Campo elรฉctrico:
Distribuciones de
CargaClase 4 30/Enero/15
Calculo del campo elรฉctrico E
mediante la ley de Coulomb
La figura siguiente muestra un elemento de carga ๐๐ = ๐๐๐suficientemente pequeรฑo para que podamos considerarle como una
carga puntual. El campo elรฉctrico ๐๐ธ en un punto del campo debido a
este elemento de carga viene dado por la ley de Coulomb:
En donde ๐ es un vector unitario que apunta desde el elemento a dicho
punto.
๐๐ธ =๐๐๐
๐2 ๐
Calculo del campo elรฉctrico E mediante la
ley de Coulomb
Un elemento de carga produce
๐๐ produce un campo ๐๐ธ =๐๐๐/๐2 ๐ en el punto ๐. El campo
en ๐ debido a la carga total se
obtiene integrando esta
expresiรณn para toda la
distribuciรณn de carga.
๐๐ธ =๐๐๐
๐2 ๐
๐๐๐ = ๐๐๐
๐
Calculo del campo electrico E
mediante la ley de Coulomb
El campo total en ๐ se determina integrando esta expresiรณn para la
distribuciรณn de la carga completa. Es decir,
En donde ๐๐ = ๐๐๐. Si la carga esta distribuida sobre una superficie o lรญnea,
utilizaremos ๐๐ = ๐๐๐ด รณ ๐๐ = ๐๐๐ฟ e integramos para toda la superficie o
lรญnea.
๐ธ =
๐
๐๐๐
๐2 ๐
Campo electrico debido a una distribuciรณn continua de carga
Problemas
Problema 1
Una barra de 14cm de largo esta cargada uniformemente y tiene una
carga total de โ22๐๐ถ . Determine la magnitud y direcciรณn del campo
elรฉctrico a lo largo del eje de la barra en un punto a 36cm de su centro.
Problemas
Solucion
Datos
๐๐ก๐๐ก๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ = โ22๐๐ถ
๐ฟ๐๐๐. ๐๐๐๐๐ = 14๐๐
14 ๐๐
๐๐ฅ
29; 0 36; 0 43; 0
๐ฅ
๐ฅ
0
Problemas
Solucion
Nos piden: ๐ธ๐ก๐๐ก๐๐ ๐๐ 0 = ?
๐๐ธ๐๐ 0 =๐๐โ๐๐
๐ฅ2 ๐ =๐๐ ๐โ๐๐ฅ
๐ฅ2 ๐ donde๐
๐ฟ= ๐
โน ๐ธ๐ก๐๐ก๐๐ ๐๐ 0 = ๐๐ธ๐๐ 0 = ๐๐ โ ๐ 0.29๐
0.43๐ 1
๐ฅ2 ๐๐ฅ
Problemas
Solucion
โน ๐ธ๐ก๐๐ก๐๐ ๐๐ 0 = โ๐๐ โ๐
๐๐๐๐โ
1
๐ฅ 0.29๐
0.43๐
โน ๐ธ๐ก๐๐ก๐๐ ๐๐ 0 = โ8.99ร109 22ร10โ6
0.14๐
1
0.43โ
1
0.29
โด ๐ธ๐ก๐๐ก๐๐ ๐๐ 0 = 1.6 ร 106
Problemas
Problema 2
Tres cilindros plรกsticos sรณlidos tienen radio de 2.50 cm y longitud de 6cm.
Uno a) transporta carga con densidad uniforme de 15 ๐๐ถ/๐2 por toda su
superficie. Otro b) conduce carga con la misma densidad uniforme solo su
cara lateral curva. El tercero c) tiene una carga de densidad uniforme de
500 ๐๐ถ/๐3 en todo plรกstico. Encuentre la carga de cada cilindro.
