 1 สรางไดอะแกรมโมเมนตดดอลาสตกทประกอบดวย (1) ไดอะแกรมของโมเมนตดดอสระและ (2) รปไดอะแกรมของโมเมนตดดปฏกรยา PL/4
MA
รปไดอะแกรมของโมเมนตดดปฏกรยา
รปไดอะแกรมของโมเมนตดดอสระ
+C
B A
B A
ขนตอนท 2 สมมตกลไกของการวบต คานททาการวเคราะหจะเกดจดหมนพลาสตก 2 จด ในภาวะทโครงสรางเกดวบต โดยจดหมนพลาสตกจะเกด ณ ปลายยดของคาน และทจดนาหนกกระทาจดทกระทาตอโครงสราง และกลไกของการวบตทเกดขนคอ
Pu
C B A
กลไกการวบต
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-15
ขนตอนท 3 จากกลไกวบตทสมมต ใหคาโมเมนตดด ณ จดดงกลาวจะมคาเทากบคาโมเมนตดดพลาสตก โดยไดอะแกรมของโมเมนตดดยงคงเหมอนกบไดอะแกรมโมเมนตดดอลาสตกในขนตอนท 1 และทาการซอนทบกน จะได
รปไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางวบต
Mp/2
Mp Mp
PuL/4
C B A
ขนตอนท 4 วเคราะหหานาหนกกระทาสงสด โดยเปรยบเทยบรปไดอะแกรมของโมเมนตดดอลาสตกและพลาสตก เมอโครงสรางเกดการวบตในรป จะไดวาคานาหนกกระทาสงสด Pu สามารถหาไดจาก
42
LPMM uP
P หรอ LMP Pu /6
จะเหนวา คาตอบทไดตรงกบททาการวเคราะหในตวอยางท 4
ตวอยาง 7 ใหวเคราะหหานาหนกกระทาสงสด สาหรบคานตอเนองดงแสดง กาหนดใหคาโมเมนตพลาสตกของคานชวง AB เทากบ และชวง BC เทากบ 1.2 PM PM
1.2Mp Mp
C B A
P 0.5P 0.5P
4 m 3 m 3 m 3 m 4 m ขนตอนท 1 สรางไดอะแกรมโมเมนตดดอลาสตกทประกอบดวย (1) ไดอะแกรมของโมเมนตดดอสระและ (2) รปไดอะแกรมของโมเมนตดดปฏกรยา
1.5P
2P
C B B
A
(1) รปไดอะแกรมของโมเมนตดดอสระ
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-16
+
MB
(2) รปไดอะแกรมของโมเมนตดดปฏกรยา
C B A
ขนตอนท 2 สมมตกลไกของการวบต คานททาการวเคราะหจะเกดจดหมนพลาสตก 2 จด ในภาวะทโครงสรางเกดวบต โดยจดหมนพลาสตกจะเกด ณ จดรองรบชวงกลางคานตอเนอง และทจดนาหนกกระทาจดทกระทาตอโครงสราง ดงนนกลไกของการวบตทอาจเกดขนได จะมอยมากกวา 1กรณโดย จะตองตรวจสอบการวบตของคานแตละชวง และคานชวงทใหคานาหนกกระทาสงสดทตาทสดจะแสดงการวบตของโครงสราง
Pu
C B A
กรณ 1 กลไกการวบตทเปนไปไดของชวง AB
0.5Pu 0.5Pu
C B A
กรณ 2 กลไกการวบตทเปนไปไดของชวง BC ขนตอนท 3 จากกลไกวบตทสมมต ใหคาโมเมนตดด ณ จดดงกลาวจะมคาเทากบคาโมเมนตดดพลาสตก โดยไดอะแกรมของโมเมนตดดยงคงเหมอนกบไดอะแกรมโมเมนตดดอลาสตกในขนตอนท 1 และทาการซอนทบกน มสงทสงเกตเพมเตมคอ ทจดรองรบ B จะเปลยนขนาดหนาตด ทประกอบไปดวย
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-17
หนาตดทมโมเมนตดดพลาสตกทไมเทากนน จดตอหมนไดแบบพลาสตกจะเกดเมอคาโมเมนตดด ณ จดนนมคาเทากบคาโมเมนตดดพลาสตก ของคานทแขงแรงนอยกวาหรอคานทมคาโมเมนตดดพลาสตกทนอยกวา ดงนนรปไดอะแกรมของโมเมนตดดปฏกรยาจะมคาโมเมนตดด ณ จด B เทากบ MP
