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MANUAL DEL DOCENTE
MATEMÁTICA APLICADA I
MTES01
CIENCIAS BÁSICAS
VICERRECTORÍA ACADÉMICA DE PREGRADO
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE - INACAP
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Matemática Aplicada I – MTES01
MANUAL DEL DOCENTEMATEMÁTICA APLICADA IMTES01
Edición 2016
Autores:
Alejandro García Miño
Lorena Rosas Toro
Sebastián Herrera de la Piedra
Ricardo Cood Corail
Germán Osses Romano
Revisores:
Alejandro García Miño
Lorena Rosas Toro
Sebastián Herrera de la Piedra
Ricardo Cood Corail
Germán Osses Romano
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Matemática Aplicada I – MTES01
PRESENTACIÓN
Estimado Alumno y Alumna, te damos la más cordial bienvenida a Matemática Aplicada
I, asignatura lectiva del área formativa de Disciplinas Básicas, del área del conocimiento
de Ciencias Básicas.
Matemática tiene dos propósitos fundamentales, primero nivelar a los alumnos de las
áreas de Ingeniería en habilidades matemáticas necesarias para la vida, mediante
estrategias de clase expositiva, solución de ejercicios y problemas y, segundo, contribuir
en la formación técnica de los alumnos, mediante el desarrollo de destrezas que
mejoren su desempeño profesional.
Para ello esta asignatura busca promover el desarrollo de la competencia genérica de
resolución de problemas. Competencia que será desarrollada desde un punto de vista de
la Didáctica de la Matemática.
La asignatura se realizará, a partir de experiencias de aprendizajes que involucren
metodologías principalmente deductivas, donde tu rol es activo y participativo, y el del
docente un mediador.
El presente texto, que INACAP pone a tu disposición, tiene los contenidos que sirven de
base y apoyo a tus clases, y puede ser utilizado como material de consulta permanente.
Confía en tus capacidades, te deseamos mucho éxito.
ÁREA CIENCIAS BÁSICASVICERRECTORÍA ACADÉMICA DE PREGRADO
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE INACAP - 2016
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Matemática Aplicada I – MTES01
ÍNDICE
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Matemática Aplicada I – MTES01
CAPITULO I
RESOLUCIÓN DEPROBLEMASLa necesidad de resolver problemas prácticos, científicos, filosóficos, artísticos o
matemáticos, ha impulsado al hombre a lo largo de la historia, a crear y desarrollar la
matemática. La actividad matemática involucra muchos más aspectos que solo definir,
enunciar o demostrar propiedades. Al enfrentar los problemas que dan origen al
conocimiento matemático, el hombre debió utilizar la intuición, la inventiva y la
experimentación, elementos fundamentales de la creación matemática, que quedan
ocultos en la exposición formal que habitualmente se nos presenta en los libros.
Para comprender mejor la esencia de la matemática, es necesario experimentar los
procesos inherentes a la resolución de problemas: recolectar información, descubrir
relaciones, plantear conjeturas, experimentar, probar, abstraer, generalizar, etc.
Hablamos de ir más allá de la ejercitación matemática y de los problemas aplicados,
implica involucrase en situaciones no rutinarias, que requieran explorar distintas
estrategias y nuevos métodos de solución.
La matemática debe proveer de conocimientos específicos para las aplicaciones futuras,
aunque en la práctica resulta muy difícil enseñar, aprender y recordar toda la
matemática que se requiere para el ejercicio de una profesión. Al desarrollar otro tipo
de competencias, como la resolución de problemas, se propicia la posibilidad de abordar
las situaciones problemáticas que se presentan en cualquier contexto, con la capacidadde razonar las estrategias matemáticas para su solución.
APRENDIZAJES ESPERADOS
1.1.- Resuelve problemas matemáticos, utilizando estrategias que emerjan de la acción
de resolver problemas, argumentando y razonando matemáticamente.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
1.1.1.- Desarrolla y usa modelos en múltiples situaciones.
1.1.2.- Generaliza resultados a otros tipos de problemas.
1.1.3.- Vincula o relaciona diferentes sistemas de representación.
1.1.4.- Elabora argumentos y justificaciones que incluyan su reflexión y evidencia,
convenciendo a los otros.
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Matemática Aplicada I – MTES01
CONTENIDOS
1.- Estrategias para la resolución de problemas matemáticos:
- Ensayo y error.
- Organización y representación de información.- Simplificación de problemas.
- Analogía e inducción problemática.
- Desarrollo y utilización de modelos matemáticos.
- Búsqueda de regularidades matemáticas.
- Razonamiento directo e indirecto.
2.- Argumentación en la resolución de problemas matemáticos:
- Datos.
- Justificación.
- Fundamentos.
- Conclusión.
3.- Comunicación de resultados de la resolución de problemas matemáticos:
- Unidireccional.
- Contributiva.
- Reflexiva.
- Instructiva.
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Matemática Aplicada I – MTES01
DISTRIBUCIÓN DE ACTIVIDADES POR SEMANA
SEMANA N°1ENCUADRE DE ASIGNATURA Y TALLERES DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
TIEMPO ESTIMADO EN PLANIFICACIÓN SEMANAL: 270 MINUTOS.TIEMPO ESTIMADO EN ACTIVIDADES MÍNIMAS OBLIGATORIAS: 270 MINUTOS.
