49
第三章 矩阵
§1 矩阵的概念
定义 1.1.3 由 mn 个数 njmiaij 1,1 ,排成 m 个横行 n 个竖列的数表
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
,
称为 m 行 n 列矩阵或 nm 矩阵,简称矩阵。
特别地,当矩阵的行数与列数相等均为 n 时,则该矩阵称为 n 阶方阵或方阵。
矩阵一般用英文大写字母 ,,, CBA 表示,或简记为 nmijnm aA )(, 等。
注意 矩阵与行列式的区别,矩阵是一张表,行列式是一个数。
定义 2.1.3 设 klijnmij bBaA )(,)( ,若 knlm , ,则 A 与 B 称为同型矩
阵;进一步,若 njmiba ijij 1,1 ,则称 A 与 B 相等,记作 BA 。
常见的特殊矩阵
(1)零矩阵 元素全为0 的 nm 矩阵,记作 nmO 或O 。
(2)单位矩阵 主对角线上元素全为1,其余元素全为 0 的 n 阶方阵,记作 nE 或
E 。
(3)对角矩阵 除了主对角线上元素外,其余元素全为0 的n 阶方阵。
(4)数量矩阵 主对角线上元素全为a ,其余元素全为 0 的n 阶方阵。
(5)阶梯形矩阵 矩阵的零行(若有的话)出现在矩阵的 后几行,矩阵的非零行
中第一个非零数前面的 0 的个数自上而下逐行增加的 nm 矩阵。
(6)简化阶梯形矩阵 矩阵的非零行中第一个非零数全为1,且非零行中第一个1
所在的列的其余元素全为 0 的阶梯形矩阵。
50
§2 矩阵的运算
一、加法
定义 1.2.3 设 ,)( nmijaA nmijbB )( ,称 nmijij ba )( 为 BA, 的和,记作 BA 。
性质 1.2.3 设 CBA ,, 均为 nm 矩阵,则
(1)(交换律) ABBA ;
(2)(结合律) )()( CBACBA ;
(3) AOA nm 。
二、数乘
定义 2.2.3 设 nmijaA )( , k 为一个数,称 nmijka )( 为 k 和 A 的乘法,简称数
乘,记作 kA。
性质 2.2.3 设 BA, 均为 nm 矩阵, lk, 均为数,则
(1) lAkAAlk ;
(2) kBkABAk ;
(3) AkllAk ;
(4) AA 1 。
注 设 BA, 均为 nm 矩阵,称 B)1( 为 B 的负矩阵,记作 B ;称 )( BA 为
BA, 的差,记作 BA ,即 )( BABA 。
三、乘法
定义 3.2.3 设 ,)( kmijaA ,)( nkijbB 令 ,)( nmijcC 其中 ,1
lj
k
lilij bac
),,2,1,,,2,1( njmi ,则称C 为 BA, 的积,记作 ABC 。
定义分析
51
(1)要使 AB 有意义必须 A 的列数与 B 的行数相等;
(2)设 )( ijcABC ,则C 的行数就是 A 的行数,C 的列数就是 B 的列数,
且 ijc 为 A 的第 i 行元素与 B 的第 j 列对应元素乘积之和。
例 1.2.3 设
4
1
2
,521 ,计算: 和 。
解 20)20(
4
1
2
521
,
2084
521
1042
521
4
1
2
性质 3.2.3 设 CBA ,, 分别为 nttssm ,, 矩阵, k 是一个数,则
(1)(结合律) )()( BCACAB ;
(2) ACABCBA )( , BCACCBA )( ;
(3) )()()( ABkkBABkA ;
(4) AAEAE sm ; vmvssumu OAOOAO , 。
注意
(1)矩阵乘法不满足交换律,即一般 BAAB ;
反例:设
11
10,
10
11BA ,则
11
01AB ,
01
10BA ,
故 BAAB 。
(2)存在零因子,即 OBOA , ,有可能 OAB ;
反例:设 OBOA
10
00,
00
01,但 OAB
00
00。
(3)矩阵乘法不满足消去律,即若 OAACAB , ,则一般 CB 。
52
反例:设
01
00,
10
00,
00
01CBOA ,则 ACAB
00
00,但
CB 。
四、矩阵的方幂与矩阵多项式
定义 4.2.3 设 A 是方阵, k 是正整数,规定:
AAAAAAEA k ,, 1 (即 k 个 A 连乘)。
