Turunan
Turunan Di Satu Titik
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis '( )f c didefinisikan sebagai:
( ) ( )'( ) lim
x c
f x f cf c
x c
bila limitnya ada. Dengan penggantian x c h , jika 0x c h dan x c h , turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk:
0
( ) ( )'( ) lim
h
f c h f cf c
h
Hitunglah '(2)f jika ( ) 2f x x Jawab ( ) 2f x x
(i) ( ) ( )
'( ) limx c
f x f cf c
x c
2 2 2
2( 2)( ) (2) 2 2(2)'(2) lim lim lim
2 2x x x
xf x f xf
x x
2x 2lim2 2x
(ii) 0
( ) ( )'( ) lim
h
f c h f cf c
h
0 0 0
0
(2 ) (2) 2(2 ) 2(2) 4 2 4'(2) lim lim lim
2 lim
h h h
h
f h f h hf
h h hh
h 0
lim2 2h
Contoh
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (a, c]. Turunan kiri dari fungsi f di
c, ditulis ' ( )f c didefinisikan sebagai:
' ( ) ( )( ) lim
x c
f x f cf c
x c
atau '
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf c
h
bila limitnya ada Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (c, b]. Turunan kanan dari fungsi f
di c, ditulis ' ( )f c didefinisikan sebagai:
' ( ) ( )( ) lim
x c
f x f cf c
x c
atau '
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf c
h
bila limitnya ada
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat titik c. Fungsi f terdiferensialkan (mempunyai turunan) di titik c jika dan hanya
jika ' '( ) ( )f c f c
Turunan Sepihak
Selidiki apakah ; 0
( ) ; 0
x xf x x
x x
mempunyai turunan di 0x !
Jawab Turunan kiri fungsi f di 0x adalah sebagai berikut:
'
0 0 0
( ) (0) 0(0) lim lim lim( 1) 1
0x x x
f x f xf
x x
Turunan kanan fungsi f di 0x adalah sebagai berikut:
'
0 0 0
( ) (0) 0(0) lim lim lim(1) 1
0x x x
f x f xf
x x
' '(0) (0) ( ) tidak mempunyai turunan di 0ff f x x
Contoh
• Jika f mempunyai turunan di c , maka f kontinu di c.
• Jika f(x) tidak kontinu di c maka f tidak mempunyai turunan di c.
• Dengan kata lain kekontinuan adalah syarat perlu untuk keterdiferensialan.
• Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.
Keterdiferensialan dan Kekontinuan
Tunjukkan bahwa 1, 1
( ) | 1|1, 1
x xf x x
x x
kontinu di x = 1
tetapi tidak diferensiabel di x = 1 Jawab : 1. Akan ditunjukkan bahwa f kontinu di x = 1
f(1) = 0
1 1lim ( ) lim ( 1) 0x x
f x x
1 1
lim ( ) lim 1 0x x
f x x
1
lim ( ) 0x
f x
Jadi 1
lim 1x
f(x) f( )
Jadi ( ) | 1|f x x kontinu di x = 1
Contoh
2. Selanjutnya selidiki apakah f(x) diferensiabel di x = 1 atau ' '(1) (1)ff ?
'
1 1 1
( ) (1) | 1| |0| ( 1)(1) lim lim lim 1
1 1 1x x x
f x f x xf
x x x
'
1 1 1
( ) (1) | 1| |0| 1(1) lim lim lim 1.
1 1 1x x x
f x f x xf
x x x
Karena ' '(1) (1)ff maka ( ) | 1|f x x tidak diferensiabel di x = 1
Solusi
Periksa apakah fungsi berikut diferensiabel di titik yang diberikan
Latihan Soal
a. 2 , 1
( )2 3, 1
x xf x
x x
; x = 1
b. 2 , 0
( )sin 1, 0
x x xf x
x x
; x = 0
c.
2
2
,jika 0
( ) ,0 1 ; 0 dan 1
1 ,jika 1
x x
f x x x x x
x x
Turunan ( )y f x terhadap x dinotasikan dengan 'y atau
'( )f x . Notasi lain yang digunakan untuk menyatakan turunan
( )y f x terhadap x di antaranya dalah:
, ( ), , ( )x xdy d
f x D yD f xdx dx
.