ACTIVIDADES MÍNIMAS OBLIGATORIAS:
Encuadre de la asignatura. (45 minutos)
Taller N°01: Introducción a la resolución de problemas en el aula. (45 minutos)
Taller N°02: Resolución de problemas con enfoque aritmético. (90 minutos)
Taller N°03: Resolución de problemas con enfoque polinomial de primer grado. (90 minutos)
ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°01
ENCUADRE DE ASIGNATURATIEMPO ESTIMADO: 45 MINUTOS.
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Matemática Aplicada I – MTES01
ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°02
TALLER N°01: INTRODUCCIÓN A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EL AULA.TIEMPO ESTIMADO: 45 MINUTOS.
PROBLEMA 01: LAS OVEJAS
El granjero Ramón al levantarse todas las mañanas mira por las cuatro ventanas de su casa, y en cada una de ellas siempre
ve nueve ovejas. Las ovejas se encuentran distribuidas como nuestra la figura. Don Ramón es capaz de ver el potrero de
enfrente y los dos potreros adyacentes situados en las esquinas.
Un día, Doña Rosa, la esposa de don Ramón, vendió una de las ovejas mientras él no se encontraba en la casa. Para que su
marido no se diera cuenta de la falta de la oveja, decidió redistribuir las ovejas en los potreros de tal forma que desde cada
ventana aun vieran exactamente 9 ovejas.
¿De qué manera puede ubicar doña Rosa las 23 ovejas restantes para que don Ramón pueda seguir viendo 9 ovejas desde
cada una de las cuatro ventanas?
Problema diseñado por el proyecto ARPA del CMM de la Universidad de Chile
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Matemática Aplicada I – MTES01
PROBLEMA Las ovejas.
CÓDIGO T01RP.P01
TIEMPO ESTIMADO 45 minutos.
ENFOQUE MATEMÁTICO Aritmética.
CONTENIDOS SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
1.- Estrategias para la resolución deproblemas matemáticos:
- Ensayo y error.
- Organización y representación de
información.
- Simplificación de problemas.
- Analogía e inducción problemática.
- Desarrollo y utilización de modelos
matemáticos.
- Búsqueda de regularidades matemáticas.
- Razonamiento directo e indirecto.
2.- Argumentación en la resolución deproblemas matemáticos:
- Datos.
- Justificación.
- Fundamentos.
- Conclusión.
3.- Comunicación de resultados de laresolución de problemas matemáticos:
- Unidireccional.- Contributiva.
- Reflexiva.
- Instructiva.
Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al
azar, deben encontrar al menos una solución a la pregunta planteada
en el problema:
¿De qué manera puede ubicar doña Rosa las 23 ovejas restantes
para que don Ramón pueda seguir viendo 9 ovejas desde cada una
de las cuatro ventanas? . Acto seguido deben comunicar al docente
lo que han encontrado.
El problema de las ovejas admite múltiples soluciones a la pregunta
planteada. El docente debe motivar a los estudiantes a comunicar si
han encontrado más de una solución y si no, motivarlos a analizar sies posible que exista otra.
Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es
necesario extenderlo, con el fin de descubrir al menos una solución
para 22 ovejas, 21 ovejas, 20 ovejas, etc. (La fase de extensión se
realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta
planteada inicialmente y su prolongación es hasta que todos los
grupos la han encontrado)
Preguntas sugeridas para la extensión del problema:
Si la Sra. Rosa vende otra oveja más. ¿De qué manera puede ubicar
doña Rosa las 22 ovejas restantes para que don Ramón pueda seguirviendo 9 ovejas desde cada una de las cuatro ventanas?
Si la Sra. Rosa vende otra oveja más. ¿De qué manera puede ubicar
doña Rosa las 21 ovejas restantes para que don Ramón pueda seguir
viendo 9 ovejas desde cada una de las cuatro ventanas?
Si la Sra. Rosa vende otra oveja más. ¿De qué manera puede ubicar
doña Rosa las 20 ovejas restantes para que don Ramón pueda seguir
viendo 9 ovejas desde cada una de las cuatro ventanas?
Es importante tener en cuenta que los estudiantes podrían encontrar
soluciones para una cantidad de ovejas no asignadas hasta estemomento. En este caso, se recomienda trabajar con las siguientes
preguntas:
¿Cuál es el número máximo de ovejas que la señora Rosa puede
vender?
¿Puede vender 7 ovejas y quedar con 17 ovejas sin que Don Ramón se
entere?
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Lo anterior con el objeto de verificar si el estudiante ha logrado
comprender cuál es el número máximo de ovejas que se puede vender y
justificarlo.
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Matemática Aplicada I – MTES01
ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°3
TALLER N°2: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ENFOQUE ARITMÉTICO.TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS.
PROBLEMA 01: LAS MONEDAS
Cinco hermanos deciden comprar un producto solo con monedas de $100 para el día de la madre. El costo del producto es
de $2.000 y cada hermano aporta un número distinto de monedas.
Si se considera que a mayor edad más monedas aportan, ¿Cuántas monedas entregó cada hermano?