Problemas
Soluciรณn
6 ๐๐ 6 ๐๐ 6 ๐๐
๐๐ด = 15 ๐๐ถ/๐2 ๐๐ต = 15 ๐๐ถ/๐2 ๐๐ถ = 500 ๐๐ถ/๐2
๐ด ๐ต ๐ถ๐ ๐ด = 2.50๐๐ ๐ ๐ต = 2.50๐๐ ๐ ๐ถ = 2.50๐๐
Problemas
Soluciรณn
Nos piden ๐๐ก๐๐ก๐๐ de cada cilindro = ?
๐๐ก๐๐ก๐๐ ๐๐ ๐ด = ๐ โ รก๐๐๐ = 15 ร 10โ9 2๐ 2.50 ร 10โ2 6 ร 10โ2 = 1.4 ร 10โ10๐ถ
๐๐ก๐๐ก๐๐ ๐๐ ๐ต = ๐ โ รก๐๐๐ = 15 ร 10โ9 2๐ 2.50 ร 10โ2 6 ร 10โ2 = 1.4 ร 10โ10๐ถ
๐๐ก๐๐ก๐๐ ๐๐ ๐ถ = ๐ โ รก๐๐๐ = 500 ร 10โ9 2๐ 2.50 ร 10โ2 6 ร 10โ2 = 4.7 ร 10โ9๐ถ
Problemas
Problema 3
Ocho cubos plรกstico solidos, cada uno con 3cm por lado, se unen par formar
cada uno de los objetos siguientes mostrados en la figura ๐, ๐, ๐ ๐ฆ ๐ .
A) Si cada objeto transporta carga con densidad uniforme de 400 ๐๐ถ/๐3 a
travรฉs de su volumen, ยฟCuรกl es la carga de cada objeto?
B)Si a cada objeto se le da una carga con densidad uniforme de 15 ๐๐ถ/๐2 en
todas las partes de la superficie expuesta, ยฟCuรกl es la carga en cada objeto?
Problemas
Problema 3
๐ ๐ ๐ ๐
3๐๐
3๐๐
3๐๐
3๐๐
3๐๐
3๐๐ 3๐๐
3๐๐
Problemas
Soluciรณn
Inciso a
Donde๐
๐= 400
๐๐ถ
๐3
๐๐ก๐๐ก๐๐ (๐) = 400 ร 10โ9 ๐ฃ๐๐๐ข๐๐๐
๐๐ก๐๐ก๐๐ (๐) = 400 ร 10โ9 0.06 ร 0.06 ร 0.06
๐๐ก๐๐ก๐๐ (๐) = 400 ร 10โ9 0.000216 = 86.4 ร 10โ12 = 86.4๐๐ถ
Problemas
Soluciรณn
Como ambas figuras tienen las mismas
dimensiones y la misma densidad de
carga volumetrica se concluye que
๐๐ก๐๐ก๐๐ ๐๐ ๐ = ๐๐ก๐๐ก๐๐ ๐๐ ๐=๐๐ก๐๐ก๐๐ ๐๐ ๐=๐๐ก๐๐ก๐๐ ๐๐ ๐
Problemas
Soluciรณn
Inciso b, figura a
Donde ฯ = 15๐๐ถ
๐2
๐๐ก๐๐ก๐๐ (๐) = 15 ร 10โ9 ๐๐๐๐ ๐ ๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐ก๐๐ก๐๐ (๐) = 15 ร 10โ9 6 ๐๐๐๐๐ 0.06 ร 0.06
๐๐ก๐๐ก๐๐ (๐) = 15 ร 10โ9 0.0216 = 324 ร 10โ12
Problemas
Soluciรณn
Inciso b, figura b
Donde ฯ = 15๐๐ถ
๐2
๐๐ก๐๐ก๐๐ (๐) = 15 ร 10โ9 ๐๐๐๐ ๐ ๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐ก๐๐ก๐๐ (๐) = 15 ร 10โ9 34 ๐๐๐๐๐ 0.03 ร 0.03
๐๐ก๐๐ก๐๐ (๐) = 15 ร 10โ9 0.036 = 459 ร 10โ12
Problemas
Soluciรณn
Inciso b, figura c
Donde ฯ = 15๐๐ถ
๐2
๐๐ก๐๐ก๐๐ (๐) = 15 ร 10โ9 ๐๐๐๐ ๐ ๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐ก๐๐ก๐๐ (๐) = 15 ร 10โ9 34 ๐๐๐๐๐ 0.03 ร 0.03
