C’e’ uno qui che
se stanotte LUI ha ricevuto in regalo una Ferrari da Santa Lucia
tutti stanotte hanno ricevuto in regalo una Ferrari da Santa Lucia
492
17. Lezione Corso di Logica 2019/2020
13 dicembre 2019
Maria Emilia Maietti
ricevimento: martedı ore 17.30-19.30
email: [email protected]
493
Precisazione su uso variabile vincolata
nel formalizzare frasi in lingua corrente
il nome della variabile vincolata x e irrelevante
nel senso che
puo essere cambiato
a patto di usare una variabile NUOVA
494
Irrelevanza nome della variabile nel formalizzare
il nome della variabile nella semantica di un predicato atomico
e irrelevante
nel senso che ciascun enunciato formale
∀x A(x) ∀y A(y) ∀z A(z)
e una corretta formalizzazione di
“Tutti sono alti”
ponendo
A(x) =x e alto
indipendentemente dall’uso di x o y o z nel definire il significato di A(x)
(che abbiamo descritto usando x ma che potevamo scrivere con y o altra variabile...!)
495
Irrelevanza nome di una variabile vincolata
la variabile vincolata serve solo come puntatore
perche il nome della variabile vincolata x puo essere cambiato
a patto di usare una variabile NUOVA
Motivo: se z non compare in fr allora sono derivabili
⊢ ∀x fr↔∀z fr[x/z] ⊢ ∃x fr↔∃z fr[x/z]
e lo si vede anche nella sua semantica!!
496
Irrelevanza nome della variabile nella semantica di un predicato
il nome della variabile nella semantica di un predicato atomico
e irrelevante
nel senso che
A(x)D(−) : D −→ {0, 1}
e definita a meno del nome di x ovvero
conveniamo che
per ogni dεD
A(x)D(d) = A(y)D(d) = A(z)D(d)
497
testimoni e falsari...
Nell’interpretazione dei predicati nei modelli
conveniamo di usare questa terminologia
testimone = elemento che rende vera una quantificazione esistenziale ∃
falsario = elemento che rende falsa una quantificazione universale ∀
498
testimoni per verificare una quantificazione esistenziale
∃x fr(x) e vera nel modello D con dominio D
ovvero (∃x fr(x))D = 1
sse
ESISTE d ∈ D TESTIMONE
tale che fr(x)D(d) = 1
499
falsari per falsificare una quantificazione universale
un enunciato (senza variabili libere)
∀x fr(x) e FALSO in un modello D con dominio D
ovvero (∀x fr(x))D = 0
se e solo se
ESISTE almeno un dεD detto falsario
tale che fr(x)D(d) = 0
500
TUTTI falsari per falsificare una quantificazione esistenziale
un enunciato (senza variabili libere)
∃x fr(x) e FALSO in un modello D con dominio D
ovvero (∃x fr(x))D = 0
se e solo se
TUTTI i dεD sono falsari
tale che fr(x)D(d) = 0
501
Cosa vuol dire falsificare una formula con variabili libere?
una formula con variabili libere
fr(y1, . . . , yn) e FALSA in un modello D con dominio D
se e solo se
ESISTONO (d1, . . . , dn)εDn detti falsari
tale che fr(y1, . . . , yn)D(d1, . . . , dn) = 0
502
Formalizzare e Derivare
C’e’ uno qui che
se LUI ha ricevuto in regalo una Ferrari
tutti hanno ricevuto in regalo una Ferrari
usando
R(x)=”x ha ricevuto in regalo una Ferrari ”
503
Formalizzazione
C’e’ uno qui che
se LUI ha ricevuto in regalo una Ferrari
tutti hanno ricevuto in regalo una Ferrari
usando
R(x)=”x ha ricevuto in regalo una Ferrari”
si puo formalizzare in tal modo
∃x (R(x)→∀x R(x) )
504
Tautologia controintuitiva!!
