7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 1/14
PERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL
Bila terdapat tiga titik yang tidak kolinear, maka ketiga titik itu menentukan sebuah bidang rata.
Misalkan ketiga titik itu masing-masing ( , , ), ( , , ) dan ( , , ). Dan misalkan
vector-vektor arah bidang itu adalah :
= [ − , − , − ] dan = [ − , − , − ] (1)
Untuk sembarang titik ( , , ) pada bidang V berlaku :
= + , , ∈ ℜ (2)
Tetapi dari gambar tampak pula bahwa
= + (3)
Subtitusi (2) ke (3) diperoleh
= + + (4)
atau
[ , , ] = [ , , ] + [ − , − , − ] + [ − , − , − ] (5)
yang merupakan bentuk vector persamaan bidang rata yang melalui tiga titik.
Persamaan (5) dapat dituliskan sebagai
[ , , ] = [ , , ] + [ , , ] + [ , , ] (6)
X
Y
Z
P
R
Q
T
7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 2/14
merupakan persamaan bidang rata dalam bentuk vector yang melalui titik ( , , ) dengan vector-
vektor arahnya = [ , , ] dan = [ , , ] .
atau
= + + … … … … … ( )= + + … … … … … . ( )= + + … … … … … . . ( )
(7)
yang disebut sebagai persamaan parameter bidang rata
Jika dan pada persamaan (a) dan (b) di eliminasikan, dengan cara mengalikan pada (a) dan
mengalikan pada (b) kemudian di perkurangkan, diperoleh :
= ( − ) −( − )−
Dengan cara serupa diperoleh
=( − ) −( − )
−
Selanjutnya dan di subtitusikan ke (c) : − = + , diperoleh
( − )( − ) =[( − ) −( − ) ] +[( − ) −( − ) ]
atau
( − )( − ) +( − )( − ) +( − )( − ) =0 (8)
atau
( − ) + ( − ) + ( − ) =0 (9)
yang merupakan persamaan bidang rata melalui titik ( , , ) dengan vector normal [ , , ].
Selanjutnya (9) dapat dituliskan sebagai
+ + +(− − − ) = 0
: + + + = 0 (10)
yang merupakan persamaan linier bidang rata
dengan
− = = ; − = = ; − = =
dan = −( + + )
7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 3/14
= [ , , ] disebut vector normal bidang rata V=0, dengan
= [ , , ] = + + =
= ×
yang merupakan vector yang tegak lurus pada bidang rata yang dibentuk oleh dan , yaitu
: + + + = 0
Hal-Hal Khusus
1. Jika = 0, maka bidang V melalui titik O(0,0,0), sebaliknya
2. jika ≠ 0, maka bidang + + + = 0 memotong sumbu X di ,0,0 , memotong
sumbu Y di 0, ,0 dan memotong sumbu Z di 0,0,
Jika = 0, bidang V sejajar sumbu X
Jika = 0, bidang V sejajar sumbu Y
Jika = 0, bidang V sejajar sumbu Z
Jika = = 0, bidang V sejajar bidang XOY
Jika = = 0, bidang V sejajar bidang XOZ
Jika = = 0, bidang V sejajar bidang YOZ
CATATAN
1. Persamaan bidang rata yang melalui 3 titik ( , , ), ( , , ) dan ( , , )
mempunyai persamaan dalam bentuk determinan :
− − −− − −
− − −= 0
2. Persamaan bidang rata yang melalui titik ( , , ) dengan vector-vektor arahnya
= [ , , ] dan = [ , , ] , mempunyai persamaan dalam bentuk determinan
− − −
= 0
+ = 3 bidang
sejajar sumbu Z
3
3
Y
X
Z
7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 4/14
