O V XC SUT - CH 1 1
Chng ta cn, ong, o, m . . . , nhng c baogi chng ta ngh n cu hi sau: c phi chng ta cth cn, ong, o, m c mi th ? C phi chngta o c di ca mi tp hp con trong ?
TP O C - O DNGHM S O C
ng Lebesgue ch ra c cc tp con trong khngth no o c theo cch o thng thng.
Cho l mt tp hp khc trng. thc hin mtphp o trn , trc ht chng ta phi xc nh cci tng o : mt h tp con ca .
Ta s dng ch o ch vic cn, ong, o, m . ..
O V XC SUT - CH 1 2
P( ) l h tt c cc tp con ca , v M l mt tpcon ca P( ).Gi s M l h tt c cc i tng trong mt php o.
Ta thy tp rng o c v c o l khng. Nn lun l mt phn t ca M .Ta thy tp o c v c o ln nht trong cc o ca cc phn t trong M . Nn lun l mtphn t ca M v c th c o l . Th d dica l .
O V XC SUT - CH 1 3
Gi s M l h tt c cc i tng trong mt phpo. Cho A v B trong M , ngha l A v B c th oc. Nu A v B ri nhau, ta phi c C = A B cng c th o c.
A B
Nu m(A) v m(B) l o ca A v B , thm(A B ) = m(A) + m(B ).
O V XC SUT - CH 1 4
Dng qui np ton hc ta c cng thc sau
1( ) ( )
n
ii
m A m A=
=
Cho A1 , . . ., An l n tp ri nhau trong M. t
1
nii
A A==
O V XC SUT - CH 1 5
L lun tng t nh trong nh ngha ca chuis, ta c th chp nhn A M v
1( ) ( )i
im A m A
==
Cho A1 , . . ., An , . . . l mt h m c cc tp rinhau trong M. t
1 iiA A==
O V XC SUT - CH 1 6
Nay cho l mt h cc tp ri nhau trong M, v . Ta c th tnh o ca A da trncc o ca Ai hay khng ?
{ }i i IA ii I
A A=
Nu I = [0,1] v Ai = {i} i I . Ta thy dica mi Ai bng 0 , v di ca A bng 1.
Nh vy vn tnh o ca phn hp mt h btk cc tp con da trn cc o ca tng tp con khng n gin . Ta s thy s m c ca I rtc ngha trong l thuyt o.
O V XC SUT - CH 1 7
T cc nhn xt trn chng ta xt cc nh ngha trongl thuyt o sau.nh ngha. Cho M l mt h cc tp con ca mttp khc trng . Ta ni M l mt -i s trong nu M c cc tnh cht sau(D1) M . (D2) \ A M A M .
(D3) {An } M .1
nn
A=
M
Lc ta ni (,M) l mt khng gian o c. NuA M , ta ni A l mt tp con M-o c trong .
O V XC SUT - CH 1 8
Bi ton 1.1. Cho (, M) l mt khng gian oc. Cho A1 , A2 , . . ., Am , M . t
Chng minh A l mt tp con M-o c trong .1
m
nn
A A=
=
(D3) {An } M .1
nn
A=
M
(D3) {Bn } M .1
nn
B=
M
{A1 , A2 , . . ., Am } M .1
nn
mA
= M
O V XC SUT - CH 1 9
(D3) {Bn } M .1
nn
B=
M
{A1 , A2 , . . ., Am } M .1
nn
mA
= M
(D3)
{B1 , B2 , . . ., Bm, Bm+1 , Bm+2 , . . . } M .1
nn
B=
M
{A1 , A2 , . . ., Am } M .1
nn
mA
= M
t B1 = A1 , B2 = A2 , . . ., Bm = Am,
Bm+1 = , Bm+2 = , . . .
O V XC SUT - CH 1 10
Bi ton 1.2. Cho (, M) l mt khng gian oc. Cho A, B M . Chng minh A B l mt tpcon M-o c trong .(D1) M . (D2) \ A M A M .
(D3) {An } M .1
nn
A=
M
Bin giao thnh hi : \( A B) = ( \ A) ( \ B) : A B = \ [ \( A B) ]
O V XC SUT - CH 1 11
nh ngha. Cho (,M) l mt khng gian o c, v cho l mt nh x t M vo [0 , ]. Ta ni l mt o dng trn M nu c cc tnh sau
(ii) c B trong M cho (B) <
(i) (COUNTABLE ADDITIVE) Nu {An } l mtdy cc phn t ri nhau trong M th
11
( ) ( )n nnn
A A ==
=
Ta thng dng (, M, ) ch mt tp hp khctrng, mt -i s M, trong v mt dng trn M . Ta cng gi (, M, ) l mt khng gian oc
O V XC SUT - CH 1 12
Bi ton 1.3. Cho mt khng gian o c (, M, ). Chng minh () = 0 .
