1
BAB 1
ANALISA SKALAR DANVEKTOR
1.1 Skalar dan Vektor
Skalar merupakan besaran yang dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan nyata.
Simbul x, y, dan z yang digunakan merupakan scalar, dan besarnya juga dinyatakan
dalam scalar. Vektor mempunyai besar dan arah dalam suatu ruangan.
1.2 Aljabar Vektor
Dua buah vector dapat dijumlahkan secara grafik dengan menggambarkan kedua vector
tersebut dari titik asal yang sama kemudian melengkapkan gambar jajaran genjangnya,
atau memulai menggambarkan vector kedua dari ujung vector pertama dan
melengkapkan gambar segitiga. Seperti pada gambar 1.1 berikut.
Gambar 1.1 Penjumlahan 2 vektor secara grafis
1.3 Sistem Koordinat Cartesian
Bentuk Koordinat Kartesian diperlihatkan pada gambar 1.2 berikut
Gambar 1.2 Sistem Koordinat Cartesian
Bentuk aplikasi penempatan titik dalam koordinat kartesian diperlihatkan pada gambar
1.3 berikut.
2
Gambar 1.3 Penempatan titik pada koordinat kartesian
Contoh jika titik P berada pada koordinat (xo,yo,zo) dan P’ berada pada (x1,y1,z1) maka
dapat dianalisis jarak antara PP’, seperti pada Gambar 1.4 berikut.
Gambar 1.4 Penggambaran titik pada koordinat kartesian
1.4 Komponen Vektor dan Vektor Satuan
Analisis vector dan vector satuan, diperlihatkan pada Gambar 1.5 berikut.
3
Gambar 1.5 Vektor dan Vektor Satuan
Mengacu pada gambar 1.5 bagian c dihasilkan bentuk persamaan, maka besar vector Rpq
1.5 Perkalian Titik
Tinjau dua vektor A dan B, perkalian skalarnya atau perkalian titiknya didefinisikan
sebagai perkalian besar A dan besar B dikalikan dengan kosinus sudut antara kedua vector.
Mencari komponen sebuah vektor dalam arah tertentu, seperti diperlihatkan pada gambar
1.6 berikut.
Gambar 1.6 Dua vector A dan B
Komponen skalar vektor B pada arah vektor a adalah B.a = |B|.|a|cos Ba = |B|.|a|cos
Ba
4
1.6 Perkalian Silang
Bentuk perkalian silang dapat diasumsikan gerak putar pada sebuah skrup seperti
diperlihatkan pada gambar 1.7 berikut. Arah A x B ialah arah majunya sekrup putar
kanan.
Gambar 1.7. Arah putar skrup
Contoh Soal:
1. Tunjukkan bahwa vektor yang ditarik dari M(x1,y1,z1) ke N(x2,y2,z2) spt gambar adalah
(x2-x1)ax + (y2-y1)ay + (z2-z1)az. Koordinat M dan N dipakai untuk menuliskan kedaua
vektor A dan B.
