TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS
CALCULO INTEGRAL
PROBLEMARIO
a
a
a
a
dxxfkdxxfk )()(
M. en C. FAUSTO ALARCON HERNANDEZ
La serie de ejercicios propuestos en el presente problemario esta dirigida a
los estudiantes de segundo semestre de las diferentes carreras de ingeniería
del Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec y para todo estudiante
que este interesado o tenga la necesidad de ejercitar los conceptos del
calculo integral.
La serie de ejercicios ha sido seleccionada para el estudiante promedio Los
prerrequisitos necesarios para ser abordados son; algebra, geometría y
trigonometría y geometría analítica de nivel bachillerato.
ÍNDICE
DIFERENCIALES
1
INTEGRACIÓN
2
INTEGRACIÓN DE UNA FUNCION COMPUESTA POR SUSTITUCION
5
INTEGRACION POR PARTES
13
INTEGRALES TRIGONOMETRCAS
21
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
25
INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES
29
CALCULO DE AREA
33
VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
34
VOLÚMEN DE SÓLIDOS CON SECCIONES CONOCIDAS
36
INTEGRALES IMPROPIAS
38
1
Diferenciales
Definición.
Supóngase que y = f(x) representa una función
diferenciable en un intervalo abierto que contiene
a x. La diferencial de x (denotada por dx) es
cualquier número real diferente de cero. La
diferencial de y (denotada por dy) es.
dy = f ’ (x) dx
En los siguientes ejercicios use la información con
el fin de evaluar y comparar y y dy.
1. y = 1 – 2x2 x = 2 1.0dxx
2. y = x4 + 1 x = - 1 01.0dxx
3. x
1y x = 2 001.dxx
En los problemas 4 y 5 complete la tabla siguiente
para cada función.
x x y dy dyy
2 1
2 0.5
2 0.1
2 0.01
4. y = 5x2 5. x
1y
Encuentre la diferencial dy de la función dada.
6. 2x9y 7.
2
1x6
51 Seny
8. CosxxSenxy 9. 41
5x8y 3
10. 1x
1xy
2
2
11. )3x(Lney x
12. x
1xy 13.
1x
xSecy
2
2
Utilice el concepto de diferencial para encontrar
para encontrar una aproximación a la expresión
dada.
14. 35 15. 99
1
16. 1)9.0(
)9.0( 4
17. 1.0Tan
4
18. Sen 31º 19. (1.1)2 + 6(1.1)2
20. Se encuentra que la medida del lado de un
cuadrado es de 12 pulgadas, con un error posible
de 641 pulgada. Use diferenciales para obtener una
aproximación del error propagado posible en el
cálculo del área del cuadrado.
21. El radio de una esfera mide 6 pulgadas, con un
error posible de 0.02 pulgadas. Use diferenciales
para obtener una aproximación del error máximo
posible en el cálculo del a) volumen de la esfera,
b) el área superficial de esta y c) los errores
relativos en los incisos a y b.
22. El alcance R de un proyectil es
2Sen32
vR
20
Donde v0 es la velocidad inicial, en pies por
segundo, y θ es el ángulo de elevación. Si
v0 = 2200 pies por segundo y se cambia el ángulo
de 10º a 11º, use diferenciales para obtener una
aproximación del cambio en el alcance.
23. Un tanque de almacenamiento de aceite en
forma de cilindro circular vertical tiene una altura
de 5 m. El radio mide 8 m, con un error posible de
25.0 m. Utilice diferenciales para calcular el
error máximo en el volumen. Encuentre el error
relativo aproximado y el porcentaje aproximado de
error.
2
Integración
Una función F es una primitiva o antiderivada de f sobre un intervalo I si f(x)(x)'F para todos los x
en I.
Observe que
31 2)( xxF , 32)( 3
2 xxF , y 102)( 33 xxF
Son antiderivadas de 26)( xxf . En general para cualquier constante C, la función CxxF 32)( es
una antiderivada de f.
Si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f sobre el intervalo I si
y sólo si G tiene la forma
CxFxG )()(
En la solución de una ecuación diferencial de la forma
)(xfdx
dy
Es conveniente escribirla en su forma diferencial equivalente
dxxfdy )(
A la operación de hallar todas las soluciones de esta ecuación se le llama antiderivacion o mejor aún
integración (integración indefinida) la cual se indica con el signo de integración . Así la solución de la
ecuación se denota como
CxFdxxfy )()(
en donde
f(x) es el integrando
dx indica la variable de integración.
C es la constante de integración
La integración y derivación tiene un carácter inverso, para comprobarlo basta sustituir )(́xF por )(xf en
la definición.
3
CxFdxxF )()(' La integración como “inversa de la derivación.
Ahora bien, si CxFdxxf )()( , entonces.
)()( xfdxxfdx
d
La derivación como operación “inversa” de la integración.
Estas dos expresiones permiten obtener las formulas básicas de integración de las formulas de derivación.
