Programacao Quadratica SequencialMetodos Computacionais de Otimizacao
Welington Oliveira
Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPADoutorado
Rio, Novembro de 2012
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 1 / 18
Sumario
1 Consideracoes Gerais
2 Problemas com restricoes de igualdade
3 Problemas com restricoes mistas
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 2 / 18
Consideracoes Gerais
Programacao quadratica sequencialSequential Quadratic Programming - SQP
SQP
Consiste em resolver um problema (P) de otimizacao nao-linear (com restricoesmistas) atraves de resolucoes de subproblemas mais simples, que aproximam oproblema (P).
Bem...
Ate agora, basicamente todos os metodos que estudamos aproximam o problemade interesse por uma sequencia de subproblemas mais simples! Por exemplo:
Metodos de penalizacao
Metodos de barreira
Metodos da Lagragiana aumentada
A diferenca...
E que metodos SQP resolvem uma sequencia de problemas quadraticos, que saofaceis de serem resolvidos!
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 3 / 18
Consideracoes Gerais
Programacao quadratica sequencialSequential Quadratic Programming - SQP
SQP
Consiste em resolver um problema (P) de otimizacao nao-linear (com restricoesmistas) atraves de resolucoes de subproblemas mais simples, que aproximam oproblema (P).
Bem...Ate agora, basicamente todos os metodos que estudamos aproximam o problemade interesse por uma sequencia de subproblemas mais simples! Por exemplo:
Metodos de penalizacao
Metodos de barreira
Metodos da Lagragiana aumentada
A diferenca...
E que metodos SQP resolvem uma sequencia de problemas quadraticos, que saofaceis de serem resolvidos!
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 3 / 18
Consideracoes Gerais
Programacao quadratica sequencialSequential Quadratic Programming - SQP
SQP
Consiste em resolver um problema (P) de otimizacao nao-linear (com restricoesmistas) atraves de resolucoes de subproblemas mais simples, que aproximam oproblema (P).
Bem...Ate agora, basicamente todos os metodos que estudamos aproximam o problemade interesse por uma sequencia de subproblemas mais simples! Por exemplo:
Metodos de penalizacao
Metodos de barreira
Metodos da Lagragiana aumentada
A diferenca...
E que metodos SQP resolvem uma sequencia de problemas quadraticos, que saofaceis de serem resolvidos!
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 3 / 18
Consideracoes Gerais
Programacao quadratica sequencial
• Em cada iteracao, um problema quadratico (QP) aproxima o problema original.
Por que usar metodos SPQ?
Um QP bem construıdo pode ser uma boa aproximacao do problema original
QPs sao faceis de serem resolvidos (custo computacional nao e muito maiordo que resolver um programa linear)
SQP pode ser pensado como uma generalizacao natural do metodo deNewton
Possui boas propriedades de convergencia (taxa linear ou ate mesmoquadratica).
Metodos SQP sao considerados entre os mais eficientes metodos deotimizacao de uso geral.
Para resolver problemas sem estrutura especial, com frequencia sao escolhidosmetodos desta classe.
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 4 / 18
Consideracoes Gerais
Programacao quadratica sequencial
• Em cada iteracao, um problema quadratico (QP) aproxima o problema original.
Por que usar metodos SPQ?
Um QP bem construıdo pode ser uma boa aproximacao do problema original
QPs sao faceis de serem resolvidos (custo computacional nao e muito maiordo que resolver um programa linear)
SQP pode ser pensado como uma generalizacao natural do metodo deNewton
Possui boas propriedades de convergencia (taxa linear ou ate mesmoquadratica).
Metodos SQP sao considerados entre os mais eficientes metodos deotimizacao de uso geral.
Para resolver problemas sem estrutura especial, com frequencia sao escolhidosmetodos desta classe.
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 4 / 18
Problemas com restricoes de igualdade
SQP para problemas com restricoes de igualdade
Considere o problema
(P ) min f(x) s.a x ∈ D ⊂ Rn ,
onde
D = {x ∈ Rn : h(x) = 0} 6= ∅f : Rn → R, h : Rn → Rl sao duas vezes diferenciaveis.
Dado xk ∈ Rn, aproxima-se (P) em torno de xk por um QP:
(QP ) min f(xk) + 〈f ′(xk), x− xk〉+12〈Hk(x− xk), x− xk〉 s.a xk ∈ Dk ,
onde Hk ∈ Rn×n e uma matriz simetrica, e
Dk = {x ∈ Rn : h(xk) + h′(xk)(x− xk) = 0} .
