Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
1
Páginas 3-4
1.
a) Isso deve-se ao fato de que as informações não são excludentes, isto é, elas
possuem elementos em comum. Por exemplo, os 20 alunos que acertaram as duas
questões estão incluídos no resultado dos que acertaram a primeira questão (35).
Assim, a soma obtida contém dupla contagem de alunos, o que gera a diferença
observada.
b) 35 – 20 = 15 alunos
c) 25 – 20 = 5 alunos
d) % de alunos que acertaram apenas a primeira questão: 375,04015
= ou 37,5%.
% de alunos que acertaram apenas a segunda questão: 125,0405= ou 12,5%.
Assim, a porcentagem de alunos que acertaram apenas uma questão é 50%.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
CONJUNTOS E NÚMEROS
Acertaram a 2ª questão (25)
Acertaram apenas a 2ª questão (5)
Acertaram a 1ª e a 2ª questão (20)
Acertaram a 1ª questão (35)
Acertaram apenas a 1ª questão (15)
Acertaram a 1ª e a 2ª questão (20)
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
2
Página 5
2.
a)
b)
c)
Ensino Fundamental
• Renato
• Lucas
• Patrícia
• Reinaldo
• Rafael • Antônio
Paulistanos
• Luiz
• Renata
• André
• Júlio
Corinthians
• Helena
• Marcus
• João
• Alberto
São Paulo
• Alice
• Tomás
• André
• Diego
• Laís
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
3
Página 7
3.
a) III
b) III
c) II
d) III
e) I
f) II
Página 8
4.
a) d)
b) e)
c) f)
g)
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
4
Páginas 9-10
5.
a) Apenas o diagrama III pode representar os argumentos dados. O diagrama I
contradiz a premissa de que todos os curitibanos são paranaenses. E o diagrama II
representa o contrário da premissa II, pois indica que todos os paranaenses são
curitibanos.
b) Apenas o diagrama II corresponde à argumentação dada. Tanto o diagrama I
como o III contradizem a primeira premissa.
c) O diagrama que representa a argumentação dada é o II. O diagrama I está errado,
pois não se afirma que todas as pirâmides são poliedros regulares. O diagrama III
também está em desacordo com as premissas, pois nem todos os poliedros regulares
são pirâmides.
Problemas, conjuntos e diagramas
Páginas 11-13
6.
a)
b)
c)
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
5
7.
a)
b) O problema informa que 100 famílias assistem aos programas A e B. Desse total,
sabemos que 20 famílias assistem aos três programas. Portanto, o número de famílias
que só assiste aos programas A e B é a diferença entre 100 e 20, ou seja, 80. O
mesmo vale para as outras interseções.
c) No caso do programa A, esse número será a diferença entre o total de pessoas que
assiste ao programa A (370) e a soma das interseções
A ∩ B, A ∩ C e A ∩ B ∩ C. A – (B + C) = 370 – (80 + 10 + 20) = 260. O mesmo
deve ser feito para os programas B e C.
d) Com base nos diagramas preenchidos, deve-se verificar se a soma das partes
corresponde ao total de entrevistados. Soma das partes: 260 + 160 + 290 + 80 + 40 +
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
6
10 + 20 = 860. Neste problema, a soma das partes (860) é menor que o total de
entrevistados (1 200). A diferença (340) corresponde ao número de entrevistados que
não assiste a nenhum dos três programas. Isso pode ser representado como o
conjunto complementar em relação ao total de entrevistados.
8.
a) 340 pessoas assistem ao programa A e não assistem ao programa C:
260 + 80 = 340.
b) 40 pessoas.
c) O programa com maior fidelidade é o C, com 290 espectadores, contra 260 do A
e 160 do B.
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
7
Páginas 13 - 14
9.
a) Apenas 5 alunos erraram as três questões.
b) 12 + 8 + 6 + 10 + 10 + 3 = 49 . 49 alunos acertaram a 1ª ou a 2ª questão.
c) 12 + 8 + 10 + 5 = 35 . 35 alunos erraram a 3ª questão.
Desafio!
Página 14
Uma estratégia possível seria representar a interseção dos três conjuntos por x e
completar o diagrama com as informações dadas.
U = 60
10
2ª
3ª
1ª
3
8
6
12 10
6
5
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
8
a) Sabendo que todos os subconjuntos totalizam 100%, basta resolver a seguinte
equação:
15 + x + 2 + x + 10 + x + 18 – x + 15 – x + 25 – x + x + 5 = 100
Obtém-se x = 10%. Portanto, 10% dos entrevistados consomem as três marcas.
b) Substituindo os valores de x no diagrama, obtemos:
Os entrevistados que consomem apenas uma das três marcas são
25% + 12% + 20% = 57%.
Páginas 15-16
10. Diagrama c.
11.