2Pu
กรณ 1 ไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางวบตในชวง AB
Mp Mp
0.5Mp
C B A
Mp/3
Mp 1.2Mp
1.5Pu
A B C
กรณ 2 ไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางวบตในชวง BC
ขนตอนท 4 วเคราะหหานาหนกกระทาสงสด โดยเปรยบเทยบรปไดอะแกรมของโมเมนตดดอลาสตกและพลาสตก เมอโครงสรางเกดการวบตในแตละกรณ
กรณ 1 เมอคานวบตในชวง AB จะไดวา คานาหนกกระทาสงสดในกรณนจะหาไดจาก
MP + MP/2 = 2Pu Pu = 0.75MP (ก)
กรณ 2 เมอคานวบตในชวง BC จะไดวา คานาหนกกระทาสงสดในกรณนจะหาไดจาก 1.2MP + MP/3 = 1.5Pu
Pu = 1.022MP (ข)
จากสมการท (ก) และสมการท (ข) จะเหนวา คา Pu ทนอยทสดมคาเทากบ 0.75MP นนคอการวบตทเกดขนของโครงสรางจะเกดเมอคานาหนกกระทามคาเทากบ 0.75 MP และโครงสรางจะวบตในชวง AB ซงกลไกการวบตและรปไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางวบตจะเปนไปดงแสดง
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-18
ตวอยาง 8 ใหวเคราะหหาคาตวประกอบนาหนกประลย สาหรบคานดงแสดง กาหนดให PM 2000 kN-m และนาหนกบรรทกใชงาน wP 400 kN และ ww 180 kN/m ขนตอน 1 สราง(2) รปไดอะแกรมของโมเมนตดดปฏกรยา
ไดอะแกรมโมเมนตดดอลาสตกทประกอบดวย (1) ไดอะแกรมของโมเมนตดดอสระและ
กลไกการวบตและรปไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางวบต
0.458Mp
Mp Mp
0.792Mp
Pu 0.5Pu 0.5Pu
A B C
A B C
A
3 m 2 m 2 m 4 m
Mp 2Mp
C
PW 4PW ww
B
3.5P
6.5P
4.5w
A B B C
(1) รปไดอะแกรมของโมเมน ด ระตด อส
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-19
P
+
Mp
2Mp
C B A
(2) รปไดอะแกรมของโมเมนตดดปฏกรยา
จะสงเกตไดวา คาโมเมนตดดปฏกรยา ณ จด B จะมคาเทากบ ซงเปนคาโมเมนตดดพลาสตกของคานชวงทแขงแรงนอยกวา
M
ขนตอนท 2 สมมตกลไกของการวบต แบงเปน 2 กรณคอ กรณ 1 กลไกของการวบตทเปนไปไดของคานชวง AB ซงสาหรบกลไกของการวบตทเปนไปไดของคานในชวง AB นน จดหมนพลาสตกจะเกด ณ ตาแหนงทแรงกระทาจด 4P กระทาตอโครงสรางเนองจากเปนตาแหนงทมคาโมเมนตดดสงสด
Pu 4Pu
C B A กรณ 1 กลไกการวบตทเปนไปไดของชวง AB กรณ 2 กลไกของการวบตทเปนไปไดของคาน ในชวง BC จดหมนพลาสตกจะเกด ณ ตาแหนง x ทไมรคาจากปลาย C เนองจากตาแหนงทเกดโมเมนตดดสงสดภายในชวง BC จะขนกบขนาดของนาหนกกระจายแผทกระทาตอโครงสรางและชวงความยาวของคาน wu
C B A
x
กรณ 2 กลไกการวบตทเปนไปไดของชวง BC
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-20
c
ขนตอนท 3 และ 4 จากกลไกวบตทสมมต ใหคาโมเมนตดด ณ จดทเกดจดหมนพลาสตกจะมคาเทากบคาโมเมนตดดพลาสตก และวเคราะหหาคาตวประกอบนาหนกประลย โดยเปรยบเทยบรปไดอะแกรมของโมเมนตดดอลาสตกและพลาสตก เมอโครงสรางเกดการวบตในแตละกรณ กรณ 1 กลไกของการวบตทเปนไปไดของคานชวง AB
