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Sinais e Sistemas – Capítulo 7
Simon Haykin
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Análise com Transformada Z de Sistemas LTI – Estabilidade e Causalidade
Sistemas estáveis e causais possuem todos os pólos inseridos no círculo unitário.
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Análise com Transformada Z de Sistemas LTI – Estabilidade e Causalidade
Exemplo 1: Um sistema tem a função de transferência
11414 21
3
9,01
2
9,01
2
zzeze
zHjj
1.Encontre a resposta ao impulso supondo que o sistema seja
a) Estávelb) Causal
2.Este sistema pode ser tanto estável quanto causal?
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Análise com Transformada Z de Sistemas LTI – Estabilidade e Causalidade
Solução: Este sistema tem pólos em , 49,0 jez 49,0 jez 2ze
a) Se o sistema for estável, a região de convergência incluirá o círculo unitário. Assim, os pólos dentro do círculo contribuem com termos laterais direito, enquanto que o pólo fora, contribui com um termo lateral esquerdo.
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Análise com Transformada Z de Sistemas LTI – Estabilidade e Causalidade
Solução: Logo,
1234
cos9,04
1239,029,02 44
nunun
nunuenuenh
nn
nnjnj
b) Se o sistema for causal, então todos os pólos contribuirão com termos laterais direito, de modo que
nununnh nn 234
cos9,04
Portanto, este sistema não pode ser nem estável e nem causal, pois possui um pólo fora do círculo unitário.
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Análise com Transformada Z de Sistemas LTI – Invertibilidade
Seja h-1[n] a resposta ao impulso de um sistema inverso, de forma que
nnhnh *1
Tomando a transforma Z da identidade acima, temos 11 zHzH
Se
zHzH 11
N
kk
M
kk
zd
zcbzH
1
1
1
10
1
1 então
M
kk
N
kk
zcb
zdzH
1
10
1
1
1
1
1
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Análise com Transformada Z de Sistemas LTI – Invertibilidade
Exemplo 2:Um sistema é descrito pela equação de diferenças
28
11
4
12
4
11 nxnxnxnynyny
a) Encontre a função de transferência do sistema inverso.b) Um sistema inverso estável e causal existe?
Solução:
21
21
2121
41
1
81
41
1
8
1
4
1
4
1
zz
zzzHzXzzXzzXzYzzYzzY
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Estruturas Computacionais para Implementar Sistemas de Tempo Discretos
Obtendo as raízes dos polinômios do numerador e denominador de H(z), podemos expressar a função de transferência como
2
1
11
21
1
21
141
1
z
zzzH de modo que
11
21
1
21
141
1
21
1
zz
zzH
Observe que os pólos do sistema inverso, ¼ e -1/2, estão dentro do círculo unitário, de modo que o sistema inverso pode ser tanto causal quanto estável.
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Estruturas Computacionais para Implementar Sistemas de Tempo Discreto
Exemplo 3: Considere o sistema representado pela função de transferência
18181414
111
43
143
121
121
1
111
zezezeze
zjzjzzH
jjjj
Descreva a forma em cascata deste sistema usando seções de segunda ordem com valor real.
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Estruturas Computacionais para Implementar Sistemas de Tempo Discreto
Solução:
2121
12
2181821414
12
18181414
111
169
8cos23
141
4cos1
11
169
23
23
141
21
21
1
11
43
143
121
121
1
111
zzzz
zz
zzezezzeze
zz
zezezeze
zjzjzzH
jjjj
jjjj
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Estruturas Computacionais para Implementar Sistemas de Tempo Discreto
Solução: seja
21
2
1
41
4cos1
1
zz
zzH
21
1
2
169
8cos23
1
1
zz
zzH
De modo que zHzHzH 21
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Estruturas Computacionais para Implementar Sistemas de Tempo Discreto
Solução: seja
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A Transformada Z UnilateralAplica-se a sinais de sistemas causais
É definida como
0n
nznxzX
As transformadas Z Unilateral e Bilateral são equivalentes para sistemas causais.
A transformadas Z Unilateral satisfaz as mesmas propriedades da Transformada Z Bilateral, com exceção da propriedade de deslocamento no tempo.
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A Transformada Z UnilateralDeslocamento no Tempo
Admitamos que , onde
0n
nznxzX
é a transformada Z unilateral de x[n].
A transformadas Z Unilateral de w[n] é definida de maneira semelhante, isto é
1 nxnw
0n
nznwzW
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A Transformada Z UnilateralDeslocamento no Tempo
Expressamos W(z) como uma função de X(z) com segue:
zXzx
zmxzx
zmxx
znxx
znxzW
m
m
m
m
n
n
n
n
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
11
1
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A Transformada Z UnilateralDeslocamento no Tempo
Para um retardo k, isto é , temos que knx
0,11 11 kzXzzxzkxkxzX kk
Para um adiamento k, isto é , temos que knx
0,110 1 kzXzzkxzxxzX kk
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A Transformada Z Unilateral
Exemplo 4: Considere o sistema descrito pela equação de diferenças nxnyny 19,0
Encontre a saída se a entrada for e se a condição inicial for
nunx 21 y
Solução: Tomando a transformada Z unilateral de ambos os lados, e usando a propriedade de deslocamento no tempo, temos que
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A Transformada Z Unilateral
Solução:
11
1
1
9,01
19,0
9,01
19,09,01
19,0
z
y
z
zXzY
yzXzYz
zXzYzyzY
Resposta NaturalResposta Forçada
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A Transformada Z Unilateral
Solução: desde que e y[-1]=2
111 9,01
8,1
19,01
1
zzz
zY
111 zzXnunxZ
então
Usando o método das frações parciais, temos
111 9,01
8,1
1
10
9,01
9
zzz
zY
Daí, nunununy nn 9,08,1109,09
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A Transformada Z Unilateral
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A Transformada Z Unilateral
Considere agora tomar a transformada Z de ambos os lados da equação de diferenças a seguir:
N
k
M
kkk knxbknya
0 0
Podemos escrever a transformada Z como a seguir.
zXzBzCzYzA em que
,0
N
k
kk zazA
M
k
kk zbzB
0
1
0 1
N
m
N
mk
mk zmkyazCe
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A Transformada Z Unilateral
• Supomos que x[n] é causal, de forma que• O termo C(z) depende das N condições iniciais, y[-1], y[-2],...,y[-N], e de ak.• C(z) será nulo se todas as condições iniciais forem nulas
N
k
M
kkk knxbknya
0 0
,0
N
k
kk zazA
M
k
kk zbzB
0
1
0 1
N
m
N
mk
mk zmkyazCe
zXzknx kZu
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A Transformada Z Unilateral
Finalmente, resolvendo Y(z) para
zXzBzCzYzA
obtemos
zAzC
zA
zXzBzY
Resposta NaturalResposta Forçada
• Note que a forma da resposta natural depende apenas dos pólos do sistema;• Note também que se o sistema for estável, os pólos deverão estar situados dentro do círculo unitário.
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