1
ANALISIS STABILITAS LOKAL DAN KONTROL OPTIMAL PADA TERAPI OBAT
DALAM PENGOBATAN KANKER
Oleh :
Nur Aina Maziun
1206 100 010
Dosen Pembimbing :
Drs. Kamiran, M.Si.
Drs. M. Setijo Winarko, M.Si.
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya
2010
ABSTRAK
Kontrol optimal konsentrasi obat dalam jaringan darah pada terapi kanker merupakan
salah satu aplikasi dari kontrol optimal. Metode kontrol optimal ini diterapkan untuk
mengendalikan sel – sel kanker dengan penggunaan terapi obat (kemoterapi) seminimal mungkin.
Teknik kemoterapi, sebagai salah satu cara penanganan penyakit kanker, selain membunuh sel-sel
kanker juga dapat mengakibatkan rusaknya sel-sel normal. Hal ini disebabkan sel normal juga
akan menyerap obat senyawa kimia yang digunakan untuk kemoterapi. Oleh karena itu, Pada
Tugas Akhir ini, dibahas analisis stabilitas lokal dan kontrol optimal pada terapi obat dalam
pengobatan kanker tersebut pada sistem taklinear dengan menggunakan bang – bang control dan
singular control untuk masalah pertumbuhan sel - sel kanker .
Kata Kunci: Kontrol Optimal, Kanker, Stabilitas lokal, Bang – bang dan Singular Control
1. Pendahuluan
Kanker adalah salah satu dari penyakit
berbahaya yang menyebabkan banyak kematian
setiap tahun. Kanker dalam tubuh berarti
hilangnya kontrol selular dalam tubuh, sehingga
pertumbuhan sel yang tidak baik menjadi tidak
terkontrol. Sel-sel kanker ini akan menyerang
jaringan lokal, berpindah ketempat lain dan
berkembang biak. Kanker sendiri bermula dari
sel yang bermutasi dan berubah. Sel abnormal
(tumor) ini mempertahankan mutasinya melalui
proses reproduksi sel meskipun terdapat usaha
dari sistem pertahanan tubuh yang berusaha
mengeleminasi sel-sel abnormal. Sel-sel yang
bermutasi ini (berasal dari DNA yang abnormal)
kemudian bergerak ke sekujur tubuh dan
berdiam di satu atau lebih organ tubuh.
Untuk menangani hal tersebut sudah
dikembangkan teknologi medis baru oleh para
ilmuwan seperti terapi gen dan imunoterapi, tetapi
teknik tersebut masih dalam masa perkembangan
dan banyak negara yang belum menggunakannya.
Oleh karena itu, teknik pengobatan tradisional
seperti kemoterapi, masih diterapkan.
Kemoterapi adalah penggunaan obat-obatan
sitotoksik dalam terapi kanker. Kemoterapi bersifat
sistemik .
Kemoterapi harus dilakukan dengan hati-hati
karena kemoterapi tidak hanya membunuh sel-sel
kanker, tetapi juga membunuh sebagian dari
jaringan-jaringan yang normal atau mengakibatkan
kerusakan yang serius pada jaringan yang normal.
Karena itu, pemberian dosis dari pengobatan
(kemoterapi) yang dilakukan harus optimal agar
2
kerusakan jaringan sehat minimal sedangkan sel
kanker yang terbunuh maksimal [6].
Dalam tugas akhir ini dibahas analisis
stabilitas lokal dan kontrol optimal pada terapi
obat dalam pengobatan kanker dengan
menggunakan bang – bang control dan singular
control untuk masalah pertumbuhan kanker.
2. Metode Penelitian
Metode yang digunakan pada tugas akhir
dalam menyelesaikan permasalahan adalah :
1. Studi pendahuluan
2. Analisis kestabilan lokal
3. Penyelesaian optimal control
4. Simulasi
5. Analisis hasil simulasi
6. Kesimpulan dan saran
3. Tinjauan Pustaka
3.1 Model Pertumbuhan Kanker[2].
dengan, yang merupakan
pengaruh kemoterapi terhadap sistem
N(t) : sel- sel normal
T(t) : sel - sel tumor (tumor
ganas /kanker)
I(t) : sel-sel imun
4321 ,,, cdanccc
: parameter interaksi
persaingan
ii bdanr : parameter yang mewakili
tingkat pertumbuhan per
kapita dan daya dukung
timbal balik, dimana i = 1,
2 yang berhubungan
dengan sel tumor dan sel
normal masing-masing.
