CAPÍTULO 2:TENSÃO E DEFORMAÇÃO:
Carregamento Axial
Prof. Romel Dias Vanderlei
Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil
Curso de Engenharia Civil
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.1 Deformação Específica
� O diagrama carga x deformação é referente a barra analisada, não podendo ser usado para prever deformações de outras barras com outras dimensões.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.1 Deformação Específica
� Deformação Total: δδδδ ou ∆∆∆∆L = L f – L
� Deformação Específica Normal (εεεε) [epsilon]: é a deformação por unidade de comprimento.
L
L∆=ε� Unidade: Adimensional (L/L)� Valores muito pequenos:
� Ordem de grandeza de 10-6
� Representada por µ (micro)
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.2 Diagrama Tensão - Deformação
� Caracteriza as propriedades do material e não depende das dimensões da amostra.
� A relação (σ x ε) depende:� Tipo do material;� Intensidade do esforço aplicado.
� É também denominada relação constitutva do material.
� A relação é medida através de ensaios de tração ou compressão.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.2 Diagrama Tensão - Deformação
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.2 Diagrama Tensão - Deformação
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.2 Diagrama Tensão - Deformação
� De maneira geral, existem os materiais Dúcteis e Frágeis :
� Materiais Dúcteis:� Sofrem grandes deformações antes de atingir a
ruptura (com ou sem limite de escoamento). Ex.: aço, alumínio.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.2 Diagrama Tensão - Deformação
� Materiais Dúcteis com patamar de escoamento:
1- OA: a deformação éproporcional a tensão atéatingir o limite de proporcionalidade (σp) no ponto A.
2- BC: patamar de escoamento, o ponto B representa o limite de escoamento (σe).
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.2 Diagrama Tensão - Deformação
� Materiais Dúcteis com patamar de escoamento:3- O ponto D caracteriza o nível
máximo de tensão, Tensão de Ruptura (σu).
4- O ponto E é o ponto de ruptura.
5- Descarregando-se em um ponto C’ do diagrama, fora do limite elástico, as deformações ocorrem segundo uma linha paralela a AO,porém conservando uma deformação residual.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.2 Diagrama Tensão - Deformação
� Materiais Dúcteis sem patamar de escoamento:
� O limite de escoamento (σe) no ponto B, corresponde a uma deformação residual de 0,2% se a barra for descarregada.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.2 Diagrama Tensão - Deformação
� Materiais Frágeis:� São aqueles que sofrem ruptura de forma brusca
(não apresentam deformações consideradas). Ex.: concreto, vidro, cerâmica.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.3 Lei de Hooke
� É a relação de proporcionalidade entre a tensão e a deformação.
� O coeficiente de proporcionalidade (E) entre a tensão (σ) e a deformação (ε) é chamado de MÓDULO DE ELASTICIDADE (ou MÓDULO DE YOUNG).
Etgi
i ==εσα
σ
εα
σi
εi
Hooke de Lei →⋅= εσ E
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.3 Lei de Hooke
� Material elástico linear: obedece a Lei de Hooke;� Material não elástico: não obedece a Lei de
Hooke;� Material Plástico: material não elástico com
deformação residual;� Material Elastoplástico: material com
comportamento elástico, e após certo valor de tensão, apresenta deformações residuais.
Esta disciplina estuda apenas materiais com comportamento Elástico. (Teoria da Elasticidade)
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.4 Deformação de Barras Carregadas Axialmente
� Sendo válida a lei de Hook, pode-se determinar a deformação de uma barra carregada axialmente.
εσεσ ⋅=∆== E ;L
;LA
P
� Combinando-se estas equações, a deformação édada por:
barra da axial
L
rigidezEAAE
LP
→⋅⋅==∆ δ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.4 Deformação de Barras Carregadas Axialmente
� Estas equações são válidas para materiais homogêneos (E=const.) e barras de seção constante (A=const.)
� Em casos em que as seções transversais sejam variáveis ou o material varie também em determinados trechos, a expressão de “δ” pode ser usada dividindo o problema em partes onde a equação seja individualmente satisfeita.
