Approche multi-pas multi-échelle
Lyudmyla YUSHCHENKO
&Frédéric GOLAY
Institut de Mathématique de Toulon
Porquerolles, le 26.05.2011
ANR CARPEiNTER
Plan
1. Modèle physique
2. Raffinement du maillage
3. Intégration temporelle multi-pas
4. Conclusion et perspectives
2/19Porquerolles, le 26.05.2011
1. Modèle physique
la vitesse
la densité
la pression
l’énergie
1p
,
,
u x t
x t
2
2
uE
énergie spécifique interne
rapport des capacités thermiques à pression constante et à volume constant
(1)
0u
t x
2
0u pu
t x
0
E p uE
t x
Modèle Euler compressible 1D
3/19Porquerolles, le 26.05.2011
2. Raffinement du maillage: modèle Euler compressible Volumes finis 1D
,, , 0
T x t fu E
t x
1
1 , , ,n
n
t
g d gnt
n dt t C t n d t
,0
C C
x t f
t x
,0
C C
x tF n
t
En utilisant les variables conservatives on réécrit (1) sous la forme: , ,u E
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0
sL
t x
On associe à une entropie satisfaisant l’inégalité de Lax:
s
où est l’entropie du fluide satisfaisant 'T T s f
0L 0L • pour toute solution régulière• à travers une discontinuité ou une détente
• à travers un choc
lnp
s
us Nous utiliserons et
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2. Raffinement du maillage: critère entropique du raffinement
Critère de raffinement de maillage: Croisille1990, Puppo 2002, Golay 2005
0
sL
t x
11/ 2 1/ 2
n nn nk kn k k
kn k
s sS
t h
Densité de la production numérique de l’entropie
Production total de l’entropie
nk n k n kS S t h
Test :
→ si - raffinement
→ si - déraffinement
max 75%maxn nk kS S S
min 10%maxn nk kS S S
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2. Raffinement du maillage: critère entropique du raffinement
2, p 2, u 0 1, p 1, u 0
Erreur L2 sur
A t=0.2
production d’entropie
totale
N=10 1.01 10-1 1.21 10-3
N=50 5.25 10-2 9.16 10-5
N=100 4.00 10-2 3.09 10-5
N=500 2.20 10-2 2.69 10-6
N=1000 1.07 10-2 9.89 10-7
Erreur sur la densité & Production d'entropiesur le dernier pas de temps
-0,1-0,1
00
0,10,1
-0,5-0,5 -0,25-0,25 00 0,250,25 0,50,50,E+000,E+00
1,E-061,E-06
2,E-062,E-06
3,E-063,E-06
n=50n=50n=100n=100n=1000n=1000
DensitéDensité
11
1,251,25
1,51,5
1,751,75
22
-0,5-0,5 -0,25-0,25 00 0,250,25 0,50,5
analytiqueanalytique
n=10n=10n=100n=100
n=1000n=1000
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2. Raffinement du maillage: critère entropique du raffinement
0 1
0100
00 011010 1
1
Macro-cellule Niveau 0
Niveau 1
Niveau 2
Niveau 3
Principe de raffinement 1D
0 2 3
10 11 13
120 121 122 123
0
2 3
10 11
13120 121
122 123
Principe de raffinement 2D
8/19Porquerolles, le 26.05.2011
2. Raffinement du maillage: géométrie
Erreur L2 sur
A t=0.2
production d’entropie
totale
N=10 1.01 10-1 1.21 10-3
N=50 5.25 10-2 9.16 10-5
N=100 4.00 10-2 3.09 10-5
Raf(10→64:59) 4.07 10-2 4.09 10-4
Raf(50→104:84) 2.33 10-2 2.16 10-5
Raf2(50) 5.00 10-2 -
9/19Porquerolles, le 26.05.2011
2. Raffinement du maillage: critère entropique du raffinement & géométrie
1
1 , , ,n
n
t
g d gnt
n dt t C t n d t
Les méthodes numériques multi-pas
- moins stables- la n-ème solution tient compte des solutions précédentes ( )- très adaptées à l’application du raffinement du maillage
,n i n
Adams-Bashforth (à suivre…)
1 ,n n n n nt t t F t t
Les méthodes numériques à un pas
