Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných technicko-ekonomických studijních programůRegistrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
1
BD01 Základy stavební mechaniky
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných technicko-ekonomických studijních programůRegistrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
2
BD01 Základy stavební mechaniky
• Plocha
• Statický moment plochy k osám y a z
• Poloha těžiště obrazce
• Těžiště: Bod v rovině yz, pro nějž platí: pokud vedeme osy y a z tímto bodem, pak jsou statické momenty plochy k těmto osám nulové:
Charakteristiky rovinných obrazců
A
dAA
n
iiAA
1
A
y dAzS
A
z dAyS
n
iitiy AzS
1
n
iitiz AyS
1
A
Sy zt
A
Sz yt
0yS 0zS
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných technicko-ekonomických studijních programůRegistrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
3
BD01 Základy stavební mechaniky
• Moment setrvačnosti
• Deviační moment
- jednoose symetrický průřez:
- překlopení obrazce, kolem jedné ze souřadných os - změna znaménka (změnilo se znaménko jedné ze souřadnic každého bodu v integrálu Dyz).
Charakteristiky rovinných obrazců
A
y dAzI 2 A
z dAyI 2
Ayz dAyzD
0yzD
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných technicko-ekonomických studijních programůRegistrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
4
BD01 Základy stavební mechaniky
Transformační vztahy pro momenty setrvačnosti a deviační moment k posunutým osám
AzSzI
dAzdAzzdAz
dAzzdAzI
oyoy
A
o
A
o
A
A
o
A
y
211
21
21
21
2
11
11
1
2
2
)(
AySyI
dAydAyydAy
dAyydAyI
ozoz
A
o
A
o
A
A
o
A
z
211
21
21
21
2
11
11
1
2
2
)(
AzySzSyD
dAzydAyzdAzydAzy
dAzzyydAyzD
oozoyozy
A
oo
A
o
A
o
A
A
oo
A
yz
1111
1111
11
1111
11211
11 ))((
Pro a platí a
pak
Steinerova věta: Moment setrvačností rovinného obrazce k posunuté ose je roven součtu momentu setrvačnosti obrazce k vlastní těžišťové ose a plochy obrazce násobené čtvercem vzdálenosti obou os.
Pozn: Je vhodné místo vzdálenosti obou os používat souřadnice těžiště obrazce, protože v případě deviačního momentu je nutné důsledně dosazovat správná znaménka těchto souřadnic.
tyy 01 tyy 01 0ytS 0ztS
AzII tyty2 AyII tztz
2 AzyDD ttztytyz ,
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných technicko-ekonomických studijních programůRegistrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
5
Transformační vztahy pro momenty setrvačnosti a deviační moment k posunutým osám
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných technicko-ekonomických studijních programůRegistrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
6
BD01 Základy stavební mechaniky
• Integrál po ploše lze rozložit na součet integrálů po dílčích plochách
• odtud
• po dosazení ze Steinerovy věty
Pozn.:Při výpočtu charakteristik A, Sy, Sz, Iy, Iz a Dyz složených obrazců se charakteristiky
otvorů odečítají.
Momenty setrvačnosti složených obrazců
ynyy
AnAAA
y IIIdAzdAzdAzdAzI ........ 212
2
2
1
22
n
iyiy II
1
n
iziz II
1
n
iyziyz DD
1
n
iitiiyt
n
iiyy zAIII
1
2,,
1, )(
n
iitiizt
n
iizz yAIII
1
2,,
1, )(
n
iititiiztyt
n
iiyzyz zyADDD
1,,,,
1, )(
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných technicko-ekonomických studijních programůRegistrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
7
BD01 Základy stavební mechaniky
• Transformace souřadnic
Transformační vztahy k pootočeným osám
sincos* zyy
cossin* zyz
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných technicko-ekonomických studijních programůRegistrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
8
BD01 Základy stavební mechaniky
Transformační vztahy k pootočeným osám
2cos2sin)(2
1)sin(coscossin)(
sin)sin(coscossin
)cossin)(sincos(
22
22222
****
yzzyyzzy
AAA
AA
zy
DIIDII
dAzdAyzdAy
dAzyzydAzyD
2sinsincoscoscossin2sin
coscossin2sin
)cossin(
2222
2222
22**
yzzyyyzz
AAA
AA
y
DIIIDI
dAzdAyzdAy
dAzydAzI
2sincossinsincossin2cos
sincossin2cos
)sincos(
2222
2222
22**
yzzyyyzz
AAA
AA
z
DIIIDI
dAzdAyzdAy
dAzydAyI
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných technicko-ekonomických studijních programůRegistrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
9
BD01 Základy stavební mechaniky
Otáčením souřadného systému nabývají hodnoty momentů setrvačnosti proměnlivých hodnot.
Pro určitou polohu souřadných os dosáhnou tyto hodnoty extrému. Tyto osy pak nazveme hlavní osy setrvačnosti a získané momenty setrvačnosti hlavními momenty setrvačnosti.
K nalezení úhlu pootočení hlavních os setrvačnosti poslouží podmínka extrému jednoho z momentů setrvačnosti
Hlavní momenty setrvačnosti
0*
o
y
d
dI
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných technicko-ekonomických studijních programůRegistrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
10
BD01 Základy stavební mechaniky
Pokud úhel , potom a . Dosadíme-li do předchozího vztahu, dostaneme
Z toho plyne další charakteristika hlavních os setrvačnosti:osy, k nimž je deviační moment nulový
Z podmínky nulové derivace plyne:
Hlavní momenty setrvačnosti
*
( 2sin cos ) (2sin cos ) 2cos2
( )sin 2 2cos2 0
yy z yz
o
y z yz
dII I D
d
I I D
0*
o
y
d
dI
2sinsincos 22
yzzyy DIII
0yzD
yz
yzo II
Dtg
2
2
0 0 0sin 2 0 0cos2 1
2 0yzD
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných technicko-ekonomických studijních programůRegistrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
11
BD01 Základy stavební mechaniky
Dosazením získaného úhlu do vztahů pro a a použitím některých vztahů pro goniometrické funkce z matematiky se obdrží vztahy pro hlavní momenty
Hlavní momenty setrvačnosti označujeme
a jejich velikost je pak z předchozích vztahů
Je-li pak 1. hlavní osa prochází 2. a 4. kvadrantem, jinak 1. a 3.
Hlavní momenty setrvačnosti
yzyzzy DIIIIII 4)(2
1)(
2
1 2
min
max2,1
max1 II min2 II
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných technicko-ekonomických studijních programůRegistrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
12
Hlavní momenty setrvačnosti rozlišení os
Je-li pak 1. hlavní osa prochází 2. a 4. kvadrantem, jinak 1. a 3.
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných technicko-ekonomických studijních programůRegistrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
13
BD01 Základy stavební mechaniky
poloměr setrvačnosti k posunutým osám
obdobně
poloměry setrvačnosti k hlavním osám setrvačnosti
Poloměr setrvačnosti
A
Ii yy A
Ii zz
A
Ii 11
A
Ii 22
AzII tyty2AzAiAi tyty22
222tyty zii
222tztz yii
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných technicko-ekonomických studijních programůRegistrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
14
BD01 Základy stavební mechaniky
Na rozdíl od momentů setrvačnosti k osám je polární moment setrvačnosti definován k bodu
k posunutému bodu
Vzhledem k tomu, že polární moment je nezávislý na pootočení souřadného systému, pravidlo
platí pro obecně otočené osy.
Polární moment setrvačnosti
A
yz
AAA
o IIdAzdAydAzydArI 22222 )(
AzyII ttoto )( 22
.konstII yz
Top Related