� O deslocamento total pode ser determinada por:
∫∑ ⋅⋅=
⋅⋅=
L
x
x
i ii
ii
AE
dxP
AE
LP
0
ou δδ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.4.1 Barras com Cargas Axiais Intermediárias
EA – Rigidez AxialP
2P
2P
L/3
L/3
L/3
P
P
P
+
+
-
Diagrama de Esforço Normal
1
2
3
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.4.1 Barras com Cargas Axiais Intermediárias
� Trecho 1: (alongamento)
� Trecho 2: (encurtamento)
� Trecho 3: (alongamento)
AE
LP
⋅
⋅= 3
1δ
AE
LP
⋅
⋅= 3
2δ
AE
LP
⋅
⋅= 3
3δ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.4.1 Barras com Cargas Axiais Intermediárias
to)(alongamen barra na totalDeformação 3
333
321
→⋅⋅
⋅=
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅=
++=⋅⋅=∑
AE
LPAE
LP
AE
LP
AE
LP
AE
LP
i ii
ii
δ
δ
δδδδ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.4.2 Barras com Trechos de Seções Transversais Diferentes ou Materiais Diferentes
E1A1 – Rigidez Axial do trecho 1
E2A2 – Rigidez Axial do trecho 2
nto)(encurtame 11
11 AE
aP
⋅⋅=δ
P1
a
b
P2
1
2
P1
P1+P2
-
-
Diagrama de Esforço Normal
( )nto)(encurtame
22
212 AE
bPP
⋅⋅+=δ
( )22
21
11
121 AE
bPP
AE
aP ⋅+−⋅−=+= δδδ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.4.3 Barra com Seção Transversal e/ou Força Axial Variando Continuamente ao longo da Barra
E – Módulo de Elasticidade
∫∫ ⋅⋅==
⋅⋅=
L
x
xL
x
x
AE
dxP
AE
dxPd
00
dδδ
δL
dx x dx
Px Px
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.4 Deformação de Barras Carregadas Axialmente
� Exemplo 1: Calcular a deformação de uma barra prismática submetida a uma força axial de tração, considerando a ação do peso próprio.
γ - massa específica do materialEA – rigidez axial da barra.
Esboço no quadro
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.4 Deformação de Barras Carregadas Axialmente
� Exemplo 2: Uma barra tronco-cônica, de diâmetro variando de 20cm a 40cm e 3m de comprimento, está sob a ação de 500kN de tração. Determine o alongamento da barra sendo E = 200GPa.
Esboço no quadro
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Estática) da equação (única PR 0 B =+∴=∑ Ay RF
B
P a
b
A
C
RB
RA
P
adoIndetermin nteEstaticame Sistema Incógnitas 2
Equação 1⇒
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
� As equações de equilíbrio da estática são insuficientes para determinar as ações e reações da estrutura. ESTRUTURA ESTATICAMENTE INDETERMINADA.
� Adiciona-se às equações da Estática, equações suplementares que levam em conta as deformações
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
� Solução pelo Método das Forças:� Considera-se uma das reações como redundante, ou
seja, é desnecessária para o equilíbrio da estrutura.� Adota-se dois sistemas:
� 1) Estrutura com carregamento e sem a reação redundante;
� 2) Estrutura apenas com a ação da reação redundante como um carregamento.
� A superposição dos dois sistemas deverá ser igual a estrutura analisada.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
B
P a
b
A
C
� Solução pelo Método das Forças:� Exemplo: Escolhendo-se RA como redundante
B
P
A
C
B
ARA
Sistema 1 Sistema 2
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
AE
LR
AE
bP A
⋅⋅=
⋅⋅−= 21 e δδ
B
P a
b
A
C
� Solução pelo Método das Forças:
� Nestas condições é possível calcular as deformações de cada sistema:
B
P
A
C
B
A
RA
Sistema 1 Sistema 2
δδδδ1
δδδδ2
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
� Solução pelo Método das Forças:
sistemas dois os entre idadecompatibil de Equação
estrutura da final Deformação 0
21 ⇒+=⇒=
δδδδ
� Compatibilizando as deformações de cada sistema com a estrutura real, chega-se a equação de compatibilidade dos deslocamentos;
� Como a estrutura real é engastada nas duas extremidades, a deformação final da estrutura é nula:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
� Solução pelo Método das Forças:
� Desenvolvendo a equação de compatibilidade dos deslocamentos:
L
bPR
AE
LR
AE
bP
A
A
⋅=
=⋅⋅+
⋅⋅
=+=
0-
021 δδδ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
� Solução pelo Método das Forças:
� Agora temos duas equações e duas incógnitas, tornando o sistema determinado:
L
aPL
bLP
L
bPP
L
bPL
bPRII
RI
A
A
⋅=
−⋅=⋅−=
=+⋅
→
⋅=
=+
B
B
B
B
R
)(R
PR
oDeterminad Sistema )(
PR )(
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
� Exemplo 3: Para a estrutura abaixo, determine as reações nos apoios quando se aplica o carregamento indicado.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
� Exemplo 4: Para a estrutura abaixo, qual é a deformação total do conjunto.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
� Exemplo 5: Um pilar de concreto armado, seção quadrada de 25cm de lado e 2,80m de comprimento, não sujeito à flambagem, é armado com 4 barras longitudinais de ½” simetricamente colocadas. Determine as tensões no concreto e no aço para uma compressão axial de 400kN, adotando: Ea = 210GPa e Ec = 20GPa.
