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Objetivos da aula
� Mostrar como adicionar forças e decompô-las em componentesusando a lei do paralelogramo.
� Expressar a força e sua posição na forma de um vetor cartesianoe explicar como determinar a intensidade e a direção do vetor.
� Introduzir o produto escalar para determinar o ângulo entre doisvetores ou a projeção de um vetor sobre outro.
Vetores de força
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Escalares e vetores
Um escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa quepode ser completamente especificada por sua intensidade.
Exemplos de quantidades escalares:
� Comprimento
� Massa
� Tempo
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Um vetor é qualquer quantidade física que requer uma intensidade
e uma direção para sua completa descrição.
Exemplos de vetores:
� Força
� Posição
� Momento
Escalares e vetores
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Operações vetoriais
Multiplicação por um escalar
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Adição de vetores
Todas as quantidades vetoriais obedecem à lei do paralelogramo da
adição.
Também podemos somar B a A usando a regra do triângulo:
Operações vetoriais
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Adição de vetores
No caso especial em que os dois vetores A e B são colineares, alei do paralelogramo reduz-se a uma adição algébrica ou escalarR = A + B:
Operações vetoriais
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Subtração de vetores
R' = A – B = A + (–B)
Operações vetoriais
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Determinando uma força resultante
Podemos aplicar a lei dos cossenos ou a lei dos senos para o triângulo a fim de obter a intensidade da força resultante e sua direção.
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Determinando as componentes de uma força
Algumas vezes é necessário decomporuma força em duas componentes paraestudar seu efeito em duas direçõesespecíficas.
As componentes da força Fu e Fv sãoestabelecidas simplesmente unindo aorigem de F com os pontos de interseçãonos eixos u e v.
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Procedimento para análise
Problemas que envolvem a soma de duas forças podem serresolvidos da seguinte maneira:
Lei do paralelogramo:
� Duas forças ‘componentes’, F1 e F2 se somam conforme a lei doparalelogramo, dando uma força resultante FR que forma adiagonal do paralelogramo.
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� Se uma força F precisar ser decomposta em componentes aolongo de dois eixos u e v, então, iniciando na extremidade daforça F, construa linhas paralelas aos eixos, formando, assim, oparalelogramo. Os lados do paralelogramo representam ascomponentes, Fu e Fv.
Procedimento para análise
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Trigonometria
� Redesenhe metade doparalelogramo para a adiçãotriangular ‘extremidade-para-origem’ das componentes.
� Por esse triângulo, aintensidade da força resultanteé determinada pela lei doscossenos, e sua direção, pelalei dos senos. As intensidadesdas duas componentes de forçasão determinadas pela lei dossenos.
Procedimento para análise
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Adição de um sistema de forças coplanares
Quando uma força é decomposta em duas componentes ao longo doseixos x e y, as componentes são chamadas de componentesretangulares.
Estas componentes podem ser representadas utilizando:
� notação escalar.
� notação de vetor cartesiano.
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Notação escalar
Quando as componentes formam umtriângulo retângulo, suas intensidades podemser determinadas por:
No entanto, no lugar de utilizar o ângulo θ, como otriângulo abc e o triângulo maior sombreado sãosemelhantes, o comprimento proporcional doslados fornece:
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Notação vetorial cartesiana
Também é possível representar as componentes x e y de uma forçaem termos de vetores cartesianos unitários i e j.
Como a intensidade de cada componente de F é sempre uma
quantidade positiva, representada pelos escalares (positivos) Fx e
Fy, então, podemos expressar F como um vetor cartesiano.
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Resultante de forças coplanares
Qualquer um dos dois métodos descritos pode ser usado paradeterminar a resultante de várias forças coplanares. Por exemplo:
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Usando a notação vetorial cartesiana, cada força é representada comoum vetor cartesiano, ou seja,
F1 = F1x i + F1y j
F2 = – F2x i + F2y j
F3 = F3x i – F3y j
O vetor resultante é, portanto,FR = F1 + F2 + F3
= F1x i + F1y j – F2x i + F2y j + F3x i – F3y j
= (F1x – F2x + F3x) i + (F1y + F2y – F3y) j
= (FRx) i + (FRy) j
Resultante de forças coplanares
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Se for usada a notação escalar, temos então
(→ + ) FRx = F1x – F2x + F3x
(+ ↑) FRy = F1y + F2y – F3y
As componentes da força resultante de qualquer número de forçascoplanares podem ser representadas simbolicamente pela somaalgébrica das componentes x e y de todas as forças, ou seja,
Resultante de forças coplanares
Uma vez que estas componentes sãodeterminadas, elas podem seresquematizadas ao longo dos eixosx e y com seus sentidos de direçãoapropriados, e a força resultantepode ser determinada pela adiçãovetorial.