(ii) c B trong M cho (B) <
(i) (COUNTABLE ADDITIVE) Nu {An } l mtdy cc phn t ri nhau trong M th
11
( ) ( )n nnn
A A ==
=
t A1 = B , A2 = , A3 = , A4 = , . . ..
1 11
( ) ( ) ( ) lim ( )
lim[ ( ) ( 1) ( )] ( ) lim[( 1) ( )]
m
n n nmn nn
m m
B A A A
B m B m
= ==
= = == + = +
O V XC SUT - CH 1 13
(i) (COUNTABLE ADDITIVE) Nu {An } l mtdy cc phn t ri nhau trong M th
11
( ) ( )n nnn
A A ==
= t Am+1 = , Am+2 = , . . .
Bi ton 1.4. Cho (, M,) l mt khng gian oc. Cho A1 , A2 , . . ., Am l cc tp ri nhau trongM. Chng minh
11
( ) ( )m m
n nnn
A A ==
=
O V XC SUT - CH 1 14
Bi ton 1.5. Cho mt khng gian o c (, M,). Cho C v D trong M. Gi s C D . Chng minh (C) (D) .t A = C v B = D \ C
A B = A B = D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D A B A B A C = = + =
C D ABC D AB
O V XC SUT - CH 1 15
C mt -i s M v mt o dng trnkhng gian n c cc tnh cht sau(i) Cc tp m v tp ng trong n l cc phn tca M (ii) Cho E M sao cho (E) < . Lc vi mi
> 0, c mt tp ng F v mt tp m U trong n ccc tnh cht sau: F E U , v (U \ F ) < .
O V XC SUT - CH 1 16
(iii) Cho E l mt tp con ca n sao cho c A v B trong M sao cho : A E B , v (B \ A ) = 0 . Lc E M .(iv) ([a1,b1] [an,bn]) = (b1 - a1) (bn - an)
a
b
1
2
3
1a
a
b
b
3
2
O V XC SUT - CH 1 17
(v) (E + a) = (E) E M , a n .
(vi) (cE) = c(E) E M , c (0, ).
nh ngha 1.1. Ta gi M v ln lt l -i sLebesgue v o Lebesgue trn n .
aE E + a
E c EO
O V XC SUT - CH 1 18
(D1) n M . (D2) n \ A M A M .(D3) {An } M .
1n
n
A=
M
Bi ton 1.6. Cho l mt tp hp Lebesgue oc khc trng trong n. t
N = { A M : A }.Chng minh N l mt -i s trong .(D1) N . (D2) \ A N A N .(D3) {An } N .
1n
n
A=
N
O V XC SUT - CH 1 19
(D1) M . (D1) N .
(D1) X N = { A M : A }.
(D2) \ A N A N .(D2) n \ A M A M .
\ A = { x : x v x A } = (n \ A )
O V XC SUT - CH 1 20
(D3) {An } M .1
nn
A=
M
(D3) {An } N .1
nn
A=
N
(D3) Cho An sao cho An M, n . Chngminh
1 1
n nn n
A v AX= =
M
(D3) Cho An M, n . Ta c1
nn
A=
M
O V XC SUT - CH 1 21
Bi ton 1.7. Cho l mt tp hp Lebesgue oc khc trng trong n. t N = { A M : A } v (A) = (A) A N.Chng minh l mt o dng trong khng giano c ( , N) .
(ii) c B trong M cho (B) <
(i) Nu {An } l mt dy cc phn t ri nhau trongM ta c
11
( ) ( )n nnn
A A ==
=
(ii) c B trong N cho (B) <
(i) Nu {An } l mt dy cc phn t ri nhau trongN chng minh
11
( ) ( )n nnn
A A ==
=
O V XC SUT - CH 1 22
Bi ton 1.7. Cho l mt tp hp Lebesgue oc khc trng trong n. t N = { A M : A } v(A) = (A) A NChng minh l mt o dng trong khng giano c ( , N) .nh ngha . o dng c gi l oLebesgue trong khng gian o c ( , N) .
O V XC SUT - CH 1 23
Cho l mt hnh ch nht trn c bn thgii, M l Lebesgue -i s trn .
A A
B B
Vi mi E M , ta t (E) l o Lebesgue ca E, v (E) l din tch tht s phn trn tri t m nc v ra. Ta thy (A) = (B) nhng (A) (B) .
Vic ny cho thy c nhiu o khc nhau trn M