3. Persamaan bidang rata yang melalui 4 titik ( , , ), ( , , ) , ( , , ) ,dan
( , , )mempunyai persamaan dalam bentuk determinan :− − −
− − −− − −
= 0
4. Jarak titik P(x ,y ,z ) ke bidangAx+ By+Cz+D = 0
d = Ax +By +Cz +D
√A +B +C
5. Jarak duabidangsejajar H : ax+by+cz+m= 0 danH : ax+by+cz+n = 0 , dengan
=
Ambil titik P 0,0,z padaH berarti P 0,0,−n
c
Jarak P 0,0,−n
c keH :
d =a(0) +b(0) +c −
nc +m
√a +b +c=
m−n
√a +b +c
6. Bidang sejajar
H :A x+B y+C z+D = 0H :A x+B y+C z+D = 0
H ⇈ H ⟺ A
A =
B
B =
C
C
SOAL-SOAL
1. Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui titik-titik (1,3,−2), (3,1,1) dan
(−1,2,3). Jwb : 7 +16 +6 −43=0
2. Persamaan bidang rata melalui (1,2,3) dan sejajar sumbu Z diantaranya adalah 2 + −4 = 0
3. Bidang rata 2 −3 − = 0adalah melalui titik asal O(0,0,0)
4. Persamaan parameter bidang ratayang melalui titiktitik A(4,3,1), B(-2,3,5) dan C(6,2,5) adalah
= 4−6 +2 , = 3− , = 1+4 +45. Tentukan persamaan linier bidang rata yang memotong OX di P, dimana | | = 2, memotong
OY di Q, dimana | | = 3 dan memotong OZ’ di R, dimana | | = 1
Jwab
Bidang yang dimaksud melalui titik-titik (2,0,0), (0,3,0) dan (0,0,-1) dengan persamaan
−2−2 3 0−2 0 −1
= 0
+ +( )
=1
7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 5/14
SUDUT ANTARA DUA BIDANG DATAR
Misalakan bidang rata H:Ax+By+Cz+D=0
dengan vektor normal = [ , , ], dan , dan
berturut-turut sudut antara vektor normal dengan
sumbu-sumbu koordinat (yang arahnya ditentukan
oleh vektor-vektor , dan )
Ternyata bahwa : cos = .
| |.| |=
| |; cos =
.
| |.| | =
| |dan cos =
.
| |. =
| |
atau [cos cos cos ] =
[ , , ]
| | = | |, yang merupakan vektor normal satuan yang searah
dengan , juga berarti + + = 1.
Sudut antara dua bidang rata
Sudut antara bidang rata : + + + = 0dan bidang rata
: + + + = 0adalah sudut antara vektor-vektor normalnya. Jika adalah sudut yang dibentuk oleh vektor
normal maka
cos = .
| | | |=
+ +
+ + . + +
Bidang sejajar bidang bila dan atau , berarti
[ , , ] = [ , , ] , dimana ≠ 0, ∈ .
Bidang saling tegak lurus bila tegak lurus ,
berarti . = 0 ⟹ + + = 0
Contoh 1
Tentukan sudut antara bidang : 2 + + + 4 = 0dan : 3 +4 + −10= 0.
Jawab
Vektor-vektor normal masing-masing = [2,1,1] dan = [3,4,1], maka
cos = .
| | | |=
2.3+1.4+1.1
√2 + 1 + 1 .√3 +4 +1=
11
√156
Jadi =√
Contoh 2
Tentukan persamaan bidang rata melalui titik (1,−2,1) dan sejajar bidang rata : 2 +3 +
5 −10=0.
Jawab
Vektor normal bidang rata H adalah = [2,3,5], berarti bidang yang sejajar dengan H
mempunyai vektor normal yang sama, yakni [2,3,5]. Misalkan persamaan linier bidang rata
7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 6/14
tersebut adalah 2 +3 +5 + = 0. Bidang ini diketahui melalui titik (1,−2,1), berarti
memenuhi 2(1) +3(−2) +5(1) + = 0, diperoleh = −1. Jadi persamaan bidang rata yang
melalui titik (1,−2,1) dan sejajar bidang rata :2 +3 +5 −10= 0 adalah 2 + 3 +
5 − 1= 0.