REGLAS BASICAS DE INTEGRACION
Formulas de derivación
Formulas de integración
0Cdx
d Cdx0
kkxdx
d Ckxdxk
)(')( xkfxkfdx
d dxxfkxkf )()(
)(')(')()( xgxfxgxfdx
d dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
1 nn nxxdx
d 1,
1
1
nCn
xdxx
nn
CosxSenxdx
d CSenxdxCosx
SenxCosxdx
d CCosxdxSenx
xSecTanxdx
d 2 CTanxdxxSec2
xCscCotxdx
d 2 CCotxdxxCsc 2
TanxSecxSecxdx
d CSecxdxTanxSecx
CotxCscxCscxdx
d CCotxdxCotxCscx
4
ESQUEMA GENERAL DE INTEGRACION
Ejemplo:
Integral dada Reexpresar Integrar Simplificar
i) dxx4
2 =
dxx 42 = Cx
32
3
= Cx
33
2
ii) dxx35 = dxx 31
5 = Cx
3
4
43
5 = Cx 43
4
15
iii) dxSenx3 = Senxdx3 = CCosx 3 = CCosx 3
iv)
dxx
x 2 =
dxxdxx 2
121
2 = Cxx
2
1
2
3
21
23
2 = Cxx 21
23
43
2
PROCEDIMIENTOS PARA AJUSTAR INTEGRANDOS A LAS FORMULAS BASICAS
Técnica
Ejemplo
Desarrollar xxx eee 22211
Separar el numerador
11
1
1
1222
x
x
xx
x
Completar el
cuadrado 22 )1(1
1
2
1
xxx
Dividir si la función
racional es impropia
Sumar y restar
términos al
numerador
1
11
1 22
2
xx
x
2222 )1(
2
12
22
12
222
12
2
xxx
x
xx
x
xx
x
Usar identidades
trigonométricas
Multiplicar y dividir
por el conjugado
pitagórico
122 xCscxCot
xCos
SenxxSec
xCos
Senx
xSen
Senx
Senx
Senx
SenxSenx 2
2
22
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Integral dada Reexpresar Integrar Simplificar
5
INTEGRACIÓN DE UNA FUNCION COMPUESTA POR SUSTITUCION
Sean f y g funciones que satisfacen las condiciones de la regla de la cadena para la función compuesta
))(( xgfy . Si F es una primitiva de f, entonces.
CxgFdxxgxgf ))(()('))(( ( I )
Haciendo )(xgu , entonces dxxgud )(')( y sustituyendo en I
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()('))((
Ejemplo:
1)
CxC
uduudu
udx
x
x 2
212
525
235
15
3
5 21
21
xdxdu
dxxdu
xu
21
2
2
3
2)
C
xxC
u
uduudu
udx
xx
x
622
1
2
1
12
115
62
12
1
212
21
222
dxxdu
dxxdxxdu
xxu
1
1222
62
2
1
2
3) CeLnu
dudx
e
e x
x
x
2
2
dxedu
eu
x
x
2
4) CxCosduudxSenxxxCos 24
8
13
2
1223
dxxSenxdu
dxxCosxdu
Cosxu
2
2
1
2
2
2
6
Evaluar las siguientes integrales
y comprobar el resultado por
diferenciación
1. dxxa5 62
2. dxxx 386 2
3. dxbxaxx
4. dxpx2
5. dxbxa
2
3
6. n x
dx
7.
dxnx nn1
8. dxxa
3
32
32
9.
dx
ax
xa4
10. dx1xx1x
11.
dxx
2x1x
3 2
22
12.
dx
x
xx2nm
13. 7x
dx
2
14. 10x
dx
2
15.
dxx4
x2x2
4
22
16. 2x8
dx
17. 2x4
dx
18. xdxTan2
19. xdxCot2
20. dxe3 xx
21. xa
adx
22.
dx
x23
x31
23. bxa
xdx
24. dx1x2
3x2
25. dxbax
bax
26. dx1x
1x2
27. dx3x
7x5x2
28. dxax
ba
2
29.
dx1x
x
2
30. dx1x
1xx 24
31. .y1
bdy
32. dxbxa
33. dx1x
x
2
34. 5x3
dx
2
35. 8x7
dx
2
36. dxx
xlnx
37. 2xbaba
dx
7
38. dx2x
x
2
2
39. dx
xa
x
22
3
40. 2x87
dx
41. 2x57
dx
42.
dx
4x
6x5x
2
2
43.
dx
2x3
5x2
2
44.
dx
7x5
x23
2
45.
dx
1x5
1x3
2
46. 5x
xdx
2
47. 3x2
xdx
2
48. dx4x
3x
2
49.
dx
bxa
bax
222
50. 4xa
xdx
4
51. dx1 6
2
x
x
52. dx
x4
arctg
22x
54. dx
x1
arcsenx
2
55.
dx
x41
x2arctgx
2
56.
22 11 xxLnx
dx
57. dx4 x32
58. dtee tt
59.
dxee
2
a
x
a
x
60. dxae mx
61.
dxba
ba
xx
2xx
68.
dxa
1a
x
x2
69. dxxe 1x2
70. dxx
e
2
x
1
71. x
dx5 x
72. dx7x2x
73. dx
1e
e
x
x
74. dxbeae xx
75. dxe1e a
x3
1
a
x
76. x2
x
a1
dxa
77.
dx
e1
e
bx2
bx
78. x2
dx
79. t2
t
e1
dte
80. dxbxaSen
8
81. dx2
xCos
82. x
dxxCos
83. x
dxxLogSen
84. dxSenaxCosax2
85. xdxSen2
86. xdxSen2
87. axdxCot 2
88. a
xSen
dx
89.
4x5Cos3
dx
90. dxbaxSec2
91. baxSen
dx
92. 22 xCos
xdx
93. dxx1xSen 2
94. dxTanx
98. dxxCot
99. dx1Senx
12
100. dx
ba
xCot
101. 5
xTan
dx
102. x
dxxTan
103. dxa
xSen
a
xCos
104. CosxSenx
dx
105. dx1xxcTan 2
106. dxx6xCos6Sen3
107. dxaxSen
Cosax
5
108. dx
x3Cos3
x3Sen
109. dxx2xSenCos31 2
110. dx3
xSec
3
xTan 23
111. dx
xSenxCos
SenxCosx
22
112. dxxCos
Tanx
2
113. dxxSen
xCot
2
3
2
114.
dxx3cos
x3sen1
2
115. dxx3aCot6
x3Csc2
116.
dx
Senax
SenaxCosax2
117. xdxsh2
118. shx
dx
119. chx
dx
9
120. thxdx
121. cthxdx
122. shxchx
dx
123. dxx5x 5 25
124.
dx
1x4x
1x
4
3
125. dx
5x
x
8
3
126.
dx
x32
x323
2
2
127.
dx
1x
1x3
128. dxxe
2x
129. xe
dx
130.
dx
Cosxx
Senx1
131.
dxx3Sen
x3Cotx3Tan
132. dx
2xTan
xSec
2
2
133. dxxxLn
dx
2
134.
dx
1x2
x2
2
135. Cosxdxa xsec
136. dx
1x
2x
3 3
137. 4x1
xdx
138. dxaxTan2
139. dx2
xSen2
140. xTan4
dxxSec
2
2
141. 2xSen
dxx
142.
dx
x1
12x1Lnxe
2
xcotar
143.