2Mp upP PMM 5.6275.1 2Mp
Mp pu MP 577.0 1.75Mp
)2000(577.0
kN 8.1153
A B C
ไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางวบตในชวง AB (1)
คาตวประกอบนาหนกประลย มคาเทากบอตราสวนระหวางคานาหนกกระทาสงสดและคานาหนกกระทาใชงาน
885.2400
8.1153
w
uc P
P (ก)
กรณ 2 กลไกของการวบตทเปนไปไดของคานชวง BC Mp
(2) ไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางวบตในชวง BC
3wux – wux2/2
Mp
xMp/6
Wu
Mp
รปอสระของคานในชวง BC เมอเกดการวบต
3wu - Mp/6
x
3wu + Mp/6
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-21
หาตาแหนง x ทเกดจดตอหมนไดแบบพลาสตกได โดยพจารณารปอสระของคานชวง BC เมอโครงสรางเกดจดตอหมนไดแบบพลาสตก ณ จด B ตาแหนง x นจะมคาแรงเฉอนเทากบศนย และโมเมนตดดสงสดซงจากรปดงกลาวจะไดวา
u
p
u
pu
w
M
w
Mw
x6
36
3
(ข)
และจากไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางวบตในชวง BC จะได
23
6
2xwxwM
xMuup
p (ค)
แทนคาสมการท (ข) ลงในสมการท (ค) จะได
2
63
2633
663
u
pu
u
pup
p
u
p
w
Mw
w
MwM
M
w
M
03243
22 p
up
u
Mw
Mw
8318
pu
Mw
pp MM 324.0,10532.9 3
)2000(324.0),2000(10532.9 3 19.1, 647.6 kN/m
คา จะตองมคาเทากบ 647.6 kN/m เนองจากคา 19.1 นอยกวานาหนกบรรทกใชงาน
ดงนน uw
60.3180
6.647c (ง)
จากสมการท (ก) และ (ง) จะไดวา c = 2.885 ซงจะไดนาหนกทกระทาตอโครงสรางและรป
ไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางเกดการวบตในชวง AB ดงแสดง
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-22
519.3 kN/m 1154 kN 4616 kN
4000
4000
1444
2000 1539
กลไกการวบตและรปไดอะแกรมของโมเมนตดดเมอโครงสรางวบต
8.4.2 วธงานเสมอน (Virtual work method) เมอคานมคาดกรของความเปนอนดเทอรมเนท (DI) มากๆ จะทาใหการวคราะหโดยวธสมดลทาไดคอนขางลาบากและ เสยเวลา โดยเฉพาะโครงขอแขงซงไมสามารถใชหลกการซอนทบกนของไดอะแกรมโมเมนตดดได ในวธงานเสมอน จะอาศยทฤษฎขอบเขตของคาทสงทสด (Upper bound theorem) โดยจะสมมตรปแบบกลไกการวบต ทสามารถเกดขนไดมากอน อาจมมากกวา 1 รปแบบ จาเปนตองคาดเดาไดวาตาแหนงไหนจะเกดจดหมนพลาสตกได โดยจานวนจดหมนพลาสตกจะตองมากพอททาใหโครงสรางวบตลง การคานวณหาคานาหนกบรรทกสงสด จะอาศยการแกสมการโดยหลกการงานเสมอนของการวบตในแตละกรณ โดยรปแบบทใหคานาหนกบรรทกสงสดมคานอยทสด คอ นาหนกประลยทแทจรงของโครงสราง ในการวเคราะหสามารถสรปเปนขนตอนได ดงน
1. สมมตกลไกการวบตในรปแบบทเปนไปไดตางๆ 2. คานวณหานาหนกบรรทกสงสดในแตละรปแบบโดยสมการอนรกษพลงงาน 3. ทาการเปรยบเทยบคานาหนกบรรทกสงสดทคานวณไดในแตละกรณ โดยคานาหนกบรรทก