Contoh 3
Tentukan persamaan bidang rata melalui titik (0,0,0) dan titik (1,2,3) serta tegak lurus
bidang rata :2 +3 +4 −10= 0
Jawab
Misalkan bidang yang dicari adalah : + + + = 0
Karena bidang tegak lurus bidang berarti . = 0
⟹ + + = 0 ⟹ 2 +3 +4 = 0 ......(1)
Diketahui pula bidang melalui O(0,0,0), berarti = 0 .....(2)
Diketahui pula bidang melalui (1,2,3), berarti .1+ .2+ .3 + = 0atau +2 +3 + = 0 ....(3).
Subtitusi (2) ke (3) diperolah +2 +3 = 0 ....(4).
Persamaan (2) 2 +3 +4 = 0
Persamaan (4) dikali dua 2 +4 +6 = 0 (-)
− −2 = 0 → = −2 ....(5)
Subtitusi (5) ke (1) diperoleh 2 +3(−2 ) +4 = 0 → = ....(6)
Jadi persamaan bidang : +(−2 ) + = 0 bagi dengan ( ≠ 0) diperoleh
−2 + = 0
I. TEMPAT KEDUDUKAN (TK)
Tempat Kedudukan (TK) merupakan himpunan titik-titik yang memenuhi syarat-syarat yang ditentukan.
TK mungkin merupakan : himpunan kosong, sebuah titik, berupa kurva (garis lurus atau
garis lengkung), berupa permukaan (bidang rata, atau bidang lengkung) ataupun seluruh
ruang itu.
Menjalankan titik ( , , )
Ambil titik ( , , ) sembarang pada TK, kemudian cari hubungan-hubungan antara
, , yang memenuhi syarat-syarat yang ditentukan. Dengan menjalankan titik
( , , ) ataumenghapus indeks nol dari hubungan-hubungan tersebut diperoleh TK yang
diminta.
Contoh 1.1
Tentukan TK yang berjarak 3 satuan dari bidang XOZ, dan jumlah kuadrat jaraknya ke titik
(1,2,0) dan (−1,−2,0) adalah tetap = 30
Solusi
7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 7/14
i) Ambil titik ( , , ) pada TK
ii) Berjarak 3 satuan dari bidang XOZ (yaitu bidang = 0).
Ini berarti : = 3 atau = −3 (*)
iii) Jumlah Kuadrat titik P ke titik (1,2,0) dan (−1,−2,0) adalah 30
⟹ + = 30
⟹ [( −1) +( −2) +( −0) ] +[( +1) +( +2) +( −0) ] = 30
⟺ −2 +1+ −4 +4+ + +2 +1+ +4 +4+ = 30
⟺ 2 + 2 + 2 + 10 = 30⟹ + + = 10 (**)
Dari (*) dan (**), titik P dijalankan, sehingga diperoleh TK :
= 3atau = −3 ( = 9)
+ + = 10
Atau ditulis dalam notasi himpunan TK : {( , , )| = 9}⋂{( , , )| + + = 10}.
Berupa apakah TK ini ? Perpotongan bidang rata dengan bola berbentuk lingkaran ??
II PERSAMAAN BOLA
Permukaan (kulit) bola merupakan TK yang vektor di dalam yang titik awalnya tertentu (pusat bola) dan
panjang yang konstan sebagai jari-jari bola. Atau per,mukaan bola merupakan TK titik-titik di dalam
ruang yang berjarak sama (=Jari-jari) terhadap sebuah titik tertentu (pusat bola).
Persamaan Bola
Misalkan pusat bola adalah ( , , ) dan
Jari-jari R (Gambar 2.1), maka
= −
= [ − , − , − ]
= ( − ) +( − ) +( − )
Karena = , maka
( − ) +( − ) +( − ) =
atau ( − ) +( − ) +( − ) =
Gambar 2.1: Bola
( , , )
( , , )
O
7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 8/14
Dengan menjalankan titik P, diperoleh
( − ) +( − ) +( − ) = (2.1)
yang merupakan persamaan bola berpusat di ( , , ) dan berjari-jari R.