∃x (R(x)→∀x R(x) ) e una TAUTOLOGIA molto controintuitiva!!
e la si provi a derivare in LC=.....!!!
insistendo e riprovando con regole sicure e NON veloci...
505
spiegazione della Tautologia controintuitiva!!
∃x (R(x)→∀x R(x) ) e una TAUTOLOGIA molto controintuitiva!!
ma se si ricorda che
l’implicazione classica
R(x)→∀x R(x) e equivalente a ¬R(x) ∨ ∀x R(x)
ne segue che l’enunciato di partenza e equivalente a
∃x ( ¬R(x) ∨ ∀x R(x) )
che e chiaramente una tautologia!!
506
spiegazione della Tautologia controintuitiva!!
“ C’e’ uno qui che se LUI ha ricevuto in regalo una Ferrari
tutti hanno ricevuto in regalo una Ferrari”
tradotto in ∃x (R(x)→∀x R(x) )
e equivalente (!!!!) a dire che
“ C’e’ uno qui che o LUI NON ha ricevuto in regalo una Ferrari
oppure tutti hanno ricevuto in regalo una Ferrari ”
tradotto in ∃x ( ¬R(x) ∨ ∀x R(x) )
507
spiegazione della Tautologia controintuitiva!! con modelli
se ∃x (R(x)→∀x R(x) ) e una TAUTOLOGIA molto controintuitiva!!
deve essere vera in OGNI modello
e vediamo perche...
508
spiegazione della Tautologia controintuitiva!! con modelli
fissato un modello con dominio D (NON vuoto per def.!!!)
con R(x)D(−) : D −→ {0, 1}
distinguiamo 2 casi:
1. ( ∀x R(x) )D = 1 (= tutti hanno ricevuto la Ferrari!!)
2. ( ∀x R(x) )D = 0 (= NON tutti hanno ricevuto la Ferrari!!)
509
spiegazione della Tautologia controintuitiva!! I caso
fissato un modello con dominio D (NON vuoto per def.!!!)
con R(x)D(−) : D −→ {0, 1}
nel caso
1. ( ∀x R(x) )D = 1 (= tutti hanno ricevuto la Ferrari!!)
possiamo prendere come TESTIMONE della quantificazione esistenziale
( ∃x (R(x)→∀x R(x) ) )D = 1
un qualsiasi d in D (visto che D NON e vuoto c’e di sicuro!!!)
per cui vale
(R(x)→∀x R(x) )D(d) = (R(x) )D(d)→ ( ∀x R(x) )D = 1 → 1 = 1
510
spiegazione della Tautologia controintuitiva!! II caso
fissato un modello con dominio D (NON vuoto per def.!!!)
con R(x)D(−) : D −→ {0, 1}
nel caso
2. ( ∀x R(x) )D = 0 (= NON tutti hanno ricevuto la Ferrari!!)
quindi esiste un falsario d che NON ha ricevuto la Ferrari
ovvero per cui vale (R(x) )D(d) = 0
e che possiamo scegliere come TESTIMONE della quantificazione esistenziale
( ∃x (R(x)→∀x R(x) ) )D = 1
PERCHE vale
(R(x)→∀x R(x) )D(d) = (R(x) )D(d)→ ( ∀x R(x) )D = 0 → 0 = 1
511
spiegazione della Tautologia controintuitiva!!