Notasi dydx
dikenal sebagai notasi Leibniz.
Notasi Turunan
Turunan Fungsi Konstan
Misalkan ( )f x k , dimana k adalah sembarang konsatanta Riil maka
'( ) 0f x
0 0 0 0
( ) ( ) 0'( ) lim lim lim lim0 0
h h h h
f x h f x k kf x
h h h
Contoh Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a. ( ) 2f x
b. ( ) 15f x
c. ( ) 22f x Jawab
a. ( ) 2 '( ) 0f x f x
b. ( ) 15 '( ) 0f x f x
c. ( ) 22 '( ) 0f x f x
Rumus Dasar Turunan
Turunan Fungsi Pangkat Bilangan Riil
Misalkan ( ) dimana ,nf x kx k n maka 1'( ) ( ) nf x nk x Contoh Tentukan turunan dari fungsi berikut:
a. 3( ) 2f x x
b. 3( ) 15f x x
c. 14( ) 5f x x
Jawab
a. 3 3 1 2( ) 2 '( ) (3)(2) 6f x x f x x x
b. 3 3 1 4( ) 15 '( ) ( 3)(15) 45f x x f x x x
c. 31 1 14 4 41 5
( ) 5 '( ) (5)4 4
f x x f x x x
Rumus Dasar Turunan
Turunan Kelipatan Fungsi
Misalkan ( ) ( ) nf x k u x dimana ( )u x merupakan
fungsi dari x maka 1'( ) ( )( ) ( ) '( )nf x n k u x u x Contoh Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a. 3( ) 2(3 4)f x x
b. 3( ) 15(4 1)f x x
Rumus Dasar Turunan
a. 3( ) 2(3 4)f x x 3 1
2
2
'( ) (3)(2)(3 4) (3 4)'
6(3 4) (3)
18(3 4)
f x x x
x
x
b. 3( ) 15(4 1)f x x
3 1
4
4
'( ) ( 3)(15)(4 1) (4 1)'
( 45)(4 1) (4)
180(4 1)
f x x x
x
x
Solusi
Turunan fungsi trogonometri didefinisikan sebagai berikut: (i) ( ) sin '( ) cosf x x f x x
(ii) ( ) sin( ( )) '( ) cos '( )f x u x f x x u x
(iii) ( ) cos '( ) sinf x x f x x
(iv) ( ) cos( ( )) '( ) sin '( )f x u x f x x u x
(v) 2( ) tan '( ) secf x x f x x
(vi) 2( ) tan( ( )) '( ) sec ( ( )) '( )f x u x f x u x u x
Turunan Fungsi Trigonometri
Tentukan rumus fungsi berikut: a. ( ) sin(5 )f x x
b. 2( ) sin( 2 )f x x x
c. 1( ) cos( )5f x x
d. 3 2( ) cos(2 4 )f x x x x
e. ( ) tan(2 )f x x
f. 3 2( ) tan( 3 )f x x x
Contoh
a. ( ) sin(5 )f x x
'( ) cos(5 ) (5 )' cos5 5 5cos(5 )f x x x x x
b. 2( ) sin( 2 )f x x x 2 2
2
2
'( ) cos( 2 ) ( 2 )'
cos( 2 ) (2 2)
(2 2)cos( 2 )
f x x x x x
x x x
x x x
c. 1( ) cos( )5f x x
1 1 1 1 1 1'( ) sin( ) ( )' sin( ) ( ) sin( )5 5 5 5 5 5f x x x x x
Solusi
d. 3 2( ) cos(2 4 )f x x x x 3 2 3 2
3 2 2
2 3 2
'( ) sin(2 4 ) (2 4 )'
sin(2 4 ) (6 2 4)
(6 2 4)sin(2 4 )
f x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
e. ( ) tan(2 )f x x 2
2
2
'( ) sec (2 ) (2 )'
sec (2 ) 2
2sec (2 )
f x x x
x
x
f. 3 2( ) tan( 3 )f x x x 2 3 2 3 2
2 3 2 2
2 2 3 2
'( ) sec ( 3 ) ( 3 )'
sec ( 3 ) (3 6 )
(3 6 )sec ( 3 )
f x x x x x
x x x x
x x x x
Solusi
Turunan Jumlah, Selisih, Hasil Kali, dan Hasil Bagi Dua Fungsi
Misalkan fungsi f dan g terdifersensialkan pada selang I maka fungsi
, , , ( ( ) 0)ff g f g fg g xg terdiferensialkan pada selang I dengan aturan
sebagai berikut: a. ( )'( ) '( ) '( )f g x f x g x
b. ( )'( ) '( ) '( )f g x f x g x
c. ( )'( ) '( ) ( ) ( ) '( )fg x f x g x f x g x
d. '
2
'( ) ( ) ( ) '( )( )
( ( ))
ff x g x f x g xx
g g x
a. ( )' ' 'u v u v
b. ( )' ' 'u v u v
c. ( )' ' 'uv u v uv
d. '
2
' 'u u v uvv v
Aturan Dalam Turunan
Contoh Tentukan turunan dari fungsi berikut ini!