1x
dx1xTan
144.
dx
CosxSenx
CosxSenx
145.
dxSen
Sen1
2
x
2
2
x
146. dx
2x
x
2
2
147. xdx2Sene xSen2
148.
dx
x1x
x1
2
2
149.
dx
x34
x35
2
150. 1e
dx
x
151.
ab0
xbaba
dx
2
152. dx
2e
e
x2
x
153. CosaxSenax
dx
154. xLn4x
dx
2
155. dxxsece 2Tanx
10
156. dxx4
arccos
2
2x
157. dx
x4sen2
CosxSenx
158. xCosxSen
dx
22
159. dx
1xSec
TanxSecx
2
160.
dx
x1
xarcsenx
2
161. dx
x22Cos4
x2Cos
2
162. xCos1
dx
2
163.
dx
x1
12xxLn
2
164. dx3xchx 32
165. dx5x2x10
166. dxxch
thx3
2
167. 1x2x
dx
168. 1e
dx
x
169. x
dx
x4Ln
x2Ln
170.
dx
1e
e
x
x2
171.
dx
x1
arcsenx
2
2
172. dxCosx
x3Sen
173. 2x1x
dx
174. 2
2
x1
dxx
175. 2
3
x2
dxx
176. 1xx
dx
2
177. x1x
dx
Sugerencia; hacer x = Sen2 t
178. dxx
ax 22
179.
dxx
1x2
180. 22 x4x
dx
181. dxx1 2
182. dxarcsenx
183. actgxdx
184. dxLnx
185. dxxsenx
186. dxx3cosx
187. dxe
x
x
188. dxexx32
189. dxe5x2x x2
190. dx2x x
191.
dxex 3
x
3
11
192. dxxSenxCosx
193. dxLnxx2
194. dxx
xLn
195. dxxarctgx
196. dxxLn2
197.
dxx1xLn 2
198. dxxarcsenx
199. xSen
xdx
2
200. dxCosx3x
201. dxsenxex
202. dxxSen
xCosx
2
203. dxSenbxeax
204. dxLnxSen
205. dx3 x
206. dxLnx3x2x2
207.
dx
x1
x1xLn
208. dxex
2x3
209. dxarcsenx2
210. dxx
arcsenx
2
211. dxarctgxx2
212. dx
x1
xarcse
213. dxx2xtg 2
214. dxe
xSen
x
2
215. dxxLnCos2
216.
dx
1x
x
22
2
217.
222 ax
dx
218. dxxa 22
219. dxxa 2
220. 2
2
x9
dxx
221. 5x2x
dx
3
222. x2x
dx
2
223. 1xx3
dx
2
224. x2x
dx
2
225. 2x2x32
dx
226. 2xx
dx
227. qpxx
dx
2
228. dx
5x4x
6x3
2
229. dxx
xLn
2
2
12
230.
dxx
LnxLn
231. dxx3arctgx2
232. dx
xx1
8x2
2
233. dx
1x2x5
x
2
234. 2x1x
dx
235. 1xxx
dx
2
236.
2x1x
dx
2
237. dx5x2x2
238. dxxx 2
239. dxxx2 2
240. 3x4x
xdx
24
241. dx
12Senx6xSen
Cosx
2
242. x2x
x
ee1
dxe
243.
1Cosx4xCos
Senxdx
2
244. xLnLnx41x
dxLnx
2
245. bxax
dx
246. 3x2x1x
dx
247.
dx
6x5x
9x5x
2
2
248.
dx
4x3x1x
91x41x2 2
249.
dx
x4x5x
2x5
23
3
250.
21xx
dx
251. dxxx4
1x
3
3
252.
dx
8x12x6x
6x12x6x
23
234
253.
dx
1x3x
9x6x5
22
2
254.
dx
10x3x
7x8x
22
2
255.
dx
2x3x
3x2
32
256.
dx
1xx
1xx
2
3
257. dx
1x
x
4
4
258.
5x4x3x4x
dx
22
259. 1x
dx
3
260. 1x
dx
3
261. 1x
dx
3
262.
22x1
dx
263.
dx
2x2x
5x3
22
264.
22 1xx1x
dx
265.
dx
5x4x
1x
22
3
13
266.
21x2x1x
dx
267.
222
1x1x
dx
268.
24 1x
dx
269.
42 1x
dx
270.
dx
2x2x
2x2x
22
24
271.
dx8x1x
x
33
5
272. dx1x2x
xx
412
37
273.
dx2x4x
14xx
3
2
274.
234 1xx
dx
275.
234 1xx
dx
276. 1xx
dx
7
277.
25 1xx
dx
278. 2x52x4x
dx
3
279. 1xx
dx
7
280.
25 1xx
dx
281.
5x2x2x2x
dx
22
282.
10
2
1x
dxx
283. 68 xx
dx
284. dx
1x
x3
289. 3 bax
xdx
290.
3
1x1x
dx
291. 3 xxx
dx
292.
dx
1x
1x
3
293.
dx
1x1x
21x
2
294.
10
2
1x
dxx
295. x1x2
dx
296.
dx
1x
1x3
297.
dx
3x2x
3x
3
298. 1xx
dxx
2
2
299.
dxx
x
2
5
1
300.
dx
x1
x
2
6
301. 1xx
dx
25
302.
x2x1x
dx
23
303.
dx
1xxx
1xx
2
2
304. dxx21x23
23
305. 4 4x1
dx
306. 4 2x1
dx
14
307. 3 5x1x
dx
308.