设 mmm axaxaxf 1
10)( 为多项式,则称矩阵 AaAaAa mmm 1
10
为矩阵 A 的多项式,记作 )(Af 。
性质 4.2.3 设 A 是方阵, lk, 是非负整数, )(),( xgxf 是两个多项式,则
(1) kllklklk AAAAA )(, ;
(2)设 )()()( xgxfx , )()()( xgxfx ,则
)()()( AgAfA )()()( AgAfA ;
(3) )()()()( AfAgAgAf 。
注意
(1)若 A 不是方阵,则 kA 无意义;
(2) kkk BAAB )( 不一定成立;
(3)即使 BA, 是同阶方阵,下列等式一般也不成立:
))((22 BABABA ;
222 2)( BABABA 等等。
思考题 两个同阶方阵 BA, 满足什么条件时,上述等式成立。
例 2.2.3 设
011
213
112
A , 1)( 2 f ,求 )(Af 。
解 EAAAf 2)(
53
100
010
001
011
213
112
011
213
1122
212
307
315
。
五、转置
定义 5.2.3 设 nmijaA )( 为 m 行 n 列矩阵,称 n 行 m 列矩阵 mnjia )( 为 A 的转置
矩阵,记作 A或 TA 。
性质 5.2.3
(1) AA TT )( ;
(2) TTT BABA )( ;
(3) TT kAkA )( ;
(4) TTT ABAB )( 。
只证性质(4):设 ,)( kmijaA ,)( nkijbB ,显然 TAB)( 与 TT AB 均为 mn 矩
阵;
TAB)( 中第 i 行第 j 列元素
AB 中第 j 行第 i 列元素
A 的第 j 行元素与 B 的第 i 列元素对应乘积之和
B 的第 i 列元素与 A 的第 j 行元素对应乘积之和
TB 的第 i 行元素与 TA 的第 j 列元素对应乘积之和
TT AB 中第 i 行第 j 列元素,
故 TTT ABAB )( 。
六、方阵行列式
54
定义 6.2.3 设 nijaA )( 为 n 阶方阵,则称 n 阶行列式nija 为 A 的行列式,记作
A 。
性质 6.2.3 设 BA, 均为 n 阶方阵, k 为一个数,则
(1) AAT ;
(2) AkkA n ;
(3) BAAB 。
§3 矩阵的秩与矩阵的初等变换
一、矩阵的秩
问题 1 什么叫做矩阵的秩?
定义 1.3.3 在一个 nm 矩阵 A 中任意选定 k 行和 k 列,位于这些选定的行和列
的交叉点上的 2k 个元素按原来的次序所组成的 k 阶行列式,称为 A 的一个 k 阶子
式。
注(1)设 A 为 nm 矩阵, A 有一个 k 阶子式,则 ),min( nmk ;
(2)若矩阵 A 有一个 k 阶子式,则 A 的 k 阶子式不一定唯一;
(3)若 A 是 n 阶矩阵,则 A 的 n 阶子式只有一个,即 A ;
(4)矩阵 A 的每一个元素都可视为 A 的一阶子式。
定义 2.3.3 非零矩阵 A 中的非零子式的 大阶数称为矩阵的秩;特别规定零矩
阵的秩为零。矩阵 A 的秩记为秩 )(A 或 )(Ar 。
注 秩 ),min()( nmA nm 。
例 1.3.3 求下列矩阵的秩:
4113
192,
213
032
241
,
1200
1210
1211
。
55
命题 1.3.3 设 A 为矩阵,则 OA 的充要条件是秩 1)( A 。
命题 2.3.3 设 A 为 n 阶方阵,则秩 nA )( 的充要条件是 0A 。
定理 1.3.3 设 A 是一个 nm 非零矩阵,则秩 rA )( 当且仅当 A 中有一个 r 阶
子式不为零,但其所有 1r 阶子式(若存在的话)全为零。
证明:必要性证明是显然的。下证充分性:
由行列式按行(列)展开定理知,若 A 中所有 1r 阶子式全为零,则 A 中所
有 2r 阶子式全为零,从而所有 3r 阶子式全为零,一直如此下去,于是 r 是 A 中
的非零子式的 大阶数,故秩 rA )( 。
例 2.3.3 求矩阵
2533603
3200110
1333513
1112211
0241302
的秩。
显然用矩阵的定义或定理 1.3.3 求该矩阵的秩,比较麻烦。
问题 2 求矩阵的秩,有没有更简单的方法?
