Cours de Mathématiques – Terminale STI – Chapitre 7 - La fonction exponentielle
Chapitre 7 – La fonction exponentielle
A) Définition
1) Rappel et définition
La fonction logarithme népérien ln(x) est une fonction strictement croissante, définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[, dont l’image parcourt R tout entier, soit ]-∞ ; +∞[.
C’est donc une bijection entre ces deux ensembles et on peut définir sa fonction réciproque, qu’on appellera exponentielle, et qu’on notera exp(x).
Autrement dit : y = exp(x) <=> x = ln(y)
2) Propriétés
Toutes les propriétés de ln(x) vont amener leurs propriétés réciproques dans exp(x), soit :
a) Pour tout x, exp(x) > 0
En effet pour qu’on ait y = exp(x), il faut ln(y) = x, ce qui impose y > 0.
b) ln (exp(x)) = x pour tout réel x
En effet, si y = exp(x), ln(y) = x et ln(y) = ln(exp(x))
c) exp(ln(x)) = x pour tout x > 0
Car y = exp(x) et x = ln(y) d’où y = exp (ln(y))
d) exp(a + b) = exp (a) x exp(b)
En effet, ln(exp(a) exp(b)) = ln(exp(a)) + ln(exp(b)) = a + b et ln(exp(a + b) = a + bD’où le résultat puisque ln étant croissante, ln(x) = ln(y) ==> x = y.
e) exp(0) = 1 et exp(1) = e
En effet ln(1) = 0 donc exp(0) = exp(ln(1)) = 1Et ln(e) = 1 donc exp(ln(e)) = e = exp(1)
f) exp(n) = e n pour tout entier n
En effet, ln(exp(n)) = n = n ln(e) = ln(en).
3) Notation
Compte tenu du 2f), on conviendra de noter pour tout x réel :exp( x)=ex
C’est une extension à ℝ de la définition des puissances entières d’un nombre.On écrira donc (propriétés du 2)) :- e x
> 0 pour tout x∈ℝ
- e ln( x)=x pour tout x∈ℝ
+* (c.à.d x réel strictement positif)
- ln(ex)=x pour tout x∈ℝ
+*
- e1=e , e0
=1 et ea b=ea eb pour tout couple de réels (a, b).
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4) Applications
a) Soit y = e -ln(x)
Alors y = eln(1/x) = 1/x
b) Soit y = (e x ) n
Alors ln(y) = ln((ex)n) = n ln(ex) = nxDonc y = enx
c) Soit y=1
ex
Alors ln y =ln 1
e x=−ln e x
=−x
D’où y = e-x.
d) Soit y=ex
e z
Alors y=e x×
1
ez=ex
×e− z=ex−z
e) Résumé
e x
n=en x e−x
=1
e x e x – y=
e x
e y
4) Exemples
a) Simplifier y=e2 x
e3x
b) Résoudree2x
e3x =2
c) Résoudre e2 x2 e3 x
B) Étude de la fonction e x
1) Ensemble de définition
exp(x) étant la réciproque de ln(x), son domaine de définition est ℝ et son image ℝ+
2) Dérivée
(ex)’ = ex, donc la dérivée est > 0 sur ℝ .
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3) Limites
a) En - ∞
On sait que limx0+
ln x=−∞
Donc on aura limx –∞
ex=0
On peut aussi dire que ex et ln(x) étant deux fonctions réciproques, leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x ("on intervertit y et x").
b) En + ∞
limx0+
ln x=−∞ , donc réciproquement limx –∞
ex=0 aussi.
En résumé : limx –∞
ex =0 et limx –∞
ex =0
4) Tableau de variation
x – ∞ 0 1 + ∞
f '(x) + + +
f(x)0
1 e+ ∞
5) Courbe
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C) Dérivées et Primitives
1) Dérivation
(e u )’ = u' e u pour toute fonction u(x)
(Exercices pour les vacances : Problèmes: 39 et 40 page 230 + exercices 1 à 6 page 121)
Exemples :Dériver les fonctions suivantes :
a) e 3x+1
b) xe 2x
c) e 3x² - 2x
d) e x
x
2) Primitives
Primitives de u’e u : F(x) = e u + c
Exemples :
Trouver les primitives de :
a) e 3x
b) e 4x-1
c) xe 2x²+5
d) 3xe x²+2
D) Fonctions puissances : la fonction x a avec a nombre réel quelconque
1) Définition
On sait calculer xn quand n est u entier naturel.
On y arrive aussi si n est négatif en posant x−n=
1
xn .
De même on peut calculer x½ car si on suit les règles des exposants, on a (x½ )² = x½*2 = x1 = x, donc x½ est tout simplement la racine carrée de x, √ x .
On peut aller plus loin en calculant les racines nièmes de x, par exemple si y=5√32 , c’est que y5=32 ,
c’est à dire que y = 2 car 2*2*2*2*2 = 32.
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De même, on peut généraliser la puissance à tout nombre rationnel en posant : xpq =( q√ x )
p .
Mais il y a bien plus simple : pour étendre ces définitions à xa avec a réel quelconque, on peut utiliser le fait que eln(x) = x, soit :
x a=(e ln(x ))a=ea ln(x ) . Ceci ne fonctionne cependant que pour x positif puisqu’on doit utiliser ln(x).