A = x1ax + y1ay + z1az
B = x2ax + y2ay + z2az
Maka B – A = (x2-x1)ax + (y2-y1)ay + (z2-z1)az
2. Diketahui A = 2 ax + 4 ay – 3 az dan B = ax – ay, tentukan A.B dan AxB.
A.B = (2 ax + 4 ay – 3 az).(ax – ay)
= (2.1 ax.ax + 2.-1 ax.ay) + (4.1 ay.ax + 4.-1 ay.ay) + (-3.1 az.ax+3.1 az.ay)
=(2 + 0) + (0-4) + (0+0)
= -2
A B
B-A N(x2,y2,z2)
x
A M(x1,y1,z1)
y
z
5
A x B =
= [(4)(0)-(-3)(-1)] ax+ [(-3)(1)-(2)(0)]ay + [(2)(-1)-(4)(1)az]
= -3 ax - 3 ay - 6 az
3. Tentukan vektor satuan normal terhadap bidang yang terdapat dua vektor
OA = 4 ax + 10 ay
OB = 4 ax + 5 az
OA x OB =
= 50 ax – 20 ay – 40 az
za40
ya20
xa50
za40
ya20
xa50
na
= 16425
a4a2a5 zyx
= )a4a2a5(53
1zyx
4. Vektor A ditarik dari titik (2,-4,1) ke titik (0,0,-2) dalam koordinat kartesian dan satuan
yang searah dengan A
A = (0-2) ax + (-2+4)ay + (0-1) az
= -2 ax + 2 ay - az
A = 222 )1()2()2(
aA = A
A
xyx a3
1a
3
2a
3
2
ax ay az
2 4 -3
1 -1 0
ax ay az
4 10 0
4 0 5
A (0,0,-2)
x
(2,-4,1)
y
z
6
(x,y,z)
(0,0,0)
4. Nyatakan vektor satuan dari suatu titik sembarang pada bidang dalam z =4 yang
mengarah ke titik asal.
R = (0-x) ax + (0-y) ay + (0-4) az
R
RaR
= 222
zyx
)4()y()x(
a4yaxa
1.7 Sistem Koordinat Tabung
Bentuk koordinat tabung diperlihatkan pada gambar 1.8 berikut. Ketiga bidang saling
tegak lurus dalam koordinat tabung
Gambar 1.8 Bentuk koordinat tabung
Volume diferensial dalam koordinat tabung, dimana , dz : dimensi panjang, d :
bukan dimensi panjang, luas permukaan tiap sisi dd, ddz, ddz, dan volume
dddz
7
Contoh soal:
5. Nyatakan vektor satuan dari suatu sumbu kuadrat silinder (r,,0) yang mempunyai titik
(0,0,5)
R = - rar + 5 az
R
RaR
= 25)r(
a5ra
2
zr
Perubah dalam koordinat cartesian dan koordinat tabung dapat dihubungkan melalui
persamaan yang dibentuk melalui gambar 1.9 berikut.
Gbr 1.9 Koordinat tabung
dan
Hubungan perkalian titik dan vector satuan dalam koordinat tabung dan koordinat
kartesian, dapat dilakukan dengan pendekatan matrik berikut.
(0,0,5))
(r,,o)
8
1.8 Sistem Koordinat Bola
Bentuk system koordinat bola diperlihatkan pada gambar 1.10 berikut.
Gambar 1.10 Bentuk system koordinat bola
Transformasi skalar dr sistem koordinat bola dan Cartesian,
Sebagai dasar :
Contoh soal-soal latihan:
9
1
BAB 2
HUKUM COULOMB & INTENSITAS MEDAN LISTRIK
2.1 Hukum Eksperimental coulomb
Coulomb menyatakan bahwa gaya antara dua benda yang sangat kecil dalam vakum
atau ruang hampa yang terpisah pada jarak yang besar dibandingkan dengan ukurannya,
berbanding lurus dengan muatan masing-masing benda tersebut dan berbanding terbalik
dengan jarak kuadrat. Seperti diperlihatkan pada gambar 2.1 berikut.
Gambar 2.1 Dua buah muatan menpunyai jarak
Sehingga dapat ditulis dengan persamaan, Gaya Coulomb ,2
21
R
QQkF
k = konstanta, 04
1
k
12
0 10854.8 x m
Fx 910
36
1 (permitivitas ruang
hampa)
2
21
4 R
QQF
O
Dimana :
Q = muatan [C]
R = jarak antara muatan [m]
k = konstanta [SI]
F = gaya [N]
Contoh Soal:
Carilah gaya pada muatan 2 (F2) dengan meninjau adanya muatan 1 sebesar 3x10-4
C pada
titik P(1,2,3) dan muatan 2 sebesar -10-4
C pada titik Q(2,0,5). Penyelesainnya:
