CAP MATEMÀTIQUES 1
Vectors al pla i rectes
Eduard Lara , Carles Mallol
IES CAR SANT CUGAT
CAP MATEMÀTIQUES 2
• Segment orientat• Fletxa
Definició Vector
A ≡ Punt Origen
B ≡ Punt Destí
V
V = AB
CAP MATEMÀTIQUES 3
Característiques d’un vector
Un vector es defineix mitjançant la seva direcció, sentit i mòdul:
• Direcció: La de la recta que conté el vector. Una direccio té dos sentits oposats.• Sentit: La punta de la fletxa indica el sentit (de A cap a B)• Mòdul: Longitut del vector. Es representa amb el següent simbol |AB| Direcció
Longitut o mòdul
Sentit
CAP MATEMÀTIQUES 4
Vectors multidimensió
x
x
z
y
x
y
v
v
v
R
R2
R3
Vectors Rn
CAP MATEMÀTIQUES 5
Vectors a R2
Els vectors que estudiarem es representen al pla R2
El pla R2 és el conjunt de parelles de nombres reals, representats de la forma (x, y) -> Pla cartesià
V2 és el conjunt algebraic (espai vectorial) que engloba tots els vectors representables a l’espai R2
P = (a, b)
Per tot punt P(a, b) de R2, queda determinat el vector V (a, b), que neix al origen (0,0) i té el seu destí a punt P(a, b)
V = (a, b) b
a
CAP MATEMÀTIQUES 6
Base Canónica del pla R2
Els vectors u1(1,0) i u2(0,1) formen una base del pla R2, ja que:
Son independents ja que un d’ells no es pot obtenir de l’altre: u1 ≠ k · u2 on k és una constant
Generen qualsevol vector del pla, mitjançant una combinació lineal d’ells dos:
V(a1, a2) = a1·u1 + a2·u2 = a1 (1,0) + a2 (0,1) = (a1, a2)
A més si també es compleix:
u1 u2 i |u1| = |u2| = 1 → Base Canònica
CAP MATEMÀTIQUES 7
Altres bases a V2
Qualsevol conjunt de 2 vectors linealment independents a V2 són una base.
{(2,4) (5,3)} són base (independents i generadors de V2)
{(2,4) (3,6)} ?
Són dependents ja que (3,6) = k(2,4) on k=3/2
No formen base perquè son paral·lels
{(-2,6) (7,4) (4,2)} ?
Són dependents ja que un es pot expressar com a
combinació lineal dels altres dos. Sobra un vector
CAP MATEMÀTIQUES 8
Coordenades Cartesianes d’un vector
V = a1·u1 + a2·u2
Les coordenades cartesianes d’un vector V en la base u1, u2, son el coeficients dels vectors u1, u2 que generen V.
• Component Horitzontal ≡ a1 • Component Vertical ≡ a2
5 u1
4 u1
V = 4·u1 + 5·u2 = (4, 5)
CAP MATEMÀTIQUES 9
Mòdul i argument d’un vector
Mòdul V(a,b)
|V(a, b)| = a2 + b2
T. Pitágoras
Argument V(a,b)
tag(α) = b/a
Raó Trigonomètrica
b
a
V(a, b)
α
CAP MATEMÀTIQUES 10
Operacions amb vectors
Suma vectors
V1 + V2 = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Suma de les coordenadesMultiplicació per un escalar
k · V1 = k · (a, b) = (k · a , k · b)
Multiplicació per cadascuna de les seves coordenades
Gràficament: Llei del paral.lelogram
V1
V2
V1
k V1
V1 +V2
CAP MATEMÀTIQUES 11
Operacions amb vectors
Vector Oposat
(-1) · V1 = (-1) (a, b) = (-a, -b)
Multiplicació per -1
Resta vectors
V1 – V2 = (a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)
Resta de les coordenades o suma per l’oposat de V2
V1
V2
V1
-V1
V1 - V2
-V2
CAP MATEMÀTIQUES 12
Construcció d’un vector
Vector = Coordenades del punt destí – coordenades del punt origen
Donats els punts A= (-3, 0), B= (2, 3), C= (0, -2), D= (5, 1)
AB = (2, 3) – (-3, 0) = (5, 3)
CD = (5, 1) – (0, -2) = (5, 3)
AC
D
B
Son vectors equipolents: Mateix mòdul, direcció i
sentit
Representant Canònic de
(5,3)
CAP MATEMÀTIQUES 13
Combinació lineal de vectors