Persamaan bola yang berpusat dititik asal (0,0,0) dan berjari-jari R adalah : + + =
Secara umum persamaan bola adalah berbentuk
+ + + + + + = 0
⟺ + + + + + − − − + = 0
⟺ + + + + + = + + − (2.2)
Sehingga pusat bola adalah : − ,− ,− (2.3)
dan Jari-jari bola adalah : = + + − , > 0 (2.4)
Jika + + − = 0 maka bola merupakan sebuah titik
Jika + + − < 0 maka bola merupakan bola khayal
Secara simbolis persamaan bola dapat dituliskan sebagai = 0yang memiliki 4 parameter (A,B,C dan
D), jadi suatu bola akan tertentu jika diketahui melalui 4 buah titik yang tidak sebidang.
Contoh 2.1
Tentukan pusat dan jari-jari bola : + + −4 +6 −2 −3 =0
Solusi
Diketahui = −4, = 6, = −2dan = −3, maka
Pusat bola − ,− ,− = − (−4),− (6),− (−2) = (2,−3,1) dan
Jari-jari bola = + + − = (−4) + (6) + (−2) −(−3) = √17
Persamaan bola melalui 4 buah titik ( , , ), ( , , ), ( , , ) dan ( , , ) dapat
dihitung melalui persamaan determinan berikut :
7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 9/14
+ + 1
+ + 1
+ +
+ +
+ +
111
= 0
Contoh 2.2
Tentukan persamaan bola yang melalui titik-titik (2,0,0), (0,1,0), (0,0,1) dan (0,0,0)
Solusi
Cara I
Misalkan persamaan bola S=0 adalah : + + + + + + = 0
Karena bola melalui titik (2,0,0),maka2 +2 + = 0 ⟹ 4+2 + = 0 (i)
Bola melalui (0,1,0), maka 1+ + = 0 (ii)
Bola melalui (0,0,1), maka 1+ + = 0 (iii)
Bola melalui (0,0,0), maka = 0 (iv)
Dari persamaan (i) sampai (iv) diperoleh = −2, = −1, = −1dan D=0, sehingga persamaan bola
yang melalui ke 4 titik tersebut adalah: + + −2 − − = 0
Cara lain
Gunakan determinan
+ + 1
+ + 1+ +
+ +
+ +
111
= 0 ⟹
+ + 1
2 +0 +0 2 0 0 10 +1 +00 +0 +1
0+0+0
000
100
010
111
= 0
⟹
+ + 14 2 0 0 1110
000
100
010
111
= 0 ⟹
+ +4 2 0 011
00
10
01
= 0 , − menjadi
7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 10/14
+ + −4 2 0 01
0
0
0
1
0
0
1
= 0 ⟹+ + −
4 2 0
1 0 1
= 0, − menjadi
+ + − −4 2 00 0 1
= 0 ⟹ + + − −4 2
= 0
⟹ 2( + + − − ) − 4 = 0 ⟹ + + −2 − − = 0
KEDUDUKAN BIDANG RATA DENGAN BOLA
Misalkan suatu bola = 0berjari-jari R dan sebuah bidang rata = 0, dengan adalah jarak titik M(pusat bola) ke bidang H, maka
1. Jika < , maka bidang H memotong bola, perpotongannya berupa lingkaran, Gbr 2.2a
2. Jika = , maka bidang H menyinggung bola (terdapat sebuah titik persekutuan), Gbr 2.2b
3. Jika > , maka bidang H tidak memotong bola, Gbr 2.2c
Contoh 2.3
a. Tentukan kedudukan bola S : + + +2 +6 +8 −10 = 0 terhadap bidang
: + 2 +2 = 0Solusi
Pusat bola adalah (−1,−3,−4) dan jari-jari bola adalah = + + −(−10) =6
Ingat persamaan bidangb rata H: + + + = 0, disisni = 1, =2, =2, =0, maka
Jarak M ke bidang H :
d =√
= ( ) ( ) ( )
√ = = 5
Karena < , maka bidang H memotong bola , dengan perpotongan berup lingkaran.
b. Dari soal a, Tentukan jari-jari dan pusat lingkaran tersebut (PR)
HH
=
M
Gbr.2.2a Gbr.2.2cGbr.2.2b
7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 11/14
Jwb = √11dan pusat lingkaran , ,
PERSAMAAN BIDANG SINGGUNG PADA BOLA
Misalkan suatu bola S: + + + + + + = 0
berpusat di M , dan misalkan ( , , ) suatu titik pada bola.