Problema diseñado por el proyecto ARPA del CMM de la Universidad de Chile
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Matemática Aplicada I – MTES01
PROBLEMA Las monedas.
CÓDIGO T02RP.P01
TIEMPO ESTIMADO 20 minutos.
ENFOQUE MATEMÁTICO Aritmética.
CONTENIDOS SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
1.- Estrategias para la resolución deproblemas matemáticos:
- Ensayo y error.
- Organización y representación de
información.
- Simplificación de problemas.
- Analogía e inducción problemática.
- Desarrollo y utilización de modelos
matemáticos.
- Búsqueda de regularidades matemáticas.
- Razonamiento directo e indirecto.
2.- Argumentación en la resolución deproblemas matemáticos:
- Datos.
- Justificación.
- Fundamentos.
- Conclusión.
3.- Comunicación de resultados de laresolución de problemas matemáticos:
- Unidireccional.- Contributiva.
- Reflexiva.
- Instructiva.
Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al
azar, deben encontrar al menos una solución a la pregunta planteada
en el problema:
¿Cuántas monedas entregó cada hermano?. Acto seguido debencomunicar al docente lo que han encontrado.
El problema de las monedas admite múltiples soluciones a la
pregunta planteada. El docente debe motivar a los estudiantes a
comunicar si han encontrado más de una solución y si no, motivarlos
a analizar si es posible existencia de otras.
Luego que los grupos han encontrado al menos una solución alproblema, es necesario extenderlo, con el fin de motivar la búsqueda
de todas las soluciones al problema. (La fase de extensión se realiza
con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada
inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han
encontrado)
Preguntas sugeridas para la extensión del problema:
¿Cuál es la máxima cantidad que puede aportar el hermano mayor?
¿Cuántas soluciones tiene este problema?
¿Puede el hermano menor aportar más de una moneda?
Finalmente, los grupos deben dar evidencias de haber encontrado
una sistematización para encontrar todas las soluciones al problema:
1 2 3 4 10
1 2 3 5 9
1 2 3 6 8
1 2 4 5 8
1 2 4 6 7
1 3 4 5 7
2 3 4 5 6
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ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°4
TALLER N°3: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ENFOQUE ARITMÉTICO.TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS.
PROBLEMA 02: COLECCIONISTA DE NÚMEROS
Carlos, coleccionista de números de diferentes estilos.
Dentro de su colección tiene el número 1.427. La justificación de Carlos es la siguiente:
“Yo colecciono el número 1.427 porque 1 + 4 + 2 = 7”
También tiene en su colección el número 358. La justificación de Carlos es la siguiente:
“Yo colecciono el número 358 porque 3 + 5 = 8”
Y también tiene en su colección el número 20.529. La justificación de Carlos es la siguiente:
“Yo colecciono el número 20.259 porque 2 + 0 + 2 + 5 = 9”
Dada esta relación,
¿Cuál es la condición que tiene Carlos para coleccionar números?
Problema diseñado por el proyecto ARPA del CMM de la Universidad de Chile
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PROBLEMA Coleccionista de números.
CÓDIGO T02RP.P02
TIEMPO ESTIMADO 30 minutos.
ENFOQUE MATEMÁTICO Aritmética.
CONTENIDOS SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
1.- Estrategias para la resolución deproblemas matemáticos:
- Ensayo y error.
- Organización y representación de
información.
- Simplificación de problemas.
- Analogía e inducción problemática.
- Desarrollo y utilización de modelos
matemáticos.
- Búsqueda de regularidades matemáticas.
- Razonamiento directo e indirecto.
2.- Argumentación en la resolución deproblemas matemáticos:
- Datos.
- Justificación.
- Fundamentos.
- Conclusión.
3.- Comunicación de resultados de laresolución de problemas matemáticos:
- Unidireccional.- Contributiva.
- Reflexiva.
- Instructiva.
Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al
azar, deben encontrar al menos una solución a la pregunta planteada
en el problema:
¿Cuál es la condición que tiene Carlos para coleccionar números?.Acto seguido deben comunicar al docente sus hallazgos.
Los grupos deben descubrir la condición que tiene Carlos para
coleccionar sus números, argumentando que la suma de los dígitos
anteriores a la unidad es igual a la unidad.
El docente debe motivar a los estudiantes a comunicar todas lasconclusiones a las que han llegado como grupo.
Luego que los equipos han encontrado la solución al problema, es
necesario extenderlo, con el fin de descubrir el número más grande
coleccionable sin utilizar la cifra cero (La fase de extensión se realiza
con los grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada
inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han
encontrado).
Preguntas sugeridas para la extensión del problema:
¿Cuál es el número máximo de tres cifras que Carlos puede
coleccionar utilizando la cifra cero?
¿Cuál es el número máximo de tres cifras que Carlos puede
coleccionar sin utilizar la cifra cero?
¿Podría Carlos tener número de dos cifras en su colección? De ser así,
que características tienen dichos números.
¿Cuál es el número máximo de cuatro cifras que Carlos puede
coleccionar utilizando la cifra cero?
¿Cuál es el número máximo de cuatro cifras que Carlos puede
coleccionar sin utilizar la cifra cero?
