1
BAB I
MATRIKS
Aljabar matriks merupakan salah satu cabang matematika yang
dikembangkan oleh seorang matematikawan Inggris Arthur Cayley (1821 – 1895).
Matriks berkembang karena peranannya dalam cabang-cabang Matematika
lainnya, misalnya bidang ekonomi, industri dan transportasi. Dengan
menggunakan matriks , maka penyelesaian sistem persamaan linear akan lebih
mudah diselesaikan.
Pembahasan bab ini diawali dengan definisi matriks dan operasi dasar
matriks yang sudah dikenal, namun untuk pengenalan sifat-sifat lebih lanjut
penyajian matriks akan menggunakan notasi matriks untuk mempersingkat
penulisan. Meskipun matriks ini bukan hal yang baru, karena sudah pernah
diperoleh di SLTA, namun dengan menguasai materi dalam bab ini akan lebih
mudah mengikuti pembahasan berikutnya.
TIK : Setelah mempelajari materi inidiharapkan mahasiswa dapat:
a. menjelaskan operasi-operasi aljabar matriks
b. menentukan bentuk eselon tereduksi suatu matriks
c. menghitung nilai determinan suatu matriks
d. menentukan invers suatu matriks.
2
1.1. Operasi Aljabar Matriks
Definisi : Matriks adalah suatu susunan segiempat siku-siku dari bilangan-
bilangan, susunan tersebut disajikan di dalam kurung besar atau kurung
siku. Bilangan-bilangan itu disebut entri atau elemen dari matriks.
Bentuk umum suatu matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom adalah
A =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
...............
...
...
21
22221
11211
atau A =
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
...............
...
...
21
22221
11211
Bentuk matriks tersebut dapat disajikan dengan notasi matriks, yaitu A = ( )ija
dengan i = 1,2,...,m dan j=1,2,...,n berturut-turut menunjukkan baris dan kolom
dari matriks A.
Suatu matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut matriks
berukuran mxn dan dilambangkan dengan Amxn atau (aij)mxn, ditulis singkat
A = ( )ija . Dalam hal ini aij dinamakan elemen ke -ij dari matriks A. Matriks
A = ( )ija dengan m=n dikatakan sebagai matriks persegi, elemen a11, a22, ... , ann
disebut elemen diagonal utama dari A. Jumlahan elemen diagonal utama disebut
trace dari A.
Untuk dapat menggunakan matriks perlu dikaji operasi aljabar matriks berikut.
1. Kesamaan Matriks.
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika A dan B
berukuran sama dan elemen-elemen yang bersesuaian (seletak ) adalah sama.
3
Jika disajikan dalam notasi matriks, A = ( )ija dan B = ( )ijb maka A = B jika
aij = bij , untuk setiap i = 1,2,...,m dan j=1,2,...,n.
Contoh :
Jika ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
231452
32xA , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
131452
32xB , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
5231
22xC , dan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
231452
32xD
maka BA ≠ , CA ≠ , CB ≠ , dan A = D. š
2. Penjumlahan dan pengurangan matriks.
Penjumlahan dan pengurangan dua matriks atau lebih, hanya dapat dilakukan
jika matriks tersebut berukuran sama. Penjumlahan atau pengurangan dua
matriks didefinisikan sebagai penjumlahan atau pengurangan elemen yang
bersesuaian.
Jika )( ijaA = dan )( ijbB = , maka )( ijij baBA +=+ dan )( ijij baBA −=− .
Contoh :
Jika ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
231452
A dan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
231501
B maka ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=+
402951
BA ,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=+
402951
AB , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=−
060153
BA , dan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
=−060153
AB . š
Sifat : Jika A, B, dan C matriks yang berukuran sama maka berlaku:
a. ABBA +=+ (Komutatif)
b. CBACBA ++=++ )()( (Asosiatif)
3. Pergandaan matriks dengan bilangan (skalar).
Pergandaan matriks dengan skalar didefinisikan sebagai perkalian skalar
dengan setiap elemen matriks tersebut.
4
Jika )( ijaA = dan k sebarang skalar, maka )( ijkaAkkA == .