1d : kematian rata-rata sel-sel
imun
321 ,, aaa : koefisien - koefisien
response yang berbeda dari
masing-masing sel normal,
sel tumor dan sel imun
terhadap obat yang
diberikan
u(t) : menunjukkan konsentrasi
obat dalam jaringan atau
darah
)(tv : dosis obat yang diberikan
secara oral atau injeksi
2d : angka kematian rata-rata
sel-sel imun karena
pengaruh obat. s : koefisien pusat kekebalan
sel imun
dan : konstan positif yang
merupakan kekebalan awal
dan respon sel imun
3.2 Titik Setimbang dan Kestabilannya[3].
dcbaA
maka akar-akar persamaan karakteristik (nilai
eigen ) dari matriks adalah
bcaddaatauAI )(2
)2.2(
Sifat stabilitas titik setimbang 00 , yx dibedakan
menjadi tiga, yaitu :
1. Stabil
Titik setimbang 00 , yx dikatakan stabil jika
dan hanya jika akar karakteristik dari persamaan
(2.2) adalah real dan negatif atau mempunyai
bagian real takpositif.
2. Stabil asimtotis
Titik setimbang 00 , yx dikatakan stabil
asimtotis jika dan hanya jika akar karakteristik
persamaan (2.2) adalah real negatif atau
mempunyai bagian real negatif.
3. Tidak Stabil
Titik setimbang 00 , yx dikatakan tidak stabil
jika dan hanya jika akar karakteristik dari
persamaan (2.2) adalah real dan positif atau
NFTNcNbNrN 1422 )1(
TFTNcITcTbTrT 23211 )1(
IFIdITcT
TIsI 311
)(
u
i eauF 1)(
udvu 2 )1.2(
3
mempunyai paling sedikit satu akar
karakteristik dengan bagian real positif.
Untuk sistem taklinear, akar
karakteristik diperoleh dengan melinearkan
terlebih dahulu sehingga didapatkan bentuk
sistem linear.
Titik setimbang dari sistem teklinear
merupakan :
a) Sebuah titik simpul jika akar
karakteristiknya riil dan bertanda sama. Jika
salah satu bertanda positif maka disebut titik
simpul tidak stabil sebaliknya disebut titik
simpul stabil jika keduanya bertanda negatif.
b) Sebuah titik pelana (saddle point) jika akar
karakteristinya riil, berlawanan tanda. Titik
ini tidak stabil
c) Sebuah titik fokus jika akar karakteristiknya
bilangan kompleks, jika bagian riilnya
positif maka disebut titik fokus tidak stabil
sebaliknya jika bagian riilnya negatif disebut
titik fokus stabil. [10]
3.3 Kriteria Routh-Hurwitz[11]
Nilai – nilai karakteristik dari matriks
adalah akar – akar karakteristik dari polinomial
…(2.3)
dengan . Kriteria kestabilan Routh -
Hurwitz dapat dipakai untuk mengecek
langsung kestabilan melalui koefisien tanpa
menghitung akar – akar dari polinomial yang
ada, yaitu dengan melakukan penabelan dan
suatu aturan penghitungan dari koefisien akan
diketahui bahwa apakah polinomial yang
diberikan oleh persamaan (2.3) semua akar –
akarnya bagian realnya adalah negatif.
Diberikan suatu polinomial
susun tabel sebagai berikut
3
3
5
4
2
2
3
2
1
1
1
0
3
2
1
c
b
a
a
c
b
a
a
q
c
b
a
a
s
ssss
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
dimana qdanccbb ,,,,,, 2121 secara rekursif
didapat dari :
,,
,,
1
1351
2
1
1231
1
1
541
2
1
321
1
b
ababc
b
ababc
a
aaaab
a
aaaab
nnnn
n
nnnn
n
nnnn
Kriteria Routh – Hurwitz menyimpulkan
bahwa : banyaknya perubahan tanda dalam kolom
pertama pada tabel diatas sama dengan banyaknya
akar – akar polinomial )(sq yang bagian realnya
positif. Jadi bila pada kolom pertama dalam tabel
tidak ada perubahan tanda (semuanya bertanda
positif atau semuanya bertanda negatif), maka
semua akar polinomial )(sq bagian realnya adalah
tak-positif, bila polinomial ini merupakan
polinomial akar – akar karakteristik dari matriks
dimana ),()( tAxtx maka sistem ini adalah
stabil.