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 5 / 18
Problemas com restricoes de igualdade
SQP para problemas com restricoes de igualdade
Considere o problema
(P ) min f(x) s.a x ∈ D ⊂ Rn ,
onde
D = {x ∈ Rn : h(x) = 0} 6= ∅f : Rn → R, h : Rn → Rl sao duas vezes diferenciaveis.
Dado xk ∈ Rn, aproxima-se (P) em torno de xk por um QP:
(QP ) min f(xk) + 〈f ′(xk), x− xk〉+12〈Hk(x− xk), x− xk〉 s.a xk ∈ Dk ,
onde Hk ∈ Rn×n e uma matriz simetrica, e
Dk = {x ∈ Rn : h(xk) + h′(xk)(x− xk) = 0} .
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 5 / 18
Problemas com restricoes de igualdade
SQP para problemas com restricoes de igualdade
O proximo iterado xk+1 e um ponto estacionario do problema
(QP ) min f(xk) + 〈f ′(xk), x− xk〉+12〈Hk(x− xk), x− xk〉 s.a xk ∈ Dk .
Ou alternativamente,
dk ∈ arg min 〈f ′(xk), d〉+12〈Hkd, d〉 s.a h′(xk)d = −h(xk) .
e xk+1 = xk + dk.
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 6 / 18
Problemas com restricoes de igualdade
SQP para problemas com restricoes de igualdade
O proximo iterado xk+1 e um ponto estacionario do problema
(QP ) min f(xk) + 〈f ′(xk), x− xk〉+12〈Hk(x− xk), x− xk〉 s.a xk ∈ Dk .
Ou alternativamente,
dk ∈ arg min 〈f ′(xk), d〉+12〈Hkd, d〉 s.a h′(xk)d = −h(xk) .
e xk+1 = xk + dk.
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 6 / 18
Problemas com restricoes de igualdade
SQP para problemas com restricoes de igualdade
A primeira tentativa na escolha da matriz Hk para o (QP) e Hk = f ′′(xk).No entanto, esta escolha nao e das melhores.
Hk = f ′′(xk) considera informacoes de segunda ordem somente de fNao seria interessante utilizar informacoes de segunda ordem de h?
Sim! Masonde? Nas restricoes?Considerar informacoes de segunda de h nas restricoes resultaria emsubproblemas com funcao objetivo e restricoes nao lineares! Difıcil!
A ideia e considerar informacoes de ambas f e h em Hk, para termossubproblemas quadraticos
A proposta e tomarHk = L′′xx(xk, λk) ,
onde L e a Lagrangiana de (P)
L(x, λ) = f(x) + 〈λ, h(x)〉 ,
e λ ∈ Rl e uma aproximacao do multiplicador de Lagrange λ.
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 7 / 18
Problemas com restricoes de igualdade
SQP para problemas com restricoes de igualdade
A primeira tentativa na escolha da matriz Hk para o (QP) e Hk = f ′′(xk).No entanto, esta escolha nao e das melhores.
Hk = f ′′(xk) considera informacoes de segunda ordem somente de fNao seria interessante utilizar informacoes de segunda ordem de h? Sim! Masonde? Nas restricoes?
Considerar informacoes de segunda de h nas restricoes resultaria emsubproblemas com funcao objetivo e restricoes nao lineares! Difıcil!
A ideia e considerar informacoes de ambas f e h em Hk, para termossubproblemas quadraticos
A proposta e tomarHk = L′′xx(xk, λk) ,
onde L e a Lagrangiana de (P)
L(x, λ) = f(x) + 〈λ, h(x)〉 ,
e λ ∈ Rl e uma aproximacao do multiplicador de Lagrange λ.
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 7 / 18
Problemas com restricoes de igualdade
SQP para problemas com restricoes de igualdade
A primeira tentativa na escolha da matriz Hk para o (QP) e Hk = f ′′(xk).No entanto, esta escolha nao e das melhores.
Hk = f ′′(xk) considera informacoes de segunda ordem somente de fNao seria interessante utilizar informacoes de segunda ordem de h? Sim! Masonde? Nas restricoes?Considerar informacoes de segunda de h nas restricoes resultaria emsubproblemas com funcao objetivo e restricoes nao lineares! Difıcil!