Contoh :
Jika ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
231452
A , maka ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4628104
2A dan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−−−
=−231452
A . š
4. Pergandaan matriks.
Pergandaan matriks A dan B, dinotasikan AB, hanya dapat dilakukan jika
banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.
Jika mxpijaA )(= dan pxnijbB )(= , maka AB = mxnijcC )(= , dengan kj
p
kikij bac ∑
=
=1
.
Contoh :
Jika ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
231452
A dan ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
312134102
B maka
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−−+−+−+−++−+
=6314904122125241508204
AB = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
451091916
.
Matriks BA tidak dapat diperoleh karena banyaknya kolom dari B adalah 3
sedangkan banyaknya baris dari A adalah 2. š
Sifat : Jika A, B, dan C matriks sehingga operasi berikut berlaku, maka :
a. ACABCBA +=+ )( Distributif kiri
CABAACB +=+ )( Distributif kanan
b. ACABCBA −=− )( Distributif kiri
CABAACB −=− )( Distributif kanan
c. CABBCA )()( = Assosiatif
5
1.2. Jenis – jenis Matriks
Beberapa matriks dengan elemen tertentu yang seringkali digunakan disajikan
berikut.
1. Matriks Nol.
Matriks yang semua elemennya nol disebut matriks nol, dinotasikan 0.
Contoh :
Matriks ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡0000
, ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡000000
merupakan matriks nol
Sifat : Untuk sebarang matriks A yang ukurannya bersesuaian sehingga operasi
aljabar berikut dapat dilakukan, berlaku :
a. A + 0 = 0 + A = A.
b. A – A = 0.
c. 0 – A = –A.
d. A . 0 = 0 . A = 0.
2. Matriks Transpos.
Transpos dari matriks A, dinotasikan dengan A1 atau At, adalah matriks
yang kolom pertamanya adalah baris pertama matriks A, kolom keduanya
adalah baris kedua matriks A, dan seterusnya.
Jika mxnijaA )(= maka nxmjit aA )(=
Contoh :
6
Jika ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
472531
A , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
4321
B maka ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
457321
tA dan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=4231tB . š
Sifat : Untuk sebarang matriks A berlaku :
a. (At)t = A
b. (kA)t = kAt
c. (A + B)t = At + Bt
d. (AB)t = Bt At
3. Matriks Segitiga Atas dan Matriks Segitiga Bawah.
Matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utama bernilai 0
disebut matriks segitiga atas. Begitu pula matriks persegi yang semua
elemen di atas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.
Jadi nnijaA x)(= disebut matriks segitiga atas jika 0=ija untuk i > j dan
disebut matriks segitiga bawah jika 0=ija untuk i < j.
Contoh :
Matriks A=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
33
2322
131211
000
aaaaaa
dan B= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
333231
2221
11000
aaaaa
aberturut-turut adalah
matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah.
4. Matriks Diagonal.
Adalah matriks persegi yang semua elemen-elemennya adalah nol kecuali
elemen pada diagonal utama.
Jadi nnijaA x)(= disebut matriks diagonal jika 0=ija untuk i ∫ j .
7
Contoh : ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
500030001
, ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
000030001
5. Matriks Identitas (Matriks Satuan).
Matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya sama dengan 1
disebut matriks identitas, dinotasikan dengan In atau I.
Dalam bentuk notasi matriks , dituliskan )( ijaI = dengan aij = 1, untuk i=j
dan aij = 0, untuk i∫j, berlaku untuk i,j=1,2,...,n.
Contoh : ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010001
3I .
Sifat : Untuk sebarang matriks A yang berukuran nxn berlaku In A=A In =A.
6. Matriks invers
Matriks B dikatakan sebagai invers dari matriks A jika AB = BA = I. Dalam
hal ini invers matriks A dinotasikan A-1. Matriks yang mempunyai invers
disebut matriks non singular.
Contoh : Jika ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=5321
A maka ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=1325
B adalah invers dari A sebab
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=5321
AB ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
1325
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
dan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=1001
5321
1325
BA . š
Sifat : a. ( A-1 )-1 = A
b. (AB )-1 = B-1 A -1
8
7. Matriks Simetris.
Suatu matriks persegi A dikatakan simetris jika A = At.