3.4 Masalah Optimal Control [11]
Gambar 2.1 Skema Kontrol
Pada gambar tersebut optimal control
adalah mendapatkan optimal control (*u ), tanda *
menyatakan kondisi optimal yang akan mendorong
dan mengatur plant C dari keadaan awal sampai
keadaan akhir dengan beberapa konstrain. Kontrol
dengan keadaan dan waktu yang sama dapat
ditentukan ekstrim berdasarkan performance index
yang diberikan.
Secara umum, formulasi pada permasalahan
optimal control [7] adalah
a. Mendiskripsikan secara matematik artinya
mendapatkan metode matematika dari proses
terjadinya pengendalian (secara umum dalam
bentuk variabel keadaan).
b. Spesifikasi dari performance index.
01
1
1 ...det)( asasasaAsIsp n
n
n
n
0,...det)( 01
1
1
n
n
n
n
n aasasasaAsIsq
4
c. Menentukan kondisi batas dan konstrain
fisik pada keadaan (state) dan atau kontrol.
3.5 Prinsip Minimum Pontryagin dengan
Kontrol Terbatas
Prinsip Minimum digunakan untuk
memperoleh kontrol terbaik pada sistem dinamik
dari state awal hingga state akhir, yaitu dengan
meminimalkan performance index dimana
kontrol )(tu terbatas pada .
Prinsip ini menyatakan secara informal bahwa
persamaan Hamiltonian akan diminimalkan
sepanjang yang merupakan himpunan kontrol
yang mungkin [1].
Nilai fungsi Hamiltonian
sebagai berikut
Karena kontrol terbatas, maka Fungsi
Hamiltonian-Lagrange
diperoleh dari nilai fungsi Hamiltonian
tttxtvH ),(),(),( ditambah pengali
Lagrange k
Fungsi tersebut optimal jika memenuhi
persamaan
1. Kondisi stasioner
0),,(),,(
tuxgtuxf
u
Luu (2.4)
2. Persamaan keadaan
Lx
x
L
dengan 00 )( xtx dan 0)( ft
Dari Persamaan (2.4) dapat diperoleh bentuk
optimal control )( *u .
3.6 Bang-bang control dan Singular control
Kesulitan dalam menerapkan prinsip
Pontryagin dapat diatasi dengan menggunakan
singular control dan bang – bang control . Hal
ini muncul ketika persamaan Hamiltonian
bergantung secara linear dengan kontrol u , dapat
dinyatakan dalam bentuk
utxuH ),,()(
Jika kontrol mempunyai batas atas dan
batas bawah maxmin uuu , maka untuk
meminimalkan ),(uH diperlukan untuk membuat
u sebesar dan sekecil mungkin, bergantung pada
tanda ),,( tx yang didefinisikan sebagai fungsi
switching, yang dapat ditulis :
0),,(
0),,(
0),,(
)(
min
sin
max
txjikau
txjikau
txjikau
tu g
Fungsi switching dapat bernilai positif
dan negative serta nol. Sehingga penyelesaian ini
disebut dengan Bang – bang Control. Perubahan
kontrol dari maxu ke minu terjadi ketika berubah
dari nilai negatif ke positif. Dalam kasus ini,
bernilai nol pada interval waktu terbatas 21 ttt
yang disebut sebagai singular control. Pada interval
tersebut, kontrol u dapat dicari dari hasil derivative
berulang u
H
yang bergantung terhadap waktu,
sampai kontrol u tampak secara eksplisit.
Kontrol akan menghasilkan busur singular
yang optimal jika :
1. Persamaan Hamiltonian 0)( H
2. Kondisi Kelley yang dinyatakan oleh
persamaan sebagai berikut :
,1,0,0)1(
2
kH
dt
d
uu
k
k
Kondisi ini disebut juga kondisi Generalisasi
Legendre-Clebs. Dengan kata lain, Generalisasi
Legendre-Clebs akan menjamin bahwa disepanjng
busur tunggal, persaman Hamiltonian akan optimal.