สงสด คอ คานาหนกบรรทกในกรณทใหคานอยทสด
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-23
ตวอยาง 9 จากคานตวอยาง 4 คานวณหา ขนาดของแรง P ททาใหคานเกดการวบตโดยวธงานเสมอน
1. สมมตกลไกการวบตในรปแบบทเปนไปได (มกรณเดยว)
2. คานวณหานาหนกบรรทกสงสดในแตละ
รปแบบโดยสมการอนรกษพลงงาน
งานเสมอนภายนอก = งานเสมอนภายใน
ตวอยาง 10 คานวณหา ขนาดของแรง P ททาใหคานเกดการวบตโดยวธงานเสมอน ขนตอน 1 สมมตกลไกการวบตในรปแบบทเปนไปได
คานจะวบตเมอเกดจดหมนวางเรยงกน 3 ตาแหนง โดยจดทสามารถเกดจดหมนพลาสตกมอย 3 ตาแหนงคอ A B และ C (จด D เปนจดหมนไดเดม) ดงนน จะมอย 3 กรณทเปนไปไดในการเกดการวบต ดงน
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-24
กรณ 1
กรณ 3 กรณ 2 ขนตอน 2 คานวณหานาหนกบรรทกสงสดในแตละรปแบบโดยสมการอนรกษพลงงาน งานเสมอนภายนอก = งานเสมอนภายใน ขนตอน 3: แรงกระทาสงสด
กรณ 1
กรณ 2
กรณ 3
เปรยบเทยบจากทงสามกรณ คาแรงกระทาทนอยทสดคอ คาแรงกระทาสงสดททาใหโครงสรางวบต นนคอ
L
MP p
u
5.2 คานจะวบตในกรณ 3
ตวอยาง 11 วเคราะหหานาหนกกระทาสงสดของคานตอเนองดงรป โดยกาหนดใหคา Mp = 600 kN-m
4 m 4 m 6 m 6 m 4 m 4 m
1.5P
A B C
P P
D Mp Mp 1.5Mp
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-25
ขนตอน 1: สมมตกลไกการวบต
Pu (ก) กลไกการวบตกรณ 1 (ข) กลไกการวบตกรณ 2 ขนตอน 2: คานวณนาหนกกระทาสงสดในแตละกรณ กรณ 1
kN
MP
MMP
WW
pu
ppu
ie
450)600(75.0
75.0
)()2(2)4(2
กรณ 2
kN
MP
MMMP
WW
pu
pppu
ie
3.333)600(556.0
556.0
)()2(5.1)()6(5.1
ขนตอน 3: นาหนกแรงกระทาสงสด เปรยบเทยบจากทงสองกรณ นาหนกกระทาสงสด kNPu 3.333 ซงเปนคาทนอยกวา ดงนน ทภาวะประลย นาหนกทกระทาบนคานคอ
A B C
Pu
D
2
2
1.5Pu
A B C D
2
4 4
6
500 kN
A B C
333.3 kN 333.3 kN
D
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-26
ตวอยาง 12 วเคราะหหานาหนกกระทาสงสดของคานตอเนองดงรป กาหนดใหคา Mp = 3,000 kN-m P ขนตอน 1: สมมตกลไกการวบต
(ก) กลไกการวบตกรณ 1
(ข) กลไกการวบตกรณ 2 ขนตอน 2: คานวณนาหนกกระทาสงสดในแตละกรณ กรณ 1
pu
ppu
ie
Mx
x
xP
xM
xMxP
WW
6
6
6.0
1
66
6)6)((
2
1)2.0(
แทนคา x = 2.486 ม. ซงเปนตาแหนงทคาแรงเฉอนเทากบ ศนย จะได
kN
MMP ppu
4857)3000(619.1
619.1)486.2(6
)486.2(6
)486.2(6.0
1
w=0.2P B A C
Mp 6 m 3 m 3 m
1.2Mp
w=0.2Pu B A C
x
x คอ ระยะทเกดคาโมเมนตดดสงสดบนคานชวง AB
x x 6
x6
6
Pu
B A C 3
2
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-27
กรณ 2
kN
MP
MMMP
WW
pu
pppu
ie
4600)3000(533.1
533.1
)(2.1)2(2.1)()3)((
ขนตอน 3: แรงกระทาสงสด เปรยบเทยบจากทงสองกรณ นาหนกกระทาสงสด kNPu 4600 ซงเปนคาทนอยกวา ดงนน ทภาวะประลย นาหนกทกระทาบนคานคอ