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Pelo esquema, a intensidade de FR é determinada pelo teorema dePitágoras, ou seja,
Além disso, o ângulo θ, que especifica a direção da força resultante, édeterminado através da trigonometria:
Resultante de forças coplanares
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Pontos importantes
� A resultante de várias forças coplanares pode ser determinada facilmentese for estabelecido um sistema de coordenadas x e y e as forças foremdecompostas ao longo dos eixos.
� A direção de cada força é especificada pelo ângulo que sua linha de açãoforma com um dos eixos.
� A orientação dos eixos x e y é arbitrária e sua direção positiva pode serespecificada pelos vetores cartesianos unitários i e j.
� As componentes x e y da força resultante são simplesmente a somaalgébrica das componentes de todas as forças coplanares.
� A intensidade da força resultante é determinada pelo teorema dePitágoras e, quando as componentes são esquematizadas nos eixos x e y,a direção é determinada por meio da trigonometria.
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Vetores cartesianos
As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas para resolverproblemas em três dimensões, são enormemente simplificadas se osvetores forem primeiro representados na forma de um vetorcartesiano.
Sistema de coordenadas destro
Dizemos que um sistema de coordenadas retangular é destro desdeque o polegar da mão direita aponte na direção positiva do eixo z,quando os dedos da mão direita estão curvados em relação a esse eixoe direcionados do eixo x positivo para o eixo y positivo.
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Componentes retangulares de um vetor 3D
Com duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo pode-sedecompô-lo em componentes, como:
A = A’ + Az
e depoisA’ = Ax + Ay.
Combinando essas equações, para eliminar A', A é representadopela soma vetorial de suas três componentes retangulares,
A = Ax + Ay + Az
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A = Axi + Ayj + Azk
Separando-se a intensidade e a direção de cada vetor componente,
simplificam-se as operações da álgebra vetorial, particularmente emtrês dimensões.
Componentes retangulares de um vetor 3D
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É sempre possível obter a intensidade do vetor A, desde que ele sejaexpresso sob a forma de um vetor cartesiano.
temos:
Componentes retangulares de um vetor 3D
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Direção de um vetor cartesiano 3D
A direção de A é definida pelos ângulos de direção coordenados α(alfa), β (beta) e γ (gama), medidos entre A e os eixos x, y, z
positivos, desde que sejam concorrentes na origem de A.
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Para determinarmos α, β e γ, vamos considerar as projeções de A
sobre os eixos x, y, z. Os ângulos estão nos planos de projeção.
Direção de um vetor cartesiano 3D
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Um modo fácil de obter os cossenos diretores é criar um vetorunitário uA na direção de A.
Direção de um vetor cartesiano 3D
Se A for expresso sob a forma de umvetor cartesiano, A = Ax i + Ay j + Az k,então para que uA tenha uma intensidadeunitária e seja adimensional, A serádividido pela sua intensidade, ou seja,
vemos que as componentes i, j, k de uA
representam os cossenos diretores de A,ou seja,uA = cos α i + cos β j + cos γ k
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Existe uma relação importante entre os cossenos diretores:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
A pode ser expresso sob a forma de vetor cartesiano como:
A = A uA
A = A cos α i + A cos β j + A cos γ k
A = Ax i + Ay j + Az k
A direção de A também pode ser especificadausando só dois ângulos: θ e ϕ
Direção de um vetor cartesiano 3D
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Pontos importantes
� A análise vetorial cartesiana é usada frequentemente para resolverproblemas em três dimensões.
� A intensidade de um vetor cartesiano é dada por� A direção de um vetor cartesiano é definida pelos ângulos de direção
coordenados α, β, γ que o vetor forma com os eixos x, y, z positivos,respectivamente. As componentes do vetor unitário uA = A/Arepresentam os cossenos diretores α, β, γ. Apenas dois dos ângulos α, β,γ precisam ser especificados. O terceiro ângulo é calculado pela relação:cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
� Algumas vezes, a direção de um vetor é definida usando os dois ângulosθ e ϕ. Nesse caso, as componentes vetoriais são obtidas pordecomposição vetorial usando trigonometria.
� Para determinar a resultante de um sistema de forças concorrentes (quese interceptam em um ponto), expresse cada força como um vetorcartesiano e adicione as componentes i, j, k de todas as forças dosistema.
