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UPMC LicencedeScienceetTechnologies
MentionIngnierieElectronique
UELE31020112012
EcritRparti1du14/10/11(2h)
SansdocumentSanscalculatrice
Lebarmeetladuresontindiqustitreindicatif
Exercice1:(5,5pts30min)
Calculerleproduitdeconvolution avec:
et
avec
Exercice2:(9pts59min)
Soitlafonction, , priodiquedepriode ,telleque:
onsupposeque avec et .
a. Tracerlegraphedelafonction .
b. EndduirelecomportementasymptotiquedescoefficientsdeFourier.
c. CalculertouslescoefficientsdelasriedeFourierexponentiellede .
Vousdevezobtenir:
avec pour .
d. Endduiretousles coefficientsdela sriedeFourierexponentiellede avec
e. EndduiretouslescoefficientsdelasriedeFouriertrigonomtriquede .
Vousdevezobtenir:
etpour et
f. EndduiretouslescoefficientsdelasriedeFouriertrigonomtriquede avec
g. VersquellevaleurlasriedeFouriertrigonomtriquede convergetelleauxinstants et ?Commentervosrsultats.
Lasuiteestauverso
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Exercice3:(3pts10min)
a. AlaidedespropritsdelatransformedeFourier,calculerlatransformedeFourierdelafonction
suivante:
avec
b. EndduirelatransformedeFourierduproduitdeconvolution not .
c. De lexpression de en dduire la reprsentation graphique de et son expressionmathmatique.
Exercice4:(1,5pt10min)
Tracerlesreprsentationsdesdistributionssuivantes:
a.
b. c.
d.
Exercice5:(1,5pts10min)
Soit une fonction test quelconque dans . Parmiles applications suivantes, quelles sont celles qui
dfinissentunedistribution?
a. b.
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MentionIngnierieElectronique
UELE31020112012
EcritRparti2du18/11/11(2h)
SansdocumentSanscalculatrice
Lebarmeetladuresontindiqustitreindicatif
Exercice1:(3pts15min)
Soitlafonctionsuivante:
a. Reprsentergraphiquement
pour
.
b. Reprsentergraphiquement pour .c. Reprsentergraphiquement pour .
Exercice2:(9pts40min)
Soitlafonction, ,priodiquedepriode ,telleque:
onsupposeque avec et .a. Tracerlegraphedeladistribution .b. Tracerlegraphedesadrivepremire etexprimer ausensdesdistributions.
c. Tracerlegraphedesadriveseconde etexprimer ausensdesdistributions.Vousdevezobtenir:
d. DonnerlexpressiondudveloppementensriedeFourierexponentielledesdistributions et
.
e. EndduirelexpressiondudveloppementensriedeFourierexponentiellede partirdeceluidespeignesdeDirac.
f. On note , les coefficients dudveloppementen srie de Fourier de . Donner lexpression dudveloppementensriedeFourierexponentiellede partirdeceluide .
g. Ecrirelgalitdesdveloppementsprcdents,puisendduirelexpressiondetouslescoefficientsde
lasriedeFourierexponentielle, pour ,de .Vousdevezobtenir:
avec
pour
.
h. Calculer .
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Exercice3:(5pt30min)
Remarque:danscetexerciceonnesoccuperapasdedfinirledomainedexistencedestransformesde
Laplace.
a. RappelerlexpressiondelatransformedeLaplace,not
,delafonction
o
estlchelondeHeaviside.
b. Donnerlexpressiondelafonction ,reprsenteenfigure1,enfonctionde puisendduiresatransformedeLaplace,not .
c. Donnerlexpressiondelafonction ,reprsenteenfigure2,enfonctionde et puisendduiresatransformedeLaplace,not .
d. Retrouver delafonction partirdeladfinitiondelatransformedeLaplace.Vousdevezobtenir:
e. EndduirelatransformedeLaplace,not ,delafonction .
Fig.1:Reprsentationde . Fig.2:Reprsentationde .Exercice4:(5pts30min)
Soitlefiltre(Fig.1)dfiniparlquationdiffrentiellesuivante: o et .UtiliserlatransformedeLaplacepourrsoudrecettequationdanslecasolasortieestdansltatinitial et seradduitde :
a. Onappliquelentrelesignal o estlchelondeHeaviside.
b. Onappliquelentrelesignal
reprsentenfigure2.
Fig.1:Reprsentationdufiltre. Fig.2:Reprsentationde .
tT0
1
0
0
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Autre mthode (MD) :
b. h2(t) = t . { u(t) - u(t-T) } + ( 2 .T - t ) . u(t-T) = t . u(t) - 2 . ( t - T ) . u(t-T) = h1(t) - 2 . h1(t-T)
c. h3(t) = t . { u(t) - u(t-T) } + ( 2 .T - t ) . { u(t-T) - u(t-2T) }
= t . u(t) - 2 . ( t - T ) . u(t-T) + ( t - 2 . T ) . u(t-2T)
= h2(t) + h1(t-2T)
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SansdocumentSanscalculatrice
Lebarmeetladuresontindiqustitreindicatif
Exercice1:(2pts5min)
Dterminerlespointsparticuliers(zroetple)enprcisantleurordredelafonctioncomplexedela
variablecomplexesuivante:
Exercice2:(3pts10min)
Soit
a. Montrerque estharmonique.b. Dterminer pourque soitunefonctionholomorphe.c. Endduireque o avec .
Exercice3:(3pts15min)
Montrerquelafonction
o reprsenteleconjugudunombrecomplexe ,nestpas
drivable.
a. Apartirdeladfinitiondeladrive.
b. ApartirdesconditionsdeCauchy.
Exercice4:(2pts5min)
Soitlafonctioncomplexedelavariablecomplexesuivante:
DvelopperensriedeLaurentetdfinirlesdomainesdevaliditsde autourde .Exercice5:(3,5pts20min)
Soitlafonctioncomplexedelavariablecomplexesuivante:
a. Dterminerlespointsdebranchementsde .b. Quellecoupureproposezvous?
c. Onfixeladtermination
,calculer
.Ontravailleaveclaconventionotous
lesanglessontdfinisdanslesenstrigonomtrique.
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Exercice6:(2,5pts15min)
Calculerlintgralesuivante:
Oestlecontourorientpositivement(danslesenstrigonomtrique),dfinipar:a. .
b. .
c. .
Exercice7:(3pts25min)
Calculerlintgrale,cidessous,eneffectuantlechangementdevariable
.
Exercice8:(4pts25min)
Onveutcalculerlintgralesuivante:
Pourcela,onconsidrelecontour orientpositivementdelafigure1avecRtrsgrandet larcdudemicerclederayonetdecentreloriginedurepre.
a. Calculer .
b. Montrerque .
c. Endduirelavaleurde puisde .
Fig.1:Reprsentationducontour.
x
y
0 RR
iR
R
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i
i
i
i
i
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