4600 kN
ตวอยาง 13 คานวณหา ขนาดของแรง P ททาใหโครงขอแขงเกดการวบตโดยวธงานเสมอน ขนตอน 1 สมมตกรณวบต
กรณ 1
กรณ 3 กรณ 2
w=920 kN/m B A
Mp Mp Mp
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-28
ขนตอน 2 คานวณหาแรงสงสดในแตละกรณจากสมการงานเสมอน
กรณ 2
กรณ 3
กรณ 1 ขนตอน 3: แรงกระทาสงสด เปรยบเทยบจากทงสามกรณ คาแรงกระทาทนอยทสดคอ คาแรงกระทาสงสดททาใหโครงสรางวบต นนคอ
L
MP p
u
3 คานจะวบตในกรณ 3
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-29
แบบฝกหดทายบท การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน ฝ9.1 คานวณหาโมเมนตดดคราก และโมเมนตดดพลาสตก กาหนดใหคาหนวยแรงคราก y = 2,400 kg/cm2 12 mm
ฝ9.2 วเคราะหนาหนกสงสด Pu ของคานดงรป โดยวธสมดลและวธงานเสมอน กาหนดให Mp = 120 kN-m ฝ9.3 วเคราะหนาหนกสงสด Pu ของคานดงรป โดยวธสมดลและวธงานเสมอน กาหนดให Mp = 120 kN-m
50 mm 200 mm
100 mm
15 mm
400 mm
ผนงทกดานหนา 3.2 มม.
2 m 2 m 2 m 2 m
A B C
P
Mp
2P
P
2P
P
2 m 1.5 m 2.5 m
A B C D Mp
บทท 9 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกเบองตน
หนาท 9-30
ฝ9.5 วเคราะหนาหนกสงสด Pu ของคานดงรป โดยวธสมดลและวธงานเสมอน กาหนดให Mp = 120 kN-m ฝ9.6 วเคราะหนาหนกสงสด wu ของคานดงรป โดยวธสมดลและวธงานเสมอน กาหนดให Mp = 200 kN-m ฝ9.7 วเคราะหหานาหนกกระทาสงสดของโครงขอแขงโดยวธงานเสมอน กาหนดให Mp = 300 kN-m
5 m 3 m 3 m 3 m 2 m
A B C
P
Mp 2Mp
1.6P 0.8P
5 m 5 m
B w
2w
2Mp Mp A C
3 m 2m 3 m
200 kN
4 m
C
A
B
D Mp
Mp
Mp
100 kN
100 kN
3 m
ค านวณหาการเปลยนรปของโครงขอหมน (ค านวณหาวา D เคลอนทไปเทาไหร ) 1. ก าหนด Node, Element และ Degree of freedom
1. ก าหนด Node No. 2. ก าหนด Element No. 3. ก าหนด Dof No. (เรยงจาก Dof ทมความอสระ)
ขอสงเกต Degree of freedom ของ node ของโครงสรางแตละชนดจะตางกน ตามธรรมชาตของการรบแรงและการเปลยนรปจรงของโครงสรางนน ๆ กรณปญหาโครงขอหมน หรอ truss จะมการรบแรงและการเปลยนรปทเกดขนตามแนวแกนเทานน (ไมมแรงดด หรอ เกดการดดโคง) ดงนน ใน 1 node จงม 2 dofs. ซงตางจาก beam และ frame ทม 2 dofs และ 3 dofs. ตามล าดบ 2. ค านวณหา การเปลยนรปของโครงขอหมน ท node “D” ในทศทาง dof. ท 1 และ 2 ดงรป ดานบน จากสมการความสมพนธระหวางแรงทกระท าบนโครงสรางและการเปลยนรปทเกดขน
dSP หรอ PSd1
P คอ แรงภายนอกทกระท าตอโครงสราง S คอ stiffness ของโครงสราง d คอ การเปลยนรปของโครงสราง
5 m
40 kN
E = 200 Gpa
A (all members) = 2000 mm2
8
C
A B
D
5 m
80 kN
y
D’
X
#1
#2
#3
7
3
4
5
6
1
2
Y
3
2 1
4
