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AppuntionlinedelCorsodiOndeeOscillazioni
Docente:CarloPaganihttp://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani/
Annoaccademico20112012
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RedazionediDanieleSertoredegliappuntideldocenteperilcorsotenutopressolaFacoltdiScienzeMatematiche,FisicheeNaturalidell'UniversitdegliStudidiMilanonell'annoaccademico20092010.
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PrefazioneOscillationandWavesuncorsodiffuso intutto ilmondodamoltidecennie introdottosolorecentementeinItalia.
Ilcorso trattadueargomenti trasversali,oscillazionieonde,che interessanomoltissimicampi della fisica.Una trattazione indipendente genera, attraverso lamatematica che lidescrive, importanti legami tracampimoltodiversidella fisica.Lepropriet fondamentalidelleoscillazioniedelleonderisultanovalideperfenomeniegrandezzefisichemoltodiversieincampidisparati.
Le oscillazioni e le onde sono quindi due modi essenziali attraverso i quali noiinterpretiamoediamoformaallarealtdicuifacciamoparte.
Questi appunti non sono sostitutivi di un testo di Fisica di riferimento quali quelliconsigliatinelseguito.Essisoniosoprattuttounaraccoltadiformuleedidimostrazionichehanno ilduplice scopodi facilitaregli studentinella sistemazionedeipropriappuntiediintegrareitesticercandodidareunaformulazioneomogeneaecoerente.
OscillazioniSono fenomeni fisici in cui un sistema fisico, o anche una grandezza fisica (scalare ovettoriale)oscillainfunzionedeltemponell'intornodiunpunto(ovalore)nelquale(operilquale)l'energiapotenzialepresentaunminimo.
Onde Sonoperturbazioni,materialiodi campo, che sipropagano trasportandoenergia adunacertavelocit.
Le onde sono tutte descritte da funzioni dello spazio e del tempo, con un particolarelegametradi lorochefasiche laperturbazionesipropaghi,trasportandoenergia,adunavelocitbendefinita.
Ondemateriali(acustiche)necessitanodiunmezzomaterialeelasticoperpropagare.Leondesonoresonounasottospeciedelleondeacustiche
Ondeelettromagnetichenonnecessitanodialcunmezzoperpropagarsi.Cioccuperemoprincipalmentedelleondeluminoseconl'Otticageometricaeondulatoria,conaccennialladuplicenatura:ondulatoriaecorpuscolare.
Testiconsigliati Resnick,Halliday,Krane:Fisica1eFisica2,5edizione,CasaEd.Ambrosiana
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Mazzoldi,Nigro,Voci:Fisica,vol.1evol.2,2edizione,EdiSES Codestiappunti,neilimitisopraindicatiMazzoldi,Nigro,Voci:ElementidiFisicaOnde,EdiSES
Altritestidisupporto Focardi,Mazza,Uguzzoni:FisicaGeneraleOnde,CEA AlessandroBettini:Leondeelaluce,decibel,Zanichelli
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1 Oscillazioni Sonofenomenifisici incuiunsistemafisico,oanchesemplicementeuna(opi)grandezzafisica (scalare o vettoriale) oscilla in funzione del tempo. Oscillare significa muoversialternativamente nell'intorno di un punto, ovvero, nel caso di una grandezza fisica,nell'intornodiuncertovalore.Comenelcasodelpensieroumano.
Esempi:ilpendolo,ilbilancierediorologio,unapallinainunaconca,unpesocollegatoadunamolla, gli atomi in un reticolo cristallino nell'intorno della posizione di equilibrio, lamembrana di un tamburo, la corda di uno strumentomusicale a corda, la corrente e latensioneinognicomponentediuncircuitoRLC.