V = k1·a + k2 ·b
(v1, v2) = k1 (a1, a2) + k2 (b1, b2)
V1 = k1 · a1 + k2 · b1
V2 = k1 · a2 + k2 · b2
Diem que el vector V(v1,v2) es pot expressat com una combinació lineal dels vectors a(a1,a2) i b(b1,b2), si:
Per trobar k1 i k2 s’ha de ressoldre
un sistema d’equacions
Diem que (k1, k2) són les coordenades de V respecte els vectors a i b
CAP MATEMÀTIQUES 14
Representacions en altres bases
e2
V
(6, 3) = k1 (-2, 1) + k2 (0, -2)
6 = -2·k1 – 0·k2
3 = k1 - 2·k2
Exercici
Expressar el vector V = (6, 3) = 6 · u1 + 3 · u2
en coordenades de la base e1 = (-2, 1) i e2 =
(0, -2)
V = (6, 3) = (-3,-3) Coordenades Coordenades
en base u1, u2 en base e1, e2
-3·e2
-3·e1
e1
k1 = -3
k2 = -3
CAP MATEMÀTIQUES 15
Dependència-Independència vectors
Quan un vector V es pot expressar com una combinació lineal d’un o d’altres vectors diem que V és linealment dependent d’aquests vectors
Donats dos vectors, V1 = (a1, b1) i V2 = (a2, b2), si:
a1 b1── ≠ ─── a2 b2
Són independents
No són paral.lels
a1 b1 ── = ── a2 b2
Són dependents, per tant també paral·lels.
CAP MATEMÀTIQUES 16
Determinació vector unitari
Donat un vector V(a, b), definim el vector unitari W que té la mateixa direcció i sentit de V, com:
V (a, b) a b W = ──── = ────── = ──────, ────── | V | a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2
Demostració
| V | a2 b2 a2 + b2
|W| = ──── = ───── + ───── = ────── = 1 | V | a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2
CAP MATEMÀTIQUES 17
Divisió d’un segment en n parts I
Per dividir un segment AB en n parts iguals, hem de trobar els (n-1) punts intermedis que defineixen cada part.
Cas simple: Trobar el punt mig d’un segment
AM = ½ AB
( x - a1, y - a2) = ½ (b1 - a1, b2 - a2)
(x, y) = ½ (b1 + a1 , b2 + a2 )
A(a1, a2)
B(b1, b2)M(x, y)
CAP MATEMÀTIQUES 18
Divisió d’un segment en n parts II
Exercici
Trobar el punt més proper a A, resultant de la divisió del segment AB en 4 parts iguals, on A=(-2, -1) i B = (15, 20)
AX = 1/4 · AB
A(-2, 1)
B(15, 20)
Punt demanat (x,y)
CAP MATEMÀTIQUES 19
Producte escalar de vectors
a · b = | a | | b | cos(a, b)
a · b = (a1, a2) · (b1, b2) = a1 · b1 + a2 · b2
Propietats producte escalar
a) Conmutativa: a · b = b · a
b) Associativa mixta: k(a · b) = (ka) · b = a · (kb)
c) Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
Dues maneres de calcular el producte escalar:
CAP MATEMÀTIQUES 20
Angle format per dos vectors
a · b a1 · b1 + a2 · b2 cos(a, b) = ─────── = ──────────── | a | | b | | a | | b |
Aillant de la fòrmula del producte escalar:
Possibles situacions:
Angle = 0º
Vectors paral·lels
Angle = 90º
Vectors normals
Angle = 180º
Vectors oposats
CAP MATEMÀTIQUES 21
Vectors normals
Dos vectors són normals o perpendiculars si i només si el seu producte escalar és zero.
a · b = | a | · | b | · cos(90º) = 0 a b
Propietat Important
Donat un vector V(a, b), llavors la família de vectors W(-b, a) són perpendiculars
a · b = (a, b) · (-b, a) = -a · b + b · a = 0
CAP MATEMÀTIQUES 22
Projecció d’un vector sobre un altre
La projecció d’un vector V sobre W és defineix com:
WProjecció VW = ──── V = | V | · cos (V, W) |W|
És la mida del vector V projectat ortogonalment sobre el vector W
W
V
Projecció de V sobre W
CAP MATEMÀTIQUES 23
Determinació d’una recta
Una recta queda determinada amb:
Un punt A i el vector director V.