Jika )( ijaA = maka A dikatakan simetris jika jiij aa = , untuk setiap i,j.
Contoh :
Matriks ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
502043231
A adalah simetris sedangkan matriks ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
502143231
B tidak
simetris. Mengapa ?
Untuk sebarang matriks persegi A, matriks A+At merupakan matriks simetris.
Mengapa ?
8. Matriks Skew Simetris (Simetris Miring).
Matriks A dikatakan simetris miring jika At = –A .
Jika )( ijaA = maka A dikatakan simetris miring jika jiij aa −= , untuk setiap
i,j.
Contoh :
Matriks ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=012103
230A adalah matriks simetris miring.
9. Matriks-matriks persegi yang istimewa.
- Jika A dan B matriks-matriks persegi sedemikian sehingga AB = BA,
maka A dan B disebut commute.
- Jika AB = -BA, maka A dan B disebut Anti Commute.
- Matriks A yang memenuhi A k+1 = A (k bilangan positif), disebut periodik
9
- Jika A 2 = A, maka A disebut matriks Idempoten.
- Jika A k = 0, dengan k bilangan bulat positif terkecil maka A disebut
matriks nilpoten. Dalam hal ini bilangan k disebut indeks nilpoten.
Contoh :
a. Matriks ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2112
A dan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
6446
B adalah Commute, sebab :
AB = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡16141416
6446
2112
dan BA = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡16141416
2112
6446
.
b. Matriks ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−=
321431422
A adalah idempoten sebab A2 = A.
c. Matriks ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=
312625311
M adalah nilpoten berindeks 3, sebab M3 = 0.
1.3. Operasi Baris Elementer
Selain operasi aljabar matriks yang sudah diperkenalkan pada subbab 1.1,
ada operasi lain yang dapat dikenakan pada suatu matriks untuk mendapatkan
matriks lain. Operasi ini dinamakan operasi baris elementer karena dikenakan
pada baris-baris suatu matriks. Operasi ini banyak digunakan untuk menentukan
penyelesaian sistem persamaan linear yang akan dibahas pada bab berikutnya.
Operasi baris elementer meliputi tiga bentuk, yaitu :
a. Menukar baris ke-i dan baris ke-j, dinyatakan dengan Bij.
10
b. Menggandakan setiap elemen baris ke i dengan skalar 0≠k , dinyatakan
dengan Bi(k).
c. Menambahkan k kali elemen-elemen baris ke-j (k skalar) kepada baris ke-i,
dinyatakan dengan Bij(k).
Operasi semacam ini juga dapat dilakukan pada kolom, dengan notasi B diganti
K, namun untuk pembahasan ini operasi hanya dikenakan pada baris saja.
Jika kita melakukan operasi baris elementer pada suatu matriks untuk
memperoleh matriks yang lain, matriks awal dan hasilnya dihubungkan dengan
tanda ≈ .
Contoh : Diketahui matriks A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
421312151
.
a. Jika baris ke-1 ditukar dengan baris ke-3, diperoleh
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
421312151
13B
≈ ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
151312421
Jika operasi K13 dikenakan pada A diperoleh ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
124213151
.
b. Jika baris ke-2 dikalikan 3, diperoleh ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
421312151
)3(2B
≈ ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
421936151
Jika operasi K2(2) dikenakan pada A diperoleh ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
4413221101
.
11
c. Jika baris ke-1 dikalikan -2 kemudian ditambahkan ke baris ke-2, diperoleh
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
421312151
)2(12 −
≈B
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
4211110151
Jika operasi K31(-1) dikenakan pada A diperoleh ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
321112051
. š
Jika operasi baris elementer dikenakan pada matriks identitas akan
diperoleh suatu matriks yang khas. Sebuah matriks berukuran nxn disebut
matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan In
dengan melakukan satu operasi baris elementer.
Karena ada tiga macam operasi baris elementer, maka ada 3 macam matriks
elementer :
1. Eij, yaitu matriks yang didapat dari matriks I jika baris ke-i ditukar dengan
baris ke-j.