Esboço no quadro
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.6 Tensões Térmicas
� Em sistemas estruturais isostáticos não se considera as deformações provocadas pela temperatura, porque nestes casos, os elementos estruturais são livres para expandir-se ou contrair-se, não provocando tensões.
� Em sistemas estruturais estaticamente indeterminados, a expansão ou contração de um corpo pode ser restringida ou totalmente impedida, gerando tensões internas.
Isostática
∆∆∆∆T
δδδδT
Hiperestática
∆∆∆∆T
R
R
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.6 Tensões Térmicas
� Deformação devido a variação da temperatura:
==∆
=→⋅∆⋅=∆=
barra da inicial ocompriment L
ra temperatude variação
térmicadilatação de ecoeficient
TLTLTT
ααδ
� Deformação térmica específica:
TL
TL
L
L
T
T
∆⋅=
∆⋅⋅=∆=
αε
αε
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.6 Tensões Térmicas
� Tensão na barra devido ao acréscimo de temperatura ∆T.
EA – rigidez da barraL
� Estrutura estaticamente indeterminada: Método das forças� 1- Inicialmente, suponha-se que a barra tenha uma das
extremidades livres.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.6 Tensões Térmicas
� 2- Calcule as deformações devido: a) somente a atuação da temperatura; b) somente a reação redundante.
AE
LRLT RT ⋅
⋅=⋅∆⋅= δαδ
L
R
∆∆∆∆T
δδδδT
R
δδδδR
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.6 Tensões Térmicas
AETAE
LRLT
RT
⋅⋅∆⋅=∴⋅⋅=⋅∆⋅
=
αα
δδ
R
� 3- Compatibilidade de deslocamentos:
� 4- Tensão na Barra:
EETA
AET
A
R
T ⋅=⋅∆⋅=
⋅⋅∆⋅==
εασ
ασ
� Este resultado se aplica no caso de barra de seção transversal uniforme e material homogêneo.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.6 Tensões Térmicas
� Exemplo 6: Um tubo de cobre de 50cm de comprimento, área da seção transversal 20cm2, esta colocado entre dois cabeçotes de metal, os quais são ajustados por dois parafusos de aço com diâmetro de 20mm. Se o conjunto sofrer um aumento de temperatura de 40ºC, ache as tensões nos elementos.
Ec = 120GPa αc = 16,7x10-6/ºCEa = 210GPa. αc = 11,7x10-6/ºC
Tubo de Cobre
Parafusos de aço
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.7 Coeficiente de Poisson
� O alongamento produzido por uma força “P” na direção dessa força é acompanhado por uma contração em qualquer direção transversal.
� Por considerar o material homogêneo e isotrópico:
εy = εz � Deformação Específica Transversal
� O valor absoluto da relação entre a deformação específica transversal e a deformação específica longitudinal é o COEFICIENTE DE POISSON (ν) [nii]:
EELogo x
zyx
x
x
z
x
y
σνεεσε
εε
εε
ν
−==∴=
−=−=
:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.7 Coeficiente de Poisson
Exemplo 7: Para o material ensaiado a tração conforme ensaio descrito abaixo, determine o coeficiente de Poisson e o Móduo de Elasticidade Longitudianl.
