1
( Rotational and rolling motion)
( rigid object )
( pure rotational motion
2
(Angular displacement velocity and acceleration)
O xy P O r
r ( O
q x q r x y
P (arc) s (radian : rad)
O (
z )
3
rs
r
s
6.1a
6.1b
o
o
P Q t (the angular displacement)
if
i = initial : f = final
4
P Q t = tf-ti
f- i
( the average angular speed) (omega bar)
t
itft
if
5
(instantaneous angular speed) w t t
ttotlim
rad/s s- radian
i f t (the average angular acceleration ) ( alpha
t
7
t
t/
dt
d
tt 0lim 6.6
radians/second
8
( angular position) ( angular speed) ( angular acceleration )
v (linear speed) a (linear acceleration)x,v,a
xy
the right hand rule ) a
9
(The rotational motion with constant angular acceleration)
ti = , tf = t integrate dtd
f
i
tt
0
tif6.7
integrate
tidt
d
10
ttdt
f
i
tdtid
00
2
2
1ttiif
t
)(222ifif
6.8
6.9
11
ativfv
2
2
1atatixfx
)(222ixfxaivfv
tif
2
2
1ttiif
)(222ifif
12
. Rotating wheel.
. rad/s ti(a) t = s (b) t = s
(a) 2
2
1ttiif
2
2
1tti
2).2)(2/50.3(2
1)00.2)(/00.2( oossradssrad
rad0.11
reereerad deg630)deg3.57)(11(
13
(b) tif
)00.2)(2/50.3()/00.2( ssradsradf
sradf /00.9
14
The angular and linear quantities)
P
velocity) P
dt
dsv
rs
O P
15
dt
dr
dt
dsv
dt
d
rv 6.10
r v
at P v t
16
dt
dr
dt
dvta
rta 6.11
v /r P
rv
22
rr
vra
6.12
P
a P
rataa ta
17
42422222 rrrrataa 6.13
ar
P a = at + ar
18
. CD playerCD
CD CD
CD
. m/s
A compact disk
19
(a) r = mm track r = mm
track
sradm
sm
ir
vi /5.5631023
/3.1
min/2104.5min/60/2
/5.56revs
revrad
srad
20
track
sradm
sm
fr
vf /4.222108.5
/3.1
min/2101.2min/60/2
/4.22revs
revrad
srad
21
(b) CD
(angular position )
f
sss 4473)33(min)/60min74(
)(2
1fi
tfiif )(2
1
revss
revrev 4108.2)447360
min1min)(/210min/540(
2
10
22
(c ) track
mssmtivfx 3108.5)4473)(/3.1(
Rotational energy )
i mi vi
2
2
1ivimiK
23
r iriv
i i ivirimivimi iKRK 22
2
12
2
1
i irimRK 2)2(2
1
(the moment of inertia) Kg.m
i irimI 26.15
24
2
2
1IRK 6.1
6
( rotation kinetic energy)
v
2
2
1IRK
2
2
1mvE
25
. The oxygen moleculeO xy Z
. x - kg
(a) z
Z d/
2
2
12)2
(2)2
(2 mdd
md
mi irimI
2.461095.1
2)101021.1)(261066.2(2
1
mkg
mkg
26
(b) Z . x
2
2
1IRK
J
sradmkg
211006.2
2)/121060.4)(2.461095.1(2
1
27
. Four rotating masses
28
(a) y
m y ( ri m y)
22222 MaMaMai irimyI
y
222)22(2
12
2
1MaMayIRK
29
m
y
x x
22maxI
22MbK R
(b) xy O ( z )
ri
222222222 mbMambmbMai
MairimzI
2222222 )()22(2
1
2
1mbMambMaIK zR
30
(a) (b)
(a) y
(calculation of moments of inertia)
mintegral i imirI 2 0m
idmrimirm
I 22
0lim 6.1
7
31
V differential
Vm/
dVdm/
dVrI 2
r r
32
Uniform hoopM R
dm O
33
dm r = R z O
222 MRdmRdmrzI
R
34
Uniform rigid rod
y)
y y/
35
dx dm
dxL
Mdxdm
dm r = x
dxL
Lx
L
ML
Ldx
L
MxdmrI
y
2/
2/
22/
2/
22
2
12
12/
2/3
3ML
L
L
x
L
M
36
Uniform solid cylinderR M
z )
I
r dr L dV LrdrLdAdV )2(.