A ideia e considerar informacoes de ambas f e h em Hk, para termossubproblemas quadraticos
A proposta e tomarHk = L′′xx(xk, λk) ,
onde L e a Lagrangiana de (P)
L(x, λ) = f(x) + 〈λ, h(x)〉 ,
e λ ∈ Rl e uma aproximacao do multiplicador de Lagrange λ.
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 7 / 18
Problemas com restricoes de igualdade
SQP para problemas com restricoes de igualdade
Outra motivacao da escolha Hk = L′′xx(xk, λk) no problema
(QP ) min f(xk) + 〈f ′(xk), x− xk〉+12〈Hk(x− xk), x− xk〉 s.a xk ∈ Dk .
vem do Metodo de Newton para o sistema de Lagrange de (P):
L′(x, λ) = 0 .
O metodo de Newton para o sistema de Lagrange...
consiste em resolver o sistema linear
L′′xx(xk, λk)(x− xk) + (h′(xk))>(λ− λk) = −f(xk)− (h′(xk))>λk
h′(xk)(x− xk) = −h(xk)
em relacao a (x, λ) ∈ Rn ×Rl, com (xk, λk) dados.
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 8 / 18
Problemas com restricoes de igualdade
O metodo de Newton para o sistema de Lagrange...
consiste em resolver o sistema linear
L′′xx(xk, λk)(x− xk) + (h′(xk))>λ = −f(xk)h′(xk)(x− xk) = −h(xk)
em relacao a (x, λ) ∈ Rn ×Rl, com (xk, λk) dados.
Seja xk+1 um ponto estacionario de (QP) e yk+1 ∈ Rl um multiplicadorassociado do (QP):
min f(xk) + 〈f ′(xk), x− xk〉+12〈Hk(x− xk), x− xk〉 s.a xk ∈ Dk ,
com Dk = {x ∈ Rn : h(xk) + h′(xk)(x− xk) = 0}. Deste modo, o par(xk+1, yk+1) e solucao do
Sistema de Lagrange para (QP)
f ′(xk) +Hk(x− xk) + (h′(xk))>y = 0h(xk) + h′(xk)(x− xk) = 0
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 9 / 18
Problemas com restricoes de igualdade
O metodo de Newton para o sistema de Lagrange...
consiste em resolver o sistema linear
L′′xx(xk, λk)(x− xk) + (h′(xk))>λ = −f(xk)h′(xk)(x− xk) = −h(xk)
em relacao a (x, λ) ∈ Rn ×Rl, com (xk, λk) dados.
Seja xk+1 um ponto estacionario de (QP) e yk+1 ∈ Rl um multiplicadorassociado do (QP):
min f(xk) + 〈f ′(xk), x− xk〉+12〈Hk(x− xk), x− xk〉 s.a xk ∈ Dk ,
com Dk = {x ∈ Rn : h(xk) + h′(xk)(x− xk) = 0}. Deste modo, o par(xk+1, yk+1) e solucao do
Sistema de Lagrange para (QP)
f ′(xk) +Hk(x− xk) + (h′(xk))>y = 0h(xk) + h′(xk)(x− xk) = 0
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 9 / 18
Problemas com restricoes de igualdade
O metodo de Newton para o sistema de Lagrange...
consiste em resolver o sistema linear
L′′xx(xk, λk)(x− xk) + (h′(xk))>λ = −f(xk)h′(xk)(x− xk) = −h(xk)
em relacao a (x, λ) ∈ Rn ×Rl, com (xk, λk) dados.
Seja xk+1 um ponto estacionario de (QP) e yk+1 ∈ Rl um multiplicadorassociado do (QP):
min f(xk) + 〈f ′(xk), x− xk〉+12〈Hk(x− xk), x− xk〉 s.a xk ∈ Dk ,
com Dk = {x ∈ Rn : h(xk) + h′(xk)(x− xk) = 0}. Deste modo, o par(xk+1, yk+1) e solucao do
Sistema de Lagrange para (QP)
f ′(xk) +Hk(x− xk) + (h′(xk))>y = 0h(xk) + h′(xk)(x− xk) = 0
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 9 / 18
Problemas com restricoes de igualdade
O metodo de Newton para o sistema de Lagrange...
consiste em resolver o sistema linear
L′′xx(xk, λk)(x− xk) + (h′(xk))>λ = −f(xk)h′(xk)(x− xk) = −h(xk)
em relacao a (x, λ) ∈ Rn ×Rl, com (xk, λk) dados.