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
9
12.
a) Verdadeira. Os naturais são um subconjunto dos inteiros, pois todo número
natural também é inteiro.
b) Falsa. A reunião dos naturais com os inteiros é o próprio conjunto dos inteiros.
N ∪ Z = Z
c) Verdadeira. Os racionais são o complementar dos irracionais em relação aos
reais.
d) Falsa. A interseção entre inteiros e racionais é o próprio conjunto dos inteiros.
Z ∩ Q = Z
e) Falsa. Não há interseção entre racionais e irracionais, pois são conjuntos
mutuamente exclusivos. Q ∩ Ir = ∅
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
10
Páginas 17-19
1.
a) 54 b) 0,8
2.
a) 25
10255,2 == x = 2,4999... (1)
10x = 24,999... (2)
100x = 249,999... (3)
Fazendo (3) – (2) : x= 25
90225
=
b) x= 0,999...(1)
10x = 9,999 (2)
Fazendo (2) – (1): x 199==
c) 0,32258
10032
== x = 0,31999...(1)
10x = 3,1999...(2)
100x = 31,999... (3)
1 000x = 319,999...(4)
10 000x = 31999,999...(5)
Fazendo (5) – (4) : x= 258
00098802
=
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
NÚMEROS REAIS E AS FRAÇÕES CONTÍNUAS
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
11
3. A atividade sugere um processo geral para transformar decimais finitos em dízimas
periódicas. Sempre que o período de um número é formado por infinitos “noves”,
podemos encontrar uma representação decimal finita para esse número. Na outra
direção, sempre que temos um decimal finito, é possível escrevê-lo como uma
dízima periódica com período formado por infinitos “noves”. Exemplos de decimais
finitos transformados em dízimas:
35,43999... = 35,44 –726,999... = –727 0,0071= 0,0070999...
4.
a) ...000100
9000109
00014
1007
103...374999,0375,0
83
+++++===
b) ...00013
1003
1032...333,2
37
++++==
Página 20
5.
165396
512
165395
3379
:,165)33,5(5
1210244,2,
3379
99237:)1()3(
)3(...3939,239100)2(...9393,2310
)1(....3939,2
==
=
==
==−
==
=
e
entãommc
ladooutroPor
xFazendo
xx
x
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
12
Página 22
6.
a) Se o aluno utilizar uma calculadora de oito dígitos para fazer a conta 16 ÷ 7, vai
encontrar como resultado 2,2857142. Como não identificamos facilmente nessa
divisão um período que se repita, é possível que o aluno responda que o resultado é
um decimal finito. Nesse caso, é desejável que se retome a discussão feita na
Situação de Aprendizagem “As dízimas periódicas são previsíveis...”, do Caderno de
7ª série do volume 1. Naquele momento, foi discutido que, ao realizarmos a divisão
entre numerador e denominador de uma fração irredutível, o resultado só será dízima
periódica se ao menos um dos fatores do denominador da fração for diferente de 2 e
diferente de 5. Como o denominador da fração 7
16 apresenta fator primo 7, sabemos
que a representação decimal decorrente da conta de divisão será uma dízima
periódica. Uma vez que os oito dígitos da calculadora não foram suficientes para a
identificação do período, recomendamos que o professor solicite aos alunos que
façam a conta armada até que identifiquem com clareza o período
(16 ÷ 7 = 2,285714285714... = 285714,2 ).
b) Faremos agora o desenvolvimento de 7
16 como fração contínua:
(1) 7
16 está entre 2 e 3, portanto,
x12
716
+= , com x > 1.
(2) De x12
716
+= decorre que x = 27
, ou seja,
(3) 27
está entre 3 e 4, portanto, y13
27
+= , com y > 1.
(4) De y13
27
+= decorre que y = 2, ou seja, .213
27
+=
(5) Como y = , o processo está encerrado e a fração contínua procurada é:
2712
716
+=
213
127
16
++=
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
13
Página 23
7. (1) 1330
está entre 2 e 3, portanto,x12
1330
+= , com x > 1.
(2) De x12
1330
+= decorre que x =4
13, ou seja,
(3) 4
13 está entre 3 e 4, portanto, y
134
13+= , com y > 1.
(4) De y13
413
+= decorre que y = 4, ou seja, 413
413
+= .
(5) Como y = , o processo está encerrado e a fração contínua procurada é:
Página 27
8. 24 está entre 4 e 5, portanto, 24 = 4x1
+ , com x > 1.
(1) De 24 = 4x1
+ decorre que:
24 x14=−
8244
424424.
4241
4241
+=
++
−=
−=
x
x
x
41312
1330
+=
413
121330
++=
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
14
Temos, portanto,
8
2441424
++=
(2) 8
244+ = é um número entre 1 e 2, portanto, y11
8244
+=+
, y > 1.
(3) De y11
8244
+=+
decorre que y = 244+ e, portanto, temos:
24411
8244
++=
+
Substituindo o resultado do passo 3 no resultado do passo 1 temos:
24411
1424
++
+=
(4) Como y = 244+ é um número entre 8 e 9, temos w18244 +=+ , com w > 1.