37
4
2
1
0
322 LRR
drrLdmrIz
LR2 LRMVM 2//
2
2
14)2(2
1MRR
LR
MLzI(1)
L
39
the parallel-axis theorem)
2MDCMII 6.18
40
M L y
Question
2
2
1MLCMI
3
3
12)2
(2
2
12 MLL
MMLMDCMII
2
48
7MLI
41
(Torque)
O F
F
FdrFsin6.19
FF
42
r d
d (moment arm)
r O
d
F
sinrd F
F
F
43
O
( counterclockwise )
dO
1F
2F
1F
2F
11dF
22dF
221121 dFdF
44
The net torque on a cylinder
R1F
2F
(a) z )
O RR2F
1F
45
1F
2F
11FR
22FR
221121 FRFR
1F
2F
46
(Relationship between torque and angular acceleration)
tF
rF
47
m r Ft Fr
tmatF
Ft
rtmartF
rta
)2()( mrrmr
48
z
I 6.20
I
O dm
49
dm
dFtta
tadmtdF )(
d dFt
tardmtrdFd )(
rta
)2()( dmrrrdmd
50
integrate ta
dmrdmr 2)2(
O
dmr2
I 6.21
51
(Rolling motion of a rigid object)
( pure rolling motion)
cycloid
52
R
. a) Rs
Rdt
dR
dt
dsCMv
6.22
53
Rs
Rdt
dR
dtCMdv
CMa 6.23
55
P P
translation motion ) ( the rotational motion ) . a
. c
RCMv 22
CMvCMvCMvRCMv 2
2
2
1PIK 6.2
4
IP P
56
2MRCMIPI
22
2
12
2
1MRCMIK
57
RCMv
2
2
12
2
1CMMvCMIK 6.25
2
2
1CMI
2
2
1CMMv
59
RCMv
2
2
12)(2
1CmMV
RCMv
CMIK
2)2(2
1CMvM
RCMI
K 6.26
Mgh h
MghCMvMRCMI 222
1
2/1
2/12
MRCMIgh
CMv
6.27
60
K=
MghgU
gh2
2
5
2MRCMI
61
2/1
7
10
2/1
2
25/21
2gh
MR
MR
ghCMv
x
gh2
sinxh
sin7
102 gxCMv
xCMaCMv 22
sin7
5gCMa
64
CMMafMgxF sin
0cosMgnyF
(1)
x
n Mg
fR
CMIfRCM
65
2
5
2MRCMI RCMa /
CMMaRCMa
R
MR
RCMI
f5
22
5
2
(2)
sin7
5gCMa
a
maF F
F
66
O
r F xy z
z z z z z
F r
sinrF
r F
67
r F
Fr 6.2
8A
B
BA
sinAB A
B
BAC
sinABC
68
cross product
sinAB A
B
C
C
A
B
C
BA
C
A
B
69
cross product
ABBA
6.31
A
B
BA
A
A B
B
BA
ABBA
CABA)CB(A 6.3
2cross product t
Bdt
Ad
dt
BdA)BA(
dt
d
6.33
70
โดยเวกเตอรห์น่วย i , j , k ของการคูณแบบ cross product ปฏิบติัดังกฎเหลา่น้ี
i i j j k k 0 (6.34a)
i j j i k (6.34b)
ijkkj (6.34c)
k i i k j (6.34d)
ผลคูณเวกเตอรข์องเวกเตอรใ์ด ๆ A
และ B
สามารถเขียนใหอ้ยูใ่นรปูแบบของ ดีเทอรม์แินนท์
(determinant form ) ดังน้ี
A B
i j k
A A A
B B B
i
A A
B Bj
A A
B Bk
A A
B Bx y z
x y z
y z
y z
x z
x z
x y
x y
ซึง่ใหผ้ลการค านวณดังน้ีkBABAjBABAiBABABA xyyxxzzxyzzy )()()(
(6.35)
71
ตวัอยา่ง 6.13 ผลคณูแบบ cross product
เวกเตอร ์A i j2 3 และเวกเตอร ์
B i j2 อยูบ่นระนาบ xy จงหา BA
และ
พสิจูน์ว่า A B B A
วิธีท า
จากสมการที ่ 6.34a ถงึ 6.34b จะไดว่้า A B i j i j( ) ( )2 3 2
kkkijji 734))(3()22(
จะเหน็ว่าเทอม i i j j k k 0 ดงัสมการที ่6.34 a
ตอ่ไปจะพสิจูน์ว่า A B B A
B A i j i j( ) ( )2 2 3
)22()3( ijji
3 4 7k k k
ดงัน้ัน
B A k7
เทยีบกบัผลจากสว่นแรกจะไดว่้า
A B B A
เปน็จรงิ
72
(Angular momentum of a particle)
73
m
L
P
r
PrL
m
O
r
v L
P
r
74
PrL
SI kg.m / s
xy
L r P
Pr L
vmP
L
sinmvrL
r P L r P
00 1800 or
r P
6.36
6.37
75
dtPdF /
dt
PdrFr
6.3
8
Pdt
rd
dt
PdrPr
dt
d
dt
Ld