Los grupos deben analizar y justificar el por qué no es posible determinar
el número más grande coleccionable utilizando la cifra cero. (Hacer
hincapié que la respuesta no es infinito)
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ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°5
TALLER N°4: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ENFOQUE ARITMÉTICO.TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS.
PROBLEMA 04: LAS LATAS DE CRISTINA
Cristina ordenó las latas que tenía en dos pilas y le sobró una. Luego intentó con tres pilas y con cuatro pilas y en ambos
casos le sobró una. Por último trató con cinco pilas y entonces ¡No le sobró ninguna lata! ¿Cuántas latas podría tener
Cristina?
Problema diseñado por el proyecto ARPA del CMM de la Universidad de Chile
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Matemática Aplicada I – MTES01
PROBLEMA Las latas de Cristina.
CÓDIGO T02RP.P03.
TIEMPO ESTIMADO 40 minutos.
ENFOQUE MATEMÁTICO Aritmética.
CONTENIDOS SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
1.- Estrategias para la resolución deproblemas matemáticos:
- Ensayo y error.
- Organización y representación de
información.
- Simplificación de problemas.
- Analogía e inducción problemática.
- Desarrollo y utilización de modelos
matemáticos.
- Búsqueda de regularidades matemáticas.
- Razonamiento directo e indirecto.
2.- Argumentación en la resolución deproblemas matemáticos:
- Datos.
- Justificación.
- Fundamentos.
- Conclusión.
3.- Comunicación de resultados de laresolución de problemas matemáticos:
- Unidireccional.- Contributiva.
- Reflexiva.
- Instructiva.
Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al
azar, deben encontrar al menos una solución a la pregunta planteada
en el problema:
¿Cuántas latas podría tener Cristina?
Los grupos deben descubrir al menos una solución al problema
planteado. Posteriormente deben comunicar al docente sus
conclusiones.
El docente debe motivar a los estudiantes a comunicar todas las
conclusiones a las que han llegado como grupo.
Luego que los equipos han encontrado la solución al problema, es
necesario extenderlo, con el fin de descubrir algunos aspectos
relevantes del problema (La fase de extensión se realiza con los
grupos que ya encontrado la solución a la pregunta planteada
inicialmente y su prolongación es hasta que todos los grupos la han
encontrado).
Como hemos mencionado anteriormente, existen Aspectos
importantes a descubrir en la etapa de extensión, éstos son:
Determinar que hay infinitas soluciones al problema propuesto.
Encontrar un patrón de comportamiento para el cálculo de las
soluciones. Este patrón corresponde a la diferencia de una progresión
aritmética.
Descubrir alguna operatoria aritmética para calcular la Solución
N°1.836.
Descubrir alguna expresión algebraica para calcular la k-ésima
solución.
Determinar el número más grande coleccionable sin utilizar la cifra
cero.
Preguntas sugeridas para la extensión del problema:
¿Usted encontró una solución al problema? De ser así, encuentre una
nueva solución.
¿Usted encontró dos soluciones al problema? De ser así, encuentre
una tercera solución.
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Matemática Aplicada I – MTES01
¿Usted encontró tres soluciones al problema? De ser así, encuentre
una cuarta solución.
Así, sucesivamente hasta que los estudiantes logren descubrir un patrón
de comportamiento para el cálculo de las soluciones. Este patrón
corresponde a la diferencia de una progresión aritmética.
Luego,
Solución N° 01: 25 latas
Solución N° 02: 85 latas
Solución N° 03: 145 latas
Solución N° 04: 205 latas
Solución N° 05: 265 latas
…
Determine la Solución N° 1836.
Determine la Solución N° “k”.
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Matemática Aplicada I – MTES01
ACTIVIDAD N°4
TALLER N°03: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ENFOQUE EN REGULARIDADES ARITMÉTICAS.TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS.
PROBLEMA 01: LOS FÓSFOROS
Se construyen triángulos con palitos de fósforos, los cuales se muestran a continuación.
a) Dibuja la fase 4.
b) indica la cantidad de palitos de fósforos que son necesarios para construir la figura de la FASE 10.
Problema diseñado por el equipo de Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP
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Matemática Aplicada I – MTES01
PROBLEMA Los fósforos
CÓDIGO T03RP.P01.
TIEMPO ESTIMADO 30 minutos.
ENFOQUE MATEMÁTICO Aritmética.
CONTENIDOS SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
1.- Estrategias para la resolución deproblemas matemáticos:
- Ensayo y error.
- Organización y representación de
información.
- Simplificación de problemas.
- Analogía e inducción problemática.
- Desarrollo y utilización de modelos
matemáticos.
- Búsqueda de regularidades matemáticas.
- Razonamiento directo e indirecto.
2.- Argumentación en la resolución deproblemas matemáticos:
- Datos.
- Justificación.
- Fundamentos.
- Conclusión.
3.- Comunicación de resultados de laresolución de problemas matemáticos:
- Unidireccional.- Contributiva.
- Reflexiva.
- Instructiva.
Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al
azar, deben encontrar la solución a las interrogantes planteadas en el
problema:
a) Dibujar la fase 4.b) indicar la cantidad de palitos de fósforos que son necesarios paraconstruir la figura de la FASE 10.
Acto seguido deben comunicar al docente lo que han encontrado.