๐๐ก๐๐ก๐๐ (๐) = 15 ร 10โ9 0.036 = 459 ร 10โ12
Problemas
Soluciรณn
Inciso b, figura d
Donde ฯ = 15๐๐ถ
๐2
๐๐ก๐๐ก๐๐ (๐) = 15 ร 10โ9 ๐๐๐๐ ๐ ๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐ก๐๐ก๐๐ (๐) = 15 ร 10โ9 32 ๐๐๐๐๐ 0.03 ร 0.03
๐๐ก๐๐ก๐๐ (๐) = 15 ร 10โ9 0.036 = 432 ร 10โ12๐ถ
Carga de lรญnea infinita
Si la carga estรก distribuida con densidad uniforme ๐โ ๐ถ/๐ a lo largo deuna lรญnea recta infinita que escogeremos como eje๐ง, entonces el campo estรก dado por
Este campo tiene simetrรญa cilรญndrica y es inversamente proporcional a laprimera potencia de la distancia desde la lรญnea de carga. Para unaderivaciรณn de ๐ธ, como se muestra en la siguiente figura.
๐ธ =๐โ
2๐๐0๐๐๐
Coordenadas cilรญndricas
Carga de lรญnea infinita
๐ธ
๐๐ฟ๐ฅ
๐ฆ
โ
โโ
Problemas
Problema 0
Sobre una lรญnea descrita por ๐ฅ = 2๐, ๐ฆ = โ4๐ se distribuyen uniformemente
una carga de densidad ๐โ = 20๐๐ถ/๐. Determine el campo elรฉctrico ๐ธ en
โ2, โ1,4 ๐.
Problemas
Problema 0
๐(โ2, โ1,4)
๐ โฒ
๐โ
๐(2, โ4, ๐ง)
๐ฅ
๐ฆ
๐ง
Problemas
Soluciรณn
Calculamos primero el vector direcciรณn el cual es el siguiente:
๐๐ = โ2 โ 2, โ1 โ โ4 = โ4,3,0 = โ4i + 3j
Debido a esto tenemos:
๐ธ =๐โ
2๐๐0๐๐๐ =
20 ร 10โ9
2๐๐0(5)
โ4๐ + 3๐
5
Problemas
Soluciรณn
๐ธ =20 ร 10โ9
2๐ 8,8541878176 ร 10โ12 (5)
โ4๐ + 3๐
5
๐ธ = โ57.6๐ + 43.2๐ ๐/๐
Problemas
Problema 1
Una carga lineal uniforme de densidad ๐ = 3.5๐๐ถ/๐ se distribuye desde ๐ฅ =0 ๐ ๐ฅ = 5๐. (a) Cual es la carga total. Determinar el campo elรฉctrico que se
genera sobre el eje ๐ฅ en ๐ ๐ฅ = 6, ๐ ๐ฅ + 9๐ ๐ฆ ๐ ๐ฅ = 250๐. (e) Determinar el
campo en ๐ฅ = 250๐ usando la aproximaciรณn de que se trata de una
carga puntual en el origen y comparar el resultado con el obtenido
exactamente. En (d).
Problemas
Soluciรณn
Podemos utilizar la definiciรณn de ๐ para encontrar la carga total de la
carga lineal y la expresiรณn para el campo elรฉctrico en el eje de una carga
lineal finita para evaluar ๐ธ๐ฅ en las localizaciones dadas a lo largo del eje ๐ฅ.