答:有,利用矩阵的初等变换。
二、矩阵的初等变换
问题 3 什么叫做矩阵的初等变换?
定义 3.3.3 下列三种矩阵变换都称为矩阵的初等变换:
1.(换法变换)交换矩阵中某两行(列)位置;
2.(倍法变换)用一非零数乘以矩阵的某一行(列);
3.(倍加变换)矩阵的某一行(列)乘以数 c 以后加到另一行(列)中去。
若矩阵 A 经过初等变换变为 B ,则记 BA 。
定理 2.3.3 初等变换不改变矩阵的秩。
56
证明见下章。
命题 3.3.3 设 A 为阶梯形矩阵,则秩 AA )( 的非零行行数。
三、求矩阵秩的方法-化阶梯形矩阵
命题 4.3.3 设 A 是一个 nm 矩阵,则可以经过若干次行初等变换,将 A 化为
阶梯形矩阵;进一步,可以经过若干次行初等变换将 A 化为简化的阶梯形矩阵。
例 2.3.3 的解 显然
2533603
3200110
1333513
1112211
0241302
0000000
0000000
4463300
3200110
1112211
,
故该矩阵的秩是3 。
§4 矩阵的逆
大家所熟知的数的四则运算:加法、减法、乘法和除法,在§2 中,我们已引
入了矩阵的加法、减法和乘法,矩阵有除法运算,我们先回忆一下数的除法,实
际上数的除法不是一个独立运算,它是可通过引入数的逆元(即倒数)后用乘法
来实现的。一个数b 称为数 a 的逆元(即倒数),如果满足 1 baab ,下面我们
仿照数的逆元的定义来引入可逆矩阵和逆矩阵的概念。
一、概念与基本性质
定义 1.4.3 设 A 为n 阶矩阵,若存在 n 阶矩阵 B ,使得 nEBAAB ,则称 A 为
可逆矩阵, B 为 A 的逆矩阵。
定义分析 若 B 为 A 的逆矩阵,则 A 也为 B 的逆矩阵。
命题 1.4.3 若 A 为可逆矩阵,则 A 的逆矩阵是唯一的。
57
证明 设 21 , BB 都是 A 的逆矩阵,则 )2,1( iEABAB ii ,于是
22212111 )()( BEBBABABBEBB ,
故 A 的逆矩阵是唯一的。
注 记可逆矩阵 A 的逆矩阵为 1A ,于是
nEAAAA 11 。
命题 2.4.3 设 A 是可逆矩阵,则
(1) 1A 也是可逆矩阵且 AA 11)( ;
(2) TA 也是可逆矩阵且 TT AA )()( 11 ;
(3)若B 是与 A 同阶的可逆矩阵,则 AB 也是可逆矩阵且 111)( ABAB ;
(4)若 k 是非零数,则 kA是可逆矩阵且 111)( AkkA 。
证明 已知 A 是可逆矩阵,即 nEAAAA 11 ,因为
nn EEAAkkAkkA 1))(())(( 1111 ,
同理
nEkAAk ))(( 11 ,
所以 kA是可逆矩阵且 111)( AkkA 。
注意
(1)若 BA, 都是可逆矩阵,则 BA 未必是可逆矩阵。
反例:
10
01A ,
10
01B ,显然 BA, 都是可逆矩阵,但
00
00BA
不是可逆矩阵。
(2)若 AB 是可逆矩阵,则 BA, 未必是可逆矩阵。
反例:显然
01
10
01
,110
101BA 都不是可逆矩阵,但
11
02AB 是可逆
58
矩阵。
命题 3.4.3 设 A 是可逆矩阵,
(1)若 OAB ,则 OB ;
(2)若 ACAB 或 CABA ,则 CB ;
(3)若矩阵方程 BAX ,则 BAX 1 ;
(4)若矩阵方程 CYA ,则 1 CAY 。
注 若 A 是可逆矩阵,有时候称 BA 1 为 A 左除 B , 1BA 为 A 右除 B 。因为一
般 11 BABA ,所以我们在矩阵运算中不定义除法运算,若硬要讲除法,那也只
能说矩阵的左除法和右除法。
命题 4.4.3 设 n 是正整数,规定 nn AA )( 1 , lk, 是任意整数,则
(1) lklk AAA ;
(2) kllk AA )( 。