El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han
comprendido como obtener el dibujo de la fase 4. Este hecho
permite comprender como va aumentando la regularidad.
El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado
la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente
sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro
algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar la cantidad de
palitos de fósforos de la fase 10.
Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es
necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscar
técnicas para llegar a la generalización del problema (La fase de
extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la
pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que
todos los grupos la han encontrado)
Preguntas sugeridas para la extensión del problema:
¿Cuál es la cantidad de palitos de fósforos que son necesarios para
construir la figura de la FASE 100?
¿Cuál es la cantidad de palitos de fósforos que son necesarios para
construir la figura de la FASE n?
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Matemática Aplicada I – MTES01
PROBLEMA: LOS CUADRILÁTEROS
Una estructura está conformada por nodos (Representadas por círculos) y aristas (Representadas por segmentos de línea
recta). Cada arista está sujeta de dos nodos como se muestra en la figura.
Se ha diseñado una secuencia basada en cuadriláteros como se muestra a continuación
Dibuja la fase 4 y completa la tabla adjunta
Etapa Cantidad de cuadriláteros Cantidad de nodos Cantidad de aristas
FASE 1
FASE 2
FASE 3
FASE 4
FASE 8
FASE 15
Problema diseñado por el equipo de Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP
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Matemática Aplicada I – MTES01
PROBLEMA Los cuadriláteros.
CÓDIGO T03RP.P02.
TIEMPO ESTIMADO 30 minutos.
ENFOQUE MATEMÁTICO Aritmética.
CONTENIDOS SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
1.- Estrategias para la resolución deproblemas matemáticos:
- Ensayo y error.
- Organización y representación de
información.
- Simplificación de problemas.
- Analogía e inducción problemática.
- Desarrollo y utilización de modelos
matemáticos.
- Búsqueda de regularidades matemáticas.
- Razonamiento directo e indirecto.
2.- Argumentación en la resolución deproblemas matemáticos:
- Datos.
- Justificación.
- Fundamentos.
- Conclusión.
3.- Comunicación de resultados de laresolución de problemas matemáticos:
- Unidireccional.- Contributiva.
- Reflexiva.
- Instructiva.
Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al
azar, deben encontrar la solución a la interrogantes planteadas en el
problema:
Dibujar la fase 4 y completa la tabla (cantidad de nodos, cantidad
de cuadriláteros y cantidad de aristas)
Etapa Cantidad de
cuadriláteros
Cantidad de
nodos
Cantidad de
aristas
FASE 1
FASE 2
FASE 3FASE 4
FASE 8
FASE 15
Acto seguido deben comunicar al docente lo que han encontrado.
El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han
comprendido como obtener el dibujo de la fase 4. Este hecho
permite comprender como va aumentando la regularidad.
El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado
la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente
sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro
algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar la cantidad de
elementos pedidos hasta la fase 8.
En la fase 15 los estudiantes, pueden o no, verse en la necesidad de
buscar una regla general para hallar la cantidad de nodos, cantidad
de cuadriláteros y cantidad de aristas. La idea de esta fila es que el
estudiante se encuentre con una fase de número pequeño pero no
consecutivo a los anteriores y sienta la necesidad de buscar una
regularidad cuya eficacia pueda ser comprobada de manera empírica.
Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es
necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscartécnicas para llegar a la generalización del problema (La fase de
extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la
pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que
todos los grupos la han encontrado)
Preguntas sugeridas para la extensión del problema:
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Matemática Aplicada I – MTES01
Completa la tabla adjunta:
Etapa Cantidad de
cuadriláteros
Cantidad de
nodos
Cantidad de
aristas
FASE 1.635
FASE N
En la fase 1.635 el estudiante ya necesitará buscar una
generalización, debido a que el uso de otro registro, podría no ser
eficiente para la búsqueda de la solución.
En la fase n ya se pide explícitamente que generalicen por medio de
un registro algebraico. Es necesario que el docente, utilice esta
instancia para que los estudiantes comprendan la importancia de
este proceso y se propicie la traducción del lenguaje natural al
lenguaje algebraico.
En la fase n de la columna “cantidad de aristas”, el docente notaráque existen múltiples formas de anotar la relación entre número de
fase y cantidad de aristas. Una posible extensión de este problema es
que el docente pregunte a los estudiantes si existe otra expresión
para la fase n y/o que realicen un trabajo de manipulación algebraica
en la(s) expresión(es) algebraica(s) encontrada(s), de tal modo de
llegar a una expresión universal, desarrollada y simplificada.
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Matemática Aplicada I – MTES01
PROBLEMA Las letras “T”.
CÓDIGO T03RP.P03.
TIEMPO ESTIMADO 30 minutos.
ENFOQUE MATEMÁTICO Aritmética.
CONTENIDOS SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
1.- Estrategias para la resolución deproblemas matemáticos:
- Ensayo y error.
- Organización y representación de
información.
- Simplificación de problemas.
- Analogía e inducción problemática.
- Desarrollo y utilización de modelos
matemáticos.
- Búsqueda de regularidades matemáticas.
- Razonamiento directo e indirecto.
2.- Argumentación en la resolución deproblemas matemáticos:
- Datos.
- Justificación.