Pusat bola adalah − ,− ,− dan titik singgung
adalah ( , , ). Tampak pada gambar bahwa
merupakan vektor normal dari bidang singgung H,
= + , + , + . Sehingga persamaan bidang singgung H adalah
: + ( − ) + + ( − ) + + ( − ) =0
⟺ + + + + + − ( + + ) + + + = 0 (*)
Karena ( , , ) pada bola maka memenuhi bola
+ + + + + + = 0 (**)
Dari (∗)dan (∗∗) , diperoleh persamaan bidang singgung pada bola, yaitu
+ + +1
2 ( + ) +
1
2 ( + ) +
1
2 ( + ) + = 0
Rumus ini dikenal dengan “Membagi adil”, yaitu menjadi dan menjadi ( + )
Contoh 2.4Tentukan persamaan bidang singgung di suatu titik pada bola + + +2 +4 +6 +8 =0 di
titik 0,0,
Solusi : Diskusi kelas
Subtitusi titik 0,0, pada bola diperoleh +6 +8 = 0 diperoleh = −2dan = −4. Jadi
titik singgung pada bola adalah (0,0,−2) dan (0,0,−4). Pers. Bid.singgung...
Kedudukan antara dua bola
Misalakan terdapat dua bola :
= 0pusat
jari −jaridan
= 0pusat
jari −jaridan = (grs sentral)
Maka
(1). Kedua bola tidak berpotongan ⟺ > +
(2). Kedua bola bersinggungan luar ⟺ = +
(3). Kedua bola berpotongan ⟺ | − | < < +
(4). Kedua bola bersinggungan dalam ⟺ = | − |
(5). Salah satu bola berada dalam bola yang lain ⟺ < | − |
S S
MM
RR
d
(1)
MM
RR
d(2)
MM
RR
d(3)
7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 12/14
Soal Latihan1. Selidiki apakah bidang- bidang rata H :3x−2y+ 4z−2 = 0 danH :6x− 4y+ 8z−3 = 0,
sejajar ? , Jika iya, tentukan jaraknyadansketsa grafiknya.
2. Melalui tiga titik ( , , ) = (1,1,2) , ( , , ) = (2,3,5) dan ( , , ) = (1,3,7) .
Tentukan persamaan bidang datar dalam bentuk (a) Parameter (b) persamaan linier.
3. Diberikan bola : + + +6 +4 +2 − 11 = 0dan bidang : +2 +2 = 0.
a. Tentukan kedudukan bidang rata H terhadap bola S
b. Jika seandainya bidang memotong bola tentukan jari-jari dan pusat lingkaran
perpotongannya.4. Tentukan Tempat Kedudukan (TK) titik-titik yang berjarak 2 satuan dari bidang XOY dan
jumlah kuadrat jaraknya ke titik-titik (1,0,−2) dan(−1,0,2) adalah konstan=20
5. Tentukan persamaan bidang singgung di suatu titik 0, ,0 pada bola : + + +
6 − 4 + 2 + 3= 0
6. Tentukan kedudukan bola : + + −9 = 0 dan
: ( −1) +( +2) + −16= 0
Solusi soal latihan
1. = = = = = , jadi bidang-bidang dan saling sejajar.
Untuk menentukan jarak, Pilih sebarangtitikmisalnya P 0,0,z padaH ⟹ z = sehingga koordinat
titikP adalah P 0,0, .