ขอสงเกต สมการขางตนเปนสมการของโครงสราง (ชนสวนทงหมด) ซงประกอบไปดวย 3 elements ดงรป ดงนน stiffness matrix ของโครงสรางจงเปน stiffness ทตองรวมจาก stiffness จากของทง 3 elements ประกอบกน 2.1 ค านวณหาแรงกระท าภายนอกตอโครงสราง หรอ P Matrix แรงกระท าภายนอก จะพจารณาวา มแรงภายนอกกระท าท degree of freedom ทไดก าหนดไวตามขอ 1 ทไหนบาง จากรปจะเหนวา มแรง 40 k กระท าในทศตรงขามกบ dof ท 1 และมแรง 80 k กระท าในทศทางเดยวกบ dof ท 2 โดยสามารถเขยนเปน matrix ของแรงกระท าภายนอกไดวา
P =
8
7
6
5
4
3
2
1
P
P
P
P
P
P
P
P
=
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0
0
0
0
80
40
ขอสงเกต จะมตวเลขดานขางของ matrix ทแสดงต าแหนงของ degree of freedom เอาไวดวย 2.2 ค านวณหา stiffness matrix ของโครงสราง หรอ S จากทไดกลาวขางตน วา โครงสรางนนประกอบไปดวย 3 elements ดงนน stiffness ของโครงสรางจงประกอบดวย stiffness ของทง 3 elements วธการค านวณหา stiffness ของโครงสราง จะค านวณหา stiffness ของแตละ element เสยกอน แลวจงน ามารวมกนภายหลง (Assembly)
คา Stiffness Matrix และ element ใดๆ ทเอยงท ามม
2
4
3
Node แรก
Node หลง
X
Y
1
4
3
2
1
4321
22
22
22
22
SCSSCS
CSCCSC
SCSSCS
CSCCSC
L
EATkTK
T
จากสมการขางตน คา C คอ Cos และ S คอ Sin โดยทคามม เปนมมทวดจากแกน X (global) ไป x (local) หรอดจาก ขนาดมม dof ท 1 และจะมคาเปนบวกเมอมทศหมนทวนเขมนาฬกา (ตามกฏมอขวา) อนง ตวเลขทแสดงดานบนและขวาของ stiffness แสดงต าแหนง degree of freedom ของ element 2.2.1 Element#1 L = 5 m. = 0 , Cos = 1 และ Sin = 0
ดงนน
4
3
2
1
0000
02.002.0
0000
02.002.0
4321
EATkTKT
2.2.2 Element#2 L = 7.07 m. = +45 , Cos = 0.707 และ Sin = 0.707 ดงนน
4
3
2
1
071.0071.0071.0071.0
071.0071.0071.0071.0
071.0071.0071.0071.0
071.0071.0071.0071.0
4321
EAK
3
3
Node แรก
Node หลง
1
2
Node แรก #1
4
Global
1
2
4
#1
Global
7 8 1 2
7
8
1
2
3 4 1 2
3
4
1
2
Node หลง
2.2.3 Element#3 L = 5 m. = +90 , Cos = 0 และ Sin = 1 ดงนน
4
3
2
1
2.002.00
0000
2.002.00
0000
4321
EAK
ขอสงเกต เนองจากทก element มคา E และ A เทากน จงสามารถก าหนดเปนคาคงทได 2.2.4 รวม stiffness ของทง 3 elements เปน stiffness ของโครงสราง กอนทจะท าการรวม stiffness เขาดวยกนนน ตองท าการเปรยบเทยบ degree of freedom ของแตละ element ในหวขอ 2.2.1 -2.2.3 กบ degree of freedom ของโครงสรางในหวขอ 1 กอน ซงแสดงดวยตวเลขถดไปของดานบนและดานขาง matrix
2
1
2707.00707.0
0707.02707.0
21
AES
3.ค านวณ d dSP
2
1
2707.00707.0
0707.02707.0
80
40
d
dAE
.......