Dos punts A i B.
Vector director de la recta
Qualsevol vector que és paral·lel a la direcció de la recta
A
Vdirector
A
B
CAP MATEMÀTIQUES 24
Pendent d’una recta
El pendent d’una recta és la tangent de l’angle que forma la recta amb l’horitzontal:
m = tag (α)
També es pot veure com la raó entre les coordenades del vector director
bm = ─── a
α
V(a, b) Vector director
CAP MATEMÀTIQUES 25
Equació vectorial de la recta
Equació vectorial
(x, y) = (xo, yo) + k (v1, v2) Kε R
(xo, yo)
(x, y)(v1, v2)K (v1,
v2)
(xo, yo) + K (v1, v2)
CAP MATEMÀTIQUES 26
Equacions de la recta I
Equació vectorial
(x, y) = (xo, yo) + k (v1, v2) K és real
Equació paramètrica
x = xo + k v1
Y = yo + k v2
Equació contínuax – xo y - yo
───── = ───── v1 v2
CAP MATEMÀTIQUES 27
Equacions de la recta II
Equació implícita
Ax + By + C =0
Vnormal = (A, B)
Vdirector = (B, -A)Equació explícita
y = mx + b
m ≡ Pendent de la recta
b ≡ Ordenada a l’origen
Equació punt pendent
(y – yo) = m (x – xo)
CAP MATEMÀTIQUES 28
Rectes perpendiculars
Siguin r i s dues rectes perpendiculars, amb pendents m i m’, llavors es compleix que:
m · m’ = -1
Si els vectors directors de r i s són v1 i v2, llavors el seu producte escalar és zero:
v1 · v2 = |v1| |v2| cos 90º = 0
Si les coordenades de v1 són (a, b), les de v2 són múltiple de (b, -a):
v1 · v2 = (a, b)· (b, -a) = a · b – b · a = 0
CAP MATEMÀTIQUES 29
Equacions rectes paral·leles als eixos
Les rectes paral·leles a l’eix OX són del tipus:
y = k
Les rectes paral·leles a l’eix OY són del tipus:
x = kx = 3
y = 3
CAP MATEMÀTIQUES 30
Posició relativa punt i recta
Un punt i una recta poden presentar dos posicions:
El punt pertany a la recta
El punt es exterior a la recta
AA
CAP MATEMÀTIQUES 31
Distancia punt i recta
Distància Punt - Recta
P = (xo, yo) r ≡ A x + By + C = 0
|Axo + Byo + C|D(r, P) = ─────────── A2 + B2
Si el punt pertany a la recta, llavors es cumpleix que:
Axo + Byo + C = 0 D(r, P) = 0
CAP MATEMÀTIQUES 32
Posicións relatives dues rectes
Dues rectes r ≡ Ax + By +C = 0 i s ≡ A’x + B’y + C’ = 0 poden ser:
Secants A B── ≠ ─── A’ B’
Una sol·lució
Paral·leles
A B C── = ── ≠ ── A’ B’ C’
No te sol.lució
Coincidents
A B C── = ── = ── A’ B’ C’
Infinites solucions
CAP MATEMÀTIQUES 33
Distancia entre dues rectes
Primer es necessari estudiar la posició relativa de les rectes r i r’:
Si son secants D(r, r’) = 0
Si son coincidents D(r, r’) = 0
Si són paral·leles Agafem un punt P qualsevol de la recta r’ i apliquem la fórmula:
|Axo + Byo + C|D(r, P) = ───────── A2 + B2
Distància punt - recta