Sistema de Lagrange para (QP)
f ′(xk) +Hk(x− xk) + (h′(xk))>y = 0h(xk) + h′(xk)(x− xk) = 0
Comparando estes sistemas, notamos que eles coincidem se Hk = L′′xx(xk, λk).
Tomando Hk = L′′xx(xk, λk)
podemos entao esperar convergencia local rapida sob hipoteses naturais!
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 10 / 18
Problemas com restricoes de igualdade
O metodo de Newton para o sistema de Lagrange...
consiste em resolver o sistema linear
L′′xx(xk, λk)(x− xk) + (h′(xk))>λ = −f(xk)h′(xk)(x− xk) = −h(xk)
em relacao a (x, λ) ∈ Rn ×Rl, com (xk, λk) dados.
Sistema de Lagrange para (QP)
f ′(xk) +Hk(x− xk) + (h′(xk))>y = 0h(xk) + h′(xk)(x− xk) = 0
Comparando estes sistemas, notamos que eles coincidem se Hk = L′′xx(xk, λk).Tomando Hk = L′′xx(xk, λk)
podemos entao esperar convergencia local rapida sob hipoteses naturais!
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 10 / 18
Problemas com restricoes de igualdade
Algoritmo
Inicializacao: Escolha (x0, λ0) ∈ Rn ×Rl e faca k = 0.
Simulador: Envie (xk, λk) a um simulador e receba f ′(xk), h(xk), h′(xk) eL′′xx(xk, λk).
Subproblema: Calcule dk um ponto estacionario de
min 〈f ′(xk), d〉+12〈L′′xx(xk, λk)d, d〉 s.a h′(xk)d = −h(xk) ,
e yk um multiplicador de Lagrange associado.
Teste de parada: Se ‖dk‖ ≤ δTol, pare.
Atualizacao: Tome xk+1 = xk + dk e λk+1 = yk.
Ciclo: Faca k = k + 1 e volte ao Simulador.
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 11 / 18
Problemas com restricoes de igualdade
Algoritmo - Equivalentemente...
Inicializacao: Escolha (x0, λ0) ∈ Rn ×Rl e faca k = 0.
Simulador: Envie (xk, λk) a um simulador e receba f ′(xk), h(xk), h′(xk) eL′′xx(xk, λk).
Subproblema: Calcule (dk, yk) ∈ Rn ×Rl uma solucao do sistema
L′′xx(xk, λk)d+ (h′(xk))>y = −f(xk)h′(xk)d = −h(xk)
Teste de parada: Se ‖dk‖ ≤ δTol, pare.
Atualizacao: Tome xk+1 = xk + dk e λk+1 = yk.
Ciclo: Faca k = k + 1 e volte ao Simulador.
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 12 / 18
Problemas com restricoes de igualdade
Comentarios
O metodo SQP aplicado ao problema (P) (somente restricoes de igualdade) eo mesmo que aplicar o metodo de Newton no sistema de Lagrange de (P)
Logo, a convergencia e rapida, mas e apenas local
SQP converge localmente a (x, λ) ∈ Rn ×Rl, um par que resolve o sistemade Lagrange de (P), com taxa superlinearSe as derivadas segundas de f e h sao Lipschitz-contınuas numa vizinhanca dex, a convergencia e quadratica
Globalizacao do SQP e possıvel! Antes de apresenta-la, vamos considerar osproblemas com restricoes mistas.
Resolva o Exercıcio 4.6.1.
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 13 / 18
Problemas com restricoes mistas
SQP para problemas com restricoes mistas
Considere o problema
(P ) min f(x) s.a x ∈ D ⊂ Rn ,
onde
D = {x ∈ Rn : h(x) = 0, g(x) ≤ 0} 6= ∅f : Rn → R, h : Rn → Rl, g : Rn → Rm sao duas vezes diferenciaveis.
Nos problemas de restricoes de igualdade, as restricoes foram linearizadas
Aqui, a estrategia e a mesma:
(QP ) min 〈f ′(xk), d〉+12〈Hkd, d〉 s.a d ∈ Dk ,
onde Hk ∈ Rn×n e uma matriz simetrica e
Dk = {d ∈ Rn : h(xk) + h′(xk)d = 0, g(xk) + g′(xk)d ≤ 0} .
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 14 / 18
Problemas com restricoes mistas
SQP para problemas com restricoes mistas
Considere o problema
(P ) min f(x) s.a x ∈ D ⊂ Rn ,
onde
D = {x ∈ Rn : h(x) = 0, g(x) ≤ 0} 6= ∅f : Rn → R, h : Rn → Rl, g : Rn → Rm sao duas vezes diferenciaveis.