- Fundamentos.
- Conclusión.
3.- Comunicación de resultados de laresolución de problemas matemáticos:
- Unidireccional.- Contributiva.
- Reflexiva.
- Instructiva.
Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al
azar, deben encontrar la solución a la interrogantes planteadas en el
problema:
Dibujar la fase 4 y completa la tabla adjunta
Etapa Cantidad de
cuadrados
negros
Cantidad de
cuadrados
blancos
Cantidad total
de cuadrados
FASE 1
FASE 2
FASE 3FASE 4
FASE 10
Acto seguido deben comunicar al docente lo que han encontrado.
El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han
comprendido como obtener el dibujo de la fase 4. Este hecho
permite comprender como va aumentando la regularidad.
El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado
la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente
sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro
algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar la cantidad de
elementos pedidos hasta la fase 4.
En la fase 10 los estudiantes, pueden o no, verse en la necesidad de
buscar una regla general para hallar la cantidad de cuadrados negros,
cantidad de cuadrado blanco y cantidad total de cuadrados. La idea
de esta fila es que el estudiante se encuentre con una fase de
número pequeño pero no consecutivo a los anteriores y sienta la
necesidad de buscar una regularidad cuya eficacia pueda ser
comprobada de manera empírica.
Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es
necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscartécnicas para llegar a la generalización del problema (La fase de
extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la
pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que
todos los grupos la han encontrado)
Preguntas sugeridas para la extensión del problema:
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Matemática Aplicada I – MTES01
Completa la tabla adjunta:
Etapa Cantidad de
cuadrados
negros
Cantidad de
cuadrados
blancos
Cantidad total
de cuadrados
FASE 348
FASE n
En la fase 348 el estudiante ya necesitará buscar una generalización,debido a que el uso de otro registro, podría no ser eficiente para la
búsqueda de la solución.
En la fase n ya se pide explícitamente que generalicen por medio deun registro algebraico. Es necesario que el docente, utilice esta
instancia para que los estudiantes comprendan la importancia de
este proceso y se propicie la traducción del lenguaje natural al
lenguaje algebraico.
En la fase n, el docente notará que existen múltiples formas de
anotar la relación entre número de fase y las cantidades solicitadas.
Una posible extensión de este problema es que el docente pregunte
a los estudiantes si existe otra expresión para la fase n y/o que
realicen un trabajo de manipulación algebraica en la(s) expresión(es)
algebraica(s) encontrada(s), de tal modo de llegar a una expresión
desarrollada y simplificada.
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Matemática Aplicada I – MTES01
SEMANA N°2TALLERES DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
TIEMPO ESTIMADO EN PLANIFICACIÓN SEMANAL: 270 MINUTOS.TIEMPO ESTIMADO EN ACTIVIDADES MÍNIMAS OBLIGATORIAS: 270 MINUTOS.
ACTIVIDADES MÍNIMAS OBLIGATORIAS:
Taller N°04: Resolución de problemas con enfoque polinomial de segundo grado.
Taller N°05: Resolución de problemas con enfoque en regularidades gráficas.
ACTIVIDAD N°1
TALLER N°04: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ENFOQUE POLINOMIAL DE SEGUNDO GRADO.TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS.
PROBLEMA 01: LA PARED DE CUBOS
Un grupo de niños construye una pared rectangular con cubos. El primer
niño coloca dos cubos de base y 3 cubos de altura, utilizando un total de 6
cubos. El segundo niño agrega dos cubos de base y tres cubos de altura,
completando la pared rectangular. El tercer niño agrega dos cubos de
base y tres cubos de altura, completando la pared rectangular. Y así
sucesivamente.
¿Cuántos cubos en la base tiene la pared construida por el décimo niño?
¿Cuántos cubos de altura tiene la pared construida por el décimo niño?
¿Cuántos cubos en total tiene la pared hasta lo construido por el décimo
niño?
Problema diseñado por el equipo de Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP
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Matemática Aplicada I – MTES01
PROBLEMA La pared de cubos.
CÓDIGO T04RP.P01.
TIEMPO ESTIMADO 20 minutos.
ENFOQUE MATEMÁTICO Regularidad polinomial de segundo grado.
CONTENIDOS SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
1.- Estrategias para la resolución deproblemas matemáticos:
- Ensayo y error.
- Organización y representación de
información.
- Simplificación de problemas.
- Analogía e inducción problemática.
- Desarrollo y utilización de modelos
matemáticos.
- Búsqueda de regularidades matemáticas.
- Razonamiento directo e indirecto.
2.- Argumentación en la resolución deproblemas matemáticos:
- Datos.
- Justificación.
- Fundamentos.
- Conclusión.
3.- Comunicación de resultados de laresolución de problemas matemáticos:
- Unidireccional.- Contributiva.
- Reflexiva.
- Instructiva.
Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al
azar, deben encontrar la solución a la interrogante planteada en el
problema:
¿Cuántos cubos en la base tiene la pared construida por el
décimo niño?
¿Cuántos cubos de altura tiene la pared construida por el
décimo niño?
¿Cuántos cubos en total tiene la pared hasta lo construido por
el décimo niño?
Acto seguido deben comunicar al docente lo que han encontrado.