Dalam permasalahan kontrol singular, jika
),,(2
2
xtHdt
duq
q
adalah order derivatif total
tttxtvH ),(),(),(
),,(),,(),(),(),( vxtgvxtftttxtvH
)(tu
tttxtvL ),(),(),(
ktttxtvHtttxtvL ),(),(),(),(),(),(
5
terkecil pada saat u tampak secara eksplisit
maka q adalah derajat dari busur singular,
dengan q .
3.7 Simulasi
Simulasi pada model pertumbuhan kanker,
akan diselesaikan dengan menggunakan
DOTcvp (Dynamic Optimization Toolbox with
cvp) yang merupakan salah satu toolbox
MATLAB
4. Hasil Penelitian
4.1 Model Pertumbuhan Kanker
Sistem Imun : model sel imun terdiri dari
sel imun yang tumbuh dengan distimulasi
oleh adanya tumor, dan sel imun yang dapat
merusak sel tumor dengan suatu proses
kinetik.
Reaksi dari sel imun dan sel tumor dapat
menyebabkan kematian pada keduanya atau
ketidak aktifan sel imun, yang dapat ditulis
sebagai berikut
Kompetisi : kompetisi terjadi antara sel-sel
normal dan sel-sel tumor seperti pada sistem
predator-prey
Optimal control untuk kemoterapi : pemberian
obat yang optimal dengan tujuan untuk
meminimalkan jumlah sel tumor dalam waktu
yang telah ditetapkan.
4.1.1 Daerah Penyelesaian Model Sebelum
Penormalan
Berdasarkan analisis keterbatasan dari
model (2.1), daerah penyelesaian model
adalah :
11
3 0,1
0,10:),,(d
sI
bTNITN
4.1.2 Penormalan Model
Untuk menyederhanakan analisis
matematika, model dinormalkan dengan
mendefinisikan variabel baru sebagai
berikut:
1
2
44
2
1
22
3
3
3
2
1
2
2
22
2
2
2
11
1 ˆˆˆˆ
bb
r
cc
ttt
r
rr
rb
cc
IIx
d
dd
r
scc
TTx
r
r
cc
NNx
dengan s
rITbN 2
2ˆ,
1ˆ,ˆ
dan 2ˆ rt .
Dengan kata lain variabel tersebut juga dapat
ditulis:
2
3
22
33
2
22
2
11
ˆˆ1ˆˆ r
t
t
ttx
r
s
sr
x
I
xIx
x
T
xT
b
x
N
xN
Hasil penormalan diperoleh sebagai berikut :
4.1.3 Daerah Penyelesaian Model Setelah
Penormalan
Berdasarkan analisis keterbatasan dari
model bentuk normal, daerah penyelesaian
model didapat sebagai berikut :
1
321
3
321
10,
10,10:),,(
dx
bxxxxx
4.1.4 Titik Setimbang dari Model Bentuk
Normal
Titik Setimbang adalah titik yang invariant
terhadap waktu sehingga titik-titik setimbang
diperoleh dari ,01 dt
dx 02
dt
dx dan .03
dt
dx
yang hasilnya adalah
,
11
1,0,0
3
1
222221
2
Frxxdxxc
x
,
31
22212121
21,2
121332,0
Frxxdxxc
x
rb
Frxcxcr
)()()()( 21 tTtIcdt
dTdantTtIc
dT
dI
11
1
2214111 )1( xFrxxcxxx
22
1
2213322222 )1( xFrxxcxxcbxrxx
33
1
23321
2
32
3)1(
1 xFrdxxxcx
xxx
6
,
11
1,0,1
31
222221
21
1224
Frxxdxxc
xFrxc
dan
31
222221
221
213321
1224
11
1,,1
Frxxdxxc
x
rb
FrxcxcrFrxc
Untuk titik setimbang jika tidak ada pengaruh
obat, maka pengaruh obat (kemoterapi)
ditiadakan 3,2,1,0 idenganFi
sehingga ada 4 titik setimbang yaitu
,
11
1,0,0
322221
2
xxdxxc
x
,
2212121
21,21332,0
xxdxxc
x
rb
xcxcr
,
11
1,0,1
22221
2
124
xxdxxc
xxc
dan
22221
2133224
11
1,,1
xxdxxc
x
rb
xcxcrxc
Akan ditentukan titik-titik setimbang dari model
hasil penormalan diatas yang tidak dipengaruhi
obat (kemoterapi). Dalam hal ini ada dua titik
setimbang yaitu titik setimbang bebas penyakit
(disease-free equilibrium) dan titik setimbang
endemik.