d = 16mm
500mm
12kN
x
y
δx = 300µm
δy = -2,4µm
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.8 Generalização da Lei de Hooke
� Até o momento estudou-se cargas axiais atuando ao longo de um único eixo.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.8 Generalização da Lei de Hooke
� Analisando as tensões em um ponto da seção, vemos que σx= P/A, σy, = 0 e σz=0 :
σσσσy = 0
σσσσz = 0
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.8 Generalização da Lei de Hooke
� Se considerarmos carregamentos atuando nas três direções, carregamento multiaxial, (σx, σy, e σz ≠≠≠≠ 0);
� Um cubo de dimensões unitárias, após o carregamento se tornará um paralelepípedo de lados:
( )( )( )z
y
x
εεε
+
++
1
1
1(1+ε(1+ε(1+ε(1+εx )
σσσσx
(1+(1+(1+(1+εεεεy )
(1+(1+(1+(1+εεεεz )
σσσσx
σσσσz
σσσσy
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.8 Generalização da Lei de Hooke
� Pode-se escrever as deformações em função das tensões ;
� Para isso, considera-se separadamente o efeito de cada componente de tensão, após superpõe-se os resultados (Princípio da Superposição );
� Hipóteses:1) Cada efeito é diretamente proporcional a carga que o
produz;2) A deformação causada por qualquer dos carregamentos
é pequena e não afeta as condições de aplicação dos outros carregamentos.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.8 Generalização da Lei de Hooke
εεεεx εεεεy εεεεz
σσσσx
σσσσy
σσσσz
Exσ+
Exσν−
Exσν−
Eyσ
ν−E
yσ+
Eyσ
ν−
Ezσν−
Ezσν−
Ezσ+
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.8 Generalização da Lei de Hooke
� Superpondo os resultados:
Hooke de Lei da çãoGeneraliza
+−−=
−+−=
−−=
EEE
EEE
EEE
zyxz
zyxy
zyxx
σσνσνε
σνσσνε
σνσ
νσε
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.8 Generalização da Lei de Hooke
� Exemplo 8: O bloco de aço com dimensões de 80mm x 60mm x 40mm, está submetido à ação de pressão uniforme em todas as faces. A variação de comprimento AB foi de -24µm. Determine:a) Variação do comprimento das outras duas faces;b) A pressão “p” aplicada nas faces do bloco.Adotar E = 200GPa e ν = 0,29.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.9 Tensão e Deformação no Cisalhamento
ττττxy
ττττyx
2.9.1- Tensão de cisalhamento sobre planos ortogonai s
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.9 Tensão e Deformação no Cisalhamento
� Para o equilíbrio do elemento, as tensões nos planos paralelos são numericamente iguais mas de sentidos opostos.
( ) ( )( ) ( )
yxxy
xyzxyyzxyx
yzxyyzxyy
ddddddM
ddddF
ττττ
ττ
=
=⋅−⋅=
=⋅−⋅=
∑∑
0
0
0
� O equilíbrio do elemento só está garantido se as tensões de cisalhamento ocorrerem simultaneamente nas quatro faces do elemento.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.9.2 Deformação no Cisalhamento
� Sob a tensão das tensões de cisalhamento, o elemento se deforma do seguinte modo:
γγγγxy – Distorção ou Deformação de Cisalhamento(em radianos)
� A distorção é positiva quando reduz o ângulo entre x e y.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.9.2 Deformação no Cisalhamento
� Como não existem tensões normais, não há alteração de comprimento nos lados do elemento.
� Hipóteses:� Pequenas deformações;� Material elástico linear.
(Pascal) lTransversa deElasticida de Módulo G
toCisalhamen o para Hooke de Lei
→
→⋅= xyxy G γτ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.9.2 Deformação no Cisalhamento
� O Módulo de elasticidade transversal é medido em laboratório pelo ensaio de torção de um tubo de seção circular.
� Experimentalmente, verificou-se que para os materiais dúcteis, a tensão de escoamento em cisalhamento é 0,5 a 0,6 da tensão normal de escoamento.
( )ν
ν
+=
12
EG
e E G, entre laçãoRe
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.9 Tensão e Deformação no Cisalhamento
� Exemplo 9: Um bloco com dimensões a=160mm, b=50mm e h=40mm, feito de material com G = 600MPa, é colocado entre duas placas horizontais rígidas. A placa inferior é fixada e a superior é submetida a força V. Sabendo-se que a placa superior se move d=0,8mm, determine: a) a deformação de cisalhamento no material; b) a força V.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.10 Princípio de Saint-Venant
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
2.10 Princípio de Saint-Venant
� Adotamos que as tensões normais são uniformemente distribuídas em qualquer seção transversal;
� Essa suposição não se verifica na vizinhança do ponto de aplicação da força.
� Princípio de Saint-Venant:� Para as seções transversais a
uma distância igual ou maior que “b” da extremidade da barra, a distribuição de tensões na seção é considerada uniforme e igual a σméd = P/A
b
b
b
Top Related