- simples- ne nécessitent pas un stockage des variables calculées avant - peu adaptées à l’application du raffinement du maillage
Euler progressive
1 12 2
1 ,n n nn n
t t t F t t
3. Intégration temporelle multi-pas: schémas temporels
10/19Porquerolles, le 26.05.2011
1
1 ,n
n
t
n nt
t t F t dt
1
0, ,
s
n k n kkk
F t FL t tt
1 1
10
1,
n
n
t
k n
s
n n n k n n k kkn
nkt
b t L t dt t t t b F t tt
t
avec
1
0,, 0, ..., 1
s n jk
j j k n k n j
t tL t k s
t t
où s est l’ordre de la méthode
11 : ,n n n n
Exemples avec t const
AB t t t F t t
1 1 13 1
2 : , ,2 2n n n n n nAB t t t F t t F t t
Coût: stockage des flux aux faces (et des sources aux cellules)Gain: une seule évaluation des flux par pas de temps
11/19Porquerolles, le 26.05.2011
3. Intégration temporelle multi-pas: schémas Adams-Bashforth
Une cellule K est de niveau n si: n n 1
min K min2 h h 2 h
niveau maximal (la plus petite cellule): max2
min
hN log
h
niveau d’une face: niv(L / R) Max(niv(L),niv(R))
NPour i=1,...,2jSoit j le plus grand entier / 2 divise i
Pour toutes les faces / niv nmc N j niv N-nivL / RCalculer F sur l'intervalle de temps 2 dt
Distribuer sur les cellules voisines
Mettre à jour toutes les cellules / niv N j
Exemple à 3 niveaux :
i 01, j 2( )Calcul de F (0)(2)Calcul de w (dt)
i 12, j ( ) ( )2 1Calcul de F ( ), Fdt (0)( )2 )1(Calcul de w (2 ), w (dt 2dt)
i 03, j (2)Calcul de F (2dt)(2)Calcul de w (3dt)
i 24, j ( ) ( )2 (0)1Calcul de F ( ), F ( ),3d 2 Ft dt (0)(2 1) ( ) ( )0Calcul de w ( ),4dt 4w ( ), w (dt 4dt)
Hélène Mathis & Philippe Helluy : intégration multi-pas en MHD (2008)
0niv 1 22
( )2F (0)( )2F (0)( )2w (dt)( )2w (dt)
( )2F (dt)( )2F (dt)( )1F (0)( )2w (2dt)( )2w (2dt)( )1w (2dt)
( )2F (2dt)( )2F (2dt)( )2w (3dt)( )2w (3dt)
( )2F (3dt)( )2F (3dt)( )1F (2dt) ( )0F (0)( )2w (4dt)( )2w (4dt)( )1w (4dt) ( )0w (4dt)
0t
4t dt12/19Porquerolles, le 26.05.2011
3. Intégration temporelle multi-pas: algorithme
13/19Porquerolles, le 26.05.2011
2 -2 4 .361 1 0l 2 -2 4 .589 10l
3. Intégration temporelle multi-pas: dx&dt constants –> dx&dt dynamiques
14/19Porquerolles, le 26.05.2011
3. Intégration temporelle multi-pas: nmax=30->64
15/19Porquerolles, le 26.05.2011
2 -2 3 .056 10l 2 -2 2 .170 10l
3. Intégration temporelle multi-pas: dx&dt constants –> dx&dt dynamiques
16/19Porquerolles, le 26.05.2011
3. Intégration temporelle multi-pas: nmax=150->217
Si y 0.35;0.65 alors x y 0.02
Sinon x y 0.04
Gain 8/3Gain 8/32008-.. : Thèse Alioune Nar Sambe « Développement d'un modèle 3D de simulation d'impact de vagues en zones côtières et offshore », Direction F. Golay, Co-direction R. Marcer (Principia), P. Fraunie (LSEET)
17/19Porquerolles, le 26.05.2011
3. Intégration temporelle multi-pas: modèle 3D sans raffinement automatique
Animation C. Nguyen, Povray/CM2
Calcul A.N. Sambe, 1 jour cpu
Expérience Kleefsman et al. 2005
3. Intégration temporelle multi-pas: Calcul 3D DamBreak
18/19
3. Conclusion et perspectives
Stéphane Popinet, code Gerris (2010)
19/19Porquerolles, le 26.05.2011
→ Raffinement automatique 2D et 3D
→ Intégration dans le code
→ Stabilité des schémas numériques avec le raffinement automatique
→ Proportionnalité de cellules raffinées et déraffinées en fonction de nombre initial de macro-cellules
→ ...
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