35
3x2x
dx
2
309. 3 4 33 xx1x
dx
310. dxxCos3
311. dxxSen5
312. dx2
xCos
2
xSen 53
313. dxxSen4
314. dxxxCosSen 22
316. dxxCosSen 42
317. dxxCos3
318. xSen
dx
4
319. dxxxCosSen 32
320. xCos
dx
6
321. dxxSen
xCos
6
2
322. xxCosSen
dx
35
324. xxCosSen
dx
42
325. x5Sen
dx
326.
dxSenxCosx
4xSen
327. dxx4Sec5
328. dxx5Tan2
329. dxxCot 3
315. dxxSen
xCos
3
5
324. 323. 2
x3
2
x CosSen
dx
15
INTEGRACION POR PARTES
De la regla para derivar el producto de dos funciones
dx
duv
dx
dvuuv
dx
d ( I )
donde u y v son funciones de x
La integración de I da lugar a una formula
dxdx
duv
dx
dvudxuv
dx
d
duvdvuuv
Llamada fórmula de integración por partes
Al aplicar esta formula la idea es resolver la integral udv por medio de la evaluación de la integral
vdu , la cual se espera sea mas sencilla.
Ilustremos este método con un ejemplo.
Ejemplo 1. Hallar dxxe x
Hagamos: xu y dxedv x
dxdu dxedv x
xev
Entonces al integrar por partes
duvuvdvu
16
CexCexedxexedxxe xxxxxx 1
Ejemplo 2. Hallar dxxxLn2
Hagamos xLnu 2 y xdxdv
Entonces x
du1
2
21 xv
CxxLnxdxxxLnxdxxxLn 3
612
212
212
21 222
Ejemplo 3. Hallar dxSenxex
Hagamos xeu y Senxdxdv
Entonces xedu Cosxv
dxxeCosxedxSenxe xxx cos
Para la última integral, sea xeu y dxCosxdv ; entonces,
xedu y dxCosxdv ; así
dxSenxeSenxeCosxedxSenxe xxxx
Trasladando la última integral
SenxeCosxedxSenxe xxx 2
Finalmente,
CCosxSenxe
dxSenxex
x 2
17
Compruebe las siguientes integrales, utilizando integración por partes.
1. CxxLnxdxLnx
2. CCosxxSenxdxxCosx
3. Cxxarcsenxdxarcsenx 21
4. Cexedxxe xxx 2
412
212
5. CxLnxxdxxLnx 2
412
21
6. CCosxxSenxCosxxdxSenxx 2222
7. CxxLnxxxLndxxLn 2222
8. CCosxSenxdxSenxexex )(
2
9. Cexxdxex xx 63 233
10. CxxxxSenxdxxSenx )1(1 2
322213
311
11. CxLnxxdxx )1(arctanarctan 2
21
12. CxLnxxdxx
xLnx42
13. CTanxSecxLnSecxTanxdxxSec )(213
18
14. CCosxLnxTanxdxxxTna x )(2
2 2
15. Cxxdxxx 23)1(1 23
152
16. CLnxxCosLnxSendxLnxSen )()(21
17. CLnxLnxLnxLndxx
LnxLn )(
)(
18. Cxxdxxx )6()9(9 22
5123 2
3
19.
CLnxxdx
x
xLn212
1
)1(
20. CCosxSenxe
dxe
Senxxx 2
1
21. CLna
axxdxax
xx 2222
22. CLnxxLnx
dxx
xLn148
32
1 2
45
2
23.
CSenxCosxLnLn
dxCosxx
x )2(12
22
2
19
MÉTODO TABULAR PARA EL USO REPETIDO DE LA INTEGRACIÓN POR PARTES.
ESTE MÉTODO FUNCIONA BIEN PARA INTEGRALES DE LOS TIPOS SIGUIENTES.
Senaxdxxn , Cosaxdxxn , dxex axn
EJEMPLO, HALLAR: xdxSenx 4
SOLUCIÓN: COMO DE COSTUMBRE, EMPEZAMOS HACIENDO 2xu , dv = Sen4x dx A
CONTINUACIÓN, CREAMOS UNA TABLA DE TRES COLUMNAS COMO SIGUE.
u Y SUS DERIVADAS
SIGNOS
ALTERNADOS
dv Y SUS PRIMITIVAS
2x
+
Sen 4x
2x - xCos4
4
1
2 + xSen4
16
1
0 - xCos464
1
DERIVAR HASTA OBTENER CERO.
FINALMENTE, LA SOLUCIÓN SURGE DE MULTIPLICAR LOS PRODUCTOS CON SIGNO DE LAS ENTRADAS
DIAGONALES, LO QUE CONDUCE A.
cxCosxxSenxCosxxdxSenx 444432
1
8
12
4
12
20
USA EL MÉTODO TABULAR PARA EVALUAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES.
21. dxex x3 22. xdxCosx 23
23. xdxxSec2 24. dxxx 2
32 2
25. dxex x22 26. Senxdxx3
RESUMEN DE ALGUNAS INTEGRALES POR PARTES COMUNES.
1. ,dxex axn Senaxdxxn , Cosaxdxxn
Tomar: .cos, dxaxosenaxdxdxedvyxu axn
2. ,dxxLnn
x ,axdxarcsenxn axdxarctgxn
Tomar: ., dxxdvyaxarcsenxLnu n
3. ,dxbxSeneax
Tomar: menterespectivaSenbxdxodxedvyeobxSenu axax ,
21
INTEGRALES TRIGONOMETRCAS
Evaluación de integrales de la forma.
duuCosuSen nm
y duuTanuSec nm
donde m y n es un entero positivo.