Contoh : Dari I3, diperoleh ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
001010100
13E , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100001010
12E
2. )k(Ei adalah matriks yang didapat dari matriks I jika baris ke-i digandakan
dengan skalar .k 0≠
Contoh : Dari I3, diperoleh ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100030001
)3(2E , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=−
200010001
)2(3E .
12
3. Matriks )k(Eij adalah matriks yang didapat dari matriks I jika baris ke-j
digandakan dengan skalar 0≠k kemudian ditambahkan ke baris ke-i.
Contoh : Dari I3, diperoleh ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010041
412 )(E , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=−100110
001)1(23E .
Sifat-sifat matriks elementer:
a. Jika matriks A digandakan dari kiri dengan matriks elementer E, maka EA
adalah suatu matriks baru yang diperoleh bila operasi baris elementer yang
digunakan untuk memperoleh E dari I, diterapkan pada A.
Contoh : Misal ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
457321
A ,⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
001010100
13E ,⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100030001
)3(2E , dan
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010041
412 )(E .
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
457321
13B≈
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
217345
, dan ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
001010100
.13 AE⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
457321
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
217345
.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
457321
)3(2B≈
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
4527921
, dan ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100030001
).3(2 AE⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
457321
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
4521921
.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
457321
)4(12B≈
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
45733013
, dan ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010041
).4(12 AE⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
457321
.⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
45733013
. š
b. Invers dari matriks elementer juga merupakan matriks elementer.
13
Jika satu operasi baris elementer diterapkan pada I untuk menghasilkan E,
maka terdapat operasi baris elementer yang bila diterapkan pada E akan
menghasilkan I. Berbagai kemungkinan operasi seperti di atas disajikan
sebagai berikut.
Operasi baris pada I untuk menghasilkan E
Operasi baris pada E untuk menghasilkan I
Menukar baris ke-i dan baris ke-j (Bij) Menukar baris ke-j dan baris ke-i (Bji). Menggandakan baris ke -i dengan skalar 0≠k (Bi(k)).
Menggandakan baris ke -i dengan 1/k (Bi(1/k)).
Menambahkan k kali baris ke-j kepada baris ke-i (Bij(k)).
Menambahkan -k kali baris ke-j kepada baris ke-i (Bij(-k)).
Operasi pada kolom kanan merupakan invers (balikan) dari operasi pada
kolom kiri. Jika operasi pada kolom kanan dikenakan pada I maka akan mengha-
silkan matriks elementer, sebut saja E0, yang menurut sifat a berlaku
E.E0 = I dan E0.E = I
Dengan demikian E0 adalah invers dari E. Dari tabel di atas diperoleh :
(Eij)-1 = Eji , (Ei(k))-1 = Ei(1/k)) dan (Eij(k))-1 = Eij(-k).
Contoh :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010001
001010100
.001010100
. 3113 EE dan E31. E13 = I.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010001
10003/10001
.100030001
)31().3( 22 EE dan E2(1/3). E2(3) = I.
14
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=−
100010001
100010041
.100010041
)4().4( 1212 EE dan E12(-4) . E12(4) = I. š
Kedua sifat di atas penting untuk digunakan dalam teorema berikut.
Teorema : Jika A matriks nonsingular maka A dapat dinyatakan sebagai hasil
ganda matriks-matriks elementer.
Contoh : Nyatakan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4332
A sebagai hasil ganda matriks-matriks elementer.
Penyelesaian : Kita dapat melakukan operasi baris elementer berhingga kali pada
A sampai diperoleh matriks I sebagai berikut.
A
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡4332
)2/1(1B
≈ B
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡43
2/31
)3(21 −
≈B
C
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 2/10
2/31
)3(12B
≈ D
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 2/10
01
)2(2 −
≈B
I
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
.
Menurut sifat a, tentu berlaku : B = E1(1/2). A, C = E21(-3).B, D = E12(3).C, dan I =
E2(-2). D. Dengan demikian diperoleh E2(-2). E12(3). E21(-3). E1(1/2). A = I.