“ C’e’ uno qui che se LUI ha ricevuto in regalo una Ferrari
tutti hanno ricevuto in regalo una Ferrari”
tradotto in ∃x (R(x)→∀x R(x) )
NON e equivalente a dire che
“Se c’e’ uno qui che ha ricevuto in regalo una Ferrari
allora tutti hanno ricevuto in regalo una Ferrari”
tradotto in ∃x R(x)→∀x R(x)
512
Procedura per classificare un sequente in LC=
Dato un sequente Γ ⊢ ∆ (senza variabili libere):
passo 1: si prova a derivare Γ ⊢ ∆ in LC= secondo vademecum
se si deriva ⇒ Γ ⊢ ∆ e tautologia
se NON riesci a derivare vai al passo 2
passo 2: costruisci un contromodello della foglia che NON riesci a derivare
e controlla che lo sia anche del sequente radice
quindi Γ ⊢ ∆ NON e tautologia e poi vai al passo 3
passo 3: prova a derivare ⊢ ¬( Γ&→ ∆∨ ) in LC= secondo vademecum
se ⊢ ¬( Γ&→ ∆∨ ) si deriva ⇒ Γ ⊢ ∆ e un PARADOSSO
se NON riesci a derivare ⊢ ¬( Γ&→ ∆∨ ) applica il passo 2 al sequente ⊢ ¬( Γ&
→ ∆∨ )
se hai un contromodello per ⊢ ¬( Γ&→ ∆∨ ) ⇒ hai un modello per Γ ⊢ ∆
⇒Γ ⊢ ∆ e OPINIONE
513
Classificare il sequente
∃x R(x)→∀x R(x)
che traduce
“Se c’e’ uno qui che ha ricevuto in regalo una Ferrari
allora tutti hanno ricevuto in regalo una Ferrari”
ponendo
R(x)=”x ha ricevuto in regalo una Ferrari”
514
Applichiamo la procedura e andiamo a derivare
R(w) ⊢ R(z)
∃xR(x) ⊢ R(z)∃−D
∃xR(x)⊢∀xR(x)∀−D
⊢ ∃xR(x)→∀xR(x)→−D
ove la prima applicazione di ∀−D e corretta poiche z non compare nel sequente radice
e cosı pure l’ultima applicazione di ∃−D e pure corretta perche w NON compare proprio
e l’ultima foglia suggerisce di costruire
un contromodello con 2 elementi:
uno (al posto di w) che ha ricevuto la Ferrari!!!
uno (al posto di z) che NON ha ricevuto la Ferrari!!!
515
Contromodello
secondo i suggerimenti ricevuti nella ricerca di una derivazione alternativa
un contromodello Dcontra di ∃xR(x)→∀xR(x)
e ad esempio
Dcontra= { Topolino , Minni }
R(x)Dcontra (d)=1 sse d e femmina
e in tal modello (∀xR(x))Dcontra = 0 perche Topolino non e una femmina
(∃xR(x))Dcontra = 1 perche R(x)D1 (Minni) = 1
quindi ( ∃xR(x)→∀xR(x) )Dcontra = 1 → 0 = 0
516
opinione o paradosso?
il contromodello Dcontra ci dice che ∃x R(x)→∀x R(x) NON e tautologia
e secondo la procedura per stabilire se e opinione o paradosso
proviamo a derivare la sua negazione in tal modo
⊢ R(x),∃x R(x)
⊢ ∃x R(x)∃−D
∀xR(x) ⊢
∃x R(x)→∀x R(x) ⊢→ −S
⊢ ¬( ∃x R(x)→∀x R(x) )¬−D
e concentrandosi sul ramo di sx si vede che si va avanti all’infinito con ∃−D SENZA riuscire a derivarlo
⇒ conviene fermarsi a falsificare ⊢ R(x),∃x R(x)
e basta un solo elemento per x che NON ha ricevuto la Ferrari!!
che rende falso R(x) e quindi ∃x R(x)
517
Un Contromodello della negazione dell’enunciato di partenza
un contromodello Dcontraneg di ¬( ∃x R(x)→∀x R(x) )
e un modello di ∃x R(x)→∀x R(x)
e seguendo i suggerimenti ottenuti dalla ricerca della derivazione precedente
si puo costruire in tal modo:
Dcontraneg= { Minni }
R(x)Dcontraneg (d)=1 sse d e maschio
e in tal modello (∀xR(x))Dcontraneg = 0
perche Minni NON e un maschio
siccome c’e solo Lei (∃xR(x))Dcontraneg = 0
quindi ( ∃x R(x)→∀x R(x) )Dcontraneg = 0 → 0 = 1
ovvero ( ¬( ∃x R(x)→∀x R(x) ) )Dcontraneg = 0
518
contromodello della negazione alternativo
in alternativa nella derivazione
⊢ ∃x R(x)
∀x R(x) , R(x) ⊢
∀x R(x) ⊢∀−S
∃x R(x)→∀x R(x) ⊢→ −S
⊢ ¬( ∃x R(x)→∀x R(x) )¬−D
possiamo concentrarci sul ramo di dx dove si vede che si va avanti all’infinito con ∀−S SENZA riuscire a derivarlo
⇒ conviene fermarsi a falsificare ∀x R(x), R(x) ⊢
e basta un contromodello con un solo elemento per x che ha ricevuto la Ferrari!!