NelcampodellaFisica, leoscillazionisonoperiodichealmenonell'intervalloditempo incuisonopreseinconsiderazione.Senonc'attenuazione,cioconsumodienergia,valelarelazione )(=)( tfnTtf con n interoeT =periodofondamentale,cio ilvaloreminimodiT per cuivale la relazione.Se c'attenuazione ilperiodoancora identificabilema larelazioneprecedentenonpiesatta.
Sela )(tf esprimibileconunafunzionesenoocoseno,l'oscillazionesidice``armonica''
1.1 OscillazioniMeccaniche:motiperiodiciearmonici L'espressionegeneralediunmotoperiodicoin3D
)(=)( trnTtr
Poich kzjyixr
=
deveancheessere
)(=)()(=)()(=)(
tznTtztynTtytxnTtx
tutteconlostessoperiodoT
eanche )(=)( tsnTts
dove s lacoordinatacurvilineachedescrivelatraiettoria.Unmotoperiodicoqualunquein3Dpuesseremoltocomplicatodadescrivere,manonlonellamaggiorpartedeicasiincuiriconducibileadunmotoarmonicooaunacombinazionelinearedimotiarmonici.
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1.2 Motoarmonicosemplice:monodimensionalesenzasmorzamento
Ilmotodiunatomo(molecola)vibrantiinunsolido(reticolo)puesserevistocomelasovrapposizionedi3oscillazioniarmonichesemplici,lungoi3assicartesianix, y, z,ciascunadellequalirappresentatadaunafunzionetrigonometricasenoocoseno.
Ilmotocircolareuniformelasovrapposizionediduemotiarmonicisemplicisudueassiortogonalitradiloro.
Preso un atomo allinerno di un reticolo e fissato un sistema cartesiano di assi conoriginenelpuntodiequilibriodellatomo(Figura1.1), lanergiapotenzialeUsarfunzionedelletrecoordinateeavrunminimonelloriginedegliassi(condizionediequilibrio).Sihaquindi:
),,(= zyxUU eanche 0||=| 0=0=0=
zyx zU
yU
xU
Laforza Fdirichiamoacuisoggettolatomodata,amenodelsegno,dalgradiente
dellenergiapotenziale,ciovalelequazione
UF
= 1con 0=| 0=xF
.
Figura1.1Atomiinunreticolocubicoeschematizzazionedelleforzeelastichedirichiamoacuisoggettounatomonellintornodellasuaposizionediequilibrio.
Facendo riferimento alla Figura 1.1 si noti che, per piccoli spostamenti e conunopportuna sceltadegliassi, i tremoti in x, y e zpossono considerarsidisaccoppiatiedessere quindi trattati separatamente. Limitandoci quindi alla trattazione delmoto lungo
1 kzUj
yUi
xUUdigradientezyxU
),,( unoperatoredifferenzialechetrasforma
unoscalareinunvettore.Nelcasounidimensionalesihasemplicemente: idx
xdUixxUxU
)()()(
z
y
x
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lasse orizzontale x, possiamo scrivere il potenziale sviluppandolo in serie di Taylor eottenendoquindi:
........=)( 332
204
43
32
210 xaxaaxaxaxaxaaxUU 2
Nell'intornodellaposizionediequilibrio,indipendentementedallasseprescelto,l'energiapotenziale di ogni atomo nel reticolo deve essereminima, ovvero stazionaria, ovvero larisultantedelleforzeagentisull'atomodeveesserenulla.
Seilmovimentopiccolonell'intornodellaposizionediequilibriosipossonotrascurareiterminidiordinesuperiore.Sihaquindi
220)( xaaxU e ixkixaUF
=2= 2
avendoposto 22= ak ,conk =costanteelasticaequivalentedellemolleche tengono inequilibriolatomolungolassex.
CombinandooralasecondaleggediNewton, amF ,conlaforzadirichiamoottenuta
soprasiottienelequazionedelmoto kxxm =
ixkixmidt
xdmamF
22
ovvero 0 kxxm
lacuisoluzione,detta leggedelmoto,: )(cos=)( 0 txtx m .Poich ilmotoespressoattraversounafunzionecosenoeseno,sitrattadiunmotoarmonico.