Karena matriks elementer mempunyai invers matriks elementer pula, maka
A =(E1(1/2))-1. (E21(-3) )-1.(E12(3)) -1. (E2(-2))-1 .I
=E1(2). E21(3). E12(-3). E2(-1/2)
Jadi
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4332
A = ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
1002
. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1301
. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −1031
. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 2/10
01.
Bentuk perkalian matriks elementer ini tidak tunggal. Periksa bahwa
A = E21.E12.E21(2).E12 (1). Dapatkah kamu cari bentuk perkalian yang lain ? š
15
Definisi : Matriks B dikatakan ekivalen baris (row equivalent) dengan
matriks A, ditulis A ~ B, jika matriks B dapat diperoleh dari matriks A
dengan berhingga banyak operasi baris elementer
Mengingat sifat a dari matriks elementer, definisi di atas dapat pula dinyatakan
sebagai : matriks B dikatakan ekivalen baris dengan matriks A jika terdapat
matriks-matriks elementer E1, E2, . . . . . ,Ep sehingga B = EpEp-1. . . E1A.
Contoh.
A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
455302153
dan B = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
000302153
adalah ekivalen baris, karena
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
455302153
)1(13 −
≈B
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
302302153
)1(32 −
≈B
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
000302153
. š
Sifat : 1. Jika A ekivalen baris dengan B, maka B ekivalen baris dengan A.
2. Jika A ekivalen baris dengan B dan B ekivalen baris dengan C, maka A
ekivalen baris dengan C.
Definisi : Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris (row-echelon form)
jika memenuhi :
a. Jika terdapat baris yang tidak semua elemennya nol, maka elemen
pertama yang tidak nol adalah 1, dan disebut 1 utama (pivot)
b. Jika terdapat baris yang semua elemennya nol, maka baris ini diletakkan
pada baris paling bawah.
16
c. Pada sebarang dua baris yang berurutan yang tidak semua elemennya
nol, 1 utama pada baris yang bawah terletak di sebelah kanan dari 1
utama baris di atasnya.
Contoh : ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
100310241
dan ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
00000210003110050231
Definisi : Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris tereduksi (reduced
row-echelon form) jika matriks tersebut dalam bentuk eselon baris dan
pada masing-masing kolom yang memuat 1 utama, elemen 1 merupakan
satu-satunya elemen yang tidak nol.
Contoh.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
000100010001
dan ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
000010000210
Definisi : Suatu matriks dikatakan dalam bentuk normal jika matriks tersebut
memuat submatriks identitas.
Ada 4 jenis bentuk normal yaitu :
Ip , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡000 pI
, [ ]0pI , dan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡0pI
dengan Ip adalah matriks identitas
Contoh. ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
000000100001
Selain untuk menentukan bentuk eselon baris tereduksi, operasi baris elementer
juga dapat digunakan untuk memperoleh invers dari suatu matriks non singular.
17
Jika A adalah matriks non singular, maka dengan melakukan sebanyak
berhingga kali operasi baris elementer pada matriks [A| I] (matriks ini disebut
perluasan dari matriks A) akan didapat matriks [I| B]. Misalkan untuk itu
diperlukan n operasi baris elementer. Karena A dibawa ke I dan I dibawa ke B,
maka I = E1. E2. E3.... En.A dan B = E1. E2. E3.... En.I. Karena matriks elementer
mempunyai invers maka dari perkalian yang pertama diperoleh
IEEEEA nn ...... 11
12
11
1 −−−−
−= sehingga IEEEEEEEEAB nnnn == −−−−
−− )......).(.....( 121
11
12
11
1
dan IEEEEEEEEEEEBA nnnnnn == −−−−
−−
− )...........).(.....( 1211
11
211
112 .
Ini berarti B adalah invers dari A, atau B = A-1.
Contoh :
Jika A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 122202111
maka invers dari A dapat ditentukan sebagai berikut.
Dibentuk matriks [A| I] = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 100122010202001111
Selanjutnya dengan melakukan operasi baris berikut ini : B21(-1), B 31(-2),
B12(1/2), B2(1/2), B32(-2), B13(1), B3(-1), akan diperoleh matriks :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
12210002/1101012/32001
. Jadi A-1 = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
12202/1112/32
. š
Definisi : Rank dari matriks A dapat didefinisikan sebagai banyaknya baris
(kolom) tak nol dari bentuk eselon baris yang diperoleh dari matriks A.