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Vetor posição
� Coordenadas x, y, z
As coordenadas do ponto A são obtidas a partir de O, medindo-se xA
= +4 m ao longo do eixo x, depois yA = +2 m ao longo do eixo y e,finalmente, zA = –6 m ao longo do eixo z. Portanto, A (4 m, 2 m, –6m). De modo semelhante, as medidas ao longo dos eixos x, y, z desdeO até B resultam nas coordenadas de B, ou seja, B (6 m, –1 m, 4 m).
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Vetor posição
Se r estende-se da origem de coordenadas O até o ponto P (x, y, z),
então r pode ser expresso na forma de um vetor cartesiano como:
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Observe como a adição vetorial das três componentes produz o vetorr.
Vetor posição
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Na maioria dos casos, o vetor posição podem ser direcionado de umponto A para um ponto B no espaço. Também podemos obter essascomponentes diretamente.
Vetor posição
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Produto escalar
O produto escalar dos vetores A e B, escrito A · B e lido ‘A escalarB’, é definido como o produto das intensidades de A e B e docosseno do ângulo θ entre eles. Expresso na forma de equação,
A · B = AB cos θ
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Propriedades do produto escalar
1. Lei comutativa:
A · B = B · A
2. Multiplicação por escalar:
a (A · B) = (aA) · B = A · (aB)
3. Lei distributiva:
A · (B + D) = (A · B) + (A · D)
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Formulação cartesiana do produto escalar
Se quisermos determinar o produto escalar de dois vetores A e Bexpressos na forma de um vetor cartesiano, teremos:
A · B = (Axi + Ayj + Azk) · (Bxi + Byj + Bzk)= AxBx(i · i) + AxBy(i · j) + AxBz(i · k)+ AyBx(j · i) + AyBy(j · j) + AyBz(j · k)
+ AzBx(k · i) + AzBy(k · j) + AzBz(k · k)
Efetuando as operações do produto escalar, obtemos o resultado final:
A · B = AxBx + AyBy + AzBz
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Aplicações
O produto escalar tem duas aplicações importantes na mecânica.
� O ângulo formado entre dois vetores ou linhas que se interceptam.
� As componentes de um vetor paralelo e perpendicular a uma linha.
Aa = A cos θ = A · ua
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Pontos importantes
� O produto escalar é usado para determinar o ângulo entre doisvetores ou a projeção de um vetor em uma direção especificada.
� Se os vetores A e B são expressos na forma de vetores cartesianos,o produto escalar será determinado multiplicando-se as respectivascomponentes escalares x, y, z e adicionando-se algebricamente osresultados, ou seja, A · B = AxBx + AyBy + AzBz.
� Da definição do produto escalar, o ângulo formado entre as origensdos vetores A e B é θ = cos–1 (A·B/AB).
� A intensidade da projeção do vetor A ao longo de uma linha, cujadireção é especificada pelo vetor unitário ua, é determinada peloproduto escalar Aa = A · ua.
Exemplos e exercícios
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Exemplo 1Considerando que θ = 600 e que T = 5 kN determine a
magnitude da força resultante e sua direção
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Exemplo 1
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Exemplo 2Decomponha as forças F1 e F2 nas direções u e
v. determine os valores destas componentes.
Para F1 teremos:
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Exemplo 2Para F2:
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resolver1. Três cabos puxam uma tubulação de forma a criar uma
força resultante de 1800 N. Se dois cabos estão submetidos a
forças conhecidas, como indicado na figura, determine o
ângulo θ do terceiro cabo de forma que a magnitude da força
F seja mínima. Todas as forças se encontram no plano x-y.
Qual é o valor da F mínima?
2. Se a magnitude da força resultante no suporte da figura é
de 600 N e sua direção medida a partir do eixo positivo x na
direção horária é 30o, qual a magnitude da F1 e qual é sua
direção φ?
3. Determine a magnitude e a direção (os ângulos
coordenados ou diretores) da força resultante no suporte da
figura.
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resolver4. Se a força resultante atuando no suporte é FR = {-300 i +
650 j + 250 k} determine a magnitude e os ângulos diretores
de F
5. O candelabro é suportado por três braços com correntes
congruentes no ponto O. se a força resultante em O e de 650
N direcionada segundo o eixo negativo z, determine a força
em cada um dos três braços.
6. Uma torre é mantida no seu lugar por três
cabos. Se a força que atua em cada cabo é
indicada, determine os ângulos diretores α, β,
γ da força resultante. Considere x = 20 m e y =
15 m
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resolver7. Determine a magnitude da componente da força FAB atuando na direção do eixo z.
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