(5) De w18244 +=+ decorre que
8244+
=w . Como w repetiu o valor de x, a
partir de agora o processo começa a se repetir novamente. Segue, portanto, que a
fração contínua que representa 24 será:
18
11
18
11
18
11
1424
++
++
++
+=
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
15
Páginas 30-33
1. O estabelecimento da unidade de medida é uma resposta pessoal (a figura na
atividade é apenas ilustrativa de uma possível resposta).
2. Atividade resolvida – o professor deve apenas orientar como se constrói e quais são
as propriedades da reta mediatriz.
3.
(1) Traçamos 21
(conforme já foi descrito).
(2) Traçamos a mediatriz do segmento que liga os números 0 e 21
.
(3) O ponto de cruzamento entre a mediatriz e a reta real é o número 41
.
4. Primeiro, marcaríamos 0 e 1. Em seguida, encontraríamos 41,
21
e81
pela construção
de mediatrizes. De posse de 81
, transportaríamos o segmento de extremos em 0 e 81
sete vezes à esquerda da marcação do zero da reta.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
ARITMÉTICA, ÁLGEBRA E GEOMETRIA COM A RETA REAL
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
16
5. As respostas dessa atividade são apresentadas no Caderno do Aluno para que ele
mesmo possa ir conferindo se sua construção está caminhando corretamente.
Página 34
6.
Páginas 35 - 37
7. As respostas dessa atividade são apresentadas no Caderno do Aluno para que ele
mesmo possa ir conferindo se sua construção está caminhando corretamente.
8.
a) 2
b) 4 2
c) 8 2
d) n 2 , com n potência inteira de 2 (n ≠ 1)
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
17
Página 40
9.
10.
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
18
Páginas 42-43
1.
a) 250 = 25 . 101 = 2,5 . 102 = 0,25 . 103 = 2 500 . 10-1
b) 0,004 = 4 . 10-3 = 0,4 . 10-2 = 0,04 . 10-1 = 0,0004 . 101
c) 4,73 = 47,3 . 10-1 = 0, 473 . 101 = 473 . 10-2 = 0,0473 . 102
d) 0,125 = 125 . 310− = 12,5 . 210− = 1,25 . 110− = 0,0125 . 110
e) 25 300 = 2 530 . 110 = 253 . 210 = 25,3 . 310 = 253 000 . 110−
2.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
POTÊNCIAS, NOTAÇÃO CIENTÍFICA E ORDEM DE GRANDEZA
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
19
Páginas 43 - 44
Páginas 44-45
3.
a) Sete bilhões e trezentos milhões ou 7,3 . 910
b) Dois quintilhões, novecentos e oitenta quatrilhões ou 2,98 . 1810
c) Vinte e cinco centésimos ou 2,5 . 110−
d) Quatro décimos de milésimos ou 4 . 410−
e) Cento e vinte e cinco décimos de milionésimos ou 1,25 . 510−
4.
a) (1,3 . 109 habitantes)
b) (7,045 . 106 km2) e (4,75 . 106 km2)
c) (3 . 510 km/s)
d) ( 410− m)
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
20
Página 45
5.
a) 1,2 . 103 . 5 . 105 = 6 . 108
b) 1,5 . 10-4 . 2 . 10-3 = 3 . 10-7
c) 4,5 . 105 ÷ 9 . 10-3 = 0,5 . 108 = 5 . 107
d) (4 . 10-4)4 = 256 . 10-16 = 2,56 . 10-14
6.
a) 103 . (2,5 . 102 + 7) = 103 . (257) = 2,57 . 105
b) 2,5 . 107 – 0,5 . 107 = 2 . 107
c) 1 280 . 105 + 4 . 105 = 1 284 . 105 = 1,284 . 108
d) 75,4 . 106 – 3,2 . 106 = 72,2 . 106 = 7,22 . 107
Página 46
7.
Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 8a série/9o ano – Volume 1
21
8.
Podemos resolver esse problema aplicando o Teorema de Pitágoras.
SatTerraTerraSolSatSol DDD −−− += 222
9816
162
16162
16182
22829
222
10.39,110.9,1310.04,194
10.04,19410.96,110.19610.96,110.96,1
)10.4,1()10.4,1(
=≅=
=
−=
−=
+=
+=
−
−
−
−
−
−−−
SatTerra
SatTerra
SatTerra
SatTerra
SatTerra
SatTerraTerraSolSatSol
D
DDD
DDDD
A distância entre a Terra e Saturno é de aproximadamente 1 390 000 000 km.
Páginas 47-48
9.
a) É da ordem de 1010 .
b) É da ordem de 1025 kg.
c) É da ordem de 10–27 g.
d) É da ordem de 104 m.
e) É da ordem de 1010 anos.
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