8/14/2019 Capitulo08-A05 flexion maximo en vigas calculo
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ESTABILIDAD II CAPITULO VIII: DEFORMACIONES EN LA FLEXIN
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DEFORMACIONES EN LAFLEXIN
8.1 ANALISIS DE DEFORMACIONES
8.1.1 Generalidades
Las piezas flexadas sufren desplazamientos o deflexiones, cuyo control es tan importante paragarantizar el buen comportamiento estructural como la verificacin de la resistencia.
Cuando la estructura presenta deformaciones excesivas, la percepcin de las mismas por partede los usuarios genera en stos una sensacin de alto riesgo. No slo esto es muy significativo sinoque tambin pueden aparecer problemas colaterales tales como fisuracin en tabiques de mampostera
que apoyen sobre la estructura y en cielorrasos.Los elementos de mquinas, debido a grandes deflexiones pueden presentar desgastes prematu-
ros u originar efectos vibratorios inadecuados.El conocimiento de las deformaciones resulta tambin sumamente importante desde el punto
de vista constructivo. En efecto, si se conoce por ejemplo, la flecha mxima que tendr una viga de
hormign armado sometida a las cargas permanentes, cuando se la construye puede contraflecharse elencofrado de manera tal de compensar esa deformacin, de modo que la pieza quede para ese estado
de cargas sin deformacin aparente.
Por otro lado, no es posible conocer las caractersticas dinmicas y vibratorias de un elementoestructural sino se analizan deformaciones. As mismo, y atendiendo a lo que hemos demostrado en el
artculo 3.2, el anlisis de las deflexiones resulta imprescindible para la resolucin esttica de piezasflexadas hiperestticas.
Todo esto ha motivado la existencia de numerosos mtodos de clculo de deformaciones, algu-nos aplicables a cualquier tipo de estructuras y otros solamente a estructuras lineales. A continuacinanalizaremos algunos de estos mtodos.
8.1.2 Lnea elstica
8.1.2.1 Ecuacin
Llamaremos Lnea elstica a la forma que adopta el eje de una viga al producirse la defor-macin de la misma por accin de las cargas exteriores.
Para deducir la ecuacin de la elstica vamos a suponer que las deformaciones son pequeas.Adems solo consideramos las deformaciones debidas a los momentos flectores. (ver art. 7.8)
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El ngulo que forma la tangente a la elstica en un pun-to con respecto a la horizontal, es el mismo que habr girado laseccin recta en dicho punto con respecto a la vertical.
Si consideramos otra seccin ubicada a una distancia dzcon respecto a la anterior, entre ambas habr un giro relativo
d.
ds
d1dds
=
= (8.1)
dzd1dzds =
=
Por ser un ngulo pequeo:
===1
dz
dy
dz
ddz
dytg 2
2
(8.2)
Para los ejes coordenados elegidos vemos que a valores
crecientes de z corresponden valores decrecientes de . Enconsecuencia, en la ecuacin 8.2 debemos afectar al primer tr-mino de un signo menos.
EI
M1
dz
dy2
2
=
= (8.3)
EI
My
(z)= Ecuacin diferencial de la lnea Elstica (8.4)
Cuando la barra es muy flexible y los desplazamientos no son pequeos debe utilizarse para lacurvatura la expresin rigurosa:
23
2
2
2
dzdy1
dz
dy1
+
=
(8.5)
Conocida en cada caso la funcin que define la variacin del momento flector, por integracin
de la ecuacin diferencial 8.4 se determina la correspondiente ecuacin de la lnea elstica, la quepermite obtener el corrimiento mximo o flecha.
En la prctica usualmente se acotan los valores relativos flecha luz (f/L). Cuando las vigas
tienen luces muy grandes y cargas de poca consideracin, son frecuentemente determinantes en eldimensionamiento las condiciones relativas a las flechas.
5001a3001lf max=
(8.6)
Fig. 8.2
cc
d
c
dz
dy
dsP
z
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Para la deduccin de la ecuacin de la elstica, en algunas circunstancias resulta mas prcticopartir de la ecuacin del corte o de la carga. Eso no es ningn inconveniente ya que conocemos la si-guiente relacin:
)z(q
dz
Qd
zd
Md2
2
== (8.7)
luego:
EI
My (z)ll =
EI
Qy (z)lll = (8.8)
EI
qy (z)lV =
8.1.2.2. Ejemplos de aplicacin
a) Elstica de una viga simplemente apoyada sometida a una carga uniformemente repartida.
1
32l
(z)ll
2
(z)
C6zq
4qLz
yEI
MyEI
2zq
z2
qLM
+=
=
=
21
43
CzC24
zq
12
qLzyEI +++=
Para encontrar las constantes de integracin debemos considerar las siguientes condiciones de
borde:
+
=
++=
==++=
==
=
=
L
z
L
z2
L
z
EI24
qLy
z24
qL
24
zqz
12
qL
EI
1y
24
LqC0LC
24
Lq
12
qL0y
0C0y
344
)z(
343
)z(
3
11
44
)Lz(
2)0z(
(8.9)
Fig. 8.3
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Por razones de simetra la flecha mxima se produce para z = L/2
EIqL
3845f
EI
qL
384
5
2
1
4
1
16
1
EI24
qLf
4
44
=
=
+=
(8.10)
b) Elstica de una mnsula con carga uniformemente repartida
21
4
1
3l
2ll
2
)z(
CzC24
zqyEI
C6zqyEI
2
zqyEI
2
zqM
++=
+=
=
=
8
LqC0C
6
Lq
24
Lq0y
6
LqC0yLz
4
22
44
3
1
==+=
===
+
=
+=
1L
z
3
4
L
z
3
1
8EI
qLy
8Lqz
6Lq
24zq
EI1y
44
)z(
434
)z(
(8.11)
EI8
Lqf
4
= (8.12)
c) Elstica de una viga simplemente apoyada sometida a una carga concentrada
( )
( )azPzL
PbyEILza
zL
PbyEIaz
azPzL
PbMLza
zL
PbMaz
)z(
)z(
+=