La grandezza [s1] detta frequenza angolare o pulsazione. Notiamo infine che,poich il potenziale )(xU definito a meno di una costante, relativamente al motodellatomonellintornodelpuntodiequilibrio,possiamoporre 00)0( 0 aU
Le approssimazioni fatte, troncando lo sviluppo di Taylor al termine di secondordine,sonopresentateinFigura2.1,doveigraficidellegrandezzerealisonocomparaticonquelliottenuticonlapprossimazionealsecondordinedellaseriediTaylor.3
2a1 x = 0inquantoilterminediprimogradodeveesserenullopoichlaU(x)haunminimoinx = 0.3Tutteleequazionisonoscrittenellipotesicheilsistemadiriferimentosiapresoinmodochelaposizionex= 0coincidaconquellaincuilenergiapotenzialeminima.Seinvecequestacondizionediminimosiverificain
00 xx , valgono le stesse relazioni ma bisogna sostituire x con 0' xxx (cambio di coordinate).Lipotesichesia 0)0( U verrutililizzatasempreamenochesiaesplicitamentedettaunacosadiversa.
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Figura2.1Energiapotenziale(b)eforza(a)cheproduconoilmotoarmonicodiunatomolegato in una molecola biatomica. Il caso di un atomo nel reticolo di Figura 1.1 chiaramentepiusimmetrico.Le figureasinistra rappresentano legrandezze reali,mentrequelleadestraleloroapprossimazioniavendoutilizzatolosviluppodiTaylortroncato.
1.3 MotoCircolareUniforme
Descriviamoilmotocircolareuniformenelpianox,yecentratonell'origine(Figura3.1).
Ilvettorechedescriveilmotocircolarenelpiano
costante|=|)(=)( rttrnTtr
mentre,essendouniforme,lasuafaseesprimibiledallarelazione
tt 00=)(
chelequazionediunarettaint.
Poich jtyitxtr )()(=)( ,possiamodescrivereilmotocircolareuniformeattraverso
lecomponentidi )(tr ,possiamocioproiettareilmotosugliassixeyottenendodueleggiorarie
)(sin=)()(cos=)(
00
00
trtytrtx
chesonolesoluzionidelledueseguentileggi(differenziali)delmoto:
)(==)(
)(==)(
202
2
202
2
tydt
ydty
txdt
xdtx
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Figura3.1MotoCircolareUniforme
Ricordandochenelnostrosistemadiriferimento jtyitxtr )()(=)( ,nederivachele
dueequazionidelmotoinxey,possonoesserescrittecomeununicaequazionevettoriale
rdt
rd 202
2
=
Le leggiorarie )(tx e )(ty ,proiezionidelmotocircolareuniforme,sonoequazionidiunmoto armonico. Un moto armonico, essendo descritto con seni e coseni, sempreperiodico.
)(sin=)()(cos=)(
00
00
trtytrtx
)(=)()(=)(tynTtytxnTtx
t
Perdeterminarelerelazionitralegrandezzechecompaiononeiduegruppidiequazionibastapensarechelavariabile t nell'argomentodellefunzioniarmonichesenoecoseno,echequestesiripetonoogni 2 .Posto 00 t ,laperiodicitespressadallerelazioni
))(2(sin=sin))(2(cos=cos nn
cio,tornandoallargomentooriginale
])2(sin[)(sin])2(cos[)(cos
0000
0000
nttntt
T
nTnTntnt 22)()2( 000000
Insintesi,lerelazionitratuttelegrandezzeprincipalidelmotoarmonicosonoleseguenti
TTT
22
2=1=2= 00
0
T = periodo delloscillazione, espresso in secondi, T [s], e rappresenta il tempoimpiegatopereffettuareunoscillazionecompleta
10
=frequenzadelloscillazione,[s1],ilnumerod
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