En la parte (d) se puede aplicar la ley de Coulomb para el campo
elรฉctrico debido a una carga puntual para aproximar el campo elรฉctrico
en x = 250 m
Problemas
Soluciรณn
Utilizamos la definiciรณn de una densidad de carga lineal para expresar la
carga en terminos de ๐, por lo tanto tenemos:
๐ = ๐๐ฟ โ ๐ = 3.5๐๐ถ/๐ 5๐ = 17.5๐๐ถ
Problemas
Soluciรณn
Expresamos el campo electrico en el eje ๐ฅ de una carga lineal finita como:
๐ธ๐ฅ ๐ฅ0 =๐๐
๐ฅ๐ ๐ฅ0 โ ๐ฟ
Problemas
Soluciรณn Inciso b
Substituimos y evaluamos en la ecuaciรณn anterior para ๐ฅ = 6๐:
๐ธ๐ฅ 6๐ =8.99 ร 109๐ โ ๐2/๐ถ2 17.5๐๐ถ
6๐ 6๐ โ 5๐
๐ธ๐ฅ(6๐) = 26.2๐/๐ถ
Problemas
Soluciรณn Inciso c
Substituimos y evaluamos en la ecuaciรณn anterior para ๐ฅ = 6๐:
๐ธ๐ฅ 6๐ =8.99 ร 109๐ โ ๐2/๐ถ2 17.5๐๐ถ
9๐ 9๐ โ 5๐
๐ธ๐ฅ(6๐) = 4.37๐/๐ถ
Problemas
Soluciรณn Inciso d
Substituimos y evaluamos en la ecuaciรณn anterior para ๐ฅ = 250๐:
๐ธ๐ฅ 6๐ =8.99 ร 109๐ โ ๐2/๐ถ2 17.5๐๐ถ
250๐ 250๐ โ 5๐
๐ธ๐ฅ(6๐) = 2.57๐๐/๐ถ
Problemas
Soluciรณn Inciso e
Utilizamos la ley de Coulomb para hallar el campo elรฉctrico debido a una
carga puntual por lo tanto tenemos la siguiente aseveraciรณn:
Sustituimos valores y evaluamos ๐ธ๐ฅ(250๐)
๐ธ๐ฅ ๐ฅ =๐๐
๐ฅ2
๐ธ๐ฅ 250๐ =8.99 ร 109๐ โ
๐2
๐ถ2 17.5๐๐ถ
250๐ 2= 2.52๐๐/๐ถ
Problemas
Problema 2
Una carga de 2.75๐๐ถ esta unifomemente distribuida sobre un anillo de
radio 8.5cm. Determinar el campo elรฉctrico generado sobre el eje (a)
1.2cm, (b) 3.6cm y (c) 4m del centro del anillo. (d) Determinar el campo a
4m con la aproximaciรณn de que el anillo es una carga puntual en el origen
y comparar el resultado con el obtenido en el (c).
Problemas
Soluciรณn
La magnitud del campo electrico la cual esta dada por:
๐ธ๐ฅ ๐ฅ = ๐๐๐ฅ/ ๐ฅ2 + ๐2 3/2, donde ๐ es la carga del anillo y ๐ es el radio del
anillo. Nosotros usamos esta relaciรณn para encontrar el campo elรฉctrico en
el eje ๐ฅ dada la distancia al anillo.
