Puntos críticos
Un punto crítico de una función f es un número c en su dominio tal que:
existe no )(o0)( cfcf ′=′
Definición
Teorema
Si f tiene un extremo local en c entonces c es un punto crítico de f.
2
Ejemplo
y
xa c1 c2 c3c4c2 c5 c6 c7
puntos críticos
3
Ejemplo
puntos de extremo
y
xa c1 c2 c3c4c2 c5 c6 c7
4
Ejemplo
)4()( 5/3 xxxf −=
Encuentre los puntos críticos de la función:
5
Extremos absolutos
Para hallar los extremos absolutos de una función f continua en [a, b]:
1 Halle los valores de f en los puntos críticos de f en <a, b>.
2 Halle f(a) y f(b).
3 El mayor de los valores obtenidos en 1 y 2 es el máximo absoluto de f en [a, b]. El más pequeño es el mínimo absoluto.
Método del intervalo cerrado
6
Ejemplo
4,13)( 2123 ≤≤−+−= xxxxf
Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de la función:
7
Valor máximo absoluto: 17
Se alcanza en x=4
Valor mínimo absoluto: -3Se alcanza en x=2
Ejemplo
Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de la función:
π20,xsen2)( ≤≤−= xxxf
8
( )
( ) ( )
0
0
2
02
:
0
0
f D R R
x D
dfx
dx
d f dfx x
dx dx
⊂ →∈
=
< + −
Una función tiene un
máximo relativo en si
i)
ii) ó va de a
( )
( ) ( )
0
0
2
02
:
0
0
f D R R
x D
dfx
dx
d f dfx x
dx dx
⊂ →∈
=
> − +
Una función tiene un
mínimo relativo en si
i)
ii) ó va de a
( )
( ) ( )
0
0
2
02
:
0
0
f D R R
x D
dfx
dx
d f dfx x
dx dx
⊂ →∈
=
=
Una función tiene un
punto de inflexión en si
i)
ii) ó no cambia de signo
( ) 6 5 4 3 21 2 51 128130 336 5
6 5 4 3p x x x x x x x= − − + + − +
Encontrar los puntos críticos, en la recta real,
del siguiente polinomio
( ) 6 5 4 3 21 2 51 128130 336 5
6 5 4 3p x x x x x x x= − − + + − +
( )
( )
6 5 4 3 2
5 4 3 2
1 2 51 128130 336 5
6 5 4 3
2 51 128 260 336
p x x x x x x x
dp xx x x x x
dx
= − − + + − +
= − − + + −
Encontrar los puntos críticos, en la recta real,
del siguiente polinomio
Sacamos la derivada
( ) 5 4 3 22 51 128 260 336dp x
x x x x xdx
= − − + + −
( )
( )
6 5 4 3 2
5 4 3 2
1 2 51 128130 336 5
6 5 4 3
2 51 128 260 336
p x x x x x x x
dp xx x x x x
dx
= − − + + − +
= − − + + −
Encontrar los puntos críticos, en la recta real,
del siguiente polinomio
Sacamos la derivada
Los puntos críticos son aquellos donde l
5 4 3 22 51 128 260 336 0x x x x x− − + + − =
a derivada
se anula
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 22 51 128 260 336 0
7 2 1 4 6 0
x x x x x
x x x x x
− − + + − =+ + − − − =
Los puntos críticos son
-7, -2, 1, 4, 6
( )2
4 3 22
5 8 153 256 260d p
x x x x xdx
= − − + +
Los puntos críticos son
-7, -2, 1, 4, 6
Hay que evaluar la segunda derivada
para saber que tipo de puntos críticos
son:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
24 3 2
2
2
2
2
2
25 8 153 256 260
7 5720
2 720
1 360
4 396
6 1040
d px x x
d px
dx
d px
dx
d px
dx
d px
dx
d px
d
x xdx
x
= − =
=
= − = −
= =
= = −
− +
= =
− +
Mí
Los puntos críticos so
nimo
Máximo
Mínimo
Máxim
n
-7, -2, 1,
o
Mí
4, 6
nimo
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