18
Karena banyaknya baris (kolom) tak nol selalu kurang dari minimum diantara
baris dan kolom, maka rank(Amxn) ≤ min {m, n}.
Contoh :
Carilah rank dari matriks A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
344212132
Jawab : Jika matriks A dikenai operasi baris elementer B1(1/2), B21(-2), B31(-4),
B2(-1/2), dan B32(2) kita memperoleh ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
0002/110
2/12/31 . Jadi rank(A) = 2. š
1.4. Determinan.
Determinan suatu matriks persegi sangat banyak gunanya dalam berbagai
cabang matematika. Sebagai contoh pada aljabar, determinan digunakan untuk
mencari jawab n persamaan linear dengan n variabel. Ada dua definisi
determinan dilihat dari segi pendekatannya, pertama dengan pendekatan klasik,
yaitu bertitik tolak pada fungsi permutasi, kedua dengan pendekatan bukan
klasik, yaitu pada fungsi multilinear. Pada pembahasan kali ini kita
mendefinisikan determinan dengan pendekatan klasik, yaitu melalui fungsi
permutasi.
Definisi : Permutasi bilangan asli, dinotasikan s, adalah susunan bilangan-
bilangan asli menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi
bilangan tersebut. Himpunan semua permutasi dari n ditulis dengan Sn.
Contoh :
19
Permutasi dari barisan bilangan 1 dan 2 adalah (1,2) dan (2,1). Jadi S2 = {(1,2), (2,1)}
Permutasi dari bilangan 1,2, dan 3 adalah (1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), (2,1,3), (3,1,2), dan
(3,2,1). Jadi S3 = {(1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), (2,1,3), (3,1,2), (3,2,1)}.
Kita lihat bahwa banyaknya permutasi 2 bilangan adalah 2, banyaknya
permutasi 3 bilangan adalah 6. Secara umum banyaknya permutasi n bilangan
adalah n!. Penulisan permutasi k bilangan adalah (j1,j2,...,jk) dengan ki jj ≠ untuk
ki ≠ .
Definisi : Inversi pada suatu permutasi adalah terdapatnya bilangan yang lebih
besar mendahului bilangan yang lebih kecil, atau ji > jk untuk i < k.
Contoh :
Pada permutasi (2,1,3) terdapat 1 inversi yaitu 2 mendahului 1.
Pada permutasi (3,2,1) terdapat 3 inversi yaitu : 3 mendahului 2, 3 mendahului 1,
dan 2 mendahului 1.
Definisi : Jika jumlah inversi dari suatu permutasi adalah genap, maka disebut
permutasi genap dan jika jumlah inversi suatu permutasi ganjil maka
disebut permutasi ganjil.
Definisi : Tanda dari permutasi s, dinotasikan sgn(s), didefinisikan sebagai
⎩⎨⎧−+
=gasal inversijumlah jika,1genap inversijumlah jika,1
)(σσ
sign σ
Contoh :
Jika s = (2,1,3) maka sgn(s) = -1.
Jika s = (3,2,1) maka sgn(s) = -1.
20
Definisi : Determinan dari matriks Anxn didefinisikan sebagai :
nn
njjjS
j aaaaA .....).sgn()det(321 321∑
∈=σ
σ
Contoh :
Jika ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211
aaaa
A maka S2 = {(1,2), (2,1)} dengan sgn(1,2) = +1, sgn(2,1) = -1
sehingga 21122211)det( aaaaA −=
Jika ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A maka S3 = {(1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), ((2,1,3), (3,1,2),(3,2,1)}
dengan sgn(1,2,3) = +1, sgn(2,3,1) = +1, sgn(3,1,2) = +1, sgn(1,3,2) = -1, sgn(2,1,3)=-1,
dan sgn(3,2,1) = -1. Sehingga
det(A) = 332211 aaa + 312312 aaa + 322113 aaa - 322311 aaa - 332112 aaa - 312213 aaa .