Expresamos el campo electric del anillo como:
๐ธ๐ฅ =๐๐๐ฅ
๐ฅ2 + ๐2 3/2
Problemas
Soluciรณn Inciso a
De esta ultima expresion evaluamos para ๐ธ๐ฅ ๐ฅ = 1.2cm
๐ธ๐ฅ 1.2๐๐ =8.99 ร 109๐ โ ๐2/๐ถ2 2.75๐๐ถ 1.2๐๐
1.2๐๐ 2 + 8.5๐๐ 2 3/2= 4.69 ร 105๐/๐ถ
Problemas
Soluciรณn Inciso b
De esta ultima expresion evaluamos para ๐ธ๐ฅ ๐ฅ = 3.6cm
๐ธ๐ฅ 1.2๐๐ =8.99 ร 109๐ โ ๐2/๐ถ2 2.75๐๐ถ 3.6๐๐
3.6๐๐ 2 + 8.5๐๐ 2 3/2= 1.13 ร 106๐/๐ถ
Problemas
Soluciรณn Inciso c
De esta ultima expresion evaluamos para ๐ธ๐ฅ ๐ฅ = 4m
๐ธ๐ฅ 4๐ =8.99 ร 109๐ โ ๐2/๐ถ2 2.75๐๐ถ 4๐
4๐ 2 + 0.085๐ 2 3/2= 1.54 ร 103๐/๐ถ
Problemas
Soluciรณn Inciso d
Usando la ley de coulomb para calcular el campo electrico tenemos:
Sustituimos y evaluamos en ๐ฅ = 4๐
๐ธ๐ฅ =๐๐
๐ฅ2
๐ธ๐ฅ 4๐ =8.99 ร 109๐ โ ๐2/๐ถ2 275๐๐ถ 4๐
4๐ 2= 1.55 ร 103๐/๐ถ
Problemas
Problema 3
Una carga lineal uniforme se extiende desde ๐ฅ = โ2.5๐๐ ๐ ๐ฅ = +2.5๐๐ y
posee una densidad de carga lineal ๐ =6๐๐ถ
๐. (a) Determinar la carga total.
Hallar el campo elรฉctrico generado sobre el eje ๐ฆ en (b) ๐ฆ = 4๐๐, ๐ ๐ฆ =12๐๐ ๐ฆ ๐ ๐ฆ = 4.5๐๐ (e)Determinar el campo en ๐ฆ = 4.5๐ suponiendo que
la carga es puntual y comparar el resultado con el obtenido (d).
Problemas
Nosotros podemos usar la definiciรณn de ๐ para encontrar la carga en un
segmento de carga lineal uniforme
Problemas
Soluciรณn
++++++++++++++++++++
++++
๐1 ๐2
๐ฆ
๐ธ
๐ฆ
๐ฟ/2 ๐ฟ/2
๐ = ๐L
Problemas
Si usamos la ecuaciรณn que nos describe la component ๐ธ๐ฅ debida a un
segmento de carga lineal uniforme.
Por lo tanto tenemos
๐ธ๐ฅ =๐๐
๐ฆ๐๐๐ ๐2 โ ๐๐๐ ๐1
๐ธ๐ฅ =๐๐
๐ฆ๐๐๐ ๐ โ ๐๐๐ โ๐ โน ๐ธ๐ฅ = ๐๐๐ ๐ โ ๐๐๐ ๐ = 0
Problemas
Si usamos la ecuaciรณn que nos describe la component ๐ธ๐ฆ debida a un
segmento de carga lineal uniforme.