a. Titik Setimbang Bebas Penyakit
Pada saat 02 x maka d
x1
3 Semua
sel dalam keadaan sehat atau tidak terjadi
penyebaran tumor. Jika 021 x setelah
disubsitusikan, maka diperoleh dua titik
kesetimbangan, yaitu
dE
1,0,01
dan .1
,0,12
dE
b. Titik Setimbang Endemik
Titik Setimbang endemik adalah titik
setimbang dengan pengaruh penyebaran tumor
02 x . Dari
rb
xcxcrx 1332
22
disubsitusikan ke
persamaan sebelumnya diperoleh dua titik
setimbang yaitu :
)(,,03 afaE dan )(,),(4 bfbbgE
dengan, rb
xcxcra 1332
untuk 3E dan
rb
xcxcrb 1332
untuk 4E .
4.1.5 Matriks Jacobian Model Bentuk Normal
Setelah menentukan titik setimbang model
normal, selanjutnya ditentukan kestabilan setiap
titik setimbang. Untuk itu dicari nilai eigen matriks
Jacobian dari model normal. Akan ditinjau dua
kasus yaitu kestabilan titik setimbang bebas
penyakit (disease-free equilibrium) dan kestabilan
titik setimbang endemik.
Misal
Akan dicari kestabilan lokal dengan mencari matrik
Jacobiannya terlebih dahulu.
3
3
3
2
2
2
1
1
1
x
Z
x
Y
x
X
x
Z
x
Y
x
X
x
Z
x
Y
x
X
J
11
1
221411321 )1(,, xFrxxcxxxxxX
22
1
221332222321 )1(,, xFrxxcxxcbxrxxxxY
33
1
23321
2
32
321)1(
1,, xFrdxxxcx
xxxxxY
7
dxcx
xxc
x
x
xcxcxcrbxrxc
xcxcx
J
21
2
2312
2
3
221332223
14241
110
2
021
4.1.5.1 Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Bebas Penyakit
1. Titik setimbang
dE
1,0,01 tidak
mungkin, karena titik ini menunjukkan
bahwa sel normal tidak ada (tidak stabil).
Matriks Jacobian model (4.1) pada titik
setimbang adalah
dd
cd
dcJ 0
0
11
10
0
0
1
1
2
Nilai Eigen diperoleh dari
maka,
0
110
01
0
001
1
2
dd
cd
dc
01
1 2
d
dc
dd
c
3221 ,1
,1
Titik
dE
1,0,01 tidak stabil karena
011
2. Untuk titik
dE
1,0,12 matriks
Jacobiannya adalah
dd
cd
cd
cr
c
EJ
110
00
01
1
32
4
2
Nilai Eigen diperoleh dari :
0)(det 2 IEJ maka,
0
110
00
01
1
32
4
dd
cd
cd
cr
c
dcd
cr 3
21
dcd
cr
332
21 ,,1
sehingga didapat :
011
32
2 cd
cr
32 cd
cr
132
32
dcc
drc
d
c
03 d
Karena nilai dari 10
ic dan 0, dr
maka Nilai eigen 2 dapat bernilai positif atau
negatif tergantung dari nilai dcc
dr
32
. Dari
persamaan diatas maka dapat dicari Basic
Reproduction Number (R0), dimana (R0) adalah nilai
parameter untuk mengetahui penyebaran penyakit
menjadi endemik atau tidak.
Berdasarkan nilai eigen 2 dapat dianalisa sebagai
berikut :
0)(det 1 IEJ
8
Nilai eigen 2 bernilai negatif jika
1
32
dcc
dr dan bernilai positif jika
.1
32
dcc
dr Oleh karena itu Basic
Reproduction Number adalah : dcc
dr
32
Dari hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan
sebagai berikut :
a. Jika 10 R maka didapat 02 . Karena
0, 21 , dan 03 maka titik
kesetimbangan 2E dari sistem tersebut
stabil.
b. Jika 10 R maka didapat 02 . Karena
0,0 21 , dan 03 maka titik
kesetimbangan 2E dari sistem tersebut tidak
stabil.