El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han
comprendido como obtener la cantidad de cubos en la base de la
pared construida por el décimo niño, su altura y total de cubos. Para
tal fin deberán realizar un estudio de la información entregada por
medio del establecimiento de regularidades entre ellas.
El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado
la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente
sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro
algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar lainformación del décimo niño.
En esta fase 10 los estudiantes, pueden o no, verse en la necesidad
de buscar una regla general para hallar la cantidad de nodos,
cantidad de cubos que tiene la base de la pared, la altura y la
cantidad total de cubos. La idea de esta fila es que el estudiante se
encuentre con una fase pequeña pero no consecutiva y sienta la
necesidad de buscar una regularidad cuya eficacia pueda ser
comprobada de manera empírica.
Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es
necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscartécnicas para llegar a la generalización del problema (La fase de
extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la
pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que
todos los grupos la han encontrado)
Preguntas sugeridas para la extensión del problema:
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Matemática Aplicada I – MTES01
Sexagésimo segundo (62º) niño: ¿Cuántos cubos en la base tiene la pared construida por el
sexagésimo segundo (62º) niño?
¿Cuántos cubos de altura tiene la pared construida por el
sexagésimo segundo (62º) niño?
¿Cuántos cubos en total tiene la pared hasta lo construido por
el sexagésimo segundo (62º) niño?
Enésimo niño:
¿Cuántos cubos en la base tiene la pared construida por el
enésimo (nº) niño?
¿Cuántos cubos de altura tiene la pared construida por el
enésimo (nº) niño?
¿Cuántos cubos en total tiene la pared hasta lo construido por
el enésimo (nº) niño?
En el trabajo con sexagésimo segundo (62º) niño el estudiante ya
necesitará buscar una generalización, debido a que el uso de otro
registro, podría no ser eficiente para la búsqueda de la solución.
En el trabajo con el enésimo (nº) niño ya se pide explícitamente que
generalicen por medio de un registro algebraico. Es necesario que el
docente, utilice esta instancia para que los estudiantes comprendan
la importancia de este proceso y se propicie la traducción del
lenguaje natural al lenguaje algebraico.
En la fase n, el docente notará que existen múltiples formas deanotar la relación entre número de niño y las cantidades solicitadas.
Una posible extensión de este problema es que el docente pregunte
a los estudiantes si existe otra expresión para la fase n y/o que
realicen un trabajo de manipulación algebraica en la(s) expresión(es)
algebraica(s) encontrada(s), de tal modo de llegar a una expresión
desarrollada y simplificada.
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Matemática Aplicada I – MTES01
PROBLEMA 02: DEUDA
Lucas debe pagar mensualmente cuotas de una deuda que adquirió el año 2014. Para esto decide implementar una
novedosa forma de pago, con monedas de $1, que comienza en Enero de 2015 y termina en Diciembre de 2018, mostrada a
continuación:
¿Cuál es el monto de la cuota correspondiente al mes de abril de 2015?
Problema diseñado por el equipo de Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP
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Matemática Aplicada I – MTES01
PROBLEMA Deuda
CÓDIGO T04RP.P02.
TIEMPO ESTIMADO 20 minutos.
ENFOQUE MATEMÁTICO Regularidad polinomial de segundo grado.
CONTENIDOS SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
1.- Estrategias para la resolución deproblemas matemáticos:
- Ensayo y error.
- Organización y representación de
información.
- Simplificación de problemas.
- Analogía e inducción problemática.
- Desarrollo y utilización de modelos
matemáticos.
- Búsqueda de regularidades matemáticas.
- Razonamiento directo e indirecto.
2.- Argumentación en la resolución deproblemas matemáticos:
- Datos.
- Justificación.
- Fundamentos.
- Conclusión.
3.- Comunicación de resultados de laresolución de problemas matemáticos:
- Unidireccional.- Contributiva.
- Reflexiva.
- Instructiva.
Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al
azar, deben encontrar la solución a la interrogante planteada en el
problema:
¿Cuál es el monto de la cuota correspondiente al mes de abril de
2015?
Acto seguido deben comunicar al docente lo que han encontrado.
El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han
comprendido como el monto de la cuota correspondiente al mes de
abril de 2015. Para tal fin deberán realizar un estudio de lainformación entregada por medio del establecimiento de
regularidades entre ellas, por medio de la regularidad entre las
cantidades y/o de la forma geométrica de la disposición de las
monedas.
El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado
la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente
sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro
algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar la
información del décimo niño.
Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es
necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscartécnicas para llegar a la generalización del problema (La fase de
extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la
pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que
todos los grupos la han encontrado)
Preguntas sugeridas para la extensión del problema:
¿Cuál es el monto de la cuota correspondiente al noveno mes?
¿Cuál es el monto de la cuota correspondiente al mes de
diciembre del 2018?
¿Cuál será el monto total pagado a esta fecha?
¿Cuál es el monto de la cuota correspondiente al n-ésimo mes?
¿Cuál será el monto total pagado hasta el n – ésimo mes?
En el trabajo con la n-ésima cuota ya se pide explícitamente que
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Matemática Aplicada I – MTES01
TALLER N°05: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ENFOQUE EN REGULARIDADES GRÁFICAS.TIEMPO ESTIMADO: 90 MINUTOS.