che rende vero R(x) e quindi ∀x R(x)
519
Un Contromodello della negazione dell’enunciato di partenza
secondo i suggerimenti ricevuti nella ricerca di una derivazione alternativa
un altro contromodello Dcontraneg2 di ¬( ∃x R(x)→∀x R(x) )
che e un modello di ∃x R(x)→∀x R(x)
e quindi ad esempio
Dcontraneg2= { Minni }
R(x)Dcontraneg2(d)=1 sse d e femmina
e in tal modello (∀xR(x))Dcontraneg2 = 1
perche Minni e una femmina e c’e solo lei nel modello!!
e a maggior ragione (∃xR(x))Dcontraneg2 = 1
quindi ( ∃xR(x)→∀xR(x) )Dcontraneg2 = 1 → 1 = 1
ovvero ( ¬( ∃xR(x)→∀xR(x) ) )Dcontraneg2 = 0
520
quindi
grazie al contromodello Dcontra
e al modello DcontraNeg (oppure al modello DcontraNeg2!!)
concludiamo che
∃x R(x)→∀x R(x)
e un’ OPINIONE
521
Esempio di formalizzazione
Ciascuno possiede cio che non ha perduto.
Nessuno ha perduto un miliardo.
Tutti possiedono un miliardo.
usando
P (x, y)=”x possiede y”
E(x, y)= “x ha perduto y”
m=”un miliardo”
si puo formalizzare in tal modo
∀x ∀y ( ¬E(x, y)→ P (x, y) ) , ¬∃x E(x,m) ⊢ ∀x P (x,m)
522
Esempio di applicazione regole derivate + indebolimento in LC=
derivazione con uso di regole veloci e derivate:
¬-axdx2
⊢ ¬E(w,m) , E(w,m) , P (w,m)
ax-id
P (w,m) ⊢ E(w,m) , P (w,m)
¬E(w,m)→ P (w,m) ) ⊢ E(w,m) , P (w,m)→−S
¬E(w,m)→ P (w,m) ) ⊢ ∃x E(x,m) , P (w,m)∃−Dv
∀y ( ¬E(w, y)→ P (w, y) ) ⊢ ∃x E(x,m) , P (w,m)∀−Sv
∀x ∀y ( ¬E(x, y)→ P (x, y) ) ⊢ ∃x E(x,m) , P (w,m)∀−Sv
∀x ∀y ( ¬E(x, y)→ P (x, y) ) , ¬∃x E(x,m) ⊢ P (w,m)¬−S
∀x ∀y ( ¬E(x, y)→ P (x, y) ) , ¬∃x E(x,m) ⊢ ∀x P (x,m)∀−D
ove ∀−D e corretta perche w non compare libera nel sequente radice.
523
Esempio di tautologia controintuitiva
Ciascuno possiede cio che non ha perduto.
Nessuno ha perduto un miliardo.
Tutti possiedono un miliardo.
usando
P (x, y)=”x possiede y”
E(x, y)= “x ha perduto y”
m=”un miliardo”
si puo formalizzare in tal modo
∀x ∀y ( ¬E(x, y)→ P (x, y) ) , ¬∃x E(x,m) ⊢ ∀x P (x,m)
e siccome si deriva in LC= e una tautologia !!!
524
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