例 1.4.3 设方阵 A 满足 OEAA 35 2 ,证明 A 与 EA 2 都可逆,并分别求
出它们的逆矩阵。
证明 由 OEAA 35 2 知,
EAEAEAA )3
1
3
5()
3
1
3
5( ,
因此 A 是可逆矩阵且 EAA3
1
3
51 。
由 OEAA 35 2 知,
EEAEAEAEA )5
72)(2()2)(
5
72( ,
于是 EA2 可逆,并且 EAEA5
72)2( 1 。
二、求逆矩阵方法之一—公式法
定义 2.4.3 设 nijaA )( 是 n 阶矩阵, ijA 是 A 中元素 ija 的代数余子式,则称 n 阶
59
矩阵:
nnnn
n
n
nji
AAA
AAA
AAA
A
21
22212
12111
)(
为 A 的伴随矩阵,记作 *A 。
例 2.4.3 求下列矩阵的伴随矩阵:
dc
ba,
321
012
111
。
定理 1.4.3 设 A为 n 阶方阵,则 EAAAAA 。
证明 由行列式按行(列)展开定理和它的推论即得。
推论 1.4.3 n 阶矩阵 A 是可逆矩阵的充要条件是 0A 。
当 A 可逆时,
*11 AA
A 。
例 3.4.3 判断下列矩阵是否可逆,若可逆,则求其逆矩阵。
)0(,
bcad
dc
ba,
321
012
111
。
推论 2.4.3 n 阶矩阵 A 是可逆矩阵的充要条件是秩 nA )( 。
例 4.4.3 证明Cramer 法则:如果线性方程组
snnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
的系数行列式 0 nijaD ,则该线性方程组有唯一解 ),,2,1( niD
Dx i
j ,其中
60
iD 是把 D 的第 i 列替换为 Tnbbb ),,,( 21 后所得的行列式。
证明 将线性方程组写成矩阵等式 BAX ,因为 0|| AD ,所以 A 为可逆
矩阵,于是 BAX 1 。
由于 1A 唯一,故 BAX 1 亦唯一,且 BAD
BAX *11 ,即
nnnnn
n
n
n b
b
b
AAA
AAA
AAA
D
x
x
x
2
1
21
22212
12111
2
1
1
nnnnnn
nn
nn
D
D
D
D
AbAbAb
AbAbAb
AbAbAb
D
2
1
2211
2222121
1212111
11 。
故 ),,2,1( niD
Dx i
i 。
§5 矩阵的分块
一、分块矩阵的概念
数学运算总是力求将复杂的转化为简单的,我们在处理阶数较高的大矩阵时,
有时候总将大矩阵看成由一些小矩阵的组成,如同矩阵由数组成的一样。特别在
运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理,这就是所谓的矩阵分块,因此分块矩
阵实际上就是将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵形式,以每个小矩阵
视为“元素”的一种形式矩阵。例如
2
13
41000
14000
01100
31010
20001
AO
AEA ,其中
41
14,
01
31
20
21 AA ,
61
称
2
13
AO
AEA 为 22 分块矩阵。
二、常见的分块矩阵形式
(1) 22 分块矩阵
43
21
AA
AA;
(2)( 1m 分块矩阵,即按行分块)
m
nmA
2
1
,也称 i 为矩阵 A 的行向量;
(3)( n1 分块矩阵,即按列分块) ),,,( 21 nnmA ,也称 j 为矩阵 A 列
向量;
(4)准对角矩阵
sA
A
A
2
1
,其中 iA 均为方阵,其余元素全为零矩
阵。
注 任何一个 nm 矩阵 nmijaA )( 既可视为一个 11 分块矩阵,也可视为一个
nm 分块矩阵。
三、分块矩阵的运算
加法、数乘和乘法运算