Por lo tanto tenemos
๐ธ๐ฆ =๐๐
๐ฆ๐ ๐๐๐2 โ ๐ ๐๐๐1
๐ธ๐ฆ =๐๐
๐ฆ๐ ๐๐๐ โ ๐ ๐๐ โ๐ โน ๐ธ๐ฆ =
2๐๐
๐ฆ๐ ๐๐๐
Problemas
Sustituyendo la funciรณn ๐ ๐๐๐ en funciรณn de ๐ฟ e ๐ฆ , de acuerdo a la figura
anterior tenemos lo siguiente
Por lo tanto tenemos
๐ ๐๐๐ =๐ถ. ๐
๐ป=
12
๐ฟ
12
๐ฟ2
+ ๐ฆ2
๐ธ๐ฆ =2๐๐
๐ฆ
12
๐ฟ
12
๐ฟ2
+ ๐ฆ2
Problemas
El vector E viene dado por:
๐ธ = ๐ธ๐ฅ๐ + ๐ธ๐ฆ๐ =2๐๐
๐ฆ
12
๐ฟ
12
๐ฟ2
+ ๐ฆ2
๐
Problemas
Soluciรณn Inciso a
De acuerdo a la definiciรณn para la distribuciรณn de una carga sobre una
linea tenemos que:
La densidad de carga la expresamos en terminus de ๐ en terminos de ๐ y
tenemos que:
๐ = ๐๐ฟ = 6๐๐ถ/๐ 5๐๐ = 0.300๐๐ถ
๐ธ๐ฆ =2๐๐
๐ฆ
12
๐ฟ
12
๐ฟ2
+ ๐ฆ2
Problemas
Soluciรณn Inciso b
Esto implica que podamos evaluar ๐ธ๐ฆ ๐๐ ๐ฆ = 4๐๐:
๐ธ๐ฆ 4๐๐ =2 8.99 ร 109๐ โ ๐2/๐ถ2
0.04๐
12
6๐๐ถ/๐ 0.05๐
0.025๐ 2 + 0.04๐ 2= 1.43๐๐/๐ถ
Problemas
Soluciรณn Inciso c
Esto implica que podamos evaluar ๐ธ๐ฆ ๐๐ ๐ฆ = 12๐๐:
๐ธ๐ฆ 12๐๐ =2 8.99 ร 109๐ โ ๐2/๐ถ2
0.12๐
12
6๐๐ถ/๐ 0.05๐
0.025๐ 2 + 0.12๐ 2= 183๐๐/๐ถ
Problemas
Soluciรณn Inciso d
Esto implica que podamos evaluar ๐ธ๐ฆ ๐๐ ๐ฆ = 12๐๐:
๐ธ๐ฆ 4.5๐ =2 8.99 ร 109๐ โ ๐2/๐ถ2
4.5๐
12
6๐๐ถ/๐ 0.05๐
0.025๐ 2 + 4.5๐ 2= 0.133๐/๐ถ
Problemas
Soluciรณn Inciso e
Usamos la ley de Coulomb para encontrar el campo electric ๐ธ๐ฆ , tenemos que:
๐ธ๐ฆ ๐ฆ =๐๐
๐ฆ2
Problemas
Soluciรณn Inciso e
Sustituyendo y evaluando tenemos para ๐ธ๐ฆ ๐๐ ๐ฆ = 4.5๐:
๐ธ๐ฆ 4.5๐ =๐๐
๐ฆ2=
8.99 ร 109๐ โ ๐2/๐ถ2 0.3๐๐ถ
(4.5๐)2= 0.133N/C
Problemas 4
Problema 4
Un pedazo de poliestireno de masa ๐ tiene una carga neta de โ๐ y flota
sobre el centro de una lรกmina de plรกstico horizontal muy larga, que tiene
una densidad de carga uniforme en su superficie. ยฟCuรกl es la carga por
unidad de รกrea de la lรกmina de plรกstico?
Problemas 4
Soluciรณn
Sea la figura
Nos piden:๐๐๐๐๐
รก๐๐๐= ๐ =?
๐ โ๐
๐
๐ธ
๐ฟรก๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐รก๐ ๐ก๐๐๐ ๐๐ข๐ฆ ๐๐๐๐๐
Problemas 4
Haciendo Diagrama de cuerpo libre
๐ โ ๐ธ
๐๐
๐น๐๐๐ก๐
Problemas 4
Soluciรณn
Suponiendo que la carga flota a una distancia ๐; entonces
Luego: ๐ โ ๐ธ = ๐๐
โน๐โ๐๐โ๐
๐2 = ๐๐
โน๐๐โ๐โ๐โรก๐๐๐
๐2 =๐๐โ๐โ๐โ๐2
๐2 = ๐ โ ๐
โด ๐ =๐๐
๐๐โ๐
๐
รก๐๐๐=
๐
๐2
๐๐๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐
= ๐
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