4.1.5.2 Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Endemik
1. Kestabilan lokal titik setimbang endemik 3E
dimana 323 ,,0 xxE dengan
ax
2
)(3 afx
Terlihat populasi sel normal adalah nol dan
sel tumor dapat bertahan . Disini a adalah
solusi non negatif untuk
01
)(2
baf
rb
ca
Matriks Jacobian pada titik setimbang 3E
adalah
dxcx
xxc
x
x
xcxcrbxrxc
xc
EJ
21
2
2312
2
3
2232223
24
3
110
2
001
)(
)(det 3 IEJ
0
110
2
001
21
2
2312
2
3
2232223
24
dxcx
xxc
x
x
xcxcrbxrxc
xc
0)()()( 2 CBDBCA
dengan
241 xcA
3222 xcrbxrB
dxc
x
xC
21
2
2
1
312
2
3
22)1(
xcx
xxcD
maka akan didapat :
A1
2
)(4)()( 2
2
DBCCBCB
2
)(4)()( 2
3
DBCCBCB
Untuk mengetahui 3E stabil atau tidak stabil
maka mula-mula akan dianalisis dari nilai 1
Berdasarkan daerah penyelesaian setelah
penormalan diperoleh b
x1
0 2
karena pada
penelitian ini 11 b dan 3.04
c . sehingga, Jadi
01 241
xcA . Karena itu 3E tidak
stabil.
2. Stabilitas lokal dititik setimbang 4E adalah
3214 ,, xxxE
dengan
)(1 bgx
bx
2
)(3 bfx
Terlihat terdapat kompetisi antara sel
normal dan sel tumor dengan populasi tidak
9
nol, dimana b adalah solusi non negatif
dari
01
)()( 32
bbg
rb
cbf
rb
cb
Matriks Jacobian pada titik setimbang
adalah
dxcx
xxc
x
x
xcxcxcrbxrxc
xcxcx
EJ
21
2
2312
2
3
221332223
14241
4
110
2
021
)(
IEJ )(det 4
jika :
24121 xcxA
133222 xcxcrbxrB
dxc
x
xC
21
2
2
1
312
2
3
22)1(
)( xcx
xxcD
))(( 2314
xcxcE
maka,
0)()())()(( CEDACBA
)()( 23 EDACBCABCBA
0)( ECADABC
Jika dikalikan -1 persamaan menjadi :
)()( 23 EDACBCABCBA
0)( ECADABC
dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz
maka akan diperoleh sebagai berikut
2
1
10
1
2
31
bECADABC
EDACBCAB
c
bCBA
)(
0.10).(2
CBA
CBAb
1
11
0).().(
b
CBAECADABCbc
4E stabil jika 1),( bCBA dan 01 c , karena
berdasarkan nilai parameter yang didapat pada
percobaan pertama (penyelesaian kontrol optimal)
diperoleh 4E stabil.
4.2 Penyelesaian dengan Kontrol Optimal
Diberikan Performan indeks sebagai berikut
)()(),(min 2 ff txtTvxJ
Model tersebut dapat diselesaikan dengan
menggunakan kontrol optimal dimana variabel
kontrolnya adalah )(tv dan variabel keadaannya
adalah )(tx . Sedangkan sistem dinamiknya pada
persamaan (2.1)
Dengan ),,,,(),,,,( uITNvuITNh agar lebih
mudah maka model ditulis menjadi
),,,(),,,( 4321 xxxxuITN sehingga model
menjadi
2121412121 )1()1( 4 xeaxxcxbxrxx
2221332221212 )1()1( 4 xeaxxcxxcxbxrxx
3331321
2
32
3 )1()(
4 xeaxdxxcx
xxsx
x
424 xdvx
dengan kondisi batas:
075.0)(),,( 1 txvtxk
0)0( xx
0
110
2
021
21
2
2312
2
3
221332223
14241
dxcx
xxc
x
x
xcxcxcrbxrxc
xcxcx
CBA
ECACABCEDCABCABCBAb
1
ftt 0
10
4.2.1 Penyelesaian Model Pertumbuhan
Kanker dengan Teori Kontrol Optimal
Dengan menggunakan bang-bang control
dan Singular control maka diperoleh
0
0
0
0
)( sin
v
v
v
g
H
H
H
jika
jika
jika
va
tv
dengan :
42
333222111
24333333222222111111
sin
4
xdxaxaxa
e
dxaxaxaxaxaxa
vx
g
4.3 Simulasi 4.3.1 Analisis Hasil Simulasi
Pada simulasi akan dibandingkan sistem
sebelum dikontrol (tanpa obat) dan setelah
dikontrol (dengan obat) untuk
menggambarkan pengaruh adanya kontrol
optimal didalamnya. Berikut parameter
yang digunakan [2].