对分块矩阵进行加法、数乘和乘法运算时,只要记住以下三点即可:
(1)在做分块矩阵的加法时,两个矩阵的分块方法要一致;
(2)在做分块矩阵的乘法时,左边矩阵的列的分法要与右边矩阵的行的分法一
致。
(3)分块矩阵加法、数乘和乘法运算在形式上与数字矩阵相应的运算完全一
样。
62
例 1.5.3 利用分块矩阵,求 AB ,其中
1011
0111
0010
0001
A ,
124
003
012
101
B 。
例 2.5.3 设 BA, 为两个有相同分块的准对角矩阵:
sA
A
A
A
2
1
sB
B
B
2
1
, ,
这里 ),,2,1(, siBA ii 为同阶方阵,则
(1)
ss BA
BA
BA
BA
22
11
;
(2)
ss BA
BA
BA
AB
22
11
。
例 3.5.3 设 nmijaA
,
snijbB
,
1.若 ),,,( 21 nA ,
n
B
2
1
, i 表示 A 的列向量, j 表示 B 的行向量,
则
(1)
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
AB
21
22221
11211
n
2
1
nmmmm
nn
nn
aaa
aaa
aaa
2211
2222121
1212111
,
即 AB 的行向量可以由 B 的行向量线性表示;
63
(2)
n
i
n
i
n
iiisiiii
nsnn
s
s
n bbb
bbb
bbb
bbb
AB1 1 1
21
21
22221
11211
21 ,,,,,,
,
即 AB 的列向量可以由 A 的列向量线性表示;
(3) nn
n
nAB
22112
1
21 ,,, 。
2.若
m
A
2
1
, ),,,( 21 sB , i 表示 A 的行向量, j 表示的 B 列向量,
则
(1)
B
B
B
BAB
mm
2
1
2
1
( A 按行分块, B 为 11 分块矩阵);
(2) ),,,(),,,( 2121 ss AAAAAB ( A 为 11 分块矩阵, B 按列
分块);
(3)
m
AB
2
1
smmm
s
s
s
21
22212
12111
21 ),,,( 。
转置运算
设
stss
t
t
AAA
AAA
AAA
A
21
22221
11211
是一个 ts 的分块矩阵,则
Tst
Tt
Tt
Ts
TT
Ts
TT
T
AAA
AAA
AAA
A
21
22212
12111
64
是一个 st 的分块矩阵。
求逆运算
例 4.5.3
1
2
1
sA
A
A
1
12
11
sA
A
A
,
其中 iA 都是可逆矩阵 ),,2,1( si 。
例 5.5.3 设分块矩阵
DC
OBA ,其中 ssrr DDBB , 都是可逆矩阵,求
1A 。
解 由题意知, A 为 sr 级矩阵。因为 0|||||| DBA ,所以 A 是可逆矩阵。
设 ssrr TTXXTZ
YXA
,,1 ,则
s
r
EO
OE
DTCYDZCX
BYBX
TZ
YX
DC
OBAA 1 ,
于是
s
r
EDTCY
ODZCX
OBY
EBX
,
解得 1111 ,,, DTCBDZOYBX ,故
111
11 0
DCBD
BA 。
例 6.5.3 证明 n 阶可逆上三角矩阵的逆矩阵也是上三角矩阵。
证明 对矩阵的阶数 n 作第一数学归纳法。 1n 时结论显然成立,归纳假设
1n 时结论成立,设 A 为 n 阶可逆上三角矩阵,B 为 A 的逆矩阵,将 BA, 作如下分
块:
65
1
11
AO
aA
,
1
11
B
bB
,其中 11 , BA 分别为 1n 阶方阵,显然 1A 是可逆
上三角矩阵。因为
1
11
AO
aAB
1
11
B
b
1111
1111111 1
nEO
O
BAA
Baba
,
