Ampliació de matemàtiques
PROBLEMES ENTREGAR
INSTRUCCIONS: Us recomano pensar i resoldre els exercicis en parelles. Aquest exercici
és de caràcter voluntari. Data d'entrega: 3 de desembre de 2012
CAS 1. FUNCIONS HIPERBÒLIQUES
Definició
Per tot nombre real x, es defineixen les funcions hiperbòliques com:
sinus hiperbòlic ∶ sinh(𝑥) = !!!!!!
!
cosinus hiperbòlic ∶ cosh(𝑥) = !!!!!!
!
tangent hiperbòlica ∶ tgh(𝑥) = !"#$(!)!"#$(!)
= !!!!!!
!!!!!!
Fórmules de derivació
!!"(sinh(𝑥)) = cosh(𝑥) ; !
!"(cosh(𝑥)) = sinh(𝑥) ; !
!"(tgh(𝑥)) = !
!"#$!(!)
Exercicis:
1. Demostreu que: cosh!𝑥 − sinh!𝑥 = 1
(equació de la hipèrbola 𝑥! − 𝑦! = 1, d'aquí el nom de funcions hiperbòliques)
2. Demostreu, a partir de les definicions donades, les regles de derivació de les tres
funcions hiperbòliques.
3. Calculeu la derivada de les següents funcions:
a) 𝑦 = 𝑥 ∙ senh 3𝑥
b) 𝑦 = tgh 1+ 𝑥!
c) 𝑦 = ln(cosh(𝑥!))
4. Calculeu els punts d'inflexió de 𝑓(𝑥) = sinh(𝑥)
5. Demostreu que sinh(2𝑥) = 2sinh(𝑥) ∙ cosh(𝑥)