......1
2
1
AEd
d Ans.
1
Node หลง 3
5 6 1 2
5
6
1
2
2
#1
Node แรก
4
Global
S =
071.0071.0
071.0271.0
8
7
6
5
4
3
2
1
จากสมการความสมพนธแรงกบระยะเคลอนท
P = S d จะได
y
x
y
x
y
x
CP
CP
BP
BP
AP
AP
P
P
8
7
6
5
4
3
2
1
80
40
=
0
0
0
0
0
0
8
7
6
5
4
3
2
1
d
d
d
d
d
d
d
d
แยกออกเปน 1.) ค านวณ d1,d2
80
40=
11S
2
1
d
d
2
1
d
d=
AE
1
2.) ค านวณหา Reactions
y
x
y
x
y
x
CP
CP
BP
BP
AP
AP
8
7
6
5
4
3
=
2
1
d
d
S12
S22
S11
S21
1 2 3 4 5 6 7 8
S12
S22
S11
S21
S21
เพมเตมการก าหนด degree of freedom ในหวขอท 2.2.1 ถง 21.2.3 สามารถทจะก าหนดเลข degree of freedom ทแตกตางได ทงนขนกบการก าหนดทศทางของแกน Local (หรอการก าหนดต าแหนงโหนดแรก) ดงน 2.2.1 Element#1 L = 5 m. =180 , Cos = -1 และ Sin = 0 ดงนน
4
3
2
1
0000
02.002.0
0000
02.002.0
4321
EATkTKT
2.2.2 Element#2 L = 7.07 m. =(180+45) , Cos = -0.707 และ Sin = -0.707 ดงนน
4
3
2
1
071.0071.0071.0071.0
071.0071.0071.0071.0
071.0071.0071.0071.0
071.0071.0071.0071.0
4321
EAK
3
4
Node แรก Node หลง #1 1
2
1 Node แรก
Global
Node หลง 3
2
4 #1
Global
1 2 7 8
1
2
7
8
1 2 3 4
1
2
3
4
ตางกบครงแรกตรงการก าหนดต าแหนง node แรก
สงเกตวาเปลยนจากเดม
สงเกตวาเปลยนจากเดม
ตางกบครงแรกตรงการก าหนดต าแหนง node แรก
2.2.3 Element#3 L = 5 m. =(180+90) , Cos = 0 และ Sin = -1 ดงนน
4
3
2
1
2.002.00
0000
2.002.00
0000
4321
EAK
2.2.4 รวม stiffness ของทง 3 elements เปน stiffness ของโครงสราง
2
1
2.0071.000071.00
0071.000071.02.0
21
AES
2
1
271.0071.0
071.0271.0
21
AES
สงเกตไดวา ได stiffness ของ โครงสราง เหมอนเดม {S}
3
4
Node หลง
#1
Node แรก 1
2
Global
1 2 5 6
1
2
5
6
สงเกตวาเปลยนจากเดม
ตางกบครงแรกตรงการก าหนดต าแหนง node แรก
Top Related