所以由 OA 1 , 111 nEBA 和 1A 可逆可得 O , 111 AB ,根据归纳假设 1
11 AB
是上三角矩阵,故
1
111
BO
bBA
是上三角矩阵。
(分块矩阵更有效,更具体的应用见§7)
§6 初等矩阵
一、初等矩阵的类型
定义 1.6.3 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
因为矩阵的初等变换由三种类型:换法变换、倍法变换和倍加变换,所以初
等矩阵也有如下三种类型:
(1)(换法阵)
1
01
10
1
),()()(
jiPEji
;
(2)(倍法阵)
1
1
1
1
))(()(
kkiPEik
;
66
(3)(倍加阵)
1
1
1
1
))(,()()(
k
kjiPEjki
。
命题 1.6.3
(1)初等矩阵的转置矩阵仍是同类型初等矩阵;即
))(,()))(,(()),(()))(((),,()),(( kijPkjiPkiPkiPjiPjiP TTT ;
(2) 1))(,(,))((,1),( kjiPkkiPjiP ;
(3)初等矩阵的逆矩阵仍是同类型初等矩阵;即
))(,()))(,(()),1
(()))(((),,()),(( 111 kjiPkjiPk
iPkiPjiPjiP 。
二、初等矩阵与初等变换的关系
命题 2.6.3
对矩阵 nmijaA )( 施行某一初等行(列)变换,相当对 A 左(右)乘一个同
类型的 m 阶( n 阶)初等矩阵。具体地说:
(1) AjiP ),( 相当于交换 A 的第 i 行与第 j 行;
(1) ),( jiAP 相当于交换 A 的第列与第 j 列;
(2) AkiP ))(( 相当于 k 乘 A 的第 i 行;
( 2) ))(( kiAP 相当于 k 乘 A 的第 i 列;
(3) AkjiP ))(,( 相当于 k 乘 A 的第 j 行后加到第 i 行;
(3) ))(,( kjiAP 相当于 k 乘 A 的第 i 列后加到第 j 列。
口诀 左乘行变换,右乘列变换。
67
证明 令 mijbB )( ,
m
A
2
1
, i 表示 A 的行向量,则
mmmm
m
m
bbb
bbb
bbb
BA
21
22221
11211
m
2
1
mmmmm
nmnm
mm
bbb
bbb
bbb
2211
2222121
1212111
令 ),( jiPB ,则
m
i
j
AjiP
1
),( ,即交换 A 的第 i 行与第 j 行。
令 ))(( kiPB ,则
m
ikAkiP
1
))(( ,即 k 乘 A 的第 i 行。
))(,( kjiPB ,
m
j
ji k
AkjiP
1
))(,( ,即 k 乘 A 的第 j 行后加到第 i 行。
例 1.6.3 设
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
A ,求 )4,1(AP , AP ))2(3,2( 。
三、矩阵的等价
定义 2.6.3 矩阵 A 与 B 称为等价的,如果 B 可以由 A 经过一系列初等变换得到
的。若 A 与 B 等价,则有时记 BA 。
68
(在数学上,只有某种关系具有自身性,对称性和传递性时,才可称此关系是
等价的。)
由命题 2.6.3 易得下面命题 3.6.3 。
命题 3.6.3 设 BA, 都是 nm 矩阵,则 BA 的充要条件是存在若干个初等矩阵
sPPP ,,, 21 和 tQQQ ,,, 21 ,使得
ts QQAQPPPB 2112 。
命题 4.6.3 矩阵间的“等价”是一种等价关系,即
设 CBA ,, 都是 nm 矩阵,则
(1)(自身性) AA ;
(2)(对称性)若 BA ,则 AB ;
(3)(传递性)若 BA , CB ,则 CA 。
定理 1.6.3 任意一个矩阵 A 都与形为
00
0rE的矩阵等价,这里 r 秩 )(A 。