Apabila contoh tersebut diterapkan pada matriks ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4332
A dan B = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
610542123
maka det(A) = 2.4 - 3.3 = -1 dan det(B) = 3.4.6 + 2.5.0 + 1.2.1 - 3.5.1 - 2.2.6 -
1.4.0 = 35. š
Dari definisi di atas, apabila A suatu matriks segitiga (atas ataupun bawah)
maka det(A) pasti bernilai nol sebab satu-satunya suku tidak nol adalah perkalian
elemen-elemen diagonal utama. Jadi jika Anxn = ( )ija maka det(A) = a11.a22. ... .ann.
Selanjutnya sifat-sifat yang berlaku pada determinan adalah :
1. Nilai determinan matriks A sama dengan nilai determinan transposenya, yaitu
det(A) = det(At)
21
Contoh : Jika A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2221
1211
aaaa
maka A t = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2212
2111
aaaa
. Sehingga
21122211)det( aaaaA −= dan 21122211)det( aaaaAt −= .
2. Jika setiap elemen pada suatu baris atau kolom matriks A bernilai nol, maka
det(A) = 0.
Contoh : B = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
000542123
maka det(B) = 3.4.0 + 2.5.0 + 1.2.0 - 3.5.0 - 2.2.0 -
1.4.0 = 0.
3. Jika matriks A mempunyai dua baris atau dua kolom yang sama (elemen yang
bersesuaian bernilai sama), maka det(A) = 0.
Contoh : C = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
542542123
maka det(C) = 3.4.5 + 2.5.2 + 1.2.4 - 3.5.4 - 2.2.5 -
1.4.2 = 0.
4. Jika matriks B diperoleh dengan menukar dua baris atau dua kolom matriks A
maka det(B) = - det(A).
Contoh : Matriks A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
610542123
, det (A) = 35. Dengan menukar baris 1 dan
baris 3 matriks A diperoleh matriks C = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
123542610
dengan det(C) = 0.4.1 +
1.5.3 + 6.2.2 - 0.5.2 - 1.2.1 - 6.4.3 = -35.
22
5. Jika matriks B diperoleh dengan mengalikan satu baris atau satu kolom matriks
A dengan skalar k ≠0, maka det(B) = k.det(A).
Contoh :
Matriks A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
610542123
, det (A) = 35. Dengan mengalikan baris ke tiga matriks
A dengan 3, diperoleh matriks C = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
1830542123
dengan det(C) = 3.4.18 + 2.5.0 +
1.2.3 - 3.5.3 - 2.2.18 - 1.4.0 = 105.
6. Jika A, B, dan C matriks yang identik (sama) kecuali pada satu baris. Pada baris
yang tidak identik ini, baris matriks C merupakan jumlahan dari baris matriks
A baris matriks B, maka det(C) = det(A) + det (B).
Contoh :
Misalkan A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
610542123
, B = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
610542101
, dan C = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
610542224
. Maka det(A) = 35,
det(B) = 1.4.6 + 0.5.0 + 1.2.1 - 1.5.1 - 0.2.6 - 1.4.0 = 21.
det(C) = 4.4.6 + 2.5.0 + 2.2.1 - 4.5.1 - 2.2.6 - 2.4.0 = 56.
7. Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan menambah satu baris dengan k
kali baris yang lain, maka det(B ) = det(A).
Contoh :
23
Misalkan A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
610542123
dan B = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
610421123
. Maka det(A) = 35, det(B) = 3.2.6
+ 2.4.0 + 1.(-1).1 - 3.4.1 - 2.(-1).6 - 1.2.0 = 35.
Dari 7 sifat di atas kita dapat mengubah sebarang matriks menjadi matriks
segitiga dengan operasi baris elementer jenis tersebut, tanpa mengubah nilai
determinannya.
Contoh :
Misal A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
610542123
, dengan operasi B21(-2/3) dilanjutkan B32(-3/8) diperoleh
matriks B = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
8/35003/133/80
123, sehingga det(A) = det(B )
835.
38.3 = 35.