Nos problemas de restricoes de igualdade, as restricoes foram linearizadas
Aqui, a estrategia e a mesma:
(QP ) min 〈f ′(xk), d〉+12〈Hkd, d〉 s.a d ∈ Dk ,
onde Hk ∈ Rn×n e uma matriz simetrica e
Dk = {d ∈ Rn : h(xk) + h′(xk)d = 0, g(xk) + g′(xk)d ≤ 0} .
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 14 / 18
Problemas com restricoes mistas
SQP para problemas com restricoes mistas
Considere o problema
(P ) min f(x) s.a x ∈ D ⊂ Rn ,
onde
D = {x ∈ Rn : h(x) = 0, g(x) ≤ 0} 6= ∅f : Rn → R, h : Rn → Rl, g : Rn → Rm sao duas vezes diferenciaveis.
Nos problemas de restricoes de igualdade, as restricoes foram linearizadas
Aqui, a estrategia e a mesma:
(QP ) min 〈f ′(xk), d〉+12〈Hkd, d〉 s.a d ∈ Dk ,
onde Hk ∈ Rn×n e uma matriz simetrica e
Dk = {d ∈ Rn : h(xk) + h′(xk)d = 0, g(xk) + g′(xk)d ≤ 0} .
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 14 / 18
Problemas com restricoes mistas
Algoritmo
Inicializacao: Escolha (x0, λ0, µ0) ∈ Rn ×Rl ×Rm+ e faca k = 0.
Simulador: Envie (xk, λk, µk) a um simulador e receba f ′(xk), h(xk),h′(xk), g(xk), g′(xk) e Hk.
Subproblema: Calcule dk um ponto estacionario de min 〈f ′(xk), d〉+ 12 〈Hkd, d〉
s.a h(xk) + h′(xk)d = 0g(xk) + g′(xk)d ≤ 0 .
e (yk, zk) ∈ Rl ×Rm+ multiplicadores de Lagrange associado.
Teste de parada: Se ‖dk‖ ≤ δTol, pare.
Atualizacao: Tome xk+1 = xk + dk, λk+1 = yk e µk+1 = zk.
Ciclo: Faca k = k + 1 e volte ao Simulador.
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 15 / 18
Problemas com restricoes mistas
Comentarios
Se Hk = L′′xx(xk, λk, µk), podemos esperar convergencia local rapida, onde
L(x, λ, µ) = f(x) + 〈λ, h(x)〉+ 〈µ, g(x)〉 .
Se Dk 6= ∅ e Hk e definida positiva, entao o subproblema (QP) tem umunico ponto estacionario, que e a unica solucao
Para Hk definida acima e sob hipoteses naturais (tais como CSO2 para (P)),nao e possıvel assegurar que Hk seja definida positiva, mesmo para xk
proximo de x, e λk, µk proximos de λ, µ
Por isso, a existencia de pontos estacionario de (QP) nao e direta, e precisaser provada como parte da analise do Algoritmo
Mesmo quando tal ponto estacionario existe, ele pode nao ser unico
A analise local supoem que dk tem norma mınima
Na pratica, esta consideracao e ignorada.
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 16 / 18
Problemas com restricoes mistas
Convergencia local do SQP
Teorema
Sejam f, h e g duas vezes diferenciavel numa vizinhanca de x ∈ Rn, com derivadacontınuas neste ponto. Seja x um ponto estacionario de (P) que satisfaz CQR-LI,e o trio (x, λ, µ) satisfaz CSO2 para (P). Suponhamos a condicao decomplementariedade estrita
µi > 0 ∀ i ∈ I(x) = {i : gi(x) = 0} .
Entao para qualquer ponto inicial (x0, λ0, µ0) suficientemente proximo de (x, λ, µ)o Algoritmo, definido com Hk = L′′xx(xk, λk, µk) e dk um ponto estacionario de(QP) com mınima norma, esta bem definido. A sequencia gerada converge a(x, λ, µ). A taxa de convergencia e superlinear. Mais ainda, se as derivadassegunda de f, h e g forem Lipschitz-continuas numa vizinhanca de x, entao aconvergencia e quadratica.
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 17 / 18
Problemas com restricoes mistas
Contato:
Ï welington.athost.net
Welington Oliveira (Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA Doutorado)Programacao Quadratica Sequencial Rio, Novembro de 2012 18 / 18
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