Tabel 4.1 Parameter dan Nilainya
Parameter Nilai
1a 0.1
2a 0.3
3a 0.2
1b 1.0
2b 1.0
1c 1.0
2c 0.5
3c 1.0
4c 1.0
1d 0.2
2d 1.0
1r 1.5
2r 1.0
s 0.33
0.3
0.01
Tabel 4.2 Parameter Komputasi
Parameter
Komputasi
Simbol Nilai
Waktu akhir ft 150 hari
Batas bawah
kontrol
0.0
Batas atas kontrol a – 0.0
Initial condition
sel normal )0(1x 1.0
Initial condition
sel tumor )0(2x 0.25
Initial condition
sel imun )0(3x 0.15
Initial condition
konsentrasi obat
dalam darah
)0(4x b
Dosis Obat u
Percobaan pertama yang dilakukan dengan
mensimulasikan optimal control tanpa
menggunakan obat dengan kata lain 0b ,
maka akan didapat hasil seperti berikut
Gambar 4.1
Pada gambar diatas menunjukkan dalam waktu 150
hari (5 bulan) dengan adanya sel tumor, maka sel
normal dan sel imun bergerak turun sedangkan sel
tumor bergerak naik.
11
Dari hasil simulasi tersebut diperoleh
Final state values :
001357178.4001639517.5001361455.4
3
2
1
exexex
Terlihat jelas bahwa jumlah dari sel – sel tumor
lebih dominan dibandingakan yang jumlah dari
sel – sel lainnya
Percobaan kedua dilakukan dengan
mensimulasikan optimal control dengan obat
yang diberikan, nilai 75.0a dan 07.0b .
Pada gambar 4.2 dapat ditunjukkan pengaruh
obat kepada pasien. Mula – mula yang akan
ditampilkan adalah kurva objective function
yang menunjukkan bahwa semakin kecil nilai
dari objective functionnya (mendekati nol) maka,
pengobatan yang dilakukan optimal, seperti
berikut
Gambar 4.2a
Dari gambar 4.2a terlihat bahwa pengobatan
yang dilakukan optimal dengan cost function
akhir )(min ftJ yang didapat dari simulasi
adalah 0.00000000.
Gambar 4.2b
Gambar 4.2b menunjukkan sel tumor bergerak
turun drastis dengan adanya pemberian obat
sedangkan sel normal dan sel imun bergerak naik
seiring dengan turunnya sel tumor walaupun awal
kenaikan sel imun adalah perlahan lalu naik drastis
yang dikarenakan turunnya konsentrasi obat dalam
darah.
Dari hasil simulasi tersebut diperoleh
Final state values :
002790839.5000545518.1010317050.9001943748.9
4
3
2
1
exexexex
Terlihat komposisi dari sel – sel tersebut
(kecuali sel –sel tumor) mendekati nilai maksimal
pada daerah feasibel pada pembahasan
sebelumnya(saat menganalisis model (2.1), yang
berarti dalam hal ini komposisi sel – sel tersebut
optimal. Walaupun hanya sel imun yang nilainya
agak berbeda. Hal ini dikarenakan pengaruh dari
konsentrasi obat dalam darah tersebut menekan
sumsum tulang yang memproduksi sel imun maka
dari itu perubahan sel imunnya kurang optimal,
tetapi secara keseluruhan dilihat dari komposisi sel
– sel tersebut sudah dapat dikatakan optimal.
Pada gambar 4.2c dapat dilihat bahwa kontrol
dalam bentuk bang – bang dan singular control .