Jarak titik P(x ,y ,z ) ke bidangAx+ By+Cz+D = 0
d =√
Jadi jarak titikP keH adalah
d = × ( ). × ( )
( ) ( ) ( ) =
√ =
√
2. Vektor-vektor arah bidang datar adalah
0
MM
SS
d
(4)
MM
SS
d
(5)
7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 13/14
(a) =[ , , ] = [ − , − , − ] = [1,2,3]
= [ , , ] = [ − , − , − ] = [0,2,5]
Persamaan vektorial bidang datar melalui tiga titik P, Q dan R adalah
[ , , ] = [ , , ] + [ , , ] + [ , , ]
= [1,1,2] + [1,2,3] + [0,2,5]
Persamaanbidangdatar dalambentukparameter adalah:
= 1+=1+2 +2=2+3 +5
(b) Vector normal bidang data melalui tiga titik
= [A,B,C] = x y zx y z
= y zy z + z xz x + x yx y
[ , , ] = x − x y −y z −zx − x y −y z −z
= 2 − 1 3 − 1 5 −21 − 1 3 − 1 7 − 2
= 1 2 30 2 5
= 2 32 5
− 1 30 5
+ 1 20 2
=4 −5 +2
Jadi vektor normal bidang rata adalah = [ , , ] = [4,−5,2]
Konstanta D dapat dihitung dari bidang rata : + + = −
4(1) +(−5)(1) +2(2) = −D ⟹ D =−3
Jadi persamaan bidang rata bentuk linier adalah
Ax+By+Cz+D=0 ⟹ 4x−5y+2z− 3 = 0
3. Persamaan bola + + + + + + = 0mempunyai
Pusat − ,− ,− dan jari-jari = + + −
Jadi pusat bola (−3,−2,−1) dan jari-jari = √25=5
Jarak titik (−3,−2,−1) ke bidang rata : +2 +2 = 0 adalah
d = ×( ) ×( ) ×( )
√ = = 3.
a. Karena < , maka bola memotongbidangrata,berupa lingkaranberjari-jari r.
b. Menurut Phytagoras = − → = 25− 9 = 16. Jadi = 4.
Untuk menentukan pusat lingkaran, dibuat garis g melalui pusta bola M dan tegak lurus bidang H. Vektor normal bidang H
adalah [ , , ] = [1,2,2], jadi persamaan garis g adalah g: = −3+ , = −2+2 , = −1+2 , yang disubtitusikan ke
dalam
: +2 + 2 = 0 , diperoleh−3+ −2+2 −1+2 = 0 → = . Selanjutnya nilai = disubtitusi ke dalam g,diperoleh = −3+ = , = dan = .
Jadi pusat lingkaran potong adalah , ,
4. Ambil titik ( , , )
Syarat I, berjarak 2 satuan dari bidang XOY, berarti = 2atau = 2 ……(*)
Syarat II, jumlah kuadrat jarak ke titik-titik (1,0,−2) dan(−1,0,2) adalah konstan=20, berarti ( −1) +( −0) +( +2) +( +1) +( −0) +( −2) = 20
atau2( + + ) +10= 20→ + + =5 …. (**)
Dari (*) dan (**) , indeks dijalankan, diperoleh TK
= 2 = −2 (⟺ = 4)
+ + = 5yang merupakan sebuah lingkaran (irisan bidang rata dan bola, atau dengan notasi himpunan
:{( , , )| = 4}∩{( , , )| + + = 5}
7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 14/14
5. Titik 0, ,0 pada bola , berarti −4 +3 = 0atau −1 −3 = 0. Jadi titiik-titik singgung pada bola adalah
(0,1,0) dan (0,3,0)
Dengan sistem bagi adali, persamaan bidang singgung di (0,1,0) adalah
+ + +3 +3 − 2 −2 + + +3 = 0
1( )+3 −2 −2(1)+ +3=0 atau − + + 1 =0
Persamaan bidang singgung di (0,3,0) adalah
+ + +3 +3 −(2 +2 ) + + +3 =0
3 + 3 −(2 +2.3) + + 3 = 0 atau 3 + + − 3 = 0
6. Bola : + + − 9 = 0 dan : ( − 1) + ( + 2) + − 16 = 0
= (0,0,0) = (1,−2,0)
= 3 = 4
= (1−0) +(−2−0) +(0−0) = √5
Karena| − | < < | + | → 1 < < 7, jadi kedua bola berpotongan.
Top Related