注 有时候称
00
0rE为 A 的等价标准形。
推论 1.6.3 设 A 为 nm 矩阵,则存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵Q ,使
得
00
0rEPAQ ,这里 r 秩 )(A 。
证明 因为秩 rA )( ,所以 A 的等价标准形为
00
0rE,于是由命题 3.6.3 知,
存在若干个初等矩阵 sPPP ,,, 21 和 tQQQ ,,, 21 ,使得
OO
OEQQAQPPP r
ts 2112 。
69
令 ts QQQQPPPP 2112 , ,显然 QP, 都是可逆矩阵,且
00
0rEPAQ 。
推论 2.6.3 两个 nm 矩阵 BA, 等价的充要条件是秩 )(A 秩 )(B 。
证明 若 BA ,因为矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,所以秩 )(A 秩 )(B 。
反之,若秩 )(A 秩 rB )( ,则由定理 1.6.3 知,
00
0rEA ,
00
0rEB ,
由命题 4.6.3 即得 BA 。
推论 3.6.3 设 A 为 n 阶方阵,则 A 为可逆矩阵的充要条件是 nEA 。
推论 4.6.3 设 A 为 n 阶方阵,则 A 为可逆矩阵的充要条件是 A 可以表示成若干
个初等矩阵的乘积。
证明 充分性证明是显然的。
必要性:若 A 为可逆矩阵,显然 A 的等价标准形为 nE ,于是由命题 3.6.3 知,
存在若干个初等矩阵 sPPP ,,, 21 和 tQQQ ,,, 21 ,使得
nts EQQAQPPP 2112 ,
因此, 11
12
1112
11
QQQPPPA ts ,因为初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵,
所以 A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积。
例 2.6.3 将矩阵
001
112
011
A 表示成初等矩阵的乘积。
解 将 A 用初等变换变为单位矩阵:
011
110
001
011
112
001
001
112
011)1(2)2()3()1(
A
E
100
010
001
100
110
001
010
110
001)3()2()2()3()1()3(
,
70
于是
APPPPPE )3,1())2(1,2())1(1,3())1(2,3())1(3,2( ,
故
1)]3,1())2(1,2())1(1,3())1(2,3())1(3,2([ PPPPPA
11111 )))1(3,2(()))1(2,3(()))1(1,3(())2(1,2(())3,1(( PPPPP
))1(3,2())1(2,3())1(1,3())2(1,2()3,1( PPPPP 。
因为初等变换不改变矩阵的秩,所以由命题 2.6.3 和推论 4.6.3 立得如下推论
5.6.3 。
推论 5.6.3 设 A 为 nm 矩阵, QP, 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵,则
秩 )(PA 秩 )(AQ 秩 )(PAQ 秩 )(A 。
四、求逆矩阵方法之二—初等变换法
分析 设 A 为 n 阶可逆矩阵,由推论 4.6.3 知,存在若干个初等矩阵
sPPP ,,, 21 ,使得 sPPPA 21 ,因此
)2(
)1(11
11
21
11
12
1
AEPPP
EAPPP
ns
ns
由(1),(2)得
),(11
12
1ns EAPPP ,( 1
11
21 APPPs
)11
12
1ns EPPP ),( 1 AEn 。 (3)