Para la solución de estas integrales se intenta descomponerlas en combinaciones de integrales
trigonométricas, a las que es posible aplicar la regla de la potencia Cn
uduu
nn
1
1
.
i) Para la duuCosuSen nm
1. Si m es impar, dejar un factor seno y los factores restantes se convierten en cosenos usando la identidad,
Sen2x + Cos2x = 1, desarrollar e integrar.
duuSenuCosuCosduSenuuCosuSenduuCosuSen nknknk 2212 1
2. Si n es impar, dejar un factor coseno y los factores restantes se convierten en senos usando la identidad,
Sen2x + Cos2x = 1, desarrollar e integrar.
duCosuuSenuSenduCosuuCosuSenduuCosuSenkmkmkm 2212 1
3. Si m y n son pares, usar en forma repetida las identidades
xCosxSen 21212 y xCosxCos 21
212
Para convertir el integrando en potencias impares de coseno, Aplicar las indicaciones de (2)
Ejemplo 1: Hallar dxxxSenCos 43
dxxCosxSenxsendxxCosxxSenCosdxxxSenCos 424243 1
CxSenxSendxxCosxSendxCosxxSen 7
715
5164
22
Ejemplo 2: Hallar dxCosx
xSen3
dxxSenxCosxCosdxxSenxxCosSendxCosx
xSen2
12
1 223
1
CCosxxCosdxxSenxCosxSenxCos 225
23
21
52
Ejemplo 3: Hallar dxxSen 24
dxxCosdxxCosdxdxxCosdxxSendxxSen 4424122 2
41
2
41
224
CxSenxxSenxdxxCosxSenx 84814641
81
81
41
81
81
41
CxSenxSenx 84641
81
6417
ii) Para la duuTanuSec nm
1) Si m es par, dejar un factor de la secante al cuadrado y convertir los factores restantes en tangente,
desarrollar e integrar.
duuuSecTanuTanduuSecuTanuSecduuTanuSec nknknk 2122122 1
2) Si n es impar, dejar un factor Secante-Tangente y convertir los factores restantes en secantes, desarrollar
e integrar.
duSecuTanuuSecuSecduSecuTanuuTanuSecduuTanuSeckmkmkm 1212112
Si no aplica las indicaciones anteriores, intentar convirtiendo a senos y cosenos.
Ejemplo 4: Hallar dxSecx
xTan3
dxxSecxTanxxTanSecdxxTanxSecdxSecx
xTan 233
23
21
=
23
dxxSecxTanxSecdxxSecxTanxSecdxSecxTanxxSecxSec 23
21
23
12
CSecxxSec 223
32
Ejemplo 5: Hallar dxxTanxSec 22 34
dxxxSecTanxTandxxxSecxTanSecdxxTanxSec 222122222 23223234
dxxxSecTandxxxSecTan 2222 2523
CxTanxTan 33 6
1814
121
EJERCICIOS
LAS SIGUIENTES IDENTIDADES SE UTILIZAN PARA HALLAR ALGUNAS DE LAS INTEGRALES
TRIGONOMÉTRICAS SIGUIENTES.
1. 122 xCosxSen 2. xSecxTag 221
3. xCscxCot 221 4. xCosxSen 212
12
5. xCosxCos 212
12 6. yxCosyxCosSenxCosx 2
1
7. yxSenyxSenSenxCosy 2
1 8. yxCosyxCosSenxSeny 2
1
9. yxCosyxCosCosxCosy 2
1 10. xSenCosx2
1221
11. xCosCosx2
1221 12. xCosSenx 2
11
EVALUA LAS SIGUIENTES INTEGRALES:
1.
c
xCosxCos
xCosdx
xSen
25
1
3
2
22
2
533
2. cxCosxCosCosxxdxSen 535
5
1
3
2
3. cxSenxxdxCos 24
1
2
12
4. cxSenxxdxCos 48
1
2
12
5. cxSenxSenxSenxxdxSen 248
14
64
32
4
1
16
5 36
24
6. cxCosCosxxdxSenxCos 36
1
2
12
7.
c
xCos
xCosdx
xxCosSen
2
7
7
1
2
5
5
1
23
8. cxSenSenxxSenxdxSen 36
1
2
12
9.
c
xTgdx
xSec
xTg
25
6
223 524
10. cabxTgab
abxdxTgabxSec 22 24
11. cCosxCosxdxCosx
xSen2
5
5
22
3
12. cxSenxSenx
dxCos 432
12
4
1
8
34
13. cSecx
SecxdxSecx
xTan 2
3
22
33
14. cxTanxTanxdxxTanSec 36
13
4
133 6434
15. cxCotxCotxdxxCotCsc 7544
7
1
5
1
16. cCscxdxTanx
Secx
17. cxTagxTagxdxSec 26
12
2
12 34
18. cSenxxSenxdxxCosSen5
1
3
1 322
25
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Con el Teorema de Pitágoras y una sustitución trigonométrica adecuada pueden simplificarse integrales que
involucre expresiones de la forma
22 ua 22 ua
22 au
Para integrales que contienen la:
1. 22 ua , hacer
aCosua
dCosdu
Senu
22
2. 22 ua , hacer
aSecua
dSecdu
Tanu
22
2
3. 22 au , hacer
aTanau
dTanSecdu
Secu
22
Ejemplo1: Hallar 2
2
9 x
dxx
a u
22 ua
a
u
22 ua
a
u 22 au
26
Cosx
xCos
dCosdx
Senx
xSen
39
3
9
3
3
3
2
2
dCosdSen
Cos
dCosSen
x
dxx219
3
)3(9
9292
2
2
2
CxxSenCCosSenCSen x 2
29
3
1
29
29
29
29 42
4
9
Ejemplo 2: Hallar
23
42x
dx
Secx
dSecdx
Tanx
24
2
2
2
2
Cx
xCSendCos
Sec
dSec
x
dx
241
41
3
2
2 448
2
42
3
Ejemplo 3: 542 xx
dx
1)2(14434 222 x
dx
xx
dx
xx
dx
Tanx
dTanSecdx
Secx
xSec
1)2(
2
2
2
3 x
29 x
2
24 x x
1
x-2
1)2( 2 x
27
Ejercicios: Integrando verifica las siguientes integrales.