a. 3 5( ) 2 ( 5)f x x x
b. 4
3
5( )
(2 1)
xf x
x
Jawab
a. 3 5( ) 2 ( 5)f x x x
Misalkan 32u x dan 5( 5)v x 2' 6u x dan 4' 5( 5)v x
2 5 3 4
2 5 3 4
( )' ' '
(6 )( 5) (2 )(5( 5) )
6 ( 5) 10 ( 5)
uv u v uv
x x x x
x x x x
2 5 3 4'( ) 6 ( 5) 10 ( 5)f x x x x x
Contoh
b. 4
3
5( )
(2 1)
xf x
x
Misalkan 45u x dan 3(2 1)v x 3' 20u x dan 2' 6(2 1)v x
'
2
3 3 4 2
23
3 3 4 2
6
' '
(20 )(2 1) 5 (6(2 1) )
(2 1)
20 (2 1) 30 (2 1)
(2 1)
u u v uvv v
x x x x
x
x x x x
x
3 3 4 2
6
20 (2 1) 30 (2 1)'( )
(2 1)
x x x xf x
x
Contoh
Misalkan ( )y f u dan ( )u g x . JIka fungsi g mempunyai turunan di x dan fungsi f mempunyai turunan di u, turunan fungsi komposisi
( )( ) ( )y f g x f g x ditentukan sebagai berikut:
( )'( ) ' ( ) '( ) atau dy dy du
f g x f g x g xdx du dx
Jika y = f(u ) , u = g(v), dan v = h(x) maka : dy dy du dvdx du dv dx
Contoh Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan menggunakan aturan rantai!
a. 5(3 5)y x
b. 4 3 2 3(2 3 4 1)y x x x
c. 22 4 1y x x
d. 4 3sin(2 3 )y x x
Aturan Rantai
a. 5(3 5)y x
5 45dy
y u udu
dan 3 5 3du
u xdx
4
4
4
5 3
15
15(3 5)
dy dy dudx du dx
u
u
x
Solusi
b. 4 3 2 3(2 3 4 1)y x x x
3 23dy
y u udu
4 3 2 3 22 3 4 1 8 9 8du
u x x x x x xdx
2 3 2
3 2 2
3 2 4 3 2 2
3 (8 9 8 )
(24 27 24 )
(24 27 24 )(2 3 4 1)
dy dy dudx du dx
u x x x
x x x u
x x x x x x
Solusi
c. 22 4 1y x x 1 12 2 11
2 2dy
y u u udu u
22 4 1 4 4du
u x x xdx
2
2
1 (4 4)
24( 1)
2 2 4 1
2( 1)
2 4 1
dy dy dudx du dx
xu
x
x xx
x x
Solusi
d. 4 3sin(2 3 )y x x
sin cosdy
y u udu
dan 4 3 3 22 3 8 27du
u x x x xdx
3 2
4 3 3 2
sin (8 27 )
sin(2 3 )(8 27 )
dy dy dudx du dx
u x x
x x x x
Solusi
Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama yang sudah diperoleh. Dengan cara yang serupa kita akan peroleh turunan berikutnya, yang kita kenal dengan turunan tingkat tinggi. Jika ( )y f x maka
Turunan pertama : ' '( )dy df
y f xdx dx
Turunan kedua : 2 2
2 2'' ''( )d y d f
y f xdx dx
Turunan ketiga : 3 3
3 3''' '''( )d y d f
y f xdx dx
Turunan keempat : 4 4
(4) (4)4 4 ( )
d y d fy f x
dx dx
. .