2) Étude de la fonction f(x) = x a
a) Domaine de définition
Comme il est dit plus haut, x doit être positif, donc Df = ]0 ; +∞[.
b) Dérivée
On a (eu)’ = u’ eu. On aura donc :
(xa) '=(ea ln( x)
) '=ax
ea ln( x)=
a
e ln(x)ea ln (x)
=aea lln( x)−ln( x)=a e(a−1)ln (x)
=a xa−1soit :
( xa)’=a xa−1 (on reconnaît le ( xn
) ’=n xn−1 déjà vu pour n entier).
Exercice : retrouver les dérivées de1
xn=x−n
et de √ x=x12 à l’aide de la formule ci-dessus.
Prenons la forme ea ln(x) pour faciliter l’étude (on sait que l’exponentielle est toujours positive) :
( xa)'=a e(a−1) ln( x )
Le signe de cette dérivée va être celui de a, puisque l’exponentielle est toujours positive.
D’où : Pour tout x, si a < 0, f’(x) < 0 et si a > 0, f’(x) > 0.
c) Limites aux bornes du domaine (0 et + ∞)
Prenons la forme ea ln(x) pour faciliter l’étude (on sait que l’exponentielle est toujours positive) :
. Lorsque x tend vers zéro :
limx→ 0
(ln( x))=−∞ donc :
- Si a > 0, limx→ 0
(a ln ( x))=−∞ ce qui implique limx→ 0
(ea ln (x))=0 , donc Si a> 0, lim
x →0( xa
)=0.
- Si a < 0, limx→0
(a ln( x))=+∞ ce qui implique limx→0
(ea ln (x))=+ ∞ , donc Si a> 0, lim
x →0( xa
)=+∞ .
. Lorsque x tend vers +∞ :
limx→+ ∞
(ln( x))=+ ∞ donc :
- Si a > 0, limx→+ ∞
(a ln ( x))=+∞ ce qui implique limx→+ ∞
(ea ln(x))=+ ∞ , donc Si a> 0, lim
x →+ ∞(x a
)=+ ∞ .
- Si a < 0, limx→+ ∞
(a ln ( x))=−∞ ce qui implique limx→+ ∞
(ea ln(x))=0 , donc Si a> 0, lim
x →+ ∞(x a
)=0 . .
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d) Tableaux de variation
On aura donc les tableaux de variation suivants :Si a > 0 :
x 0 1 +∞
a xa-1 + a +
xa+∞
1 0
Si a < 0 :x 0 1 +∞
a xa-1 - a -
xa+∞ 1 0
e) Représentations graphiques :
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3) Croissances comparées, limites
Pour tous a et b tels que 0 < a < b, les courbes qui croissent de plus en plus vite sont, dans l'ordre du plus rapide au plus lent : ex, xb, xa, et ln(x).
Autrement dit,
a) limx∞ ex
xb =∞ b) limx∞ xb
xa =∞ c) limx∞
xa
ln x=∞
Démonstration
a)ex
xb =ex
ebln x=ex – b ln x=e
x 1 – bln x
x
, or limx∞
ln x
x =0 (voir Chapitre 5)
donc limx∞
1 – bln x
x =1 d’où limx∞ ex
xb = limx∞
e x=∞ .
b)xb
xa =xb –a=e b– a ln x
Or b > a donc b – a > 0 et comme ln(x) → +∞ lorsque x → +∞, la limite est bien +∞ aussi.
c) On pose y = xa. Lorsque x → +∞, on aura aussi y → +∞ car a > 0.
On a alorslim
x∞ xa
ln x= limy ∞
y
ln y1a = lim
y ∞y
ln y a = lim
y ∞ ay
ln y=∞
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Car on sait que limx∞
xln x=∞ et que a est positif.
Exemples d’application :Trouver la limite quand x → +∞ de :I) f(x) = e x−x 2
II) f(x) = 3 ln x – 3x
III) f(x) =e x
4– 10 x ln x
Devoir :
exercice 63 page 127
DS :
exercice 62 page 127
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La fonction exponentielle – Fiche de révision
Définition
y = exp(x) <=> x = ln(y)
Propriétés
e0=1 e1
=e≈2,71828
ln (e x)=x e ln ( x)=x
ea+b=ea eb
ea – b=
ea
eb
(ea)b=ea b b√ea=e
ab
e x= y⇔ x=ln ( y) ln ( x)= y⇔ x=e y
Dérivée et primitives
(ex ) '=e x Si f ( x )=ex ,F ( x )=e x
(eu ) '=u ' eu Si f ( x )=u ' eu ,F ( x )=eu
(ea x+b) '=a eax+b
Si f ( x )=ea x+b ,F (x )=ea x+ b
a
Puissances réelles d’un réel
Définition : x a=ea ln (x )
Limites
Avec b > a : ex l’emporte sur xb qui l’emporte sur xa qui l’emporte sur ln(x)
limx∞ ex
xb =∞ limx∞ xb
xa =∞ limx∞
xln x=∞
limx→+∞ ( xb
e x )=0 limx→+∞ ( xa
xb)=0 limx→+∞
( ln( x )
x )=0
limx→−∞
( xb e x)=0 (avec b entier) limx→ 0+
( xb
xa)=0limx→0
( xa ln ( x))=0
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