12
Gambar 4.2c
5. Penutup
5.1 Kesimpulan
Dari analisis yang dilakukan pada model
kanker [2], maka dapat diperoleh kesimpulan
sebagai berikut :
1. Pada analisis stabilitas lokal dapat diketahui
bahwa :
Model normal dari kompetisi sel – sel
yang dipengaruhi oleh sel – sel tumor adalah
sebagai berikut
11
1
2214111 )1( xFrxxcxxx
22
1
2213322222 )1( xFrxxcxxcbxrxx
33
1
23321
2
323
)1(1 xFrdxxxc
x
xxx
model tersebut memiliki dua titik kesetimbangan
yang stabil yaitu titik kesetimbangan bebas
penyakit
dE
1,0,12 dengan
dcc
dr
32
sebagai basic reproduction numbernya sehingga
diperoleh
Dari hasil perhitungan di atas, dapat
disimpulkan sebagai berikut :
a. Jika 10 R maka didapat 02 . Karena
0, 21 , dan 03 maka titik
kesetimbangan 2E dari sistem tersebut
stabil.
b. Jika 10 R maka didapat 02 . Karena
0,0 21 , dan 03 maka titik
kesetimbangan 2E dari sistem tersebut tidak
stabil.
dan titik kesetimbangan endemik diperoleh
.)(,),(4 bfbbgE Penyelesaian yang optimal
pada titik endemik ini yang diselesaikan pada sub
bab berikutnya.
2. Pada optimal control dapat diketahui bahwa
Optimal control yang diperoleh pada model
kanker [2] mempunyai bentuk yang tidak
tunggal. Kontrolnya berupa bang – bang
control dan singular control yang bergantung
pada nilai fungsi switching pada interval waktu
yang berbeda – beda. Kontrolnya dapat
dinyatakan sebagai berikut :
0
0
0
0
)( sin
v
v
v
g
H
H
H
jika
jika
jika
va
tv
dengan :
42
333222111
24333333222222111111
sin
4
xdxaxaxa
e
dxaxaxaxaxaxa
vx
g
4vH
5.2 Saran
Pada penelitian ini tidak dibahas mengenai cara
meminimumkan jumlah obat dan menghilangkan
residu yang terdapat dalam tubuh pasien agar dapat
memperoleh hasil yang lebih baik penulis
menyarankan untuk melanjutkan pada tahapan
tersebut.
6. Daftar Pustaka
[1]. Bryson, A. E. dan Ho, Y. C. 1975. Applied
Optimal Control. New York: Taylor & Francis
Group.
[2]. De Pillis, L.G. , Radunskaya, A.E. 2003. “The
Dynamics Of An Optimally Controlled Tumor
Model: A case study”. Journal of
13
Mathematical and Computer Modelling,
Vol 2003 No. 37 pp 1-23.
[3]. Finisio dan Ladas. 1998. Differential
Equations with Modern Applications. 2st
edition. Wadsworth, New York: Inc.
[4]. Itik, Mehmet, Salamci , Metin U. , Banks,
Stephen P. 2009. “Optimal Control of Drug
Therapy In Cancer Treatment”. Journal of
Nonlinear Analysis, Vol 2009 No. 71 pp 1-
14.
[5]. Kamien, M. I. dan Schwartz, N. L. 1981.
Dynamic Optimization : The Calculus of
Variations and Optimal Control in
Economics and Management. 1st edition.
North Holland, Amsterdam: Elsevier
Science Publishing Co, Inc.
[6]. Murray, J.M. 1990. “Optimal Control For A
Cancer Chemotherapy Problem With
General Growth and Loss Functions”.
Journal of Mathematical Biosciences, Vol
1990 No. 98 pp 1-14.
[7]. Naidu, D. S. 2002. Optimal Control
Systems. USA: CRC Presses LLC.
[8]. Putri, R. 2009. Kontrol Optimal Pada
Model Tumor Anti Angiogenesis. Tugas
Akhir Jurusan Matematika ITS.
[9]. Subchan, S. dan Zbikowski, R. 2009.
Computational Optimal Control: Tools
and Practice. UK: John Wiley & Sons Ltd.
[10]. Subiono. 2008. Matematika Sistem.
Versi 1.0. Surabaya: Jurusan Matematika
FMIPA ITS.
[11]. Subiono. 2010. Optimal Kontrol.
Surabaya: Jurusan Matematika FMIPA ITS.
[12]. Wikipedia. 2010. Cancer. <URL
http://en.wikipedia.org/wiki/cancer>.
Diakses pada tanggal 25 Februari 2010.
[13]. Wikipedia. 2010. Tumor. <URL
http://en.wikipedia.org/wiki/tumor>. Diakses
pada tanggal 25 Februari 2010.
Top Related