. .
. .
Turunan ke-n : ( ) ( )( )n n
n nn n
d y d fy f x
dx dx
Turunan Tingkat Tinggi
Tentukan turunan pertama, kedua, ketiga, dan keempat dari fungsi berikut ini!
a. 6 32 5y x x b. siny x
Jawab:
a. 6 32 5y x x 5 2
4
3
(4) 2
' 12 15
'' 60 30
''' 240 30
720
y x x
y x x
y x
y x
b. siny x
(4)
' cos
'' sin
''' cos
sin
y x
y x
y x
y x
Contoh
1. Tentukan dydx
jika:
a. 3 22 4 5y x x x
b. 3 2 14 2y x x x
c. 2 4 3(2 3 )( 3 )y x x x x x
22 11
x xy
x
d. 1 sin
cos
xy
x
2. Dengan menggunakan aturan rantai tentukan turunan pertama dydx
dari:
a. 102 3y x
b. 2 3 1y x x
c. 21
1x
yx
d. 3siny x
e. 2cos 4y x x
f. 2 2sin 3 2y x x
Latihan Soal
Soal Latihan Pilihan Ganda
Bab : Turunan
1. Diketahui 1
( )f xx
, '(3) ....f
a. 1
9
b. 1
9
c. 1
6
d. 1
6
e. Tidak ada jawab yang benar
2. Turunan pertama dari 2
2 1y
x x adalah ….
a. 2 3
2 1y
x x
b. 2 3
2 2y
x x
c. 2 3
2 1y
x x
d. 2 3
2 2y
x x
e. 2 3
2 2y
x x
3. Misalkan 2 3( 2)( 1)y x x . Turunan pertama dari y adalah ….
a. 4 25 6 2y x x x
b. 4 25 3 1y x x
c. 45 2 2y x x
d. 4 25 6 2y x x
e. 45 6 2y x x
4. Nilai dy
dx dari
1
1
xy
x
adalah ….
a. 2
2
( 1)
dy
dx x
b. 2
1
( 1)
dy
dx x
c. 2
2 2
( 1)
dy x
dx x
d. 2
2
( 1)
dy x
dx x
e. 2
2 1
( 1)
dy x
dx x
5. Turunan kedua dari 10(4 7)y x adalah ….
a. 8(160 280)y x
b. 81440(4 7)y x
c. 840(4 7)y x
d. 8360(4 7)y x
e. 81440(160 280)y x
6. Jika 1
3y
x
, berapakah nilai dari
3
3
d y
dy ….
a. 4
1
( 3)x
b. 4
2
( 3)x
c. 4
2
( 3)x
d. 4
6
( 3)x
e. 4
6
( 3)x
7. Turunan ketiga dari sin(3 )y x adalah …. a. 27cos(3 )y x b. 9sin(3 )y x c. 27sin(3 )y x
d. 9cos(3 )y x e. 27cos(3 )y x
8. Misalkan 2 jika 1
( )2 1 jika 1
x xf x
x x
, nilai
dari (1)f adalah …. a. 0 b. 3 c. 1
d. 2 e. tidak ada
9. Nilai a, b, dan c dari 2( )g x ax bx c bila g(1) = 5, g’(1) =3 dan g’’(1)=- 4 adalah ….a. a = -2 , b = 4, c = 0 b. a = -2 , b = 0, c = 2 c. a = -2 , b = - 7, c = 0 d. a = 2 , b = 7, c = 0 e. a = -2 , b = 7, c = 0
10. Diketahui 2 3 , 1
( )1 2 , 1
x x xf x
x x
pernyataan berikut yang benar adalah
….a. ( )f x differensiabel di 1x dan '(1) 1f b. ( )f x differensiabel di 1x dan '(1) 1f c. ( )f x tidak differensiabel di 1x d. ( )f x tidak differensiabel di 1x e. Tidak ada jawab yang benar
Top Related