CxxxLn
xx
dx
CxxxxSendxxx
Cx
x
xx
dx
Carcsen
x
dx
CxxLnxxdxx
Carcsen
x
dx
Cxxxarcsendx
xx
x
Cx
xxdxx
x
Cxxarcsenx
x
dxx
x
x
x
122.9
4424.8
1
1
.7
9
.6
)4(244.5
9
.4
)12(.3
2arctan)1(
1.2
1
1
.1
2
2
23412
21
2122
2
22
32
22212
22
221
2
221
2
221
21
2
2
28
Cxx
xLn
xx
dx
Cx
arcsenxx
dx
Cxxx
dxx
Carcxx
dx
CxxLnx
dx
CLnxx
dx
Carcsenxx
x
x
dxx
Cxx
arcsenx
dxx
Cx
x
x
dx
x
x
x
x
|2
1|
2.18
4
4
8.17
1899
.16
sec25
.15
|142|14
.14
925.13
1)1(.12
2
42
4.11
2525)25(.10
23
2
2
2
22
3
1
2
3
55
1
2
2
2
1
2
9255
3
5
1
2
22
2
2
22
2
25
2
23
29
INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES
Descomposición de )(
)(
xQ
xP, donde P y Q son polinomios, en fracciones simples.
1. Dividir si es impropia: Si)(
)(
xQ
xP es una fracción impropia (el grado del numerador es mayor o
igual que el grado del denominador ), entonces dividir el numerador por el denominador para
obtener:
)(
)()(
)(
)( 1
xQ
xPpolinomioun
xQ
xP
donde el grado de P1(x) es de menor que el grado de Q(x). A continuación aplíquese los pasos 2, 3
y 4 a la expresión racional propia )(
)(1
xQ
xP.
2. Factorizar el denominador: Factorizar completamente el denominador en factores de la forma
( ax + b )m y ( ax2 + bx + c )n
donde ax2 + bx + c es irreducible.
3. Factores lineales: Por cada factor de la forma ( ax + b )m, la descomposición en fracciones
simples debe incluir la suma de m fracciones de la forma:
m
m
bax
A
bax
A
bax
A
)()()( 2
21
4. Factores cuadráticos: Por cada factor de la forma (ax2 + bx + c)n, la descomposición en
fracciones simples debe incluir la suma de n fracciones de la forma:
n
nn
cbxax
CxB
cbxax
CxB
cbxax
CxB
)()( 222
22
2
11
.
30
Ejercicios: Verifica las siguientes integrales
CxxLndxxx
x
Cx
xLn
xx
dx
Cxx
xLn
xdx
xx
x
Cx
xxLndx
xx
xx
CxxxLndxxx
xx
Cx
xLndx
xx
x
CxxLndxxx
x
CxxLndxxx
x
CxxLndxx
x
Cx
xLndx
xx
Cx
xLndx
xx
x
Cx
xLndx
x
135
61
2
21
2
97
16
161
3
3
3
2
32
3
2
42
2
2
52
2
23
2
2
3
5
2
21
2
)5()1(54
23.12
22.11
)12(()12(44
1.10
)3(
)3(
9
33.9
)1()1(16
.8
)3(
12
352
77.7
412
5.6
)3()1(32
17.5
)2()2(4
25.4
1
1
2
3.3
)1(
52.2
1
1
1
1.1
61
65
31
Cx
xLn
xdx
xx
xx
Cx
xLn
xx
xxdx
xx
x
CxxLnxx
xdx
xxx
xxx
Cx
xLn
xx
xdx
xx
x
Cx
xLn
x
xdx
xx
xxx
CxLnx
xdx
x
xx
CxxLndxxxx
xx
Cx
xLn
xdx
xxx
xx
Cx
xLn
xdx
xx
x
CxLnx
dxx
x
Cx
xLnxdx
x
x
Cx
xxLn
xxx
dx
52
2
16
3
2
2
32
3
3
222
23
2
2
2
23
34
2
23
2
2
2
5
6
23
2
4
3
2
2
2
2
)1(
)32(
1
3
)1)(32(
73.25
2)2(8
41711
)2(
1.24
)1(26
)12(
234.22
1
24
)2)(1(
65
)2()1(.21
12
1
2
1.20
)2()2(
812
)2(
443.19
|)2)(3(|)44)(3(
232.18
)1(1
12
2
65.17
1
1
22
7
)1)(1(
52.16
|2|2
2
)2(.15
1
1
1
1.14
)1(
)3()2(
)3)(2)(1(.13
211
41
201
51
31
INTEGRAL DEFINIDA
A la expresión b
a
dxxf )( se le llama integral definida.
Teorema fundamental del cálculo
Si una función f es continua en el intervalo cerrado ba, y F es una antiderivada de f sobre
el intervalo ba, , entonces
)()()()( aFbFxFdxxfb
a
b
a
Ejemplo: Evaluar dxx 2
1
2 3
3
23
3
16
3
833
2
1
3
31
2
1
2
xxdxx
Evalúa las siguientes integrales.
3
0
2 923.1 dxxx
4
1
15
1161.2 duuu
8
1
2631.3 dxx
4
3
2 2
3
5
1
25.4 Ln
x
dx
0
2
1
2
3
8
5
9
3
1.5
xx
dxx
1
0
2 22
21.6
LndxxLn
2
0
42
1.7 dttSen 1522
154
223
34
1.8
1
2
2
Lndxxx
x
3
0
22 427
13.9
dxxSenx
2
0
223 12
1.10 edxex
32
CALCULO DE AREA
En los problemas 1-10 calcula el área limitada por la
grafica de la función dada y el eje x en el intervalo
indicado.
1,1;1.1 2 xy
2,0;1.2 2 xy
2,0;1.3 3xy
3,0;3.4 2 xxy
1,1;6.5 3 xxy
3,0;321.6 xxxy
3,21;1
.72
2
x
xy
4,0;1.8 xy
3,2;.9 3 xy
22
3 ,;1.10 Senxy
En los problemas 11-32 calcula el área de la región
limitada por las graficas de las funciones dadas.
3,2,.11 xxyxy
4,.12 2 yxy
1,8,.13 3 yyxy
33 ,.14 xyxy
22 1,1415 xyxy .