)(
dt
rdv
vmP
76
dt
Pdr
dt
Ld
6.3
9
dt
Ld
6.40
dtPdF /
L
P
P
77
i iLnLLLL
21
dt
Ld
i iLdt
d
i dt
Ldext
6.41
79
(a) O
L
r v
mvromvrL 90sin
xy xy
L
L
vmP
v r PrL
v
L r v L
kmvrL
)( L
80
(b) จงหาขนาดและทศิทางของ L ในเทอมของอตัราเรว็เชงิมมุ
วิธีท า
เน่ืองจาก v r ส าหรบัอนุภาคทีห่มนุเป็นวงกลมจะได้ว่า
L mvr mr I2
เมือ่ I คือโมเมนต์ความเฉ่ือยของอนุภาครอบแกน z ซึง่ผ่านจดุ O เน่ืองจากเป็นการหมนุทวนเข็ม
นาฬิกา
มทีศิตามแกน z ( ดูเน้ือหา 6.1 ) โดย L
มทีศิเดียวกบั
หรอื L I I k
Question kg m/s
81
(Angular momentum of a rotating rigid object)
z
L
IL
z O irivim iriv
82
2irimiL
z
Li
L
i irimi irimzL
22
IzL 6.42
I z I
Idt
dI
dtzdL
6.43
83
dtzdL/
IdtzdL
ext 6.44
IL L
84
kg /s
z z
zL
L
85
2.035.02)12.0)(6(5
22
5
2mkgmkgMRI
)/2)(/10)(2.035.0( revradsrevmkgIL
smkg /2.2.2
87
a)
2
12
1MlI
2mrI
2
22
2
212
12
1 lm
lmMlI
2134
2mm
Ml
)3
(4
21
2
mmMl
IL
88
b)
m = m
m g
22or
Iext
cos211l
gm 1
m g
cos2
122 gm 2
89
O
cos)21(2
121 glmmext
m > mI
ext
Iext
)213/(
cos)21(2
mmMl
gmm
Iext
(vertical position) (horizontal position)
22or or0
Questionm > m
91
vRm1 vRm2 RIvI /
R
vIvRmvRmL 21
(1)
mm g
R gRmext 1
92
dt
dLext
R
vIvRmvRm
dt
dgRm 211
dt
dv
R
I
dt
dvRmmgRm 211(2)
dv/dt = a
2/)21(1
RImm
gma
93
(Conservation of angular moment )
0dt
Ldext
6.45
L
6.46
n
ค่าคงท่ีnL
94
2mrI IL
คา่คงที่fLiL
6.47
Lz z LIzL
คา่คงท่ีfωfIiωiI 6.48
95
( isolated system)
fUfKiUiK
fPiP
fLiL
97
supernova km
km4101
98
T TI
rT
2
2
4101
0.3)30(2
2
km
kmdays
ir
fr
iTfT
sdays 23.06107.2
99
(the Merry-Go-Round)
M = kg R =
. rad/s r = . m
100
IS
22
2
1mRMRSiIPiIiI
r < R
22
2
1mrMRsfIpfIfI
R Ipf
101
ffIiiI
fmrMRimRMR 22
2
122
2
1
imrMR
mRMR
f 22
2
1
22
2
1
sradsradf /1.4/0.215200
240200
103
iL
whellLiLsystemL
iLwhellinvertedL
104
iL
iLstoolstudentLiLfL
iLstoolstudentL
2
105
/s
(a) (b)
(a) )(222
ifif
2
2222
/47)2)(60(2
)2)(/30(0
)(2srad
radsrev
if
if
(b) tif
s
t if
447
)2)(30(0
106
s /s
(a) (b)
(a) tif
t
if
2/86.07
/60srev
s
srev
22 /38.5)/86.0)(2( sradsrev
107
(b) t
revssrevsrev
tif 21)7(2
)/6/0(
2
radrev 132)21)(2(
kg cm
222 .96.0)4.0)(6( mkgmkgMrI
2
2
1I
sradรอบradsรอบ /4.31)/2)(60min/1min)(/300(
JsradmkgKE 4732)/4.31)(2.96.0(2
1
108
II
2211II
21
11
II
I
109
kg m/s
2.2106.1 mkg
2
2
12
2
1mvIKE
2
2
22 )/4)(4(2
1
1.0
/4).106.1(
2
1smkg
m
smmkg
J8.44
kg . m . rad /s
smkgsradmkgmrIL /2.36.0)/0.6(2)2)(3(2
12
2
1
110
http://www.lehigh.edu/~jcl3/lecture.html
2. http://www.pas.rochester.edu/~tipton/p121-1n.pdf
3. http://www.udayton.edu/~amophys/125/fift/fift.html
4. http://www.rockpile.phys.virginia.edu/arcoo/arch16.pdf
5. http://www.webcomposer.pace.edu/moremland/hs-physics/hs-phys-lec8.html