PROBLEMA: LOS CÍRCULOS
Lorena, destacada diseñadora gráfica, está creando una portada de una revista de ciencias, para lo cual utiliza círculos de
distintos tamaños y centrados en diferentes puntos. Si Lorena quiere utilizar 6 círculos, siguiendo una regularidad gráfica,¿Cuál podría ser la ubicación del centro de los dos círculos restantes?
Problema diseñado por el equipo de Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP
REVISTA DE
CIENCIASOtoño 2016
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Matemática Aplicada I – MTES01
PROBLEMA Los círculos.
CÓDIGO T05RP.P01.
TIEMPO ESTIMADO 25 minutos.
ENFOQUE MATEMÁTICO Aritmética.
CONTENIDOS SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
1.- Estrategias para la resolución deproblemas matemáticos:
- Ensayo y error.
- Organización y representación de
información.
- Simplificación de problemas.
- Analogía e inducción problemática.
- Desarrollo y utilización de modelos
matemáticos.
- Búsqueda de regularidades matemáticas.
- Razonamiento directo e indirecto.
2.- Argumentación en la resolución deproblemas matemáticos:
- Datos.
- Justificación.
- Fundamentos.
- Conclusión.
3.- Comunicación de resultados de laresolución de problemas matemáticos:
- Unidireccional.- Contributiva.
- Reflexiva.
- Instructiva.
Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al
azar, deben encontrar la solución a la interrogante planteada en el
problema:
¿Cuál podría ser la ubicación del centro de los dos círculos
restantes?
Acto seguido deben comunicar al docente lo que han encontrado.
El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han
comprendido como obtener el centro de los dos círculos restantes. Es
posible que realicen el dibujo de los círculos sobre el planocartesiano, éste te hecho permite comprender como va aumentando
la regularidad de una manera gráfica.
El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado
la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente
sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro
algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar los centros de
los dos círculos restantes.
Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es
necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscar
técnicas para llegar a la generalización del problema (La fase de
extensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a lapregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que
todos los grupos la han encontrado)
Preguntas sugeridas para la extensión del problema:
Dibuje la circunferencia más grande que se puede incluir,
siguiendo la secuencia.
Dibuje la sucesión de todos los centros de las circunferencias.
Dibuje la sucesión de todos los radios de las circunferencias.
Generalice las coordenadas de los centros de las circunferencias
PROBLEMA 02: LAS FOTOGRAFAS
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Matemática Aplicada I – MTES01
Claudia y Camila deciden caminar por un parque para sacar fotografías. Las ubicaciones de ellas cuando tomaron las
primeras tres fotografías se muestran a continuación:
¿Cuál será la ubicación de Claudia y Camila para tomar la cuarta fotografía?
Problema diseñado por el equipo de Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Chile INACAP
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Matemática Aplicada I – MTES01
PROBLEMA Las fotógrafas.
CÓDIGO T05RP.P02.
TIEMPO ESTIMADO 25 minutos.
ENFOQUE MATEMÁTICO Aritmética.
CONTENIDOS SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
1.- Estrategias para la resolución deproblemas matemáticos:
- Ensayo y error.
- Organización y representación de
información.
- Simplificación de problemas.
- Analogía e inducción problemática.
- Desarrollo y utilización de modelos
matemáticos.
- Búsqueda de regularidades matemáticas.
- Razonamiento directo e indirecto.
2.- Argumentación en la resolución deproblemas matemáticos:
- Datos.
- Justificación.
- Fundamentos.
- Conclusión.
3.- Comunicación de resultados de laresolución de problemas matemáticos:
- Unidireccional.- Contributiva.
- Reflexiva.
- Instructiva.
Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al
azar, deben encontrar la solución a la pregunta planteada en el
problema:
¿Cuál será la ubicación de Claudia y Camila para tomar la cuarta
fotografía?
Acto seguido deben comunicar al docente lo que han encontrado.
El docente debe verificar que todos los estudiantes del grupo han
comprendido como obtener la ubicación de Claudia y Camila para
tomar la cuarta foto. Es posible que realicen el dibujo de lascoordenadas sobre el plano cartesiano, éste hecho permite
comprender como va aumentando la regularidad de una manera
gráfica.
El docente debe vigilar que el grupo de estudiantes haya encontrado
la solución al problema, argumentado y comunicando correctamente
sus conclusiones. No es importante que el alumno utilice un registro
algebraico, por ejemplo una ecuación, para determinar la ubicación
para tomar esta fotografía.
Luego que los grupos han encontrado la solución al problema, es
necesario extenderlo, con el fin de instar a estudiante a buscar
técnicas para llegar a la generalización del problema (La fase deextensión se realiza con los grupos que ya encontrado la solución a la
pregunta planteada inicialmente y su prolongación es hasta que
todos los grupos la han encontrado)
Preguntas sugeridas para la extensión del problema:
¿Cuál será la ubicación de Claudia y Camila para tomar la
séptima fotografía?
¿Existirá un lugar en común donde Claudia y Camila tomen la
misma fotografía en el mismo instante? De ser así, mencione
cuál es el lugar y qué número de fotografía es.
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