1.5. Ekspansi Kofaktor
Definisi : Jika A adalah matriks persegi maka minor dari elemen aij, dinyatakan
dengan Mij, adalah determinan tingkat (n-1) yang diperoleh dengan
mencoret baris ke i dan kolom ke j dari matriks A.
Bilangan (-1)i+j Mij, dinyatakan dengan Kij, dinamakan kofaktor entri aij.
Contoh :
24
Misal A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 122202111
, maka M11 = det ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 12
20 = 4 dan K11 = (-1)1+1M11 = 1.4 = 4.
Selanjutnya M12 = det ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1222
= -2 dan K12 = (-1)1+2 M12 = -1.( -2) = 2. Secara
sama diperoleh M13 = -4 , M21 = 3, M22 = -1 , M23 = -4 , M31 = 2, M32 = 0, dan
M33 = -2. Kemudian didapat K13 = -4 , K21 = -3, K22 = -1 , K23 = 4 , K31 = 2, K32 =
0, dan K33 = -2. š
Dari penghitungan kofaktor elemen suatu matriks kita dapat menghitung
determinan dan invers dari suatu matriks.
Definisi : Jika A = ( )ija , maka determinan A didefinisikan sebagai :
∑∑==
+ =−=n
jijij
n
jijij
ji KaMaA11
)1()det( (ekspansi baris ke i), atau
∑∑==
+ =−=n
iijij
n
iijij
ji KaMaA11
)1()det( (ekspansi kolom ke j)
Contoh :
Jika A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 122202111
maka det(A) = 1. K11 + 1. K12 + 1. K12 = 4 + 2 + (-4) = 2. Atau
det(A) = 2. K21 + 0. K22 + 2. K23 = 2.(-3) + 0. (-1) + 2.4 = .(-6) + 8 = 2. Cobalah
hitung dengan ekspansi kolom. š
Definisi : Jika A = ( )ija matriks persegi maka matriks K = ( )ijK dengan ijK adalah
kofaktor dari ija dinamakan matriks kofaktor dari A. Transpose dari
matriks kofaktor disebut matriks adjoin dari A, dinotasikan adj(A).
25
Contoh :
Jika A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 122202111
, maka K = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
202413424
, dan adj(A) = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
244012234
.
Teorema : Jika A matriks yang mempunyai invers maka )()det(
11 AadjA
A =− .
Contoh :
Jika A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 122202111
, maka A-1 = 21
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
244012234
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
12202/1112/32
.
Latihan 1.
1. Diberikan matriks ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=0212
31A , ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1212
B , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
211301
C , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=334110
122D ,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=312
013E , [ ]321=F , ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
22
G , dan [ ]110=H . Manakah di antara
operasi berikut yang dapat dilakukan ? Jika dapat dilakukan tentukan
hasilnya, jika tidak dapat dilakukan berikan alasannya.
a. A + B
b. 2A + C
c. B - 2D
d. 3H - F
e. AB + FE
f. 3BA
g. ED - BA
h. BG + GH
i. HD - At
j. Ft + Gt
k. (F + G)t
l. (AB)t
26
2. Berikan satu contoh matriks simetris ukuran 3 x 3.
3. Berikan satu contoh matriks simetris miring A yang berukuran 3 x 3. Apakah
A + At juga simetris miring ? Berikan alasannya.
4. Jika ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
514301121
C dan ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=334110
122D , hitunglah :
a. C (C + D)
b. C 2 + CD)
c. C (CD)
d. C 2D
e. (C - D)C
f. C 2 - DC
5. Lakukan operasi baris elementer B2(-2), B21(2), B13, B23(-2), B12(-1),dan B1(3)
pada matriks berikut.
a. ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=0212
31A b.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=334110
122B c.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
314301121
C
6. Dapatkan invers dari matriks elementer berikut.
a. ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
010100001
b. ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
100110001
c. ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 200010001
7. Tentukan bentuk eselon baris dari matriks berikut. Catatlah operasi baris
elementer yang dilakukan untuk mendapatkan bentuk eselon barisnya.
Dapatkan pula bentuk eselon baris tereduksinya
a. ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=0212
31A b.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=334110
122B c.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
314301121
C
27
8. ll
Top Related