3,1,.16 2 xxyxy
xxyxy 4,6.18 22
4,.19 32 yxy
6,1,22,32.20 2 enxyxxy
xyxxy2
3,4.21 2
6,3.22 2 xyx
22,.23 yxyx
22,22.24 22 yyxyyx
12,16.25 22 yyxyyx
1,1,4,.26 3 xxxyxxy
0,.27 3 xyyx
2,0,,.28 xxSenxyCosxy
2,,2.29 xxySenxy
65,6,2,4.30 enySenxy
2
2 9,10.31
xyxy
xxyxxxy 2,103.32 222
RESPUESTAS
1. 4/3 2. 4/3 3. 11/4 4. 9/2
5. 11/2 6. 11/4 7. 11/6 8. 2
9.3/4(24/3+34/3) 10. 2 11.27/2 12.32/3
13. 81/4 14. 1 15. 4 16. 10/3
17. 58/3 18. 64/3 19.128/5 20.118/3
21. 25/48 22. 8 2 23. 9/2 24. 8/3
25. 1/2 26. 8 27. 1/2 28.2 2
29. 4
24
30.43
43
31.3
16 32. 24
33
VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Los problemas 1- 6 se refieren a la figura A.
utiliza el método de los discos o el de las arandelas
para evaluar el volumen del sólido de revolución
que se forma haciendo girar la región dada en
torno a la recta indicada.
1. R1 en torno a OC 2. R1 en torno a OA
3. R2 alrededor de OA 4. R1 en torno a AB
5. R2 en rededor de OC 6. R2 en torno a AB
En los problemas 7-32 obten el volumen del solido
de revolucion que se forma haciendo rotar la
region limitada por las graficas de las ecuaciones
dadas en torno a la recta o eje indicado.
15. xejexyxy ;4
11,4 22
16. xejexyxy ;1,1 22
17. yejexxyyx ;0,2,3
18. xejeyyxyx ;1,0,0,2
19. 5;0,5,1 xyxxy
20. 1;1,2 xxyx
21. 2;1,0,31 yyxxy
22. 2;0,22 xxyx
23. yejexyx ;5,1622
24. xejexyxxy ;2
19,96 22
25. yejexyyx ;6,2
26. yejeyxxy ;9,0,13
27. yejeyyxxy ;9,0,3
28. xejexysenxy ;0,0,
29. xejexyxy ;20,0,cos
30. xejeyxxxy ;0,4
,4
,sec
31. xejexyxy ;4
,0,tan
32. xejexxysenxy ,0,cos,
RESPUESTAS
1. 2 3. 54 5. 6
7. 51296 9. 2 11. 38
13. 532 15. 32 17. 8
19. 15256 21. 53 23. 36
25. 3500 27. 10516 29.2
31. 44 2
33. Un mecánico perfora un agujero de 3 pulgadas
de radio, a través del centro de una esfera de metal
de 5 pulgadas de radio, ¿Cuál es el volumen del
anillo resultante?
Solución: 3
256
7. xejeyxy ;0,9 2
8. yejeyxxy ;5,0,12
9. yejeyxx
y ;2
1,1,
1
10. xejeyxxx
y ;0,3,2
1,
1
11. yejexyxy ;2,2
12. xejexyxy ;,2
13. xejeyxxy ;0,0,22
14. yejeyxxy ;0,0,12
C
0 A
B (1,1)
R1
y = x2
R2
x
y
FIGURA A
34
34. Encontrar el volumen del sólido generado al
rotar alrededor del eje “x” la región acotada por la
parábola 12 xy y la recta 3 xy .
35. Encontrar el volumen del sólido generado al
rotar alrededor de la recta 4x la región
acotada por las parábolas
322 yxyyyx .
Solución: 8
255
36. La ecuación de la curva OA de la figura B es 32 xy . Hallar el volumen del sólido que se
engendra cuando la superficie:
Figura B
a) OAB gira alrededor de OX.
Solución: 64
b) OAB gira alrededor de AB.
Solución: 351024
c) OAB gira alrededor de CA.
Solución: 5704
d) OAB gira alrededor de OY.
Solución 7512
e) OAC gira alrededor de OY.
Solución: 7384
f) OAC gira alrededor de CA.
Solución: 5576
g) OAC gira alrededor de AB.
Solución: 353456
h) OAC gira alrededor de OX.
Solución: 192
Y
0 X
A(4,8) C
B
35
VOLÚMEN DE SÓLIDOS CON SECCIONES CONOCIDAS
1. Calcular el volumen del sólido cuya base esta acotada por el circulo x2 + y2 = 4, con
las secciones indicadas, tomadas perpendicularmente al eje x.
a) cuadrados b) triángulos equiláteros
3
128sol
3
332sol
c) semicírculos d) triángulos rectángulos isósceles
3
16.
sol
3
32.sol
2. Hallar el volumen del sólido cuya base esta limitada por las graficas
y = x + 1 e y = x2 –1, con las secciones indicadas, tomadas perpendicularmente al
eje x. a)cuadrados b) rectángulos de altura 1
c) semielipses de altura 2 (A = ab) d) triángulos equiláteros
36
3. La base de un sólido está limitada por y = x3,
y = 0 y x = 1 . Calcular su volumen para
las siguientes secciones (perpendiculares al eje
y).
a) Cuadrados.
Sol. 1/10
b) Semicírculos.
Sol. /80
c) Triángulos equiláteros.
Sol. 3 /40
d) Trapecios con h = b1 = b2/2, donde b1 y
b2 son las longitudes de las bases.
Sol. 3/80
e) Semielipses cuyas alturas son dos veces las
longitudes de sus bases.
Sol. /20
4. Un poste de energía eléctrica de 75 pies de
altura tiene una sección transversal en forma
de triangulo equilátero. Dado que la longitud
de un lado sea 1075 x , de donde x es la
distancia en pies desde el suelo, obtenga el
volumen del poste.
1200
3875,421.sol
5. La sección transversal de una pirámide es un
cuadrado de x pie de lado, ubicado a x pie de
su vértice. Dado que la pirámide tenga 100
pies de altura, halle su volumen.