因为初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵,左乘一个初等矩阵相当于作行初等变
换,所以由(3)式我们得到了求可逆矩阵的逆矩阵的方法―初等变换法:
1 AEEA 行初等变换 。
或
1A
E
E
A 列初等变换 。
71
例 3.6.3 求下列矩阵的逆矩阵
120
211
201
,
1111
1111
1111
1111
。
§7 分块乘法的初等变换及应用举例
定义 1.7.3 下列变换称为分块矩阵的初等变换:
(1)(分块换法变换)交换分块矩阵中某两行(列)位置;
(2)(分块倍法变换)用某一可逆矩阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列);
(3)(分块倍加变换)用某一矩阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)后加到
另一行(列)中去。
分块初等矩阵就是指单位分块矩阵 ),,,( 21 sEEEdiagE 经过一次分块矩阵
初等变换所得到的矩阵。特别地,单位分块矩阵经过分块换法变换、分块倍法变
换和分块倍加变换所得的分块初等矩阵分别称之为分块换法阵、分块倍法阵和分
块倍加阵。
定义分析
(1)分块初等矩阵都是可逆矩阵,且分块倍加阵的行列式值为 1;
(2)对分块矩阵作行(列)初等变换,相当于用同类分块初等矩阵左(右)
乘被变换的分块矩阵;
(3)分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;
(4) 22 分块初等矩阵有如下几种形式:
研究
OE
EO,
EO
OP,
QO
OE,
EO
SE,
ET
OE。
72
例 1.7.3 设分块矩阵
DC
BAM ,其中 DA, 分别为 r 阶和 rn 阶方阵( CB,
不一定是方阵),则
(1)
BADC
DCBA
EE
r
rn
00 ,
CDAB
EE
DCBA
rn
r
00 ;
(2)
DC
PBPA
DC
BA
E
P
rn0
0,
DCP
BAP
E
P
DC
BA
rn0
0;
(3)
DPBCPA
BA
DC
BA
EP
E
rn
r 0,
DDPC
BBPA
EP
E
DC
BA
rn
r 0。
例 2.7.3 设分块矩阵
DC
BAM ,其中 DA, 分别为 r 阶和 rn 阶方阵,
(1)若 A 可逆,则
BCADC
A
E
BAE
DC
BA1
1 0
0;
BCAD
BA
DC
BA
ECA
E11 0
0;
BCADA
EBAE
DCBA
ECAE
1
1
1 00
00 ;
111
1
1
1
1
00
00
E
BAE
BCAD
A
ECA
E
DC
BA
ECA
E
BCAD
A
E
BAE111
11 0
0
0
0;
BCADADC
BA 1 。
73
(2)若 D 可逆,则
D
BBDA
ECD
E
DC
BA
0
0 1
1 ;
DC
CBDA
DC
BA
E
BDE 0
0
11
;
DCBDA
ECDE
DCBA
EBDE
000
0
1
1
1
E
BDE
D
CBDAECD
E
DC
BA
00
00 1
1
11
1
1
;
DCBDADC
BA 1 。
例 3.7.3 设 BA, 都是 n 阶方阵,证明 BAAB 。
证明
BEAB
BEA
EAE 00
0 ,
设 nijaA )( ,
EEE
P ijij 0
,其中 ijE 是第 ),( ji 元素为 ija 外,其余元素全为0
的 n 阶方阵,于是
E
AE
E
EPPPPP nnnn 00
0111211 ,
显然 ijP 所对应的初等变换都是倍加变换,它们都不改变行列式的值,因此
BABE
A
BE
A
EO
OEPP
BE
A
E
AEnn
000
0 11 。
另一方面,
ABABEABEB
AB
BE
AB nnnn
110
10
。
故 BAAB 。