R Q1 Q2
2
2.2 Intensitas Medan Listrik.
Muatan Qt yang digerakkan mengelilingi Q1 akan selalu timbul gaya yang
bertumpu pada Qt, sehingga pada muatan Qt ini menunjukkan adanya suatu medan
gaya. Gaya yang bertumpu pada Qt dinyatakan dengan hukum Coulomb:
Q1
Besaran pada ruas kanan hanya merupakan fungsi dari Q1 dan segmen garis yang
arahnya dari Q1 ke kedudukan muatan uji. Hal ini menggambarkan sebuah medan
vektor yang disebut dengan intensitas medan listrik. Intensitas Medan Listrik
didefinisikan sebagai: gaya vektor yang bertumpu pada suatu satuan muatan uji
yang positif.
Intensitaas medan listrik = Gaya vektor yang bertumpu pada satuan muatan positif
C
N
Q
FE
t
t
coulomb
meterNewton
Coulomb
JouleVolt
m
V
C
N
Coulomb
Newton
meter
Volt
t
t
tt a
R
QQF 12
10
1
4
t
tt
t aR
Q
Q
F12
10
1 .4
Medan vektor = intensitas medan listrik
Qt
Q1
3
r1
1
r2
1 r-r1
r
r-r2
Q1
Q2
Q3 QN
R1
R2 R3
RN
P aR1
aR2
aR3 aRN
2.3 Medan dari n Muatan Titik
Untuk n buah titik - jumlah gaya masing-masing muatan pada titik yang ditinjau
m
m
mn
m
r arr
QE
2
01 4
2.4 Medan Distribusi Muatan Volume Malar
Kerapatan muatan dari suatu distribusi kontinu
vol vol
v
dvdQQ
V
QP
0lim
'
'
2'
0
''
4 rr
rr
rr
dvrPE
vol
2.5 Medan Muatan Garis
Muatan garis :
a. Asumsi gerak elektron lambat
b. Elektron statis kerapatan muatan/ satuan panjang konstan
c. Intensitas yang ditimbulkan dalam muatan garis dari - ke + adalah sebagai berikut:
Q1
Q2
z
x
y
E1
E2 E1+E22
4
z
z
y
L R
dQ=LdL
P
dEz dE
dE
Sifat kesimetrisan :
terhadap koordinasi mana medan tidak berubah
komponen medan madan yang tidak muncul
bergerak dengan & z komponen tidak berubah
bergerak dengan & tetap komponen z tidak berubah
bergerak & z tetap medan berubah terhadap
tidak ada unsur yang membuat adanya komponen E=nol
setiap muatan menghasilkan E dan Ez, sedang Ez untuk - Z
saling meniadakan Ez=0
LLQ dd
322 444
sin
R
d
R
y
R
dL
R
ddE
O
LL
O
L
O
LL
222 LR
5
P(x,0,0)
y
y
x
z
s
dy
L
L
dLE
O
L ;4 2
322
~
~
cat
~
~
222
1
4
L
LE
O
L
O
LE2
2.6 Muatan Bidang
Kerapatan muatan bidang = 2mc
S
Bidang muatan pada bidang y z, dan titik yang ditinjau pada sumbu x
222 LR
Pendekatan seperti muatan garis yang panjang yang mempunyai beban kecil (pipih) yang
banyak
L= S dy
Komponen yang ada hanya Ex, Karena Ey dan Ez saling menghilangkan
22
022
02
cos2 yx
xdy
yx
dydE SS
X
6
dQ=SdS
L
LRL
R
O
dR
aE
aR
dQdE
2
0
2
4
4
P R
L
dQ=LdL
S
SRS dR
aE
2
04
dQ=LdL
R P
S
S
R
V
VR dR
aE
2
04
~
~1
0
22
~
~0
tan22
x
y
SSX
yx
xdyE
O
SXE
2
0X O
SXE
2
N
O
SX aE
2
aN = Vektor satuan medan yang arahnya keluar dari bidang
2.7 MEDAN AKIBAT DISTRIBUSI MUATAN
Muatan garis
Muatan permukaan/lembaran
Muatan Ruang
7
S dQ=d
Top Related