6. Un sólido tiene una sección transversal
cuadrada perpendicular a su base. Dado que la
base es un circulo de radio r=4 pies, Obtener el
volumen del sólido.
3
1024.sol
7. Las secciones transversales perpendiculares a
la base de un sólido son triángulos equiláteros.
Dado que la base sea un circulo de radio r=4
pies, Halle el volumen del sólido.
8. La base de un sólido esta limitada por las
curvas 42 xyyx en el plano xy. Las
secciones transversales perpendiculares al eje x
son rectángulos para los que la altura es 4
tantos de la base. Determine el volumen del
sólido.
128.sol
9. La base de un sólido esta limitada por la curva
.2 xejeelyxy Las secciones
transversales perpendiculares al eje x son
triángulos equiláteros. Encuentre el volumen
del sólido.
10. La base de un sólido es un triángulo isósceles
cuya base es cuatro pies, y altura, 5 pies. Las
secciones transversales perpendiculares a la
altura son semicírculos. Encuentre el volumen
del sólido.
3
10.
sol
11. Los ejes de dos cilindros circulares rectos, que
tienen cada uno un radio r = 3 pies, se
interceptan en ángulos rectos. Halle el valor
del volumen resultante.
12. La base de un sólido es un triangulo rectángulo
isósceles formado por los ejes de coordenadas y la
recta 3 yx . Las secciones transversales
perpendiculares al eje y son cuadradas. Obtenga el
volumen del sólido.
9.sol
13. Un agujero de un pie de radio se forma por el
centro de una esfera maciza de radio r = 2 pies.
Evalué el volumen del sólido restante
14. Cortamos una caña de un cilindro circular
recto de “r” pulgadas de radio mediante un
plano que pasa por el diámetro de la base,
formando un ángulo de 45° en el plano de
dicha base. Calcular el volumen de la cuña.
15. La base de un sólido es un círculo que tiene un
radio de 5 unidades. Encontrar el volumen del
sólido si todas las secciones planas
perpendiculares a un diámetro fijo de la base
son triángulos equiláteros.
37
INTEGRALES IMPROPIAS
Si en la integral definidab
a
dxxf )(
1. El integrando es discontinua en uno o mas puntos en el intervalo ba,
2. Al menos uno de los límites de integración es infinito.
Se le llama integral impropia.
INTEGRANDO DISCONTINUO
i) Si f(x) es continua en el ba, pero discontinua en x = b, entonces
b
abx
b
a
dxxfLimdxxf )()( , si el límite existe.
ii) Si f(x) es continua en el intervalo ba, pero discontinua en x = a, entonces
b
aax
b
a
dxxfLimdxxf )()( , si el límite existe.
iii). Si f(x) es continua para toda x en el intervalo ba, excepto en x = c, con a < c < b, entonces
b
ccx
c
acx
b
a
dxxfLimdxxfLimdxxf )()()( , si el límite existe.
Ejemplo 1: Evaluar la
2
024
1dx
x
2
1
2
2
02
2
022
2
02
12
2
244
1arcsenarcsenLim
xarcsenLim
x
dxLimdx
x xxx
38
Ejemplo 2: Evaluar 9
0 x
dx
Observe que x
xf1
)( cuando 0x
6)3(2322 21
212
1
0
9
0
9
0
9
0
xLimxLimdxxLimx
dx
aaaaa
Ejemplo 3:
5
1 31
2x
dx
Observe que 3
1
2
1)(
xxf , es discontinua en x = 2
5
1
5
2
2
1
31
31
31
222
dxxdxxx
dx
Ahora bien,
23
323
123
312
2
1
12222
32
32
31
31
sLimxLimdxxLimx
dx
s
s
s
s
s
23
223
5
23
2
5
2
5
2
35
32
32
32
31
31
23222
tLimxLimdxxLimx
dx
ttttt
Luego entonces
5
1 2
3
2
3
2
35
31
x
dx
39
Ejemplo 4: Probar que
4
0 4
1dx
x no tiene sentido
El integrando es discontinuo en x = 4
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
40404
4
0
Lnt
LnLimx
LnLimdxx
Limdxx t
t
t
t
t
El limite no existe, luego la integral no tiene sentido
LIMITES DE INTEGRACION INFINITOS
i). Si f es continua en ,a , entonces
t
aa tdxxfLimdxxf )()(
ii). Si f es continua en a, , entonces
a
t
a
tdxxfLimdxxf )()(
iii). Si f es continua para todo x, y a es cualquier numero real, se tiene que
a
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
Si los limites (i) y (ii) existen, se dice que la integral converge. Si el límite no existe entonces diverge.
40
En (iii) la integral
dxxf )( converge si y sólo tanto la integral
a
dxxf )( y la integral
a
dxxf )(
ambas convergen.
Ejemplo 1: Calcular
02 9x
dx
6
arctan99 033
1
02
02
tx
t
t
tLim
x
dxLim
x
dx
Ejemplo2: Calcular dxe
ex
x
21
dxe
edx
e
edx
e
ex
x
x
x
x
x
02
0
22 111
tx
tt
x
teLimeLim 0
0arctanarctan
4arctanarctan
4
t
t
t
teLimeLim
420
4
2
41
EJERCICIOS: Calcular la integral para comprobar
el resultado.
1. 631
0
x
dx
2. 84
24
0
x
dx
3. )(1
1
0
noexistex
dx
4. 2
4
22
22x
dx
5. 11
0
dxLnx
6. 2
121
0
dxxLnx
7. 34
24
24
xx
dx
8. divergedTan
2
0
9. 01
2
23
x
dx
10. divergex
dx
1
02
11. 11
2
x
dx
12. divergedxCosx
0
13. edxe x
1
14. 11
x
x
e
dxe
15.
21 x
dx
16. 2
13
e Lnxx
dx
17. 2
2
3
edzze z
18. 2
1
0
dxSenxe x
19. 41
21
3
dxx
x
20. 37
41
22 56
Lnxx
dx
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